2020年吉林省梅河口市第五中学高考第七次模拟考试数学试题(附答案解析)
吉林省梅河口市第五中学2020届高三下学期模拟考试数学(文)试题 Word版含答案
2 ⎪梅河口五中高三下学期模拟考试数学（文科）1、已知集合 A = {1, 2, 3}, B = {x (x + 1) (x - 2 ) ≤ 0 }，则 A ⋂ B 等于( ) A. {1} B. {1, 2}C. {0,1, 2, 3}D. {-1, 0,1, 2, 3}2、已知复数 z 在复平面内对应点是 (1, -2) ， i 为虚数单位，则 z + 2= ( ) z - 1A. -1 - iB. 1+ i3 C. 1 - i2D. 1 + 3 i23、命题" ∀x ∈ R, x 3- x 2 + 1 ≤ 0 "的否定是()4、已知向量 a = (4, -1), b = (-5, 2) ，且 (a + b ) / /(ma - b ) ，则实数 m = （ ）A. 1B. -1C. 75 D. - 755、已知 a = 21.2 ， b = ⎛ 1 ⎫ ⎝ ⎭-0.8， c = 2 log 5 2 ，则 a , b , c 的大小关系为( )A. c < b < aB. c < a < bC. b < a < cD. b < c < a6、数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的 a , b 分别为 8, 2 ， 则输出的 n = ()A.2B.3C.4D.57、在△ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，若 A = 30︒, b 2 = 2ac ，则 b sin B =c（ ）A. 1B. 2C. 12D.28、在区间[- π , π ] 上随机取一个数 x ，则sin 2x 的值介于 0 到 之间的概率为4 4 2（ ）A. 34 D. 13B. 23C. 129、已知直线 y = kx (k ≠ 0) 与双曲线 x 2 y 2-= 1(a > 0, b > 0) 交于 A , B 两点，以 AB 为直a 2b 2径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F ，若△ABF 的面积为 4a 2 ，则双曲线的离心率为()A.B.C. 2D.10、设函数 f ( x ) 的定义域 D ，如果存在正实数 m ，使得对任意 x ∈ D ，都有⎨⎩S 4 f ( x + m ) > f ( x ) ，则称 f ( x ) 为 D 上的“ m 型增函数”，已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x > 0 时， f ( x ) = x - a - a （ a ∈ R ）．若 f ( x ) 为 R 上的“20 型增函数”，则实数 a 的取值范围是（ ）A ． a > 0B ． a < 5C ． a < 10D ． a < 2011、已知过球面上三点 A , B , C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且AC = BC = 6, AB = 4 ，则球面面积为( )A. 42πB. 48πC. 54πD. 60π12、已知直线 l : y = -2 x - m (m > 0) 与圆 C : x 2 + y 2- 2x - 2 y - 23 = 0 ，直线 l 与圆 C 相交于不同两点 M , N .若| MN |≤ 2 | CM + CN | ，则 m 的取值范围是（）A. 5)B. [2, 3)C. (5,D.2)13、设曲线 y = ax 2 在点 (1, a ) 处的切线与直线 x + 2 y - 6 = 0 垂直，则 a =.⎧ x - 2 y ≤ 014、已知 x , y 满足约束条件 ⎪2 x + y - 4 ≤ 0 ，则 z = x + y 的最小值为 ．⎪ x ≥ 1 15、已知正数 x , y 满足 3x + 4 y = xy ，则 x + 3 y 的最小值为 .16、△ ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 a = b cos C + c sin B ，且 b则△ ABC 面积的最大值是.17、已知等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S 2 = 8，a 3 + a 8 = 2a 5 + 2 ．(1)求 a n ；(2)设数列{ 1 } 的前 n 项和为T ，求证T < 3 . n nn18、如图，在三棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 ，侧棱垂直于底面， AB ⊥ BC , E , F 分别是 A 1C 1 , BC 的中点.2(1).求证：平面 ABE ⊥ 平面 B 1 BCC 1 ；(2).求证： C 1 F / / 平面 ABE .19、如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PD ⊥ 平面 ABCD ，AB / /CD , AB ⊥ BC , AB = BC = 4, C D = 2CE = 2 .（1）证明：平面 PAD ⊥ 平面 PDE ；（2）若△PAB 的面积为 P - ADE 的体积.20、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C : x y 2+ = 1 的左顶点为A ，右焦点为 F ，P ， 4 3Q 为椭圆 C 上两点，圆 O : x 2+ y 2= r 2(r > 0) .（1）若 PF ⊥ x 轴，且满足直线 AP 与圆 O 相切，求圆 O 的方程；（2）若圆 O 的半径为 2，点 P ，Q 满足 k 值.21、设函数 f ( x ) = ln x - 1 ax 2 - bx .2OP ⋅ k OQ= - 3 ，求直线 PQ 被圆 O 截得弦长的最大 4（1）若 x = 1 是 f ( x ) 的极大值点，求 a 的取值范围；（2）当 a = 0 , b = - 1 时，方程 x 2 = 2mf ( x ) （其中 m > 0 ）有唯一实数解，求 m 的值. 22、选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系3 ⎧⎪ x =中取相同的长度单位．已知直线 l 的参数方程为 ⎨t( t 为参数)，曲线 C 的极坐标⎛ π ⎫方程为 ρ= 4 s in θ+ ⎪ .⎝ ⎭⎪⎩ y = 1 +(1)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；(2)若直线 l 与曲线 C 交于 M , N 两点，求△MON 的面积．23、已知函数 f (x ) = x - 3 - 2 x . (1)求不等式 f ( x ) ≤ 2 的解集；(2)若 f ( x ) 的最大值为 m ，正数 a , b , c 满足 a + b + c = m ，求证： a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3 .2 ⎪ 551 答案及解析：答案：B解析：∵集合 A = {1, 2, 3}, B = {x (x + 1) (x - 2 ) ≤ 0}= {x -1 ≤ x ≤ 2 } ，∴ A ⋂ B = {1, 2} .故选 B.2 答案及解析： 答案：D 解析：z + 2 = 3 - 2i = 1 + 3i ，故选 D. z - 1 -2i 23 答案及解析：答案：C解 析 ： 由 全 称 命 题 的 否 定 是 特 称 命 题 可 得 命 题 ∀x ∈ R,x 3 - x 2 + 1 ≤ 0 的 否 定 是“ 32∃x 0 ∈ R,x 0- x 0 + 1 > 0 ”，故选 C.4 答案及解析：答案：B解析：易知 a + b = (-1,1), ma - b = m (4, -1) - (-5, 2) = (4m + 5, -m - 2) ，因为(a + b ) / /(ma - b ) ，所以 (-1) ⨯ (-m - 2) - 1⨯ (4m + 5) = 0 ，解得： m = -1，故选 B.5 答案及解析： 答案：A解析：∵ a = 21.2> 2 ， b = ⎛ 1 ⎫⎝⎭ -0.8= 20.8 < 21 = 2 ， c = log 4 < log 5 = 1 ，∴ c < b < a .故选 A.6 答案及解析：答案：D解析：输入的 a , b 分别为 8, 2, n = 1第一次执行循环体后 a = 12, b = 4, 不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后 n = 2, a = 18, b = 8, 不满足退出循环的条件， 第三次执行循环体后 n = 3, a = 27, b = 16, 不满足退出循环的条件， 第四次执行循环体后 n = 4, a =81, b = 32 ，不满足退出循环的条件， 2第五次执行循环体后 n = 5, a = 243, b = 64 ，满足退出循环的条件， 4故输出的 n = 5 ，故选 D .7 答案及解析： 答案：A解析：因为 b 2 = 2ac ，由正弦定理，得 sin 2 B = 2 s in A s in C = 2 s in 30 sin C = sin C ，所b sin B 以c sin 2 B= = 1， sin C故选 A.8 答案及解析： 答案：Dπ π π 解析：所有的基本事件构成的区间长度为 - (- ) = ，由 0 ≤ sin 2 x ≤，解得：4 4 2 20 ≤ 2 x ≤ π ，则 0 ≤ x ≤ π ，所以由几何概型的概率公式得 sin 2x 的值介于 0 到 之间的3 6 2π - 06 1 概率为 P = π = 3 ， 2故选:D.9 答案及解析： 答案：D解析：由题意可得图像如图所示： 为双曲线的左焦点2∵AB 为圆的直径∴∠AFB = 90︒根据双曲线、圆的对称性可知：四边形 AFBF ' 为矩形∴S = 1 S = S △ABF 2 AFBF ' △FBF '又 b 2 2 2 2S △FBF ' == b tan 45︒= 4a ，可得： c = 5a∴e 2 = 5 ⇒ e =.故选 D.10 答案及解析：答案：B解析：若 a ≤ 0 ：当 x > 0 时， f ( x ) =| x - a | -a =| x |= x ，又∵ f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，∴ f ( x ) = x ，符合题意；⎧- x , 0 < x < a 若 a > 0 ：当 x > 0 时， f ( x ) =| x - a | -a = ⎨， ⎩ x - 2a , x ≥ a又∵ f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，根据题意可知 f ( x + 20) > f ( x ) 对于任意x ∈ R 恒成立，∴问题等价于将 f ( x ) 的图象向左平移 20 个单位后得到的新的函数 f (x + 20) 图象恒在f ( x ) 图象上方，可知 4a < 20 ，即 0 < a < 5 ，综上实数 a 的取值范围是 (-∞, 5) ，故选 B.11 答案及解析： 答案：C解析：如图，设球的半径为R,O'是△ABC 的外心，外接圆半径为r, 则OO'⊥面ABC .在1Rt△ACD 中，cosA =，则sinA =.3在△ABC 中，由正弦定理得6sin A3=2r,r ，△ABC 外接圆的半径r ==R ⇒R2 =27，S= 4πR2 = 54π.故选:C.212 答案及解析：答案：B解析：圆C 方程可化为：(x-1)2 +(y -1)2 = 25 ⇒C(1,1) ，圆C 半径r = 5 | MN |≤ 2 | CM +CN |=| MN |2 ≤ 4 | CM +CN |2即| MN |2 ≤ 4 | CM |2 +4 | CN |2 +8CM ⋅C N∴| MN |2 ≤100 +100 +8 | CM |⋅| CN | cos∠MCN2⇒| MN |2 ≤100 +100 +200⨯25+ 25- | MN |50⇒| MN |≤设圆心C 到直线y =-2x-m 的距离为d则=≤⇒m ≥ 2又直线y =-2x-m 与圆C 相交，可得d <r< 5 ⇒m < 3综上所述：m∈[2, 3)故选B.13 答案及解析：答案：1解析：y ' = 2ax ，所以切线的斜率k = 2a ，⎨ ⎩ 又切线与直线 x + 2 y - 6 = 0垂直得 2a ⨯ ⎛ - 1 ⎫ = -1 ，解得 a = 1.2 ⎪ ⎝ ⎭14 答案及解析：答案： 32⎧ x - 2 y ≤ 0 解析：作出 x ，y 满足约束条件 ⎪2 x + y - 4 ≤ 0 对应的平面区域如图： ⎪ x ≥ 1由 z = x + y 得 y = -x + z 表示，斜率为-1 纵截距为 z 的一组平行直线，平移直线 y = -x + z 当直线 y = -x + z 经过点 A 时，直线 y = -x + z 的截距最小，此时 z最小，⎧ x = 1 1 由 ⎨⇒ A (1, ) ，⎩ x - 2 y = 0 2z = 1 + 1 = 3 ．此时 min2 2 3故答案为： ．215 答案及解析：答案：25解析：由正数 x ，y 满足 3x+4y=xy ，∴． ∴x+3y==13+≥13+2=25，当且仅当 x=2y=10 时，取等号．∴x+3y 的最小值为 25． 故答案为：25．16 答案及解析：⎨答案： + 12解析：由 a = b cos C + c sin B 及正弦定理得，sin A = sin B cos C + sin C cos B ，即 sin ( B + C ) = sin B cos C + sin C sin B ，又 sin ( B + C ) = sin B cos C + sin C sin B ，于是可得 sin B = cos B ， 即 tan B = 1, B = 45︒ .在△ ABC 中，由余弦定理得 a 2 + c 2 = 2ac cos 45° = 2 ，即 a 2 + c 2 = 2 ，又因为 a 2 + c 2 ≥ 2ac ，∴ 2 = a 2 + c 2 ≥ (2 -a c ，由此可得 ac= 2a = c 时等号成立， △ ABC 面积 S = 1 ac sin B =2 += 1 ，2 4 2故△ ABC 面积 S17 答案及解析：答案：（1）设公差为 d ，由题意有 ⎧2a 1 + d = 8 ， ⎩2a 1 + 9d = 2a 1 + 8d + 2解得 a 1 = 3, d = 2 ，所以 a n = 2n + 1 .（2）由（1）知， S n= n (3 + 2n + 1) = n 2 + 2n ，2则 1 = 1 = 1 ( 1 - 1 ) ， S n n (n + 2) 2 n n + 2所以T = 1 [(1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) + (1 - 1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + ( 1 - 1 ) + ( 1 - 1 )] n2 3 2 4 3 5 n - 1 n + 1 n n + 2 = 1 (1 + 1 - 1 - 1 ) < 3. 2 2 n + 1 n + 2 418 答案及解析：答案：(1).在三棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 中， BB 1 ⊥ 底面 ABC所以BB1⊥AB又因为AB ⊥BCBC ⋂BB1=BBC, BB1⊂平面B1BCC1所以AB ⊥平面B1BCC1又AB ⊂平面ABE所以平面ABE ⊥平面B1BCC1(2).证明：AB 取的中点G，连接EG, FG因为E, F 分别是A1C1, BC 的中点所以FG / /AC ，且FG =1AC2因为AC / /A1C1，且，AC =A1C1，所以FG / /E C1，且FG =EC1，所以四边形为FGEC1平行四边形所以C1F / /EC又因为EG ⊂平面ABE ，C1F ⊄平面ABE所以C1F / / 平面ABE19 答案及解析：答案：（1）在直角梯形ABCD 中，AB =BC =4 ，CD =2 ，CE = 1，ÐABE = ÐECD \ DE ==AB == 5AD ==\ DE2 +AE2 =AD2 ，\ AD ^ DEQ PD ^ 平面ABCD ，DE Ì平面ABCD ，\ PD ^DE ，又AD I PD = D\ DE ^ 平面PAD ，又DE Ì平面PDE ，\ 平面PAD ^ 平面PDE\ Sy2⎝⎪（2）设PD =h ，BD ==，AD =\ PA =PB =ΔPAB= 1 鬃=22\ h又S△ADE= 1 AD×DE = 52\ 1VP- ADE=S△ADE×h3 320 答案及解析：x2答案：（1）因为椭圆C 的方程为2+=1，所以A (-2, 0),F (1.0).4 3因为PF ⊥x 轴，所以P⎛1,±3 ⎫，而直线AP 与圆O 相切，2 ⎪⎝⎭根据对称性，可取P⎛1, 3 ⎫，⎭则直线AP 的方程为y =1 (x +2)，即x -2y +2 = 0 .24由圆O 与直线AP 相切，得r =，所以圆O 的方程为x2 +y2 =.5（2）易知，圆O 的方程为x2 +y2 =3.①当PQ ⊥x 轴时，k ⋅k=-k 2 =-3，所以k =±，OP OQ OP 4 OP 2此时得直线PQ 被圆O 截得的弦长为②当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y =kx +b ，P (x1 , y1 ),Q (x2 , y2 )(x1 x2 ≠ 0)，228kb 4b 2 -12 ）式，得 2b 2 = 4k 2 3 + 4k 2 代入（* 3 + 4k 2首先由 k ⋅ k = - 3 ，得 3x x+ 4 y y= 0 ， OP OQ41 2 1 2 即 3x 1 x 2 + 4 (kx 1 + b ) (kx 2 + b ) = 0 ，所以 (3 + 4k) x 1 x2+ 4kb ( x 1 + x 2 ) + 4b= 0 （*）⎧ y = kx + b⎪ 联立 ⎨ x 2 ⎪ y 2+ = 1 ，消去 x ，得 (3 + 4k 2 ) x 2 + 8kbx + 4b 2 - 12 = 0 ，在 ∆ > 0 时 ⎩4 3x 1 + x 2 = - , x 1 x 2 = + 3 .