直线的一般式方程
直线方程公式大全
直线方程公式大全一、一般式方程直线的一般式方程表示为 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数。
直线方程大全中的其他形式可以通过一般式方程推导得出。
二、斜截式方程斜截式方程是直线方程的另一种常见形式。
它表示为 y = mx + c，其中 m 为斜率，c 为截距。
三、截距式方程截距式方程也是直线方程的一种常见形式，表示为 x/a + y/b = 1，其中 a、b 分别为 x 轴和 y 轴的截距。
四、两点式方程两点式方程通过直线上的两个点来表示直线方程。
设直线上的两个点为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，则两点式方程表示为 (y - y1) = ((y2 - y1)/(x2 - x1))(x - x1)。
五、点斜式方程点斜式方程利用直线上的一个已知点的坐标和该直线的斜率来表示方程。
设已知点为 (x1, y1)，斜率为 m，则点斜式方程表示为 y - y1 = m(x - x1)。
六、垂直线方程垂直线的特点是斜率不存在，所以其方程可以表示为 x = a，其中 a 为与 y 轴垂直的线在 x 轴上的截距。
七、水平线方程水平线的特点是斜率为零，所以其方程可以表示为 y = a，其中 a 为与 x 轴平行的线在 y 轴上的截距。
八、点式方程点式方程是直线方程中最简单的形式，利用直线上的一个已知点的坐标来表示直线方程。
设已知点为 (x1, y1)，则点式方程表示为 (y - y1) = m(x - x1)，其中 m 为直线的斜率。
九、角平分线方程角平分线是将一个角平分成两个相等的角的线段。
设角的两边斜率分别为 m1 和 m2，角平分线的斜率可表示为 m = (m1 + m2)/2，将平分线上的一个点坐标 (x1, y1) 代入点斜式方程可得到角平分线方程。
十、法线方程直线的法线是与该直线垂直的直线。
设直线的斜率为 m，法线的斜率可表示为-1/m，再通过已知点 (x1, y1) 可以得到法线方程。
3.2.3直线的一般式方程(最新)
所以 a 1; 综上, a 0 或 a 1.
练习3：直线x+m2y+6=0与直线 (m-2)x+3my+2m=0没有公共点,求实数m的值.
解：当m=0时, l1 : x 6 0, l2 : 2 x 0,
P0 ( x0 , y0 )
也具有形式Ax+By+C=0(B=0).
综上，都具有形式：Ax+By+C=0.
二、方程Ax+By+C=0表示直线
A C x , 1、当B≠0时, 方程可化为 y B B A 这是直线的斜截式方程，它表示斜率是
C 在y轴上的截距是 的直线. B
2、当B=0时，
4 x 3 y 12 0.
练习1：根据下列条件, 写出直线的方程, 并 把它化成一般式:
1 ⑴ 经过点 A(8, 2) , 斜率是 ; 2 ⑵ 经过点 B (4, 2) , 平行于 x 轴;
⑶ 经过点 P (3, 2) , P2 (5, 4) ; 1
x 2y 4 0 y20 x y 1 0
y
l
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0
o
x
四、A、B、C对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线： (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;
y
l
(2) B=0 , A≠0 , C≠0
o
x
四、A、B、C对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线： (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;
直线的一般式方程
(2)由直线的方程可求出斜率 k=－m2－m－3m2＋2＝1，解得 m＝0．
探究：课本P65
在方程Ax By C 0中，A, B,C为何值时，方程表示的直线
k 0, y y0
y
y0
l
yAxC C BB B
l与x轴平行 B 0, A 0,C 0 x l与x轴重合 B 0, A 0,C 0
法二 由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0. 将点(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
练习2.已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l平行； (2)过点(－1,3)，且与l垂直
解（2）法一 ∵ kl=－34, l′与 l 垂直，∴l′的斜率为43，又 l′过点(－1,3)，
练习2.已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1,3)，且与直线l平行； (2)过点(－1,3)，且与直线l垂直
解（1）法一 l 的方程可化为 y＝－34x＋3，∴l 的斜率为－34. ∵l′与 l 平行，∴l′的斜率为－34. 又∵l′过点(－1,3) ∴由点斜式知方程为 y－3＝－34(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
（1）已知直线 l
过点
A(5, 3)
，倾斜角为
2
，则直线 l
y 3 3(x 5)
方程为________________.
3
y 5x 3 （2）已知直线 l 过点 A(0, 3) ，斜率为 5 ，则直线 l 方程为________________.
直线的一般式方程
直线的一般式方程直线一般式方程适用于所有的二维空间直线。
它的基本形式是Ax+By+C=0 （A，B不全为零）。
因为这样的特点特别适合在计算机领域直线相关计算中用来描述直线。
方程表达式直线的一般式方程能够表示坐标平面内的任何直线。
（A，B不全为零即A^2+B^2≠0）该直线的斜率为(当B=0时没有斜率)平行于x轴时，A=0，C≠0；平行于y轴时，B=0，C≠0；与x轴重合时，A=0，C=0；与y轴重合时，B=0，C=0；过原点时，C=0；与x、y轴都相交时，A*B≠0。
结论两直线平行时：普遍适用：，方便记忆运用：(A2B2C2≠ 0）两直线垂直时：两直线重合时：两直线相交时：两直线一般式垂直公式的证明：设直线l1：A1x+B1y+C1=0直线l2：A2x+B2y+C2=0（必要性）∵l1⊥l2∴k1×k2=-1∵k1=-A1/B1，k2=-A2/B2 ∴(-A1/B1)(A2/B2)=-1 ∴（B1B2）/(A1A2)=-1∴B1B2=-A1A2∴A1A2+B1B2=0（充分性）∵A1A2+B1B2=0∴B1B2=-A1A2∴（B1B2）(1/A1A2)=-1∴(A1/B1)(A2/B2)=-1∴(-A1/B1)(-A2/B2)=-1∵k1=-A1/B1, k2=-A2/B2∴k1×k2=-1∴l1⊥l2方程求解一般式方程在计算机领域的重要性常用的直线方程有一般式、点斜式、截距式、斜截式、两点式等等。
除了一般式方程，它们要么不能支持所有情况下的直线（比如跟坐标轴垂直或者平行），要么不能支持所有情况下的点（比如x坐标相等，或者y坐标相等）。
所以一般式方程在用计算机处理二维图形数据时特别有用。
已知直线上两点求直线的一般式方程已知直线上的两点P1(X1,Y1) P2(X2,Y2)， P1 P2两点不重合。
对于AX+BY+C=0：当x1=x2时，直线方程为x-x1=0当y1=y2时，直线方程为y-y1=0当x1≠x2，y1≠y2时，直线的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1) 故直线方程为y-y1=(y2-y1)/(x2-x1)×(x-x1)即x2y-x1y-x2y1+x1y1=(y2-y1)x-x1(y2-y1)即(y2-y1)x-(x2-x1)y-x1(y2-y1)+(x2-x1)y1=0即(y2-y1)x+(x1-x2)y+x2y1-x1y2=0 ①可以发现，当x1=x2或y1=y2时，①式仍然成立。
直线的一般式方程
④经过两点P1（3，-2），P2（5，-4）；
x+y-1=0，
⒊求下列直线的斜率和在Y轴上的截距，并 画出图形： ① k= - 3，B=5； ① 3x+y-5=0 ② x/4 －y/5 =1 ③ x+2y=0
② k=5/4，b= -5 ； ③ k= -1/2，b=0； ④ k=7/6，b=2/3 ⑤ k=0，b=7/2。
㈠复习提问：
点斜式：已知直线上一点P1（x1，y1）的坐标， 和直线的斜率k，则直线的方程是
y y1 k ( x x1 )
有斜率的直线
斜截式：已知直线的斜率k，和直线在y轴上的 截距b则直线方程是
y kx b
有斜率的直线
