非线性奇异三阶两点边值问题的一个正解存在定理
关于非线性奇异三阶两点边值问题的正解
和一个 积分算 子 ： —ｃ ０ １ ［ ， ］
由引理 １ １ ，Ｖ （ ． ） ． 知 Ｂ Ｐ １ １ 有一解 ｕ ｔ等价 于 ｕ是 的一个不动点． （）
我们 作以下假设 ： （ ） Ｈ１ ａ∈Ｃ （ １ ，０ ） 且 ０＜ ｃ ｏ ｓ ａ ｓ ｄ ＜ ， （ ０，） ［ ， ） （ ，） （） ｓ （ ２，ＥＣ ［ ，］ ［ ， ） ． Ｈ ） （ ０ １ ，０ ） 由（ ） ＨＩ 知存 在 ｔ∈（ １ 使得 ａ ｔ）＞ ． ０ ０，） （。 ０ 引理 １ ３ 假设 （ ） Ｈ ） ． ＨＩ （ ２ 都成立 ， 则 ：
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第２ ３卷 第 ５期 ２０ ０ ７年 １ ０月
忻 州 师 范 学 院 学 报
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＸＩ Ｈ０Ｕ Ｔ ＡＣＨＥＲ ＵＮＩ ＲＳＴ ＮＺ Ｅ Ｓ ＶＥ Ｉ Ｙ
Ｖｏ ． ３ Ｎ ． １２ ｏ ５ ０ｔ ０７ ｃ ．２ Ｏ
Ｉｕ） ｕ） Ｉ ｔ ［ｓ一 （Ｉｕ） （ 一 （ｌ Ｇ， 。）。ｓｆ（） Ｔ￡ ｎ ￡ Ａ （ｓ （ ）（ｓ Ｉ Ｊ ） ｃ
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证 设 ∈ ０ ］ ｃ， ≥ ，￡ ）（ ）ｓ 到 ∈ ０ ］ 明 ｙ Ｃ［１由 （ ） Ｏ （ Ｇ￡ ｙ） ｕ Ｃ［１ ，， ｔ ｓ ｕ） Ｊ ， （ ｓ 得 ，．
一类三阶三点边值问题正解新的存在性定理
一类三阶三点边值问题正解新的存在性定理武晨;王全祥【摘要】考虑了一个三阶三点边值问题正解的存在性,通过利用Leray-Schauder 不动点定理得到了一个新的正解存在性结果.方法进一步改进和推广了已有的结果.【期刊名称】《淮阴师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(017)002【总页数】5页(P95-99)【关键词】Leray-Schauder不动点定理;三阶三点边值问题;正解【作者】武晨;王全祥【作者单位】江苏联合职业技术学院南京分院,基础课程教学部,江苏南京 210019;南京农业大学工学院,江苏南京 210095【正文语种】中文【中图分类】O1750 引言由于非线性三阶边值问题在生物工程、物理等领域的广泛的应用,对非线性三阶边值问题的研究一直是众多学者关注的热点,由此得到了许多三阶边值问题正解的存在性结果[1-10]．其中文[4]研究了如下的一个三阶三点边值问题(1)其中假设函数f满足条件:(C1) f∈C([0,+∞),[0,+∞));(C2) a(t)∈C([0,1],[0,+∞)),且在[τ,1]上a(t)不恒为0,其中τ为区间[0,1]上的任意实数.记假设：(i) f0=0且f∞=∞(超线性)；(ii) f0=∞且f∞=0(次线性)成立;则边值问题(1)至少存在一个正解．本文将利用Leray-Schauder不动点定理,在弱化文[4]中的条件下,得到边值问题(1)正解的存在性．1 预备知识引理1[4] 设边值问题(1)有唯一解其中引理2[4] 对任意的(t,s)∈[0,1]×[0,1],有0≤G(t,s)≤1-s.引理3[4] 令则对任意的(t,s)∈[τ,1]×[0,1],有G(t,s)≥γ(1-s),其中为任意常数．由引理3易得引理4[11](Leray-Schauder不动点定理) 假设X是Banach空间,T:X→X是全连续算子,如果存在R>0,对于λ∈(0,1),满足u=λTu,都有‖u‖≤R恒成立,则T有一个不动点．2 主要结果考虑Banach空间X=C[0,1],赋予范数定义算子定理1 假设 (C1),(C2)成立,若f0=0,则边值问题(1)至少存在一个正解．证明任取ε>0,且由f0=0可知存在常数R1>0,使得当0<u(t)≤R1时,有f(u)≤εu(t)成立．令则K1是X中的凸子集,对于任意的u∈K1,由引理2和引理3可知Tu(t)≥0,且由引理2可知从而‖Tu‖≤R1.因此TK1⊂K1,容易验证T:K1→K1是全连续的,对于任意0<λ<1,‖u‖=‖λTu‖<‖Tu‖≤R1,所以‖u‖≤R1．从而根据引理4可知,T在K1中至少有一个不动点,即边值问题(1)至少存在一个正解．注1 定理1相比文[4]中弱去了条件f∞=∞,因此该结论推广了文[4]中的结果．定理2 假设 (C1),(C2)成立,若f∞=0,则边值问题(1)至少存在一个正解．证明任取ε>0,且由f∞=0可知存在常数N>0,使得当u(t)>N时,有f(u)≤εu(t)成立．取令则K2是X中的凸子集,对于任意的u∈K2,由引理2和引理3可知Tu(t)≥0,且令J1={s∈[0,1]|u(s)>N},J2={s∈[0,1]|u(s)≤N}.由引理2可知≤从而‖Tu‖≤R2.因此TK2⊂K2,容易验证T:K2→K2是全连续的,对于任意0<λ<1,‖u‖=‖λTu‖<‖Tu‖≤R2,所以‖u‖≤R2．从而根据引理4可知,T在K2中至少有一个不动点,即边值问题(1)至少存在一个正解．注2 定理2相比文[4]中弱去了条件f0=∞,因此该结论推广了文[4]中的结果．定理3 假设(C1),(C2)成立,若存在常数R3>0,使得当0<u≤R3时,有则边值问题(1)至少存在一个正解．证明令则K3是X中的凸子集,对于任意的u∈K3,由引理2和引理3可知Tu(t)≥0,且由引理2可知从而‖Tu‖≤R3.因此TK3⊂K3,容易验证T:K3→K3是全连续的,对于任意0<λ<1,‖u‖=‖λTu‖<‖Tu‖≤R3,所以‖u‖≤R3．从而根据引理4可知,T在K3中至少有一个不动点,即边值问题(1)至少存在一个正解．定理4 假设 (C1),(C2)成立,若存在常数N>0,R4>0,使得当u≥N时,有则边值问题(1)至少存在一个正解．证明取令则K4是X中的凸子集,对于任意的u∈K4,由引理2和引理3可知Tu(t)≥0,且令J1={s∈[0,1]|u(s)>N},J2={s∈[0,1]|u(s)≤N}.由引理2可知从而‖Tu‖≤d,因此TK4⊂K4,容易验证T:K4→K4是全连续的,对于任意0<λ<1,‖u‖=‖λTu‖<‖Tu‖≤d,所以‖u‖≤d.从而根据引理4可知,T在K4中至少有一个不动点,即边值问题(1)至少存在一个正解．3 应用示例例1 考虑非线性三阶边值问题(2)易得所以根据定理1可知上述边值问题(2)至少存在一个正解．注不满足文[4]中f∞=∞的情况,因此根据文[4]的结论并不能得出边值问题(2)正解的存在性结果．例2 考虑非线性三阶边值问题(3)易得所以根据定理2可知上述边值问题(3)至少存在一个正解．注不满足文[4]中f0=∞的情况,根据文[4]的结论并不能得出边值问题(3)正解的存在性结果,因此本文的结论更具一般性．参考文献：【相关文献】[1] Du Z J, Ge W G, Lin X J. Existence of solutions for a class of third-order nonlinear boundary problems[J]. J Math Anal Appl, 2004, 294(1):104-112.[2] Feng Y Q, Liu S Y. Solvability of a third-order two-point boundary value problems[J].Appl Math Lett, 2005,18(9):1034-1040.