第七章 气体动理论(答案)

一、选择题
［ C ］1、（基础训练2）两瓶不同种类的理想气体，它们的温度和压强都相同，但体积不同，则单位体积内的气体分子数n ，单位体积内的气体分子的总平动动能(E K /V )，单位体积内气体的质量ρ的关系为：
(A) n 不同，(E K /V )不同，ρ 不同．
(B) n 不同，(E K /V )不同，ρ 相同． (C) n 相同，(E K /V )相同，ρ 不同．
(D) n 相同，(E K /V )相同，ρ 相同． 【提示】① ∵nkT p =，由题意，T ，p 相同，∴n 相同；
② ∵kT n V kT
N
V E k 2
3
23==，而n ，T 均相同，∴V E k 相同；
③ RT M M
pV mol
=→RT pM V M mol ==ρ，T ，p 相同，而mol M 不同，∴ρ不同。

［ B ］2、（基础训练7）设图示的两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子
的速率分布曲线；令()
2
O p v 和()
2
H p v 分别表示氧气和氢气的最概然速率，则
(A) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线；
()2
O p v /()
2
H p v = 4．
(B) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线；
()2
O p v /()
2
H p v ＝1/4．
(C) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线；
()2
O p v /()
2
H p v ＝1/4．
(D) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线；
()2
O p v /()
2
H p v ＝ 4．
【提示】①最概然速率p v =p v 越小，故图中a 表示氧气分子的速率分布曲线；
②23
,3210(/)mol O M kg mol -=⨯， 23
,210(/)mol H M kg mol -=⨯，
得
()()
2
2
O
v v p p H
14
=
［ C ］3、（基础训练8）设某种气体的分子速率分布函数为f (v )，则速率分布在v 1~v 2
区间内的分子的平均速率为
(A)
⎰
2
1d )(v v v v v f ． (B) 2
1
()d v v v vf v v ⎰．
(C)
⎰
2
1
d )(v v v v v f /⎰2
1
d )(v v v v f ． (D)
⎰
2
1
d )(v v v v v f /0
()d f v v ∞
⎰ ．
【提示】① f (v )d v ——表示速率分布在v 附近d v 区间内的分子数占总分子数的百分比；
② ⎰
2
1)(v v dv v Nf ——表示速率分布在v 1~v 2区间内的分子数总和；
③2
1
()v v vNf v dv ⎰
表示速率分布在v 1~v 2区间内的分子的速率总和，
因此速率分布在v 1~v 2区间内的分子的平均速率为
22
112
2
1
1
()()()()v v v v v v v v vNf v dv vf v dv
Nf v dv
f v dv
=
⎰⎰⎰⎰
［ B ］4、（基础训练9）一定量的理想气体，在温度不变的条件下，当体积增大时，分子的平均碰撞频率Z 和平均自由程λ的变化情况是：
(A) Z 减小而λ不变． (B) Z 减小而λ增大． (C) Z 增大而λ减小． (D) Z 不变而λ增大．
【提示】
①2Z d n =
，
其中v =不变；N n V =，当V 增大时，n 减小； ∴Z 减小。

