正弦函数和余弦函数的图像练习题
正弦函数与余弦函数的图象练习题
专项训练:正弦函数与余弦函数的图象一、单选题1．同时具有性质:①最小正周期是；②图象关于直线对称;③在上是增函数的一个函数是 ( ）A ．B ．C ．D ．2．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时,,则的值为( ). A ．B ．C ．D ．3．函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数,是A ． 最小正周期为的奇函数B ． 最小正周期为的偶函数C ． 最小正周期为的奇函数 D ． 最小正周期为的偶函数5．函数f (x )＝4x －3tan x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象大致为（ )A ．B ．C ．D ．6．如图是函数()(),(0)2f x cos x ππϕϕ<<＝＋的部分图象，则f (3x 0)＝( ）A ．12 B ． －12 C ．3． 37．已知f (x ）＝sin(ωx ＋φ）(ω>0,｜φ｜〈2π)的最小正周期为π，若其图象向左平移π3个单位长度后关于y 轴对称，则( ）A ． ω＝2，φ＝π3B ． ω＝2，φ＝π6C ． ω＝4，φ＝π6D ． ω＝2，ω＝－π68．函数y =sin2x +cos2x 最小正周期为A ．B ．C ． πD ． 2π9．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) 0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若x 1,x 2∈,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且f (x 1)＝f （x 2），则f (x 1＋x 2）＝（ )A ．12B ． 22C ．32D ． 1 10．下列函数中,周期为π,且在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数的是（ )A ． sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ． cos 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ． cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ． sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．函数y ＝－sin x ，x ∈π3,22π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的简图是( )A ．B ．C ．D ．12．函数f （x )=sin π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象的对称轴方程可以为 ( )A ． x=π12B ． x=5π12 C ． x=π3 D ． x=π613．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 （ ）A ．B ．C ．D ．14．函数()22sin sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是( ）。
5.4.1正弦函数余弦函数的图象(五大题型)(原卷版)
5．4．1 正弦函数、余弦函数的图象【题型归纳目录】题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图题型二：含绝对值的三角函数题型三：解三角不等式问题题型四：与三角函数有关的零点问题题型五：识图问题【知识点梳理】知识点一：正弦函数图象的画法1、描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法．2、几何法利用三角函数线作出正弦函数在[0,2]π内的图象，再通过平移得到sin y x =的图象．3、五点法先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个周期内的图象．在确定正弦函数sin y x =在[0,2]π上的图象形状时，起关键作用的五个点是3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22ππππ- 知识点诠释：（1）熟记正弦函数图象起关键作用的五点．（2）若x R ∈，可先作出正弦函数在[0,2]π上的图象，然后通过左、右平移可得到sin y x =的图象． 知识点二：正弦曲线（1）定义：正弦函数sin ()y x x R =∈的图象叫做正弦曲线．（2）图象知识点诠释：（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质．（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如[]0,2x π∈，方程lg sin x x =根的个数． 知识点三：用三角函数图象解三角不等式的方法1、作出相应正弦函数或余弦函数在[]0,2π上的图象；2、写出适合不等式在区间[]0,2π上的解集；3、根据公式一写出不等式的解集．【典型例题】题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图例1．画出下列函数在区间[]0,2π上的图象：(1)2sin y x =+；(2)sin 2y x =-；(3)3sin y x =．例2．已知函数()ππ2sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数()f x 在[]0,6上的图像. 例3．已知函数()π2sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R ．在用“五点法”作函数()f x 的图象时，列表如下：完成上述表格，并在坐标系中画出函数()y f x =在区间[]0,π上的图象；变式1．用“五点法”画出下列函数的简图：(1)1sin y x =+，[]0,2πx ∈；(2)2cos y x =，[]0,2x π∈．变式2．已知函数()2cos 3f x x =-+．完成下面表格，并用“五点法”作函数()f x 在[0]2π，上的简图：变式3．已知函数2cos 1f x x =-.（1）完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出()f x 在[]0,2π上的简图；.【方法技巧与总结】1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即sin y x =或cos y x =的图象在[]0,2π内的最高点、最低点和与x 轴的交点．2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换．题型二：含绝对值的三角函数例4．当[]2π,2πx ∈-时，作出下列函数的图象，把这些图象与sin y x =的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？ (1)sin y x =； (2)sin y x =.例5．画出函数11sin sin 22y x x =+的简图． 例6．作出函数2sin sin y x x =+，[],x ππ∈-的大致图像．变式4．作函数3sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象. 【方法技巧与总结】分类讨论解决绝对值问题题型三：解三角不等式问题例7．不等式1sin ,2x <-[0,2]x π的解集是（ ） A ．711,66ππ（） B ．45,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．57,66ππ（） D ．25,33ππ（） 例8．不等式12cos 0x +>的解集为（ ）A ．(2,2)()33k k k Z ππππ-++∈ B ．22(2,2)()33k k k Z ππππ-++∈ C ．(2,2)()66k k k Z ππππ-++∈ D ．2(2,2)()63k k k Z ππππ++∈ 【方法技巧与总结】用三角函数的图象解sin x a >（或cos x a >）的方法（1）作出直线y a =，作出sin y x =（或cos y x =）的图象．（2）确定sin x a =（或cos x a =）的x 值．（3）确定sin x a >（或cos x a >）的解集．题型四：与三角函数有关的零点问题例9．函数()sin f x x =，()cos g x x =的图象在区间[]2π,π-的交点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6例10．函数sin 2|sin |,[0,2π]y x x x =+∈的图象与直线12y =的交点共有 个. 例11．若函数()4sin 2,[0,]6f x x x ππ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭的图象与直线y m =恰有两个不同交点，则m 的取值范围是 .变式5．已知函数[]cos 2cos ,0,2y x x x π=+∈与函数y k =的图象有四个交点，则k ∈ .变式6．已知函数()12sin f x x =-.(1)用“五点法”做出函数()f x 在[]0,2x π∈上的简图；(2)若方程()f x a =在25,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个实根，求a 的取值范围. 变式7．方程sin 32m x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[0,]π上有两实根,求实数m 的取值范围及两个实根之和. 变式8．方程1cos 2a x -=在,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围． 【方法技巧与总结】方程的根（或函数零点）问题：三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．题型五：识图问题例12．函数()()sin e e x x f x -=+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．例13．如图为函数()f x 的大致图象，其解析式可能为（ ）A ．()()11cos f x x x x =++-B ．()()11sin f x x x x =-++-C ．()()11cos 2f x x x x =++--D ．()()()11e e x x f x x x -=++-- 例14．函数()1sin e x x xf x -=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．变式9．函数()e e 3πsin 232x x f x x -+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭在4，4⎡⎤-⎣⎦上的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．变式10．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数cos ()2sin ||x x f x x =+的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．变式11．函数π()412sin 2x x f x x -⎛⎫=-⋅⋅+ ⎪⎝⎭的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．变式12．函数()33cos 22x xf x x --=⋅的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【方法技巧与总结】利用排除法，从定义域、奇偶性、代数三个方面进行排除．【过关测试】一、单选题1．用“五点法”作y ＝2sin x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（ ）A ．π30,,π,π,2π22B ．ππ30,,,π,π424C ．0,π,2π,3π,4πD ．πππ3π0,,,,63222．如图所示，函数cos tan y x x =（3π02x <≤且π2x ≠）的图像是（ ）. A ． B ．C ．D ．3．方程sin x x =的实数解的个数为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．74．方程sin lg x x =，[]2π,2πx ∈-实根的个数为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．35．华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”所以研究函数时往往要作图，那么函数()sin cos2f x x x =+的部分图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6 ）A ．sin10cos10︒+︒B ．sin10cos10︒-︒C ．cos10sin10︒-︒D ．sin10cos10-︒-︒7．已知函数π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)a ⎡∈⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（ ）.A ．7π3π,124⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．函数11y x =-的图像与函数()2sin π24y x x =-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14二、多选题9．（多选）函数]sin 1,[0,2πy x x -∈=与y a =有一个交点，则a 的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2- 10．