x x 0 过点 与 x 轴垂直的直线可表示成 ， （x0 , y0） 过点（x0 , y0） 与y轴垂直的直线可表示成 y y0。
④ 7x－6y+4=0
⑤ 2y－7=0
1、直线方程的一般式Ax+By+C=0（A，B不同时为零）
A k 斜率为： B
纵截距为：
C B
2、掌握直线方程的一般式与特殊式的互化。
布置作业：课本P54-1、2；课本P55第六题
4 y 4 x 6 3
4x+3y – 12=0
巩固训练（一）
若直线l在x轴上的截距-4时，倾斜角的余弦值 是-3/5， 则直线l的点斜式方程是
直线l的斜截式方程是___________ 4x+3y+16=0 直线l的一般式方程是___________
例2：把直线L的方程x –2y+6= 0化成斜截式， 求出直线L的斜率和它在x轴与y轴上的截距， 并画图。 y
直线方程的一般式
3 2 x y 设 线 l的 程 直 方 的 + =1 得a + b =1(a > 0, b > 0) a b
3 2 3 2 ⋅ 由 + =1 ≥ 2 a b a b
得ab ≥ 24
3 2 1 1 时 S∆AOB = ab ≥ 12 当 = = 时 即a = 6, b = 4 ， a b 2 2 x y S∆AOB的 小 的 12 此 最 值 ， 时 + =1 6 4
对截距概念的深刻理解
求过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线? 求过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线? (1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线
当两截距都不的0时 当两截距都不的 时 解:设 直线的方程的: x + y =1 a a 代入得： 把(1,2)代入得： 代入得
1 2 + =1 a a
解：三条 设
x y 1 a+b= a =b
解得：a=b=3或a=-b=-1 解得： 或 直线方程的： 直线方程的：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x 或
(1,2)并且在 轴上的截距是x 并且在y 变：过(1,2)并且在y轴上的截距是x轴上的截 距的2倍的直线是（ 距的2倍的直线是（ ）
即：a=3 所以直线方程的： 所以直线方程的：x+y-3=0 那还有一条呢？ 那还有一条呢？
法二：用点斜式求解 法二：
当两截距都等于0时 当两截距都等于 时 y=2x (与x轴和 轴的截距都的 轴和y轴的截距都的 与 轴和 轴的截距都的0)
对截距概念的深刻理解
(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的 变： 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的 绝对值相等的直线有几条? 绝对值相等的直线有几条?
直线的两点式方程直线的一般式方程
直线的两点式方程直线的一般式方程直线是平面几何中的基本元素之一，可以用各种不同的方程表示。
其中，最常用的两种方式是直线的两点式方程和直线的一般式方程。
1.直线的两点式方程：(x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁)在这个公式中，表示直线上任意一点的坐标为(x,y)。
通过运算化简，可以得到直线的两点式方程的另一种形式：(y₁-y₂)*x+(x₂-x₁)*y+(x₁*y₂-x₂*y₁)=0这就是直线的两点式方程，也叫做点斜式方程。
2.直线的一般式方程：直线的一般式方程是通过直线的斜率和截距来表示的。
斜率表示了直线在坐标平面上的倾斜程度，截距表示了直线与坐标轴的交点。
假设直线的斜率为m，截距为b。
那么直线的一般式方程可以写为：y = mx + b这就是直线的一般式方程。
直线的斜率通过两点式方程的公式可以求解：m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)而直线的截距b可以通过将已知点的坐标代入直线方程求解。
例如，已知点A(x₁,y₁)在直线上，我们可以将其代入直线方程，然后解出截距b 的值。
另外，一般式方程也可以变形为标准式方程。
标准式方程表示为Ax+By+C=0，其中A、B、C是常数。
可以通过对一般式方程进行整理和变形，将其转化为标准式方程。
总结：直线的两点式方程通过已知直线上的两个点来表示直线方程，可以求解出直线上任意一点的坐标。
直线的一般式方程通过斜率和截距来表示直线方程，可以清晰地表示直线的特征。
两种方程都可以用于求解直线与其他几何元素的交点、直线的长度等问题。
在解题过程中，根据实际情况选择使用哪种方程比较方便。
直线的一般式方程
x轴上截距a y轴上截距b (a≠0，b≠0)
不能表示倾斜角 为0。、90。的x=x0
x=x1 y=y1
x=a y=b y=kx
巩固练习：
写出满足下列条件的直线方程 :
1.斜率是 3 , 经过点A(8, 2); 3
2.经过点B(2, 0),且与x轴垂直; 3.斜率为 4, 在y轴上的截距为7; 4.经过点A(1,8), B(4, 2); 5.在y轴上的截距是2, 且与x轴平行; 6.在x轴, y轴上的截距分别是4, 3.
思考2:二元一次方程的一般形式是什么？
Ax+By+C=0
直线的一般式方程
新知探究
思考1：平面直角坐标系中的每一条直线都可 以用一个关于x, y的二元一次方程表示吗？
任意一条直线l，在其上任取一点P0(x0,y0). 当直线l斜率为k时，方程为y-y0=k(x-x0)是关于 x,y的二元一次方程； 当直线l斜率不存在时, 方程为 x-x0=0也是关于 x,y的二元一次方程，其中y的系数为0.
复习回顾
1.直线的点斜式方程 3.直线的两点式方程
y y0 k(x x0 )
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
2.直线的斜截式方程 4.直线的截距式方程
y=kx+b
x y 1 ab
直线方程的形式及其适用范围
方程名称 方程形式
确定条件 适用范围
点斜式 y y0 k(x x0)
且A1A2＋B1B2＝0，求证: l1⊥l2.
解 :由A1A2 B1B2 0,
(1)设B1B2
0, 有直线l1的斜率k1
A1 B1
,
直线l2的斜率k2
A2 B2
,且
A1 B1
§3.2.3 直线的一般式方程
练习 金榜P55_1~6 P57_1~8, 品味高考
7 明天讲评作业和练习，请做好准备！
8
9
10
②直线与二元一次方程有什么关系?
2
②直线与二元一次方程有什么关系?
y －y0 = k （x－x0）
3
直线方程的一般式:
Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
例题分析
例5、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 求直线的点斜式和一般式方程.
4 ， 3
例6、把直线L 的方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出直 线l 的斜率和它在X轴与Y轴上的截距，并画出图形.
§3.2.3 直线的一般式方程
1
复习回顾
①直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.
点斜式 y －y0 = k （x－x0） 斜截式 y = kx + b y y1 y2 y1 ( x1 x2 , y1 y2 ) 两点式 x x1 x2 x1 截距式 x y 1 ab 0 a b
4
5
金榜P56金榜ຫໍສະໝຸດ 576小结目前为止我们学习了直线方程的五种形式
1、点斜式 y －y0 = k （x－x0）
2、斜截式 y = kx + b y y1 y2 y1 3、两点式 x x x x ( x1 x2 , y1 y2 ) 1 2 1 x y 1 ab 0 4、截距式 a b 5、一般式 Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
直线的一般式方程 课件
思考题 3 (1)直线 Ax＋By＋C＝0，当 A>0，B<0，C>0
时，直线必经过的象限是( )
A．一、二、三
B．一、二、四
C．二、三、四
D．一、三、四
(2)直线 y＝ax＋b(a＋b＝0)的图像是( )
(3)若方程 Ax＋By＋C＝0 表示与两条坐标轴都相交的直线，
【解析】 设 l 与 l1，l2 的交点为(x1，y1)，(x2，y2)， ∵(x1，y1)，(x2，y2)关于原点对称，∴xy22＝＝－－xy11.， 又∵43x（1＋－yx11＋）6－＝50（，－y1）－6＝0，∴x1＝－3263，y1＝263. 由两点式得方程2y63＝－x3263，即 x＋6y＝0.