[3] Yao Q L, Feng Y Q. The existence of solutions for a third-order two-point boundary problems[J]. Appl Math Lett, 2002, 15(2):227-232.[4] 郭丽君. 三阶三点边值问题正解的存在性[J]. 兰州文理学院学报(自然科学版),2016,30(1):1-5.[5] Feng X F, Feng H, Bai D L. Eigenvalue for a singular third-order three-point boundary value problem[J]. Appl Math Comp, 2013,219(18): 9783-9790.[6] 刘瑞宽. 一类奇异三阶两点边值问题正解的存在[J]. 四川师范大学学报(自然科学版),2014,37(4):482-486.[7] 高婷,韩晓玲. 三阶无穷多点边值问题正解的存在性[J]. 四川大学学报(自然科学版),2016,53(1):35-41.[8] 武晨. 非线性二阶三点边值问题正解的存在性和唯一性[J]. 淮阴师范学院学报(自然科学版),2015,14(4):1-4.[9] 武晨. 一类三阶边值问题正解的存在性和唯一性[J]. 南通大学学报(自然科学版),2017,16(2):87-89.[10] 程德胜,武晨. 一类三阶三点边值问题正解的存在性[J]. 华侨大学学报(自然科学版),2017,38(1):127-130.[11] 武晨. 限区间上p-Laplacian方程解的存在性[J]. 长春师范大学学报(自然科学版),2015,34(10)1-4.。
非线性二阶三点边值问题系统正解的存在性
第15卷第3期2013年9月应用泛函分析学报A C TA A N A L _ySI S FU N C T I O N A L I S A PPL I C A T A V 01．15．N O ．3Sep ．，2013D O I ：10．3724／SP ．J ．1160．2013．00265文章编号：1009-1327(2013)03—0265-07非线性二阶三点边值问题系统正解的存在性王静，何明霞甘肃联合大学师范学院，兰州730000摘要：考虑二阶三点边值问题系统一u Ⅳ=f (t ，u)，t ∈(0，1)，--V ”=g(t ，u)，t ∈(0，1)，u(0)=Q 札(叩)，u(1)=p 札(叩)，v(O )=n"(叩)，v(1)=pu(叼)，其中，，g ∈c (【o ，1】×冗+，R +)，g(t ，0)三0，叩∈(0，1)且0<卢≤Q <1．首先给出了线性边值问题的G r een 函数；其次，给出了G r een 函数的一些很好的性质；最后，运用锥上拉伸与压缩不动点定理研究了上述边值问题系统至少一个或多个正解的存在性．关键词：系统；二阶三点边值问题；正解；不动点；锥中图分类号：0175文献标志码：A二阶微分方程在应用数学与物理领域中有着极为广泛的应用背景，特别是在经典力学、化学及电学中更为普遍【1】．近来，二阶边值问题系统受到了广泛的关注[2--6]．文【2]利用G uo —K r as nosel ’s ki i 不动点定理讨论了二阶三点边值问题J 乱Ⅳ(t )+A q(t )f (t ，u(t ))=0，0<t <1，I u(o)=Q u(?7)，乱(1)=pu(叩)正解的存在性，其中0<叩<1，0≤p ≤a<1，A >0为参数，q ：(0，1)一[0，。
)，f ：【0，1]X (0，∞)一[0，∞)是连续的．本文讨论了如下常微分方程系统边值问题f —u Ⅳ=，(t ，u)，t ∈(0，1)，㈦-v"…=g(㈤t,u ，匕：豸竺‰㈣u(o)=Q u(叩)，u(1)=p “(叼)，、‘7【u(o)=(Y u(叼)，v(1)=p"(?7)正解的存在性，其中f ，g ∈C ([o ，1]×R +，R +)，g(t ，0)兰0，0<叼<1，0<p ≤O t <1．为了便于讨论，我们做如下记号：护一lim 垤in 【。
一类三阶两点边值问题解的存在性
一类三阶两点边值问题解的存在性一类三阶两点边值问题是指具有以下形式的微分方程：y'''(x) = f(x,y(x),y'(x),y''(x))在区间[a, b]上，同时满足以下边界条件：y(a) = y_0, \quad y(b) = y_1y_0, y_1是已知常数。
我们需要关注方程的连续性和可导性。
根据连续性理论，如果f在闭区间[a, b]上连续，则对于给定的初值y_0, y_1，存在唯一的解y(x)在该区间上存在。
对于三阶微分方程，我们需要更高级的连续性条件来保证解的存在性。
这里我们引入分析学中的一个重要概念：Lipschitz条件。
如果函数f(x,y,y',y'')满足Lipschitz条件，即存在常数L>0，使得对于任意(x,y,y',y'')和(x,z,z',z'')，有|f(x,y,y',y'') - f(x,z,z',z'')| \leq L(|y-z| + |y'-z'| + |y''-z''|)那么我们可以得到Peano存在性定理和Picard-Lindelöf存在唯一性定理。
根据Peano存在性定理，对于三阶微分方程y'''(x) = f(x,y(x),y'(x),y''(x))，如果f(x,y,y',y'')在闭区间[a, b]上连续，则存在至少一个解y(x)在该区间上存在。
Peano 存在性定理不能保证解的唯一性。
Picard-Lindelöf存在唯一性定理则给出了解的唯一性的条件。
如果f(x,y,y',y'')满足Lipschitz条件，并且在闭区间[a, b]上连续，则对于给定的初值y_0, y_1，存在唯一解y(x)在该区间上存在。
非线性微分方程三阶三点边值问题正解的存在性
非线性微分方程三阶三点边值问题正解的存在性
区别线性微分方程和非线性微分方程：1.微分方程中的线性，指的是y及其导数y'都是一次方。
如y'=2xy。
2.非线性，就是除了线性的。
如y'=2xy^2。
若一个微分方程不符合上面的条件，就是非线性微分方程。
线性方程：在代数方程中,仅不含未知数的一次幂的方程称作线性方程。
这种方程的
函数图象为一条直线，所以称作线性方程。
可以认知为：即为方程的最低次项就是一次的，容许存有0次项，但无法少于一次。
比如说ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。
微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。
如果一个微分方程中仅所含未明函数及其各阶导数做为整体的一次幂,则表示它为线
性微分方程。
可以认知为此微分方程中的未明函数y就是不少于一次的，且此方程中y的
各阶导数也必须就是不少于一次的。
奇异非线性二阶三点边值问题正解的存在性
定 理 ｌ 设 Ｅ 是 Ｂａ ａ ｈ空 间 ， 是 一 个 ｎｃ Ｋ ｃＥ 锥 ， 和 Ｑ２ Ｅ 中满 足 ０ Ｑ１ 为 ∈Ｑｌ ， ｃ Ｑ２的有 界 开 １ 子 集 ， Ｔ： 设 Ｋｎ（ ＼ ） Ｋ 是 一 个 全 连 续 算 子 ． ２ Ｑｔ 如 果下 列条 件之 一成 立 ：
：，
近 年 来， 常微 分 方 程 多 点边 值 问题 的研 究 受 到 了人们 的广 泛关 注．线 性微 分 方程 的 多点边 值 问题 的研 究起 源于 Ｉ’ 和 Ｍｏｓｅ ［］ Ｉｎ ｉ ｉ ｖ２， ｅ 其后 Ｃ ｐａ４研 究 ｕ ｔ［］ 了非 线 性三 点边 值 问题 ．此 后， 多 作者 借 助 于不 许 动 点理论 、迭 合度 理论 及非 线性 抉择 等研 究 了更一 般 的非 线 性 多 点边 值 问题 ，取得 了许 多研 究成 果 ． 但 这 些 结果 大 多 是建 立 在 非 线性 项 非 负 的基础 上 ，
