第十四届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试卷A(初一组) 答案及详细解析
(完整版)第11-17届初一华杯赛试题及答案
由上式和b >α,b=13,α=1,d=l所以,K=12,m和n有唯一解m=13n =156.
答:m=13n =156.
7、已知 ，则小于S的最大的整数是(0)
8.如图2,数轴上标有2n+1个点,它们对应的整数是:
为了确保从这些点中可以取出2006个,其中任何两个点之间的距离都不等于4,则n的最小值是(2005)
二.解答下列各题,要求写出简要过程
9、如图3,ABCD是矩形,BC=6cm,AB =10cm,AC和
BD是对角线.图中的阴影部分以CD为轴旋转一周,则阴影
②直角边为1的三角形有36×2=72（个）；斜边长是2的三角形，1-6行依次有4+4+4+3+1+4=20（个），1-6列依次3+3+3+2+3+3=17（个），共20+17=37（个）；直角边长是2的1-2行8个，2-3行6个，3-4行2个，4-5行8个，5-6行6个，共8+6+2+8+6=30（个）；直角边长是3的1-3行4个，3-5行2个，4-6行4个，共4+2+4=10（个）；斜边长是4的1-4行1个，2-5行2个，4-5行1个，共1+2+1=4（个）；直角边长是4的3-6行2个。共72+37+30+10+4+2=155（个）
第十一届全国"华罗庚金杯"少年数学邀请赛
决赛试卷(初一组)
（红色字为参考答案）
(时间2006年4月22日10:00~l l :30〉
一、.填空
1、计算： （ ）
2019年香港华罗庚金杯少年数学邀请赛(决赛)初中二年级、初一年级组试题含答案
一小時三十分鐘完卷 (上午 10:00 至上午 11:30) 比賽須知：
1. 全卷共 10 題，滿分 100 分。包括填空題 6 道，每題 10 分；詳答題 4 道，每題 10 分。 2. 參賽學生必須全部作答，所有答案寫在答題紙上。 3. 填空題無需書寫步驟，只須填寫答案；詳答題要求寫出詳細過程。 4. 比賽時使用自備文具，例如鉛筆、原子筆及橡皮擦膠等。不准使用計算器。違規者將被
若 | x1－x2|＝2 2，則 k 的值為
．
答案：1． 解：令 x＋2＝kxx2＋2x－k＝0，△＝22＋4k≥0k≥－1．
x1＋x2＝－2，x1x2＝－k，|x1－x2|＝ (x1＋x2)2－4x1x2＝ 4＋4k＝2 2 k＝1.
9. 如圖，方格紙中的每個小正方形的邊長為 1．記圖中陰影部分的面積 A
中二組 F.2 (10 marks for each question)
1. (3x－1)2＝0x＝3，故3x＋3x＝2
2.
24＋1＝4( 2－1)，3－4 5＝3＋ 5即滿足要求的 m 可以取 2，3，4，
5，共 4 個數
3. 取(0，2)關於直線 y＝x 的對稱點(2，0)，過(－4，－2)，(2，0)的直線為 y＝ 13(x－2)，與 y＝x 交於點(－1，－1)．即為周長最小時的點 C．故 a＝－1
二、解答下列各題 (每小題 10 分，共 40 分，要求寫出詳細過程。)
7. 求 − 2 + 2 (− 2 )2 − 4 (− 2 )4 的值。
2
2
2
8. 設 k 為非零實數， 兩個函數 y = x + 2 與 y = k 的圖像相交於 A(x1，y1)、B(x2，y2) x
华杯赛决赛第13~16届(初一组)试题及答案
y 的, 而当 y 1时, 由第一个等式得到 2x 1, 所以 x 1 .
2 评分参考: 1) (1)之前给 2 分; 2) (1)和(2)各给 4 分.
三、解答下列各题（每题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）
1 k
4k 2 9
4k
2
9
,
其中,
对于有理数
x,
x= x x.
所以有1 k2
,
9
1
1
k
4k 9
2
0.
当 k 取不同整数时, 1 k 4k 2 的情况如下表: 9
k
2
1
0
=1
=2
xy 0 . 因此, 三个相等的式子只有两种可能:
(1) x y xy x . 由后一等式得到, y 1或 y 1, 而 y 1是不可能的, 因为 y
此时由第一个等式得到 x 1 x , 矛盾. 当 y 1 时, 由第一个等式得到 x 1 x , 即 2x 1 , 所以 x 1 .
第十三届全国“华罗庚庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组）
第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 决赛试卷（初一组）
（建议考试时间：2008 年 4 月 19 日 10:00～11:30）
一、填空（每题 10 分，共 80 分）
1. 某地区 2008 年 2 月 21 日至 28 日的平均气温为-1℃，2 月 22 日至 29 日的平
枚围棋
第十三届全国“华罗庚庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组）
第十二届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛-决赛试卷(初一组)--答案及详细解析
第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组）一、填空（每题10分，共80分） 1、计算：=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯-3553134217685.17130998-解析：3576306113999820171315130130⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、“b 的相反数与a 的差的一半的平方”的代数表达式为 。
解析：2222⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b a b 或3、规定符号“⊕”为选择两数中较大者，规定符号“⊙”为选择两数中较小者，例如：3⊕5=5，3⊙5=3，则解析：400.726001271211211367⨯==+ 已知 5-=-n m ，1322=+n m ，那么 44n m += 97 。
解析：4、22224422222()(5)6,()(6)()()2=m n m n m n m n m n m n -=-→⨯=-⨯=-+=+-代入数据，原式975、用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如图1，从正面看这个立体，如图2，则这个立体的表面积最多是 48 。
图1（从上向下看） 图2（从正面看）解析：从两个视图可知，该立体的排布最多如图所示，则表面积最多为48 6、满足不等式|13|22|1|3+>--n n n 的整数n 的个数是 5 。
解析：n-1=0 则n=1， 3n+1=0 则n=-1/3当n-1>=0时，n>=1， 3(n-1)-2n>2(3n+1)，5n<-5 ，n<-1, 则n 无解当-1/3<n<1时，3(1-n)-2n>2(3n+1)，3-5n>6n+2，n<1/11 ,则-1/3<n<1/11…（1） 当n<=-1/3时,3(1-n)-2n>2(-3n-1),n>-5,则-5<n<=-1/3…（2） 由（1）、（2）得:-5<n<1/11,则整数n 的个数是: n=-4.-3.-2.-1.0共5个7、某年级原有学生280人，被分为人数相同的若干个班。
第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题解答(初一组)
第十一届全国“华罗庚金杯〞少年数学邀请赛决赛试题解答〔初一组〕一. 填空1 计算：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡---342)2(5833225.01631=( ).答：47解：原式(){}235130254388.⎡⎤⎛⎫⎡⎤=---⨯÷⨯-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦()144187⎛⎫=-÷-= ⎪⎝⎭.2 当2m π=时，多项式31am bm ++的值是0，那么多项式31452a b ππ++＝〔 〕.答：5.解：根据 38210a b ππ++=，即()3311458215522a b a b ππππ++=+++=，故原式的值为5.3 将假设干本书籍分给几名小朋友，如果每人分4本书，就还余下20本书，如果每人分8本书，就有1名小朋友虽然分到了一些书，但是缺乏8本, 那么共有〔 〕名小朋友. 答：6.解：设共有x 名小朋友，由题意，04208(1)8x x <+--<，02848x <-<推出75<<x ，得6=x .4 图16中的长方形ABCD 是由四个等腰直角三角形和一个正方形EFGH 拼成. 长方形ABCD 的面积是120平方厘米，那么正方形EFGH 的面积等于〔 〕平方厘米. 答：10.图16解法1：如图16a ，延长BF 交DC 于N 点，延长EH 交BC 于M 点，由条件可知1122CE CM CN CB ===，DA DE CB CN ===，所以 CM=MB ＝CE=EN =ND . 将长方形ABCD 的长边3等分，短边2等分，如图1a 所示，连接对应的等分点，分成网格图形， 数一数，长方形ABCD 恰好等于12个正方形EFGH 的面积，由于长方形ABCD 的面积为120平方厘米，所以正方EFGH 的面积等于10平方厘米.解法 2：设正方形EFGH 的边长为x ，根据题意，图1中的四个三角形为等腰直角三角形，那么三角形EHC 的直角边长为x ，三角形CGB 的直角边长为x 2， 三角形ABF 的直角边长为x 3，三角形ADE 的斜边长为x 4.并且，正方形EFGH 的面积＝2x ，三角形EHC 的面积＝22x ，三角形CGB 的面积＝2222)2(x x =，三角形ABF 的面积＝292)3(22x x =， 三角形ADE 的面积＝2⨯三角形CGB 的面积＝24x .