若 AC<0，BC<0，知 A、C 异号，B、C 异号． ∴A、B 同号，即 AB>0. ∴此时直线经过第一、二、四象限，故排除 B. 故 A、B、C 同号． 【答案】 A
探究 3 (1)该题主要考查二元一次方程与直线的位置关系， 充分体现了数形结合思想的重要性．方法一是常用方法，其通过 分析斜率与截距的符号，来刻画直线的特征；方法二是解决选择 题的常用方法，即排除法，分析过程中要注意特殊值的巧妙应用．
探究 5 方法一用的是代入法，代入法是求曲线方程、函数 解析式经常采用的方法，代入法往往跟对称联系在一起．
思考题 5 (1)求直线 2x＋3y－6＝0 关于点 A(1，－1)对称 的直线方程．
【思路分析】 利用所求直线上任意一点 P 关于点 A 的对称点 P′在已知直线上的关系求解．
【解析】 设 P(x，y)为所求直线上任一点，则 P 关于 A(1， －1)的对称点 P′(x0，y0)在已知直线 2x＋3y－6＝0 上．
直线的一般式方程
直线的一般式方程直线是几何学中最基本的图形之一，具有许多重要的性质和应用。
在直线的研究中，一般式方程是一种常见的数学表示形式。
本文将介绍直线的一般式方程及其相关概念。
一、直线的一般式方程直线的一般式方程可以用以下形式表示：Ax + By + C = 0其中，A、B和C是常数，并且A和B不同时为0。
这个方程被称为完全形式的一般式方程。
在这个方程中，x和y分别代表直线上的点的横坐标和纵坐标。
二、一般式方程的性质1.斜率和截距直线的一般式方程可以通过斜率和截距来解释。
斜率表示了直线的倾斜程度，截距表示了直线与y轴的交点。
通过对一般式方程进行变形，可以得到直线的斜截式方程：y = -A/B * x - C/B在这个方程中，-A/B代表了直线的斜率，-C/B代表了直线与y轴的截距。
2.垂直直线和水平直线直线的一般式方程还可以用于判断直线的方向。
如果B为0，那么直线是水平的；如果A为0，那么直线是垂直的。
对于水平直线来说，一般式方程可以简化为：y = -C/B对于垂直直线来说，一般式方程可以简化为：x = -C/A这些简化形式的方程可以更直观地表示水平和垂直直线。
三、直线的一般式方程的应用直线的一般式方程在几何学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.直线的相交和平行通过直线的一般式方程，我们可以判断两条直线是否相交或平行。
如果两个方程的斜率相等但截距不相等，那么这两条直线平行；如果两个方程的斜率不相等，那么这两条直线相交。
2.直线的图形表示利用直线的一般式方程，我们可以画出直线的几何图形。
通过选择不同的x值，计算对应的y值，可以得到直线上的一系列点。
将这些点连接起来，就得到了直线的图形。
3.直线与其他几何图形的关系直线的一般式方程可以用于描述直线与其他几何图形的关系。
通过将直线的方程带入其他图形的方程中，可以求出两者的交点。
这样，我们可以判断两个几何图形之间的位置关系。
总结：直线的一般式方程是直线研究中常见的数学表示形式。
直线方程的五种形式
直线方程的五种形式直线方程一般式：Ax+By+C=0(A、B不同时为0)；点斜式：y-y0=k(x-x0)；截距式：x/a+y/b=1；斜截式：y=kx+b；两点式：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(x1≠x2，y1≠y2)。
直线方程表达形式1：一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)【适用于所有直线】K=-A/B，b=-C/BA1/A2=B1/B2≠C1/C2←→两直线平行A1/A2=B1/B2=C1/C2←→两直线重合横截距a=-C/A纵截距b=-C/B2：点斜式:y-y0=k(x-x0)【适用于不垂直于x轴的直线】表示斜率为k，且过（x0,y0）的直线3：截距式:x/a+y/b=1【适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线】表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线4：斜截式:y=kx+b【适用于不垂直于x轴的直线】表示斜率为k且y轴截距为b的直线5：两点式:【适用于不垂直于x轴、y轴的直线】表示过（x1,y1）和(x2,y2)的直线(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(x1≠x2，y1≠y2)6：交点式:f1(x,y)*m+f2(x,y)=0【适用于任何直线】表示过直线f1(x,y)=0与直线f2(x,y)=0的交点的直线7：点平式:f(x,y)-f(x0,y0)=0【适用于任何直线】表示过点（x0,y0）且与直线f（x,y）=0平行的直线8：法线式：x·cosα+ysinα-p=0【适用于不平行于坐标轴的直线】过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为α，p是该线段的长度9：点向式：(x-x0)/u=(y-y0)/v(u≠0,v≠0)【适用于任何直线】表示过点(x0,y0)且方向向量为（u,v）的直线10：法向式：a（x-x0）+b（y-y0）=0【适用于任何直线】表示过点（x0，y0）且与向量（a，b）垂直的直线。
高中数学知识点：直线方程的一般式
第 1 页 共 1 页 高中数学知识点：直线方程的一般式
关于x 和y 的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为
Ax+By+C=0，这个方程(其中A 、B 不全为零)叫做直线方程的一般式．
要点诠释：
1．A 、B 不全为零才能表示一条直线，若A 、B 全为零则不能表示一条直线.