上（ ＜，边 问 ｙ） ｏ 值 题 ｏ 则
＜
究 尚不 多见．本 文考虑 以下边值 问题
Ｉｕ Ｏ 一 （ ＝０ （ ＋ ，） ｕｑ （ ０ ｕ １ （ ： （ ａ ） ） ， Ｚ ） １＝ ｂ ）
有 唯一 解．
Ｉ （ ＋ ｈ）（ ＝ ， ＜ ＜． ｆ Ａ（ｆｕ ０ ０ ｔ １ Ｍ ） ｔ ） 一 Ｉｕ ） ｐ ） ０ （ ＋ ＇（ ＝ ｕ １ 一 （ 一 ｕ ０ ＝ ， １ ｂ ，） ｂ （） ａ０ （ ） ｕ１ ｒ
二 阶 三 点 边值 问题
ｒ
Ｉ ） ｈｔ （） ， ＜ｔ ； “（ ＋Ａ （ｆ ｕ ＝０ ０ ＜ｌ ）
Ｉ （ 一 （） ， （ ＋６ ） 易（） ｆ） ０＝０ １ ｕ １＝ “ ． ０ ， ） （
三阶非线性微分方程边值问题正解的存在性
三阶非线性微分方程边值问题正解的存在性达举霞;韩晓玲【摘要】本文应用锥上的不动点定理研究了三阶四点边值问题{u(")(t)+f(t,u(t))=0,t∈[0,1],u'(0)=αu(ξ),u'(1)+βu(η)=0,u"(0)=0正解的存在性,其中α和β是正的参数,0≤ξ≤η≤1.在f满足适当的增长条件下,本文通过对核函数的上下界估计获得了该问题正解的存在性.【期刊名称】《四川大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(053)006【总页数】6页(P1177-1182)【关键词】边值问题;正解;不动点定理;锥【作者】达举霞;韩晓玲【作者单位】西北师范大学数学与统计学院,兰州730070;西北师范大学数学与统计学院,兰州730070【正文语种】中文【中图分类】O175.8三阶微分方程起源于数学和物理应用.由于这类问题的普遍性和重要性, 三阶多点边值问题深受学者关注, 相关研究也得到了许多深刻的结.2014年, 文献中运用有序Banach空间的新不动点定理获得了三阶两点边值问题-u‴,u(0)=u′(0)=u′(1)=0(p(t)x′)″=f(t,x,p(t)x′,(p(t)x′)′),t∈(0,1)u‴u′(0)=αu(ξ),u′(1)+βu(η)=0,u″(0)=0我们给出假设条件:.定理2.1 设E是一个Banach空间, 并且设P⊂E是一个锥. 假定Ω1,Ω2是E的两个开子集且⊂Ω2,设是全连续算子，使得:且且,引理 2.2 设α，β 是正的参数,A=α(1+βη)+β(1-αξ),则对,问题u‴(t)+y(t)=0，t∈(0，1)u′(0)=αu(ξ),u′(1)+βu(η)=0,u″(0)=0,β(1-aξ+at)Hη(s)+α(1+βη-βt)Hξ(s)]-Ht(s)证明可以通过两边积分得到.引理 2.3 设条件成立, 则K(t,s)在上是正的, 并且满足如下的性质：存在一个可测函数, 一个子区间⊂和一个常数, 使得,.证明很容易证得在满足条件,(H2)下K(t,s)在上是正的. 现在我们来证明K(t,s)满足性质. 我们需要得到Φ(s), 一个子区间⊂和一个常数, 使得,.上界估计.我们取).情形1.s≤η.如果s≤ξ,s≤t则.情形2.s>η.如果s>ξ,s≤t, 则..下界估计.我们取⊂.情形1.s≤η.如果s≤ξ,s≤t, 则(s).(s).情形2.s>η.如果s>ξ,s≤t, 这种情况不可能发生.如果s>ξ,s>t, 则).我们设是连续的.定义锥如下：记.引理3.1 算子A:P→P是全连续的.证明取u∈P.则s.s..现在我们假设D⊂P是有界集. 则存在一个常数M1>0, 对于任意的u∈D, 有≤M1.综上, 我们证得A(D)是相对紧的. 令,s..另一的方面, 对ε>0, 由于G(t,s)在上连续, 从而在上一致连续.由一致连续的定义, 存在δ>0, 使得对任意当时,有，,最后我们证明A是连续的. 假设um(m=1,2，...),则存在M3>0使得对任意的.令..定理3.2 设(H1),(H2)成立,且在的任意子区间f(t,u)≠0. 则问题(3)-(4)在如下情况下有一个正解:且且证明超线性情形.由于,可以取H1>0, 当0<u≤H1时有f(t,u)≤εu, 其中ε>0并满足....其次, 由于，故存在,使得当时有f(t，u)≥μu，其中u>0且.取,...从而，由定理2.1和引理2.3,A在上有一个不动的点, 使得≤H2和,超线性部分的证明完成.次线性情形.由于，.....情形(1).f是有界的. 即对所有的有f(t,u)≤N. 在这种情况下选取则当时, 有.情形(2).f是无界的.选取使得..因此无论那种情形,u∈P∩∂Ω2,都有. 定理2.1的第二部分说明问题(1)-(2)在有一个正解. 这就完成了整个定理的证明.【相关文献】[1] Lin X L, Zhao Z Q. Sign-changing solution for a third-order boundary value problem in ordered Banach space with lattice structure [J]. Natural Science, 2014, 132: 1.[2] Cheng M. Nagumo theorems of third-order singular nonlinear value problems [J]. J Math Anal Appl, 2015, 135: 1.[3] Li Y K, Wang L Y. Multiple positive solutions of nonlinear third-order boundary value problems with integral boundary conditions on time scales [J]. Adv Diff Equ, 2015, 90: 1.[4] Fan H X, Ma R Y. Loss of positivity in a nonlinear second order ordinary differentialequations [J]. Nonlinear Analysis, 2009, 71: 437.[5] Tokmak F, Karaca I Y. Existence of positive solutions for third-order boundary value problems with integral boundary conditions on time scales [J]. Inequal Appl, 2013, 498: 1.[6] Infante G. Eigenvalues of some non-local boundary value problems [J]. Proc Edinb Math Soc, 2003, 46: 75.[7] Webb J R L. Positive solutions of some three point boundary value problems via fixed point index theory [J]. Nonlinear Analysis, 2001, 47: 4319.[8] Guo Y P, Liu Y J, Liang Y C. Positive solutions for the third-order boundary value problems with the second derivatives [J]. Bound Value Probl, 2012, 34: 1.[9] Sergey S. Nonlocal third order boundary value problems with solutions that change sign [J]. Mathematical and Analysis, 2014, 19: 145.[10] Rochdi J. Positive solution of system of third-order boundary value problem with three-point and integral boundary conditions [J]. J Bull Math Anal Appl, 2014, 6: 60.。