因此120=2222221242922x x x x x x =+++， 故102=x ，即正方形EFGH 的面积等于10平方厘米.5 满足方程2006182006|x |--+=的所有x 的和为〔 〕. 答： 4012.解：根据绝对值的性质，逐步去除等式2006182006|x |--+=绝对值符号，得到2006120068x --=-，2006120068x -=+-，()2006120068x =++-，或()2006120068x =-+-由表达式可以看到，x 有2个不同的解，它们的和是：图2图16a()2006120068++-＋()20061200684012-+-=.6 一个存有一些水的水池，有一个进水口和假设干个口径相同的出水口, 进水口每分钟进水3立方米.假设同时翻开进水口和三个出水口, 池中水16分钟放完; 假设同时翻开进水口与五个出水口, 池中水9分钟放完. 池中原有水〔 〕立方米. 答: 288.解: 设每个出水口每分钟放出水x 立方米, 池中原有水y 立方米， 那么3163165939x yx y⨯⨯=⨯+⎧⎨⨯⨯=⨯+⎩， 解上面二元一次方程组，()4845482721x -=-=，7x =〔立方米〕，316748288y =⨯⨯-=〔立方米〕. 7 20062005122006220052)1(164834221-++-++-+-=+ k k k S ，小于S 的最大的整数是〔 〕. 解答：因为，2005200620052006123420052006248162212342005200602481622S =-+-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2005200620042005200620052006123420052006248162212345200420052006248163222211320032006 1.283222S =-+-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<-----< 因此小于S 的最大的整数是0.8 如图17，数轴上标有21n +个点，它们对应的整数是:(),1,,2,1,0,1,2,,1,n n n n ------.为了确保从这些点中可以取出2006个，其中任何两个点之间的距离都不等于4，那么n 的最小值是〔 〕.答： 2005.解：① 将数轴上的21n +个点，自左端开始，连续8个点为一组，每组仅取右边4个点，这样就可以确保所取出的点，其中任意两点之间的距离不等于 4. 从多少组中才能取出2006个点？既然，200645012=⨯+，即从501组可以取出2004个点，另外，再从第502组中取出2个点，就得到2006个点. 所以，850124010⨯+=.即数轴上至少有4010个点，就能够确保从这4010个点中取出2006个，其中任意两点之间的距离不等于4.214010n +≥，2005n ≥.当n =2005时，可以取 -2005，-2004，-2003，-2002，-1997，-1996，-1995，-1994，，-2005+8k ，-2004+8k ，-2003+8k ，-2002+8k ，，1995，1996，1997，1998，2003，2004,共2006个，其中任何两个数所代表的两个点之间的距离都不等于4.② 当2004=n 时，数轴上连续点的个数是214009n +=. 此时，将距离是4的2个点配对，共有2004对，另外还有单独的一个点，从每个配对中只取一个点，否那么一定有2个点的距离是4, 连同单独的一个点，一共可以取出2005个点，但是要求取出2006个点，不得不将某个配对的两个点都取出，它们的距离是4. 所以，当2004=n 时，任取2006个点，一定有2个点，距离是4. 当2004<n 时，补足至4009个点，就可以说明n 的最小值是2005.二. 解答以下各题〔要求写出简要过程〕9 图18中，ABCD 是矩形，6BC cm =，10AB cm =，AC 和BDCD 为轴旋转一周，那么阴影局部扫过的立体的体积是多少立方厘米？〔π 取3.14〕图18图17解: 〔见小学组决赛第11题解答〕 10 将21个整数：109832101238910,,,,,,,,,,,,,------分为个数不相等的六组数，分别计算各组的平均值，那么这六个平均值的和最大是多少？ 解: 将21个整数分为个数不相等的6组，各组的个数分别为1、2、3、4、5、6个. 既然是求六组个平均值的和的最大值，应当将数值大的分在整数个数少的组中. 所以，可以如下分组：10第一组第二组98第三组765第四组4321第五组－1－2－3－4第六组－5－6－7－8－9－10计算上述六组整数的平均值的和：1098765432101567891012345611110862272221172.+--=＋＋＋＋＋＋－－2－3－4－－－－－－＋＋＋＋＋＝＋＋ 答：最大的和是1172.评注和说明：下面说明理由.六组数分别为{}{}{}{}{}{}112123123412345123456,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b b c c c d d d d e e e e e f f f f f f ，那么各组数平均数的和为()()()()()12123126111212312341234512345623660302015121060b bc c c f f f a a b b c c cd d d de e e e ef f f f f f ++++++++++++++++++++++++++++++=我们要使得这个分数最大，只要使得分子最大. 先考虑让那一个字母取10，显然是1a ，这样能使总和最大；同理，让12,b b 取8，9对总和的奉献是最大的……以此类推，{}{}{}{}{}{}10,8,9,5,6,7,1,2,3,4,4,3,2,1,0,10,9,8,7,6,5----------是我们得到的分组结果.这一过程无非就是把我们的解题过程用代数式翻译了一遍.为了同学们能多体会字母代表数的抽象性，这里再介绍一种更为一般一些的方法.()()()()()()()()61121231234123451234561091019100;S a b b c c c d d d d e e e e e f f f f f f =++++++++++++++++++++=+++++-++-+-=()()()()()()51121231234123451093445S a b b c c c d d d d e e e e e =++++++++++++++≤+++-+-=；()()()411212312341092155S a b b c c c d d d d =+++++++++≤++++=；()()3112123109640S a b b c c c =+++++≤+++=；()2112109827S a b b =++≤++=； 1110S a =≤因而有()()()()()1212312611121231234123451234561234562366030201512106030105321060b bc c c f f f a a b b c c cd d d de e e e ef f f f f f S S S S S S ++++++++++++++++++++++++++++++=+++++=()11240102251659060300270225165906035,2a b b +++++≤++++≤= 该不等式在{}{}{}{}{}{}112123123412345123456,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b b c c c d d d d e e e e e f f f f f f 分别取{}{}{}{}{}{}10,8,9,5,6,7,1,2,3,4,4,3,2,1,0,10,9,8,7,6,5----------时恰好能取到等号，因此最大值为352. 11 当5431013231241000m ,,,,,,,,,=----时，从等式()()2123150m x m y m ++-+-=可以得到10个关于x 和y 的二元一次方程，问这10个方程有没有公共解？如果有，求出这些公共解？解：分别取0m =和1m =，我们得到两个方程：210340x y x y ++=⎧⎨--=⎩ 先求两个方程的公共解，把它们看作二元一次方程组，解得：1,1-==y x .把1,1-==y x 代入()()212315m x m y m ++-+-，值恒为0. 此即意味着：当5431013231241000m ,,,,,,,,,=----时，()()212315m x m y m ++-+-＝0成立.所以，1,1-==y x 是对应的10个方程的的公共解.答：这些方程的公共解是 1,1-==y x .12 平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36度. 说明理由.解：在平面上任取一点O ，过O 点作的5条直线的平行线12345,,,,l l l l l . 将以O 为中心的周角分为10个彼此依次相邻的小的角，记为12910,,,,θθθθ.每个小角iθ〔1,2,,9,10i =〕都等于这5条直线相交的一个交角.这10个小角的和恰等于360，即.12910360θθθθ++++=，根据抽屉原理，至少有一个小角不超过36.三. 解答以下各题〔要求写出详细过程〕13 如图19，A 、B 和C 是圆周的三等分点，甲、乙、丙三只蚂蚁分别从A 、B 、C 三个点同时出发，甲和乙沿圆周逆时针爬行，丙顺时针爬行. 甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8:6:5，求出三只蚂蚁所有的会合地点. 