直线的一般式方程

3.2.3 直线的一般式方程

一、教学目标

1.掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

2.会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想.

3.通过教学，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练. 二、重点难点

教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化.

教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于x 和y 的一次方程的对应关系，关键是直线方程

各种形式的互化

三、教学过程 1、导入新课

前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题. 提出问题

①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y 的二元一次方程?

②关于x,y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线?

③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化? ④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?

⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?

讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α. 1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b. 2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零. 结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程.

②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=-B A x-B C ，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-B

A

，在y 轴上的截距为-B C 的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=-A

C

，

表示一条与y 轴平行或重合的直线.

结论2°：关于x,y 的一次方程都表示一条直线.

综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式. 注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式. 在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. 师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.

图1

列表：

思考探究：P98

例题讲解：

P98 例5、6

知能训练：

课本本节练习1、２、３.

拓展提升：

《名师金典》P60 例1 P61 例2、例3

.

3.3 直线的交点坐标与距离公式

3.3.1 两条直线的交点坐标

一、教学目标

1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.

2.当两条直线相交时，会求交点坐标.培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练.

3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.

4.以“特殊”到“一般”，培养学生探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.

二、重点难点

教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点.

教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.

三、教学过程： 1、导入新课

思路1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系. 课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.

思路2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.

2、提出问题

①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系？ ②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ ③解下列方程组(由学生完成)：

(ⅰ)⎩⎨⎧=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)⎪⎩

⎪⎨⎧+==-2131,

062x y y x .

如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？

设两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,

如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组⎪⎩⎪⎨

⎧=++=++0

,

0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解.

(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l 1与l 2相交;

(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行;

(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合.即

直线l 1、l 2联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧⇔⎪⎩⎪

⎨⎧.

,,212121平行重合相交无解无穷多解唯一解

转化、l l 、l l 、l l

(代数问题) (几何问题)

一般地，对于直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有

方程组⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎪

⎨

⎧⇔≠=⇔⇔==⇔⇔≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.,,002121212121212121212

121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C C

B B A A l l

C C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A 3、例题讲解：P103 例1、2，《名师金典》P63 例1、2

4、练习巩固：P104 第1、2题

5、作业：课本习题3.3 A 组1、2、3,选做4题.