非线性奇异半正二阶三点边值问题的正解
（１ １） ．
由于奇 异边值 问题 广泛 的数学 与物 理应用 背景 ，近年来 对 它 的研 究 非 常活 跃 ， 许 多实 际 问题 中我们 在 往往 只关心 正解 的存在性 ，参见 文献 ［— ，— ］ 随后 的参 考文 献．文 献 ［ ］ ＆ ￡ 一６ ￡ 一０ 一１非线 性 １２ ４７ 及 ３ 在 （） （） ， 项非负 的情况 下 ，利用 Ｋｒｓ ｏｅｓ ｉ锥拉 伸与 锥压缩 不动 点定 理 ，考察 了正 解 的存 在性 ，非存 在性 及 多解 ａ ｎ ｓｌｋｉ
』０）一 ＆ １）一＋（ （＋，，一 ，＜ ＜ ， ｌ￡ ０，“（． ａ６） ￡ （ ） ０ ￡ “ （ （ “（力“ ，＋ ￡ ｆ ￡ ） ￡ ） ） “ ０ “（
正解 的存在 性 ， 中 ａ 其 ＞Ｏ是 参数 ， ＜ ７ ， ０ ７ ａ是正 常数 ， （ ， ）允许 在 ￡ ，一１处奇 异． ＜１ ｆ ｔ“ 一０ ￡
蒋继 强①， 吕志伟 ②， 刘 立 山①
（ 曲 阜 师范 大 学 数 学 科 学 学 院 ，２ ３ ６ ，山东 省 曲阜 市 ；② 安 阳工 学 院 理 学 部 ， ５ ０ ０ ① ７１５ ４ ５ ０ ，河南 省 安 阳 市 ）
摘要 ： 运用锥拉伸与压缩 不动点定理研究非线性奇异半正 二阶三点边值 问题正解 的存 在性 ， 推广 了一
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１ ０
曲阜 师范 大学 学报 （ 自然科 学版）
２０ ０ ７车
（ ） ｎ ［ ，］ ｂ （ ０ １ ， 一ｏ ， ） ． Ｈ２ ∈ｃ ０ １ ，ＥＣ ［ ，］ （ ｏ ０ ）
引理 ２ Ｉ ．嘲 设 条件 （ ）成立 ．若 与 分别 是线性 问题 Ｈ
Ｉ０）： ｎ）（ １， ）￡ ００ ＜１ ｆ（＋ （（１）一＋ ￡（一 ，＜ｔ ， ￡ ０， ￡ ６ ） （ ） （ ） ￡
一个三阶非线性微分方程正解的存在性
ｆ‘ （ ）＝ ０ ０≤ ｔ≤ ｌ ｔ ｚ ， ，
Ｏ Ｉ １ ‘ 《
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Ｏ１ （ Ｉ吉 《 Ｉ ）’． Ｉ Ｇ ≤ ａ 《 ｘ 二
ｔ 一ｔ１ ） ） （ 一ｔ］＝ｓ １ ） ０ （ 一ｔ ≥ ， 故 Ｇ ｔｓ 关 于 ｔ （ ，） 单调递增 ， 又因为 Ｇ １ｓ （ ，）＝
。Ｇ（ ， ）ｌ Ｇ（ ， ）＝ ｔｓ ＝ ０ ｓ ≤ １；
Ｏ‘ Ｉ １ ‘ 。
如果Ｉ （）ｔ （）ｔ ２ ｃｔ ｔ ， 口ｔｄ ＋Ｉ ｔ ＋ Ｉ （） ＜ｌ则 ６ ｄ ｄ
，
正解．
本文讨论下列非线性项含一阶导数的三阶两点
边 值 问题 （） 的存 在性 ， 到如 下结论 ： １解 得
证 明： 先证明 ｍ ｘＩ （ ，）Ｉ 事实上 ａ Ｇ ｔｓ ≤ １，
Ｕ‘ Ｉ ｌ ‘ ●
（ ） ０≤ ｓ≤ ｔ １ １当 ≤ 时， 因为 Ｇ ） ［ １ ） （ 一ｓ ］ （ （ ＝ｓ （ 一ｔ 一ｔ １ ） ≥ １
№ ． ３
Ａｕ ． ０ ７ ｇ２ ０
一
个 三 阶非 线 性 微 分 方 程 正解 的存 在 性
许 也 平
（ 杭州广播 电视大学， 浙江 杭州 ３ ０ １ ） １０２
摘 要 ： 讨论了一个三阶非线性微分方程两点边值问题的正解的存在性． 在非线性项满足线性增长的限制的条
件下 ． 过构造适 当的 Ｂ ｒｃ 通 ａｍ ｈ空间并利用 Ｌ ｒｙ ｃ ｅａ —ｓｌ ｒ 脚 非线性 抉择证明了－ 个存 在定 理 ． 二
关 键词 ： 三阶非线性两点边值问题； 存在性；ｅ ｙ ｓｌ Ｌｒ — ｃ ａ 咖 ｒ 非线性抉择
一类三阶两点边值问题解的存在性
一类三阶两点边值问题解的存在性三阶两点边值问题是指确定一个函数 $y(x)$，满足如下形式的方程：$$y'''(x) = f(x, y(x), y'(x), y''(x))$$并在两个固定端点 $x=a$ 和 $x=b$ 上满足一定的边界条件，如下图所示：其中 $y(a)$、$y(b)$、$y'(a)$ 和 $y'(b)$ 都是已知的值。
现在的问题是：是否存在这样一个函数 $y(x)$，满足上述方程和边界条件？对于这类问题，存在一个非常有用的定理：边界值问题的存在性定理（Existence Theorem for Boundary Value Problem）。
边界值问题的存在性定理表述如下：如果函数 $f(x,y,z,w)$ 在矩形区域$R=\{(x,y,z,w)\; |\; a\leq x\leq b, -\infty<y,z,w<\infty\}$ 内连续，且满足Lipschitz 条件，那么三阶两点边值问题具有至少一个解。
下面我们来详细解释一下上述定理的各个部分。
首先看区域 $R$，它表示函数 $f$ 定义的范围，其中 $x$ 轴的范围是问题中的整个区间 $[a,b]$，$y$、$z$、$w$ 轴的范围则是整个实数轴。
接着看函数 $f(x,y,z,w)$，对于本题来说，它应该是关于 $y$、$z$、$w$ 的函数，但是它的自变量中还包括了 $x$。
这说明，方程中的 $f(x,y,y',y'')$ 是一个三元函数，也即 $f(x,y,z,w)$，其中 $y$, $z$, $w$ 分别对应 $y(x)$、$y'(x)$、$y''(x)$。
函数 $f$ 还需要满足 Lipschitz 条件，这是什么意思呢？简单的说，就是函数在定义域内存在一个 Lipschitz 常数 $L$，满足对于任意两个点 $(x_1, y_1,z_1,w_1)$ 和$(x_2,y_2,z_2,w_2)$，有：$$|f(x_1,y_1,z_1,w_1)-f(x_2,y_2,z_2,w_2)|\leqL|(x_1,y_1,z_1,w_1)-(x_2,y_2,z_2,w_2)|$$这个条件也可以理解为，函数 $f$ 不能太过奇怪，它不能出现震荡、跳跃、突变等不稳定的情况。
三阶非线性两点边值问题解的存在性
Ｇ ｛－， ｃ 一 ｏ 一（ ０ ｔｓ １）
具 有性质
１２ ’ ｃ
法获 得 了其正 解 的存在 性结 果 ， 文［］ 而 文 Ｅ］ 见 ３． ４
作 者 在非线 性项 厂满足条 件
（ ） ｆ ｔ ） ｆ ｔＵ ）≥ 一 Ｍ （ ２ Ｈ （， 一 （ ，１ ２ ｕ 一 １ ， ）
（ ｉ ｔｓ＞ ｏ Ｖ￡ｓ Ｏ １ ； ）Ｇ（，） ， ，Ｅ［ ，］ ｔ
首 先 ， 们 给 出上 下解 的定义 ． 我 ’
ｒ （ ＋ （ ≥ ∈［， ， ４ ￡ ￡ ） ） ｏ］ ） １ （
Ｉ （ ）一 ０ ｖ １ 口０ ， （ ）一 ０ ， 显然 ， 证 （） ｏ 只需 证 （） ｏ即可 ． 一 要 ￡＞ ， １ ￡＞ １ 令
（） ￡＋ＭＴ （） （） 则 ＾ ￡∈Ｃ ［ ，］为 了证 ｖ ｔ一＾ ， （） ＋ Ｏ １．
Ｉ Ｏ （ ）一 ０ ０ （ ）＝ １ ， Ｕ ０ （ ）一 ０ ， Ｕ ， 则
