模糊多准则VIKOR方法及其应用

3 Fuzzy 多准则决策 VIKOR 方法
设 准 则 C j 的 权 系 数 为 ω j = [ω1 j , ω 2 j , ω3 j , ω 4 j ] （ ω1 j ≥ 0 ） 。 模糊多准则 VIKOR 方法的步骤如下： 步骤 1：确定每一准则的理想值和负理想值
ANP、CNP 等方法确定其权系数。但能给出准则权系数间
[12,15]
上述定义的距离有较好的性质[12~13]。 为了方便起见， 下面只对梯形模糊数和上述形式的距离 进行讨论。而对一般模糊数的讨论与梯形模糊数类似 选取其它类型的距离也类似。 ，
4 信息不完全确定的 Fuzzy 多准则决策的 VIKOR 方法
准则权系数是一个重要参数， 在实际决策中， 由于知识 和经验等原因， 很难准确地给出准则权系数， 或很难对一些 准则的重要性程度进行两两比较，因而不能使用 AHP 、
A a b c d = [ , , , ] ( a > 0, a1 > 0 ) B d1 c1 b1 a1
rA = [ra, rb, rc, rd ] ，其中 r 为正实数。
目前，模糊数的大小比较、 两模糊数的距离等没有公认 的定义。模糊数的距离有不同的形式 色。 本文利用下列距离公式[12~13]： 两梯形模糊数 A 与 B 的距离定义如下：
1
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fA
L fA ( x) 1 = R f A ( x) 0
L fA ( x)
a≤x≤b b≤x≤c c≤x≤d 其它
R fA ( x)
其中：
S * = [min S1i , min S 2i , min S 3i , min S 4i ] ，
a* j = [ max a ij , max bij , , max cij , max d ij ] ，
i i i i
a− j = [ min aij , min bij , min cij , min d ij ] 。
i i i i
步骤 2：计算 S i 和 Ri
Si = ∑ ω
j =1 t * j (a j
i i i i
S = [max S1i , max S 2i , max S 3i , max S 4i ] ，
i i i i
−
其中
为连续的单调递增函数，
为连续的
−
R = [min R1i , min R2i , min R3i , min R4i ] ，
i i i i
*
单调递减函数，分别称作左基准函数和右基准函数。 为方便 起见，记为 A = (a, b, c, d ) 。 如果模糊数 A 的左、右基准函数为线性函数，则 A 称 为 梯 形 模 糊 数 ， 记 为 A = [ a , b, c , d ] 。 两 个 梯 形 模 糊 数
，这些形式各有特
(1) 如果条件 2 不满足，方案 a ' 和 a " 是其折衷解。 (2) 如果条件 1 不满足，由方案 a ' , a " ,L, a ( M ) 是其折衷
解，其中 a ( M ) 满足条件 d (Q( a '' ), Q (a ' )) ≈ 1 /( m − 1) 。 从上可以看出， 当准则权系数和准则值同模糊数退化为 精确值时，Fuzzy 多准则 VIKOR 方法即变为 VIKOR 方法， 因而上述方法是 VIKOR 方法的扩展。
的关系， 如某一准则权系数在某一区间内变化； 一个准则比 另一准则更重要； 几个准则权系数确定， 而其它准则权系数 未知等。 这样的信息称为权系数的不完全确定信息。 它可分 成下列 3 类[12]： （1） {ω : A1ω ≥ b, ω > 0, b ≥ 0} ; （2） {ω : A1ω ≤ b, ω > 0, b ≥ 0} ; （3） {ω : A1ω = b, ω > 0, b ≥ 0} ; 其中 ω = (ω1 , ω 2 , L , ω t ) T , A1 是 l × t 矩阵。 上述 3 类不完全确定信息是不完全信息[16~18]、不确定 信息[19~20]和部分确定信息[21]的扩展[12]。 设准则权系数的不完全确定信息的集合为 H。 信息不完全确定的模糊多准则 VIKOR 方法求解的步骤 2
中的最优方案。 2 Fuzzy 数及其比较方法 一个模糊数是实数集上一个正规的凸模糊集。 对模糊数 A，它的隶属函数可表示为[13]：
基金项目：湖南省社会科学基金（05YB74） 、国家自然科学基金（70572060） 、博士点基金（2004053357） 王坚强（1963 —） ，男，湖南湘潭人，教授，博士，研究方向：决策理论与应用、风险管理与控制、物流管理、信息管理等。
aij = (aij , bij , cij , d ij ) ，准则 C j 的权系数为 ω j ，确定方案集
1
引
言
在社会经济生活中，存在大量多准则决策 (MCDM) 问 题，在这些问题中，多个准则之间往往存在冲突。目前有很 多方法求解这类问题， 其中重要的一类方法是最接近理想方 案的折衷解法。TOPSIS 和 VIKOR 是其两个典型的多准则 折衷方法[1~2]。它们各有特点，其中最重要的是通过 VIKOR 得到的最好方案最接近理想方案， 而由 TOPSIS 方法得到的 最好方案并不总是接近最理想方案，同时 VIKOR 方法得到 了带有优先级的折衷方案[2]。TOPSIS 有很多改进形式，并 已在很多决策问题中使用[3~12]，而 VIKOR 方法应用较少， 并未见到它的扩展形式。但 VIKOR 方法要求准则权系数和 准则值确定，这在实际决策中是比较难做到的。 在实际决策 中，由于大量决策问题自身的模糊性和不确定性， 导致方案 的准则值和准则权系数等参数不准确、不确定和不完全确 定。模糊数是一种较好地刻划这种模糊性和不确定性的方
R = [max R1i , max R2i , max R3i , max R4i ] ，ν 表示准则
i i i i
多数重要程度，一般取 ν = 0.5
[1~2]
。
A = [a, b, c, d ] 和 B = [a1 , b1 , c1 , d1 ] 的运算如下