若函数()14sin f x x t =+-在区间π,2π6⎛⎫ ⎪⎝⎭上有2个零点，则t 的可能取值为（ ） A ．2- B ．0 C ．3 D ．411．函数cos y x =，π4π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图像与直线y t =（t 为常数，R t ∈）的交点可能有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 12．（多选）若函数()2cos f x x =，[]0,2x π∈的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则（ ）A ．当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x < B ．()01f = C ．302f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ D ．所围图形的面积为2π三、填空题13．若函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像在[0,]m 上恰好有一个点的纵坐标为1，则实数m 的值可以是 ． 14．函数22cos sin y x x =+的最小值是 ．15．如果方程sin x a =在π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，则实数a 的取值范围是 . 16．若()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()0,m 上有且只有一个零点，则实数m 的取值范围是 ； 四、解答题17．函数()sin 2sin f x x x =+，用五点作图法画出函数()f x 在[]0,2π上的图象；（先列表，再画图）18．用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,π上的大致图像. 19．已知函数()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (1)请用五点作图法画出函数()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象；（先列表，后画图）(2)设()()23,0,3m F x f x x π⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，当0m >时，试讨论函数()F x 零点情况. 20．在同一平面直角坐标系内画出正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =在区间[]0,2π上的图象，并回答下列问题．(1)写出满足sin cos x x =的x 的值；(2)写出满足sin cos x x >的x 的取值范围；(3)写出满足sin cos x x <的x 的取值范围；(4)当x ∈R 时，分别写出满足sin cos x x =，sin cos x x >，sin cos x x <的x 值的集合．214x k π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在0x π≤≤上有两个实数根12,x x ，求实数k 的取值范围，并求12x x +的值． 22．已知函数()[]1πsin 2,0,π26f x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭(1)填写下表，并用“五点法”画出()f x 的图象.(2)若函数()f x 满足不等式()34f x ≤，求x 的范围.。
高埂中学“正弦函数和余弦函数的图像和性质”练习题
正弦函数、余弦函数的图像和性质1．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的简图是( )2方程sin x ＝x10的根的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10 3下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11° 4． 设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数5． 定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫－5π3的值为( )A ．－12B.12 C ．－32D.32 6． 下列函数中，周期为2π的是( ) A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝⎪⎪⎪⎪sin x 2 D ．y ＝|sin 2x | 7． 函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 8下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2 )B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)9．函数y = sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2 4π的单调增区间是（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8π3π 8π3πk k ，，k ∈Z B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++8π5π 8ππk k ，，k ∈ZC.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-83ππ 8ππk k ，，k ∈ZD.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++87ππ 83ππk k ，，k ∈Z 10已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝－1f (x )(f (x )≠0)．若f (1)＝－5，f (f (5))的值．A 15 B —15 C 5 D —511． 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π4的最小正周期是________． 12 设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＝________.13 函数y ＝2cos x ＋1的定义域是___________14 关于函数f (x )=4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x (x ∈R )，有下列命题：①函数 y = f (x )的表达式可改写为y = 4cos(2x -π6)；②函数 y = f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③函数 y = f (x )的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0 6π，对称；④函数 y = f (x )的图象关于直线x = - π6对称. 其中正确的是 .15函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________．16（1）设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．（2）求函数y ＝12log cos -32x π⎛⎫⎪⎝⎭的单调增区间．17．已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π时f (x )的解析式．答案1．D 2.B 3.B 4.D 5.D 6.1 7.±3 8．(1)奇函数 (2)偶函数 (3)奇函数 9．C 10. 3 11．解 ∵sin x ＋1＋sin 2x ≥sin x ＋1≥0，若两处等号同时取到， 则sin x ＝0且sin x ＝－1矛盾， ∴对x ∈R 都有sin x ＋1＋sin 2x >0. ∵f (－x )＝ln(－sin x ＋1＋sin 2x ) ＝ln(1＋sin 2x －sin x ) ＝ln(1＋sin 2x ＋sin x )－1＝－ln(sin x ＋1＋sin 2x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数． 12．解 x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π时， 3π－x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x ) ＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数， ∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π. 13．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－1f (x )， ∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )，∴f (x )是周期函数，4就是它的一个周期． (2)解 ∵4是f (x )的一个周期． ∴f (5)＝f (1)＝－5， ∴f (f (5))＝f (－5)＝f (－1) ＝－1f (－1＋2)＝－1f (1)＝15.。
正弦、余弦函数的图像和性质的练习题
一题多变
2
新余市第六中学 高中数学 必修④
三、解答题
解： 令 sin x t , 则 1 t 1 7 2 则有函数 f (t ) t t (1 t 1) 4 画出函数f (t )的图像，如图所示
7 12、求函数 f ( x) sin x sin 2 x( x R)的值域 4
2
2
1
令 cos x t , 则有-1 t 1
2
则有f (t ) 1 t 3t (1 t 1)
2
-1
1
O
1
2
x
画出函数f (t )的图像，如图所示
通过观察发现
2
3
新余市第六中学 高中数学 必修④
一题多变
三、解答题
判断函数f ( x) sin 2 x 3 cos x( x R)的奇偶性，并求其值域 。
解得
a0
a的取值范围为 a0
一题多变 m 1 m3 已知 - x , cos x , 则m的取值范围是 __________ 。 6 3 m 1
新余市第六中学 高中数学 必修④
二、填空题
。 [0, ] 2 11 、不等式sin x 0在x [0,2 ]上的解集为__________ ____
y
2 1
通过观察发现
-1
1
O
1
2
x
1 b b 当x 1时， f (1) min 当x 时， f ( ) max 2 4 2a 2a 7 1 2 函数 f (t ) t t (1 t 1)的值域为 [ ,2] 4 4 7 1 函数 f ( x) sin 2 x sin x ( x R)的值域为 [ ,2] 4 4
正弦函数、余弦函数的图像(附答案)
正弦函数、余弦函数的图象[学习目标]1•了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系. -=知识梳理自主学习知识点一正弦曲线正弦函数y = sin x(x€ R)的图象叫正弦曲线.利用几何法作正弦函数y= sin x, x€ [0,2 n]图象的过程如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系y轴的左侧画单位圆，如图所示.②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确).过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0, £ n，扌，…，2n等角的正弦线.6 3 2③找横坐标：把x轴上从0到2 n (2 6.28一段分成12等份.④平移：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合.⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y= sin x, x€ [0,2 n]的图象.在精度要求不太高时,y= sin x, x € [0,2 诃以通过找出(0,0),(寸，1), ( n 0) , (# —1),(2 n 0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图.思考在所给的坐标系中如何画出y= sin x, x€ [0,2 7的图象？如何得到y= sin x, x€ R的图象？只要将函数y= sin x, x€ [0,2 n的图象向左、向右平行移动（每次2n个单位长度），就可以得到正弦函数y= sin x, x€ R的图象.知识点二余弦曲线余弦函数y= cos x（x€ R）的图象叫余弦曲线.n n 根据诱导公式sin x+ 2 = cos x, x€ R.只需把正弦函数y= sin x, x€ R的图象向左平移-个单位长度即可得到余弦函数图象（如图）.n 3要画出y = cos x, x€ [0,2従的图象，可以通过描出（0,1）,勺，0，（n - 1）, 0 , （2 n 1）五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y= cos x, x€ [0,2的图象.思考在下面所给的坐标系中如何画出y= cos x, x€ [0,2品的图象？答案题型探究重点突破题型一五点法”作图的应用例1利用五点法”作出函数y= 1-sin x（0 * 2曲）简图. 解（1）取值列表:⑵描点连线，如图所示:跟踪训练1作函数y = sin x , x € [0,2 n 与函数y =— 1 + sin x , x € [0,2冗的简图，并研究它 们之间的关系. 解按五个关键点列表：x 0 n2 n3 n ~22 n sin x1 0—1 0—1 + sin x—1 0—1 —2—1利用正弦函数的性质描点作图:x € [0,2 的图象.