其中０ ＜Ｍ￣２为 常数 ， ， 介 于上 下解 之 间 ， 。 利 用上 下 解方法 获 得 了解 的 存 在 性 结 果． 文 的 目 本
的是 放宽 文［ ］ ４ 中条 件 （ 对 于 常 数 Ｍ 的 限 制 ， Ｈ） 通过 新建 立 的极 大 值 原理 ， 利 用 上 下 解 的单 调 并
（ ）Ｇ（ ， Ｇ（ ，） Ｇ（ ，） Ｇ（ ，） Ｖｔ ｓ ｉ ｉ ｆ￡ ｓ ｓ ≤ ） ｔｓ ≤ ｓ ｓ ， ，
∈［ ，］ Ｏ１ ．
Ｖｔ ［ ，］ “ ≥ １ ∈ Ｏ １ ，２ ，
下 面我们 建立 三 阶微分 方程 的极 大值原 理
引理 ２ 设 Ｏ Ｍ≤ ３为 常 数 ， （） ３ Ｏ ≤ ｔ ￡ ∈Ｃ ［ ， ‘ １， ］ 若 （） 足 ￡满
三阶非线性两点边值问题的正解的存在性
三阶非线性两点边值问题的正解的存在性 吉林省公主岭市第三高级中学 张娜摘要：讨论了三阶非线性两点边值问题(,())0(0)(0)0,(1)0,(1)0u f tu t u u u u αβ'''-=⎧⎨''''-===⎩正解的存在性.利用锥上的不动点定理证明了该问题至少存在两个正解.关键词：三阶常微分方程；边值问题；正解的存在性；锥.Abstract ：The existence of a positive solution to two-point boundary value problemsare considered for third-order nonlinear differential equation (,())0u f t u t '''-=,is studied with (0)(0)0,(1)0,(1)0u u u u αβ''''-===.At least two positive solution exists by using the Fixed Point Theorem in cones.Key words: third-order nonlinear differential equation; boundary value problem;existence of a positive solution; cone.目录中文摘要Abstract1、引言 (1)1.1研究背景 (1)1.2研究问题 (1)2、基本理论 (2)2.1基本概念 (2)2.2基本引理 (2)3、主要结果 (5)4、致谢 (8)5、参考文献 (9)1、引 言1.1 研究背景常微分方程作为一门学科是伴随着微积分的形成而产生的,在十七世纪作为微积分的一部分,微分方程和微积分彼此不分,十八世纪由于天文学,力学,物理学的需要,同时也是由于解决许多复杂的问题需要专门的技术,这样微分方程开始成为了一门独立的学科,在数学及许多应用学科中,发挥着越来越大的作用,直到现在作用仍然有增无减.非线性微分方程的边值问题是微分方程领域中一个十分重要的研究领域.近几年来,人们在对三阶微分方程的两点边值问题正解的存在性研究方面做了许多工作,起到了举足轻重的作用,并且非线性边值问题在自然科学,生产实践以及工程技术领域中都有广泛的应用.最近,国内外许多学[39]-者相继用不动点定理,非线性抉择和迭合度理论等研究给出非线性边值问题正解的存在性的一些结果.文献[10],[11]中只在局部范围内对此类问题进行了研究,本文将在更广泛的范围内研究边值问题至少存在两个正解的情况,使其更具有实际意义. 1.2 研究问题本文研究如下三阶非线性两点边值问题(,())0(0)(0)0,(1)0,(1)0u f t u t u u u u αβ'''-=⎧⎨''''-===⎩(1)(2)正解的存在性.这里,αβ是非负常数,且0αβ+>.以下,我们总假定:1()H ([0,1][0,),[0,))(,)[0,1]f C f t u t ∈⨯∞∞∈且在的任何子区间上不恒为零; 2()H [0,1]0lim min ((,)/),t u f t u u ∈→+=∞[0,1]l i m m i n ((,)/);t u f t u u ∈→+∞=∞3()H 存在0,p >使得0,01,u p t ≤≤≤≤且则(,)f t u p η<, 110((0,))G s ds η-=⎰,其中102δ<<. 在第二部分我们给出了基本理论,包括基本概念和基本引理．第三部分我们给出了本文的主要结果及证明．2、基 本 理 论2.1 基本概念定义2.1.1 设E 是Banach 空间,P 是E 中的非空闭集．如果P 满足 ()i 任给,0,0,,≥≥∈βαP y x 有P y x ∈+βα； ()ii 若,,θ≠∈x P x 则P x ∉-， 则称P 是E 中的锥．定义2.1.2 设Y X ,是B 空间,设Y X A →:线性；称A 是紧算子，如果()1B A 在Y 中是紧集，其中1B 是X 中的单位球．定义2.1.3 连续算子2:A M E →,若A 把M 中的任一有界集映为2E 中的紧致集,则称A 为全连续算子.定义 2.1.4 所谓()t u 是边值问题(1),(2)的正解,是指()t u 是边值问题(1),(2)的解,且()()1,0,0∈>t t u . 2.2 基本引理引理2.1[1]边值问题0(0)(0)0,(1)0,(1)0y y y y y αβ'''=⎧⎨''''-===⎩(3)(4)有唯一解1()(,),y t G t s ds =⎰这里2221[(1)(1)(1)(1)],12(,)1[(1)(1)(1)(1)()],2t t s s t s G t s t t s s t s αβαβαβαβ+⎧--+--≤≤≤⎪+⎪=⎨+⎪--+--+-≤≤≤⎪+⎩ 0 0s t 1 是边值问题(3),(4)的Green 函数.引理2.2 (,)(0,),0, 1.G t s G s t s ≤≤≤ 证明 设2221(,):[(1)(1)(1)(1)],121(,):[(1)(1)(1)(1)()],2t t s t s s t s t t s t s s t s αβϕαβαβψαβ+=--+--≤≤≤++=--+--+-≤≤≤+ 0 0s t 1当1t s ≤≤≤0时,有(,)(1)0,t t t s s αβϕαβ+=-≤+ 故(,)(0,),t s G s ϕ≤当1s t ≤≤≤0时,有(,)(1)0,t s t s t αβψαβ+=-≤+ 故(,)(,)t s G s s ψ≤,从而(,)(0,),0, 1.G t s G s t s ≤≤≤引理2.3 (,)(),(0,)G t s q t G s ≥这里2(1)().2t q t βαβ-=+证明 当1t s ≤≤≤0时,有(1)(1)(1)(,)(,)(0,)(0,)(1)(1)(1)(1)(1)(1)()2().t t s G t s t s G s G s s t t t s t t q t αβϕαββαβαβαββαβαβαβ+-+--+==+--++-+--+≥++-+≥+≥当1s t ≤≤≤0时,有222(1)(,)(,)(0,)(0,)(1)()(1)()(1)()(1)()2()s t G t s t s G s G s s s t s s s s t s q t αβψαββαβαββαβαβαβ+-+==-++-+=-++-+≥+≥引理2.3证毕.不难验证边值问题(1),(2)等价于积分方程1()(,)(,()):().u t G t s f s u s d s A u t ==⎰(5)记{}1[0,1]:()0,m i n ()()t K u C u t u t q t u δδ≤≤-=∈≥≥ (6)(在本文中仅用到sup 范数).这里{}21(1)0,(),:s u p(),01.22t q t u u t t βδαβ-<<==≤≤+显然K 是[0,1]C 中的一个锥.