高中数学《空间向量及其运算》公开课优秀教学设计

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1.1.1+空间向量及其线性运算+教学设计-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

《1.1.1空间向量及其线性运算》教学设计一、教学内容解析《1.1空间向量及其运算》是人教A版《普通高中教科书·数学(选择性必修)》第一册(以下简称“教科书”) 第一章《空间向量与立体几何》的第一节内容，包括“空间向量及其线性运算”和“空间向量的数量积运算”两小节内容，其中第1课时“空间向量及其线性运算”要学习的核心知识有: 空间向量的概念;零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量、共面向量；空间向量的加法、减法以及数乘运算．这些核心知识是后续学习空间向量基本定理、空间向量运算的坐标表示、应用空间向量解决立体几何图形位置关系与度量关系的基石．二、学情分析在学习本节课内容之前，学生已在人教A版必修第二册中学习了《平面向量及其应用》和《立体几何初步》内容．大致了解了平面向量的基本研究思路与框架即“实际背景→基本概念→向量运算( 线性运算、数量积) →向量基本定理及坐标表示→向量的应用”，这也是研究和学习空间向量的基本研究思路．三、教学目标（1）了解空间向量的实际背景；理解空间向量及相关概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘运算；（2）经历由平面向量的概念、运算推广到空间向量的过程；通过空间向量加法结合律的证明体会维数增加对向量推广带来的变化；（3）在借助几何图形解释空间向量相关概念中进一步发展直观想象核心素养，领悟数形结合的思想方法，提升数学运算和逻辑推理能力; 从平面向量推广得到空间向量、空间向量问题转化为平面向量问题的过程中提升数学抽象素养，领悟类比、特殊与一般、转化与化归等思想.四、教学重难点重点: 空间向量及其相关概念，空间向量的线性运算；难点: 空间向量加法结合律的证明，空间向量的线性运算．五、教学策略分析本节课采用创设问题情境，设置问题链引导学生类比平面向量层层深入学习空间向量的概念、线性运算、运算律和位置关系等内容．学生通过自主探究、交流、师生互动等教学活动参与学习过程，突破学习中的难点和疑点．利用PPT等教学软件绘制图形、平移图形、展示图片，借助几何直观图形帮助学生分析和理解概念．六、教学过程设计1、情境引入如图所示，一只蚂蚁从A点出发，一直沿着棱爬行，先爬行到B点，再爬行到C点，那么它的实际位移是什么？若蚂蚁继续沿着棱从C点向上爬行到C1点，那么它的实际位移是什么？追问：位移在数学中可以用什么概念表示？这些向量是否位于同一平面？【设计意图】通过学生情境引入，引导学生回忆熟悉的平面向量，同时发现空间向量，感受到与平面向量的差异，进而激发学生的求知欲．师：通过平面向量及其应用的学习，我们知道平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，他们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系，可以通过平面向量运算得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法解决。

《空间向量的运算(2)》示范公开课教案【高中数学北师大】

《空间向量的运算(2)》教案1.经历由平面向量的运算和运算规则推广到空间向量的运算和运算规则的过程，体会从二维空间到三维空间的变化，培养学生迁移的能力；2.掌握空间向量的数量积运算．重点：空间向量的数量积运算．难点：空间向量的数量积的计算方法，几何意义，立体几何问题的转化．一、情境导入情境：上节课我们类比平面向量，把向量的概念及线性运算由平面向空间进行了推广，并用空间向量及其线性运算解决了一些立体几何问题．我们知道，平面向量除了线性运算以外，还有数量积运算．平面向量的数量积运算在研究角度、距离等几何问题时，有非常广泛的应用．今天我们就继续类比平面向量，来学习空间向量的数量积运算．设计意图：通过类比平面向量，引导学生进行思考，为讲解空间向量的数量积作铺垫．二、新知探究问题1：你还记得平面向量的数量积运算是怎么定义的吗？答案：两个非零平面向量a，b的数量积是一个实数，等于这两个向量的模和它们夹角余弦值的乘积，即：a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．追问1：什么是平面向量的夹角？答案：两个非零向量a，b，在平面内任取一点O，作OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a，OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．规定0≤〈a，b〉≤π．追问2：你能类比平面向量，给出空间向量夹角的定义吗？答案：两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a，OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定0≤〈a，b〉≤π．◆教学目标◆教学重难点◆◆教学过程在此规定下，两个向量的夹角被唯一确定，并且〈a，b〉=〈b，a〉．当〈a，b〉=0时，向量a与b方向相同；当〈a，b〉=π时，向量a与b方向相反；当〈a，b〉=π2时，称向量a与b互相垂直，记作a⊥b．规定：零向量与任意向量垂直．问题2：能否类比平面向量，得到空间向量的数量积运算的定义呢？由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此两个空间向量数量积的定义和平面向量数量积的定义完全一致．即：已知两个非零向量a，b，把|a|·|b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b．a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．与平面向量类似，空间向量的数量积也是一个实数，容易得到以下结论：（1）cos〈a，b〉=a·b|a|·|b|(a≠0，b≠0)；（2）|a|=√a·a；（3）a⊥b⇔ a·b=0．追问：向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？答案：与平面向量类似，空间向量的数量积运算也满足如下运算律：（1）交换律：a·b=b·a；（2）分配律：a·(b+c)=a·b+a·c；（3）(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R)．【概念巩固】判断下列命题是否正确：（1）由a·b=0，可得a=0或b=0；（2）对于三个非零向量a，b，c，由a·b=a·c，可得到b=c；（3）对于两个非零向量a，b，由a·b=k，可得到a=kb 或b=ka．（4）对于向量a，b，c，有(a·b)·c=a·(b·c)．答案：（1）不一定，因为a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉=0，所以|a|=0或|b|=0或cos〈a，b〉=0．即a=0或b=0或a⊥b；（2）不一定，由a·b=a·c，有a·(b−c)=0，从而有b=c或a⊥(b−c)；（3）不能，向量没有除法运算；（4）不一定，两个向量的数量积为一个实数，(a·b)·c和a·(b·c)分别表示与向量c和向量a 共线的向量，它们不一定相等．即向量的数量积运算没有结合律．问题3：我们在平面向量中学习过投影向量的概念，你还记得什么是投影向量吗？能推广到空间向量中吗？答案：由于任意两个空间向量总能通过平移变成同一平面内的向量，因此平面向量的投影概念可以直接推广到空间中．已知两个非零向量a ·b ，在空间任取一点O ，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，过点B 作直线OA 的垂线，垂足为点B 1，称向量OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为向量b 在向量a 方向上的投影向量，其长度等于||b |cos 〈a ，b 〉|．当〈a ，b 〉为锐角时，|b |cos 〈a ，b 〉>0；当〈a ，b 〉为钝角时，|b |cos 〈a ，b 〉<0；当〈a ，b 〉=π2时，|b |cos 〈a ，b 〉=0．若用a 0表示与向量a (a ≠0)同方向的单位向量，则向量b 在向量a 方向上的投影向量为OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|b |cos 〈a ，b 〉a 0．因此，称|b |cos 〈a ，b 〉为投影向量OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的数量，简称为向量b 在向量a 方向上的投影数量．结合空间向量数量积的定义可知：向量b 在向量a 方向上的投影数量为|b |cos 〈a ，b 〉=a·b|a |=a 0·b ．设计意图：类比平面向量，得出空间向量的数量积运算，进一步引导学生对空间向量数量积运算的运算律进行推广．三、应用举例例1：如图，已知单位正方体ABCD −A′B′C′D′，（1）指出向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别在CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量；（2）求向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在CB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量；（3）求向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量．解：（1）根据正方体的性质知：A′B ⊥CB ，A′D ⊥CD ，A′C′⊥CC′，所以向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量分别为：CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；（2）因为〈CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=∠A′CB ，所以向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为： |CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠A′CB =|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1；（3）因为〈CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=π−∠A′CB ，所以向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为： |CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos (π−∠A′CB )=−|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−1．例2：如图，已知四棱柱ABCD −A′B′C′D′的底面ABCD 是边长为1的菱形，且∠C′CB =∠C′CD =∠BCD =π3，DD′=2．求：（1）DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ；（2）DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )；（3）|CB⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |．解：（1）因为∠D′DA =∠C′CB =π3，所以DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =|DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠D′DA =1；（2）因为DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，而CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠C′CD =1， CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠C′CB =1，所以DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CC ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1−1=0；（3）|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗ +CC ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =√CB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√11．总结：空间向量数量积的计算问题的解题思路1．在几何体中求空间向量数量积的步骤：(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；(3)代入a ·b =|a |·|b |cos 〈a ，b 〉求解．2．长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，要熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直关系或特殊角等．四、课堂练习1.（多选）设a ，b 为空间中的两个非零向量，则下列各式正确的是( )A ． a 2=|a |2B ．a·b a 2=b aC ．(a ·b )2=a 2·b 2D ．(a −b )2=a 2−2a ·b +b 22.已知|a |=3，|b |=2，a ·b =−3，则〈a ，b 〉=________．3.如图，在长方体ABCD −A′B′C′D′中，已知|AB |=5，|AD |=4，|AA′|=3，则向量AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗在DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为________，向量AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向的投影数量为________．参考答案：1．解：a·ba 2=|a ||b |cos 〈a ，b 〉|a ||a |=|b |cos 〈a ，b 〉|a |，故B 错误； (a ·b )2=(|a ||b |cos 〈a ，b 〉)2=|a |2|b |2cos 2〈a ，b 〉，故C 错误；本题选AD ．2.解：因为cos 〈a ，b 〉=a·b |a |·|b |=−33×2=−12．所以〈a ，b 〉=2π3．3.解：向量AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为|AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos (π−∠C′AD )=−|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−4，向量AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向的投影数量为：|AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠C′AA′=|AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3．五、课堂小结说明：空间向量没有除法运算；空间向量的数量积不满足结合律.设计意图：引导学生对本节课所学知识方法有一个全面的认识，培养学生的归纳总结能力，帮助学生深化对知识的理解与掌握，体会研究解决实际问题的思路、途径、方法，为进一步学习打下坚实基础．六、布置作业教材第103页练习第2，3，4题．。