由于圆心 O 到直线 PQ 的距离为 d ，所以直线 PQ 被圆 O 截得的弦长为 l =k = 0 时，l 有最大值>，所以直线 PQ 被圆 O 截得的弦长的最大值为21 答案及解析：答案：（1）由题意，函数 f ( x ) 的定义域为 (0, +∞) ，则导数为 f '( x ) = 1- ax - bx由 f (1) = 0 ，得 b = 1 - a ，∴ f '( x ) = 1- ax + a - 1 =-(ax + 1)( x - 1)x x①若 a ≥ 0 ，由 f '( x ) = 0 ，得 x = 1 .当 0 < x < 1时， f '( x ) > 0 ，此时 f ( x ) 单调递增； 当 x > 1 时， f '( x ) < 0 ，此时 f ( x ) 单调递减. 所以 x = 1 是 f ( x ) 的极大值点②若 a < 0 ，由 f '( x ) = 0 ，得 x = 1 ，或 x = - 1.a因为 x = 1 是 f ( x ) 的极大值点，所以 - 1 > 1 ，解得 -1 < a < 0 a综合①②：a 的取值范围是 a > -1⎪2（2）因为方程 2mf ( x ) = x 2 有唯一实数解，所以 x 2 - 2m ln x - 2mx = 0 有唯一实数解2 x 2 - 2mx - 2m 设 g ( x ) = x 2- 2m ln x - 2mx ，则 g '( x ) = ，x令 g '( x ) = 0 ，即 x 2 - mx - m = 0 .m 因为 m > 0 ， x > 0 ，所以 x 1 =2 m < 0 （舍去）， x 2 = 2当 x ∈ (0, x 2 ) 时， g '( x ) < 0 ， g ( x ) 在 (0, x 2 ) 上单调递减， 当 x ∈ (x 2 , +∞) 时， g '( x ) > 0 ， g ( x ) 在 ( x 2 , +∞) 单调递增 当 x = x 2 时， g '( x ) = 0 ， g ( x ) 取最小值 g ( x 2 )⎧g ( x ) = 0 ⎧ x 2 则 2 ，即 2 - 2m ln x 2 - 2mx 2 = 0 ， ⎨ ⎩g '( x 2 ) = 0 ⎨ 2⎪⎩ x 2 - mx 2 - m = 0所以 2m ln x 2 + mx 2 - m = 0 ，因为 m > 0 ，所以 2 ln x 2 + x 2 -1 = 0(*)设函数 h ( x ) = 2 ln x + x - 1，因为当 x > 0 时， h ( x ) 是增函数，所以 h ( x ) = 0 至多有一解m 因为 h (1) = 0 ，所以方程 (*) 的解为 x 2 = 1 ，即2 = 1 ，解得 m = 1222 答案及解析：⎧⎪ x 答案：(1)由 ⎨- t，消去参数 t + y = 4 ，直线 l 的普通方程为+ y - 4 = 0 . ⎪⎩ y = 1 +⎛ π ⎫由 ρ= 4 sin θ+⎪ = 2 sin θ+ θ 得，ρ = 2ρsin θ+ 2 3， ⎝3 ⎭即 x 2 + y 2 = 2 y + ，∴曲线 C 的直角坐标方程是圆： ( x - 2 + ( y - 1)2 = 4 .(2)∵原点 O 到直线 l 的距离 d == 2 .直线 l 过圆 C 的圆心，∴ MN = 2r = 4 ，⎨3 所以△MON 的面积 S = 1MN ⨯ d = 4 . 2解析：23 答案及解析：答案：（1）当 x ≤ 0 时， f ( x ) = x - 3 - 2 x = (3 - x ) + 2x = x + 3 ，由 f ( x ) ≥ 2 ，得 x + 3 ≥ 2 ， 解得x ≥ -1 ，此时 -1 ≤ x ≤ 0 ； 当 0 < x < 3 时， f ( x ) = x - 3 - 2 x = (3 - x ) - 2x = 3 - 3x ，由 f ( x ) ≥ 2 ，得 3 - 3x ≥ 2 ，解得x ≤ 1 ，此时 0 < x ≤ 1； 3 3当 x ≥ 3 时， f (x ) = x - 3 - 2 x = ( x - 3) - 2x = -x - 3 ≤ -6 ，此时不等式 f ( x ) ≥ 2 无解.综上所述，不等式 f ( x ) ≥ 2 的解集为 ⎡-1, 1 ⎤ ；⎢ 3 ⎥ ⎣ ⎦⎧ x + 3, x ≤ 0（2）由 1 可知 f (x ) = ⎪- 3x , 0 < x < 3 . ⎪- x - 3, x ≥ 3当 x ≤ 0 时， f ( x ) = x + 3 ≤ 3 ；当 0 < x < 3 时， f ( x ) = 3 - 3x ∈ (-6, 3) ；当 x ≥ 3 时，f ( x ) = -x - 3 ≤ -6 .所以，函数y = f ( x ) 的最大值为 m = 3 ，则 a + b + c = 3 .由柯西不等式可得 (1 + 1 + 1)(a 2 +b 2 +c 2 )≥ (a + b + c )2，即 3(a 2 +b 2 +c 2 )≥ 32 ， 即 a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3 ，当且仅当 a = b = c = 1 时，等号成立. 因此， a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3 .。
2020届吉林省梅河口市五中2017级高三下学期模拟考试数学(文)试卷及解析
2020届吉林省梅河口市五中2017级高三下学期模拟考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,A =2,3},()(){|120}B x x x =+-≤,则A B ⋂等于( )A. {}1B. {}1,2C. {0,1,2,3}D. {1,-0,1,2,3}【答案】B【解析】分别求出集合A,B,由此能求出A B ⋂． 【详解】集合A {1,=2,3},()()B {x |x 1x 20}{x |1x 2}=+-≤=-≤≤,{}A B 1,2∴⋂=．故选B ．2.已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-,i 为虚数单位,则21z z +=-（ ）A. 1i --B. 1i +C. 312i - D. 312i +【答案】D【解析】21z z +=-323122ii i -=+- ,选D.3.命题“R,x ∀∈3210x x -+≤”的否定是( )A. 不存在0R,x ∈320010x x -+≤ B. 0R,x ∃∈320010x x -+≥C. 0R,x ∃∈320010x x -+> D. R,x ∀∈3210x x -+>【答案】C【解析】全称命题的否定为∀→∃,对结论进行否定,即可得到结果.【详解】由全称命题的否定是特称命题,可得命题32R,10x x x ∀∈-+≤的否定是“32000R,10x x x ∃∈-+>”,故选:C4.已知向量()()4,1,5,2a b =-=-且()()//a b ma b +-,则m =A. 1B. 1-C. 75D. 75- 【答案】B【解析】根据题意,求得()()1,1,45,2a b ma b m m +=--=+--,根据()()a b ma b +-//,列出关于m 的方程,即可求解．【详解】由题意,向量()()4,1,5,2a b =-=-,则()()1,1,45,2a b ma b m m +=--=+--因为()()a b ma b +-//,所以(1)(2)1(45)m m -⨯--=⨯+,解得1m =-,故选B ．5.已知 1.22a =,0.81()2b -=,52log 2c =,则a, b, c 的大小关系为（ ） A. c b a <<B. c a b <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】A 【详解】试题分析：因为0.80.81()22b -==,所以由指数函数的性质可得0.8 1.2122b a <=<=,552log 2log 41c ==<,因此c b a <<,故选A.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题,属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质,所以也是常常是命题的热点,对于这类问题,解答步骤如下：（1）分组,先根据函数的性质将所给数据以0,1为界分组；（2）比较,每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理,将各个数按顺序排列.。
2020年吉林省通化市梅河口五中高考数学七模试卷(文科)(有解析)
2020年吉林省通化市梅河口五中高考数学七模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.复数z=(1+i)2(2−i)的虚部为()A. −4B. 2C. 4D. 4i2.已知集合A={x|x>2}，B={x|x2−3x<0}，则A∪B=()A. (0,3)B. (2,3)C. (0,+∞)D. (2,+∞)3.如图，是某班50名学生身高的频率分布直方图，那么身高在区间[150,170)内的学生人数为()A. 16B. 20C. 22D. 264.不等式x2−x−2<0成立的一个充分不必要条件是a<x<a2+1，则a的取值范围为()A. −1≤a≤1B. −1≤a<1C. −1<a<1D. −1<a≤15.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则C=()A. π3B. 2π3C. 3π4D. 5π66.方程√(x+5)2+y2−√(x−5)2+y2=6的化简结果为()A. x216−y29=1 B. x29−y216=1C. D.7.若实数x，y满足不等式，且的最大值为5，则实数m的值为()A. 0B.C.D.8.函数f(x)=(21+e x−1)cosx的部分图象大致为()A.B.C.D.9. 将函数f(x)=sin(2x +φ)的图象向左平移π8个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则φ的一个可能取值为( )A. 3π4B. π4C. 0D. −π410. 要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性 14C ，动植物死亡后，停止新陈代谢， 14C 不再产生，且原有的 14C 会自动衰变．经科学测定， 14C 的半衰期为5730(设 14C 的原始量为1，经过x 年后， 14C 的含量f(x)=a x ，即f(5730)= 12.现有一古物，测得 14C 为原始量的79.37%，则该古物距今约多少年?( )(参考数据：√123≈0.7937，√125730≈0.9998)A. 1910B. 3581C. 9168D. 1719011. 设椭圆x 2a 2+y 23=1(a >√3)的右焦点为F ，右顶点为A.已知1|OF |+1|OA |=3e|FA |，其中O 为原点，e为椭圆的离心率．则e =( )A. √32B. 12C. √22D. √3−112. 已知f(x)=|3x −1|+1，若关于x 的方程[f(x)]2−(2+a)f(x)+2a =0有三个实根，则实数a 的取值范围是( )A. 1<a <2B. a >2C. 2<a <3D. a >1二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 若sin(π3−α)=45，则cos(2α+π3)= ______ ．14. 已知曲线f(x)=(x +a)lnx 在点(1,f(1))处的切线与直线2x −y +2=0平行，则实数a =______ ．15.给出下列等式：√2=2cosπ4,√2+√2=2cosπ8,√2+√2+√2=2cosπ16,......,请从中归纳出第n个等式：___________．16.曲线y=(x−1)e−x在点(0,−1)处的切线方程为__________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.正项数列{a n}满足：a n2−(2n−1)a n−2n=0．(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)令b n=1(n+1)a n ，求数列{b n}的前n项和T n.并求使T n>511成立的最小正整数n的值．18.在6件产品中，有3件一等品，2件二等品，1件三等品，产品在外观上没有区别，从这6件产品中任意抽检2件，计算：(1)两件中至多有1件是二等品的概率；(2)两件产品的等级不同的概率．19.在底面为正方形的四棱锥S−ABCD中，SD⊥平面ABCD，E、F是AS、BC的中点，(Ⅰ)求证：BE//平面SDF；(Ⅱ)若AB=5，求点E到平面SDF的距离．20.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的正半轴上，且抛物线的焦点到准线的距离为2．(Ⅰ)求抛物线的标准方程；(Ⅱ)若直线l:y=2x+1与抛物线相交于A、B两点，求|AB|．21.设函数f(x)=lnx−(a+1)x,(a∈R)．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当函数f(x)有最大值且最大值大于3a−1时，求a的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2cos θy =2sin θ(θ为参数)已知点Q(4,0)，点P 是曲线C 1上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求点M 的轨迹C 2的极坐标方程；(2)已知直线l:y =kx 与曲线C 2交于A ，B 两点，若OA⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求k 的值．23. 已知函数f(x)=|x −1|−|x +2|．(1)求不等式f(x)≤2的解集M ．(2)当x ∈M 时，|f(x)|>a 2−a ，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵z=(1+i)2(2−i)=2i(2−i)=2+4i，∴z=(1+i)2(2−i)的虚部为4．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：C解析：本题主要考查集合的并集运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．解一元二次不等式化简集合B，再利用并集的定义求解即可．解：集合A={x|x>2}，B={x|x2−3x<0}={x|0<x<3}，则A∪B={x|x>0}．故选C．3.答案：B解析：根据频率分布直方图求出对应的频率，再计算对应的频数即可．本题考查了根据频率分布直方图求频率以及频数的应用问题，是基础题目．解：根据频率分布直方图得，身高在区间[150,170)内的频率为：(0.01+0.03)×10=0.4，所求学生的人数为：50×0.4=20．故选：B．4.答案：D解析：解：由不等式x 2−x −2<0，得−1<x <2．∵不等式x 2−x −2<0成立的一个充分不必要条件是a <x <a 2+1， ∴(a,a 2+1)⫋(−1,2)，则{a <a 2+1a ≥−1a 2+1≤2且a ≥−1与a 2+1≤2的等号不同时成立，解得−1<a ≤1． ∴a 的取值范围为−1<a ≤1． 故选：D ．求解一元二次不等式可得x 2−x −2<0的解集，再由题意得关于a 的不等式组求解． 本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，是基础题．5.答案：B解析：本题考查正弦，余弦定理，属于基础题． 由正弦定理化简可得a =53b ，c =7b 3，结合余弦定理可解C 的值．解：由正弦定理3sinA =5sinB ，可得3a =5b ，a =53b ， 代入b +c =2a ，c =7b 3，由余弦定理，，．故选B ．6.答案：C解析：本题考查了双曲线的定义问题，解题时应根据题意得出方程表示的几何意义是什么，从而得到化简的结果，是基础题．设A(−5,0)，B(5,0)，|PA|−|PB|=6，故点P 到定点A(−5,0)与到定点B(5,0)的距离差为6，由双曲线的定义可得答案．解：设A(−5,0)，B(5,0)，由于动点P(x,y)的轨迹方程为√(x +5)2+y 2−√(x −5)2+y 2=6， 则|PA|−|PB|=6，故点P 到定点A(−5,0)与到定点B(5,0)的距离差为6， 则动点M(x,y)的轨迹是以(±5,0)为焦点，以6为实轴长的双曲线的右支， 由于2a =6，c =5，则b 2=c 2−a 2=25−9=16，故M 的轨迹的标准方程为：．故选C ．7.答案：D解析： 【试题解析】本题考查简单的线性规划，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题． 画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数的最大值为5，确定约束条件中m 的值即可．解：画出约束条件{2x +y +2≥0x +y −1≤0y ≥m，的可行域，如图：x −y 的最大值为5，由图形可知，z =x −y 经过可行域的A 时取得最大值5， 由{x −y =5x +y =1⇒A(3,−2)是最优解， 直线y =m 过点A(3,−2)，所以m =−2， 故选D ．