引理2.4 ()A K K ⊂. 证明 由引理2.3可知10111010min ()()min(,)(,())()(0,)(,())()max (,)(,())()()t t A u t G t s f s u s dsq t G s f s u s ds q t G t s f s u s dsq t A u δδδδ≤≤-≤≤-=≥==⎰⎰⎰ .注意到(,)0G t s ≥的事实,可得()A K K ⊂.证明完成.引理 2.5[2]设X 是一个Banach 空间，K 为X 中的一个锥.对于0p >,定义{}p K x K x p =∈≤.假设:p A K K→是一个全连续算子,对于{}px K x K x p ∈∂=∈≤,使得Fx x ≠. ()i 对于p x K ∈∂,如果x Ax ≤,那么(,,)0p i A K K =;()ii 对于p x K ∈∂,如果x Ax ≤,那么(,,)1p i A K K =.3、主 要 结 果定理3.1 假设(,)f t u 满足1()H ,2()H ,3()H ,则边值问题(1)和(2)至少有两个正解1x 和2x ,使得120x p x <<<.证明 任取0M >使得211(,)122M G s ds σσβσαβ->+⎰ (7)由2()H ,存在0r >,使得r p <,且当0u r ≤≤时,有(,)f t u Mu ≥.可断言,对于r u K ∈∂,()A u u >,事实上,对于r u K ∈∂,1011()()(,)(,())22A u G s f s u s ds =⎰101211(,)21(,)()21(,)22M G s u dsM G s ds q t uM G s ds uu σσσσσβαβ--≥≥⋅⋅≥⋅+>⎰⎰⎰ .由引理2.5得(,,)0r i A K K = (8)同样0M >满足2()H 及(7),存在10R >,使得(,)f t u Mu ≥.对于所有的1u R ≥,选取21max ,2R p R σβαβ⎧⎫>⎨⎬+⎩⎭.由R u K ∈∂,得到21min ()()2u t q t u u R σαβ≥≥=+.于是1012111()()(,)(,())221()(,)21(,)22A u G s f s u s dsq t G s M u dsM G s u ds u σσσσσβαβ--=≥≥+>⎰⎰⎰ .又由引理2.5得(,,)0p i A K K =(9)另一方面,又由3()H ,对于p u K ∈∂,1001111()max (,)(,())(0,)(,())(0,)(0,).t A u G t s f s u s dsG s f s u s dsG s u dsG s ds uu ηη≤≤=≤≤=<⎰⎰⎰⎰其中0η>,如3()H 得.因此,对于p u K ∈∂,()A u u <.显然,对于p u K ∈∂,()A u u ≠.再次由引理2.5得(,,)1p i A K K =.(10)由不动点指数的可加性和(8),(9),(10),有(,\,)1R P i A K K K =-且(,\,)1p r i A K K K =.因此,A 有一个不动点01\R P x K K ∈且有一个不动点02\p r x K K ∈.这两个都是边值问题(1)和(2)的解.对于(0,1)t ∈有1()0x t >和2()0x t >. 定理证毕.5、参考文献[1] Zhao Weili.Singular perturbations for third order nonlinear boundary valueproblems [J]. Nonliear Analysis TMA,1994,23(10):1225-1242.[2] L.H.E RBE.Multiple positive solutions of some boundary value problems[J].SIAM Rev.1987.[3] Gregus M.Third order linear differential equations [M]. Reidel D,Dordrecht, theNetherland.1987.[4] Guo D,Laskshmikantham V. Nonlinear problems in abstract cones[M].Academic Press San Diego, 1988.[5] TROY WC.Solution of Third-order Differential Equation Relevant to Drainingand coating Flows [J]. SIAM.J.Math.Anal.1993,24.[6] Guo Da Jun. Some fixed point theorems on cone maps [J]. Kexue Tonghao,1984, 29 (5):575-578.[7] J.S.W.WONG,On the generalized. Emden-Fowler equation, SIAMRev.17(1975).339- 360.[8] 赵为礼.三阶微分方程边值问题解的存在性[J].吉林大学学报,1984,(2):10-19.[9] 松昌松.具有奇性的三阶微分方程边值问题解的存在性[J].哈尔滨师范大学学报(自),1997,13(4):9-12.[10] 蒋达清. 三阶非线性常微分方程正解的存在性[J].东北师范大学学报(自然科学版),1996,(4):6-10.[11] 钟承奎,范先令,陈文源.非线性泛函分析引论[M].甘肃:兰州大学出版社,1998.出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
奇异三阶微分方程m点边值问题的正解
奇异三阶微分方程m点边值问题的正解随着科学技术的不断发展，微分方程在各个领域中的应用也越来越广泛。
其中，奇异微分方程是一类非常重要的微分方程类型，因其特殊的解法和广泛的应用而备受关注。
本文将探讨奇异三阶微分方程m点边值问题的正解，希望能为相关领域的研究者提供一些帮助。
首先，我们来介绍一下什么是奇异微分方程。
奇异微分方程是指在某些点上，方程的系数或解本身出现无穷大、无界或不连续等异常情况的微分方程。
这种微分方程的解法相对于一般的微分方程来说更为复杂，需要特殊的方法进行求解。
而奇异三阶微分方程则是指三阶微分方程中存在某些奇异点的微分方程。
这种微分方程在工程、物理、数学等领域中都有广泛的应用。
但是，由于其解法比较困难，所以在实际应用中往往需要借助计算机等工具进行数值求解。
接下来，我们来探讨一下奇异三阶微分方程m点边值问题的正解。
这里的m点边值问题指的是，在某些特定点上，方程的解需要满足一些特殊的条件。
对于这种问题，我们可以采用分段求解的方法。
具体地，我们将边界点附近的区域分成若干个小区间，在每个小区间内分别求解微分方程，并利用边界点处的条件将各个小区间的解拼接起来，从而得到整个区间上的解。
在实际求解过程中，我们还需要借助一些特殊的技巧来处理奇异点。
例如，我们可以采用Frobenius方法将奇异点附近的解表示成幂级数的形式，从而得到解的通解表达式。
同时，我们还可以借助变量代换等方法将奇异点转化为正常的普通点，从而简化问题的求解。
总之，奇异三阶微分方程m点边值问题的正解是一个比较复杂的问题，需要借助多种数学工具和技巧进行求解。
但是，通过合理的分段求解和特殊的技巧处理，我们仍然可以得到准确的解析解。
这种解法不仅可以帮助我们更好地理解奇异微分方程的性质和规律，还可以为相关领域的研究者提供重要的参考和指导。