高三数学下册《空间向量及其应用》教案、教学设计

6.预习任务：预习下一节课内容，了解空间向量的线性相关与线性无关的概念，为课堂学习做好准备。
作业布置原则：
1.遵循适量、适度、分层原则，确保作业既能巩固知识点，又不过度增加学生负担。
2.关注学生个体差异，提供不同难度的题目，使每个学生都能得到充分锻炼。
3.强调作业的实践性和应用性，引导学生将所学知识运用到实际问题中。
4.通过空间向量的学习，提高学生的空间想象力和逻辑思维能力，为后续学习线性代数等内容打下基础。
（二）过程与方法
1.通过引入实际问题，引导学生从几何角度认识空间向量，培养学生从实际问题中提炼数学问题的能力。
2.运用讲授、讨论、练习等多种教学方法，使学生掌握空间向量的基本概念和运算方法，提高学生的数学表达能力和逻辑思维能力。
3.设计丰富的例题和练习题，让学生在实践中掌握空间向量的应用，培养学生在解决空间几何问题时能够灵活运用空间向量的能力。
4.引导学生通过小组合作、探究学习等方式，发现空间向量在解决实际问题中的规律和方法，提高学生的自主学习能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生学习空间向量的积极性，使其在学习过程中体验数学的魅力。
2.学生在运用空间向量解决空间几何问题时，可能对运算规则和方法掌握不够熟练，需要通过大量练习和讲解来巩固和提升。
3.学生的空间想象力有限，对空间向量的应用可能存在一定的恐惧感，需要教师耐心引导和鼓励，帮助学生克服心理障碍。
4.部分学生对数学学科兴趣不足，对空间向量的学习积极性可能不高，教师应注重激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性。
高三数学下册《空间向量及其应用》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的坐标表示及其运算规律，能够运用空间向量求解空间几何问题。

高三数学下册《空间向量》教案、教学设计

走进教室，首先在黑板上画出一个三维坐标系，引导学生回顾平面向量的知识。然后，提出问题：“在平面向量中，我们学习了向量的概念、运算法则及其应用。那么，在三维空间中，向量又是如何表示和运算的呢？”通过这个问题，引发学生的思考，为新课的学习做好铺垫。
接着，展示一个地球仪，提出另一个问题：“地球上的物体受到的重力可以看作是一个向量，那么如何用空间向量表示这个重力呢？”让学生在思考中感受到空间向量的重要性。在此基础上，正式引入本节课的主题——空间向量。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.空间向量的基本概念及其坐标表示。
2.空间向量的线性运算、点积和叉积运算。
3.空间向量在解决空间几何问题中的应用。
4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
（二）教学难点
1.空间向量与平面向量的区别和联系，帮助学生建立起空间向量的概念。
2.空间向量的坐标表示方法，特别是向量的线性运算在坐标形式下的表达。
3.学生对空间向量运算规律的掌握，尤其是点积和叉积的应用。
4.将空间向量应用于实际问题，提高学生学以致用的能力。
（三）教学设想
1.采用情境导入法，通过实际生活中的例子引入空间向量的概念，激发学生的兴趣和好奇心。
2.利用多媒体教学资源，如几何画板、实物模型等，帮助学生直观地理解空间向量的性质和运算。
3.设计具有梯度的问题和练习题，由浅入深地引导学生掌握空间向量的知识和方法，突破教学难点。
1.空间向量与平面向量的联系和区别是什么？
2.如何利用坐标表示空间向量，并进行线性运算？
3.点积和叉积在空间几何中有哪些应用？
讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入思考。讨论结束后，每组选取一名代表汇报讨论成果，分享小组的智慧。

教案)空间向量及其运算

教案)空间向量及其运算一、教学目标1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的基本性质。

2. 学会空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。

3. 能够运用空间向量解决实际问题，提高空间想象力。

二、教学内容1. 空间向量的概念：向量的定义、大小、方向、表示方法。

2. 空间向量的线性运算：(1) 向量加法：三角形法则、平行四边形法则。

(2) 向量减法：差向量、相反向量。

(3) 数乘向量：数乘的定义、运算规律。

(4) 向量点乘：点乘的定义、运算规律、几何意义。

三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的概念、线性运算及应用。

2. 教学难点：空间向量线性运算的推导及证明，空间向量在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用多媒体教学，结合图形、动画，直观展示空间向量的概念和运算。

2. 利用实际例子，引导学生运用空间向量解决实际问题。

3. 组织小组讨论，培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。

五、教学安排1. 第一课时：空间向量的概念及表示方法。

2. 第二课时：空间向量的线性运算（向量加法、减法）。

3. 第三课时：空间向量的线性运算（数乘向量、向量点乘）。

4. 第四课时：空间向量线性运算的应用。

5. 第五课时：总结与拓展。

六、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生的参与度和积极性。

2. 作业完成情况：检查学生完成的作业质量，评估学生对空间向量及其运算的理解和掌握程度。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括团队合作、问题解决能力和创新思维。