题型二利用正弦、余弦函数图象求定义域 例2 求函数f(x)= lg sin x +寸16 — x 2的定义域. sin x>0,解由题意得，x 满足不等式组216 — x 2 >0,—4 w x W 4,即作出y = sin x 的图象，如图所示.sin x>0,y =— 1 + sin x , 由图象可以发现，把结合图象可得定义域：x€ [ —4，—nU (0, n)跟踪训练2 求函数f(x)= lg cos x+ 25-x2的定义域.cos x>0解由题意得，x满足不等式组25—"0，cos x>0即—5W迄5，作出y= C0S x的图象，如图所示.结合图象可得定义域:x € —5,—3 nU题型三利用正弦、余弦函数图象判断零点个数例3在同一坐标系中，作函数y= sin x和y= lg x的图象，根据图象判断出方程sin x = lg x 的解的个数.解建立坐标系xOy,先用五点法画出函数y= sin x, x€ [0,2冗的图象，再依次向左、右连续平移2 n个单位，得到y= sin x的图象.描出点(1,0), (10,1)并用光滑曲线连接得到y= lg x的图象，如图所示.由图象可知方程sin x= lg x的解有3个.跟踪训练3方程x2—cos x = 0的实数解的个数是___________答案2解析作函数y= cos x与y= x2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解.思韻方法数形结合思想在三角函数中的应用例4函数f(x) = sin x+ 2|sin x|, x€ [0,2冗的图象与直线y= k有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围.3sin x, x € [0 , n,解f(x)= sin x+ 2|sin x|=—sin x, x€ n 2 n ].图象如图,F当堂检测自查自纠1.函数y= sin x (x€ R)图象的一条对称轴是()A. x轴B. y轴C.直线y= x D .直线x = 22.用五点法画y= sin x, x€ [0,2的图象时，下列哪个点不是关键点()1 A.(6，2)% 八B.(2, 1)C. ( , 0)D. (2 , 0)3.函数y= sin x, x€ [0,21 亠的图象与直线y= —2的交点为A(X1, y1), B(x2, y2),贝U X1 + x24. 利用五点法”画出函数y= 2-sin x, x€ [0,2的简图.5. 已知O w x< 2 n^试探索sin x与cos x的大小关系.若使f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，根据图可得k的取值范围是(1,3).A'课时精练、选择题n 3 n1函数y= —sin x, x€ —2, y 的简图是()2. 在同一平面直角坐标系内，函数y= sin x, x€ [0,2 与y= sin x, x€ [2 n 4 n的图象（）A .重合B .形状相同，位置不同C.关于y轴对称sin x= 10的根的个数是3.方程4.D .形状不同，位置不同B. 8C. 9D. 10函数A'3 n n5.如图所示，函数y= cos x阳n x|（0且x③的图象是（）D6. 若函数y= 2cos x(0< x< 2 n的图象和直线y= 2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是()A . 4B . 8C . 2 nD . 4 n二、填空题7. __________________________________________________ 函数y= ” . log^sin x的定义域是_________________________________________________________ .&函数y= _ 2cos x+ 1的定义域是 ___________ .___ 19. 函数f(x) = >,'sin 或为 ---------------- .10. _______________________________________________________________ 设0<x< 2 n,且|cos x—sin x|= sin x—cos x，贝U x 的取值范围为 ______________________ .三、解答题111. 用“五点法”画出函数y = 2 + sin x, x€ [0,2 n的简图.12. 根据y= cos x的图象解不等式:-于三cos x< 2, x€ [0,2 n]13. 分别作出下列函数的图象.(1) y= |sin x|, x€ R；(2) y= sin|x|, x€ R.当堂检测答案1答案 D 2. 答案 A 3. 答案 3n 解析如图所示， _ 3 nx i + X 2= 2 = 3 n. 4.解（1）取值列表如下:x 0 n2 n3n~22 n sin x 0 1 0 —i 0 y = 2— sin x21232⑵描点连线，图象如图所示:由图象可知 ①当x =m 或x = 5n时，sin x = cos x ；44③当 O W x <n或5n<x< 2 n时，sin x <cos x. 课时精炼答案一、选择题 1•答案 D 2.答案 B5 •解用“五点法”作出sin x>cos x ;解析根据正弦曲线的作法可知函数y= sin x, x€ [0,2 n与y= sin x, x€ [2 n 4n的图象只是位置不同，形状相同.3. 答案Ax解析在同一坐标系内画出y= 10和y= sin x的图象如图所示:¥=血JT根据图象可知方程有7个根.4. 答案D解析由题意得n 32cos x, 0或2 n 炸2,c 冗30, 2<x<2 n.显然只有D合适.5. 答案C解析当冗当2<x< n时，y= cos x • |tan| =—sin x;当n<<3n寸，y= cos x |tax|= sin x,故其图象为C.6. 答案D解析作出函数y = 2cos x, x€ [0,2 n]图象，函数y = 2cos x,x€ [0,2 n的图象与直线y = 2围成的平面图形为如图所示的阴影部分. 利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又••• OA= 2, OC= 2n,S阴影部分=S矩形OABC = 2 X 2 n= 4 n.、填空题7. 答案{x|2k n<<2k n+ n k€ Z}1解析由log2sin x> 0知0<sin x< 1,由正弦函数图象知2kn«2k n+n k€乙… 2 2& 答案2k n—3冗，2k n+ k€ Z1 2 2解析2cos x+ 1> 0 , cos x>—2,结合图象知x€ 2k n— " n, 2k n+" n , k€ Z.9.答案（一4,— nU [0 , n]sin x > 0, 2kx < 2k n+ n,解析2?16— x 2>0 — 4<x<4? — 4<x W — n 或 0 < x W n. 解析 由题意知sin x — cos x >0, 即卩cos x W sin x ,在同一坐标系画出 y = sin x , x € [0,2 n 与三、解答题11•解（1）取值列表如下:x 0 n2 n3 2n 2 n sin x 0 1 0 —1 0 1 ,. 1 3 1 1 1 -+ sin x222222⑵描点、连线，如图所示.12.解 函数y = cos x , x € [0,2 n 的图象如图所示: 根据图象可得不等式的解集为n, ,5 n 7 n, , 5 n{x|—W x < 或一W x < }3 6 63,.10.答案n 5 n 4，~4y = cos x , x € [0,2n 观察图象知x € 4, 5 n~4 .n 的图象,sin x 2k x< 2k n+n, 13.解(1)y= |sin x|=—sin x 2k n+n<W 2k n+ 2 n(k€ Z).其图象如图所示,sin x x>0 ,(2)y= sin |x| =—sin x x<0 .其图象如图所示,。
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象知识点归纳与练习(含详细答案)
第一章 三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．1．正弦曲线、余弦曲线2．“五点法”画图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是_________________________； 画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________． 3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向________平移π2个单位长度即可．知识点归纳：1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．一、选择题1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线x ＝π22．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式为( )A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x3．函数y ＝－sin x ，x ∈[－π2，3π2]的简图是( )4．在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π4 5．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π 6．方程sin x ＝lg x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 7．函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向右平移π2个单位后所得图象对应的函数解析式是__________．8．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是________________． 9．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．10．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________． 三、解答题11．利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)； (2)y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)．12．分别作出下列函数的图象．(1)y＝|sin x|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R.能力提升13．求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．14．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案知识梳理2．(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0) (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫32π，0，(2π，1) 3．左 作业设计1．D 2.B 3.D 4．A [∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4，34π.] 5．D [作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝2围成的平面图形，如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC 的面积，又∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 平面图形＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.]6．C [用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点⎝⎛⎭⎫110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．]7．y ＝－cos x解析 y ＝sin x 2π−−−−−−→向右平移个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 ∵sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，∴y ＝－cos x . 8.⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z 解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋2π3，k ∈Z . 9．2解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解．10.⎣⎡⎦⎤π4，5π4解析 由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与 y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示：观察图象知x ∈[π4，54π]．11．解 利用“五点法”作图 (1)列表：X 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x1121描点作图，如图所示．(2)列表：X0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x－2－1－1－2描点作图，如图所示．12．解 (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π) (k ∈Z )．其图象如图所示，(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0)－sin x (x <0)，其图象如图所示，13．解 由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >016－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．14．解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x x ∈[0，π]，－sin x x ∈(π，2π].图象如图，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3)．。
