单调性与最大小值优秀课件

012 x
函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函 数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的） 单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
例1.下图是定义在 闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图 象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每个单调 区间上, y=f(x)是增函数还是减函数?
x 1 < x 2 ，则
f(x1)-f(x2)=-x11+x12=xx 11-xx22
又因为 x1 - x2 < 0，x1x 2 > 0 ，所以说
f(x1)-f(x2)<0
即函数 f(x) = - 1 - 1 在区间（0，+∞）上是单调
增函数.
x
探究
画出反比例函数 y = 1 的图象． x
1 这个函数的定义域是什么？
知识要 点
M是函数y= f (x)的最大值（maximum value）：
一般地，设函数y= f (x)的定义域为I，如果存在 实数M满足： （1）对于任意的x ∈I，都有f (x) ≤M;
（2）存在 x 0 I ，使得 f(x0) =M.
那么，我们称M是函数y= f (x)的最大值
思考
能否仿照函数的最大值的定义，给出函数 y=f(x)的最小值的定义呢？
定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2 ， 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2) ，那么就说f(x)在区间D 上是减函数 ,如图2.
y
y=f(x)
f(x1)
f(x2) x
0
x1
x2
图1
y y=f(x)
f(x1) f(x2)
0
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x1
x2 x
图2
1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的 性质，是函数的局部性质.
（2）作差
即求 f(x1)-f(x2)
（3）变形
通过因式分解、配方、有理化等方法
（4）定号 即根据给定的区间和 x 2 - x 1 的符号来确定
f(x1)-f(x2) 的符号
（5）结论 根据单调性的定义得结论
例2 求证：函数 f(x) = - 1 - 1 在区间 0，+ 上是单
调增函数．
x
证明：在区间（0，+∞）上任取两个值 x 1 , x 且2
单调性与最大小值
观察下列各个函数的图象，并说说它们 分别反映了相应函数的哪些变化规律：
1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2、随x的增大，y的值有什么变化？
问题1
画出f(x)=x的图像，并观察其图像。
1、从左至右图象上升还是下降 _上_升__?
2、在区间 (_-___,____)上，随着x的增大，f(x)的值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数 M满足： （1）对于任意的的x∈I，都有f(x) ≥M;
（2）存在 x 0 I ，使得 f(x0) =M，
那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimun value）.
思考
函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？
是
思考
如果在函数f(x)定义域内存在x1和 x2，使对 定义域内任意x都有 f(x1)f(x)f(x2)成立，由 此你能得到什么结论？如果函数f(x)的最大值是b， 最小值是a，那么函数f(x)的值域是[a，b]吗？
解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5], 其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数, 在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.
用定义证明函数单调性的步骤是： （1）取值
即取 x 1 , x 2 是该区间内的任意两个值且 x 1 < x 2
对于函数y= f(x) ，若在区间 I 上，当x＝1时, y＝1; 当 x＝2时, y＝3 , 能说在区间 I 上函数值 y 随自变 量 x的增大而增大吗?
2 、必须是对于y区间D内的任意两个自变量x1， x2；当x1<x2时，总有3f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) 分别是 增函数和减函数. 1
随着 __增__大__.
5
f(x)=x
-5 o
5
-5
问题2
画出 f(x) = x2 的图像，并观察图像.
1、在区间 __(_-∞__,0_]__ 上，f(x)的值随着x的增大而
_减__小___.
f(x) = x2 2、 在区间 __(_0_,_+_∞_)_ 上，
f(x) 的 值 随 着 x 的 增 大 而
5
_增__大__.
-5 o
5
-5
函数单调性的概念：
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1， x2 ， 当 x1<x2 时 ， 都 有 f(x1)<f(x2) ， 那 么 就 说 f(x) 在 区间D上是增函数,如图1 .
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于
所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2).
函数f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数.
（2）在区间（- ∞ ，0）上，同理可得到函数 f(x)=1/x 在（- ∞ ，0）上是减函数。
下列两个函数的图象：
观察
y
y
M
M
x
o x0
图1
o
x0
x
图2
思考
观察这两个函数图象，图中有个最高点，
函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值.
探究:函数单调性与函数的最值的关系
（1）若函数y=f (x)在区间[m，n] (m<n)上单调递增， 则函数y=f (x)的最值是什么？
y
当x=m时，f (x)有最
f(n) 小值f (m)，当x=n时,f (x)
那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？
思考
设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，
则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小
关系如何？
1是此函数的最大值
例 如 函 数 fx = -x 2+ 1 x ∈ R
f(x)< M
ƒ(0)=1
2 1
O
1、对任意的 xR都有ƒ(x)≤1.
2、存在0，使得ƒ(0)=1.
{x∣x≠0}
2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结
论．
y 分两个区间(0，+∞)，（- ∞ ，0）来
考虑其单调性.
0
x
证明：（1）在区间(0，+∞)上，设x1,x2是(0，+∞)上
任意两个实数，且x1<x2，则
f(x1)- f(x2)=
1 x1
-1 x2
=
x2 - x1 x1x2
由于x1,x2 0, + 得x1x2>0,又由x1<x2得x2-x1>0