4. 课堂测试：通过课堂测试，了解学生对空间向量及其运算的掌握情况，及时发现并解决问题。

七、教学资源1. 多媒体教学课件：通过动画、图形等展示空间向量的概念和运算，增强学生的直观感受。

2. 实际例子：收集与空间向量相关的实际问题，用于引导学生运用空间向量解决实际问题。

3. 小组讨论材料：提供相关的问题和案例，供学生进行小组讨论。

4. 课堂测试卷：编写涵盖空间向量及其运算知识的测试卷，用于评估学生的学习效果。

高中数学空间向量及其运算教案1 新人教A版选修2-1

第三章空间向量与立体几何教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：+==a +b ，OAOB AB -=（指向被减向量）， =OP λa )(R ∈λ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．Ⅲ.课堂练习课本P92练习Ⅳ.课时小结平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．Ⅴ.课后作业⒈课本P106 1、2、⒉预习课本P92～P96，预习提纲：⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？教学后记：空间向量及其运算（2）一、课题：空间向量及其运算（2）二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用．四、教学过程：（一）复习：1．空间向量的概念及表示；（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或a b．平行向量。

空间向量及其运算教案讲课教案.docx

第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算教学目标：知识与技能（1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。

（2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。

过程与方法（1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。

（2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。

（3）培养学生空间向量的应用意识情感态度与价值观通过本节课的学习，让学生在掌握知识的同时，体验发现数学的乐趣，从而激发学生努力学习的动力。

教学重点：（1）空间向量的有关概念；（2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义；（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用教学难点：（ 1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。

（2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。

课堂类型：新授课教学方法：研讨、探究、启发引导教学用具：多媒体教学过程：一、创设情境（老师）：以前我们学过平面向量，请问所有的向量都是平面向量吗？比如：长方体中的过同一点的三条边上的向量（老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？（学生）：这是三个向量不共面（老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？（学生）：不能，得用空间向量（老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量精品文档板书：空间向量及其运算（老师） : 实际上空间向量我们随处可见，常见的高压电线及支架所在向量。

二、讲授新课（老师） : 接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量的知识。

（一）复习回顾平面向量的基本概念1.向量概念：在平面上既有大小又有方向的量叫向量；2.画法：用有向线段AB 画出来；3.表示方式：AB或a（用小写的字母表示）；4零向量：在平面中长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的；5.单位向量：在平面中模为 1 的向量称为单位向量；6.相反向量：在平面中长度相等，方向相反的两个向量，互称为相反向量；7.相等向量：在平面中方向相同且模相等的向量称为相等向量；（二）空间向量的基本概念（老师）：其实空间向量就是把向量放到空间中了，请同学们给空间向量下个定义，（学生）在空间中，既有大小又有方向的量（老师）：非常好，请大家类比平面向量得到空间向量的其他相关定义（提问学生）（学生）回答向量概念、画法、 .表示方式及零向量（零向量的方向是任意的）、单位向量、相反向量、相等向量的概念。

空间向量及其运算(优质课)教案

空间向量及其运算（优质课）教案教学目标：1 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.教学过程：1．空间向量的有关概念(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb ．(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).规律方法：1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例用OA→，OB→，OC→表示OG→，MG→等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．(2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和．3.数量积的应用：(1)求夹角，设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|，进而可求两异面直线所成的角；(2)求长度(距离)，运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；(3)解决垂直问题，利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．类型一空间向量的线性运算例１：如图3-1-6,已知平行六面体ABCD A B C D''''-.求证:2.AC AB AD AC'''++=【解析】:由于在平行六面体中,每个面都是平行四边形,故可结合空间向量加法的平行四边形法则进行向量的运算,从而证明结论.【答案】∵平行六面体的六个面均为平行四边形,,,AC AB AD AB AB AA ''∴=+=+.AD AD AA ''=+∴AC AB AD ''++()()()AB AD AB AA AD AA ''=+++++ 2().AB AD AA '=++又∵,,AA CC AD BC ''==,AB AD AA AB BC CC AC CC AC ''''∴++=++=+=2.AC AB AD AC '''∴++=练习１：如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA →1＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：AP →,A 1N →【答案】(1)AP →=a+c+2b ；(2)A 1N →=-a+b+2c练习2：【2015高考新课标2，理13】设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12类型二共线定理、共面定理的应用例2：射线AB 、AC 、AD 不共面,连结BC 、CD 、DB ,取AB 、BC 、CD 、DA 的中点E 、F 、G 、H ,如图3-1-20,试判断四边形EFGH 的图形形状,并用向量的方法证明.【答案】解法1:四边形EFGH 是平行四边形. ∵1()2EH EA AH BA AD =+=+=111,(),222BD FG FC CG BC CD BD =+=+=.EH FG ∴=∵E 点不在FG 上,∴EH ∥FG ,且EH =FG ,∴四边形EFGH 是平行四边形. 解法2:∵11(),22HG HD DG AD DC AC =+=+= 11(),22EF EB BF AB BC AC =+=+=∴.HG EF =又H 点不在EF 上, ∴HG ∥EF ,且HG =EF .∴四边形EFGH 是平行四边形.练习1：【2015江苏高考，6】已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-,若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,),则n m -的值为______.【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 【答案】3-类型三空间向量数量积的应用例3：已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．【解析】（1）设AB =p,AC =q ，AD =r.由题意可知：|p|=|q|=|r|=a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°.MN=AN -AM =12（AC +AD ）-12AB =12（q+r-p ）， ∴MN·AB =12（q+r-p ）·p =12（q ·p+r ·p-p 2）=12（a 2·cos60°+a 2·cos60°-a 2）=0. ∴MN ⊥AB,同理可证MN ⊥CD.（2）由（1）可知MN=12（q+r-p ） ∴|MN |2=MN 2=14（q+r-p ）2=14［q 2+r 2+p 2+2（q ·r-p ·q-r ·p ）］=14[a 2+a 2+a 2+2（22a -22a -22a ）=14×2a 2=22a . ∴|MN|=22a,∴MN 的长为22a. (3)解设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r)，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ， ∴AN →·MC →＝12(q ＋r)·(q －12p) ＝12(q2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p)＝12(a 2－12a 2cos60°＋a 2cos60°－12a 2cos60°)＝22a . 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝22a . ∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.【答案】（1）见解析（2）MN a.（3）异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23练习1：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.求BD →1与AC →夹角的余弦值．【答案】设AB =a,AD =b.1AA =cBD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1. ∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→|·|AC →|＝66.1．（2014·广东卷）已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1，1，0) B ．(1，－1，0)C ．(0，－1，1)D ．(－1，0，1)【答案】B 2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A3.在空间直角坐标系中，A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直【答案】B4.O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断【答案】B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固（1）1．已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143C.145D ．2【答案】D2.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B.12a 2C.14a 2 D.34a 2 【答案】C3．若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ，且λμ≠0)，则( ) A ．c ∥d B ．c ⊥dC ．c 不平行于d ，c 也不垂直于dD ．以上三种情况均有可能【答案】B4．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4，2，3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是( )A ．(4，0，3)B ．(3，1，3)C ．(1，2，3)D ．(2，1，3)【答案】B5.已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．【答案】60°6.已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于________．【答案】657能力提升（2）7.在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．【答案】111244a b c ++ 8.A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．【答案】锐角9.已知空间中三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c . (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．【答案】解 (1)∵c ∥BC →，BC →＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)， ∴c ＝mBC →＝m (－2，－1，2)＝(－2m ，－m ，2m )， ∴|c |＝（－2m ）2＋（－m ）2＋（2m ）2＝3|m |＝3， ∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1，2)或(2，1，－2)． (2)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)， ∴a ·b ＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又∵|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝（－1）2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。

