仪表与系统可靠性_第5讲_可修系统可靠性(精)

部件故障后的修理时间Y遵从指数分布 (25) 且X和Y相互独立，故障修复后的寿命分布与新的相同(通常称为修 复如新)。 假定用状态0表示系统正常，用状态1表示系统故障。因此系统状态 集E＝{0，1)，其中系统工作状态集W＝{0}，故障状态集F＝{l}。
第三节 仪表系统有效度模型(续)
定义
显然，{X(t)，t≥0}是一个连续时间t>o，有限状态空间E＝{0，1)的随 机过程。由于指数分布的无记忆性，可以证明， {X(t)，t≥0}是一个齐 次马尔可夫过程。 若已知X(t)=0 (时刻t系统工作)或X(t)＝1( 时刻t系统故障)，由于部件的 寿命分布和修理时间分布是指数分布，因此，时刻t以后系统发展的概率 规律完全由时刻 t系统是工作还是故障所决定，而与该部件在时刻 t已工 作多长时间或已修理了多长时间无关。即时刻t以后系统发展的概率规律 完全由X(t)＝0还是X(t)＝1所决定，而与时间t以前的历史无关。 而且还认为，在很短时间内，系统出现两次或多次状态变化的概率为 零；在时刻(t，t+Δt)发生故障的条件概率为λdt，在时刻(t，t+Δt)完成修 理的条件概率为μdt 。
第二节 有效度特征量(续)
式中, λ——失效率； μ——修复率。 瞬时有效度、平均有效度及稳态有效度关系如图2所示。实际应 用中经常用的是稳态有效度。
图2 A(t)，Am(t1，t2)及A(∞)关系
第二节 有效度特征量(续)
四、有效度的观测值 有效度的观测值是在某个观察时期内，产品能工作时间与能工作时 间和不能工作时间之和的比，记为A A=U/(U+D) (20) 式中, U--能工作时间，产品处于能完成规定功能状态的时间，工作 时间及待机时间。D--不能工作时间，产品处于不能完成规定功能状 态的时间，包括停机维护及维修时间、延误时间及改装时间等。 例2 有两台仪表，第一台仪表的MTBF为2000h，第二台为3000h， 且第一台仪表的MTTR为15h，第二台的MTTR为40h，试求它们的稳 定有效度。 解：根据公式(19)
(6) 平均修复率μ(τ) 是在某一规定时间间隔(τ1， τ2) 内修复率的平 均值，即
(7)
第一节 仪表维修性的特征量(续)
平均修复率的观测值，是指在维修的某观测期内，产品已修复数与 累积修复时间之比，即 (8) 式中, Nr——在规定的修复时间内完成修复的产品数； ∑ τ——在规定的时间内累积修复时间。
虽然第一台仪表MTBF较短，但有效度反而较高
第三节 仪表系统有效度模型
维修是提高仪表系统有效度的有效途径之一。而实施维修时，除仪 表系统本身之外，还需要维修工利用维修工具及维修设备，对仪表 系统的故障组件(或仪器仪表)进行修理；修复后组件继续工作。由若 干组件(或仪器仪表)和一个或多个维修工(包括维修工具和仪器设备) 组成的系统称为可维修仪表系统。 这里仅讨论组成系统的各组件(或仪表)的寿命分布和维修时间分布 及其它出现的有关分布均为指数分布的情形。这种可维修系统通常 可以用马尔可夫过程来描述。 即：系统的状态“转换”为：工作状态由于故障而转到处于不工作 的状态（故障状态），或从不工作状态（故障状态）转到因修理而 处于工作的状态。 马尔可夫过程的数学表示如下： 设{X(t)，t≥o}是取值在E＝{0，l，…，N)离散状态空间的一个随机 过程。若对任意自然数n及任意n个时刻点0≤t1<t2<…<tn，均有：
第三节 仪表系统有效度模型(续)
对转移概率函数，有以下性质：
(23)
第三节 仪表系统有效度模型(续)
一、单部件可维修系统的有效度模型
假如系统由一个单元和一个维修工组成，单元正常，则系统处于工 作状态，该单元故障，则系统处于故障状态；单元故障后经过修复系 统即重新工作。 假设部件的寿命X遵从指数分布 (24)
第三节 仪表系统有效度模型(续)
对此马尔可夫过程，我们有（四种状态转移概率为）：
(26)
由(26)式可写出（写成矩阵的形式） (27)
第三节 仪表系统有效度模型(续)
由式(27)可绘出马尔可夫过程曲线图，一般被称为状态转移概率 图，如图3所示。
图 3 表示 Δt 时间内系统状态转移的可能性( 概率) 。进而可写出状 态转移速率矩阵
第一节 仪表维修性的特征量(续)
当维修度的观测值为：在τ=0时处于故障状态，需要维修的产品 数与经过时间τ修复的产品数之比，则维修度为： (2) 式中 N ——开始维修时的产品数： Nr——到时刻τ已修复的产品数。 如果维修度函数M(τ)连续可导，则M(τ)的导数为维修密度函数， 记为m(τ)，即:
(3)
若已知维修密度函数m(τ)，则 (4)
第一节 仪表维修性的特征量(续)
图1所示为维修度函数M(τ)曲线。
若维修的产品数为N，经Δt时间间隔内产品由故障状态到完好状态 的修复数为Δ Nr(τ)，则可得维修密度的观测值为:
(5)
图1 维修度M(τ)线图
第一节 仪 故
第一节 仪表维修性的特征量(续)
将上述公式代入式(6)得 (11) 上式两边积分并整理可得 (12) 若维修时间T服从指数分布时，其修复率为常数，即
(13)
把常数μ代入到式(12)中可得 (14)
对上式求导可得
(15) 把(15)代入式(9)可得 (16)
第一节 仪表维修性的特征量(续)
利用初始条件，解出
(32) 反演上式，得到
(33)
第三节 仪表系统有效度模型(续)
由可用度A(t)定义可知，即系统在随机时刻t处于正常状态的概率， 故 (34) 若时刻t＝0系统处于故障状态，即初始条件为(P0(0)，Pl(0))＝(0， 1)，则
(35) 此时，系统的可用度为 (36)
第三节 仪表系统有效度模型(续)
第二节 有效度特征量(续)
一、瞬时有效度
瞬时有效度表示仪表设备(系统)在某时刻具有或维持其规定功能 的概率。 可维修产品总是处于工作或维修交替发生的状态，在时刻t产品 究竟处于什么状态完全是随机的，引入X(t)表示产品在t时刻的状 态，则定义如下：
则时刻t产品的瞬时有效度为
而时刻t产品的瞬时不可用度为
当t→∞时，可得系统的稳态可用度A
由于λ＝1/MTBF， μ＝1/MTTR，因此
(37)
一般来说μ的值要比λ大得多，A可写成
第三节 仪表系统有效度模型(续)
二、n个部件串联的可维修系统的有效度模型
假设：1）由n个单元构成的串联系统，每个单元的失效及维修 时间均服从指数分布。n个单元全部正常工作时系统处于正常状态， 当其中某一个单元出现故障，则系统处于故障状态，此时维修工立 刻进行修复。 2）修理期间，未发生故障的单元也处于停止工作。当故障单 元修复后，n个单元又进入工作状态，系统恢复正常工作。修复后 的单元寿命仍然服从指数分布。 3）当n个单元失效相互独立，在t到t+Δt时间内，n个单元失效 率均为λ ，修复率均为μ时，该系统状态转移图如图4所示。 由图4可见，这样系统的状态及转移关系形式上与单部件仪表 设备情况一样，只是 n 个单元均以 λ向故障状态转移，而一旦有某 一单元失效，则以μ向工作状态转移，故可写出:
(28)
图3 状态转移概率图
第三节 仪表系统有效度模型(续)
解微分方程组，求Pj(t)＝P{X(t)=j}，j ∈ E 。由全概率公式可知 则上述系统
对上式进行微分，得微分方程组
(29)
或写作 (30)
第三节 仪表系统有效度模型(续)
若时刻t=0，系统处于工作状态，即初始条件是P0(0)＝1，P1(0)：=0， 或写作 (P0(0)，P1(0))＝(1，0)。 对(30)式两边作拉氏变换，得线性方程组 (31)
例1 根据对某仪表装置的现场统计，有如下表记录, 若维修时间服从 指数分布，求平均维修时间，修复率及分别求，τ=5(h)， τ= 10(h)的维 修度。
解：根据公式(10)，求得平均维修时间
由式(16)求得修复率
由(14)求得维修度
第二节 有效度特征量
有效度是对可修复系统综合考虑可靠度和维修度的广义可靠性指标。 其定义为：对于可修复产品，在规定的条件下使用，在规定的维修条 件下修复，在规定的时间具有或维持其规定功能的概率。因此，它表 示了故障前时间段内的可靠度。但大多数仪表是允许在一定的维修时 间内停机维修的。如果在这段时间内可以修好，就说这台仪表(系统) 还是可用的。 有效度的概念主要与系统的工作时间有关。如有效度A(480)=0.98， 则表示某仪表系统在规定的480h的工作时间内有480×0.98 h处于正 常工作，而其余时间处于故障状态。（原教材中的表述不对！） 对于某仪表系统，而可靠度 R(480) ＝ 0.98 ，则要求该台仪表应有 98%的可能性无故障地运行480h。这样对仪表正常运行的要求显然 要高得多。 因为有效度是工作时间t与维修时间τ的函数，记为A(t,τ)。显然，随 着工作时间t及维修时间τ取值的改变，有效度是不同的。
修复率是指维修时间达到某一时刻τ尚未修复的产品，在该时刻τ 后的单位时间内完成修复的概率，记为 μ 。它也是维修时间 τ 的函 数，故也记为μ(τ)， μ(τ)称为修复率函数，简称修复率，也称维修 率。显然，修复率是在时刻τ尚未修复的产品，在τ ~ τ + Δ τ 的单 位时间内完成修复的条件概率，即
三、平均修复时间
产品修复时间 τ 是一个随机变量，平均修复时间是维修时间 τ 的数学 期望E(T)，一般记为MTTR(Mean Tirwe To Repair)，简记为τ 。如果 已知维修密度函数m(τ)，则 (9)
第一节 仪表维修性的特征量(续)
平均修复时间的观测值是修复时间总和与已修复产品数之比，即 (10) 式中, ∑ τ ——累积修复时间； Nr——在∑ τ时间内已修复的产品数。 四、 修性特征量间的关系 由式(3)可知:
第二节 有效度特征量(续)