高中数学：正弦函数、余弦函数的图象练习
高中数学：正弦函数、余弦函数的图象练习(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.函数y=-sinx，x∈的简图是( )【解析】选D.y=-sinx，x∈的图象与y=sinx，x∈的图象关于x轴对称.【延伸探究】本题中y=-sinx改为y=-cosx，其他条件不变，则结果如何？【解析】选C.y=-cosx与y=cosx的图象关于x轴对称.2.用五点法作函数y=2sinx-1的图象时，首先应指出的五点的横坐标可以是( ) A.0，，π，，2π B.0，，，，πC.0，π，2π，3π，4πD.0，，，，【解析】选A.由五点法作图知：五点的横坐标可以是0，，π，，2π.【延伸探究】本题函数改为“y=cos2x”，则此时五点的横坐标又是什么？【解析】2x依次取0，，π，，2π，所以x依次取0，，，，π.3.函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到y=g(x)的图象，则y=g(x)的解析式为( )A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx【解析】选B.画出正余弦函数图象对比知y=g(x)的解析式为g(x)=-sinx.4.(2015·鹤岗高一检测)已知cosx=-且x∈[0，2π]，则角x等于( )A.或B.或C.或D.或【解析】选A.由cos=，结合图象可知x=π-或π+，即x=或.5.(·黄冈高一检测)函数y=1+sinx，x∈(0，2π)的图象与直线y=的交点有( )A.1个B.2个C.3个D.0个【解析】选B.作出函数y=1+sinx，x∈(0，2π)的图象和直线y=，由图可知交点有2个.二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知函数f(x)=3+2cosx的图象经过点，则b=________.【解析】b=f=3+2cos=4.答案：47.方程x2-cosx=0的实数解的个数是________.【解析】作函数y=cosx与y=x2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有2个实数解.答案：28.不等式sinx<-，x∈[0，2π]的解集为________.【解析】作出y=sinx，x∈[0，2π]的图象和直线y=-，由图象可知，sinx<-，x∈[0，2π]的解集为.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.利用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y=1-sinx(0≤x≤2π).(2)y=-2cosx+3(0≤x≤2π)【解析】利用“五点法”作图(1)列表：x 0 π2πsinx 0 1 0 -1 01-sinx 1 0 1 2 1描点作图，如图所示.(2)列表：x 0 π2π-2cosx -2 0 2 0 -2-2cosx+3 1 3 5 3 1描点、连线得出函数y=-2cosx+3(0≤x≤2π)的图象：10.判断方程-cosx=0的根的个数.【解析】设f(x)=，g(x)=cosx，在同一直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图：由图可知，f(x)与g(x)的图象有3个交点，故方程-cosx=0有3个根.【延伸探究】将本题方程改为“sinx=”，试判断此方程根的个数.【解析】如图所示，当x≥4π时，≥>1≥sinx；当x=π时，sinx=sinπ=1，=，1>，从而x>0时，有3个交点，由对称性知x<0时，有3个交点，加上x=0时的交点为原点，共有7个交点.即方程有7个根.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(·葫芦岛高一检测)函数f(x)=2sin的部分图象是( )【解析】选C.当x≥时，f(x)=2sin=2sin=-2cosx，当x<时，f(x)=2sin=2sin=2cosx.综上分析知，选C.2.如图所示，函数y=cosx·(0≤x<且x≠)的图象是( )【解析】选C.y=结合选项知，C正确.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(·佳木斯高一检测)函数y=的定义域是________.【解析】由sinx≥0解得2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z，所以函数y=的定义域是[2kπ，2kπ+π]，k ∈Z.答案：[2kπ，2kπ+π]，k∈Z4.已知函数y=2sinx的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积________.【解析】如图所示，y=2sinx，x∈的图象与直线y=2围成的封闭平面图形面积相当于由x=，x=π，y=0，y=2围成的矩形面积，即S=×2=4π.答案：4π【延伸探究】将本例函数改为y=2cosx，x∈[0，2π]，其他条件不变，结果又如何？【解析】作出函数y=2cosx，x∈[0，2π]的图象，函数y=2cosx，x∈[0，2π]的图象与直线y=2围成的平面图形，如图所示的阴影部分.利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC的面积，又因为|OA|=2，|OC|=2π，所以S平面图形=S矩形OABC=2×2π=4π.【补偿训练】(·淮南高一检测)如果直线y=m与函数y=sinx，x∈[0，2π)有且只有一个交点，则m=________；如果直线y=m与函数y=sinx，x∈[0，2π)有且只有两个交点，则m∈__________.【解题指南】画出y=sinx，x∈[0，2π)的图象，y=m是平行于x轴的一条直线，数形结合根据交点的个数判定m的范围.【解析】由y=sinx，x∈[0，2π)的图象知，m=±1时，y=m与其有一个交点；当m∈(-1，1)时，有且只有两个交点.答案：±1 (-1，1)三、解答题(每小题10分，共20分)5.用“五点法”作出函数y=1-cosx的简图.【解析】(1)列表x 0 π2πcosx 1 0 -1 0 11-cosx 1 1(2)描点，连线可得函数在[0，2π]上的图象，将函数图象向左，向右平移(每次2π个单位长度)，就可以得到函数y=1-cosx的图象，如图所示.6.方程sinx=在x∈上有两个实数根，求a的取值范围.【解题指南】作出y=sinx，x∈的图象和直线y=，观察图象，由的取值范围，求a的取值范围.【解析】在同一直角坐标系中作出y=sinx，x∈的图象，y=的图象，由图象可知，当≤<1，即-1<a≤1-时，y=sinx，x∈的图象与y=的图象有两个交点，即方程sinx=在x∈上有两个实根.。
正弦函数、余弦函数的图像(附答案)
正弦函数、余弦函数的图像(附答案)海黄和紫檀哪个更有价值怕上当受骗，我们教你如何鉴别小叶紫檀的真伪！点击访问：木缘鸿官网北京十里河古玩市场，美不胜收的各类手串让记者美不胜收。
“黄花梨和紫檀是数一数二的好料，市场认可度又高，所以我们这里专注做这两种木料的手串。
”端木轩的尚女士向记者引见说。
海黄紫檀领风骚手串是源于串珠与手镯的串饰品，今天曾经演化为集装饰、把玩、鉴赏于一体的特征珍藏品。
怕上当受骗，我们教你如何鉴别小叶紫檀的真伪！点击访问：木缘鸿官网“目前珍藏、把玩木质手串的人越来越多，特别是海黄和印度小叶檀最受藏家追捧，有人把黄花梨材质的手串叫做腕中黄金。
”纵观海南黄花梨近十年的价钱行情，不难置信尚女士所言非虚。
一位从事黄花梨买卖多年的店主夏先生通知记者，在他的记忆中，2000年左右黄花梨上等老料的价钱仅为60元/公斤，2002年大量收购时，价格也仅为2万元/吨左右，而往常，普通价钱坚持在7000-8000元/公斤，好点的1公斤料就能过万。
“你看这10年间海南黄花梨价钱涨了百余倍，都说水涨船高，这海黄手串的价钱自然也是一路飙升。
”“这串最低卖8000元，能够说是我们这里海黄、小叶檀里的一级品了，普通这种带鬼脸的海黄就是这个价位。
”檀梨总汇的李女士说着取出手串让记者感受一下，托盘里一串直径2.5mm的海南黄花梨手串熠熠生辉，亦真亦幻的自然纹路令人入迷。
当问到这里最贵的海黄手串的价钱时，李女士和记者打起了“太极”，几经追问才通知记者，“有10万左右的，普通不拿出来”。
同海南黄花梨并排摆放的是印度小叶檀手串，价位从一串三四百元到几千元不等。
李女士引见说，目前市场上印度小叶檀原料售价在1700元/公斤左右，带金星的老料售价更高，固然印度小叶檀手串的整体售价不如海黄手串高，但近年来有的也翻了数十倍，随着老料越来越少，未来印度小叶檀的升值空间很大。
“和海黄手串比起来，印度小叶檀的价钱相对低一些，普通买家能消费得起。
高中数学必修第一册三角函数正弦、余弦函数的图象知识点+例题+习题+解析
正弦函数、余弦函数的图象知识点正弦函数、余弦函数的图象五点法五点法思考为什么把正弦、余弦曲线向左、右平移2π的整数倍个单位长度后图象形状不变？答案由诱导公式一知sin(x＋2kπ)＝sin x，cos(x＋2kπ)＝cos x，k∈Z可得．【基础演练】【基础演练】1．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是()解析y＝sin(－x)＝－sin x，y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选B.2．用“五点法”画函数y＝1＋12sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是() A．0，π4，π2，3π4，π B．0，π2，π，3π2，2πC．0，π，2π，3π，4π D．0，π6，π3，π2，2π3解析 所描出的五点的横坐标与函数y ＝sin x 的五点的横坐标相同，即0，π2，π，3π2，2π，故选B.3．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( ) A ．重合 B ．形状相同，位置不同 C ．关于y 轴对称 D ．形状不同，位置不同答案 B解析 根据正弦曲线的作法可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同． 4．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫4π3，5π3 D.⎝⎛⎭⎫5π3，2π 解析 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下．当sin x ＝－32时，x ＝4π3或x ＝5π3， 可知不等式sin x <－32在[0,2π]上的解集是⎝⎛⎭⎫4π3，5π3.故选C. 5．函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝4的交点的坐标为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝cos x ＋4，y ＝4得cos x ＝0，当x ∈[0,2π]时，x ＝π2或3π2，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎫π2，4，⎝⎛⎭⎫3π2，4.【典型例题】考点一：正弦函数、余弦函数图象的初步认识 例1 (1)下列叙述正确的个数为( )①y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； ②y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称；③正弦、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．答案 D(2)函数y ＝sin |x |的图象是( )答案 B解析 y ＝sin |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，结合选项可知选B.反思感悟 解决正弦、余弦函数图象的注意点对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．跟踪训练1 下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是( ) A ．都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到 B ．都是对称图形 C ．都与x 轴有无数个交点D ．y ＝sin(－x )的图象与y ＝sin x 的图象关于x 轴对称 答案 A解析 由正弦、余弦函数图象知，B ，C ，D 正确．考点二：用“五点法”作三角函数的图象 例2 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]； (2)y ＝－2cos x ＋3，x ∈[0,2π]． 解 (1)列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．(2)列表：描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3，x∈[0,2π]的图象．反思感悟作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练2利用“五点法”作出函数y＝2＋cos x(0≤x≤2π)的简图．解列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．考点三：正弦函数、余弦函数图象的应用 例3 不等式2sin x －1≥0，x ∈[0,2π]解集为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π4 C.⎣⎡⎦⎤π6，π D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6答案 D解析 因为2sin x －1≥0，所以sin x ≥12.在同一直角坐标系下，作函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]以及直线y ＝12的图象．由函数的图象知，sin π6＝sin 5π6＝12.