教案)空间向量及其运算

教案)空间向量及其运算一、教学目标1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的基本性质。

2. 学会空间向量的表示方法，能够熟练地在坐标系中表示和计算空间向量。

3. 理解空间向量的运算规则，包括加法、减法、数乘和点乘。

4. 能够运用空间向量的运算解决实际问题。

二、教学内容1. 空间向量的概念：向量的定义、大小、方向。

2. 空间向量的表示方法：坐标表示、图形表示。

3. 空间向量的运算规则：a. 加法：三角形法则、平行四边形法则。

b. 减法：向量的减法等于加法的相反向量。

c. 数乘：数乘向量的概念、运算规则。

d. 点乘：点乘的定义、运算规则、几何意义。

三、教学重点与难点1. 教学重点：a. 空间向量的概念及其基本性质。

b. 空间向量的表示方法。

c. 空间向量的运算规则。

2. 教学难点：a. 空间向量的运算规则的理解与应用。

b. 空间向量在实际问题中的应用。

四、教学方法与手段1. 教学方法：a. 采用讲授法，讲解空间向量的概念、性质和运算规则。

b. 采用示例法，展示空间向量的运算过程和应用实例。

c. 采用练习法，让学生通过练习巩固空间向量的知识。

2. 教学手段：a. 使用多媒体课件，展示空间向量的图形和运算过程。

b. 使用黑板和粉笔，绘图和演算空间向量的运算。

五、教学安排1课时教案)空间向量及其运算六、教学过程1. 导入：通过简单的二维向量例子，引导学生思考空间向量的概念。

2. 新课：讲解空间向量的定义、性质，以及各种表示方法。

3. 示范：展示空间向量的加法、减法、数乘和点乘运算，并用多媒体课件演示运算过程。

4. 练习：让学生在多媒体课件上进行空间向量的运算练习，巩固所学知识。

5. 应用：举例说明空间向量在实际问题中的应用，如物体运动、空间几何等。

七、教学反思课后，教师应认真反思本节课的教学效果，包括学生的课堂表现、教学内容的掌握程度等。

针对存在的问题，调整教学方法，为下一节课的教学做好准备。

八、课后作业1. 复习空间向量的概念、性质和运算规则。

高中高三数学《空间向量及其应用》教案、教学设计

（三）学生小组讨论，500字
1.教学活动设计：将学生分成若干小组，针对空间向量相关知识，设计具有挑战性的问题，让学生进行小组讨论。
2.教学内容：
-设计问题：如空间向量的线性组合、线性相关性的判断等；
-小组讨论：学生在小组内部分享观点，共同探讨解决问题的方法。
3.教师引导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，关注学生的讨论进展，适时给予提示和建议。
-学生自主总结：让学生用自己的语言描述空间向量的概念、坐标表示、线性运算等。
3.教师引导：引导学生从知识、方法和情感等方面进行总结，提升学生的综合素质。
4.学生参与：学生积极参与总结过程，分享自己的学习心得和感悟，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固学生对空间向量的理解，提升学生的解题能力，特布置以下作业：
作业要求：
1.学生需认真对待每一次作业，确保作业质量；
2.提交作业前，相互检查，确保答案正确，书写规范；
3.教师将对作业进行认真批改，并及时给予反馈，学生应认真对待教师的评价和建议；
4.鼓励学生在完成作业的过程中，积极思考、探索，形成自己的解题思路和方法。
2.增强学生解决问题的信心，让学生在面对复杂问题时，能够运用所学知识进行分析、求解；
3.培养学生良好的学习习惯，如预习、复习、总结等，提高学习效率；
4.培养学生的团队合作精神，使学生认识到团队合作的重要性，学会与他人共同解决问题。
二、学情分析
本章节面向的是高中三年级学生，他们在前两年的数学学习中，已经掌握了平面向量的基本概念与运算，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。在此基础上，学生对空间向量的学习具备以下特点：
4.学生参与：让学生观察三维坐标系，尝试用自己的语言描述空间向量的特点。在此基础上，引导学生讨论空间向量在现实生活中的应用。

高中高三数学《空间向量》教案、教学设计

2.通过小组合作、讨论交流，培养学生团队协作能力和解决问题的方法。
3.运用案例教学法，结合实际生活中的空间几何问题，激发学生学习兴趣，提高学生运用空间向量解决实际问题的能力。
4.引导学生运用数形结合思想，将空间向量与空间几何图形相结合，培养学生直观想象和逻辑思维能力。
5.设计丰富的课堂练习，让学生在实际操作中掌握空间向量的运算方法和技巧。
-已知空间向量$\vec{a} = (1, 2, 3)$和$\vec{b} = (4, 5, 6)$，求向量$\vec{a} + \vec{b}$、$\vec{a} - \vec{b}$和$3\vec{a} - 2\vec{b}$的坐标表示。
-设点A(2, 3, 4)和点B(5, 6, 7)，向量$\vec{v} = (x, y, z)$，若$\vec{v}$与向量$\vec{AB}$垂直，求$\vec{v}$的坐标。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生探索空间几何问题的热情。
2.培养学生严谨求实的科学态度，让学生在解决问题的过程中，体验数学的简洁美和逻辑美。
3.培养学生勇于挑战困难、克服挫折的精神，增强自信心。
4.引导学生认识到数学知识在科学技术、生产生活中的重要应用，增强学生的社会责任感和使命感。
（二）教学设想
1.针对教学重点和难点，采用以下教学策略：
-通过引入生动的实际案例，激发学生学习兴趣，引导学生从二维空间向三维空间过渡；
-采用多媒体教学手段，如动画、模型等，帮助学生建立空间想象力，降低学习难度；
-设计层次分明的教学活动，逐步引导学生掌握空间向量的性质、运算和应用；
-加强课堂练习，及时反馈，针对学生的错误进行有针对性的指导。
2.教学过程设想：

3.1空间向量及其运算教学设计教案

3.1空间向量及其运算教学设计教案第一篇：3.1空间向量及其运算教学设计教案教学准备1.教学目标（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。

2.教学重点/难点【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用3.教学用具多媒体4.标签3.1.1空间向量及其加减运算教学过程课堂小结 1．空间向量的概念： 2．空间向量的加减运算课后习题第二篇：3.1空间向量及其运算教学设计教案教学准备1.教学目标1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。

2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。

3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。

2.教学重点/难点重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；难点：理解空间向量基本定理；3.教学用具多媒体设备4.标签教学过程教学过程设计（一）.复习引入1、共线向量定理：2、共面向量定理：3、平面向量基本定理：4、平面向量的正交分解：（二）、新课探究：探究一.空间向量基本定理2、空间向量基本定理3、注意：对于基底{a,b,c},除了应知道向量a,b,c不共面，还应明确（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量。

（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。

《空间向量及其运算》示范公开课教学设计【高中数学人教版】

《空间向量及其运算》教学设计1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．重点：理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；难点：掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式． (一)复习：空间向量的概念及表示； (二)新课讲解：1．共线(平行)向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.读作：a 平行于b ，记作：//a b ．2．共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠的充要条件是存在实数λ，使a b λ=(λ唯一)．推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA t AB =+①，其中向量a 叫做直线l 的方向向量.在l 上取AB a =，则①式可化为OP OA t AB =+或(1)OP t OA tOB =-+② 当12t =时，点P 是线段AB 的中点，此时1()2OP OA OB =+③ ①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式．3．向量与平面平行：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+．推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++① 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式．(三)例题分析：al PBA O例1．已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++，试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？解：由题意：522OP OA OB OC =++，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-，∴22AP PB PC =+，即22PA PB PC =--，所以，点P 与,,A B C 共面．说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．【练习】：对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式OP xOA yOB zOC =++ (其中1x y z ++=)的四点,,,P A B C 是否共面？解：∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++，∴()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-，∴AP yAB zAC =+，∴点P 与点,,A B C 共面．例2．已知ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ====，(1)求证：四点,,,E F G H 共面；(2)平面AC //平面EG ．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+，∵EG OG OE =-，()()()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OEEF EH=⋅-⋅=-==+=-+-=-+-=+∴,,,E F G H 共面；(2)∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅，又∵EG k AC =⋅，∴//,//EF AB EG AC所以，平面//AC 平面EG ．五、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．六、作业： E1．已知两个非零向量21,e e 不共线，如果21AB e e =+，2128AC e e =+，2133AD e e =-，求证：,,,A B C D 共面．2．已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，0a ≠，若//a b ，求实数,x y 的值.。