解：① 设圆周的周长为3L ，甲的速度为v 8，乙的速度为v 6，丙的速度为v 5；甲第一次追上乙时，爬行的时间和爬行的路程分别是：甲爬行的时间＝862L L v v v =-, 甲爬行的路程＝842Lv L v=， ABAC A图19因为圆周的周长为3L ，即甲在Ｂk+1(k 是整数)次追上乙时，甲爬行的时间＝322L kLv v+， 甲爬行的路程＝3822L kL v v v ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭()412314L kL L k L +=+⨯+因为()314k L ⨯+是圆周周长的整数倍，所以，甲在B 点追上乙. ② 在时刻322L kLv v+，( 丙爬行的路程＝3315362222L kL k v L kL L v v ⎛⎫⎛⎫+⨯=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当k ＝1时，上式是35922L kL v L L v v ⎛⎫+⨯=+ ⎪⎝⎭因为丙是从C 出发顺时针爬行，所以，丙爬行至B 处，意味着甲、乙、丙能够在B 点会合.答；甲、乙、丙仅仅在B 处集合. 14 m, n 都是正整数，并且),11)(11()311)(311)(211)(211(m m A +-+-+-=),11)(11()311)(311)(211)(211(nn B +-+-+-=① 证明：A =m m 21+, n n B 21+=； ② 假设,261=-B A 求 m 和n 的值. 解：①111111(1-)(1+)(1-)(1+)(1-)(1+)2233111111(1-)(1-)(1-)(1+)(1+)(1+)23231213411 ;23232A m m m m m m m m m m==-++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=同样，nn B 21+=②由题设，11111222226m n A B m n m n ++-=-=-=，11113m n -=111131313nm n n+=+=， 所以，1313nm ,n=+ ()13131313131313131313n n m ,n n n+-⨯===-+++ 即13+n 是1313⨯的因数，1313⨯只有3个因数：1，13，132. 所以，13+n=132，n =132 –13=156, m =12.〕评注和说明：另一方法可以求出正整数m,n ，使11113m n -=. 设()1m Ka,n Kb,a,b ===，代入上式，11113b a Ka Kb Kab --==. ()b a -和a,b 都互质，一定整除K .记Kd b a=-是正整数，b a >那么有 1113dab =. 由上式和b a >，1311b ,a ,d ===. 所以，K ＝12，m 和n 有唯一解，12156m ,n ==.。
第十届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛初一组决赛试卷与解答
第十届全国”华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题:初一组一. 填空(每题10分,共80分)1.①计算: 22111134413(12)(0.5)(2)22412433⎡⎤-⨯-÷-÷⨯-⨯--=⎣⎦ . ②已知: 0abc ≠且0a b c ++=,则a b b c c a a b b c c a++= . 2.m 和n 均不为零, 233x y 和2235m nx y ++-是同类项,则322332233395369m m n mn n m m n mn n -++=+-+ . 3.由于浮力的作用,金放在水里秤量和它的重量比较,在水中的”重量”会减少119;银放在水里秤量和它的重量相比较,在水中的”重量”会减少110.某个只含有金银成分的古文物,重量是150克,在水中秤量,”重量”是141克,则古文物中金占 %.(精确到1%)4.图1是几何学中非常著名的美丽的轴对称的图形,它有 条对称轴.5.甲加工一种零件,乙加工另一种零件.甲用A 型机器需要6小时才能完成任务,用B 型机器效率降低60%;乙用B 型机器需要10小时才能完成任务,用A 型机器效率提高20%.如果甲用A 型机器,乙用B 型机器同时开始工作,中途某一时刻交换使用机器,甲和乙同时完成任务.则甲完成任务所用的时间是 小时.6.一个直角三角形三条边的长度是3,4,5.如果分别以各边为轴旋转一周,得到三个立体,那么三个立体中最大的体积和最小的体积的比是 .7.一列自然数0,1,2,3……，2005，……，2024.第一个数是0,从第二个数开始,每一个都比它前一个大1,最后一个是2004.现在将这列自然数排成以下数表:3 8 15 (1)2 7 14 (4)5 6 13 …… 9 10 11 12 ………… …… …… …… ……规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第 行和第 列。
8。
(31)635m x x -=-是关于x 的方程，为确保该方程的解是负整数，m 能取的最大 值 。
“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(口试)试题1-10届
华罗庚金杯少年数学邀请赛口试试题第01届华罗庚金杯少年数学邀请赛口试试题1. 这是七巧板拼成的正方形，正方形边长20厘米，问七巧板中平行四边形的一块（如右图中阴影部分）的面积是多少？2．从所有分母小于10的真分数中，找出一个最接近0.618的分数。
3．有49个小孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同，请你挑选出若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，你最多能挑选出多少个小孩子？4．有一路公共汽车，包括起点和终点站共有15个车站，如果有一辆车，除终点到站外，每一站上车的乘客中，恰好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少要有多少个座位？5．正方形的树林每边长1000米，里面有白杨树和榆树，小明从树林的西南角走入树林，碰见一株白杨树就往正北走，碰见一株榆树就往正东走，最后他走了东北角上，问：小明一共走了多少米的距离？6．自然数按从小到大的顺序排成螺旋形，在2处拐第一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯……问拐第二十个弯的地方是哪一个数？第02届华罗庚金杯少年数学邀请赛口试试题1、如下图是一个对称的图形，黑色部分面积大还是阴影部分面积大？2、你能不能将自然数1到9分别填入右面的方格中，使得每个横格中的三个数之和都是偶数？3、司机开车按顺序到五个车站接学生到学校（如下图），每个站都有学生上车，第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半，车到学校时，车上最少有多少学生？4、如图中五个正方形的边长分别是1米、2米、3米、4米、5米。
问：白色部分面积与阴影部分面积之比是多少？5、用1、2、3、4、5这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中是偶数多还是奇数多？6、7、将右边的硬纸片沿虚线折起来，便可作成一个正方体，问：这个正方体的2号面对面是几号面？（如下图）8、下面是一个11位数，它的每三个相邻数之和都是20，你知道打“？”的数字是几？9、有八张卡片，右图分别写着自然数1到8，从中取出三张，要使这三张卡片上的数字之和为9，问有多少种不同的取法？第03届华罗庚金杯少年数学邀请赛团体决赛口试1．一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道红条，如右图阴影所示部分，红条宽都是2厘米．问：这条手帕白色部分的面积是多少？2．伸出你的左手，从大拇指开始如图所示的那样数数字，1，2，3，……，问：数到1991时，你数在那个手指上？3．有3个工厂共订300份吉林日报，每个工厂订了至少99份，至多101份．问：一共有多少种不同的订法？4．图上有两条垂直相交的直线段AB、CD，交点为E（如下图）．已知：DE=2CE，BE=3AE．在AB和CD上取3个点画一个三角形．问：怎样取这3个点，画出的三角形面积最大？5．如下图中有两个红色的圆，两个蓝色的圆，红色圆的直径分别是1992厘米和1949厘米，蓝色圆的直径分别是1990厘米和1951厘米．问：红色二圆面积大还是蓝色二圆面积大？6．在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来（如下图），填在这个方格中，例如a=5＋3=8．问：填入的81个数字中，奇数多还是偶数多？7．能不能在下式：1□2□3□4□5□6□7□8□9=10的每个方框中，分别填入加号或减号，使等式成立？8．把一个时钟改装成一个玩具钟（如右图），使得时针每转一圈，分针转16圈，秒针转36圈．开始时3针重合．问：在时针旋转一周的过程中，3针重合了几次？（不计起始和终止的位置）．9．将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数分成3组，分别计算各组数的和．已知这3个和互不相等，且最大的和是最小的和的2倍．问：最小的和是多少？10.这是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，但不能在同一条棋盘线上．问：共有多少种不同的放法（如下图）？11.这是两个圆，它们的面积之和为1991平方厘米，小圆的周长是大圆周长的90％（如右图）．问：大圆的面积是多少？12.有一根1米长的木条，第一次去掉它的，第二次去掉余下木条的；第三次又去掉第二次余下木条的，等等；这样一直下去，最后一次去掉上次余下木条的．问：这根木条最后还剩下多长？13.这是一个楼梯的截面图（如下图），高2.8米，每级台阶的宽和高都是20厘米．问：此楼梯截面的面积是多少？14.请找出6个不同的自然数，分别填入6个括号中，使这个等式成立．第04届华罗庚金杯少年数学邀请赛团体决赛口试1．2×3×5×7×11×13×17这个算式中有七个数连乘，请回答：最后得到的乘积中，所有数位上的数字和是多少？请讲一讲你是怎样算的？2．这是一个中国象棋盘（图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长），黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12， 13，14中的两个位置．问：这三个棋子（一个“象”和两个“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？3．将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种形状的短管（加工损耗忽略不计）问：剩余部分的管子最少是多少厘米？4．乙两人同时从A出发向B行进，甲速度始终不变，乙在走前面路程时，速度为甲的2倍，而走后面路程时，速度是甲的，问甲、乙二人谁选到B？请你说明理由。
