浅谈对现代数学的理解

浅淡对现代数学的理解

摘要：数学作为一门基础学科，是各学科领域进行科学研究工作不可或缺的知识。随着工程技术日新月异的发展，对数学的要求愈来愈高，现代数学的观点、方法已渗透到工程技术的各个领域，要求工程技术人员不仅具备经典的数学知识和处理问题的方法，还要求了解现代数学的内容和方法。通过课程学习，大致了解现代数学基础的知识体系，发展历史。本文在课程学习基础上总结了现代数学思想方法的发展过程、研究现状以及未来发展趋势。

关键词：现代数学；特点；趋势

1 现代数学是的发展历史

纵观数学的历史发展，可以清楚的划分为初等数学、高等数学和现代数学三个阶段。从古代到十七世纪初为初等数学阶段；从十七世纪初到十九世纪末为高等数学阶段；从十九世纪末开始，数学进入了现代数学阶段。

按照传统的、经典的说法，数学是研究“显示世界的数量关系和空间形式”的科学[1,2]，或者简单地说，是研究数和形的科学。然而作为数学对象的数和形，在三个阶段里是很不相同的。在初等数学阶段，“数”是常量，“形”是孤立的、简单的几何形体。初等数学分别研究常量见的代数运算和几何形体内部以及相互间的对应关系，形成了代数和几何两大领域。

高等数学以笛卡尔(R. Descartes)建立解析几何（1637）为起点，17世纪89年代微积分的建立是这一阶段最显赫的成就和标志。在高等数学阶段，数是变量，形是曲线和曲面，高等数学研究它们之间各种函数和变换关系。这时数和形紧密的联系在起来，但大体上还是个成系统的。由于发轫与微积分的方向数学的兴起和发展，数学形成为代数、几何和分析三大领域。

现代数学阶段以康托尔（G. Cantor）建立集合论（1874）为起点。正如数学家陈省身所说：“康托尔的集合论，独创新意，高瞻远瞩，为数学立了基础。”[3]29世纪以后，用公理化体系和结构观点来通观数学，成为现代数学的明显标志，现代数学阶段的研究对象是一般的集合、各种空间和流形。它们都能用集合和映射的概念统一起来，已很难区分哪些是属于数的范畴，哪些属于形的范畴了。

二．现代数学思想

现代数学作为数学发展的新阶段，它必然在数学的固有特点（抽象性、精确可靠性、广泛应用性等）方面有所发展，这些特点相互间又是彼此联系的。

1. 高度的抽象和统一

抽象性是数学这门科学的一个最基本、最显著的特点。而现代数学更加充分、更加积极主动的发挥着这一特点。现代数学的研究对象、研究内容和研究方法，都呈现出高度的抽象和统一。

所谓抽象和统一，就是把不同对象中共同的、本质的东西抽象出来，作为高一层次的对象加以研究，从而把原来许多不同的对象统一起来，求得共同的本质的规律。一个最简单的例子就是各种算术应用问题可以用代数统一起来，掌握算术的最好的方法就是学会代数。

抽象和统一是一个完整概念的两个方面。为了统一必须抽象，有了抽象就能统一，并且还扩大了范围。集合概念是对数学所研究的各种对象的抽象概括。把一般的集合作为现代数学的研究对象，这就能把数学的个不同领域统一起来，并极大地扩大了数学的范围。例如流形是三位空间中的曲线、曲面

和区域的抽象概括，流形不仅把它们统一起来，并且推广到高维空间中。

在以前的数学发展中，抽象化的进度是比较缓慢的。只是在它对原来层次的研究已充分详尽地展开，客观上实有必要时才进入更高层次的研究。现代数学的发展状况则完全不同，抽象化的进入大大加快了。正如数学家L. Loomis所说：“现代数学的特点之一，就是当一种新的数学对象刚刚定义和讨论不多时，就立即考查全体这样对象的集合。”[4]向高一层次作抽象正是研究原来层次对象的一个重要方法。

现代数学是高度的抽象和统一，这“高度”二字的含义是指他不断地和积极主动地想更高层次做抽象，数学家们自觉地、运用自如地发挥着抽象化的特点和威力。

以代数学科的发展为例：算术的发展有好几千年，进入以解一次、二次方程为主的小代数发展也近千年，19世纪初发展以方程论（包括高次方程和线性方程组）为中心的大代数；19世纪以来约百年之久发展了研究矩阵、置换群、数域等具体的代数结构的高等代数；20世纪20年代开始发展用统一观点、从公理出发研究各种代数系统（如群、环、域、模等）的抽象代数（也称近似代数）；20世纪40年代以后又出现了以一般代数系统为研究对象的泛代数。这里从算术——小代数——大代数——高等代数——近世代数——泛代数每一个比一个层次更高、更抽象，抽象化的进度越来越快。

再如，从微积分建立以来，人们长期研究的都是一维、二维和三维欧氏空间的微积分，研究得很充分。因为现实空间都是三维的，加上时间变量才有四维时空的概念。后来多参数、多变量的问题需要研究更高维数，才有必要研究一般的n维欧氏空间，以后又由于物理问题的需要，在1900年前后提出了无限维空间，即Hilbert空间的研究；不久在1906年Frechet提出一般的距离空

间，并在其中讨论极限、连续等；很快到了1914年Hausdoff又提出拓扑空间，并在其中讨论极限、连续等。这里从低维欧氏空间——n维欧氏空间——Hilbert空间——距离空间——拓扑空间，也是一个比一个层次更高、更抽象，抽象化进度越来越快。二高一层次的研究直接有助于低一层次研究的深入。

有了高度的抽象和统一，才能更深入地揭示本质的数学规律和得到更广泛的应用。此外，人们为了能把一代代积累起来、并且迅速递增的数学知识，加以整理和流传下去，也必须努力把它们加以简化和统一。中首先要求数学语言和符号的简化，用一些简单基本的词汇、符号，尽量包含更多的信息，刻画复杂的数学规律。现在全世界研究基本形成了一套数学符号系统，它们简明、抽象、准确、有效，知识现代数学发展的必要条件

之一。

现代数学的高度抽象和统一，更能显示数学的美。以广义Stocks公式为例，写它只

用九个字符：d

V V

ωω

∂

=

⎰⎰，它却把微积分中的牛顿—莱布尼茨公式，格林公式，Stocks 公式和奥-高公式，这一系列基本公式都作为简单特例而统一起来了。广义Stocks公式内容极为丰富，它适用于任何高维的空间和一般的流形，二它的形式又特别简单。现代数学的简洁、统一、对称、和谐的美，在它的身上得到了充分的体现。

2. 注重公理化体系的建立和结构的分析

希腊数学家欧几里德在其《几何原本》中首创的公理化方法为数学家和物理学家树立了如何建立科学理论体系的光辉典范。所谓公理化方法，就是以尽可能少的原始概念和不加证明的公理作为基础，用逻辑推理来建立演绎的科学理论。

“几何原本”的公理化体系有不完善的地方，1899年Hilbert的“几何基础”出版。Hilbert为几何建立了严密的公理化体系，并