教学设计5：8.6 空间向量及其运算

8.6 空间向量及其运算[知识回顾]一、空间向量及其有关概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.空间向量基本定理(1)定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c．(2)推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使OP＝x OA＋y OB＋z OC且x＋y＋z＝1.二、数量积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.2．向量的坐标运算a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)垂直a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0公式cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23三、平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．(2)在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一的．[高频考点]考点一空间向量的线性运算典题导入[例1] 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中G 为△A 1BD 的重心，设AB ＝a ， AD ＝b ，1AA ＝c ，试用a ，b ，c 表示1AC ，AG .本例条件不变，设A 1C 1与B 1D 1交点为M ，试用a ，b ，c 表示MG .由题悟法用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则．以题试法1.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，若OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则x ，y ，z 的值分别为________．考点二共线、共面向量定理的应用典题导入[例2]如图，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，E、F、G、H分别是棱A′D′、D′C′、C′C和AB的中点，求证E、F、G、H四点共面．由题悟法应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PA＝λPB且同过点P MP＝x MA＋y MB对空间任一点O，OP＝OA→＋t AB 对空间任一点O，OP＝OM＋x MA＋y MB对空间任一点O，OP＝x OA＋(1－x) OB对空间任一点O，OP＝x OM＋y OA＋(1－x－y) OB以题试法2.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法，求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.考点三利用空间向量证明平行或垂直典题导入[例3]已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，边长为2a，AD ＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.由题悟法利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．(1)设直线l1的方向向量v1＝(a1，b1，c1)，l2的方向向量v2＝(a2，b2，c2)．则l1∥l2⇔v1∥v2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)设直线l的方向向量为v＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔v ⊥n⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.l⊥α⇔v∥n⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．(3)设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2，α⊥β⇔n1⊥n2.以题试法3．如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC 与BD的交点，BB1＝2，M是线段B1D1的中点．(1)求证：BM∥平面D1AC；(2)求证：D1O⊥平面AB1C.[方法总结]1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．2．直线的方向向量与平面的法向量的确定：(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB 为直线l 的方向向量，与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.答案[例1]【答案】 1AC ＝AB ＋BC ＋1CC ＝AB ＋AD ＋1AA ＝a ＋b ＋c .AG ＝1AA ＋1A G＝1AA ＋13(1A D ＋1A B )＝1AA ＋13(AD －1AA )＋13(AB －1AA )＝131AA ＋13AD ＋13AB ＝13a ＋13b ＋13c .解：如图，MG ＝1MA ＋1A G＝－12(11A B ＋11A D )＋13(1A D ＋1A B )＝－12a －12b ＋13(AD －1AA )＋13(AB －1AA )＝－12a －12b ＋13b －13c ＋13a －13c＝－16a －16b －23c1.【解析】∵OG ＝OM ＋MG ＝12OA ＋23MN＝12OA ＋23(ON －OM ) ＝12OA ＋23ON －23OM ＝12OA ＋23×12(OB ＋OC )－23×12OA ＝16OA ＋13OB ＋13OC ∴x ，y ，z 的值分别为16，13，13.【答案】16，13，13[例2]【答案】取ED '＝a ，EF ＝b ，EH ＝c ，则HG ＝HB ＋BC ＋CG ＝D F '＋2ED '＋12AA '＝b －a ＋2a ＋12(AH ＋HE ＋EA ')＝b ＋a ＋12(b －a －c －a )＝32b －12c ，∴HG 与b 、c 共面．即E 、F 、G 、H 四点共面． 2.证明：(1)连接BG ，则EG ＝EB ＋BG ＝EB ＋12(BC ＋BD )＝EB ＋BF ＋EH ＝EF ＋EH ，由共面向量定理知： E 、F 、G 、H 四点共面． (2)因为EH ＝AH －AE＝12AD －12AB ＝12(AD －AB )＝12BD ，又因为E 、H 、B 、D 四点不共线，所以EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH . [例3]【答案】依题意，以AC 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为z 轴，过点A 且垂直于AC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．∵F 为CD 的中点，∴F ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.(1)易知，AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，BE ＝(a ，3a ，a )，BC ＝(2a,0，－a )，∵AF ＝12(BE ＋BC )，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)∵AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，CD ＝(－a ，3a,0)，ED ＝(0,0，－2a )，∴AF ·CD ＝0，AF ·ED ＝0，∴AF ⊥CD ，AF ⊥ED ，即AF ⊥CD ，AF ⊥ED . 又CD ∩ED ＝D ，∴AF ⊥平面CDE .又AF ∥平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE . 3．证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)、D 1(0,0，2)， ∴1OD ＝(－1，－1，2)，又点B (2,2,0)，M (1,1，2)， ∴BM ＝(－1，－1，2)， ∴1OD ＝BM ，又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连接OB 1.∵1OD ·1OB ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD ·AC ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴1OD ⊥1OB ，1OD ⊥AC ，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ，又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C .。

空间向量及其运算教案

空间向量及其运算教案教案：空间向量及其运算一、教学目标：1.理解空间向量的概念和性质；2.掌握空间向量的表示方法；3.熟练运用空间向量的运算法则。

二、教学内容：1.空间向量的定义和性质；2.空间向量的表示方法；3.空间向量的加法和减法；4.空间向量的数量积；5.空间向量的叉乘。

三、教学过程：Step 1：导入新知引入概念：向量和向量的运算在平面内已经学过了，那么在空间内是否也存在向量及其运算呢？提问：你了解什么是向量吗？向量有哪些运算法则呢？Step 2：学习空间向量的定义和性质1.向量的定义：在空间内，有大小和方向的量称为向量。

2.空间向量的性质：大小、方向、共面性和平行性。

Step 3：了解空间向量的表示方法1.简化表示法：直接用字母表示向量，如AB表示向量AB。

2.分解表示法：将向量投影到坐标轴上表示，如向量AB表示为(ABx,ABy,ABz)。

Step 4：学习空间向量的加法和减法1.加法法则：两个向量的加法满足三角形法则，即将两个向量首尾相连形成一个三角形，用第三边表示结果向量。

2.减法法则：向量AB减去向量AC等于从A点沿CA的方向和大小移动到B点。

Step 5：了解空间向量的数量积1.定义：向量的数量积是两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦的乘积。