当B ≠0时，方程③可变形为A C y x B B =--，它表示过点0,C
B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，斜率为A B -的直线．
当B=0，A ≠0时，方程③可变形为Ax+C=0，即C x A
=-，它表示一条与x 轴垂直的直线．
由上可知，关于x 、y 的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于x 、y 的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x 、y 的一次方程（如斜率为2，在y 轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x ―y+1=0，也可以是11022x y -+=，还可以是4x ―2y+2=0等．）。
直线的一般式方程
3.2.3 直线的一般式方程一、直线的一般式方程 1．直线的一般式方程在平面直角坐标系中，任何一个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x ，y 的二元一次方程 (其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式. 2．直线的一般式与斜截式、截距式的互化 直线的一般式、斜截式、截距式如下表：一般式斜截式截距式0(,Ax By C A B ++=不同时为0) (0)A C y x B B B=--≠ 1(,,x yA B C C CA B+=--都不为0)直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线.因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化：（1）当0B ≠时,0Ax By C ++=可化为A Cy x B B=--,它表示在y 轴上的截距为 ,斜率为 的直线.（2）当,,A B C 均不为零时，0Ax By C ++=可化为1x yC C A B+=--，它表示在x 轴上的截距为 ，在y 轴上的截距为 的直线.注意：解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式. 二、直线系方程 1．平行直线系方程把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程都可表示为 (其中m 为参数且m ≠C )，然后依据题设中另一个条件来确定m 的值. 2．垂直直线系方程一般地，与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程都可表示为 (其中m 为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定m 的值. 三、一般式方程中两直线平行与垂直的条件若两条直线的方程是用一般式给出的,设直线12,l l 的方程分别为1110A x B y C ++=,2220A x B y C ++=，则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下： （1）若12l l ∥，当斜率存在时，111222A B C A B C =≠；当斜率不存在时，120B B ==且1212C C A A ≠. 即1212210l l A B A B ⇔-=∥,且12210B C B C -≠或12210A C A C -≠. （2）若12l l ⊥，当斜率存在时，1212=1A A B B ⋅-；当斜率不存在时，120,0A B ==或210,0A B ==. 即1212120l l A A B B ⇔+=⊥.K 知识参考答案：一、1．0Ax By C ++= 2．（1）C B -A B - （2）C A - C B- 二、1．0Ax By m ++= 2．0Bx Ay m -+=K —重点 直线的一般式方程 K —难点 直线系方程的应用K —易错忽略直线斜率不存在的情况或两直线重合的情形致错1．直线的一般式方程（1）直线的一般式方程Ax By ++0C =中要求A ,B 不同时为0.（2）由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程；反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的使用条件. 【例1】若直线:5530l ax y a --+=不经过第二象限,则实数的取值范围是_________. 【答案】【解析】将直线的方程整理得y -35=(x -15),所以直线过定点A (13,55),直线OA 的斜率=305105--=3,要使不经过第二象限,需斜率≥=3,所以.【例2】设直线的方程为，根据下列条件分别确定的值：(1)在轴上的截距是；(2)的斜率是．2．由直线的位置关系求参数对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论：设直线12,l l 的方程分别为11A x B y ++10C =(1A ,1B 不同时为0)，2220A x B y C ++=(2A ,2B 不同时为0)，则1212210l l A B A B ⇔-=∥,且1221B C B C -0≠或12210A C A C -≠;1212l l A A ⇔+⊥120B B =.【例3】求m ，n 的值，使直线l 1：y =(m −1)x −n ＋7满足： （1）平行于x 轴；（2）平行于直线l 2：7x −y ＋15=0； （3）垂直于直线l 2：7x −y ＋15=0.【解析】（1）当直线 l 1平行于x 轴时，直线l 1的斜率为0，即m −1=0，m =1．又直线l 1不与x 轴重合，所以70n -+≠，即7n ≠.综上，当m =1且n ≠7时，直线 l 1平行于x 轴. （2）将7x −y ＋15=0化为斜截式得，y =7x ＋15，∴直线l 2的斜率k 2=7，截距b =15，当l 1∥l 2时，应有直线l 1的斜率k 1=7且截距b 1≠15，即m −1=7且−n ＋7≠15，∴m =8，且n ≠−8. （3）由题意及（2）可得(m −1)·7=−1，n ∈R ，即6,7m n =∈R 时，l 1⊥l 2. 3．由直线的位置关系求方程一般地,直线0Ax By C ++=中的系数A ,B 确定直线的斜率.因此,利用平行直线系或垂直直线系直接设出直线方程，用待定系数法即可求解.【例4】已知直线1l 的方程为3x ＋4y −12=0，求直线2l 的方程，2l 满足： （1）过点(−1，3)，且与1l 平行； （2）过点(−1，3)，且与1l 垂直【解析】（1）方法一 ：由题设1l 的方程可化为：334y x =-+， ∴1l 的斜率为34-，又2l 与1l 平行，∴2l 的斜率为34-又2l 过(−1，3)，由点斜式知方程为33(1)4y x -=-+，即3490x y +-=. 方法二：由2l 与1l 平行，可设2l 的方程为3x ＋4y ＋m =0(m ≠−12).将点(−1，3)代入上式得m =−∴所求直线方程为3490x y +-=（2）方法一：由题设1l 的方程可化为：334y x =-+，∴1l 的斜率为34-，由2l 与1l 垂直，得2l 的斜率为43， 又2l 过(−1，3)，由点斜式可得方程为43(1)3y x -=+，即4x −3y ＋13=0. 方法二：由2l 与1l 垂直，可设2l 的方程为4x −3y ＋n =0.将(−1，3)代入上式得n =13. ∴所求直线方程为4x −3y ＋13=0.【例5】已知直线平行于直线，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程.4．忽略直线斜率不存在的情况【例6】已知直线1l :(2−a )x +ay −3=0, 2l :(2a +3)x −(a −2)y +2=0互相垂直，求实数a 的值. 【错解】将1l 的方程化为23a y x a a -=+,得斜率12a k a -=;将2l 的方程化为23222a y x a a +=+--,得斜率2232a k a +=-.∵1l ⊥2l ,∴121k k ⋅=-,即23212a a a a+-⋅=--,解得a =−【错因分析】将直线的一般式方程化成斜截式，再运用直线的斜率判断直线垂直，没有考虑直线的斜率不存在的情况，所以答案不完整.【正解】因为1l ⊥2l ，则必有(2−a )(2a +3)−a (a −2)=0,即220a a --=,所以a =2或a =−1.【误区警示】1l ⊥2l 并不等价于121k k ⋅=-，一般地，设直线12,l l 的方程分别为11A x B y ++10C =，2220A x B y C ++=，则1212210l l A B A B ⇔-=∥,且12210B C B C -≠或12210A C A C -≠;12l l ⇔⊥ 12120A A B B +=.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．1．若0＋＋ax by c =表示的直线是y 轴，则系数a ，b ，c 满足的条件为 A ．bc =0 B ．a ≠0 C ．bc =0且a ≠0D ．a ≠0且b =c =02．直线330kx y k --+=恒经过点 A ．(3，0) B ．(3，3) C ．(1，3)D ．(0，3)3．直线0(0)ax y a a -+=≠在两坐标轴上的截距之和是 A ．1a -B ．1a -C ．1a +D ．1a a-4．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是 A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．220x y +-=D ．210x y +-=5．已知0,0ab bc <<,则直线ax +by =c 通过 A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 6．若直线420mx y +-=与直线250x y n -+=垂直，垂足为()1,p ，则n 的值为 A ．12- B ．2- C ．0D ．107．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为−4，则直线l 的点斜式方程为________________；截距式方程为________________；斜截式方程为________________；一般式方程为________________． 8．已知直线:20l ax y a +--=在轴和轴上的截距相等，则的值是________________. 9．中,已知,则边上的中线所在的直线的一般式方程为________________.10．以()1,3A ，()5,1B -为端点的线段的垂直平分线的一般式方程是________________. 11．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)直线斜率是3，且经过点；(2)直线过点，且垂直于轴；(3)直线斜率为4，在轴上的截距为；(4)直线在轴上的截距为3，且平行于轴； (5)直线经过，两点； (6)直线在，轴上的截距分别是，．12．(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值.(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？13．已知直线l 的方程为Ax ＋By ＋C =0，若直线l 过原点和第二、四象限，则 A ．B >0，C =0 B ．A >0，B >0，C =0 C ．AB <0，C =0D ．AB >0，C =014．已知过点()m A ,2-和点()4,m B 的直线为1l ，2:210l x y +-=，3:10l x ny ++=.若12l l ，32l l ⊥，则实数n m +的值为 A ．10-B ．2-C ．0D ．815．