8.答案：B解析：解：函数f(x)=(21+e x−1)cosx =1−e x1+e x ⋅cosx ， 可知：f(−x)=1−e −x 1+e−x cos(−x)=−e x −1e x +1⋅cosx =−f(x)，函数是奇函数．排除A 、C ，当x ∈(0,π2)时，f(x)<0，排除D ， 故选：B ．判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊点的位置判断即可．本题考查函数的图象的判断与应用，函数的奇偶性与特殊点位置是判断函数的图形的常用方法．9.答案：B解析：解：将函数f(x)=sin(2x +φ)的图象向左平移π8个单位， 可得到的函数y =sin[2(x +π8)+φ)]=sin(2x +π4+φ)的图象，再根据所得图象关于y 轴对称，可得π4+φ=kπ+π2，即φ=kπ+π4，k ∈z ， 则φ的一个可能取值为π4， 故选：B ．由条件利用y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的一个可能取值． 本题主要考查y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．10.答案：A解析：解：设 14C 的原始量为1，经过x 年后， 14C 的含量f(x)=a x ， 由题意可知：f(5730)=12，即a 5730=12， ∴a =√125730，令f(x)=0.7937，得：a x =0.7937， ∴x =log a 0.7937=lg0.7937lga=lg √123lg√12=13lg 1215730lg 12=57303=1910，∴该古物距今约1910年． 故选：A ．由f(5730)=12可得a =√125730，令f(x)=0.7937，得x =log a 0.7937，利用换底公式结合对数的运算性质即可求出x 的值．本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算，是中档题．11.答案：B解析：本题考查了椭圆的性质，考查了椭圆的离心率的求法，是基础题．把|OF|、|OA|、|FA|代入1|OF |+1|OA |=3e|FA |，转化为关于a ，c 关系式，进而求得c 值，进一步求出a 值，则椭圆的离心率e 可求． 解：设F(c,0)，由1|OF |+1|OA |=3e|FA |， 即1c +1a =3ca (a−c )，可得a 2−c 2=3c 2， 又a 2−c 2=b 2=3， ∴c 2=1，因此a 2=4． ∴e 2=c 2a 2=14，则e =12．故选：B ．12.答案：A解析：方程[f(x)]2−(2+a)f(x)+2a =0的解为f(x)=2或f(x)=a ，作出函数f(x)的图象，观察即可得解．本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题． 解：方程[f(x)]2−(2+a)f(x)+2a =0的解为f(x)=2或f(x)=a ， 作函数f(x)=|3x −1|+1的草图如下，由图可知，f(x)=2有一个解，则f(x)=a有两个解，故1<a<2．故选：A．13.答案：725解析：本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．由条件利用诱导公式求得cos(π6+α)的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos(2α+π3)的值．解：∵sin(π3−α)=cos(π6+α)=45，∴cos(2α+π3)=2cos2(α+π6)−1=2×1625−1=725，故答案为：725．14.答案：1解析：本题考查导数的几何意义，求切线的斜率，考查两直线平行的条件，斜率相等，正确求导是解题的关键，求得f(x)的导数，可得x=1处切线的斜率，由两直线平行的条件，斜率相等，解方程即可得到所求值，属于基础题．解：f(x)=(x+a)lnx的导数为f′(x)=lnx+x+ax，曲线f(x)=(x+a)lnx在点(1,f(1))处的切线斜率为k=ln1+1+a=1+a，由切线与直线2x−y+2=0平行，可得1+a=2，解得a=1．故答案为：1．15.答案：解析：本题考查合情推理中的归纳推理，属简单题．解：第1个式子：，第2个式子：，第3个式子：，⋯⋯⋯故可归纳出第n个等式：，故答案为．16.答案：y=2x−1解析：本题考查求曲线的切线方程，导数的几何意义，属于基础题．结合导数的几何意义先求切线斜率，再写切线方程即可．解：因为y=(x−1)e−x=x−1e x，y′=2−xe x，当x=0时，y′=2，所以切线的斜率为2，切点为(0,−1)，所以切线的点斜式方程为y+1=2x，即y=2x−1．故答案为y=2x−1．17.答案：解：(1)∵a n2−(2n−1)a n−2n=0，∴(a n−2n)(a n+1)=0，又∵各项为正，∴a n=2n．(2)∵b n=1(n+1)a n =12n(n+1)=12(1n−1n+1)，∴数列{b n}的前n项和T n=12(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=12(1−1n+1)，若T n >511，即12(1−1n+1)>511，解得n >10，即使T n >511成立的最小正整数n =11．解析：(1)根据数列的递推关系，即可求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求出b n =1(n+1)an 的通项公式，利用裂项法即可得到结论．本题主要考查数列的通项公式以及数列求和，利用裂项法是解决本题的关键． 18.答案：解：(1)两件中至多有1件是两件中没有二等品或两件中恰有1件二等品，两件中没有二等品的概率p 1=C 42C 62=25， 两件中恰有1件二等品的概率p 2=C 21C 41C 62=815，∴两件中至多有1件是二等品的概率p =p 1+p 2=25+815=1415．(2)两件产品的等级不同的概率：p 2=C 31C 21+C 31C 11+C 21C 11C 62=1115．解析：(1)两件中至多有1件是两件中没有二等品或两件中恰有1件二等品，由此能求出两件中至多有1件是二等品的概率．(2)先求出从这6件产品中任意抽检2件的基本事件个数，再求出两件产品的等级不同的基本事件个数，由此能求出两件产品的等级不同的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式和等可能事件概率计算公式的合理运用．19.答案：证明：(Ⅰ)取SD 的中点Q ，连接QF 、QE ，由于点E 为侧棱AS 的中点，Q 为SD 的中点，故在△DAS 中，QE = //12AD ， 由于F 是BC 的中点故BF=//12AD，则QE=//BF，故BFQE为平行四边形，故BE//QF，又QF⊂平面SDF，BE⊄平面SDF，故BE//平面SDF；解：(Ⅱ)由DS⊥面ABCD，又AB⊂面ABCD，故D S⊥AB又AB⊥AD，AD∩DS=D，AD，DS⊂面ADS，故AB⊥面ADS，又BC//面ADS，故F到面ADS的距离为AB的长，即为5．设点E到平面SDF的距离为h．又V F−SED=V E-SDF，故53×12×12SD×5=13ℎ×12SD×5√52，解得ℎ=√5，所以点E到平面SDF的距离ℎ=√5．解析：本题考查线面平行的判定，考查等体积方法求点到平面的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．(Ⅰ)取SD的中点Q，连接QF、QE，证明BFQE为平行四边形，可得BE//QF，即可证明：BE//平面SDF；(Ⅱ)若AB=5，利用等体积方法求点E到平面SDF的距离．20.答案：解：(Ⅰ)由题意，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2，可知p=2．∴抛物线标准方程为：x2=4y；(Ⅱ)直线l：y=2x+1过抛物线的焦点F(0,1)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∴|AB|=y1+y2+p=y1+y2+2，联立{y =2x +1x 2=4y，得x 2−8x −4=0， ∴x 1+x 2=8，∴|AB|=y 1+y 2+2=2x 1+1+2x 2+1+2=2(x 1+x 2)+4=20．解析：本题考查抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系，正确运用抛物线的定义是解答本题的关键，属基础题．(Ⅰ)利用抛物线的定义，求出p ，即可求抛物线的标准方程．(Ⅱ)直线l ：y =2x +1与抛物线联立，利用韦达定理及抛物线的定义，即可求AB 的长度． 21.答案：解：(Ⅰ)由题得函数f (x )的定义域为，，①当a +1≤0，即a ≤−1时，f′(x )>0，函数f (x )在区间(0,+∞)内单调递增；②当a +1>0时，令f′(x )=0，解得x =1a+1，当0<x <1a+1时，f′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1a+1时，f′(x )<0，f (x )单调递减，综上，当a ≤−1时，f (x )在区间(0,+∞)内单调递增； 当a >−1时，f (x )在区间(0,1a+1)内单调递增，在区间(1a+1,+∞)内单调递减；(Ⅱ)由(1)得，当a >−1时，，则， 即， 令， 因为g (0)=0，且g (a )在区间(−1,+∞)内单调递增，所以由得，故a 的取值范围为(−1,0)．解析：本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题． (Ⅰ)先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；(Ⅱ)先求出函数的最大值，再构造函数，根据函数的单调性即可求出a 的范围． 22.答案：解：(1)设P(2cosθ,2sinθ)，M(x,y)，因为点Q(4,0)，点M 为PQ 的中点， 所以整理得(x −2)2+y 2=1．即x 2+y 2−4x +3=0，化为极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+3=0．(2)设直线l ：y =kx 的极坐标方程为θ=α．设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以4OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即4ρ1=3ρ2． 联立整理得ρ2−4cosα·ρ+3=0， 则， 解得． 所以，则k =±√157．解析：本题考查参数方程与普通方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化，极坐标方程的应用，属于中档题．(1)利用中点坐标公式，与同角三角函数的平方关系，消去参数可得曲线C 2的普通方程，由互化公式ρ2=x 2+y 2,ρcosθ=x,ρsinθ=y 再化为极坐标方程；(2)联立直线与C2的极坐标方程，整理得ρ2−4cosα·ρ+3=0.则，解得，由，求得k．23.答案：解：(1)f(x)=|x−1|−|x+2|={3,x⩽−2−2x−1,−2<x<1−3,x⩾1,当x≥1时，f(x)≤2恒成立，当−2<x<1时，由−2x−1≤2得x⩾−32，当x≤−2时，3≤2不成立，综上所述，不等式f(x)≤2的解集M为{x|x⩾−32}．(2)由(1)得，当x∈M时，f(x)≤2，那么|f(x)|≥0，从而可得a2−a<0，即实数a的取值范围是(0,1)．解析：本题考查绝对值不等式．属中档题．(1)将f(x)写成分段函数，分别求解即可；(2)当x∈M时，f(x)≤2，那么|f(x)|≥0，从而可得a2−a<0，解得实数a的取值范围．。
2020年3月吉林省梅河口市第五中学2020届高三高考模拟考试数学(文)试题及答案
绝密★启用前吉林省梅河口市第五中学2020届高三毕业班下学期3月高考模拟考试数学(文)试题1、已知集合A ={1,2,3},B ={x(x +1)(x -2 )≤0}，则A⋂B 等于( )A. {1}B. {1, 2}C. {0,1, 2, 3}D. {-1,0,1,2,3}2、已知复数z 在复平面内对应点是(1, -2),i 为虚数单位,则z + 2 =( )z -1A. -1 -iB. 1+i3C. 1-i2D. 1+3 i23、命题"∀x∈ R, x3 -x2 +1≤ 0 "的否定是( )4、已知向量a =(4,-1),b =(-5,2),且(a +b) / /(ma -b),则实数m =（）A. 1B. -1C. 75D. -755、已知a = 21.2 ,b =⎛1 ⎫⎝⎭-0.8,c =2log52,则a,b,c 的大小关系为()2⎪A. c < b < aB. c < a < bC. b < a < cD. b < c < a6、数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长四尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.如图,是源于其思想的一个程序框图.若输入的 a , b 分别为 8, 2 , 则输出的 n = ()A.2B.3C.4D.57、在△ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 A = 30︒, b 2 = 2ac ,则 b sin B = c （ ） A. 1 B. 2 C. 1 2D.28、在区间[- π , π ] 上随机取一个数 x ,则sin 2x 的值介于 0 到 之间的概率为 4 4 2（） A. 3 4D. 1 3 B. 2 3 C. 1 29、已知直线 y = kx (k ≠ 0) 与双曲线 x 2 y 2 -= 1(a > 0, b > 0) 交于 A , B 两点,以 AB 为直。
【精品卷】2020年吉林省通化市梅河口五中高三数学五模试题(有答案解析)
2020年吉林省通化市梅河口五中高三数学五模试题一、单选题1．在复平面内，复数()2221i z i -=+对应的点（ ） A ．在第二象限B ．在虚轴上C ．在直线0x y +=上D ．在直线0x y -=上2．下列结论错误的是 （ ）A ．若“p 且q”与“p 或q”均为假命题，则p 真q 假 B ．命题“存在”的否定是“对任意的” C ．“x =1”是“”的充分不必要条件 D ．若“”的逆命题为真3．下图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为.则该几何体的表面积是（ ）A ．20+B ．24+C ．8D ．164．已知函数()f x 是(),-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()2f x f x +=，且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()20082009f f -+的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 5．小王于2015年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2019年底，他没有再购买第二套房子.下图是2016年和2019年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图，根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ）A ．小王一家2019年用于饮食的支出费用跟2016年相同B ．小王一家2019年用于其他方面的支出费用是2016年的3倍C ．小王一家2019年的家庭收入比2016年增加了1倍D ．小王一家2019年用于房贷的支出费用比2016年减少了6．若1cos 36πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且263ππα<<，则7sin 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．12-B ．12C ．12D ．127．在矩形ABCD 中， 2AB =, 3AD =，点F 为CD 的中点，点E 在BC 边上，若4AF DE ⋅=-，则AE BF ⋅的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为3.1416，在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为（ ）A ．1πB ．3πCD ．2π9．已知函数f(x)=x 3+px 2+qx 与x 轴切于x 00(0)x ≠点,且极小值为-4,则p+q=（ ）A ．12B ．13C ．15D ．16 10．已知集合{}2012,{|540}A B x x x ==-+<，，，则()R A C B （ ） A ．{0,1,2} B ．{1,2} C ．{0} D ．{0,1}11． 大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,如图一,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理。
梅河口市第五中学2020届高三数学下学期模拟考试试题文含解析
【答案】（1)
（2）
【解析】
【分析】
（1)根据题意先计算出 点坐标,然后得到直线 的方程,根据直线与圆相切，得到半径的大小，从而得到所求圆的方程；(2）先计算 斜率不存在时,被圆 截得弦长， 斜率存在时设为 ，与椭圆联立，得到 和 ，代入到 得到 的关系，表示出直线 被圆 截得的弦长，代入 的关系，从而得到弦长的最大值.