第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题及参考答案(初一组)
第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案 （初一组）第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案（初一组）一、 填空题（每题10分，如果一道题中有两个答案，则每个5分）二、 解答下列各题，要求写出简要过程（每题１０分）７、解答：.13922=+n m①解方程⎩⎨⎧-=+-=+965543y x y x 得到ｘ=－３，ｙ=１；②代入原方程中后两个方程，得到⎩⎨⎧=+=-3568n m n m 再解上面关于ｍ和ｎ的方程，得到.,136139-==n m ③计算.13916911722==+n m８、解答：李家养牛300头，王家养牛221头。
算术方法：（见小学解答） 代数解法：① 李家的牛群中有67%是母牛，67是质数，可以设李家养牛头数为100x ，王家的牛群中仅有131是母牛，13是质数，可以设王家养牛数是13y ，列出方程100x+13y=521。
…………………………（*）② x 和y 是整数，分别取x=1，2，3，4，5。
可以得到x=3，y=13。
或者解同余方程（*）。
（*）式两边除13，)13(14Mod x ≡-…………………………（**）x=3是（**）式的解，得到y=17。
9、解答：71=∆∆的面积的面积ABC G H I ① 如图(A)，连接BG ，用Ｓ记△ABC 的面积，X 和Y 分别记第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案 （初一组）△DCG 和△BGF 的面积。
② 由已知条件：,331S Y X =+ （1） S Y X 3232=+ 解方程组（１），得到.,214211S Y S X ==同样方法可以得到△EAH 的面积＝△FBI 的面积=.211S③ 从△ADC 的面积＝△BEA ＝,31S ，得到， 四边形GCEH 的面积＝四边形HAFI 的面积＝（.)521S S =-所以，我们得到 △GHI 的面积＝,)(71211211032S S =-- 即71=∆∆的面积的面积ABC GHI10、解答：12⨯[34⨯5－6÷（7－８）－９]＝12⨯167=2004和12⨯[34×5－6⨯（7－８）－９]＝12⨯167=200411、解答：42圈。
第十八届华杯赛决赛答案_初一A
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A 参考答案（初一组）一、填空（每题 10 分, 共80分）二、解答下列各题（每题10 分, 共40 分, 要求写出简要过程）9. 解答：其中的五个算式如下5444454444544445445444444=+⨯=+-⨯-=--+-⨯=+-=+-+-+,)()(,)()(,)(,)()(10. 答案：1829,1827,1825=x 解答： 由于15]15[115,2]2[12+≤+<-++≤+<-+x x x x x x 所以36259]15[]2[16+≤-=+++<+x x x x x 由此得 61167≤<x 于是14131211109259,,,,,=-x 分别解方程： （1）9259=-x , 解得：1823=x .验算：左=3+7=10, 右=,92523=-左≠右, 1823=x 不是解. （2）10259=-x , 得： 1825=x .验算：左=3+7=10, 右=右左==-,1025225, 1825=x 是解.（3）11259=-x , 解得： 1827=x验算：左=3+8=11, 右左右==-=,1125227, 1827=x 是解. （4）12259=-x , 解得：1829=x验算：左=3+9=12, 右左右==-=,1225229, 1829=x 是解. （5）13259=-x , 解得：1831=x验算：左=3+9=12, 右左右≠=-=,1325231, 1831=x 不是解.（6）14259=-x , 解得：1833=x 验算：左=3+10=13, 右左,右≠=-=1425233, 1833=x 不是解.因此, 解是：182918271825,,=x 11. 答：144平方厘米.解：如图, 以D 为中心, 逆时针旋转三角 形BDE , 使DE 和DF 重合, BE 和FG 重合,三角形BDE 和三角形DFG 重合.（即割下三角形BDE 补到三角形DFG 的位置）由于∠EDF ＝90°, 所以∠1+∠2＝90, 所以∠ADG 是直角, 三角形ADG 是直角三角形, 它的直角边AD =20, BD=DG =15, 由勾股定理可得斜边AG =25. 此时正方形的边长DF 恰是直角三角形ADG 中斜边AG 上的高,所以1125152022DF ⨯⨯=⨯⨯, 解得12DF =, 因此黄色正方形纸片面积是212144=（平方厘米） 12. 答案：13.解答：方法1:把105+=d c 代入183-=c b , 得到1215181053+=-+=d d b )(, 代入82+=b a , 3230812152+=++=d d a )(, 所以||||||2242112242107+=++=+d d d a d ,因为d 为整数, 所以1-=d 时, ||a d 7+取得最小值, 此时值为13. 方法2：因为63+=bc 所以, b 是3的倍数, 因为25-=cd 所以, c 是5的倍数,d +7a =25-c +7a =25615-+b +7a =25615-+b +14b +56153+=b +14b +55由d c b a ,,,是整数,3整除b , 5整除b +3, 令b =3p , 其中p 为5的倍数, 所以上式等于51+p +42p +55=d +7a , 其中p 为5的倍数, 当p 增时,d +7a 也增, p =-1时, d +7a =13, p =-6时, d +7a =-198, p =4时, d +7a =224, 所以, d +7a 的绝对值的最小值等于13.三、解答下列各题（每小题15 分, 共30 分, 要求写出详细过程）13. 答案：42 cm2解答：记三角形COD 的面积为x cm2. 因为等腰三角形的顶角相等, 所以EDC ACB ∠=∠, ECD ABC ∠=∠.所以DE AC //, CE AB //. 所以C O D A O E S S ΔΔ=. 又CDE COD S S CE OC ΔΔ=, EACCOD EAC AOE S SS S CE OE ΔΔΔΔ==, 因为三角形EAC 在边AC 上的高和三角形CDE 在边DE 上的高相等,B CADE O所以21ΔΔ===DE AC S S OE OC CDE EAC , 可以得到OC OE 2=. 所以OCD CDE S S ΔΔ3=x 3=, x S S S S ODE COD CDE EAC 232121ΔΔΔΔ=+==)(. 因为21ΔΔ==OE OC S S AOE AOC , 所以x S S S COD AOE AOC 212121ΔΔΔ===. 因为CE AB //, 所以21ΔΔ==CE AB S S ACE ABC , 即x S S S S OAE AOC ACE ABC 432121ΔΔΔΔ=+==）(. 所以x x x x S S S S S DOE COD ACE ABC ABCDE 22343ΔΔΔΔ+++=+++=. 因为8=x , 即四边形ABDE 的面积为42cm2. 14. 答案：（1）30解答：记红球、黄球和蓝球分别分了i , j , k 组, 每组的盒子数目分别为i a a a ,,,21 , j b b b ,,,21 , k c c c ,,,21 ,令k j i n ++=.1) 因为i a a a ,,,21 , j b b b ,,,21 , k c c c ,,,21 包含了1到30的所有整数, 所以 30≥n . 另一方面,,15534652313030211553212121⨯==⨯=+++≥+++++++++++=⨯ kj i c c c b b b a a a所以 30=++=k j i n , 三种分组方法分组的组数之和是30.2) 不妨设301=a , 记这30个盒子的组为A 组. 因为30=++k j i , 必有14≤j 或14≤k , 不妨设14≤j . A 组的30个盒子分到这不超过14个组中去, 必有一组至少有三个盒子, 这三个盒子里的红球数相同并且黄球数也相同.。
第十六届“华杯赛”初一组决赛试题A(含答案)
1 (3 8 )(3 8)(3 8 ) (3 8 )(3 8),m n 4
mn p
mn
上式只有 m n 4 时成立。 所以，p 的最大值是 4。 12. 答案：ABCE 的面积是 618 2 (平方米)
3
三角形 ADE 的面积是 266 2 (平方米) 3
SCEF x SCDE y, SDOE z ， SEOF w .