若直线4x −3y −12=0被两坐标轴截得的线段长为1c，则c 的值为________________． 16．设直线l 的方程为(1)20()a x y a a +++-=∈R ．（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； （2）若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．1 2 3 4 5 6 13 14 DBAACADA1．【答案】D【解析】y 轴表示的直线方程为x =0，所以a ，b ，c 满足的条件为a ≠0且b =c =0. 2．【答案】B【解析】330kx y k --+=可化为3(3)y k x -=-，所以过定点(3,3).故选B 3．【答案】A【解析】令0x =，得y a =；令0y =，得1x =-，故直线在两坐标轴上的截距之和为1a -. 4．【答案】A【解析】∵所求直线与直线220x y --=平行，∴所求直线的斜率为12k =，则所求直线的点斜式方程为10(1)2y x -=-，整理，得210x y --=. 5．【答案】C【解析】原直线可化为a c y x b b =-+,则a k b =->0,cb<0,故直线通过第一、三、四象限. 6．【答案】A【解析】由两直线垂直得2200,10m m -==，将()1,p 代入420mx y +-=，得104p +-20,2p ==-，将()1,2-代入250x y n -+=，得2100,12n n ++==-.8．【答案】-2或1 【解析】依题意，显然，当时，得，当时，得2a x a +=，则22aa a++=，即，得-2或1. 9．【答案】 【解析】由题意得的中点,所以中线的斜率211123k -==---，所以边上的中线所在的直线方程为()1213y x -=-+,整理得其一般式方程为.10．【答案】340x y ++=【解析】因为()1,3A ，()5,1B -，所以AB 的中点坐标为()2,2-，直线AB 的斜率为311=153-+，所以AB 的中垂线的斜率为3-，所以以()1,3A ，()5,1B -为端点的线段的垂直平分线方程是()232y x -=-+，即340x y ++=．12．【解析】法一：(1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行. ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需21432m m +=≠-，解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3. (2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直. ②若2a ＋3＝0，即时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直.③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，121a k a +=--，2123a k a -=-+. 当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即21·1123a a a a +-⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.13．【答案】D【解析】∵直线l 过原点，∴C =0.又直线l 过二、四象限，则其斜率小于0，即0A B -<，∴AB >0. 14．【答案】A 【解析】12l l ，422AB m k m -∴==-+，解得8-=m .又23l l ⊥，()121n ⎛⎫∴-⨯-=- ⎪⎝⎭，解得2-=n ，10m n ∴+=-.故选A.15．【答案】15【解析】令x =0，得y =−4；令y =0，得x =3.依题意得2213(4)c +-=，∴15c =. 16．【解析】（1）当直线l 过原点时，直线l 在x 轴和y 轴上的截距均为零，显然相等，此时a =2，直线l的方程为3x ＋y =0；当2a ≠时，截距存在且不为0，∴221a a a -=-+，即a ＋1=1，∴a =0，此时方程为x ＋y ＋2=0. 综上，满足题意的方程为3x ＋y =0或x ＋y ＋2=0.（2）将直线l 的方程变形为y =−(a ＋1)x ＋a −2.依题意有(1)020a a -+>⎧⎨-≤⎩，或(1)020a a -+=⎧⎨-≤⎩.解得a<−1，或a=−1.综上得a≤−1，即a的取值范围是(−∞，−1]．。
直线的一般式方程ppt课件
m 2
率为 ，由两条直线互相垂直得− ⋅
5
4 5
= −1，解得m = 10，故选D.
方法二：由两条直线互相垂直得m ⋅ 2 + 4 × −5 = 0，解得m = 10.故选D.
课中探究
（2）已知直线l：ax − 2y − a + 4 = 0.
①求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
解：证明：直线l的方程可化为 x − 1 a = 2 y − 2 ，
1
2
+ = 1，解得a = − ，所以直线的方程为
x + 2y + 1 = 0；
当直线过原点时，设所求直线的方程为y = kx，则−5k = 2，解得k =
2
5
以直线的方程为y = − x，即2x + 5y = 0.
综上，所求直线的方程为2x + 5y = 0或x + 2y + 1 = 0.
2
− ，所
② l1 ⊥ l2 ⇔ A1 A2 + B1 B2 = 0 .
（2）与直线Ax + By + C = 0平行的直线方程可设为Ax + By + m = 0 m ≠ C ；
与直线Ax + By + C = 0垂直的直线方程可设为Bx − Ay + m = 0.
课中探究
拓展
已知直线l：Ax + By + C = 0．
2.2 直线的方程
2.2.3 直线的一般式方程
【学习目标】
1.能根据直线特殊形式的方程归纳出直线的一般式方程.
2.能讨论特殊形式与一般式的关系，并能熟练地进行互化.
课前预习
直线的一般式方程
直线方程的一般式前面我们学习了直线方程的四种表达形式，它们都含有x 、y 这两个变量，并且x 、y 的次数都是一次的，即它们都是关于x 、y 的二元一次方程，那么直线的方程与二元一次方程有怎样的关系？1．直线的一般式方程(1)定义：关于x 、y 的二元一次方程__Ax ＋By ＋C ＝0__(其中A 、B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义：①当B ≠0时，则－A B ＝k (斜率)，－CB＝b (y 轴上的截距)；②当B ＝0，A ≠0时，则－CA＝a (x 轴上的截距)，此时不存在斜率．(4)二元一次方程与直线的关系：二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的．[归纳总结] AB >0时，k <0，倾斜角α为钝角；AB <0时，k >0，倾斜角α为锐角；A ＝0时，k ＝0，倾斜角α＝0°；B ＝0时，k 不存在，倾斜角α＝90°．2．直线方程的一般式与其他形式的互化 一般式化斜截式的步骤： ①移项：By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －CB ．一般式化截距式的步骤：①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ；②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③再化为截距式：x －C A ＋y－C B ＝1．预习自测1．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( D ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0D ．A 2＋B 2≠0[解析] A 、B 不能同时为0，则A 2＋B 2≠0． 2．直线2x ＋y ＋4＝0的斜率k ＝( B ) A ．2 B ．－2 C ．12D ．－12[解析] A ＝2，B ＝1，则k ＝－AB＝－2．3．直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有直线都恒过点( C ) A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1)D ．(2,1) [解析] 直线方程可化为y －1＝k (x －3) ∴无论k 为何值时，都过定点(3,1)．4．若直线l 1：x ＋ay －2＝0与直线l 2：2ax ＋(a －1)y ＋3＝0垂直，则a 的值为__－1或0__.[解析] 由题意，得2a ＋a (a －1)＝0 解得a ＝－1或0．命题方向1 ⇨直线的一般式方程典例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. (1)斜率是3，且经过点A (5,3)； (2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴； (3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴； (5)经过A (－1,5)、B (2，－1)两点； (6)在x 、y 轴上的截距分别是－3，－1．[思路分析] 根据条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程． [解析] (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，整理得3x －y ＋3－53＝0． (2)x ＝－3，即x ＋3＝0． (3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0． (4)y ＝3，即y －3＝0．(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，整理得2x ＋y －3＝0．(6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，整理得x ＋3y ＋3＝0. 〔跟踪练习1〕已知直线l 经过点A (－5,6)和点B (－4,8)，求直线的一般式方程和截距式方程． [解析] 直线过A (－5,6)、B (－4,8)两点 由两点式得y －68－6＝x ＋5－4＋5整理得2x －y ＋16＝0∴2x －y ＝－16，两边同除以－16得，x －8＋y16＝1．故所求直线的一般式方程为2x －y ＋16＝0，截距式方程为x －8＋y16＝1. 命题方向2 ⇨直线的一般式方程的应用典例2 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R ). (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[解析] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，当然相等． 则(a ＋1)×0＋0＋2－a ＝0，∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0； 若a ≠2，由题设l 在两轴上的截距相等，∴a －2a ＋1＝a －2即a ＋1＝1，∴a ＝0，方程即x ＋y ＋2＝0． ∴l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0． (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0a －2≤0，∴a ≤－1． 综上可知a 的取值范围是a ≤－1．『规律方法』 (1)在题目中出现“截距相等”、“截距互为相反数”、“一截距是另一截距的几倍”等条件时要全面考察，直线l 不经过某象限不要漏掉过原点的情况．(2)由直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)求直线在两轴上的截距时，令x ＝0得纵截距；令y ＝0得横截距．