7.在 中,角 的对边分别为 ，若 ， ,则 （ )
A。 1B。 2C。 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将已知条件 利用正弦定理化简即可得到答案。
【详解】因为 ，由正弦定理,得 ，所以 ,
故选:A
【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题。
8.在区间 上随机取一个数x,则 的值介于0到 之间的概率为
∴ ,∴ 或 ，解得 ,∴实数 的取值范围是 ，故选B。
11.已知过球面上三点 ， , 的截面到球心距离等于球半径的一半,且 ， ，则球面面积为（ ）
A. B. C。 D。
【答案】C
【解析】
【分析】
设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径,再求球的表面积．
【详解】如图,设球的半径为R，O′是△ABC的外心,外接圆半径为r，
【解析】
【分析】
全称命题的否定为 ，对结论进行否定,即可得到结果.
【详解】由全称命题的否定是特称命题,
可得命题 的否定是“ ”，
故选:C
【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.
4。已知向量 且 ，则
A。 1B. C。 D。
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，求得 ,根据 ，列出关于 的方程，即可求解．
吉林省吉林市2020届高三第七次模拟考试数学(文)试题Word版含答案
鹰隼三朝展羽翼蛟龙一跃上九天2016—2017学年下学期高三年级本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1 •答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2•选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3•请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4 •作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5 •保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷(选择题60分)一、选择题(本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只.有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上).(1) 已知R 是实数集，集合A={x|22x* > 16}, B ={x|(x—1)(x —3) £0}，则(e R A)“B =(A)(1, 2) (B) [1, 2](C) (1, 3) ( D) (1,弓)bj + a(2) 已知i是虚数单位，复数(a , b R)的共轭复数为1 2i，则a b^i -1(A) 4 ( B) 2(C) -2 (D) -41(3) 已知命题p: -，x^ R , sinx0 ■ cosx。
= 3 ；命题q：函数f (x) = x2-(」)x有一个零点，则2 下列命题为真命题的是(A) p q (B) p q(C)飞(D) p 厂q)(4) 已知直线a , b 分别在两个不同的平面 ：•，1内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面:- 和平面1相交”的(B) 必要不充分条件 (D )既不充分也不必要条件(5) 中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾(注:个月计)共入510贯”，则该人7月营收贯数为(B ) 30(A )充分不必要条件 (C )充要条件从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱)5月与10月营收之和95贯，全年(按12(A ) 15(C) 45 (D) 70(A) 2 2(B) 2.3(C) 2、6 (D)(8)某公司对其生产的72件产品随机编成1至72号，现采用系统抽样的方法(等距抽样) 从中抽取9件产品进行检验，若53是抽到的一个产品的编号，则下列号码中不是抽到的样本编号为(A) 5 (B) 21(C) 69 (D) 487兀 cos()= 12 (A )壬26(C) 卩26x -y < 1(10)若实数x, y 满足x_2y ・2 > 0,且目标函数z 二x-ay 只在点(4 , 3)处取得最大值,2x y > 2则a 的取值范围为(9)已知角 的顶点在原点，始边与 6x 轴正半轴重合，终边过点 P(_5 , 12)，则742(B) -——26 (D) 17 226(A )(」:,0)U(1 ,:：) (B ) (1,：：) (C ) (0,1)(D )(」:,1)「 — I I 2 2(11)若圆D : x y -4x *3=0与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线 E 的一条渐近线相切，则双曲线E 的离心率为4 (A)-或 43 (O 213(D ) 2(12)已知函数 f(x) = j |2 一11，X w 1(Ilog ?%—1)|, x>1,若方程f (x) =t 有四个不同的实数根 1 1a ,b ,c ,d ,且 a ::: b ::: c ：. d ，则 a b --的取值范围为c d(A )(」：，1] (B ) [1, 2017) (C ) (-：：，1)(D ) (1, 2017)第n 卷(非选择题，共 90分)本卷包括必考题和选考题两部分， 第13题- 21题为必考题，每个试题考生都必须作答， 第22题、23题为选考题，考生根据要求作答•二、填空题(本大题包括 4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横 线上). (13 )从2 , 3, 8, 9中任取两个不同的数字，分别记为 a , b ,则log a b 为整数的概率是(14 )已知函数log 2(5「x) , x 4 f(x) * 丿，则f(9)二. _f (x「2) , x > 4(15 )已知向量 a , b满足| a匸2 , a _ (b 2a)，向量a在向量b方向上的投影为-1，则| a b | =三、解答题(本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)(17) (本小题满分12分)数列｛a n｝的前n项和S n满足S n = 2a n〜，且印，a3 1，成等差数列.(I)求数列｛a n｝的通项公式；(H)设b n = na n ,求数列｛b n｝的前n项和.(18) (本小题满分12分)2016年11月，第^一届中国(珠海)国际航空航天博览会开幕式当天，歼-20的首次亮相给观众留下了极深的印象•某参赛国展示了最新研制的两种型号的无人机，先从参观人员中随机抽取100人对这两种型号的无人机进行评价，评价分为三个等级：优秀、良好、合格.由统计信息可知，甲型号无人机被评为优秀的频率为-、良好的频率为2 ;乙型号无人5 5机被评为优秀的频率为—，且被评为良好的频率是合格的频率的5倍.10(I)求这100人中对乙型号无人机评为优秀和良好的总人数；(n)如果从这100人中按对甲型号无人机的评价等级用分层抽样的方法抽取5人，然后从其他对乙型号无人机评优秀、良好的人员中各选取1人进行座谈会，会后从这7人中随机抽取2人进行现场操作体验活动，求进行现场操作体验活动的2人都为“评优秀”的概率.(16 )若 f (x) =asin x bcosx ,且f(「十一x)，则直线ax by 0的倾斜角(19) (本小题满分12分)已知P是四边形ABCD所在平面外一点，PA二PB二PD ,在四边形ABCD中AB =AD，AB _ AD , O是BD的中点•(I)求证：PD _AC；(H)若E是PD的中点，求平面EAC将四棱锥P — ABCD分成两部分的体积之比•D(20) (本小题满分12分)1 2已知函数f(x)=lnx——x +x2(I)设G(x^f(x) lnx，求G(x)的单调增区间;(n)证明：k ：：:1时，存在X ) 1,当x.二(1, x o )时，恒有(21) (本小题满分12分) (I)求椭圆C 的方程;(n )若点M , N 是椭圆C 上的两个动点，匕,k 2分别为直线OM , ON 的斜率且1k*2,试探究△ OMN 的面积是否为定值，并说明理由. 4请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. (22) (本小题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程一！x = -1 + J 2 —a cosa 在平面直角坐标系中，已知曲线 C 的参数方程为 (〉为参数，y =1 +J 2_a si n ota ：：：2 ).(I)当a =-2时，若曲线C 上存在A , B 两点关于点M (0 , 2)成中心对称，求直线AB 的 直角坐标方程；(n)在以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，极坐标方程为「sin(r ^0的直线l 与曲线C 相交于P , Q 两点，若| PQ 尸4，求实数a 的值. 4(23) (本小题满分10分)选修4-5 :不等式选讲已知函数 f(x) =|2x-a| |2x 3| , g(x) =|2x-3| 2.1(X )—2 k(x —1).=1(a b 0)经过点(1, C 的离心率已知椭圆(I)解不等式|g(x)|：：：5；(n)若对任意x< R，都存在x< R，使得f(x J=g(X2)成立，求实数a的取值范围.吉大附中高中部2016-2017学年下学期高三年级第七次模拟考试数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求.题号123456789101112答案D A B A C C C D B D B C（12）如图，做出的图像:则由f⑷叮®可得|Z-1H2<1|> 即一］］，整理得「.一..由均值不等式可得一F+J「,因为厂：匸，所以等号不成立，所以.1，即—-J.由二—士可得- - I：,I 1 1 1即-I ，整理得•- 丨，所以- - ■，故选c d c dC.、填空题：本大题共4小题，每小题5 分.(14):（15） .-J-；(16)（16）解析：由已知得「匸-厂Ga图象的一条对称轴，则，因为.，「J ,所以■ ■■- ，贝y 、，所以直线3 2□ t? 3I的斜率为-二-b2 -2胃，故倾斜角一..三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）解析：（1）由题意，:-匚［，则当…二；时，「一」_ 两式相减得「叽（曲2），所以］，又；一' ;、成等差数列，所以「匕- A!,解得j :，所以数列:;:是以-为首项，_为公比的等比数列，所以12分（18）解析：（1）因为对乙型号无人机被评为优秀的频率为，故乙型号无人机被评为103良好和合格的频率为一.设乙型号无人机被评为合格的频率为..，则被评为良好的频率为10:■:，解得，—...... 2分19所以乙型号无人机被评为优秀和良好的频率为—,所以这|丨丨人中乙型号无人机被评为优10秀和良好的总人数为20n）甲型号无人机评优秀的频率为T，良好的频率为二，及分层抽样的性质可知，其中有:人评优秀，分别记为，|. - , '. 人评良好，分别记为［■：”.记选取的对乙型号无人机评优秀、良好的一人分别为. I：1，则从这人中随机抽取一人,不同的结果为・丨•・•，丨-•…••丨共］丨种...... 8分记“进行现场操作体验活动的-人都评优秀”为事件［，则事件二'包含的结果为共［种.则"］上.12分（19）解析：（1）因为.是丄的中点，所以匸「丨尺，因为所以. —. '；」，又因为门—J.H所以二二「―所以.—匸匸匕二，即「.」「•因为，所以-平面K L-,所以汇.」心. ……6分(□)由(I)知，—平面所以平面可匸I平面.过！;作厂「:.于厂则；「平面.4 J因为■为」丄的中点, 所以「一―所以..... 8分所以^一 |所以,_，L I.……12分(20)解析：(I) 一：- …- ■■ ■: •从而22 x-2 -1 —2,r I令：/| -.1 ：-1'得一 _ ； . ，所以函数「丨的单调增区间为［I：. ……6分(n)证明：当.匚寸］时，令 ~ - / ■. - ' -.</ - |；_,<■ ■ - |/.- ,2 2 2则有''■ '■■■1■,由门-」得一「+」-< :_，解得X X■衬巴u 」」+&_册+ 4厲 2 32..... 8分从而存在】，当r"■ ■ '■:时，/I」故「- ■•在上单调递增，从而当厂■-:时，儿；• 5 *丨，即-.--A〔丄Jj……12分r1(21)解析：(I)—…- ……4分4 7(n)当直线仁」的斜率不存在时，「—「，- 「，易得［J.；1的面积为I.Jj Jj当工」；的斜率存在时，设直线工"的方程为1 - ■J.「兰泌_1由片-，得(l + 4k3)x J+ 8fo+4(t3-'1) = 0.y=kx+t设H.' ■■■ ■■:，则「：［是方程—肿厂卜：亡-忙'-I：- I的两个根. 所以一一一-1：且一 \ 勺 21 + 4卩 71 + 4/f2 _4^则:.....:可得二11,故-.此时-I:.■.< I .\t\丫 +妒请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. （22）（本小题满分10分）选修4-4 :坐标系与参数方程消去参数，得丫 + ］：‘圆心坐标为 '.I ：.因为曲线「上存在.■:. L.两点关于点 小［］「［成中心对称，所以_：：. ：1卜 2-1 . 3卩7——7 1，得,一 - J ，所以直线血的倾斜角为 •，U - 4所以直线.,；育的直角坐标方程为.「- .(x+l)3+(y-l)z =2-a ，圆心 \ ' ■ I ： ■半径为又直线.的极坐标方程可化为 L. -n. r- ...r*. .1 ,得直线的普通方程为： + .-」 所以—「;一” 卜=:、；=■.10分（23）（本小题满分10分）选修4-5 :不等式选讲 解析：（I ） 〔U(n)由题得? ；_c -.又「阳7:— »一匚则|匚」F ；,解得：-二或：-二，故实数「的取值范围为--/.I-' f, 所以由“ _ --- ---- ,冠禺 4，又点「到直线的距离r ;- IN 冷昭小少「仆弓府而丐笔嶼+41）(1+4*7T i_.综上可知‘的面积为定值】.12分解析：（1）由题意，得曲线 c 的参数方程为弋x = A + 2COSOJrE 为参数)，j = I+ 2sino:则由-I.,（n ）消去曲线 /参数方程的参数得……10分。
2020年吉林省通化市梅河口五中高考数学七模试卷(理科) (解析版)
2020年吉林省通化市梅河口五中高考数学七模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知复数z＝（1+ai）（1﹣2i）（a∈R）为纯虚数，则实数a＝（）A．2B．﹣2C．D．2．已知集合，B＝{x|y＝lg（2x﹣1）}，则A∩B＝（）A．（0，1]B．[0，1]C．D．3．已知如下六个函数：y＝x，y＝x2，y＝lnx，y＝2x，y＝sin x，y＝cos x，从中选出两个函数记为f（x）和g（x），若F（x）＝f（x）+g（x）的图象如图所示，则F（x）＝（）A．x2+cos x B．x2+sin x C．2x+cos x D．2x+sin x4．已知平面向量＝（1，x），＝（4，2），若向量2+与向量共线，则x＝（）A．B．C．D．5．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作倾斜角为的直线l，和双曲线在第一象限交于点A，△OAF是等腰三角形（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．6．已知，sinα≠0，则的值为（）A．B．C．或D．或7．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为（）A．120B．84C．56D．288．某著名风景区有“妙笔生花”“猴子观海”“仙人晒靴”“美人梳妆”“阳关三叠”和“禅心向天”六个景点，为方便游人游览，景区提示如下：（1）只有先游“猴子观海”，才能游“妙笔生花”；（2）只有先游“阳光三叠”，才能游“仙人晒靴”；（3）如果游“美人梳妆”，就要先游“妙笔生花”；（4）“禅心向天”应第四个游览，之后才可游览“仙人晒靴”．某同学按照上述提示，顺利游览了上述六个景点，则下列表述一定错误的是（）A．第一个游览“猴子观海”B．第二个游览“阳关三叠”C．第三个游览“美人梳妆”D．第五个游览“妙笔生花”9．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，A位于第一象限，则|AF|+3|BF|的最小值是（）A．2B．2+1C．2+2D．2+410．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）+a，对任意的x≥1，都有f（x）≤0，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．[1，+∞）C．（0，+∞）D．11．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，，x∈R）的部分图象如图所示，令g（x）＝f（x）+f'（x），方程的两个不同的解分别为x1，x2，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG平行，则当三角形BB1P 面积最小值时，三棱锥A﹣BB1P的外接球的表面积为（）A．2πB．3πC．4πD．7π二、填空题（共4小题）.13．经过原点（0，0）做函数f（x）＝x3+3x2的切线，则切线方程为．14．已知正实数a，b，c满足a2+b2＝2c2，则的最小值为．15．在△ABC中，∠A＝，已知BC边上的中线AD＝3，则△ABC面积的最大值为．16．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为．三、解答题：（一）必考题：17．已知数列{a n}的前n项和为T n＝n2﹣n，且a n+2+3log4b n＝0（n∈N*）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）数列{c n}满足c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n．18．某工厂A，B两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，A，B生产线生产的产品为合格品的概率分别为P和2p﹣1（0.5≤p≤1）．（1）从A，B生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p的最小值p0．（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．①已知A，B生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从A，B生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如图：用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X，求X的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PB＝PD．