由左图和三角形面积公式：
y
z
SCDO
1 4
，
x
y
SCDF
1 8
，
x
w
SCOF
1 16
.
再次应用三角形面积公式，
x w EF . y z DE
将 y,z,w 用 x 表达，
y
1 8
AED，梯形 ABCD 的面积分别是多少平
方米？
A E
B C
三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）
13. 在边长为 1 厘米的正方形 ABCD 中, 分别以 A, B, C, D 为圆心, 1 厘米为半径画圆弧, 交点 E, F, G, H, 如图所 示. 求中间阴影六边形 BEFDGH 的面积.x，来自w1 16
x
，
z
x
1 8
，
代入(*)式，并整理，可得：
1
1 8
x
x
16 x 1 8x
,
x
1 40
.
答：三角形 CEF 的面积是 1 . 40
11. 答案：4
华罗庚金杯数学邀请赛决赛初一组练习题含答案
第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中一年级组) 总分第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初中一年级组·练习用）一、填空题（每小题10 分, 共 80 分）1. 点O为线段AB 上一点， AOC 10 ， COD 50 ，A O B则 BOD 或．2018 12k2.已知m＞0 ，且对任意整数k，均为整数，则m 的最大值为．3m3. [x]表示不超过x 的最大整数，如[ 1.3] 2 ，[1.3] 1．1 2 9[a ] [a ] K [a ] =4已知，则a 的取值范围是．10 10 104. 使 2n 1和 11n 121 都是平方数的最小正整数n 为．5. 在3 3 的“九宫格”中填数，使每行每列及每条对角线上的三数之和都相等．如图，有 3 个方格已经填的数分别为 3，10，2018，则“九宫格”中其余 6 个方格所填数之和等于．6. 已知某三角形的三条高线长a，b，c 为互不相等的整数，则a b c 的最小值为．7. 16 张卡片上分别写着 1~16 这 16 个自然数，把这 16 张卡片分成 4 组，使得每组卡片张数一样，每组卡片上所写数的和相等，且每组有两张卡片上的数的和为 17，共有种分法．(说明：不考虑组的顺序，也不考虑组内数字的顺序．例如将 1~16 分为四组后，保持各组内数字不变，只改变组的顺序或组内数字的顺序，视为相同的分法．)abc8. a ，b ，c 是三个不同的非零整数，则的最小值为．4ab 2bc 3ca第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中一年级组)二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9. 现有两种理财方式供王老师选择．方案一：购买一款分红产品，前三年每年年初交 10 万元，第 6 年年初返 6 万元，以后每年处返 1.5 万元；方案二：购买一款年利率5%，满一年计息的储蓄产品，第一年初存款10 万元，接下来两年每年年初追加本金 10 万元，并将之前的本息全部续存．请问哪个选择更划算？请说明理由．（参考数据：1.054 1.053 1.052 =3.47563125）10. 如图，考古发现一块正多边形的瓷砖残片（如图），瓷砖上已不能找到完整的一个“角”，考古专家判定D ，E 两点是该正多边形相邻的两个顶点，C ，D 两个顶点之间隔有一个顶点．经过测量 CDE 135 ，DE 13厘米．原正多边形的周长是多少厘米？11. 一筐苹果，若分给全班同学每人 3 个，则还剩下 25 个；若全班同学一起吃，其中 5 个同学每人每天吃 1 个，其他同学每人每天吃 2 个，则恰好用若干天吃完．问筐里最多共有多少个苹果？12. 给定一个 5×5 方格网，规定如下操作：每次可以把某行（或列）中的连续 3 个小方格改变颜色（把白格变黑格，把黑格变白格）．如果开始时所有25 个小方格均为白色，请问：能否经过8 次这样的操作，使得5×5 方格网恰好变为黑白相间（如图所示），且任何一个小方格在前 4 次操作中至多变色 1 次？如果能，请给出一种操作方案（直接画出第 4，5，6，7 次操作后的方格网颜色）；如果不能，请给出证明．三、解答下列各题（每小题15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）13. 求证：不存在 3 个有理数的平方和等于 15．14. 如图，一个由 41 个小方格组成的棋盘．先将其中的任意 8 个方格染黑，然后按照以下规则继续染色：如果某个方格至少与 2 个黑格都有恰好 1 个公共顶点，那么就将这个方格染黑．这样操作下去能否将整个棋盘都染成黑色？第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题·练习用参考答案（初中一年级组）一、填空题（每小题10 分, 共 80 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 80.5≤a＜ 0.41202答案或或者264 11040 9 10531400.4≤a＜0.5二、解答下列各题（每小题10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9. 【答案】：方案二更划算.解：方案二，第 4，5 年年初将之前的本息全部续存，到第 6 年年初时，共有本息10 (1 5%)5 10 (1 5%)4 10 (1 5%)3 ≈10.5 3.4756≈36.5（万元），提取 6 万元后仍有约36.5 6 30.5（万元）可不断续存，以后每年可提取利息约30.5 5% 1.525 （万元）．在前期投入及回报一致的情况下，显然比方案一以后每年返1.5万元划算．而且方案二还可以随时提取或部分提取30.5万元储蓄用于应急或者选择其它更理想的理财方式，而方案一无此选择权．综上所述，方案二更划算．10. 【答案】156 厘米【解答】如图，设原图是正n 边形，其中C ，D 间的顶点为 F ，连接CF ，DF ，则(n 2 )CFD FDE 180 ，n因为 C F F D，1 8 0 C F D 1 8所以 C D F F C D ，2 n- 1 -n 3C D E F D E F D C 1 80 1 3，所以n解得n 12 ．所以原本多边形是正 12 边形，周长为13 12=156（厘米）．11. 【答案】130.【解答】解答1：设全班同学有n 人，根据题意，3n 25是2n 5的倍数，则30n2n5数．为整n n30 1 2 5 65 1 65又 1∵，2 5 2 2 5 2 2 5n n n65∴是奇数，2n 5∴ 2n 5最大为 65，n 最大为 35，∴筐里最多共有3 35 25 130个苹果．解答2：设全班同学有n 人，根据题意，3n 25是2n 5的倍数，则30n2n5数．为整记n 302n 5k ，k 为正整数，则n 30 k(2n 5) ，两边同乘2，得到2n 60 2k(2n 5) ，2n 60 2n 5 65， 2n 5 65 2k(2n 5) ，(2k 1)(2n 5) 65 5 13．2k 1 1时，2n 5 65，n 35，2k 1 5时，2n 5 13，n 9 ，2k 1 13时，2n 5 5，n 5，2k 1 65时，2n 5 1，n 3，n 为 35 时，苹果数最多，此时筐里的苹果数为35 3 25 130．12. 【答案】可以【解答】操作如下：（1）经过 4 次操作可染成如下：- 2 -第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中一年级组)，（2）继续操作第 5次 第 6次 第 7次 第 8次三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）13. 证明：注意到( x )2 x 2 ，只需考虑非负有理数的平方和．假设存在 3 个有理数n m ， q p ， t k ，其中 m ，n ，p ，q ，k ，t 是自然数， 且(m ，n ) 1，( p ，q ) 1，(k ，t ) 1，使得15 ( n )2 ( q )2 ( t )2，m p k那么15m 2n 2 p 2 (npk )2 (mqk )2 (mpt )2 ，即15d 2 a 2 b 2 c 2 ，其中 a ，b ，c ，d 是自然数．（1）如果 d 为偶数，那么经过有限次如下步骤，可使得 d 为奇数．假设 d 2d ，若 a ，b ，c 两奇一偶，则 a 2 b 2 c 2 被 4 除余 2，而15d 2 被 41整除，矛盾！所以 a ，b ，c 都是偶数，故令 a 2a ，b 2b ，c 2c （11 1 a ，b ，c1 1 1 都是自然数），所以15d2 a 2 b 2 c 2（其中 1 1 1 1a b c ab c ）．如果 d 还 1 1 1 1是偶数，类似上述讨论，经过有限次后可得到奇数．（2）如果 d 为奇数，即 d 2r 1（ r 是自然数），那么15d 2 15(2r 1)215 4r (r 1) 1 ，即15d 2 被 8 除余 7． 另一方面，若 a ，b ，c 为三个奇数，那么 a 2 b 2 c 2 被 8 除余 3；若a ，b ，c 为两偶一奇，那么 a 2 b 2 c 2 被 8 除余 1 或 5；- 3 -。
第十四届华杯赛总决赛试题参考答案(有详细解答)
少年一组一、填空题1、115 解题思路：以21作为参照数，其中231116和305153均大于21，其余三个数115、136、6430均小于21。
用21与这三个数分别作差依次可得221、261、321。
所以，最小的数为115。
2、24解题思路：由ABCD 是正方形可得：ABCD DMC ADN S S S 21==∆∆。