所以根据图象可知，sin x ≥12的解集为⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 延伸探究1．在本例中把“x ∈[0,2π]”改为“x ∈R ”，求不等式2sin x －1≥0的解集． 解 在x ∈[0,2π]上的解集为⎣⎡⎦⎤π6，5π6.所以x ∈R 时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z . 2．试求关于x 的不等式12<sin x ≤32.解 作出正弦函数y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，作出直线y ＝12和y ＝32，如图所示．由图可知，在[0,2π]上当π6<x ≤π3或2π3≤x <5π6时，不等式12<sin x ≤32成立，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π<x ≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z . 反思感悟 利用三角函数图象解三角不等式sin x >a (cos x >a )的步骤 (1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象． (2)确定在[0,2π]上sin x ＝a (cos x ＝a )的x 值． (3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集． (4)根据公式一写出定义域内的解集．跟踪训练3 求函数y ＝1－2cos x 的定义域． 解 依题意有1－2cos x ≥0，即cos x ≤12.作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]以及直线y ＝12的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z .根据函数图象求范围典例 函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________． 答案 (1,3)解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π.图象如图所示．结合图象可知1<k <3.[素养提升] 关于方程根的个数问题，往往运用数形结合的方法构造函数，转化为函数图象交点的个数问题来解决，体现了直观想象的核心素养．1．(多选)用五点法画y ＝3sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，32 B.⎝⎛⎭⎫π2，3 C ．(π，0) D ．(2π，3) 答案 AD解析 五个关键点的横坐标依次是0，π2，π，3π2，2π.代入计算得B ，C 是关键点．2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f (x )的图象( ) A ．与g (x )的图象相同 B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位长度，得g (x )的图象D ．向右平移π2个单位长度，得g (x )的图象答案 D解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin x ， f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到g (x )的图象．3．在[0,2π]上，函数y ＝2sin x －2的定义域是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤3π4，π解析 依题意得2sin x －2≥0，即sin x ≥22.作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象及直线y ＝22，如图所示．由图象可知，满足sin x ≥22的x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选B. 4．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝12交点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 由函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y ＝12有2个交点．5．函数f (x )＝sin x －1，x ∈[0,2π]的零点为________． 答案 π2解析 令f (x )＝0，∴sin x ＝1，∴又x ∈[0,2π]，∴x ＝π2.6．已知函数f (x )＝2cos x ＋1，若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π2，m ，则m ＝________；若f (x )<0，则x 的取值集合为________．答案 1 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z 解析 当x ＝π2时，f (x )＝2cos π2＋1＝1，∴m ＝1.f (x )<0，即cos x <－12，作出y ＝cos x 在x ∈[0,2π]上的图象，如图所示．由图知x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z . 7．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0，2π]． 解 函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3.8．(多选)函数y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]与y ＝a 有一个交点，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－2 答案 BD解析 画出y ＝sin x －1的图象．如图．依题意a ＝0或a ＝－2.9．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )答案 D解析 由题意得y ＝⎩⎨⎧2cos x ，0≤x ≤π2或3π2≤x ≤2π，0，π2<x <3π2.10．函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域为________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5 解析 由题意，得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ cos x >0，25－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x >0，－5≤x ≤5，作出y ＝cos x 的图象，如图所示．结合图象可得x ∈⎣⎡⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5.11．函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象和直线y ＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________． 答案 4π解析 如图所示，将余弦函数的图象在x 轴下方的部分补到x 轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.12．若方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个实数根，求a 的取值范围． 解 在同一直角坐标系中作出y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π的图象，y ＝1－a2的图象，由图象可知，当32≤1－a2<1，即当－1<a ≤1－3时，y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π的图象与y ＝1－a 2的图象有两个交点，即方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个实数根．。
正弦、余弦、正切函数的性质和图像
1-4-1正弦函数、余弦函数的图象一、选择题 1．对于正弦函数y ＝sin x 的图象，下列说法错误的是( )A ．向左右无限伸展B ．与y ＝cos x 的图象形状相同，只是位置不同C ．与x 轴有无数个交点D ．关于y 轴对称 2．从函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π)的图象来看，对应于cos x ＝12的x 有( )A ．1个值B ．2个值C ．3个值D ．4个值 3．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图象是()4．下列选项中是函数y ＝－cos x ，x ∈[π2，5π2]的图象上最高点的坐标的是( )A ．(π2,0)B ．(π,1)C ．(2π,1)D ．(5π2,1)5．函数y ＝cos x ＋|cos x |,x ∈[0,2π]的大致图象为( )6．如图所示，函数y ＝cos x |tan x |(0≤x <3π2且x ≠π2)的图象是()7．如图，曲线对应的函数是()A ．y ＝|sin x|B ．y ＝sin|x |C ．y ＝－sin|x |D ．y ＝－|sin x |8．下列函数的图象与图中曲线一致的是()A ．y ＝|sin x |B ．y ＝|sin x |＋12C ．y ＝|sin2x |D ．y ＝|sin2x |＋129．在(0,2π)内，使sin x ≥|cos x |成立的x 的取值范围为( )A ．[π4,3π4]B ．[π4,5π4]C ．[5π4,7π4]D ．[π4,π2]10．方程sin x ＝x10的根的个数是( )A ．7B ．8C ．6D ．5 二、填空题11．已知函数f (x )＝3＋2cos x 的图象经过点(π3，b )，则b ＝________.12．方程sin x ＝lg x 的解有________个． 13．sin x >0，x ∈[0,2π]的解集是________．14．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，x ＋2，x <0，则不等式f (x )>12的解集是______．三、解答题15．用“五点法”作出函数y ＝2－sin x ，x ∈[0,2π]的图象．16．利用“五点法”作出y ＝sin(x －π2)，x ∈[π2，5π2]的图象．17．根据函数图象解不等式sin x >cos x ，x ∈[0,2π]． 18．画出正弦函数y ＝sin x ，(x ∈R )的简图，并根据图象写出－12≤y ≤32时x 的集合．1-4-2-1周期函数一、选择题1．定义在R 上的函数f (x )，存在无数个实数x 满足f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )( ) A ．是周期为1的周期函数 B ．是周期为2的周期函数 C ．是周期为4的周期函数 D ．不一定是周期函数 2．函数y ＝sin 24x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小正周期为( ) A ．π B ．2π C ．4π D.π23．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin x2 B ．y ＝sin2xC ．y ＝cos x4 D ．y ＝cos4x4．下列函数中，不是周期函数的是( ) A ．y ＝|cos x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝|sin x | D ．y ＝sin|x |5．函数y ＝2cos 3x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小正周期是4π，则ω等于( )A ．2 B.12 C ．±2 D ．±126．函数y ＝7sin 35x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的周期是( )A ．2πB ．πC .π3 D.π67．函数y ＝cos(k 4x ＋π3)(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )A ．10B ．11C ．12D ．13 8．定义在R 上的周期函数f (x )的一个周期为5，则f (2011)＝( )A ．f (1)B ．f (2)C ．f (3)D ．f (4) 9．定义在R 上周期为4的函数，则f (2)＝( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2 10．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，f (x )＝sin x ，则f 53π⎛⎫⎪⎝⎭等于( ) A ．－12 B ．1 C ．－32 D.32二、填空题11．若函数y ＝4sin ωx (ω>0)的最小正周期是π，则ω＝________. 12．已知函数f (x )是定义在R 上周期为6的奇函数，且f (－1)＝－1，则f (5)＝________.13．若函数f (x )＝2cos(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．14．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋π6)，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．若412f απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝95，则sin α的值为________． 三、解答题15．求下列函数的周期．(1)f (x )＝sin 43x π⎛⎫+⎪⎝⎭(x ∈R )； (2)y ＝|sin x |(x ∈R )．16．函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期． 17．