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA与底面ABCD所成的角为30°，PA⊥PC，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．20．已知椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为，顶角为120°的等腰三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）设A、B、P是椭圆上三动点，且，线段AB的中点为Q，，求|DQ|的取值范围．21．已知函数f（x）＝x2+2ax+2lnx（a∈R）．（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且x2≥e，求|f（x1）﹣f（x2）|的最小值．（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+4sinθ＝0．（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）已知定点P（4，0），直线l与曲线C相交于M，N两点，求|PM|•|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|1﹣ax|．（1）当a＝1时，解不等式f（x）≤2x+1；（2）若f（1）≤M，f（2）≤M，求证：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知复数z＝（1+ai）（1﹣2i）（a∈R）为纯虚数，则实数a＝（）A．2B．﹣2C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．解：∵z＝（1+ai）（1﹣2i）＝（1+2a）+（a﹣4）i为纯虚数，∴，解得a＝﹣．故选：D．2．已知集合，B＝{x|y＝lg（2x﹣1）}，则A∩B＝（）A．（0，1]B．[0，1]C．D．【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合＝{0＜x≤1}，B＝{x|y＝lg（6x﹣1）}＝{x|x＞}，故选：C．3．已知如下六个函数：y＝x，y＝x2，y＝lnx，y＝2x，y＝sin x，y＝cos x，从中选出两个函数记为f（x）和g（x），若F（x）＝f（x）+g（x）的图象如图所示，则F（x）＝（）A．x2+cos x B．x2+sin x C．2x+cos x D．2x+sin x【分析】观察图象可以得到，函数F（x）由图象可知，函数F（x）过定点（0，1），当x＞0时，F（x）＞1，为增函数，当x＜0时，F（x）＞0或，F（x）＜0交替出现，再思考所给的函数的图象和性质，即可得到答案．解：由图象可知，函数F（x）过定点（0，1），当x＞0时，F（x）＞1，为增函数，当x＜5时，F（x）＞0或，F（x）＜0交替出现，若为y＝cos x，当x＝0时，y＝1，2x+cos x不满足过点（0，1），故选：D．4．已知平面向量＝（1，x），＝（4，2），若向量2+与向量共线，则x＝（）A．B．C．D．【分析】可求出，根据向量与向量共线即可得出12﹣4（2x+2）＝0，解出x即可．解：；∵与共线；∴．故选：B．5．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作倾斜角为的直线l，和双曲线在第一象限交于点A，△OAF是等腰三角形（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【分析】由△OAF是等腰三角形，可得|OF|＝|AF|＝c，在△AFF1中由余弦定理可求得|AF1|＝c，再根据双曲线的定义得到|AF1|﹣|AF|＝2a，故，从而求出双曲线的离心率．解：由题意得F（c，0），∵△OAF是等腰三角形，设左焦点为F1（﹣c，0），由余弦定理得：＝7c2，根据点A在双曲线的右支上，得|AF1|﹣|AF|＝2a，∴e＝＝，故选：C．6．已知，sinα≠0，则的值为（）A．B．C．或D．或【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用结合sinα≠0，可得tanα＝1，利用两角和的正切函数公式化简所求即可得解．解：∵＝×（sinα﹣cosα）（﹣cosα）＝cos2α﹣sinαcosα，∴2cos2α﹣1＝cos2α﹣sinαcosα，可得：sin4α＝sinαcosα，∴tanα＝1，故选：A．7．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为（）A．120B．84C．56D．28【分析】根据流程图一步一步走，直至跳出循环结束．【解答】解析：初始值i＝0，n＝0，S＝0，第一次循环，i＝1，n＝1，S＝1；第三次循环，i＝3，n＝5，S＝10；第五次循环，i＝5，n＝15，S＝35；第七次循环，i＝7，n＝28，S＝84；故选：B．8．某著名风景区有“妙笔生花”“猴子观海”“仙人晒靴”“美人梳妆”“阳关三叠”和“禅心向天”六个景点，为方便游人游览，景区提示如下：（1）只有先游“猴子观海”，才能游“妙笔生花”；（2）只有先游“阳光三叠”，才能游“仙人晒靴”；（3）如果游“美人梳妆”，就要先游“妙笔生花”；（4）“禅心向天”应第四个游览，之后才可游览“仙人晒靴”．某同学按照上述提示，顺利游览了上述六个景点，则下列表述一定错误的是（）A．第一个游览“猴子观海”B．第二个游览“阳关三叠”C．第三个游览“美人梳妆”D．第五个游览“妙笔生花”【分析】对题干信息进行整理，得到基础的先后顺序，然后进行选项验证即可．解：先整理题干信息，可知：①猴子观海＜妙笔生花＜美人梳妆；②阳关三叠＜仙人晒靴；③禅心向天（4）＜仙人晒靴．依据③可知，5、6其中一个必然是仙人晒靴．若D为真，则位置6必然是美人梳妆，这与题干信息相矛盾，故D为假．故选：D．9．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，A位于第一象限，则|AF|+3|BF|的最小值是（）A．2B．2+1C．2+2D．2+4【分析】设直线AB的方程为x＝my+1，A（，y1），B（，y2），联立直线与抛物线的方程消元，然后利用韦达定理可得，然后根据抛物线的定义可得|AF|+3|BF|＝，再利用基本不等式即可求出结果．解：抛物线的焦点F（1，0），设直线AB的方程为：x＝my+1，联立方程组，消去x得：x2﹣（4m2+2）x+5＝0，则有，即，所以|AF|+3|BF|＝，当且仅当时等号成立，故选：D．10．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）+a，对任意的x≥1，都有f（x）≤0，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．[1，+∞）C．（0，+∞）D．【分析】先把f（x）变形为f（x）＝xlnx﹣a（x2﹣1），发现当a≤0时，在（1，+∞）上，f（x）＞0，与f（x）≤0矛盾，故a＞0，再对a分类讨论，研究导函数的符号，判断函数的单调性，从而求出实数a的范围即可．解：f（x）＝x（lnx﹣ax）+a＝xlnx﹣a（x2﹣1），当x≥5时，xlnx≥0，x2﹣1≥0，这与f（x）≤0矛盾，故a＞0，令g（x）＝lnx﹣2ax+5（x≥1），若a≥时，则g′（x）≤0，f′（x）在[1，+∞）递减，于是当x≥1时，f′（x）≤f′（3）＝1﹣2a≤0，若0＜a＜，则当5＜x＜时，g′（x）＞0，f′（x）在（1，）递增，故f（x）在（1，）上递增，于是当1＜x＜时，f（x）＞f（1）＝0，这与f（x）≤0矛盾，故选：D．11．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，，x∈R）的部分图象如图所示，令g（x）＝f（x）+f'（x），方程的两个不同的解分别为x1，x2，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的图象，确定函数的解析式，求出函数的导数，以及g（x）的解析式，结合三角函数方程与根的关系，求出x1，x2的表达式，然后进行判断即可．解：由图象知A＝2，＝﹣＝，即T＝2π，则，得ω＝1，则f（x）＝7sin（x+φ），∵，∴φ＝，f′（x）＝2cos（x+），由得2sin（x+）＝，得sin（x+）＝，则①﹣②得x1﹣x2＝2k1π﹣2k2π﹣＝2（k1﹣k4）π﹣，则当k1﹣k2＝0时，|x1﹣x3|取得最小，最小值为，故选：C．12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG平行，则当三角形BB1P 面积最小值时，三棱锥A﹣BB1P的外接球的表面积为（）A．2πB．3πC．4πD．7π【分析】由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P所在线段，可知当BP⊥AC时，三角形BB1P面积最小，然后证明AP⊥B1P，得到AB1为三棱锥A﹣BB1P的外接球的直径，进一步求解得答案．解：补全截面EFG为截面EFGHQR1如图，设BR⊥AC，∵直线D1P与平面EFG不存在公共点，易知平面ACD1∥平面EFGHQR1，且当P与R重合时，BP＝BR最短，此时△PBB3的面积最小，∴BP＝，又AB⊥B1B，∴AB1为三棱锥A﹣BB1P的外接球的直径，长度为．故选：C．二、填空题：13．经过原点（0，0）做函数f（x）＝x3+3x2的切线，则切线方程为y＝0或9x+4y＝0．【分析】分原点（0，0）是切点与原点（0，0）不是切点讨论，利用导数得出切线的斜率，写出切线方程即可．解：∵f′（x）＝3x2+6x，①若原点（0，0）是切点，则切线的斜率为f′（0）＝0，则切线方程为y＝0；②若原点（0，4）不是切点，设切点为P（x0，y0），则切线的斜率为，因此切线方程为，∴切线方程为，化为7x+4y＝0．故答案为y＝0或9x+4y＝0．14．已知正实数a，b，c满足a2+b2＝2c2，则的最小值为2．【分析】由题意易得c2≥ab，再由即可求解．解：因为2c2＝a2+b2≥2ab，即c2≥ab，当且仅当即c4＝ab时取等号，故答案为：215．在△ABC中，∠A＝，已知BC边上的中线AD＝3，则△ABC面积的最大值为9．【分析】设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理可求得b2+c2＝36+bc，根据基本不等式可求bc≤36，当且仅当b＝c时成立，利用三角形的面积公式即可计算得解△ABC面积的最大值．解：设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则S△ABC＝bc sin＝bc，在△ABC中，由余弦定理可得：a2＝b2+c2+bc，在△ACD中，b4＝a2+9﹣3a cos∠ADC，由b2+c8≥2bc，可得：bc≤36，当且仅当b＝c时成立，故答案为：9．16．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为．【分析】如图，先证出B1D⊥平面AC1，过A点作AG⊥CD，证AG⊥平面B1DC，可知∠ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，求其正弦即可．解：如图，连接B1D易证B1D⊥平面AC1，过A点作AG⊥CD，则由B1D⊥平面AC1，得AG⊥B1D由线面垂直的判定定理得AG⊥平面B3DC，由已知，不妨令棱长为2，则可得AD＝＝CD，所以直线AD与面DCB1的正弦值为；故答案为．三、解答题：（一）必考题：17．已知数列{a n}的前n项和为T n＝n2﹣n，且a n+2+3log4b n＝0（n∈N*）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）数列{c n}满足c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n．【分析】（1）数列{a n}的前n项和为T n＝n2﹣n，n≥2时，a n＝T n﹣T n﹣1，n＝1时，a1＝T1＝1．可得a n．又a n+2+3log4b n＝0（n∈N*）．可得b n．（2）数列{c n}满足c n＝a n•b n＝（3n﹣2），利用错位相减法即可得出．解：（1）数列{a n}的前n项和为T n＝n2﹣n，∴n≥5时，a n＝T n﹣T n﹣1＝n2﹣n﹣＝3n﹣2，∴a n＝3n﹣2．∴2n﹣2+2+3log4b n＝0，（2）数列{c n}满足c n＝a n•b n＝（3n﹣2）．＝+…+（3n﹣5）×+（3n﹣2），解得S n＝﹣．18．某工厂A，B两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，A，B生产线生产的产品为合格品的概率分别为P和2p﹣1（0.5≤p≤1）．（1）从A，B生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p的最小值p0．（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．①已知A，B生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从A，B生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如图：用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X，求X的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值．【分析】（1）根据对立事件的性质得出至少有一件合格品的概率，列出不等式求出p 的最小值即可；（2）①根据A，B生产线的产品合格率，估计不合格产品的数量，再计算挽回的损失数得出答案；②根据频率分别直方图计算X的三种取值对应的概率，得出分布列，再计算数学期望．解：（1）P＝1﹣（1﹣p）（1﹣（2p﹣2））＝1﹣2（1﹣p）2．令1﹣2（2﹣p）2≥0.995，解得p≥7.95．（2）①由（1）可知A，B生产线上的产品合格率分别为0.95，0.9．故从A生产线抽检的1000件产品中不合格产品大约为1000×6.05＝50件，故挽回损失50×5＝250元，∴从B生产线挽回的损失较多．②X的可能取值为10，8，6，于是P（X＝10）＝＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝6）＝＝，X1086P∴EX＝10×+8×+6×＝8.8元．∴该厂生产2000件产品的利润的期望值为2000×8.1＝16200元．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PB＝PD．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA与底面ABCD所成的角为30°，PA⊥PC，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【分析】（1）连接AC，BD交点为O，推导出AC⊥BD，BD⊥OP，从而BD⊥面PAC．（2）过点P作PE⊥AC，垂足为E，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，过A 作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，分别求出平面PBC与平面PCD的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：连接AC，BD，设AC∩BD＝O，连接PO，∵底面ABCD为正方形，∵PB＝PD，O为BD的中点，又AC∩PO＝O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面APC，（2）解：由（1）知，BD⊥平面PAC，而BD⊂平面ABCD，∴∠PAC为PA与底面ABCD所成的角为30°，即∠PAC＝30°，则AP＝2，PE＝，AE＝3，AC＝4，AD＝2，建立空间直角坐标系A﹣xyz，设面PBC法向量为＝（x，y，z），＝（0，8，0），＝（﹣，﹣，），设平面PCD的法向量＝（x1，y1，z1），，＝（﹣，﹣，），∴cos＜＞＝＝．∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣．20．已知椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为，顶角为120°的等腰三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）设A、B、P是椭圆上三动点，且，线段AB的中点为Q，，求|DQ|的取值范围．【分析】（1）利用条件求出a，b，代入即可；（2）由，把A、B、P三动点的坐标代入椭圆方程得x1x2+4y1y2＝0，结合直线AB与椭圆的方程，求出m，k的关系，再代入|DQ|，求出|DQ|的取值范围．解：（1）由题意，，，∴a7＝b2+c2＝8，∴椭圆；由，当AB的斜率不存在时，x7＝x1，y2＝﹣y1所以，直线和椭圆联立，消去y得：（1+4k2）x7+8kmx+4m2﹣8＝0，，，化简得，又，，故Q（），由于m2＝4k2+1≥1，∴且，综上：．21．已知函数f（x）＝x2+2ax+2lnx（a∈R）．（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且x2≥e，求|f（x1）﹣f（x2）|的最小值．【分析】（1）f′（x）＝2x+2a+＝．x∈（0，+∞）．由f（x）是单调函数，可得f′（x）在x∈（0，+∞）上恒非负．令y＝x2+ax+1，则，或﹣≤0，即可得出a的取值范围．（2）f（x）的两个极值点x1，x2是方程x2+ax+1＝0的两个实数根．可得x1+x2＝﹣a，x1x2＝1．又x2≥e，可得0＜x1＜1＜e＜x2．f（x）在[x1，x2]上单调递减．可得|f（x1）﹣f（x2）|＝f（x1）﹣f（x2）＝﹣+2a（x1﹣x2）+2ln，把根与系数代入化简可得：|f（x1）﹣f（x2）|＝﹣﹣2ln．设＝t≥e2．设h（t）＝t﹣﹣2lnt．，利用导数研究其单调性即可得出．解：（1）f′（x）＝2x+2a+＝．x∈（0，+∞）．∵f（x）是单调函数，∴f′（x）在x∈（0，+∞）上恒非负．解得a≥﹣6．（2）f（x）的两个极值点x1，x2是方程x4+ax+1＝0的两个实数根．又x2≥e，∴8＜x1＜1＜e＜x5．f（x）在[x1，x2]上单调递减．＝﹣﹣2（x1+x2）（x1﹣x2）+5ln＝﹣﹣2ln．设h（t）＝t﹣﹣6lnt．则h′（t）＝1+﹣＝＞0．∴h（t）≥h（e2）＝e2﹣﹣4．∴|f（x1）﹣f（x2）|的最小值为e2﹣﹣4．（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+4sinθ＝0．（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）已知定点P（4，0），直线l与曲线C相交于M，N两点，求|PM|•|PN|的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把直线参数方程转换为普通方程，再把圆的极坐标方程转换为圆的普通方程．（2）利用直线和曲线的位置关系，转换为一元二次方程根和系数关系式，求出结果．解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为普通方程为φ，整理得y＝tanφ（x﹣4）．根据，转换为直角坐标方程为x2+y2+4y＝0，（2）把直线的参数方程（t为参数），代入x2+y2+4y＝0，所以t1t7＝16，所以|PM|•|PN|＝|t1t2|＝16．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|1﹣ax|．（1）当a＝1时，解不等式f（x）≤2x+1；（2）若f（1）≤M，f（2）≤M，求证：．【分析】（1）将原不等式化为|1﹣x|≤2x+1，两端平方去绝对值符号，解不等式可得所求解集；（2）由题意可得2|1﹣a|≤2M，|1﹣2a|≤M，两式相加，结合绝对值不等式的性质，以及不等式的传递性，即可得证．【解答】（1）解：当a＝1时，f（x）＝|1﹣x|≤2x+1，可化为（5﹣x）2≤（2x+1）2，即5x2+6x≥0，解得x≥8或x≤﹣2，即不等式的解集为{x|x≥0或x≤﹣2}．则3M＝2M+M≥2|5﹣a|+|1﹣2a|＝|2﹣2a|+|1﹣6a|≥|2﹣2a﹣（1﹣2a）|＝1，故M≥．。