[13]
：
步骤 4：确定排序序列 按 d ( S i ,0) 、 d ( Ri ,0) 和 d (Qi ,0) 的值从小到大排序，得 到三个方案排序序列， 每一序列中排在前面的方案较排在后 面的方案好。 步骤 5：确定折衷方案 方案集的折衷方案 a ' 为：
Qi = ν ( S i − S * ) / d ( S − , S * ) + (1 − ν )( Ri − R * ) / d ( R − , R * ) （3）
http://www.paper.edu.cn 如下： 步骤 1：确定每一准则的理想值和负理想值
* − min Si = ∑ ω j (a* j − aij ) / d ( a j , a j ) j =1 t
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XT-2005-2395 修改稿
模糊多准则 VIKOR 方法及其应用
王坚强
（中南大学商学院，湖南 长沙 410083）
摘 要： VIKOR方法是取折衷方案的多准则决策方法之一， 在该方法中要求准则权系数和准则值均为确定值，
但这些要求在实际决策中较难达到。本文针对准则权系数和准则值均为模糊数、准则权系数信息不完全确定且准 则值为模糊数的多准则决策问题， 提出了模糊多准则VIKOR方法和信息不完全确定的模糊多准则VIKOR方法， 这 两种方法扩展了VIKOR方法的应用范围。并通过实例说明该方法的有效性和可行性。 关键词：多准则决策；模糊数；折衷方案；模糊VIKOR方法；不完全确定信息；理想方案； 中图分类号：C934 文献标识码：A
Fuzzy Multi-criteria VIKOR Approach and its Applications
Wang Jian-Qiang
（School of Business， Central South University，Changsha ， 410083，China）
Abstract: VIKOR is a compromise approach of multi-criteria decision-making (MCDM), which require on the criteria’s weights and criteria values certain. It is not uncommon in MCDM that the demand of VIKOR is satisfied. For a kind of multi-criteria selection problems, in which the criteria’s weights and criteria values are fuzzy number, and the information on criteria’s weights is incomplete and criteria’s values is fuzzy number, fuzzy multi-criteria VIKOR method and Fuzzy multi-criteria VIKOR method with incomplete certain information on weights are proposed. Meanwhile, the range of VIKOR is developed. And an example is given to show the feasibility and availability of this method. Keywords: multi-criteria classification decision-making; fuzzy number; compromise alternatives; Fuzzy VIKOR method; incomplete uncertain information; idea alternative 法。同时，决策者较难给出准则权系数为确定值、确定模糊 数， 或者较难对准则的重要性程度进行两两比较， 因而不能 使用 AHP、ANP、CNP 等方法确定准则权系数。为此，本 文提出准则权系数和准则值均为模糊数的多准则模糊 VIKOR 方法、准则权系数信息不完全确定且准则值为模糊 数的 VIKOR 方法，它扩展了 VIKOR 方法的应用范围。 本文讨论下列模糊多准则选择问题：设 C1 , C 2 , L , C t 是 Fuzzy MCDM 问题的 t 个准则， a1 , a 2 , L , a m 是 m 个方案， 决 策 者 给 出 方 案 ai 在 准 则 C j 的 值 为 Fuzzy 数
d ( A, B) = 1 [(a − a1 ) 2 + (b − b1 ) 2 + (c − c1 ) 2 + (d − d1 ) 2 ] 。 4
[Hale Waihona Puke Baidu4]
条件 1： d (Q (a '' ), Q (a ' )) ≥ 1 /(m − 1) ,其中 a " 是 Q 的排在 第 2 位的方案； 条件 2： a ' 是 S 或/和 R 的排在最前面的方案。 如果上述两个条件中的一个不满足，则：
− a ij ) /
− d (a * j,aj )
（1） （2）
* − Ri = max[ω j (a * j − a ij ) / d ( a j , a j )] j
由上述两式计算得到的值是模糊数，记为： S i = [ S1i , S 2i , S 3i , S 4i ] ， Ri = [ R1i , R2i , R3i , R4i ] 。 步骤 3：计算 Qi
a ' 是 Q 的排在最前面的方案，并满足下列条件[2]：
A + B = [a + a1 , b + b1 , c + c1 , d + d1 ] A − B = [a − d1 , b − c1 , c − b1 , d − a1 ] A × B = [aa1 , bb1 , cc1 , dd1 ] ( a ≥ 0, a1 ≥ 0 )