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出函数的简图．(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． 18．已知函数y ＝5cos ()2136k x ππ+⎛⎫-⎪⎝⎭(其中k ∈N )，对任意实数a ，在区间[a ，a ＋3]上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，求k 值．1-4-2-2正、余弦函数的性质一、选择题1．有下列三个函数：①y ＝x 3＋1；②y ＝sin3x ；③y ＝x ＋2x，其中奇函数的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2．使cos x ＝1－m 有意义的m 的取值范围为( )A ．m ≥0B ．0≤m ≤2C ．－1<m <1D ．m <－1或m >1 3．函数y ＝cos2x 在下列哪个区间上是减函数( ) A ．[－π4，π4] B ．[π4，3π4]C ．[0，π2]D ．[π2，π]4．y ＝2sin x 2的值域是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．R 5．函数y ＝sin x2＋cos x是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数6．已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |，x ∈R 为奇函数，则a 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．±1 7．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos (2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)8．已知A ＝{x |y ＝sin x }，B ＝{y |y ＝sin x }，则A ∩B等于( )A ．{y ＝sin x }B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |x ＝2π}D ．R9．函数y (x )＝－cos x ln x 2的部分图象大致是图中的()10．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π 二、填空题11．比较大小：sin 3π5______cos π5.12．函数y ＝sin(x －π6)，x ∈[0，π]的值域为________．13．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的范围是________． 14．函数y ＝3sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是_____． 三、解答题15．求函数y ＝sin x ,x ∈,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值．16．求函数y ＝13cos 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1的最大值，及此时自变量x 的取值集合． 17．已知函数f (x )＝log 12|sin x |.(1)求其定义域和值域； (2)判断其奇偶性； (3)求其周期； (4)写出单调区间．18．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间 [－π3，π4]上是增函数，求ω的取值范围．1-4-3正切函数的性质与图象一、选择题1．下列叙述正确的是( )A ．函数y ＝cos x 在(0，π)上是增函数B ．函数y ＝tan x 在(0，π)上是减函数C ．函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数D ．函数y ＝sin x 在(0，π)上是增函数 2．函数y ＝3tan 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭的定义域是( ) A.{|,}2x x k k ππ≠+∈ B.3{|,}28k x x k ππ≠-∈ C.{|,}28k x x k ππ≠+∈ D.{|,}2k x x k π=≠∈ 3．函数y ＝tan x ＋1tan x是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 4．下列直线中，与函数y ＝tan (2)4x π+的图象不相交的是( )A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π85．下列不等式中，正确的是( )A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5C ．tan 13()7π-<tan 15()8π- D ．tan 13()4π->tan 12()5π- 6．当－π2<x <π2时，函数y ＝tan|x |的图象( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不是对称图形7．在区间(－3π2，3π2)范围内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 8．函数y ＝tan(sin x )的值域是( )A ．[－π4，π4]B ．[－22，22]C ．[－tan1，tan1]D ．[－1,1]9．已知函数y ＝tan ωx 在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1 10．函数f (x )＝tan 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭在一个周期内的图象是二、填空题11．函数y ＝tan x －3的定义域是________． 12．函数y ＝－2tan 34x π⎛⎫+⎪⎝⎭的单调递减区间是 ．13．三个数cos10°,tan58°,sin168°的大小关系是 ． 14．若tan 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭≤1，则x 的取值范围是____．三、解答题15．求下列函数的单调区间：(1)y ＝tan 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭; (2)y ＝13tan2x ＋1； (3)y ＝3tan 64x π⎛⎫- ⎪⎝⎭16．求函数2tan 10tan 1,,43y x x x ππ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦的值域．17．已知函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，求f (π4)的值．18．已知函数f (x )＝3tan(12x －π3)．(1)求f (x )的定义域、值域；(2)讨论f (x )的周期性，奇偶性和单调性．1-4-1正弦函数、余弦函数的图象一、选择题1．D 2．B 3．B 4．B 5．D[析]32cos ,[0,][,2]22cos cos 30,[,]22x x y x x x πππππ⎧∈⎪⎪=+=⎨⎪∈⎪⎩ ，6．C [析]3sin ,[0,)[,)220,(,)2x x y x πππππ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩7．C 8．B 9．A [析] 在同一坐标系中画出函数sin y x =，x ∈(0,2π)与函数y ＝|cos x |，x ∈(0,2π)的图象，如图所示，则当sin x ≥|cos x |时，π4<x <3π4.10．A [析] 画出函数y ＝sin x ，y ＝x10的图象如图．两图象的交点个数为7，故方程sin x ＝x10的根有7个．二、填空题11．4 [析] b ＝f (π3)＝3＋2cos π3＝4. 12．313．(0，π) [析] 如图所示是y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，由图可知满足题意的解集是(0，π)． 14.350,22,266x x or k x k k ππππ⎧⎫-<<+<<+∈⎨⎬⎩⎭[解析] 在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )和函数y ＝12的图象，如图所示，当f (x )>12时，函数f (x )的图象位于函数y ＝12的图象上方,此时有－32<x <0或π6＋2k π<x <5π6＋2k π(k∈N )．三、解答题15．略 16．略17．[解析] 在同一坐标系中画出函数y ＝sin x 和y ＝cos x 在x ∈[0,2π]上的图象，如图所示，可知，当π4<x <5π4时，sin x >cos x ，即不等式的解集是(π4，5π4)．18．[解]过(0，－12)、(0，32)点分别作x 轴的平行线，从图象可看出它们分别与正弦曲线交于(7π6＋2k π，－12)，k ∈Z ，(π6＋2k π，－12)，k ∈Z 点和(π3＋2k π，32)，k ∈Z ，(2π3＋2k π，32)，k ∈Z 点，那么曲线上夹在对应两点之间的点的横坐标的集合即为所求，即当－12≤y ≤32时x 的集合为：{x |－π6＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z }∪{x |2π3＋2k π≤x ≤7π6＋2k π，k ∈Z }．1-4-2-1周期函数一、选择题1．D 2．C [解析] T ＝2π⎪⎪⎪⎪－12＝4π. 3．D [解析] T ＝2π4＝π24．D 5．D [解析] 4π＝2π|ω|，∴ω＝±12. 6．C [解析] T ＝12·2π3＝π3.7．D [解析] T ＝2πk 4＝8πk ≤2 ∴k ≥4π又k ∈N *∴k 最小为13，故选D8．A [解析] f (2011)＝f (402×5＋1)＝f (1)． 9．C [解析] ∵f (x )是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)又f (x )是4为周期的函数，∴f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)．∴f (2)＝－f (2)∴f (2)＝0，故选C.10．D [解析] f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－π＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝f ⎝⎛⎭⎫23π－π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. 二、填空题11．2 12．－1 13．6 [解析] T ＝2πω，又1<T <3，∴1<2πω<3. ∴12π<1ω<32π.∴2π3<ω<2π.则正整数ω的最大值为6.14．±45 [解析] ∵f (x )的最小正周期为π2，ω>0，∴ω＝2ππ2＝4.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6.由f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95，∴cos α＝35.∴sin α＝±1－cos 2α＝±45.三、解答题 15．[分析] 解答本题(1)可结合周期函数的定义求解；(2)可通过画函数图象求周期．[解析] (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫14x ＋π3，∴f (x ＋8π)＝sin ⎣⎡⎦⎤14(x ＋8π)＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫14x ＋π3＋2π ＝sin ⎝⎛⎭⎫14x ＋π3＝f (x )．∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫14x ＋π3的周期为8π. (2)函数y ＝|sinx |的图象如图所示．由图象知T ＝π.[点评] 求三角函数的周期，通常有三种方法．(1)定义法．根据函数周期的定义求函数的周期．如本例(1)．(2)公式法．一般地，对于y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ是常数且A ≠0，ω≠0)形式的函数，其周期为T ，则T ＝2π|ω|.本例(1)可用公式求解如下：T ＝2π14＝8π.(3)图象法，即大致画出函数的图象观察．如本例(2)．其中公式法是最常用而且简单的方法．16．[解析] ∵f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且4是它的一个周期．17．[解析] (1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z ). 函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π.18．[解析] 由5cos(2k ＋13πx －π6)＝54，得cos(2k ＋13πx －π6)＝14.∵函数y ＝cos x 在每个周期内出现函数值为14的有两次，而区间[a ，a ＋3]长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值14不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．即2×2π2k ＋13π≤3，且4×2π2k ＋13π≥3.∴32≤k ≤72.又k ∈N ，故k ＝2,3.1-4-2-2正、余弦函数的性质一、选择题 1．C [解析] 函数y ＝x 3＋1不是奇函数也不是偶函数；函数y ＝sin3x 和y ＝x ＋2x是奇函数．2．B [解析] ∵－1≤cos x ≤－1，∴－1≤1－m ≤1.∴0≤m ≤2.3．C [解析] ∵y ＝cos2x ，∴2k π≤2x ≤2k π＋π(k∈Z )，即k π≤x ≤k π＋π2(k ∈Z )，亦即[k π，k π＋π2](k∈Z )为y ＝cos2x 的单调递减区间．而C ，[0，π2]显然满足上述区间，故选C.