专题04 求函数的定义域、值域(原卷版)
专题04 求函数的定义域、值域【热点聚焦与扩展】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，也是高考的热点.函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.所以在掌握定义域求法的基础上，掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决.（一）函数的定义域1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2.①若的定义域为，则不等式的解集即为函数的定义域； ②若的定义域为，则函数在上的的值域即为函数的定义域．3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义； 第三类是不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． （二）函数的值域1.利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.2.利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x 的范围.3.利用三角函数的有界性,如.4.利用“分离常数”法:形如y= 或 (至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法. 一般地，()y f x =(),a b ()a g x b <<()()y f g x =()()y f g x =(),a b ()g x (),a b ()y f x =()f x )]([x g f )]([x g f ()f x )(x f ],[b a )(a f )(b f )(x f ],[b a 2(0)y ax bx c a =++≠sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-ax b cx d ++2ax bx ey cx d++=+c a ,① ：换元→分离常数→反比例函数模型② ：换元→分离常数→模型③ ：同时除以分子：→②的模型 ④ ：分离常数→③的模型共同点：让分式的分子变为常数5.利用换元法: 在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种： ① ：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围. ② ：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可. ③形如,可用此法求其值域. 6.利用基本不等式法:7.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域8.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．数形结合法也可很方便的计算值域. 9.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部 分剔除.10.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.（1）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该 函数的图象，从而利用图象求得函数的值域.（2）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，ax by cx d+=+2ax bx cy dx e++=+a y x x =±2dx ey ax bx c+=++21y ax bx c dx e=+++22ax bx cy dx ex f++=++()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()f x ()()(),log ,sin xay f ay f x y f x ===()y f t =y ax b =+()f x ()f x如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式.（三）常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域. （2）二次函数（），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）. （3）反比例函数：（1）图像关于原点中心对称（2）当 ，当. （4）对勾函数： ① 解析式特点：的系数为1；注：因为此类函数的值域与相关，求的值时要先保证的系数为，再去确定的值 例：，并不能直接确定，而是先要变形为，再求得② 极值点：③ 极值点坐标：y kx b =+2y ax bx c =++1y x=,0x y →+∞→,0x y →-∞→()0ay x a x=+>x 0a>a a x 1a 42y x x =+4a =22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2a=x x ==(,-④ 定义域：⑤ 自然定义域下的值域： （5）函数： 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：的系数为1； ② 函数的零点：③ 值域：（5）指数函数（）：其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为（6）对数函数（）其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()(),00,-∞+∞(),2,a ⎡-∞-+∞⎣()0ay x a x=->x 0a >x a =±R xy a =1a >01a <<()0,+∞log a y x =1a >01a <<()0,+∞【经典例题】例1.【2020年高考北京卷11】函数1()=ln 1f x x x ++的定义域是__________．例2．【河南省部分重点高中2020届高三三模】函数y =的定义域是（ ）A ．（0，1）∪（1，4]B ．（0，4]C ．（0，1）D ．（0，1）∪[4，+∞）例3．【福建省2020届高三考前冲刺适应性模拟卷】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为（） A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1 D ．(]1,4 例4．【山东省济宁市第一中学2020届高三三模】函数()1lnxf x x =-的定义域为（ ） A ．[)()0,11,⋃+∞B ．()()0,11,⋃+∞C ．[)0,+∞ D ．()0,+∞例5．【黑龙江省哈尔滨市第一中学校2020届高三三模】已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2例6．【山东省实验中学2020年高三三模】若函数()f x 的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．22（﹣，）B ．22∞∞⋃+（﹣，﹣）（，）C ．][22∞∞⋃+（﹣，﹣，）D ．[]22﹣，例7．【山东省泰安市2020届高三6月全真模拟（三模）数学试题】已知函数()f x =()11f x x -+的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()(),11,0-∞-- D ．()(),11,1-∞--【精选精练】1．【江西省宜春市宜丰中学2020高三三模】函数()()2log 1f x x =- ） A ．(),1-∞B ．[)1,1-C ．(]1,1-D ．[)-1,+∞2．【2020届北京市东城区高三统练】下列函数中，与函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域和值域都相同的是（ ）A ．22y x x =+，0x >B ．1y x =+C ．10x y -=D ．1y x x=+3．【吉林省梅河口市第五中学2020届高三第七次模拟考】已知函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a=有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122344x x x x x -++的取值范围是（ ） A ．(]6,9B ．()6,9C．()+∞D．)⎡+∞⎣4．【浙江省宁波市镇海中学2020届高三仿真测试数学试题】若函数()f x 满足()()a f x b a b ≤≤<，定义b a -的最小值为()f x 的值域跨度，则下列函数中值域跨度不为2的是（ ）A ．()cos21f x x =+B ．()f x =C ．()1f x x x =--D ．()3232x xx xf x -=+ 5．【2020届湖北省高三高考模拟调研考试】函数y x = ）. A．2⎡⎤-⎣⎦B ．[]0,4C．0,2⎡+⎣D．2⎡-+⎣6．【东北三省三校2020届高三第四次模拟考试】已知函数()2cos 4x x x f x a=+是偶函数，则函数()f x 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．12D ．37．【江西省赣州一中2020年高三三模】已知函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[0,)+∞，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{0,3}-B ．[3,0]-C ．(,3][0,)-∞-⋃+∞D ．{0,3}8．【2020届湖南省五岳高三6月联考】函数()26512x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．(]0,16B ．[)16,+∞C ．10,16⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9．【2020届百校联考高考考前冲刺必刷卷】函数()284f x x x =-+在[]1,8上的值域为（ ） A ．[]12,3--B ．[]16,4-C ．[]3,4-D ．[]12,4-10．【2020届福建省福州第一中学高三考试数学试题】若函数y (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．411．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 12．【2020届江苏省淮安市新淮高级中学高三调研数学试题】函数()2134lg x y x x -=--的定义域是____________13．【2020届上海市高考模拟数学试题】对于函数()f x =,其中0b >,若()f x 的定义域与值域相同,则非零实数a 的值为______________.14．【2020届陕西省咸阳市高三高考模拟检测数学试题】如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出y =“同域函数”的解析式为____________.15．【浙江省衢州二中2020届高三下学期6月模拟数学试题】已知函数()f x =[)0,+∞，则实数t 的取值范围是__________．16．【2020届江苏省南京市第二十九中高三三模】已知函数()[]11,1,05xf x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，()22log +3,g x a x a x ⎤=∈⎥⎢⎥⎣⎦，若对任意的0x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立，则实数a的取值范围是__________．。
2020届吉林省梅河口市第五中学高三下学期高考模拟考试数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前吉林省梅河口市第五中学2020届高三毕业班下学期高考模拟考试数学(文)试题(解析版)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,A =2，3}，()(){|120}B x x x =+-≤，则A B ⋂等于( )A. {}1B. {}1,2C. {0,1，2，3}D. {1,-0，1，2，3}【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B,由此能求出A B ⋂． 【详解】集合A {1,=2,3},()()B {x |x 1x 20}{x |1x 2}=+-≤=-≤≤, {}A B 1,2∴⋂=．故选B ．【点睛】本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题2.已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-,i 为虚数单位,则21z z +=-（ ） A. 1i --B. 1i +C. 312i - D. 312i + 【答案】D【解析】21z z +=-323122i i i -=+- ,选D.3.命题“R,x ∀∈3210x x -+≤”的否定是( )A. 不存在0R,x ∈320010x x -+≤B. 0R,x ∃∈320010x x -+≥C. 0R,x ∃∈320010x x -+>D. R,x ∀∈3210x x -+>【答案】C【解析】【分析】全称命题的否定为∀→∃,对结论进行否定,即可得到结果.【详解】由全称命题的否定是特称命题,可得命题32R,10x x x ∀∈-+≤的否定是“32000R,10x x x ∃∈-+>”,故选:C【点睛】本题考查全称命题的否定,属于基础题.4.已知向量()()4,1,5,2a b =-=-且()()//a b ma b +-,则m =A. 1B. 1-C. 75D. 75- 【答案】B【解析】【分析】根据题意,求得()()1,1,45,2a b ma b m m +=--=+--,根据()()a b ma b +-//,列出关于m 的方程,即可求解．【详解】由题意,向量()()4,1,5,2a b =-=-,则()()1,1,45,2a b ma b m m +=--=+--因为()()a b ma b +-//,所以(1)(2)1(45)m m -⨯--=⨯+,解得1m =-,故选B ．【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示,以及向量的共线条件的应用,其中熟记向量的坐标表示,合理根据共线条件列出方程求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题．。
2020届吉林省梅河口市第五中学等校高三上学期8月联考数学(理)试题(解析版)
2020届吉林省梅河口市第五中学等校高三上学期8月联考数学（理）试题一、单选题 1．若复数121iz i i-=++，则||z =（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】B【解析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模． 【详解】 解：1(1)(1)2221(1)(1)i i i z i i i i i i i i ---=+=+=-+=+-+， 则||1z =． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力，属于基础题． 2．若集合{}|21xA x =>，{}2|log (1)1B x x =-<，则A B =I （ ）A ．(1,3)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(0,2)【答案】A【解析】首先求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】解：Q {}|21xA x =>，∴{}|0A x x =>，Q {}2|log (1)1B x x =-<，∴{}{}|012|13B x x x x =<-<=<<， ∴{}()|131,3A B x x =<<=I ，故选：A 【点睛】考查描述法、区间表示集合的定义，指数函数和对数函数的单调性，以及交集的运算，属于基础题3．若双曲线22221x y a b-=的离心率为43，且过点(，则该双曲线的实轴长为（ ）A ．4B ．C ．D ．6【答案】D【解析】利用双曲线的离心率与双曲线经过的点，列出方程求出a ，即可得到结果． 【详解】解：双曲线22221x y a b-=的离心率为43，且过点(，可得43c a =，221871a b-=，222c a b =+，解得3a =，所以26a =． 故选：D ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．4．若函数()f x 是偶函数，且在[0,2]上是增函数，在[2)+∞，上是减函数，则（ ） A ．(2)(3)(4)f f f --＜＜ B ．(3)(2)(4)f f f --＜＜ C ．(4)(3)(2)f f f --＜＜ D ．(3)(4)(2)f f f --＜＜【答案】C【解析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化判断即可． 【详解】解：∵f （x ）是偶函数，且函数f （x ）在[2，+∞）上是减函数， ∴f （4）＜f （3）＜f （2）， 即f （﹣4）＜f （3）＜f （﹣2）， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．5．在平行四边形ABCD 中，E 是AD 中点，2AD =，3AB =，则BE CE ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．8 B ．6C ．5D ．