2. 计算方法：A·B = ，A，，B，cosθ，其中，A，和，B，分别表示向量A和向量B的模，θ表示夹角。

Step 6：学习空间向量的叉乘1.定义：向量的叉乘是一种运算，它的结果是一个向量。

2. 计算方法：A×B = ，A，，B，sinθ n，其中，A，和，B，分别表示向量A和向量B的模，θ表示夹角，n表示垂直于A和B所在平面的单位向量。

Step 7：练习和巩固提供一些实际问题，让学生运用所学知识解决。

四、教学总结：1.复习空间向量的定义和性质；2.梳理空间向量的表示方法；3.总结空间向量的运算法则。

五、课后作业：1.完成教材上相应的习题；2.总结空间向量的运算法则。

空间向量及其运算教案

第三章空间向量与立体几何3、1 空间向量及其运算3、1、1 空间向量及其加减运算教学目标：知识与技能（1）通过本章得学习，使学生理解空间向量得有关概念。

（2）掌握空间向量得加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算得理解。

过程与方法（1）培养学生得类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。

（2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律得意义。

（3）培养学生空间向量得应用意识情感态度与价值观通过本节课得学习，让学生在掌握知识得同时，体验发现数学得乐趣，从而激发学生努力学习得动力。

教学重点：（1）空间向量得有关概念；（2）空间向量得加减运算及其运算律、几何意义；（3）空间向量得加减运算在空间几何体中得应用教学难点：（1）空间想象能力得培养，思想方法得理解与应用。

（2）空间向量得加减运算及其几何得应用与理解。

课堂类型：新授课教学方法：研讨、探究、启发引导教学用具：多媒体教学过程：一、创设情境（老师）：以前我们学过平面向量，请问所有得向量都就是平面向量吗？比如：长方体中得过同一点得三条边上得向量（老师）：这三个向量与以前我们学过得向量有什么不同？（学生）：这就是三个向量不共面（老师）：不共面得向量问题能直接用平面向量来解决么？（学生）：不能，得用空间向量（老师）：就是得，解决这类问题需要空间向量得知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算（老师）:实际上空间向量我们随处可见，常见得高压电线及支架所在向量。

二、讲授新课（老师）:接下来我们我们就来研究空间向量得知识、概念与特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比得方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量得知识。

（一）复习回顾平面向量得基本概念1、向量概念：在平面上既有大小又有方向得量叫向量；2、画法：用有向线段AB画出来；3、表示方式：AB或a（用小写得字母表示）；4零向量：在平面中长度为零得向量叫做零向量，零向量得方向就是任意得；5、单位向量：在平面中模为1得向量称为单位向量；6、相反向量：在平面中长度相等，方向相反得两个向量，互称为相反向量；7、相等向量：在平面中方向相同且模相等得向量称为相等向量；（二）空间向量得基本概念（老师）：其实空间向量就就是把向量放到空间中了，请同学们给空间向量下个定义，（学生）在空间中，既有大小又有方向得量（老师）：非常好，请大家类比平面向量得到空间向量得其她相关定义（提问学生）（学生）回答向量概念、画法、、表示方式及零向量（零向量得方向就是任意得）、单位向量、相反向量、相等向量得概念。

《空间向量及其运算》第二课时示范公开课教学设计【高中数学】

《空间向量及其运算》教学设计第二课时◆教学目标（1）掌握两个向量数量积的概念、性质及运算律．提升学生的数学抽象、逻辑推理素养.（2）学生重点掌握利用向量的方法求立体几何中的平行、垂直、夹角及长度问题的方法，提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象素养．◆教学重难点◆教学重点：熟练掌握空间向量的数量积的计算方法．教学难点：利用向量的方法解决简单的立体几何问题．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第8页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节主要研究空间向量的数量积（2）通过第一课时空间向量的概念及空间向量的加法、减法、数乘向量等运算的学习，让学生认识了空间向量，本节延续上一节的要求，开始空间向量的数量积的运算，为后面学习空间向量的坐标表示等打好基础，做好铺垫．设计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知1、形成定义平面内两个非零向量a ，b ，任意在平面内选定一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则大小在[0,] 内的∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角.问题2：观察上述平面向量夹角的概念，思考空间中两个非零向量的夹角该如何定义，并尝试总结两者的不同之处.师生活动：通过学生学过的物理知识自行解决问题，教师给出引导性话语，引出本节主题．预设的答案：由于空间中任意两个向量都一定是共面的，因此，空间两个非零向量的夹角也可以按照上述的方式进行定义.但“任意在平面内选定一点”应改成“任意在空间内选定一点”．特别地，如果<a ，b >=ð2时，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b.（板书：空间向量的数量积）设计意图：引导学生通过回顾平面内两个非零向量的夹角定义类比得出空间中两个非零向量的夹角定义,发现二者的不同之处只是将“平面内”更换为“空间中”借此让学生学会用发展的眼光看问题,用联系的观点看待事物.同时,进一步培养学生直观想象的核心素养．教师讲解：关于空间中两个非零向量之间的夹角,需要提醒学生注意以下几点：(1)由定义可知两非零向量,a b 的夹角<,a b >与向量的大小无关,只与方向有关.两非零向量,a b 的夹角<,a b >的取值范围是[0,π].(2)必须将两非零向量平移到同一始点,才能确定其夹角.显然<,a b >=<,b a >. (3)防止将<,a b >与表示点的符号(,a b )混淆. (4)若<,a b >=2π,则称,a b 互相垂直,记作⊥a b .此时,a b 所在的两条直线可能是相交垂直,也可能是异面垂直.约定0⊥a .当,0〈〉=a b 时,向量,a b 同向;当,π〈〉=a b 时,向量,a b 反向(5)两非零向量,a b 所在的两条直线可能是共面直线,也可能是异面直线两条异面直线的夹角θ的取值范围是(0,]2π,当,〈〉a b 为锐角或直角时,则有,θ=〈〉a b ,当,〈〉a b 为钝角时,则有,θπ=-〈〉a b三、初步应用例4 如图1-1-11所示是一个正方体，求下列各对向量的夹角:（1）AB 与11AC ；（2）AB 与11C A ；（3）AB 与11A D ；（4）AB 与11B A ；师生活动：学生自己根据所学内容得出结论，教师帮助解答．预设的答案：（1）11,,〈〉=〈〉=AB AC AB AC 45°（2）11,,〈〉=〈〉=AB C A AB CA 135°（3）11,,〈〉=〈〉=AB A D AB AD 90°（4）11,,〈〉=〈〉=AB B A AB BA 180°练习：如图所示,在正六边形ABCDEF 中,求下列各对向量的夹角: （1）AB 与BC ;(2)AB 与CD ;(3)AB 与DE ; (4) AB 与EF ;(5)AB 与FA ;(6)AB 与BE ;预设的答案：（1）60°（2）120°(3)180°（4）120°（5）60°（6）120°设计意图：通过对两个向量夹角的表示形式进行转换,达到“化陌生为熟悉”“化未知为已知”,进而帮助学生加深理解转化与化归的数学思想.问题3：类比平面向量的数量积，能否说出空间向量的数量积的定义及的几何意义？师生活动：学生自己写出自己理解的结论，教师给出答案．预设的答案：两个非零向量a 与b 的数量积(也称为内积)定义为||||cos ,⋅=〈〉a b a b a b 而且,两个向量数量积的几何意义与投影有关, 如图所示,过a 的始点和终点分别向b 所在的直线作垂线,即可得到向量a 在向量b 上的投影a ,a 与b 的数量积等于a 在b 上的投影a 的数量与b 的长度的乘积特别地,a 与单位向量e 的数量积等于a 在e 上的投影，a 的数量.规定零向量与任意向量的数量积为0.同样,空间中向量的数量积也是按上述方式定义的,而且空间向量的数量积也具有类似的性质．不过,空间向量a 在向量b 上的投影'a ，除了按照上述方式得到之外,还可以过a 的始点和终点分别作与b 所在直线垂直的平面得到这可以从图所示的长方体中看出来,其中向b a ⋅b a ⋅量b 在棱AB 上,a =''A C ,因为''=AC A C ,BC⊥AB,所以a 在向量b 上的投影'=a AB ,一般地,给定空间向量a 和空间中的直线l(或平面α),过a 的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线，假设垂足为A,B 则向量AB 称为a 在直线l(或平面α)上的投影．设计意图：视学生的情况,从平面向量的有关知识引导到空间向量的相关知识,这样可以开阔学生的学习思路,提高学习兴趣．问题4：请你类比平面向量说出空间向量的数量积有哪些性质．师生活动：学生同桌讨论并给出答案，教师给出正确答案，学生自纠．预设的答案：（1）⊥a b ⟺ a b =0；（2）a b =|a |2=a 2；（3）|a b |≤|a ||b |；（4）(λa )⋅b =λ()；（5）a b =b a （交换律）；（6）（+a b )⋅c =⋅a c +⋅b c (分配律）；设计意图：通过平面向量的性质总结空间向量的一些性质和结论，为以后运算做好铺垫．问题5：尝试证明（+a b )⋅c =a c +b c (分配律）？师生活动：学生自行思考并给出答案，教师给出正确答案．预设的答案：当a ，b ，c 共面时，根据平面向量数量积的性质可知，结论成立. 当a ，b ，c 不共面时，显然|c |≠0，设 c 0 =||cc ,即c 0是与c 同向的单位向量，如图1-1-14所示，b a ⋅b a ⋅设''''-ABCD A B C D 是一个长方体．点O 与c 0都在直线AB 上，且OA '= a ， A C ''=b ，因此a 在c 0 上的投影为a ，=OA ，b 在c 0 上的投影为b ，=AB ，且''''=+OC OA A C =a+b . a+b 在c 0上的投影为OB .注意到OB =+OA AB =a ，+b ，.这就说明( a+b )·c 0= a·c 0+b·c 0，在这个式子两边同时乘以|c |，即可知（a+b )·c =a·c+b·c .设计意图：通过对空间向量分配律的推导及证明，增强学生的逻辑推理素养，为以后学习打好基础．例 5 如图所示的长方体''''-ABCD A B C D 中，E 是'AA 的中点，'2,4===AA AD AB ,求：(1)';(2)'BC AE B D AE师生活动：学生根据所学尝试自己解答，由老师指定学生回答．预设的答案：(1)因为是长方体，而且'2==AA AD ，所以1',''45,||'12〈〉=∠===BC AE B BC AE AA ,|'|'==BC BC '|'|||cos ',2=〈〉=BC AE BC AE BC AE设计意图：通过例题的设置，加深公式的理解和应用．巩固练习1、已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算： (1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→；(3)EF →·FC 1→.预设的答案：解如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. (1)BC →·ED 1→＝b ·[12(c －a )＋b ]＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝⎝⎛⎭⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0. (3)EF →·FC 1→＝⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋12b ·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝－12|a |2＋14|b |2＝2.设计意图：通过巩固训练的设置，加深公式的理解和应用。