[点评] 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法来解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ(ω>0)”视为一个“整体”(若ω<0，可利用三角函数的诱导公式化x 系数为正)．②A >0(A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式的方向相同(反)．4．A [解析] ∵x 2≥0，∴sin x 2∈[－1,1]，∴y ＝2sin x 2∈[－2,2]．5．A [解析] 定义域为R ，f (－x )＝sin (－x )2＋cos (－x )＝－sin x2＋cos x＝－f (x )，则f (x )是奇函数．6．A [解析] 解法一：易知y ＝sin x 在R 上为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝0.解法二：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即sin(－x )－|a |＝－sin x ＋|a |，－sin x －|a |＝－sin x ＋|a |.∴|a |＝0，即a ＝0.7．A [解析] 选项A ：y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x ，周期为π，在[π4，π2]上为减函数；选项B ：y ＝cos(2x＋π2)＝－sin2x ，周期为π，在[π4，π2]上为增函数；选项C ：y ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，周期为2π；选项D ：y ＝cos(x ＋π2)＝－sin x ，周期为2π.故选A.8．B [解析] A ＝R ，B ＝{y |－1≤y ≤1}，则A ∩B ＝{y |－1≤y ≤1}． 9．A [解析] 函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝－cos(－x )ln(－x )2＝－cos x ln x 2＝f (x )，则函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项C 和D ；当x ∈(0,1)时，cos x >0,0<x 2<1，则ln x 2<0，此时f (x )>0，此时函数f (x )的图象位于x 轴的上方，排除选项B.10．D [解析] 如图所示．由图可知，S 1＝S 2，S 3＝S 4，因此函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象与直线y ＝2所围成的图形面积即为矩形OABC 的面积．∵|OA |＝2，|OC |＝2π，∴S 矩形＝2×2π＝4π. 二、填空题11．> 12．[－12，1] 13．(－π，0] [解析]由y ＝cos x 在[－π，a ]上是增函数，则－π<a ≤0.14．⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) [解析] 令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 则k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z . 三、解答题15．[解析] 函数y ＝sin x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上是增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数，所以函数y ＝sin x在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值是sin π2＝1，最小值是sin π4＝22；函数y ＝sin x 在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上的最大值是sin π2＝1，最小值是sinπ＝0. 所以函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π的最大值是1，最小值是0.16．[解析] ∵x ∈R ，∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4≤1. ∴23≤13cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1≤43. ∴函数y ＝13cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1的最大值是43.此时2x －π4＝2k π(k ∈Z )，∴x ＝k π＋π8.即此时自变量x 的取值集合是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π8，k ∈Z .17．[解析] (1)由|sin x |>0得sin x ≠0，∴x ≠k π(k ∈Z )．即函数定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．又0<|sin x |≤1，∴log 12|sin x |≥0.∴函数的值域为[0，＋∞)．(2)∵f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝log 12|sin(－x )|＝log 12|－sin x |＝log 12|sin x |＝f (x )．∴f (x )为偶函数．(3)函数f (x )是周期函数，∵f (x ＋π)＝log 12|sin(x ＋π)|＝log 12|－sin x |＝log 12|sin x |＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝π.(4)∵y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数，u ＝|sin x |在⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数， 在⎣⎡⎭⎫k π－π2，k π(k ∈Z )上是减函数． ∴f (x )在⎣⎡⎭⎫k π－π2，k π(k ∈Z )上是增函数， 在⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )上是减函数． 即f (x )的单调增区间是⎣⎡⎭⎫k π－π2，k π(k ∈Z )， 单调减区间是⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )． 18．[解析] 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z )得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )． 据题意，⎣⎡⎦⎤－π3，π4 ⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )．从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3π2ω≥π4ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是(0，32]．1-4-3正切函数的性质与图象一、选择题1．C 2．C [解析] 要使函数有意义，则2x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )，则x ≠k 2π＋π8(k ∈Z )． 3．A [解析]定义域是{|,}2x x k k ππ≠+∈{|,}x x k k π≠∈ ＝{|,}2k x x k π≠∈ .又f (－x )＝tan(-x )＋1tan (－x )＝－1(tan )tan x x+＝－f (x )，即函数y ＝tan x ＋1tan x是奇函数．4．C [解析] 由2x ＋π4＝k π＋π2得，x ＝k π2＋π8 (k∈Z )，令k ＝0得，x ＝π8.5．D [解析] 433tan tan()tan 777πππ=-<; 322t a n t a n ()t a n 555πππ=-<, 1315t a n ()t a n ,t a n ()t a n ,7788ππππ-=-=1315t a n t a n t a n ()t a n (),7878ππππ>∴->- 13tan()tan(3)tan()tan4444πππππ-=--=-=-12222tan()tan(2)tan()tan 5555πππππ-=--=-=-又2tan tan 54ππ>，所以1213t a n ()t a n ()54ππ->-, 6．C 7．B 8．C 9．B [解析] 若ω使函数tan y x ω=在(,)22ππ-内是减函数，则有ω<0，并且周期T ＝π|ω|≥π2－()2π-＝π.则－1≤ω<0.10．A[解析]3()tan()tan(),36363f ππππ=-=-=-则()f x 的图象过点3(,)33π-，排除选项C ，D ；2()tan()tan 00333f πππ=-==，则()f x 的图象过点2(,0)3π，排除选项B.故选A. 二、填空题11．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3＋k π≤x <π2＋k π，k ∈Z [解析] 要使函数有意义，自变量x 的取值应满足tan x －3≥0，即tan x ≥ 3.解得π3＋k π≤x <π2＋k π，k ∈Z .12．⎝⎛⎭⎫k π3－π4，k π3＋π12(k ∈Z )[解析] 求此函数的递减区间，也就是求y ＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的递增区间，由k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z 得：k π3－π4<x <k π3＋π12，∴减区间是⎝⎛⎭⎫k π3－π4，k π3＋π12，k ∈Z . 13．sin168°<cos10°<tan58° [解析] ∵sin168°＝sin12°<sin80°＝cos10°<1＝tan45°<tan58°，∴sin168°<cos10°<tan58°.14．⎝⎛⎭⎫－π6＋k π2，5π24＋k π2(k ∈Z ) [解析] 令z ＝2x －π6，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上满足tan z ≤1的z 的值是－π2<z ≤π4，在整个定义域上有－π2＋k π<z ≤π4＋k π，解不等式－π2＋k π<2x －π6≤π4＋k π，得－π6＋k π2<x ≤5π24＋k π2，k ∈Z .三、解答题15．(1)由k π－π2<x －π4<k π＋π2得k π－π4<x <k π＋3π4(k ∈Z )， 所以函数的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z .(2)由k π－π2<2x <k π＋π2得k π2－π4<x <k π2＋π4(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π2－π4，k π2＋π4(k ∈Z )．(3)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6，由k π－π2<x4－π6<k π＋π2得4k π－4π3<x <4k π＋8π3，所以函数的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )． 16．[解析] 由x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，得tan x ∈[]1，3， ∴y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－(tan x －5)2＋24. 由于1≤tan x ≤3，∴8≤y ≤103－4， ∴函数的值域是[8,103－4]．17．[解析] ∵ω>0，∴函数f (x )＝tan ωx 的周期为πω，且在每个独立区间内都是单调函数，∴两交点之间的距离为πω＝π4，∴ω＝4，f (x )＝tan4x ，∴f (π4)＝tanπ＝0.18．已知函数f (x )＝3tan(12x －π3)．(1)求f (x )的定义域、值域；(2)讨论f (x )的周期性，奇偶性和单调性．[解析] (1)由12x －π3≠π2＋k π，k ∈Z ，解得x ≠5π3＋2k π，k ∈Z .∴定义域为{x |x ≠5π3＋2k π，k ∈Z }，值域为R .(2)f (x )为周期函数，周期T ＝π12＝2π.f (x )为非奇非偶函数．由－π2＋k π<12x －π3<π2＋k π，k ∈Z ，解得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π，k ∈Z .∴函数的单调递增区间为(－π3＋2k π，5π3＋2k π)(k ∈Z )．。
【新教材精创】5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像 练习(2)(解析版)
【解析】画出 在 的图像如下图所示，由图像可知， 对应的 的取值范围是 .
7．函数 的图像与直线 的交点坐标为_______________.
【答案】
【解析】由cosx+4＝4，求得cosx＝0，再结合x∈[0，2π]，可得x ，或x ，
即函数y＝cosx+4，x∈[0，2π]与直线y＝4的交点坐标为 或 ，
12．求函数 的 定义域．
【答案】
【解析】由题设可得 ，即 ，借助正弦曲线解 得： ，借助余弦曲线解 得 ，求其交集可得 ，故所求函数的定义域是 。
素养达成
13．用“五点法”作出函数 ， 的简图，并回答下列问题：
（1）观察函数图像，写出满足下列条件的 的区间.
① ；② .
（2）若直线 与 ， 的图像有两个交点，求 的取值范围.
4．函数 的值域是（）
A.0B. C. D.
【答案】D
【解析】： ，由此值域为
5．在 内使 成立的 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵ ，∴ ，∴ .在同一坐标系中画出 ， 与 ， 的图像，如图.
观察图像易得使 成立的 .
故选A.
