几种定积分地数值计算方法

几种定积分的数值计算方法

摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计

算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明.

关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形

Several Numerical Methods for Solving Definite

Integrals

Abstract: Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods.

Keywords: Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid

1. 引言

在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数

)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式

⎰-=b

a

a F

b F x f )

()()(

求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ⎰-=b

a

a F

b F x f )

()()(

求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况:

(1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e

x ⎰-1

02

, ⎰

1

0sin dx x

x

等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。

(2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较．

2.几何意义上的数值算法

s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计

算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间

,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中n

a

b h -=

表示小区间的长度. 2.1矩形法

矩形法就是用小矩形面积近似代替各个小曲边梯形面积,从面积得到S 的近似值.若

取小区间左端点的函数值为小矩形的高,如图1中所示,则∑=-=n

i i x f n a b A 1

).( 图1 分割曲边矩形近似积分

2.2 梯形法

梯形法则用小直边梯形的面积近似代替小曲边梯形面积,见图2,从而得到S 的近似

值,即⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++-=∑-=11)(2)()(n i i x f b f a f n a b A . 图2 分割曲边梯形近似积分

2.3抛物线法

抛物线法以抛物线为曲边梯形的曲边,曲边梯形的面积近似代替小曲边梯形的面积,如图3所示.

图3 抛物线积分

210,,x x x 对应的曲线上的点210,,P P P 可以唯一地确定一条抛物线c bx ax y ++=2,这

条抛物线将作将代替从0x 至2x 的曲线段,此时积分可以转化为对抛物线积分,而抛物线的积分可以利用牛顿—莱布尼玆公式.第1、2个小区边梯形的面积:

)]()(4)([3

)2102120

x f x f x f h

dx c bx ax A x x ++=++=⎰（

上面利用了条件210,,P P P 是抛物线上的点以及等式1022x x x =+.同理可证： )]()(4)([3

h

4322x f x f x f A ++=

……

)]()(4)([3122/n n n n x f x f x f h

A ++=--

所以,})(2)(4)]()({[1

2/1

22/1

1232/21∑∑-==--+++=

+++≈n i i n i i n

a b n x f x f b f a f A A A S

3.概率意义上的数值算法

概率算法是定积分问题数值求解的一类常用方法,其设计思想简单,易于实现 .尽管算法要耗费较多计算时间,但是往往能得到问题的近似解,并且近似程度能随计算时间的增加而不断提高.概率算法可用于计算定积分的近似值.

3.1平均值法

考虑定积分⎰=b

a dx x f I )(的近似计算,其中)(x f 在[]

b a ,可积,用平均值法计算该积分,

首先随机产生n 个独立的随机变量,且服从在[]b a ,上均匀分布,即),2,1(n i i =ξ;其次,计

算I 的近似值I ,∑=-=n

i i f n a b I 1

)(ξ. 由中心极限定理知,若{}),2,1(n i i =ξ相互独立、同分布,且数学期望及标准差0>σ存在,则当n 充分大时,随机变量n

I

I Y σ

-=

渐近服从正态分布)1,0(N ,即对任意的0>αt ,