空间向量及其运算教案

空间向量及其运算教案
《空间向量及其运算教案》
嘿呀，同学们，今天咱来讲讲这个超有趣的空间向量及其运算呀！
就说有一次我在商场里逛街，看到一个巨大的摩天轮，哇，那可真是壮观呐！我就在想啊，这摩天轮的每个座舱的位置不就可以用空间向量来表示嘛。

你看哈，它有上下的高度，有左右的方向，还有前后的位置，这可不就是一个三维的空间向量嘛！然后呢，我又想到如果这个摩天轮要转动，那它每个座舱的向量不就会发生变化啦，这就是空间向量的运算呀。

比如说，座舱从这个位置转到了另一个位置，它的向量的各个分量都变了，就像我们在学习空间向量的加法、减法、数乘这些运算一样。

咱可以通过这些运算来精确地知道座舱移动后的位置呢。

哎呀，我越想越觉得空间向量真的是太有意思啦！就像这个摩天轮一样，看似很复杂，但其实用空间向量就能很好地理解和描述它。

所以呀，同学们，咱们可得好好学这空间向量及其运算哦，以后说不定还能用来设计更酷的游乐设施呢！哈哈！
好啦，这就是我今天要给大家讲的空间向量及其运算，希望大家能像我看到摩天轮那样，对空间向量充满兴趣，好好去探索和学习哟！。