根据容斥原理可得：RNC MQ NB APM D PQ R S S S S ∆∆∆++=,所以：24121551=--=∆MQ NB S 。
3、4种解题思路：105是一个奇数，所以这个数一定能写成2个相邻的自然数之和，即105＝52＋53。
又因为奇数个连续自然数数列的平均数等于这组数的中位数，根据105＝3×35＝5×21＝7×15，可以等到符合条件的三种表达式，分别是105＝34＋35＋36＝19＋20＋21＋22＋23＝12＋13＋14＋15＋16＋17＋18。
4、10110，99920解题思路：要使A 为能被5整除的五位数，则A 的各位必须是0或5。
当A 最小时，它的最高位只能是1，考虑到这个多位数均由奇数组成，因此可以在101与103之间截出一个最小的五位数是10110；当A 最大时，它的最高位上的数要尽可能大，故这个多位数中1999与2001之间可以截出一个最大的五位数时99920。
二、解答题5、解：由题意可得， 当110〈⎥⎦⎤⎢⎣⎡n 时，不存在符合题意的解，所以1～9均不是牛数。
当110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n 时，由于1是所有非0自然数的公因数，所以10～19都是牛数。
当210=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n 时，n 必须是偶数才能符合题意，故在20～29之间符合条件的牛数只有20、22、24、26、28。
当310=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n 时，n 必须是2和3的公倍数才能符合题意，故在30～39之间符合条件的牛数只有30、36。
当410=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n 时，n 必须是3和4的公倍数才能符合题意，故在40～49之间符合条件的牛数只有48。
第十二届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛-决赛试卷(初一组)--答案及详细解析
第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组）一、填空（每题10分，共80分）1、计算：=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯-3553134217685.17130998-解析：3576306113999820171315130130⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、“b 的相反数与a 的差的一半的平方”的代数表达式为 。
解析：2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b a b 或 3、规定符号“⊕”为选择两数中较大者，规定符号“⊙”为选择两数中较小者，例如：3⊕5=5，3⊙5=3，则解析：400.726001271211211367⨯==+ 4、已知 5-=-n m ，1322=+n m ，那么 44n m += 97 。
解析：22224422222()(5)6,()(6)()()2=m n m n m n m n m n m n -=-→⨯=-⨯=-+=+-代入数据，原式975、用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如图1，从正面看这个立体，如图2，则这个立体的外表积最多是 48 。
图1（从上向下看） 图2（从正面看）解析：从两个视图可知，该立体的排布最多如图所示，则外表积最多为486、满意不等式|13|22|1|3+>--n n n 的整数n 的个数是 5 。
解析：n-1=0 则n=1， 3n+1=0 则n=-1/3当n-1>=0时，n>=1， 3(n-1)-2n>2(3n+1)，5n<-5 ，n<-1, 则n 无解当-1/3<n<1时，3(1-n)-2n>2(3n+1)，3-5n>6n+2，n<1/11 ,则-1/3<n<1/11…（1）当n<=-1/3时,3(1-n)-2n>2(-3n-1),n>-5,则-5<n<=-1/3 (2)由（1）、（2）得:-5<n<1/11,则整数n 的个数是: n=-4.-3.-2.-1.0共5个7、某年级原有学生280人，被分为人数一样的若干个班。
华罗庚金杯赛数学试题与答案[第1至15届]
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华罗庚金杯赛数学试题与答案［第1至15届］目录第1届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (1)第2届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (6)第3届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (14)第4届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (21)第5届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (26)第6届华罗庚金杯赛数学试题与答案 (31)第7届华杯赛初赛试题及解答 (38)第8届华杯赛初赛试题及解答 (41)第9届华杯赛初赛试题及解答 (45)第10届华杯赛初赛试题及解答 (49)第11届华杯赛初赛试题及解答 (53)第12届华杯赛初赛试题及解答 (60)第13届华杯赛少年邀请赛初赛摸拟试卷 (64)第14届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (66)第15届华杯赛决赛真题及答案解析 (68)第1届华罗庚金杯赛数学试题与答案1、甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人。
问甲班和丁班共多少人?2、一笔奖金分一等奖、二等奖、三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的两倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的两倍。
如果评一、二、三等奖各两人，那么每个一等奖的奖金是308元;如果一个一等奖，两个二等奖，三个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元?3、一个长方形，被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积是20亩、25亩和30亩。
问另一个长方形的面积是多少亩?4、在一条公路上，每隔一百公里有一个仓库，共有五个仓库。
一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。
现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输一公里需要0.5元的运费，那么最少要花多少运费才行?5、有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1。
问这个数除以12余数是几?6、四个一样的长方形和一个小的正方形(如图)拼成了一个大正方形。
大正方形的面积是49平方米，小正方形的面积是4平方米。
问长方形的短边长度是几米?7、有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带的长度的八分之十三。
第11～14届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题
第十一届全国"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛试题一、填空。
1．计算：2．图1a是一个长方形，其中阴影部分由一副面积为1的七巧板拼成（如图1b），那么这个长方形的面积是（）。
3．有甲、乙、丙、丁四支球队参加的足球循环赛，每两队都要赛一场，胜者得3分，负者得0分，如果踢平，两队各得1分。
现在甲、乙和丙分别得7分、1分和6分，已知甲和乙踢平，那么丁得（）分。
4．图2中，小黑格表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。
连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。
现在从结点A向结点B传递信息，那么单位时间内传递的最大信息量是（）。
5．先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和为8，得到628，再写末两位数字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：628101123……，则这个整数的数字之和是（）。
6．智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多同学。
老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级的人数应该是（）人。
7．如图3所示，点B是线段AD的中点，由A，B，C，D四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度之和为10500，则线段AB的长度是（）。
8．100个非0自然数的和等于2006，那么它们的最大公约数最大可能值是（）。
二、解答下列各题，要求写出简要过程。
（每题10分，共40分）9．如图4，圆O中直径Ab与CD互相垂直，AB＝10厘米。