②v Z λ=
=n 减小时，λ增大。

［ B ］5、（自测提高3）若室内生起炉子后温度从15℃升高到27℃，而室内气压不
变，则此时室内的分子数减少了
(A)0.500． (B) 400． (C) 900． (D) 2100． 【提示】127315288T K =+=，227327300T K =+=；
由状态方程1122pV N kT N kT ==，得 121211
pV pV
N N kT kT pV N kT -
-==212T T T -=
12
4%300= ［ C ］（自测提高 7）一容器内盛有1 mol 氢气和1 mol 氦气，经混合后，温度为 127℃，该混合气体分子的平均速率为
(A) πR 10200
． (B) πR
10400． (C)
)210πR ． (D) +πR 10(400)210π
R
．
【提示】已知273127400T K =+=，3, 2210(/)mol H M kg mol -=⨯，
3, 410(/)mol H e M kg mol -=⨯，根据平均速率的定义，混合气体分子的平均速率为：
v =
1
N
i
i v
N
==
∑2
2211
()()222
H H H H H H A
A A v
v v v e
e v v e N N N +=+=+∑∑∑∑，其中 ππR
M RT v H l mo H 10400822,==
， H e v ==
v ∴
=)210π
R
二．填空题
1、（基础训练 11） A 、B 、C 三个容器中皆装有理想气体，它们的分子数密度之比为n A ∶n B ∶n C ＝4∶2∶1，而分子的平均平动动能之比为A w ∶B w ∶C w ＝1∶2∶4，则它们的压强之比A p ∶B p ∶C p ＝ 1：1：1 ． 【提示】压强公式：t w n p 3
2
=
→ A p ∶B p ∶C p ＝n A A w ∶n B B w ∶n C C w ＝1∶1∶1 2、（基础训练 14）在平衡状态下，已知理想气体分子的麦克斯韦速率分布函数为f (v )、分子质量为m 、最概然速率为v p ，试说明下列各式的物理意义：
(1)
()d p
f ∞
⎰v v v 表示_速率分布在v p
～∞区间内的分子数占总分子数的百分率；
(2)
()20
1v v d v 2m f ∞
⎰ 表示 分子平动动能的平均值__．
3、（基础训练 15）用总分子数N 、气体分子速率v 和速率分布函数f(v)表示下列各量：
(1) 速率大于v 0的分子数＝ ⎰
∞
)(v dv v Nf ；
(2) 速率大于v 0的那些分子的平均速率＝
⎰⎰∞
∞
)()(v v dv
v f dv
v vf ；
(3) 多次观察某一分子的速率，发现其速率大于v 0的概率＝
⎰∞
)(v dv v f ．
【提示】（1）N
dN
dv v f =)(表示v~v+dv 区间内的分子数dN 占总分子数N 的百分比→速率大于v 0的分子数为:
⎰∞
v dN =⎰∞
)(v dv v Nf
（2）速率大于v 0
的分子的平均速率：0000
()()()()v v v v v v vdN vNf v dv vf v dv
v dN Nf v dv f v dv
∞∞∞
∞∞∞===⎰⎰⎰⎰⎰⎰
（3）某一分子的速率大于v 0的概率→分子速率处于0v ～∞区间的概率→0v ～∞区间
的分子数占总分子数的百分数
⎰∞
)(v dv v f .
4、（基础训练 17）一容器内储有某种气体，若已知气体的压强为 3×105 Pa ，温度为27℃，密度为0.24 kg/m 3，则可确定此种气体是 氢 气；并可求出此气体分子热运动的最概然速率为 1578.92 m/s ． 【提示】① 3, 210/, mol mol M M
RT RT
pV RT M kg mol M V
p
p ρ-⎛⎫=
∴===⨯ ⎪
⎝⎭∴是氢气； ②
1578.92/p v m s =
= 5、（自测提高12）储有氢气的容器以某速度v 作定向运动，假设该容器突然停止，气
体的全部定向运动动能都变为气体分子热运动的动能，此时容器中气体的温度上升 0.7 K ，则容器作定向运动的速度v =_ 121 _m/s ，容器中气体分子的平均动能增加了
23 2.410 -⨯J ．
【提示】（1）5i =，
()215v 22mol M E R T νν=∆=∆ →
v 121/m s =
=； （2）52k kT ε=
→ 235
2.4102
k k T J ε-∆=∆=⨯.
6、（自测提高16）一容器内盛有密度为 ρ 的单原子理想气体，其压强为p ，此气体分
；单位体积内气体的内能是3
2
p ． 【提示】①RT M M pV mol =
→ρ
p
M pV M RT mol == →∴ρ
p
M RT v mol 332==； ② 单原子分子3i =，故33
3
222
RT pV E p V V V ν===
三．计算题
1、（基础训练 21）水蒸气分解为同温度T 的氢气和氧气H 2O →H 2＋2
1
O 2时，1摩尔的水蒸气可分解成1摩尔氢气和2
1
摩尔氧气．当不计振动自由度时，求此过程中内能的增量．
解：内能E 2
i RT ν=，
水蒸汽：i =6，ν=1，∴6
132
E RT RT =
⨯⨯=水； 分解为氢气和氧气后，i =5，22O 1
1, 2
H νν==，
2
255115
12224
H O E E E RT RT RT ∴=+=⨯⨯+⨯⨯=
3
3
4RT 25%4
3RT
E E E E E RT
-∴-=
==水水水，，即内能增加了25％
2、（基础训练 24）有N 个粒子，其速率分布函数为
00()(0)()0()
f v C v v f v v v =≤≤=>，，
试求其速率分布函数中的常数C 和粒子的平均速率（均通过0v 表示）
解：由归一化条件
00
()01f v dv Cd d C υυυυυ∞
∞
=+==⎰
⎰⎰， ∴0
1
υ=
C
υ＝ 0
()f d υυυ∞
⎰＝0
001
d υυυυ⋅⎰＝212
0υυ⋅＝20υ
3、（自测提高 21）试由理想气体状态方程及压强公式，推导出气体温度与气体分子热
运动的平均平动动能之间的关系式．
解：理想气体状态方程 p nkT =， 理想气体的压强公式：t n p ε3
2
=
， 比较(1)，(2)两式得，气体分子的平均平动动能t ε与温度的关系为 kT t 2
3=
ε 4、（自测提高 22）许多星球的温度达到108 K ．在这温度下原子已经不存在了，而氢核(质子)是存在的．若把氢核视为理想气体，求：(1) 氢核的方均根速率是多少？ (2) 氢核的平均平动动能是多少电子伏特？
解：(1) 氢核 M mol ＝1×10-3 kg ·mol -1
=
61.5810(/)m s ==⨯ (2) 23815433
1.381010
2.0710 1.291022
t kT J eV ε--=
=⨯⨯⨯=⨯=⨯。