奇异非线性二阶三点边值问题正解的存在性
（ １ ）
二 阶多点 边值 问题在 弹性稳 定性 理论 中有 着 广泛 的应 用 ， 的研究 始 于 Ⅱ ｉ 它 ｎ和 Ｍｏ —ｓｅ ［ ， ｉ ｅｖ ２ 近 － Ｊ
Ｃ［ ，］ ０ １ 均有 ａ Ｔｕ （ ） ｆ Ｔ ）（ ） ，Ｔ“ （ ） ｋ Ｔ ） 一０ （ ） ０ －ｌ ｕ ０ 一０ （ ） １ － （ ｕ （ ） 。 （
（ ４ ）
容易 验证 “ ∈Ｃ［ ，］ 问题 （ ） ｏ １是 １ 的解 当且 仅 当 “是 Ｔ 在 Ｃ［ ，］ 的不动 点 ， ０１中 此外 不难 看 出 Ｖｕ Ｅ
非负 连续解 的存 在唯 一性 。 本文研 究 了边值 问题 （ ） １ 的正 解 ， 们不要 求 厂关 于 “的单调 性 ， 且允 许 ｆ ｔ“ 在 ￡ ，一１处 我 并 （， ） 一０ ｔ 具有 奇性 。主要是 应用 ｓ ａ ｌｅ ｈ ｕｄ 不动点 定理 。
２ 预 备 知 识
本文取 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间 Ｅ— ＣＥ ，］ 范 数 为最 大 值 范 数 。记 集合 Ｋ（ ） ｛ ∈ Ｃ Ｅ ， ］： ｌ“ｌ≤ １， ｏ ｒ一 “ ｏ１ ｌ ｌ
钟 召 平 ， 冯 强 ， 增 勤 。 赵
（ 潍 坊职业 学 院 ， 山东
潍坊
２ １ ４ 。曲阜 师范 大学 ， ６ ０ １； 山东 曲阜
２３６ ） ７１５
摘 要 ： 用 Ｓ ａ ｌｅ 应 ｈ ｕｄ ｒ不 动点定 理 ， 立 了奇异 非线 性 二阶三 点边 值 问题 建
ｆ （）ｔ （， （） ＝ ０， Ｏ ｔ ｌ， ￡－ ｆ ｔ“ ￡） － ＜ ＜
非线性微分方程三阶三点边值问题一个正解的存在性
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １— ８ ３ ９ ５ ． ２ ０ １ ６ ． ０ ６ ． ０ １ ３
Ｕ ” （ ｔ ）＋Ｙ （ ｔ ） ＝０， ｔ∈ （ ０ ， １ ） ， 有 唯一 解
ｒ１
数， 且形式上较简单 ， 得 到了新的性质 ， 通 过 运 用
Ｇ ｕ ｏ—Ｋ ｒ ａ ｓ ｎ ｏ ｓ ｅ ｌ ｓ ｋ ｉ ｉ 不 动点 定理 ， 在非 线性 项 厂 满 足
一
（ ３ ）
定 条件 的情 况下得 到 了边值 问题 （ １ ）和 （ ２ ）至少
个 正解 的存 在性 准则．
定理 １ 设 Ｅ是 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空 间 ， Ｋ ｃ Ｅ是 锥．
“ （ ０ ） ＝Ｕ ” （ ０ ） ＝０ ， ｕ （ １ ）一 “ （ 叼）＝Ａ， （ ４ ）
一
“ （ ｔ ）＝ Ｉ Ｇ （ ｔ ， ｓ ） Ｙ （ ｓ ） ｄ ｓ ＋
２ ０ １ ６年 １ １月 第３ ９卷 第 ６期
四川 师范大学 学报 （ 自然科学版）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｉ ｃ ｈ ｕ ａ ｎ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
ａ （ ｔ ）不 恒为零 ， 其 中 『为 （ ０， １ ） 上 的任 意常 数．
Ｗｉ ｌ ｌ ｉ ａ ｍｓ 不动 点定 理得 到 了边 值 问题 （ １ ）和 （ ２ ）
一类奇异三阶常微分方程的正解存在性与多解性
Ｋ ｅ ｒ ｓ ｓｎ ｕ ａ ｒ ｉ ａ ｙ ｄ ｆｅ ｅ ｔａ ｑ ａ ｉ ｎ； ｂ ｕ ｄ ｒ ａ ｕ ｒ ｂ ｅ ｙ ｗｏ ｄ ： ｉ ｇ ｌ ｒ ｏ ｄ ｎ ｒ ｉ ｒ ｎ ｉ ｌ ｕ ｔｏ ｅ ｏ ｎ ａ ｙ ｖ ｌ ｅ ｐ ｏ ｌ ｍ； ｐ ｓｔｖ ｏ ｉｉ ｅ
第３ 期 ２１ ０ ０年 ５月
华东师范大学学报（ 自然科学版）
Ｊ ｕｎ ｌｏ ａｔＣ ｉａＮｏｍａ Ｕｎｖ ｒｉ Ｎａ ｕａ ｃｅ ｃ ｏ ｒａ ｆ ｓ ｈｎ ｒ ｌ ｉｅｓ ｙ（ ｔ ｒ Ｓ ｉｎ ｅ Ｅ ｔ ｌ
Ｎ ｏ．３
Ｍａ ０ ０ ｙ２ １
文章编号：１０－６１２１）３ １３０ ００５４（０００— １—６ ０
ｓ ｌ ｔｏ ； ｅ ｉｔ ｎ ｅ ｍ ｕ ｔｐ ｉ ｉ ｏｕ ｉｎ ｘｓｅ ｃ ； ｌｉ ｌｃｔ ｙ
０ 引
言
本 文考 察下列 非线性 三 阶常微分 方程两 点边值 问题 的正解存 在性 与多解性
ｃ Ｐ
…
ｌ Ｉ
这里， 问题（ ） Ｐ 的正解 是指满足 （ ＞０ ０＜ｔ 的解． ） ， ≤１ 本文始终假设常数０＜ ＜１ 并 Ｂ ｎ ｃ 空间 ０１ ａａｈ ，］ 具有范数ＩＩ 。≤ｔｘ ｌ（ ｌ ｌＩ ｍ ａ １ ｕｔ ・ 乱 ≤ ）
ｒ ｓ ｌｓ ａ ｅ ｌ ｃ １ ｎ ｏ ｈ ｒ ｗｏ ｄ ， ｈ ｑ ａ ｉ ｎ ｍ ａ ａ ｅ １ ３ ｐ ｓｔｖ ｏ ｕ ｉ ｎ ｒ ｖ ｄ ｄ ｔ ｅ ｅ ｕ ｔ ｏ ａ ．Ｉ ｔ ｅ ｒ ｓ ｔ ｅ ｅ ｕ ｔｏ ｙ ｈ ｖ － ｏ ｉｉ ｅ ｓ ｌ ｔｏ ｓ ｐ ｏ ｉ ｅ ｈ ｒ ｉ ｔ ｇ ａ ｉ ｎ ｆｈ ｉ ｈ ｕ ｃ ｉ ｎ ｆｎ ｎ ｉ ｅ ｅ ｍ ｎ ｓ ｍｅ ｂ ｕｎ ｅ ｅ ｓ ａ ｅ ａ ｒ ｐ ｉｔ ． ｎ ｅ ｒ ｔｏ ｓ ｏ ｅ ｇ ｔ ｆ ｎ ｔｏ ｓｏ ｏ ｌｎ ａ ｔ ｒ ｏ ｏ ｏ ｄ ｄ ｓ ｔ ｐｐ ｏ ｒａ ｅ ｒ ｒ
非线性奇异微分方程边值问题的正解的开题报告
非线性奇异微分方程边值问题的正解的开题报告题目：非线性奇异微分方程边值问题的正解摘要：本文研究一类非线性奇异微分方程边值问题的正解。
首先介绍了奇异微分方程的基本概念和一些常用的解法，然后通过变分法和紧性技巧，建立了该问题的存在唯一性定理。
最后给出了一些具体例子，验证了该定理的适用性。
关键词：非线性奇异微分方程、边值问题、正解、变分法、紧性技巧1. 引言对于一类非线性奇异微分方程边值问题，其正解的研究一直是微积分领域的一个热点问题。
这类问题的求解具有一定的难度和挑战性，但是其在物理学、工程学和经济学等领域中具有广泛的应用，因此对其进行研究具有重要的理论和实际意义。
2. 奇异微分方程的基本概念与解法奇异微分方程是指满足某些奇异点附近的解不满足解析性质的微分方程。
其解法主要基于积分方法和级数展开法。
通过积分方法可以得到一些特殊形式的解，而级数展开法则可以通过一系列变形将奇异点附近的解转化为可求解的解析函数。
3. 问题的建模与存在唯一性定理的证明对于给定的非线性奇异微分方程边值问题，我们可以将其转化为变分问题，然后通过变分法证明其存在唯一解的定理。
同时我们还可以通过强紧性技巧证明该问题的解是连续的。
4. 数值实验与结果验证在本文中，我们给出了一些具体的例子进行了数值实验，并以此验证了定理的适用性。
通过这些实验，我们发现该定理可以适用于一些实际问题，并且具有重要的理论和实际意义。
5. 总结本文主要介绍了非线性奇异微分方程边值问题的正解，包括问题的建模、求解方法和存在唯一性定理的证明。
通过数值实验，并以此验证了该定理的适用性。
最后，我们认为该问题具有广泛的应用前景，并有望对相关领域的发展做出重要贡献。
一类奇异非线性三点边值问题的正解
一类奇异非线性三点边值问题的正解
马宇红;马如云
【期刊名称】《数学物理学报》
【年(卷),期】2003(023)005
【摘要】应用锥上的不动点定理,建立了奇异非线性三点边值问题
u″(t)+a(t)f(u)=0, 0＜t＜1,αu(0)-βu′(0)=0, u(1)-ku(η)=0正解的一个存在性定理.这里η∈(0,1)是一个常数,a∈C((0,1),[0,+∞)),f∈C([0,+∞),[0,+∞)).