由两截距位置可知直线的位置．〔跟踪练习2〕设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，根据下列条件分别确定k 的值： (1)直线l 的斜率为－1；(2)直线l 在x 轴，y 轴上的截距之和等于0．[解析] (1)∵直线l 的斜率存在，∴直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2.由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5．(2)直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1．由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1． 命题方向3 ⇨平行与垂直的应用典例3 求过点A (2,2)且分别满足下列条件的直线方程： (1)与直线l ：3x ＋4y －20＝0平行； (2)与直线l ：3x ＋4y －20＝0垂直．[解析] 解法一：已知直线l ：3x ＋4y －20＝0的斜率k ＝－34．(1)过A (2,2)与l 平行的直线方程为 y －2＝－34(x －2)．即3x ＋4y －14＝0．(2)过A 与l 垂直的直线的斜率k 1＝－1k ＝43方程为y －2＝43(x －2)．即4x －3y －2＝0为所求．解法二：(1)设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0 由(2,2)点在直线上，∴3×2＋4×2＋c ＝0 ∴c ＝－14.∴所求直线为3x ＋4y －14＝0． (2)设所求直线方程为4x －3y ＋λ＝0 由(2,2)点在直线上，∴4×2－3×2＋λ＝0 ∴λ＝－2.∴所求直线为4x －3y －2＝0．『规律方法』 1.与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线可设为Bx －Ay ＋m ＝0．2．直线l 1∶A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0若l 1⊥l 2则：A 1A 2＋B 1B 2＝0；若A 1A 2＋B 1B 2＝0则l 1⊥l 2．若l 1∥l 2，则A 1B 2－A 2B 1＝0，反之若A 1B 2－A 2B 1＝0，则l 1∥l 2或l 1与l 2重合． 3.过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法：(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程；(2)可利用如下待定系数法：与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋C 1＝0，再由直线所过的点确定C 1；与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋C 2＝0，再由直线所过的点确定C 2．〔跟踪练习3〕(1)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0(2)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( A ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0[解析] (1)所求直线与直线x －2y －2＝0平行，故所求直线的斜率k ＝12，又直线过点(1,0)，利用点斜式得所求直线方程y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0．(2)由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l的典例4 已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值.[错解] 由1×3－m (m －2)＝0，得m ＝－1或3．[错因分析] 因存在斜率的两直线平行的等价条件为斜率相等且截距不等，所以上述解法忽略检验截距是否相等．[正解] 由1×3－m (m －2)＝0得，m ＝－1或m ＝3． 当m ＝－1时，l 1：x －y ＋6＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0． 两直线显然不重合，即l 1∥l 2．当m ＝3时，l 1：x ＋3y ＋6＝0，l 2：x ＋3y ＋6＝0． 两直线重合．故m 的值为－1．[警示] (1)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则A 1B 2－A 2B 1＝0⇔l 1∥l 2或l 1与l 2重合．所以，由A 1B 2－A 2B ＝0求出参数值后，需检验两直线是否重合． (2)在直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A 2＋B 2≠0； (3)直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，斜率为k ＝－AB .〔跟踪练习4〕直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则m 等于( C )A ．2或3B ．2C ．3D ．－3[错解] 直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即2m 2－5m ＋2＝m 2－4，m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3.故选A ．[错因分析] 错解忽视了当m ＝2时，2m 2－5m ＋2＝0且－(m 2－4)＝0．[思路分析] 直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A 与B 满足的条件是A 与B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0.当A ＝B ＝0时，方程变为C ＝0，不表示任何图形．[正解] 直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即2m 2－5m ＋2＝m 2－4，m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3，当m ＝2时，2m 2－5m ＋2＝0，－(m 2－4)＝0，则m ＝2不合题意，仅有m ＝3，故选C ．1．点线接合关系若点P 在曲线(直线)C 上，则点P 的坐标满足曲线(直线)C 的方程，反之也成立． 典例5 已知直线ax ＋3y ＋2a －1＝0过点(－1,1)，则a ＝__－2__. [解析] 由条件得，－a ＋3＋2a －1＝0 ∴a ＝－2． 〔跟踪练习5〕已知2a 1＋3b 1＝1,2a 2＋3b 2＝1，则过点A (a 1，b 1)，B (a 2，b 2)的直线方程为__2x ＋3y ＝1__． [解析] 由条件知，点A ，B 的坐标满足方程2x ＋3y ＝1，又经过A ，B 两点有且仅有一条直线，∴过A ，B 的直线方程为2x ＋3y ＝1．2．过直线定点典例6 直线(2λ＋1)x ＋(1－λ)y ＋λ－4＝0恒过定点__(1,3)__.[解析] 分离参数得λ(2x －y ＋1)＋(x ＋y －4)＝0由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3所以无论λ取何值，直线都过定点(1,3)． 〔跟踪练习6〕直线(t ＋2)x ＋(1－t )y ＋3－t ＝0过定点__⎝⎛⎭⎫－23，－53__． [解析] 分离参数得：(x －y －1)t ＋2x ＋y ＋3＝0由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3＝0x －y －1＝0得⎩⎨⎧x ＝－23y ＝－53.∴直线过定点⎝⎛⎭⎫－23，－53． 1．直线3x －2y －4＝0的截距式方程为( D ) A ．4x 3－y2＝1B ．x 13－y 12＝1C ．3x 4－y－2＝1D ．y 43＋y－2＝1[解析] 由3x －2y －4＝0，得3x －2y ＝4，即x 43＋y－2＝1，故选D ．2．已知点A (3，a )在直线2x ＋y －7＝0上，则a 等于( A ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2[解析] ∵点A (3，a )在直线2x ＋y －7＝0上，∴2×3＋a －7＝0，∴a ＝1．3．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a 、b 、c 应满足( B ) A ．ab >0，bc >0 B ．ab >0，bc <0 C ．ab <0，bc >0 D ．ab <0，bc <0[解析] 如图由图可知，直线的斜率k ＝－a b <0，∴ab >0，又直线在y 轴上的截距为－cb >0，∴bc <0，故选B ．4．直线l 1、l 2的斜率k 1、k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝__2__；若l 1∥l 2，则b ＝__－98__.[解析] 由根与系数的关系可知k 1＋k 2＝32，k 1·k 2＝－b 2，则当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－b2＝－1，解得b ＝2，当l 1∥l 2时，k 1＝k 2＝34，解得b ＝－2k 1·k 2＝－98．A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·南安一中高一检测)直线x －y ＋2＝0的倾斜角是( B ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90[解析] 由x －y ＋2＝0，得y ＝x ＋2． 其斜率为1，倾斜角为45°．2．若直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为( D ) A ．－2B ．－3C ．－2或－3D ．2或3[解析] ∵两直线平行，∴2×3＝m (m ＋1)，∴m 2＋m －6＝0 解得m ＝2或m ＝－3，经检验满足题意．3．直线3x －2y －4＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是( D ) A ．34，－12B ．13，12C ．34，－2D ．43，－2[解析] 将3x －2y －4＝0化成截距式为x 43＋y－2＝1，故该直线在x 轴、y 轴上的截距分别是43，－2．4．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，则a 的值为( D ) A ．1 B ．－13C ．－23D ．－2[解析] 由题意，得(－a2)×(－1)＝－1，a ＝－2．5．直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，且l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程是( A ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0[解析] 解法一：因为直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，所以设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，又l 在y 轴上截距为2，所以所求直线l 的方程为y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0．