4【答案】A【解析】利用向量的和与差的关系，把所求向量表示为AD u u u r 与AB u u u r，然后利用向量的数量积求解即可． 【详解】解：在平行四边形ABCD 中，E 是AD 中点，所以12BE BA AE AB AD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，12CE CD DE AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴221118224BE CE AB AD AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫=-+--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u ru u ur u u ur u u u r u u ur u u u r u u ur g g ．故选：A ． 【点睛】本题考查向量的基本运算，向量的数量积的求法，考查计算能力，属于基础题． 6．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则上面第1节的容量为 A ．升 B ．升C ．升D ．1升【答案】A【解析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差. 【详解】解：设竹子自上而下各节的容积分别为：，，…，，且为等差数列， 根据题意得：+++＝3，++＝4， 即4+6d ＝3①，3+21d ＝4②， ②×4﹣①×3得：66d ＝7，解得d ，把d代入①得：，故选：A ． 【点睛】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题．7．给出一个如图所示的程序框图，若输出的值为1，则输入的值是A ．1B ．2C ．-1或2D ．1或-2【答案】C【解析】本题中所给的框图是一个选择结构，其对应的函数关系是y ，由题输出的结果y 的值为1，由此关系建立方程求出自变量的值即可. 【详解】解：由图知，此框图对应的函数关系是y ，又输出的y 的值为1 若，由＝1得x ，符合题意 若，则有＝1，解得x ＝2（舍），若，则有＝1，解得x ＝2，由此知输入的x 的值的集合为{}故选：C ． 【点睛】本题考查选择结构，解答本题，关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值．本题是算法框图考试常见的题型，其作题步骤是识图得出函数关系，由此函数关系解题，得出答案．8．若6260126(23)x a a x a x a x -=++++L ，则1235a a a a +++⋅⋅⋅+等于（ ） A ．－4 B ．4 C ．－64 D ．－63【答案】D【解析】分别令0x =，1x =，可得要求式子的值． 【详解】解：因为6260126(23)x a a x a x a x -=++++L ，令0x =，得60126(230)000a a a a -⨯=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，即064a =，再令1x =，可得1236641a a a a ++++⋯+=，123663a a a a ∴+++⋯+=-， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．9．在圆柱1OO 中，O 是上底面圆心，AB 是下底面圆的直径，点C 在下底面圆周上，若OAB ∆是正三角形，OC AB ⊥，则OC 与平面OAB 所成角为（ ） A ．15︒ B ．30°C ．45︒D ．60︒【答案】B【解析】以1O 为原点，1O C 为x 轴，1O B 为y 轴，1O O 为z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出OC 与平面OAB 所成角． 【详解】解：以1O 为原点，1O C 为x 轴，1O B 为y 轴，1O O 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设2AB a =，则2OA a =．111O A O B O C a ===，1OO ∴=，2OC a =，1CO AB ⊥Q ，11CO OO ⊥，11AB OO O =I ， 1CO ∴⊥平面AOB ，1COO ∴∠是OC 与平面OAB 所成角，111sin 2CO COO CO ∠==，130COO ∴∠=︒， OC ∴与平面OAB 所成角为30°．故选：B ．【点睛】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．10．函数()3sin()(0)f x x ωϕω=+>的部分图像，如图所示，120ABC ∠=︒，则ω等于A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【答案】B【解析】通过解三角形可求得周期，由此即可求得ω值． 【详解】过B 作BD ⊥x 轴于点D ，则BD 3=在△ABD 中∠ABD ＝60°，BD 3=AD ＝3， 所以周期T ＝3×4＝12，所以ω2126ππ==． 故选B ． 【点睛】本题考查由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式，考查数形结合思想，属于基础题.11．设抛物线24y x =的焦点为F ，A 、B 两点在抛物线上，且A 、B 、F 三点共线，过AB 的中点M 作y 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点N ，若3||2NF =，则||AB =（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】B【解析】求出抛物线焦点为(1,0)F ，准线为:1l x =-．设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，直线AB 的方程为(1)y k x =-，由AB 方程与抛物线方程消去y 得关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系算出N 的坐标，根据||NF ，利用两点间的距离公式解出22k =，从而算出124x x +=，进而得到答案．【详解】解：Q 抛物线方程为24y x =，∴抛物线的焦点为(1,0)F ，准线为:1l x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线AB 的方程为(1)y k x =-， 代入抛物线方程消去y ，得2222(24)0k x k x k -++=，212224k x x k+∴+=，121=x x ， Q 过AB 的中点M 作准线的垂线与抛物线交于点N ，∴设N 的坐标为0(x ，0)y ，可得0121()2y y y =+，11(1)y k x =-Q ，22(1)y k x =-，212122244()22k y y k x x k k k k k+∴+=+-=-=g ，得到02y k=，所以021x k =，可得21(N k ，2)k ，3||2NF =Q ，∴32=，解得22k =， 因此2122244k x x k++==， 12||6AB x x P ∴=++=，故选：B ．【点睛】本题主要考查了抛物线的性质．利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，把线段长度的转化为点的横坐标的问题，属于中档题． 12．已知函数1,0,()lg ,0x x f x x x ⎧+<=⎨>⎩，2()414g x x x λ=-++，若关于x 的方程[()]f g x λ=有6个不相等的实数解，则实数λ的取值范围是（ ）A ．2(0,)5B ．2(0,)3C ．21(,)52D ．12(,)23【答案】A【解析】令g (x )=t ,则方程f (t )=λ的解有3个，由图象可得，0<λ<1.且三个解分别为1231,1,10t t t λλλ=--=-+=，则224141,4141x x x x λλλλ-++=---++=-+，241410x x λλ-++=，均有两个不相等的实根，则△1>0,且△2>0,且△3>0，即16−4(2+5λ)>0且16−4(2+3λ)>0,解得205λ<<， 当0<λ<25时,△3=16−4(1+4λ−10λ)>0即3−4λ+10λ>0恒成立， 故λ的取值范围为(0,25).故选D.点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识．二、填空题13．设函数1()()2xf x =，则21(log )6f 的值等于__________． 【答案】6 【解析】把21log 6代入函数表达式，结合指对运算性质得到结果. 【详解】∵()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()1112()66221log 162111log 22626log log f ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6， 故答案为6 【点睛】本题考查指数函数的函数值，指数、对数的运算法则，属于基础题．14．已知实数x ，y 满足210,10,0,x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则3z x y =-的最大值为______.【答案】7【解析】作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到z 的最大值． 【详解】解：实数x ，y 满足210,10,0,x y x y y -+⎧⎪--⎨⎪⎩…„…，对应的平面区域如图：由3z x y =-得3y x z =-，平移直线3y x z =-，则由图象可知当直线3y x z =-经过点A 时直线3y x z =-的截距最小，此时z 最大，21010x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得(3,2)A ，此时点A 在3z x y =-， 解得7z =， 故答案为：7．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 15．已知矩形的顶点都在半径为5的球的球面上，且，，则棱锥的侧面积为__________．【答案】44【解析】设点O 到矩形ABCD 所在平面的距离为h ，可得h ．再利用侧面积与三角形面积计算公式即可得出． 【详解】解：设点O 到矩形ABCD 所在平面的距离为h ，则h ． ∴棱锥O ﹣ABCD 的侧面积＝244． 故答案为：44． 【点睛】本题考查了等腰三角形的面积计算公式、侧面积的计算公式、勾股定理、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++L 1121n n n a a a a a --++++++L （2,n n N *≥∈），若(28)2018m m a b +-=，则m 的值为____．【答案】10【解析】先求出n a 的表达式，进而得到1113222n n n b n ，，-=⎧=⎨⨯-≥⎩，带入()282018m m a b +-=，解方程即可.【详解】∵{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，∴12n n a -=，又11b a =，且12n b a a =++L 1121n n n a a a a a --++++++L （*2,n n N ≥∈），∴2n ≥时，11122232212n n n n b ---=⨯-=⨯--即1113222n n n b n ，，-=⎧=⎨⨯-≥⎩ 由()282018m m a b +-=，可知：m 2≥时()112322282018m m --+⨯--=，即122048m +=∴10m = 故答案为10 【点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素1a 和q ，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解． ③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前n 项和公式求解或利用等比数列的性质求解．三、解答题17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos A =，sin 10B =. （1）求证：ABC ∆的内角B 是锐角.（2）若ABC ∆ABC ∆的面积.【答案】（1）证明见解析（2）52【解析】（1）根据ABC ∆中，sin sin A B A B >⇔>判断B 为锐角；（2）求出C 的值，判断ABC ∆的最短边为b ，利用正弦定理求得a ，再计算ABC ∆的面积． 【详解】解：（1）证明：ABC ∆中，cos 5A =，(0,)A π∈，sin 5A ∴==，sin B =Q (0,)B π∈，cos B ∴== 由于sin sin A B >，A B ∴>，B ∴为锐角；（2）由（1）知，cos 10B =； cos cos()C A B π∴=--cos()A B =-+cos cos sin sin A B A B =-+=+2=-， (0,)C π∈，34C π∴=， C A B ∴>>，ABC ∆∴的最短边为5b =，由sin sin a b A B=， 得55sin 510sin 10b Aa B⨯===，ABC ∆∴的面积为1125sin 510222S ab C ==⨯⨯⨯=．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用问题，属于中档题．18．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AA A D =，AB BC =，120ABC ∠=︒.（1）证明：1AD BA ⊥.（2）若平面11ADD A ⊥平面ABCD ，且1A D AB =，求二面角1A A D B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（25【解析】（1）取AD 的中点O ，连结OB ，1OA ，推导出1AD OA ⊥，AD OB ⊥，从而AD ⊥平面1A OB ，由此能证明1AD BA ⊥．（2）推导出1A O ⊥平面ABCD ，以O 为原点，分别以OA ，OB ，1OA 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，利用向量法能求出二面角1A A D B --的余弦值． 【详解】解：（1）取AD 的中点O ，连接OB ，1OA . ∵11AA A D =，∴1AD OA ⊥，又120ABC ∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，BC AB =，∴ABD ∆是等边三角形，∴AD OB ⊥，又因为1OA Ì平面1A OB ，OB ⊂平面1A OB ，1OA OB O =I ∴AD ⊥平面1A OB ， ∵1A B ⊂平面1A OB ， ∴1AD BA ⊥.（2）∵平面11ADD A ⊥平面ABCD ，平面11ADD A ⋂平面ABCD AD =，又1A O AD ⊥，1AO ⊂平面11ADD A ∴1A O ⊥平面ABCD ， 因为OB ⊂平面ABCD ，1A O OB ∴⊥∴OA ，1OA ，OB 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、1OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，设12AB AD A D ===，则(1,0,0)A ，(13A ，()3,0B，(1,0,0)D -，易知平面1AA D 的一个法向量为(0,1,0)m =u r，3,0)DB =u u u r，(13DA =u u u u r ，设平面1DA B 的法向量(),,n x y z =r，则1·30·30n DB x n DA x z ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩u u u v v u u u u vv ，取3x =3,1,1)n =--r ， 即平面1DA B 的一个法向量为()3,1,1n =--r，1m n ∴=-u r rg ，1m =u r ，()()()2223115n =+-+-=r5cos ,5m n m n m n∴==-⋅u r ru r r g u r r ，由图易知二面角1A A D B --为锐二面角， ∴二面角1A A D B --的余弦值为5.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19．已知甲、乙、丙三个组的老年人数分别为30，30，24.现用分层抽样的方法从中抽取14人，进行身体状况调查.（1）应从甲、乙、丙三个小组各抽取多少人？（2）若抽出的14人中，10人身体状况良好，还有4人有不同程度的状况要进行治疗，现从这14人中，再抽3人进一步了解情况，用ξ表示抽取的3人中，身体状况良好的人数，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）甲、乙、丙三组抽的人数分别为5，5，4（2）详见解析【解析】（1）利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个组中分别抽取人数； （2）求得ξ的可能值，求出概率，得到随机变量ξ的分布列，然后即可求解数学期望． 【详解】解：（1）甲、乙、丙三个组的人数之比为5:5:4，从中抽14人，甲、乙、丙三组抽的人数分别为5，5，4.（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，314431(0)91C P C ξ===，1210144315(1)91C C P C ξ===，2110414345(2)91C C P C ξ===，33101430(3)91C P C ξ===，所以ξ的分布列为ξ的数学期望1154530195()01239191919191E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查分层抽样，考查对立事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定ξ的可能取值，求出相应的概率是关键，属于基础题．20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）过点(8,3)-与(6,4)-.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过椭圆C 的右焦点F ，且倾斜角为45︒的直线l 和椭圆C 交于A 、B 两点，对于椭圆C 上任一点M ，若OM OA OB λμ=+u u u u r u u u r u u u r，求λμ的最大值.【答案】（1）22110025x y +=（2）512【解析】（1）把已知点的坐标代入椭圆方程，得到关于a ，b 的方程组，求解可得a ，b 的值，则椭圆的方程可求；（2）由（1）知，F ，0)，由题意可知AB 的方程，与椭圆方程联立，化为关于x 的一元二次方程，由M ，A ，B 在椭圆上及根与系数的关系可得22215λμλμ++=，再由基本不等式求最值． 【详解】解：（1）∵椭圆过点(8,3)-与(6,4)-，∴226491a b +=，2236161a b +=. ∴2100a =，225b =，∴椭圆的方程为22110025x y +=.