【总页数】6页(P583-588)
【作者】马宇红;马如云
【作者单位】西北师范大学学报编辑部,兰州,730070;西北师范大学数学与信息科学学院,兰州,730070
【正文语种】中文
【中图分类】O175.15
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收稿 日期 ： ０ １—１ ２１ ０—２ ０
基 金 项 目 ： 家 自然科 学 基 金 资 助 项 目（ １ ７ １ ９ 国 １０ １ ０ ） 作者简介 ： 庆六（９６ ）男 ， 姚 １ ４ 一 ， 上海 人 ， 授 ， 要 从 事 非 线 性 常 微 分 方 程 研 究 ， － ｉ ｙ ｏｉｇｉ２ ０ ＠ ｈ ｔ ｉ ｃｒ 教 主 Ｅ ｍａ ：ａｑｎ ｌ ０２ ｏｍａ ．ｏ ｌ ｕ ｔ ｎ
２
滨 州 学 院 学 报
第 ２ ７卷
数 ｙＥ Ｃ（ ，）及连续 函数 ｇ：０ ＋ ｏ ） ［ ， Ｑ ） 得 Ｏ１ ［， ｏ 一 Ｏ ＋ ｏ 使
ｌ ｕ ｇ（ ） ｕ＜＋ ∞ ｉ ｓｐ ｕ ／ ａ ｒ
并 且 ｆ（ ， ｔ ）≤ Ｍｕ ＋ ｙ ￡ ｇ（ ， ￡“ 一 （） “） （ ， ）Ｅ （ １ ０， ）× （ ＋ Ｏ３ ． ０， ＜）
则 问 题 （ ） 少 有 一 个 正 解 Ｕ Ｅ Ｋ． Ｐ 至
本 文将证 明下列 存在 定理 ， 一定理 改 进 了定 理 １ 这 ． 定理 ２ 假设（１ Ｂ ）ｆ：Ｏ １ × （ ， 。 ） ［ ， 。 ） （ ，） ０ ４ 。 一 ０ ４ 。 连续 并且存 在 正数 Ｍ ＞ ０ ０＜ ｄ＜ １ 非 负函 － － ， ，
解存在 定 理．
关键 词 ： 非线性 常微 分 方程 ； 奇异 边值 问题 ； 解 ； 正 存在 性
中 图分 类 号 ： ７ ． ０ １ ５８ 文献标 识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６ ３—２ １ （ ０ １ ０ —０ ０ —０ １７ ６８ ２１ ）６ ０ １ ５
本 文 考察 下列 非线性 三 阶两 点边 值 问题 的正解 ，
则 问题 （ ）至少有 一个 正解 “ Ｅ Ｋ． Ｐ
定理 ２ 的改 进体 现在允 许 函数 ｆ ｔ 在 ｔ ０ ｔ １ “一 ０处奇 异． 个 简单 的例 子是 在 （ ）中设 （， ） 一 ，一 及 一 Ｐ
一
姑 庆 六 ＆
（ 南京 财经 大学 应用 数学 系 ， 江苏 南京 ２ ０ ０ ） １ ０ ３
摘 要 ： 究 了一 类非 线性 三 阶两点 边值 问题 的正 解． 这个 问题 中非线 性项具 有 时间和状 研 在
态 的奇异 性． 通过 构造 适 当的锥 并且 考察 非线 性项 在 无 穷远 处 的增 长速 度 的极 限获得 了一 个 正
ｄｉｅ ｌｗ） ｒ ｎｆ ｖ ｏ 等口 ． 流体 力学 中 ， 阶方 程 出现在 耗散 流 （ ｒｉｉｇｆ ｗ）与附 面流 （ｏ ｔ ｇｆ ｗ） ］在 三 ｄａｎｎ ｌ ｏ ｃ ａｉ ｌ ｎ ｏ 的研究
中 ． 年来非 线 性三 阶两 点边 值 问题 的研 究 比较 活跃 ． 近 卜 涉及 问题 （ Ｐ）的结 论亦 有不 少 ， ． ｓ ． 利 用常 规方 法容 易获 得 问题 （ ）的下 列次 线性 增长 型 的正解存 在定 理 ］ Ｐ 。 ． 定 理 １ 假 设 （ ）ｆ：０ １ Ａ１ ［ ，］× ［ ， 。 ） ［ ， 。 ） ０ ４ 。 一 ０ ４ 。 连续 ． － －
’ Ｂ ） ：０ １ 一 ［ ， 。 ） 续并且 （ ２ｈ （ ，） Ｏ＋ 。 连
ｏ ｊ（一）≤０￡ａｄ —。０￡ ￡ ＜ 。 ＜ ｄ （－）＜ 。 （，ｄ — ． Ｊ ）（￡Ｊ ）（￡卜 ， ） ） 卜 ’ ｑ￡ ｑ￡ ￡ Ｊ （ 』 ）￡ 。
（ ３ ｉ ｆ ｉｆ ｔ“ ＞ ０ Ｉ （ ［ ｉ ｕ ｆ ｔ“ ／ ］￡ ：２ Ｂ ）ｌ ｉ ｎ （，） ａ ｒ ｎｍ ， ＾ １ ｓｐ （，） ｄ ＜ ． ） ｍ
因 而 总 是 假 设 ｌ ｆｍ ｎ ｔ ｉ ｉ ｉｆ（， ｍ ｎ ）＞ ０ 这 里 ０＜ ａ ． ＜ ＜ １在 实 际 问题 中 可 以 根 据 非 线 性 项 ｈ ｔｆ ｔ“ ． （） （，）的性
质选 择 ａ 例如 ａ一 １ ４ 一 ３ ４ ， ／， ／．
文中 ｃ ｏ１ 为赋予范数 Ｉ ｊ—ｏＧ ≤ｘＩ （ 的 Ｂｎｃ 空１， ｑ￡ 一 去 ２ ， Ｋ是 ｃｏ１ ［， ］ Ｉ “ｌ ｍ ｌ “ ａ ）ｌ ａａ ｈ ９ 函数 （ ） 厶 （一 ）而 ［， ］ ｒ
第 ２ 卷 第 ６期 ７
Ｖｏ１ ２７， ．６ ． Ｎｏ
滨州 学 院学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｈ ｕＵ ｎｖ ｒ ｉ ｏ ｒ ａ ｆＢｉｚ ｏ ｉｅ ｓｔ ｙ
２１ Ｏ １年 １ ２月
Ｄ ｅ ．， Ｏ１ ｃ ２ １
【 分 方 程 与 动 力 系 统 研 究】 微
非 线 性 奇 异 三 阶 两 点 边 值 问题 的 个 正解 存 在 定 理
（ ） － ｔ ｆ（ ， ）一 ０， ＜ １． ４ ｈ（） ｔ （） ０＜ ｒ ｐ、
１ （）一 （） ｔ１ 一０ “０ ０ 一ａ（） ．
这里 问题 （ ） Ｐ 的正解 是指 （ ） Ｐ 满足 Ｕ ＞ ００ ｔ １ （） ， ＜ ≤ 的解 ． 本文致 力于 函数 ｆ ｔ“ 在 Ｕ一 ０ 奇异的情况 ， （， ） 处
中的如 下非 负 函数锥 ：
பைடு நூலகம்
Ｋ 一 ｛ ［ ， ］ “ ￡ ≥ ｌ ｑ ￡ ， ＵＥ ｃ ｏ １ ： （） ｌ ｌ ｌ （） ０≤ ｔ １ ． Ｕ ≤ ｝
三 阶 微 分 方 程 有 着 广 泛 的 应 用 ． 如 在 物 理 学 中 可 以 利 用 它 研 究 电 磁 波 或 者 重 力 驱 动 流 （ ｒｖｔ 例 ｇａ ｉ ｙ
ｒＲ
（ ２ ｈ ［ ，］ ［ ， 。］ Ａ ） ：０ １ 一 ０ ４ 。 连续并且√Ｉ （）ｔ ０ － ｄ＞ ． ｈ
（ ） ｌ ｉｆｒ ｉ ｆ（ ， ）＞ ０， ｉ ｍａ （ ， ） ｕ 一 ０ Ａ３ ｉ ｎ ｎ ｔ “ ｍ ａ ｌ ａ ｒ ｘ厂 ｔ “ ．
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