解法二：将直线y ＝x ＋1化为一般式x －y ＋1＝0，因为直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，可以设直线l 的方程为x ＋y ＋c ＝0，令x ＝0，得y ＝－c ，又直线l 在y 轴上截距为2，所以－c ＝2，即c ＝－2，所以直线l 的方程为x ＋y －2＝0．6．直线l ：(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0恒过定点( B ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－1，－1)D ．(1,1)[解析] 由(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0，得k (x －y －2)＋x ＋y ＝0由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2＝0x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1． ∴直线l 过定点(1，－1)． 二、填空题7．若直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为__2或－3__.[解析] 若m ＝－1，则l 1的斜率不存在，l 2的斜率为13，此时l 1与l 2不平行；若m ≠－1，则l 1的斜率为k 1＝－2m ＋1，l 2的斜率为k 2＝－m 3.因为l 1∥l 2，所以k 1＝k 2，即－2m ＋1＝－m3，解得m ＝2或－3.经检验均符合题意．8．若直线(2t －3)x ＋y ＋6＝0不经过第一象限，则t 的取值范围是__⎣⎡⎭⎫32，＋∞__. [解析] 直线方程可化为y ＝(3－2t )x －6 ∴3－2t ≤0，∴t ≥32．三、解答题9．求与直线3x －4y ＋7＝0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 的方程. [解析] 解法一：由题意知：可设l 的方程为3x －4y ＋m ＝0 则l 在x 轴、y 轴上的截距分别为－m 3，m4．由－m 3＋m4＝1知，m ＝－12．∴直线l 的方程为：3x －4y －12＝0． 解法二：设直线方程为x a ＋yb＝1由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－b a ＝34. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－3．∴直线l 的方程为：x 4＋y－3＝1．即3x －4y －12＝0．10．(2018·武威一中高一期末)当0<a <2时，直线l 1：ax －2y ＝2a －4与l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4和两坐标轴围成一个四边形，问a 取何值时，这个四边形面积最小，并求这个最小值.[解析] 如图，由已知l 1：a (x －2)－2(y －2)＝0，l 2：2(x －2)＋a 2(y －2)＝0． ∴l 1、l 2都过定点(2,2)，且l 1在y 轴上的截距为2－a ，l 2在x 轴上的截距为a 2＋2． ∴四边形面积：S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(2＋a 2)＝a 2－a ＋4＝(a －12)2＋154，又0<a <2，故当a ＝12时，S min ＝154．B 级 素养提升一、选择题 1．若直线y ＝－33x ＋4与直线l 垂直，则l 的倾斜角为( B ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°[解析] ∵直线l 与y ＝－33x ＋4垂直，∴k l ＝3． 直线倾斜角θ的正切值tan θ＝3，故θ＝60°．2．直线ax ＋by －1＝0(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是( D ) A ．12abB ．12|ab |C ．12abD ．12|ab |[解析] ∵ab ≠0，∴令y ＝0，得x ＝1a令x ＝0，得y ＝1b∴三角形的面积S ＝12·1|a |·1|b |＝12|ab |．3．方程y ＝k (x ＋4)表示( C ) A ．过点(－4,0)的一切直线 B ．过点(4,0)的一切直线C ．过点(－4,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(－4,0)且不平行于x 轴的一切直线[解析] 方程y ＝k (x ＋4)表示过点(－4,0)且斜率存在的直线，故选C ． 4．两直线mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( D ) A ．m ＝1B ．m ＝±1C ．⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ≠－1D ．⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ≠－1，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ≠1[解析] 根据两直线平行可得m 1＝1m ，所以m ＝±1，又两直线不可重合，所以m ＝1时，n ≠－1；m ＝－1时，n ≠1．二、填空题5．(2016～2017·合肥高一检测)已知直线l 与直线3x ＋4y －7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l 的方程为__3x ＋4y ±24＝0__.[解析] 设直线l 方程为3x ＋4y ＋b ＝0令x ＝0得y ＝－b 4； 令y ＝0得x ＝－b 3． 由条件知12·⎪⎪⎪⎪－b 4·⎪⎪⎪⎪－b 3＝24． 解之得b ＝±24．∴直线l 方程为3x ＋y ±24＝0．6．若直线(m ＋1)x ＋(m 2－m －2)y ＝m ＋1在y 轴上截距等于1，则实数m 的值__3__.[解析] 直线(m ＋1)x ＋(m 2－m －2)y ＝m ＋1的方程可化为(m ＋1)x ＋(m ＋1)(m －2)y ＝m ＋1由题意知m ＋1≠0，(m －2)y ＝1，由题意得1m －2＝1 ∴m ＝3．C 级 能力拔高1．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线l 不经过第一、三、四象限，求a 的取值范围．[解析] (1)将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15，所以l 的斜率为a ，且过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35，而点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，直线l 恒过第一象限．(2)将方程化为斜截式方程：y ＝ax －a －35.要使l 经过第一、三、四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0－a －35<0，解得a >3．2．求满足下列条件的直线方程.(1)经过点A (－1，－3)，且斜率等于直线3x ＋8y －1＝0斜率的2倍；(2)过点M (0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12．[解析] (1)因为3x ＋8y －1＝0可化为y ＝－38x ＋18所以直线3x ＋8y －1＝0的斜率为－38则所求直线的斜率k ＝2×(－38)＝－34． 又直线经过点(－1，－3)因此所求直线的方程为y ＋3＝－34(x ＋1) 即3x ＋4y ＋15＝0．(2)设直线与x 轴的交点为(a,0)因为点M (0,4)在y 轴上，所以由题意有4＋a 2＋42＋|a |＝12 解得a ＝±3所以所求直线的方程为x 3＋y 4＝1或x －3＋y 4＝1 即4x ＋3y －12＝0或4x －3y ＋12＝0．。
直线方程的一般式
直线方程的一般式1 直线方程直线方程是代数学中的一类常见方程，用于表示直线的位置和形状，与圆、椭圆等等曲线的方程一样，直线的几何型也是经典几何学中的主要概念，它也用于代数学和几何学中的诸多领域。
直线方程的一般式表示为y=ax+b(a!=0)，其中a和b是两个实数系数，x和y为两个变量，即在坐标平面上的横坐标和纵坐标，它们可以代表直线上的任意一个点。
即：2 直线与坐标轴上的点直线上每一点都有一个唯一的坐标，一般形式上一条直线可以由两个不共线的两个点A(X1, Y1)和B(X2, Y2)表示，直线方程就是用两个点构成的直线表示方法。
又如，当上图中的直线与坐标轴交点相应的横坐标分别为-3和3，纵坐标为4和-4，即A(-3,4)，B(3,-4)，可以推出直线的斜率为1/-1：3 直线方程的斜率斜率是指一条直线与水平坐标轴的夹角，用其倒数或斜率系数表示，斜率系数可由以下公式推出：斜率k= (y2-y1)/(x2-x1)又如，上例中A(-3,4)，B(3,-4)，由上式可推出斜率系数k= (-4-4)/(3+3)= -1/1 = -1。
因此用直线的两个点的坐标配合斜率系数，可以推出原直线方程的一般式表示：y=ax+b4 直线方程的特殊形式当a=1时，直线方程的一般式可简化为y=x+b，又称斜率系数为1的直线方程；当a=0时，直线方程的一般式可以变为y=b，两侧没有变量，此直线方程又称斜率系数为0的变量表达式，这类方程表示的是一条垂直于X轴的直线；5 直线方程的求解由直线方程的一般式表示可知：a的解可以从斜率系数获得，b的解可以从坐标点求出。
求解流程：（1）根据坐标点及斜率系数算出斜率；（2）由斜率系数求a；（3）由一个点求出b；（4）将a和b代入直线方程的一般式即可。
6 直线方程的应用直线方程在日常生活当中具有重要应用，可以用来解决很多实际问题，比如图像图案的设计、统计曲线的拟合分析、科学计算等等。
此外，直线方程还可以用来求解一些变量之间的关系，可以运用曲线拟合的方法去求解两组数据之间的联系，这样就可以从中了解数据是否存在规律。
直线的一般方程
方程。
，且在y轴上的截距为5的直线
4、过点M（-2，1）和N（4，3）的直线方程。
5、求直线2x-3y-7=0的斜率与倾斜角（精确到一
度）
习题练习8.2
C ,0 A0
考 且平行于y轴的直线（如下右图）．
（其中A、B不全为零）叫做
探
直线的一般式方程．
索
新
知
8．2 直线的方程
定义
直线方程的一般式：
我们把关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0(A、B不全为0) 叫做直线方程的一般式，简称一般式。
总结
由上面讨论可知： （1）平面上任何一条直线都可以用一 个关于x,y的二元一次方程来表示； （2）关于x,y的二元一次方程可以表示 一条直线；
（1）当 A 0，B 0 时，二元一次方程Ax By C 0 可化为
y
A B
x
C B
．表示斜率为
k
A B
，纵截距b
（2）当 A 0，B 0 时，方程为 y
C B
C 的直线． B
，表示经过点
P
0,
C B
动 且平行于x轴的直线（如下左图）．
脑 思
（3）当
A
0，B
0
时，方程为
x
CA，方表程示A经x过 点ByPC
22
k
1
3 2
5
BM 2 5
9
2
由点斜式可得所求直线方程
习题练习8.2
习题练习8.2
2、填空题：
（1）已知点A（-2，8）、B（6，4），则线段AB的中
点坐标公式为
，线段AB的长度 是
。
（2）已知直线的倾斜角α=30º，且直线过点
直线的五种方程形式
直线的五种方程形式1、一般式：$$ax+by + c = 0 \quad(a \neq 0 \quad or \quad b \neq 0)$$一般式的直线方程形式为：$$ax+by + c = 0 \quad(a \neq 0 \quad or \quad b \neq 0)$$，其中a、b、c 是实常数，ab 不能同时为 0，它们所组成的直线方程表示同时满足 a x + by + c = 0 的所有点（或着说各 x，y）为一直线上的点。
