高中数学-立体几何平行垂直

立体几何位置关系-平行与垂直

高中立体几何的学习，重点在于证明和体积表面积求解，难点在于二面角的求解。 考试题型以解答题和选择题为主，高考难度划分属于中档题。

（1）、平行于同一直线的两直线平行。

（2）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（3）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平

行。

（4）、一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。 （5）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 （6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（7）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （8）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。 （9）、如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 （10）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

（11）、如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 （12）、垂直于同一平面的两直线平行。 （13）、垂直于同一条直线的两个平面平行。

（14）、一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 （15）、一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

（16）、如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。

公理4

线线平行

线面平行

面面平行

线线垂直

线面垂直 面面垂直

三垂线逆定理

三垂线定理

⑴

⑵ ⑷ ⑶ ⑸ ⑹

⑾

⑿

⒀

⒁

⑼ ⑽

⒂ ⒃

⑺

⑻

（一）立体几何中平行问题

证明直线和平面平行的方法有：

①利用定义采用反证法；②平行判定定理；③利用面面平行，证线面平行。

主要方法是②、③两法

在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.

常用具体方法：中位线和相似

例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ.

例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFBD.

例3如图（1），在直角梯形P1DCB中，P1D//BC，CD⊥P1D，且P1D=8，BC=4，DC=46，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置（如图（2）），使二面角P—CD—B成45°，设E、F分别是线段AB、PD的中点. 求证：AF//平面PEC；

例4、 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥面BCE.

练习

1.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 分别是AD 1、BD 上的点，且AP=BQ ，求证：PQ ∥平面DCC 1D 1。

2.如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点.求证：MN ∥平面AA 1C 1.

3. 如图所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，试判断A 1B 与平面ADC 1的位置关系，并证明你的结论.

D 1

C 1

B 1

A 1

A

B

C

D

P Q

（二）立体几何中垂直问题

证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90o 、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等

【例】如图所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．

求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．

【练】如图所示，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．

求证：BC ⊥平面PAC ．