《空间向量及其运算》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】

《空间向量及其运算》教学设计◆教学目标1、了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共面向量等概念．提升学生的数学运算、逻辑推理素养；.2、会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算律．提高运算、抽象、推理等数学思维能力．◆教学重难点◆教学重点：熟练掌握空间向量的加法、减法、数乘的计算方法.教学难点：利用空间向量的加法、减法、数乘的计算方法解决简单的问题.◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第2页，回答下列问题：（1）本章将要研究哪类问题？（2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？（3）本章研究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本章内容共分为空间向量及其运算和空间向量在立体几何中的应用两大部分.第一部分空间向量及其运算,包含空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量的坐标与空间直角坐标系三小节内容.第二部分空间向量在立体几何中的应用包含五小节内容.首先将立体几何中的基本研究对象空间中的点、直线和平面用空间向量表示,然后把点、线、面的位置关系和向量运算建立联系,通过向量运算研究平行、垂直、角和距离等位置和数量关系．（2）本章是“几何与代数”这条内容主线在选择性必修部分的承接.空间向量的引入,为解决三维空间中的图形的位置关系和度量关系提供了一个十分有效的工具.在本章中,学生将在学习平面向量的基础上,把平面向量及其运算推广到空间,运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题,体会向量方法在研究几何图形中的作用,进一步发展学生的直观想象、数学运算的核心素养．（3）本章的起点是空间向量的概念，通过学生已经学习过的平面向量的概念，通过例题说明向量源于实际并应用于实际，这符合学生的认知规律，在实际教学中，要利用学生的生活经验以及他们学过的其他学科，创设丰富的情景，使学生进一步理解空间向量概念的实质，激发学生的学习兴趣,引导学生用数学眼光观察世界,用数学思维思考世界,用数学语言表达世界．设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知1、复习概念问题2：我们在必修第二册第六章中曾经学习过平面向量的相关概念，请同学们回忆平面向量的相关概念．（板书：空间向量及其运算）师生活动：在教师的指导下共同回忆平面向量的相关概念．教师讲解：①在平面内，既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)．②向量的大小也称为向量的模(或长度)．③可以用有向线段来直观地表示向量,其中有向线段的长度表示向量的大小,有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.有向线段不带箭头的端点称为向量的始点(或起点),带箭头的端点称为向量的终点.④有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向.始点为A，终点为B的向量,记为AB,向量的模用|AB|表示,还可用一个小写字母来表示向量:在印刷时,通常用加粗的斜a b c来表示向量.此时,向体小写字母如a,b,c来表示向量;在书写时,用带箭头的小写字母如,,量a的模也用|a|或|a|来表示．⑤始点和终点相同的向量称为零向量,零向量的方向是不确定的.零向量在印刷时,通常用0表示;书写时,用0表示.零向量的模为|0|,即|0|=0.⑥模等于1的向量称为单位向量.因此,e是单位向量的充要条件是|e|=1.a b.⑦大小相等、方向相同的向量称为相等的向量.向量a和b相等,记作⑧如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意a b,两个向量平行也称为两个向量共线.向量平行.两个向量a和b平行,记作//设计意图：通过复习,引导学生把握数学内容的本质,使学生对平面向量的相关概念加深理解,为下面学习空间向量的相关概念打下坚实的基础.2、形成定义观察上述平面向量的有关概念,思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能,尝试说出推广后的不同之处;如果不能,说明理由．师生活动：通过类比，学生自己得出空间向量的概念．教师讲解：只要去掉“在平面内”的限定，就都可以原封不动地推广到空间中，因此，我们仍使用上述向量的概念与约定如下.（1）空间向量①空间向量的定义在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．②空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.③特殊向量不同之处：空间中的向量，除了共线之外，我们还要讨论共面的情形.一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面.设计意图：通过回顾平面向量的相关概念可以知道,对于一个向量,只要不改变它的大小和方向,是可以任意平行移动的.不过平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间中的平移.提高学生的逻辑推理素养．问题3：如图1-1-2，请指出下列各组向量的位置关系.（1）1AA ，1DD ；（2）1AA ，11B C ；（3）1AA ，1DD ，11B C ；（4）1AA ，AD ，AB ；师生活动：学生观察图，自己写出答案，教师给出答案．预设的答案：（1）共线向量；（2）不共线向量，但是共面向量；（3）共面向量；（4）不共面向量.设计意图：充分体会空间向量的方向和模的大小，强化概念理解．问题4:回忆平面向量的加法运算，思考如何定义空间向量的加法，并尝试总结空间向量加法运算与平面向量加法运算有何不同？师生活动：学生根据平面向量的加法运算给出空间向量的加法运算．教师讲解：我们知道,给定两个平面向量,a b ,在该平面内任取一点A ,作,==AB a BC b ,作出向量AC ,则AC 是向量,a b 的和(也称AC 为向量,a b 的和向量).向量,a b 的和向量记作+a b ,因此+=AB BC AC .当平面向量,a b 不共线时,,a b ,+a b 正好能构成一个三角形,如图1-1-4所示,因此这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则.因为空间中的任意两个向量都共面，所以空间中两个向量的和，除了A 点可以在空间中任意选定之外，其他的与平面情形完全一样.特别地，向量加法的三角形法则和平行四边形法则在空间中也成立.空间向量的加法也可用平行四边形法则:任意给定两个不共线的向量,a b ,在空间中任取一点A ,作,==AB a AC b ,以AB ,AC 为邻边作个平行四边形ABDC ,作出向量AD ,则=+AD AB AC .问题5：如图1-1-5所示的长方体1111-ABCD A BC D 中，求下列向量的和．（1）111+AA B C (2)1++AB AD AA师生活动：学生根据空间向量的加法运算进行计算．预设的答案：（1）1111111+=+=AA BC AA AD AD (2)111++=+=AB AD AA AC AA AC设计意图：通过具体实例加强对平行四边形法则或者三角形法则的理解和应用．问题6：向量加法的运算法则(1)交换律 a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．它们在空间中是否成立呢？尝试证明结合律．预设的答案：如图可知，两个运算法则均成立.如图1-1-6，其中，,,===AB a BC b CO c ，而且，a ,=+=+AC AB BC bb ,=+=+BO BC COc 所以，(a )c,=+=++AO AC CO b(b ),=+=++AO AB BO a c 因此，()()++=++a b c a b c设计意图：通过对空间向量的加法交换律、结合律的推理论证,让学生知晓平面向量的加法交换律、结合律在空间依然成立,进一步培养学生的逻辑推理能力,促使学生提升数形结合的能力,发展几何直观和空间想象能力,使学生增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识,进一步形成数学直观,能在具体的情境中感悟事物的本质.三、初步应用例 1 如图1-1-7中所示是一个平行六面体1111-ABCD A BC D ，化简1++DA DC DD师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：因为底面ABCD 是一个平行四边形，所以,+=DA DC DB 又因为11=DD BB ,因此，111++=+=DA DC DD DB BB DB设计意图：例1旨在说明,三个不共面的向量的和,等于以这三个向量为邻边的平行六面体中,与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量.问题7：结合平面向量的差向量概念，能否给出空间向量的差向量的概念及空间向量减法的法则？师生活动：学生先回顾平面向量的减法法则，总结给出空间向量的减法法则．预设的答案：在空间中任取一点O,作,==OA a OB b,作出向量BA,则向量BA就是向量,a b的差(也称BA为向量,a b的差向量),即-=OA OB BA,当,a b不共线时,向量,a b ,-a b正好能构成一个三角形,因此这种求两向量差的作图方法称为向量减法的三角形法则.设计意图：通过类比平面向量的减法法则得出空间向量减法法则，加强学生逻辑推理素养，并进一步认识空间向量的减法运算.问题8：结合平面向量的相反向量概念，能否给出空间向量相反向量的概念？师生活动：学生先回顾平面向量的相反向量，总结给出空间向量相反向量的概念．预设的答案：同平面中的情形一样,给定一个空间向量,我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量,向量a的相反向量记作-a.因此AB的相反向量是-AB,而且-AB=BA.追问：相反向量的性质有哪些？师生活动：学生空间向量相反向量的概念给出相反向量的性质，教师总结．预设的答案：（1）零向量的始点与终点相同,所以-=0；（2）--=（）a a；（3）()();+-=-+a a a a（4）若向量,a b互为相反向量，则0,,+==-=-a b a b b a设计意图：通过相反向量的概念及性质的学习，点通向量减法和加法之间的关系，融汇知识点，使学生更加方便理解概念.问题9：结合平面向量的数乘向量，能否给出空间向量数乘向量？师生活动：学生先回顾平面向量的相反向量，总结给出空间向量相反向量的概念．预设的答案：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa，称为向量的数乘运算．（1）当λ≠0或a ≠0时，λa 的模是|λ||a|，且有①当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；②当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；（2）当λ=0或a=0时，λa=0.（3）空间向量的数乘运算满足分配律与结合律：分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb ，结合律：λ(μa )＝(λμ)a .设计意图：通过数乘向量的概念及性质的学习，清楚数乘向量的几何意义是把向量a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小．例2 ：设AB 是空间中的任意一条线段，O 是空间中任意一点，求证：M 为线段中点的充要条件是1()2=+OM OA OB 师生活动：学生根据所学知识自己证明，教师根据学生所做情况给出讲解．预设的答案：因为M 为AB 中点⇔=AM MB ,1()2⇔-=-⇔=+OM OA OB OM OM OA OB ,所以结论成立．例3：如图1-1-10所示，三棱锥A -BCD 中，O 为CD 的中点，化简1()2+-AB BC DB ，并在图中作出表示化简结果的向量.师生活动：学生根据所学知识自己证明，教师根据学生所做情况给出讲解．预设的答案： 1()21=()2+-++=+=AB BC DB AB BC BD AB BOAO四、归纳小结，布置作业问题10：（1）什么是空间向量？空间向量的模？向量的始点和终点？（2）什么是零向量、单位向量？（3）什么是相等向量？相反向量？（4）什么是数乘向量？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：（1）在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.（2）规定长度为0的向量叫零向量，记为0，模为1的向量叫单位向量．（3）方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量记为－a ．（4）实数λ与空间向量a 的乘积仍然是一个向量，记作λa ，称为向量的数乘运算．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确空间向量的概念的有关知识．布置作业：教科书第11页练习A 2, 5题．五、目标检测设计1.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( )①(＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个设计意图：考查学生对空间向量的加法运算．2.化简：(1)12(a ＋2b －3c )＋5⎝⎛⎭⎫23a －12b ＋23c ＝________； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________．设计意图：考查学生对空间向量线性运算简单应用．3．下列说法中正确的是 ( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →设计意图：考查学生对向量概念的理解．参考答案：1．D [根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→．②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→．③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→．④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→．所以，所给4个式子的运算结果都是AC 1→．]2．(1)236a －32b ＋116c (2)0 [(1)原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c ＝236a －32b ＋116c ． (2)原式＝AB →－AC →－CD →＋BD →＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0．]3．B [|a |＝|b |，说明a 与b 模长相等，但方向不确定．对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝|b |，从而B 正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB→＋AD→＝AC→，只有平行四边形才能成立．故A、C、D均不正确．]。