6．利用余弦曲线，写出满足cosx>0，x∈[0，2 ]的x的区间是_________．
【答案】
【解析】由 ＋2cosx≥0，得cosx≥－ ．
画出余弦函数的图象，如下图，
由图象得在一个周期[－π，π]上，不等式cosx≥－ 的解集为 ，
故原不等式的解集为 .
故答案为 ．
11．函数 在 内的零点个数为__________．
【答案】
【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数 和 的图像如图，结合图像的对称性可以看出两函数 和 的图像应有六个交点，即函数 在 内有六个零点，应填答案 。
完整版)正余弦函数图象与性质练习题
完整版)正余弦函数图象与性质练习题正弦函数和余弦函数是初中数学中常见的三角函数，它们的图像和性质也是高中数学中必须掌握的内容。
一、选择题1.函数 $y=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})$ 的图像关于点（$-\frac{\pi}{6}$，0）对称。
2.函数 $y=2\sin(\frac{\pi}{6}-2x)$ 在区间$[\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{2}]$ 上是增函数。
3.设 $a$ 为常数，且 $a>1$，$-\frac{\pi}{2}\leq x\leq 2\pi$，则函数 $f(x)=\cos 2x+2a\sin x-1$ 的最大值为 $2a+1$。
4.函数 $y=\sin(2x+\frac{5}{2}\pi)$ 的一个对称轴方程是$x=\frac{5}{4}\pi$。
5.方程 $\cos(x+\frac{5}{2}\pi)=\frac{1}{2}x$ 在区间$(0,100\pi)$ 中有 $102$ 个解。
6.函数 $y=\sin(2x+\pi)$ 是以 $\pi$ 为周期的偶函数。
7.如果函数 $y=\sin 2x+\alpha\cos 2x$ 的图像关于直线$x=-\frac{\pi}{8}$ 对称，则 $\alpha=-2$。
8.函数 $y=2\cos 2x+1$ 的最小正周期为 $\pi$。
9.已知函数 $f(x)=\sin(\pi x-\frac{\pi}{2})-1$，则命题“$f(x)$ 是周期为 $2$ 的偶函数”是正确的。
10.函数 $y=-\cos x+\frac{\cos x}{\sin x}$ 的定义域为$(2k\pi+\pi,2k\pi+\frac{3}{2}\pi]$。
11.定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 既是偶函数又是周期函数，且最小正周期为 $\pi$，当$x\in[\frac{\pi}{2},\pi]$ 时，$f(x)=\sin x$，则$f(\frac{5\pi}{3})=-\frac{1}{2}$。
三角函数 正弦函数、余弦函数的图像 课时练习 含答案
§1.4.1正弦函数、余弦函数的图像一、选择1、以下对正弦函数sin y x =的图像描述不正确的是（ ）A 、在[]()2,22x k k k z πππ∈+∈上的图像形状相同，只是位置不同B 、介于直线1y =与直线1y =-之间C 、关于x 轴对称D 、与y 轴仅有一个交点 2、函数))(2sin(R x x y ∈+=π在（ ）A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是增函数 B []π,0上是减函数 C []0,π-上是减函数 D []ππ,-上是减函数3、y=1+sin [02x x ,∈,π]的图象与32y =交点的个数是… ( )A.0B.1C.2D.3 4．不等式cos x <0，x ∈[0,2π]的解集为( )A ．(π2，3π2)B ．[π2，3π2]C ．(0，π2)D ．(π2，2π)5.函数y=-cosx 的图象与余弦函数图象( )A.关于x 轴对称B.关于原点对称C.关于原点和x 轴对称D.关于原点和坐标轴对称6．函数y ＝cos(x ＋π2)，x ∈[－π2，3π2]的简图是( )7、在同一坐标系内的函数x y sin =与x y cos =的图象的交点坐标是 （ ） A ． Z k k ∈),0,(π B Z k k ∈+),1,22(ππC Z k k k∈-+),)1(,2(ππ D Z k k k∈-+),2)1(,4(ππ8、下面有四个判断：① 作正、余弦函数的图象时，单位圆的半径长与x 轴上的单位长可以不一致； ② []π2,0,sin ∈=x x y 的图象关于)0,(πP 成中心对称； ③ []π2,0,cos ∈=x x y 的图象关于直线π=x 成轴对称； ④ 正、余弦函数的图象不超过两直线1,1-==y y 所夹的范围。
其中正确的有 （ ）A 1个B 2个C 3个D 4个 二、填空xy π12π-πO9．若x ∈[－π，π)，则满足cos x ≥12的x 的取值范围是________．10．方程x 2＝cos x 的实根的个数是________．11、设0≤x ＜2π且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________． 12、下列函数中：①y ＝sin x －1；②y ＝|sin x |；③y ＝－cos x ；④y ＝cos 2x ；⑤y ＝1－cos 2x ； 与函数y ＝sin x 形状完全相同的有________． 三、解答13．用五点法作出函数y ＝－sin x －1，x ∈[0,2π]的简图．【拓展】：你能画出上式x ∈R 的图像吗？能写出其单调区间吗？能找到它的最值吗？14．已知直线y ＝a ，函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]，试探求以下问题： (1)当a 为何值时，直线与函数图像只有一个交点？ (2)当a 为何值时，直线与函数图像有两个交点？ (3)当a 为何值时，直线与函数图像有三个交点？ (4)当a 为何值时，直线与函数图像无交点？（5）由图像写出函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合．四、能力提升15、与图中曲线对应的函数是 （ ）A x y sin =B x y sin =C x y sin -=D x y sin -= 16.与图中曲线对应的函数是( )A.y=sinxB.y=sin|x|C.y=-sin|x|D.y=-|sinx|【拓展】若函数]2,0[|,sin |2sin )(π∈+=x x x x f 与直线k y =有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围；17.方程sin 12a x -=在3[x π∈,π]上有两个实数根,求a 的取值范围.18、作函数xxy tan sin的图象.§1.4.1正弦函数、余弦函数的图像 答案一、选择1、答案: C2、答案: B3、解析:如右图y=1+sin [02x x ,∈,π]的图象,与32y =的图象有两个交点.答案:C4．解析：由y ＝cos x 的图像知，在[0,2π]内使cos x <0的x 的范围是(π2，32π)．答案：A 5.解析:在同一坐标系中作出y=cosx 与y=-cosx 的图象(如右图),由图象知:y=cosx 与y=-cosx 的图象关于x 轴对称且关于原点对称.答案:C6．解析：y ＝－sin x 与y ＝sin x 在[－π2，32π]上的图像关于x 轴对称 答案：D7、答案：D 8、答案：C 二、填空9．解析：如图知x ∈[－π3，π3]． 答案：[－π3，π3]10．解析：在同一坐标系中，作出y ＝x 2和y ＝cos x 的图像如图，由图可知，有两个交点，也就是实根的个数为2. 答案：211、解析：由条件知sin x ≥cos x ．由图可知x ∈[π4，54π]． 答案：[π4，5π4]12、解析：①y ＝sin x －1是将y ＝sin x 向下平移1个单位，没改变形状；③y ＝－cos x ＝sin(x －π2)是由y ＝sin x 向右平移π2个单位而得到，没改变形状，与y ＝sin x 形状相同；∴①③与y ＝sin x 的形状完全相同；而②y ＝|sin x |，④y ＝cos 2x ＝|cos x |和⑤y ＝1－cos 2x ＝|sin x |与y ＝sin x 的形状不相同． 答案：①③ 三、解答13．解：(1)列表：(2)描点并用光滑曲线连接可得其图像，如图所示：14．解：由图像易知：(1)当a ＝±1时，直线与函数图像只有一个交点．(2)当0＜a ＜1或－1＜a ＜0时，直线与函数图像有两个交点． (3)当a ＝0时，直线与函数图像有三个交点． (4)当a ＞1或a ＜－1时，直线与函数图像无交点． 四、能力提升 15、B16. 解析:排除法:A 不是;B 中y=sin|x|,当0x ≥时,y=sinx 也不符合;D 中y=-|sinx|0≤. ∴选C. 答案:C 【拓展】答案：31<<k17.解:首先作出y=sin 3[x x π,∈,π]上的图象.然后再作出12ay -=的图象.由图象知如果y=sinx 与12ay -=的图象有两个交点,方程sin 123[a x x π-=,∈,π]就有两个实数根. 设1y =sin 3[x x π,∈,π],2y =12a-.1y =sin 3[x x π,∈,π]的图象如图. 由图象可知,当31221a -≤<,即113a -<≤-时,y=sin 3[x x π,∈,π]的图象与12a y -=的图象有两个交点,即方程sin 12a x -=在3[x π∈,π]上有两个实根. 18、图略x 0 π2 π 3π2 2π y－1－2－1－1。