以C为圆心，CA为半径画弧AEB。
求月牙形ADBEA（阴影部分）的面积？10．甲、乙和丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8：6：5，它们沿一个圆圈从同一点同时同向爬行，当它们首次同时回到出发点时，就结束爬行。
问蚂蚁甲追上蚂蚁乙一共多少次？（包括结束时刻）。
11．如图5，ABCD是矩形，BC＝6cm，AB＝10cm，AC和BD是对角线。
第1-14届华罗庚金杯小学组数学邀请赛(初赛复赛决赛)试题答案
第一届华杯赛初赛试题答案1．【解】 1986是这五个数的平均数，所以和＝1986×5＝9930。
2．【解】方框的面积是。
每个重叠部分占的面积是一个边长为1厘米的正方形。
重叠部分共有8个()×5一l×8＝(100—64)×5—8 ＝36×5—8 ＝172(平方厘米)。
故被盖住的面积是172平方厘米。
3．【解】 105＝3×5×7，共有(1＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝8个约数，即1，3，5，7，15，21，35，105。
4. 【解】在这道题里，最合理的安排应该最省时间。
先洗开水壶,接着烧开水,烧上水以后,小明需要等15分钟，在这段时间里，他可以洗茶壶，洗茶杯，拿茶叶，水开了就沏茶，这样只用16分钟。
5．【解】149的个位数是9，说明两个个位数相加没有进位，因此，9是两个个位数的和，14是两个十位数的和。
于是，四个数字的总和是14＋9＝23。
6．【解】松鼠采了：112÷14＝8(天)假设这8天都是晴天，可以采到的松籽是：20×8＝160(个)实际只采到112个，共少采松籽：160－112＝48(个)每个下雨天就要少采：20－12＝8(个)所以有48÷8＝(6)个雨天。
7．【解】因为正方体的边长是1米，2100个正方体堆成实心长方体的体积就是2100立方米。
已经知道，高为10米，于是长×宽＝210平方米把210分解为质因数：210＝2×3×5×7由于长和宽必须大于高(10米)，长和宽只能是：3×5和2×7。
也就是15米和14米。
14米＋15米＝29米。
答：长与宽的和是29米。
8．【解】39－32＝7。
这7分钟每辆行驶的距离恰好等于第二辆车在8点32分行过的距离的1(＝3－2)倍。
因此第一辆车在8点32分已行7×3＝21(分)，它是8点11分离开化肥厂的(32－21＝11) 。
(完整word版)第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A卷(小学高年级组)-(1)
详解第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（小学高年级组）一、填空题（每小题 10 分, 共80 分）1.计算: －(2.4＋×4)÷ = 。
［答案］ 2［解析］原式= -( + ) ×= - ×= -= 22.中国北京在2015年7月31日获得了2022 年第24 届冬季奥林匹克运动会的主办权. 预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星期。
（今天是2016年3月12日, 星期六）［答案］五［解析］2022-2016＝6（年），2020÷4=505，所以2020为闰年，有366天。
2016年3月12日至2022年3月12日共有：365×5+366=2191(天）；2022年2月4日至2022年3月12日共有：28-4＋12=36(天）；2016年3月12日至2022年2月4日共有：2191-36＝2155(天）；2155÷7=307（周）……6（天）6+6-7=5.所以2022年2月4日是星期五。
3.右图中,AB=5厘米, ∠ABC=85,∠BCA=45,∠DBC=20,则AD= 厘米。
［答案］ 5［解析］∠A＝180－∠ABC －∠ BCA＝180－85－45=50 ;∠ABD= ∠ABC－∠ DBC＝85－20=65；∠ADB＝180－∠A－∠ABD＝180－50－65＝65；所以∠ABD＝∠ADB ，即△ABD是等腰三角形。
所以AD＝AB＝5(厘米)在9×9的格子纸上,1×1小方格的顶点叫做格点。
如右图,三角形ABC 的三个顶点都是格点. 若一个格点P 使得三角形PAB与三角形PAC的面积相等, 就称P点为“好点”。
那么在这张格子纸上共有个“好点”。
［答案］ 6［解析］如图，因为AB＝2AC，所以P点到AC的距离等于P点到AB距离的2倍，如图所示，共有6个点。
5. 对于任意一个三位数n, 用[n]表示删掉n中为0的数位得到的数。
第10～16届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题详细解释答案
第十届全国"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛试题一、填空（每题10分，共80分）1．下表中每一列为同一年在不同历法中的年号，请完成下表：第1小题：2．计算：① 18.3×0.25+5.3÷0.4-7.13 = ( ); ②= ( )。
答案：10.695；13.计算机中最小的存储单位称为“位”，每个“位”有两种状态：0和1。
一个字节由8个“位”组成，记为B。
常用KB，MB等记存储空间的大小，其中1KB=1024B， 1MB=1024KB。
现将240MB的教育软件从网上下载，已经下载了70%。
如果当前的下载速度为每秒72KB，则下载完毕还需要（）分钟。
（精确到分钟）答案：174．a，b和c都是二位的自然数，a，b的个位分别是7与5，c的十位是1。
如果它们满足等式ab+c=2005，则a+b+c=( )。
答案：1025.一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积（图1中的阴影部分）和正方体体积的比是（）。
答案：6．某种长方体形的集装箱，它的长宽高的比是4∶3∶2，如果用甲等油漆喷涂它的表面，每平方米的费用是0.9元，如果改用乙等油漆，每平方米的费用降低为0.4元，一个集装箱可以节省6.5元，则集装箱总的表面积是（）平方米，体积是（）立方米。
答案：13：37．一列自然数0，1，2，3，…，2005，…，2004，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2024。
现在将这列自然数排成以下数表：规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第（）行和第（）列。
答案：20；458．图2中，ABCD是长方形，E，F分别是AB，DA的中点，G是BF和DE的交点，四边形BCDG 的面积是40平方厘米，那么ABCD的面积是（）平方厘米。
图2答案：60二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分，共40分）9．图3是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成。
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第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A （初一组）（时间：2009年4月11日10:00~11:30）一、填空题（每题10分，共80分）1．计算：()2414-3-6.5(2)(6)313⎛⎫-⨯+-÷-= ⎪⎝⎭949,解析：21041319416313269⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2．设有理数a,b,c 在数轴上的对应点如下图所示， 则代数式b a a c c b -+-+-=2（a-b ） 解析：()()()a>1 ;b<c<0;a-b ;=a-b =2a-b b a a c a c c b c bb a ac c b a c c b -=-=--=-∴-+-+-+-+-根据图像，得 则:;（）3．设m,n 是非负整数且3m<2n ，则三个n 次多项式之积与一个2m 次多项式之和是（3n ）次多项式 解析：24932 23,333m n m n m n n n n <→<<<=因为 且m>0,n>0,所以所以三个次多项式之积与一个2m 次多项式之和是 3n 次多项式4．一名运动员进行爬山训练，从山脚出发，上山路长10千米，每小时行3千米；爬到山顶后沿原路下山，下山每小时5千米，那么这位运动员上下山的平均速度是每小时（3.75）千米。
解析：依题意，列出算式 得101020=3.7535⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭5．已知a,b 是有理数。
有以下三个不等式：①|a+b|<|a-b|,② a 2+b 2+|a|+|b|+1<0, ③a 2+b 2-2|a|-2|b|+1<0,其中一定不成立的是（②）（填写序号） 解析：22a 1 1.b a b ++++必定大于等于所以②必定不成立6．若二元一次方程组4234331x y n x y m -=-⎧⎨+=-⎩的解x,y 满足-1≤x ≤2,-2≤y ≤4,则m+n 的取值范围为：2.5m+n 10.5-≤≤解析：由4+3243+13x y n x y m -=⎧⎨+=⎩得123+9686+26x y n x y m -=⎧⎨+=⎩，两式相加：20x+3y+11=6(m+n),则因为-1≤x ≤2,-2≤y ≤4，有-15≤6(m+n)≤63，故-2.5≤m+n ≤10.57．把2006,2007,2008，2009四个数分别填入算式： 的四个方框中，则算式的最大可能值是：100331004解析：让被减数尽可能的最大，减数尽可能的小。
代入法8．有些自然数不管是从前往后读还是从后往前读，读出的结果都相同，这样的自然数叫做“回文数”，例如：3,55,14741等。
