第二章 时频分析与连续小波变换

2

2 t 2


ˆ( ) d : (t )的频域能量分布中心 .......... ....... 均值频率
2 2
2
( ) (t u ) (t ) dt : (t )的时域能量分布范围 ...... 时宽
ˆ ( ) d : (t )的频域能量分布范围 ( ) (t ) ...频宽
定理:时频不能同时有限长
ˆ 不能在某区间上为0； 如果f (t) 0是紧支撑的，则f ˆ ( ) 0是紧支撑的，则f (t )也不能在某区间上为零。 类似地，如果f 证明（前半部分）： 1 b ˆ ˆ 设f 的支集为[b, b], 则：f (t ) f exp(it )d . b 2 如果t [c, d ]时f (t ) 0, 则在点t0 (c d ) / 2处将上式两边微分n次得到： f
连续时间傅立叶变换 CTFT
离散时间傅立叶变换 DTFT
连续、非周期 连续、非周期
x(t ) X ( j) X ( jt ) 2 x()
x(n) X (e )
离散、非周期 连续、周期
j
信号时域和频域特性之间关系：
本课程中傅里叶变换的记号:
ˆ ( ) f

b
b
ˆ n exp(it )d 0. f 0
时频能量密度
P f (u , ) f , u , (t )
2



f (t ) (t )dt
* u ,
2
它度量了信号的能量在以 (u , ) 为中心的时频邻域内的分布。
k N
jk0 n a e k
k N
jk ( 2 / N ) n a e k
n N
x[n]e
jk0n
1 N
n N
jk ( 2 / N ) n x [ n ] e
四种傅里叶变换的关系:
连续时间傅立叶级数 CFS
x(t ) Ak



为了分析信号中时变的频率结构，需要引入 一些时频分析的新工具：短时傅里叶变换和 小波变换就是其中的代表。 短时傅里叶变换和小波变换的差别在于采用 了不同的时频原子

不同时频原子具有不同的时频特性。
时频原子


时频原子的基本概念 线性时频变换的定义 时频原子的时频局部化描述 Heisenberg测不准原理 时频原子的时频结构-Heisenberg-box 时频能量密度

再 考 虑 到 许 瓦 兹 不 等成 式立 的 条 件 ， 有 ： 存b, 在 使得： f ' (t ) 2btf (t ) 进一步推出存在 C , 使 得f (t ) a exp(bt 2（ ) 得证）

时频不可能同时有限长

尽管有了Heisenberg测不准原理的限制,可能仍然有人认为存在 某个信号在时间-频率域上可以同时是有限长的,但这个结论也是 不成立的。
2 t2
2

tf (t ) dt

'

2
fˆ d
2

1
4 f

tf (t ) dt



f (t ) dt..... （Parseval定 理 及 傅 里 叶 变 换 的质 性）
再根据 Schwarz 不等式，有：
2 t2
1 f

傅里叶变换(分析)的定义
•根据信号的不同，傅里叶变换有四种定义： •CTFT: •CFS: 连续时间傅里叶变换 连续时间傅里叶级数
•DTFT： 离散时间傅里叶变换 •DFS： 离散时间傅里叶级数


CTFT:连续时间傅里叶变换
适用信号:连续时间信号 变换公式:
X ( j ) x(t )e jt dt
概述 定义 性质 实现
傅里叶分析概述
傅里叶分析可以分析信号中的“频率成分”。 它是一个全局的分析。 它有很多好的性质：如其所选择的基本分析单元是LTI 系统的特征函数，可将其方便地用于分析线性时不变 系统-利用傅里叶分析可以将时域卷积运算转化成频域 相乘运算。 傅里叶分析数字实现时常常采用FFT进行快速实现。



f (t )e

it
dt
1 f (t ) 2

it ˆ f ( )e d
连续时间傅里叶变换性质 F ˆ f (t ) f
F ˆ f ˆ f1 * f 2 (t ) f 1 2
1 ˆ ˆ f1 (t ) f 2 (t ) f1 * f 2 ( ) 2 jt0 F f (t t0 ) f e

小波时频原子

特点：都是由一个基本的单元信号经过变换得到；
线性时频变换
Tf ( ) f ,

f (t ) (t )dt..................(1)
*

1 2
：参数集



* ˆ ˆ f ( ) ( )d........(2)
线性时频变换的时频局部化
4
[



tf ' (t ) f * (t ) dt]2
2 1 t ' [ f (t ) f * (t ) f '* (t ) f (t )]dt 4 2 f

2 1 2 t ( f (t ) )' dt 1 / 4(考 虑 到 lim t f (t ) 0, 再 由 分 部 积 分 ) 4 t 4 f
时频原子基本概念

时频原子

具有时频局部化特性的基本信号分析单元

短时傅里叶时频原子

(t ) gu, (t ) g (t u)eit
1 t u (t ) u ,s (t ) s s
短时傅里叶原子是通过平移和调制形成的； 小波原子是通过平移和伸缩得到的。