2、斜截式：$$y = kx+b \quad(k \neq 0)$$斜截式的直线方程形式为：$$y = kx+b \quad(k \neq 0)$$，其中k是斜率，b是截距，它们所组成的直线方程表示所有点（或着说各 x，y）满足 y = kx+b 为一直线上的点。
3、垂直于 y 轴：$$x = a \quad (a为任意常数)$$垂直于 y 轴的直线方程形式为：$$x = a \quad (a为任意常数)$$，也就是指直线与 y 轴垂直，其中a 是实常数，它们所组成的直线方程表示所有点（或着说各 x，y）满足 x = a 为一直线上的点。
4、垂直于 x 轴：$$y = a \quad (a为任意常数)$$垂直于 x 轴的直线方程形式为：$$y = a \quad (a为任意常数)$$，也就是说直线与 x 轴垂直，其中 a 是实常数，它们所组成的直线方程表示所有点（或着说各 x，y）满足 y = a 为一直线上的点。
5、参数式：$$x = x_0 + rcos\theta \quad y = y_0+rsin\theta$$参数式的直线方程形式为：$$x = x_0 + rcos\theta \quad y = y_0+rsin\theta$$，x0 、 y0 为任意点，r 为正数，$0 ≤ θ ≤ 2π$，它们所组成的直线方程表示同时满足x = x_0 + rcosθ 、y = y_0+rsinθ 的所有点（或着说各 x，y）为一直线上的点。
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3.2.3 直线的一般式方程
一、教学目标
1.掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
2.会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想.
3.通过教学，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练. 二、重点难点
教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化.
教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于x 和y 的一次方程的对应关系，关键是直线方程
各种形式的互化
三、教学过程 1、导入新课
前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题. 提出问题
①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y 的二元一次方程?
②关于x,y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线?
③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化? ④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?
⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?
讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α. 1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b. 2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零. 结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程.
②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=-B A x-B C ，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-B
A
，在y 轴上的截距为-B C 的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=-A
C
，
表示一条与y 轴平行或重合的直线.
结论2°：关于x,y 的一次方程都表示一条直线.
综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式. 注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式. 在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. 师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.
图1
列表：
思考探究：P98
例题讲解：
P98 例5、6
知能训练：
课本本节练习1、２、３.
拓展提升：
《名师金典》P60 例1 P61 例2、例3
.
3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
一、教学目标
1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.
2.当两条直线相交时，会求交点坐标.培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练.
3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.
4.以“特殊”到“一般”，培养学生探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.
二、重点难点
教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点.
教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.
三、教学过程： 1、导入新课
思路1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系. 课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.
思路2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.
2、提出问题
①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系？ ②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ ③解下列方程组(由学生完成)：
(ⅰ)⎩⎨⎧=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)⎪⎩
⎪⎨⎧+==-2131,
062x y y x .
如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？
设两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,
如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组⎪⎩⎪⎨
⎧=++=++0
,
0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解.
(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l 1与l 2相交;
(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行;
(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合.即
直线l 1、l 2联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧⇔⎪⎩⎪
⎨⎧.
,,212121平行重合相交无解无穷多解唯一解
转化、l l 、l l 、l l
(代数问题) (几何问题)
一般地，对于直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有
方程组⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎪
⎨
⎧⇔≠=⇔⇔==⇔⇔≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.,,002121212121212121212
121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C C
B B A A l l
C C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A 3、例题讲解：P103 例1、2，《名师金典》P63 例1、2
4、练习巩固：P104 第1、2题
5、作业：课本习题3.3 A 组1、2、3,选做4题.
3.3.2 两点间的距离
一、教学目标
1.使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性.
2.能灵活运用此公式解决一些简单问题；使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题，培养学生勇于探索，善于发现，独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质. 二、重点难点
教学重点：1、平面内两点间的距离公式.
2、如何建立适当的直角坐标系.
教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题. 三、教学过程： 1、导入新课
思路1.已知平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)，如何求P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的距离|P 1P 2|?
思路2.(1)如果A 、B 是x 轴上两点，C 、D 是y 轴上两点，它们的坐标分别是x A 、x B 、y C 、y D ，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，求|AB|. 2、提出问题
已知平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)，如何求P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的距离|P 1P 2|.
图1
在直角坐标系中，已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，如图1,从P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q.
在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.
因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|， 所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.
由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=2
12212)()(y y x x -+-.
3、例题讲解：P105 例3、4，《名师金典》P65 例1、2、3
4、练习巩固：P106 第1、2题
5、作业：课本习题3.3 A 组
6、
7、8；B 组6.。