在大于0且小于10000的回文数中，3的倍数的数比7的倍数的数多（34）个。
解析：3 3 6 9 33 66 99 111 141 171 222 252 282 303 333 363 393 414 444 474 525555 585 606 636 666 696 717 747 777 828 858 888 909 939 969 999 1221 1551 1881 2112 24422772 3003 3333 3663 3993 42的倍数的回文数：24 4554 4884 5115 5445 5775 6336 6006 6666 6996 7227 7557 78878118 8448 8778 9009 9339 9669 999966 77 77 161 252 343 434 525 595 616 686 707 777 868 959 1001 1771 2002 27723003 3773 4004 4共个的倍数的回文数：774 5005 5775 6006 6776 7007 7777 8008 8778 9009 97793266-32=34共个，所以多出个二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．以[x]表示不超过x 的最大整数，解方程[2x]+[3x]=95.解析： ()[][]()[][]()[][]()[][]x m n,x=m+n11102395 59519 19(0)33119422395m =32512933n 23952m+1+3m+1=95m=23524123953n x x m m x n n n x x x x n x x ≤<+==→==+≤<≤<+=≤<+=≤<+=设的整数部分为，小数部分为则 当时，方程为解得 当时，方程为 2+3m+1=95，解得m ，不为整数，不符 当时，方程为:，解得不为整数，不符 当时，方程为：[][]922m 13295m 512395 19x 193m x x ++==+=≤<，解得不为整数，不符综上，方程的解为 10．设x,y 只能取自然数1,2,3，…，并且使等式111x 10y -=成立，那么x 取什么值时，y 达到最大值？ 解析：()()()10 10 1111111– y 101010x 10x10010x y 0010 10010x10 11=9.= =,90=910x 90x x x y y x y x x x x x x x x y x y y ---===⎧⎪-≥≤⎧⎪⎪>>⎨⎨⎪⎪-<⎩⎪>⎩-==解：由得：,当取最大值时，取最小值，即取最小值因为、只能取自然数，所以得出一个联立的不等式组：解得所以验算：当x 9时，所以，且为自然数，满足条件.综上：当时，可以取得最90大值。
11．长方形ABCD 、BEFG 、EOPQ 如右图排列，它们的长宽比都是3:2，最大长方形的面积是17，最小长方形的面积是5.问：图中四边形CDGF 的面积与四边形FGQP 的面积之和是多少？解析：2222AB x BE y EO z AD 1.5x BG 1.5y EQ 1.5zABCD BEFG EOPQ CD BC GF BC GF FE PQ FE CDGF FGQP CDGF FGQ ()(1.5-1.5)()(1.5 1.5) 1.5(-- P 22 x y x y y z y z x y y z ++-++=∴⊥⊥⊥⊥∴ 设长为，长为，长为如上图,由已知可得：长，长，长四边形、、都是长方形，，，，，则四边形与四边形都是梯形。
四边形与四边形的面积之和为：2222222-2S,ABCD x 1.5x 17EOPQ S z 1.5z )3()431.5 1.52()217512,S=6 54.-6x z x z x z S CDGF FGQP =-=⨯-==⨯==⨯=∴∴== 1将上述表达式记为长方图中四边形的面积与四形的面积S 边形的面积之，长方形的面和是积12.在8X8方格网的每个小方格内各有一个正数，这些正数满足：①每一行从左起第2个方格开始，每个格子中的数与其左边相邻格子中的数之差都相同；②每一列从上起第2个方格开始，每个格子中的数都是其上面相邻格子中的数的q 倍。
问：在右图标出的三个数的情形下，主对角线上的8个数之和是多少？ 解析：xy 244243424344 434342 44414546 474813x y A A 1AA 81621311 81616415371A A A A A 16168162=====-=-=======为叙述方便，记第行第列的格子为，则已知，，为每一行从左起第个方格开始，每个格子中的数与其左边相临格子中的数之差都相同。
由A ，A ，A A A A 可得A 。
进而求得，，，，因为每一()4434244424114341424 22334455667784532842q 11 Axy A x 1y q A A q A q q AA 1q 42 A A A A A A A A A A A A A q q q q=+=-⨯=⨯=⨯⨯===++++++++++⨯列从上起第个方格开始，每个格子中的数都是其上面相临格子中的数的倍。
所以，，由，可得对角线上的各个格子之和的表达式为：234464748113151317111 8 4 2 1681641628416821611315371251 2284323212832128A q A q A q +⨯+⨯+=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+⨯=++++++=⨯+三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13．如右图所示，圆周上有2009个点，编号为1到2009.今从编号为1的点开始，每隔6个点去掉一个点。
例如，第一次去掉编号是8的点，第二次去掉编号是15的点，求第500次去掉的点的编号。
解析：()n 620092009 n 1mod 7 2872861200971728712888819≡=记去掉的点的编号为。
圆周上每隔个点去掉一个点,则在第个点以前被去掉的点一定满足：而，故前次去掉的点是至之间,所有除以余的点，第次去掉的点是号点,第次应该去掉号点，但因为号点在第次就已经被去掉,所以应去掉第号点()()()()()28829361 n 1mod81682882945757 1mod 757582942996n 2mod 82 7128300305n n -≡≡≡-从第次到第次（共次），被去掉的点的编号一定满足：，且的取值是从到的自然数按照第次开始的规律，第次应该去掉第号点但因为，第号点已经被去，所以应去掉第号点。
从第次到第次（共次）,被去掉的点的编号一定满足且的取值是从到的自然数。
以此类推，第次到第次去掉()()()()()()3 n 3mod 8131884 306311n 4mod 8192485 312317n 5mod 825308n n n -≡-≡-≡的点的编号一定满足：，且的取值是从到的自然数第次到第次去掉的点的编号一定满足：，且的取值是从到的自然数第次到第次去掉的点的编号一定满足：，且的取值是从到的自然数()()()()()()6 318323n 6mod 8313687324329n 7mod 8374288330335n 0mod 843488n n n -≡-≡-≡第次到第次去掉的点的编号一定满足：，且的取值是从到的自然数第次到第次去掉的点的编号一定满足：，且的取值是从到的自然数第次到第次去掉的点的编号一定满足：，且的取值是从到的自然数()()()8 9 335n 48n 392,336n 49n 401882889336401,3924838479343211854801577480485n 1mod 8480n n --====≡第次去掉的点满足，即第次去掉的点满足，即由第次去掉的点是，第次去掉的点是可知每个点中有个点被去掉那么,第次去掉的点是第号,第次去掉的点是第号第次去掉的点是第号,第次至第次去掉的点满足由第次去掉的点的编号是()()()()()()()()15771 1577 19781 480485n 19720282 486491n 2mod 820320883 492497n 3mod 820921484 497502n 4mod 88n n n n -=--≡-≡-≡，所以第次至第次去掉的点的编号满足：的取值是从到的自然数第次至第次去掉的点满足,且的取值是从到的自然数第次至第次去掉的点满足,且的取值是从到的自然数第次至第次去掉的点满足,且的取()2152204 500n 218, n 17488n -==值是从到的自然数所以第次去掉的点的编号满足求得 14.右图中，平行四边形ABCD 的面积是1，E,F 分别是AB,CD 上的点，AF 与DE 交于G ，已知,DF b AE d FC a EB c ==，问：三角形AEG 的面积是多少？解析：()()()()()()()()()()()()()()()()()AGE FGD d d c d b a GE AE ABCD GD DF b d c b b a AGD AGE DE d b a d b a GE AGE AGD ,AGE AED GD b d c d b a b d c B ⎛⎫ ⎪++⎝⎭===+⎛⎫ ⎪+⎝⎭++=++++ 因为是平行四边形，所以∽,所以三角形和三角形以为底边，则两个三角形的高相等所以和的面积比为和的面积比为作辅助线，连接()()()()()()()()()()()()()()21D ADB ABCD 2c d AB ADB AED AB ABD AED AE dd b a d (b a AGE 2c )2( d d b a b d d b a b d c )d c d +=++⨯⨯=++++++++ ：则的面积是面积的一半，即和以为底边，则两个三角形的高相等,所以和的面积比为所以三角形的面积是（）ｃ。