傅里叶变换不容易提供信号局部奇异性信息：

不容易从傅里叶变换系数在高频的分布规律分析出原始信号在特定点 上的奇异性（局部的变化）…..然而,小波变换可以做到这一点。

傅里叶变换在高频处的衰减性依赖于信号的整体奇异性。
傅里叶变换的衰减性与信号的全局正则性之间的关系：
ˆ ( )满足： 定理：如果信号f (t )的傅里叶变换f
(n)
1 (t0 ) 2

b
b
ˆ i n exp(it )d 0. f 0
1 b ˆ 因为：f (t ) f exp i t t0 exp(it0 )d , 2 b 将 exp(i (t t0 ))展开成无穷级数有： 1 [i (t t0 )]n f (t ) n! 2 n 0 这与f 0矛盾。


如果时频原子在时间上是集中于某个时刻点u周围,根 据(1)式,则 Tf ( ) 仅与信号f(t)在该邻域的值有关。 如果时频原子在频率上是集中于某个频率点 周围, 根据(2)式,则 Tf ( ) 仅与信号f(t)的频谱在该邻域的值 有关。
“最高的时频分辨率 ”

如果所选择的时频原子的能量在时间上集中在某个时 刻点,同时在频率上集中在某个频率点,则线性时频变 换的结果必然精确反映原始信号在某个时刻点和某个 频率点上的信息-具有最高的时频分辨率。 问题:上述时频原子存在否?


时频原子的分辨率受如下两个结论限制:

Heisenberg测不准原理 不存在同时具有时限和频限的时频原子
(t ) 的时频结构：时频局部化的定量描述 时频原子
设
F ˆ ( )， (t )的4个时频参数为： (t ) 1, (t )
u t (t ) dt : (t )的时域能量分布中心 .......... ......... 均值时间
连续、周期 离散、非周期
1 2 Ak X ( j k ) T T
DTFT j
离散时间傅立叶级数 DFS 1 x(n) Ak An x(k )
N
离散、周期 离散、周期
2 j k 1 Ak X (e N ) N
x(n) X (e )
CFS X (e jt ) x(k )
小波分析导论
第二章 时频分析与连续小波变换
时频联姻(Time Meets Frequency)

傅里叶分析回顾 联合时频分析的基本原理 短时傅里叶分析:STFT 连续小波变换:CWT 时频分析的应用


瞬时频率
基于短时傅里叶脊和小波脊的瞬时频率检测

本章小结
一、傅里叶分析回顾



FFT不是一种新的傅里叶变换,它仅仅是计算DFS 的一种快速算法.

FFT的出现极大地促进了傅里叶变换在工程 中的应用.
二、联合时频分析 联合时频分析引入的动机： 具有时变频率结构的信号在自然界中随处可见： 语音/音频信号 颜色变化的光线 雷达信号 地震信号 ……
1946年,Dennis Gabor(1971年 Nobel奖获得者) : “迄今为止，通信理论的基础一 直是信号分析的两种方法组成的： 一种将信号号描述成时间的函数， 另一种将信号描述成频率的函数 （Fourier分析）。这两种方法 都是理想化的……。然而，我们 每一天的经历－特别是我们的听 觉－却一直是用时间和频率来描 述的。”



1 x(t ) 2


X ( j )e
jt
d

CFS: 连续时间傅里叶级数

适用信号:连续时间周期信号 变换公式:
x(t )
k
a e
k

jk0t

k
a e
k

jk ( 2 / T ) t
1 1 jk0t jk ( 2 / T ) t ak x(t )e dt x(t )e dt TT TT
F F ˆ e jt0 f (t ) f 0
t F ˆ s f ( ) s f s F ˆ f ( p ) (t ) ( j ) p f
傅里叶变换的重要缺陷:难于获得信号的“局部变化”规律


ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
从频率分析角度看： 傅里叶变换不能提供频率随时间局部变化的规律。 从信号奇异性分析角度看:


DTFT：离散时间傅里叶变换
适用信号:离散时间信号 变换公式:
1 x ( n) 2
2
X (e
j
)e
jn
d
X (e )
j
n
x ( n )e

jn


DFS：离散时间傅里叶级数
适用信号:离散时间周期信号 变换公式:
x[n] 1 ak N



p ˆ f ( ) (1 )d ，
则:f (t )是有界的，并且f (t )具有p阶导数。 K ˆ 推论:如果存在常数K 及 0使得： f ( ) ， p 1 1 则:f (t )具有p阶导数。
傅里叶变换的快速算法：FFT

1965年库利和图基提出FFT算法
2 2
可以用 (u , )为中心，时宽为 t ( ),频宽为 ( )
的时频盒：heisenberg box定量表示 (t )的时频分辨率。

Heisenberg-box示例：

有关Heisenberg-box的几个值得注意的问题： 根据测不准原理，Heisenberg-box的面积至少要大于1/2； 在Heisenberg-box所处位置以外的地方并不表示该时频原子就没 有能量分布，Heisenberg-box只是代表了该时频原子的大部分能 量集中的位置和区域。
Heisenberg测不准原理结论
2 t2
1 4
b ( t u ) 2
当且仅当f (t ) ae
eit时等号成立
证明（ Weyl） ： 假 定 lim 1 2 f
4
t 2
t f (t ) 0, 不 失 一 般 性 ， 只 证 明定 该理 对 u 0时 成 立 。