（2）由（1）知()F ，由题意可知AB 的方程为y x =-① 椭圆的方程可化为224100x y +=，②将①代入②消去y ，得252000x -+=，③设()11,A x y ，()22,B x y，则有12x x +=，1240x x =， 设(,)M x y ，由OM OA OB λμ=+u u u u r u u u r u u u r得()()()11221212(,),,,x y x y x y x x y y λμλμλμ=+=++，∴1212,,x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩又点M 在椭圆上，∴()()2222121244x y x x y y λμλμ+=+++()2222222222111122242x x x x y y y y λμλμλμλμ=+++++ ()()()222222112212124424100x y x y x x y y λμλμ=+++++=，④又A ，B 在椭圆上，故有11224100x y +=，22224100x y +=，⑤而(1212121244x x y y x x x x+=+--)12125300x x x x =-++54030020=⨯-=，⑥将⑤⑥代入④可得22215λμλμ++=， ∵22221212555λμλμλμλμλμ=++≥+=，∴512λμ≤，当且仅当λμ=时取“=”，则λμ的最大值为512.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中档题．21．已知函数()ln f x x x a =+，直线(ln 21)1y x =+-与曲线()y f x =相切. （1）求实数a 的值；（2）若函数()y F x =与()y G x =在其公共定义域内满足()()F x x G x ≥≥，则称()F x 与()G x 存在临界线.证明：()ln f x x x a =+与112e ()e 1x x x g x x --=+存在临界线.【答案】（1）1a =（2）证明见解析【解析】（1）设切点为()000,ln x x x a +，求出导数，求得切线的斜率和切点，由切线的方程，解得1a =，02x =；（2）先证()f x x …，(0)x >，设()1x xlnx x ϕ=+-，利用导数即可证明，再证1121x x xe x xe --+…，0x >，即证1112x x xe e --+…，设1()(2)1x h x x e -=-+，利用导数即可证明． 【详解】解：（1）因为()ln f x x x a =+，所以()ln 1f x x '=+，设切点为()000,ln x x x a +， 则可得0000ln (ln 21)1ln 1ln 21x x a x x +=+-⎧⎨+=+⎩，01,2.a x =⎧∴⎨=⎩ （2）证明：先证()f x x …，(0)x >，设()ln 1x x x x ϕ=+-，()ln x x ϕ'=，则当 01x <<时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；当1x >时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，故()x ϕ在1x =处取最小值(1)ln1110ϕ=+-=，故()ln 10x x x x ϕ=+-≥，即()f x x ….再证112e e 1x x x x x --≥+（0x >），即证1112x x xe e --+≥（0x >），设1()(2)1x h x x e -=-+，1()(1)x x x h e --'=，则当01x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，故()h x 在1x =处取最小值0(1)10h e =-+=，故1()(2)10x h x x e-=-+≥，即112e e 1x x x x x --≥+（0x >），则112e ()e 1x x x f x x x --≥≥+，即()ln 1f x x x =+与112()1x x xe g x xe --=+存在临界线.【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数，求出导数和单调区间和最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 22．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知曲线1C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，曲线2C 的参数方程为31,5425x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）. （1）求1C 的直角坐标方程；（2）设P 坐标为(1,2)-，1C 与2C 的公共点为A ，B ，求||||PA PB ⋅的值. 【答案】（1）22(1)(1)2x y -++=（2）1【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用直线和曲线的位置关系，利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 【详解】解：（1）由2cos 2sin 4πρθθθ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 得22cos 2sin ρρθρθ=-，∴2222x y x y +=-，即22(1)(1)2x y -++=， ∴1C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -++=.（2）将31,5425x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22(1)(1)2x y -++=，得229412255t t ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∴28105t t --=，∴1285t t +=，121t t =-， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则||||PA PB ⋅=121t t ===. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题． 23．已知0a >，0b >，0c >，111123a b c++=. （1）证明：92abc ≥； （2）证明：1211993a b c ++≥.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）运用三元均值不等式，化简即可得证； （2）运用乘“1”法和二元均值不等式，化简即可得证． 【详解】证明：（1）∵0a >，0b >，0c >，111123a b c++=，∴10≥>，当且仅当23a b c ==时，取得等号， 27106abc ∴≥>，∴92abc ≥. （2）111123a b c++=，又a ，b ，c 是正实数， 所以11123(23)23a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++⎪⎝⎭223332332a a b b c c b c a c a b =++++++ 232332332a b a c b c b a c a c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32229≥+++=当且仅当23a b c ==时取等号，即1211993a b c ++≥. 【点睛】本题考查不等式的证明，考查均值不等式的运用，注意等号成立的条件，考查推理能力，属于中档题．。
梅河口市第五中学2020届高三数学第七次模拟考试试题理含解析
一、选择题:
1. 已知复数 为纯虚数,则实数 （ ）
A.2B.—2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据乘法化简复数 ，根据实部为0可求解.
【详解】 由已知得 ，解得 ，故选D。
【点睛】本题考查了复数的运算及纯虚数概念，属于基础题．
故△ABC的面积S＝
故答案为
【点睛】本题主要考查平面向量的加减法几何意义，两个向量的数量积的定义，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．
16。 如图，已知正三棱柱 的所有棱长均相等，D为 的中点,则直线AD与平面 所成角的正弦值为__________
【答案】 。
【解析】
【分析】
先证出B1D⊥平面AC1,过A点作AG⊥CD，证AG⊥平面B1DC，可知∠ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，求其正弦即可．
（2)若数列 满足 ，求数列 的前 项的和 。
【答案】（1） ；（2)
【解析】
试题分析：（1）由公式 ，可求得 ，代入 ，可求得 ．（2）由（1）可知 ,所以由错位相减法可求数列 的前 项的和 ．
试题解析:（1) ， ，所以 ，
得 。
（2) ，所以 ，
所以 。
错位相减得 ，
。
所以 。
【点睛】
当数列通项形式为 ，且数列｛ }是等差数列,数列 是等比数列，则数列 的前n项和,我们常采用错位相减法．
【详解】根据函数 的图象可知,
所以 ，
根据五点作图法可知当 时， ，所以
所以 ,所以
所以
所以由 可得
所以 或
所以 或
所以 的最小值为
故选:A
2020届吉林省梅河口市五中2017级高三下学期模拟考试数学(理)试卷及解析
2020届吉林省梅河口市五中2017级高三下学期模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|A x y ==,{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( )A. A B A =B. A B B ⋃=C. ()U A B =∅D. U B A ⊆【答案】D【解析】化简集合A ,根据对数函数的性质,化简集合B ,按照集合交集、并集、补集定义,逐项判断,即可求出结论.【详解】由2230,(23)(1)0x x x x -++≥-+≤, 则31,2A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,故U 3(,1),2A ⎛⎫=-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭, 由2log 1x >知,(2,)B =+∞,因此A B =∅,31,(2,)2A B ⎡⎤⋃=-⋃+∞⎢⎥⎣⎦,()U (2,)A B ⋂=+∞,3(2,)(,1),2⎛⎫+∞⊆-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭, 故选:D2.设i 为虚数单位,若复数(1)22z i i -=+,则复数z 等于( )A. 2i -B. 2iC. 1i -+D. 0【答案】B【解析】根据复数除法的运算法则,即可求解. 【详解】22(1)22,21i z i i z i i+-=+==-. 故选:B. 3.设1,0(){2,0x x x f x x -≥=<,则((2))f f -=（ ） A. 1-B. 14C. 12D. 32【答案】C试题分析：()21224f --==,()()11112114422f f f ⎛⎫∴-==-=-= ⎪⎝⎭．故C 正确． 4.执行如图所示的程序框图,若输入的3t =,则输出的i =( )A. 9B. 31C. 15D. 63。
2020年吉林省梅河口五中、桦甸四中、磐石一中、蛟河实验中学等高考(文科)数学(4月份)模拟试卷 解析版
2020年高考（文科）数学（4月份）模拟试卷一、选择题.1．已知集合A={x|y=lg(x+2)}，B={y|y=√x2+1}，则A∩（∁R B）＝（）A．∅B．[1，+∞）C．（﹣2，1]D．（﹣2，1）2．已知复数z=1−i1+i．则复数z1+i在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知角α满足sinα−√3cosα＝2，则cos2α＝（）A．12B．√32C．−12D．−√324．命题p：∀x∈（0，+∞），e x＞x+1+12x2，则￢p为（）A．∀x∈（0，+∞），e x≤x+1+12x2B．∃x0∈(0，+∞)，e x0＜x0+1+12x02C．∀x∈（0，+∞），e x＜x+1+12x2D．∃x0∈(0，+∞)，e x0≤x0+1+12x025．数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，则S3＝（）A．283B．12C．383D．136．一只蚂蚁从正四面体A﹣BCD的顶点A出发，沿着正四面体A﹣BCD的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则蚂蚁第1秒后到点B，第4秒后又回到A点的不同爬行路线有（）A．6条B．7条C．8条D．9条7．过点M(12，0)的直线l与抛物线y2＝2x交于A、B两点，C（2，0）．则△ABC面积的最小值为（）A．32B．12C．34D．28．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．43B．2C．83D．1039．在某研究所做的一次实验中，得到了大量实验数据（x，y），剔除掉一些不合理数据后，得到了四组数据（2，3.7），（3，4.2），（5，4.9），（6，5.5），则由这四组数据，可以得到y与x之间的回归方程为（）A．y=−0.2x+5.375B．y=0.5x+2.575C．y=−0.5x+3.575D．y=x+2.57510．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1）＝f（1﹣x），当x∈[1，2]时，f（x）＝log2x，若方程f（x）﹣ax＝0在（0，+∞）上恰好有两个实数根，则正实数a的值为（）A．elog2eB．1eln2C．12D．211．我国古代的数学著作《九章算术•商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC﹣A1B1C1所得截面图形的面积为（）A．2√213B．4√213C．2√73D．4√7312．已知函数f（x）＝m（x﹣2e）lnx+1在（1，+∞）上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A ．(0，1e)B ．(1e，+∞)C ．（0，e ）D ．（e ，+∞）二、填空题：本大题共4小题每小题5分.13．已知函数f （x ）＝x 3﹣5x +a ，直线2x +y +b ＝0与函数f （x ）的图象相切，a ，b 为正实数，则a +b 的值为 ．14．若x ，y 满足约束条件{4x −3y −6≤02x −2y +1≥0x +2y −1≥0，则z ＝|x ﹣y +1|的最大值为 ．15．在△ABC 中，CM →=3MB →，P 为线段AM 上任意一点，若CP →=xCA →+yCB →，则x 2+2x +y 2的最小值为 ． 16．巳知F 1、F 2为双曲线x 24−y 2=1的左、右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若△PF 1F 2内切圆的圆心为I ，则圆心1到圆x 2+（y ﹣1）2＝1上任意一点的距离的最小值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，tan C tan （A −π6）＝1，b ＝2√3．（1）求△ABC 面积的最大值；（2）设△ABC 的周长为l ，求l 的取值范围．18．双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A 、B 两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据： A 电商平台 64718170796982737560B 电商平台60809777968776839496（1）作出A 、B 两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；销售量＞80销售量≤80总计 A 电商平台 B 电商平台 总计（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ． P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82819．如图①，平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，∠ABC =π3，E 为CD 中点．将△ADE 沿AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，得到如图②所示的四棱锥P ﹣ABCE ． （1）求证：平面PAE ⊥平面PBE ； （2）求点B 到平面PEC 的距离．20．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A （﹣1，0），B （1，0），且sin A 、sin C 、sin B 成等差数列．（1）求△ABC 的顶点C 的轨迹方程；（2）直线y ＝kx +b 与顶点C 的轨迹交于M ，N 两点，当线段MN 的中点P 落在直线y =−√32上时，试问：线段MN 的垂直平分线是否恒过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝ax +1x，g （x ）=e xx−1． （1）讨论函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性；（2）若对任意的x ∈（0，+∞），f （x ）＜g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围． 请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=(t t+1)2y=2−2t+1（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π4)+√2=0．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设P是曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=√|x+2|+|x−1|−a．（1）当a＝4时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足12m+n+2m+3n=s时，求3m+4n的最小值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={x|y =lg(x +2)}，B ={y|y =√x 2+1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．∅B ．[1，+∞）C ．（﹣2，1]D ．（﹣2，1）【分析】由A 与B ，求出两集合的交集即可．解：集合A ＝{x |y ＝lg （x +2）}＝（﹣2，+∞），B ＝{y |y ≥1}＝[1，+∞）， ∴∁R B ＝（﹣∞，1）； 则A ∩（∁R B ）＝（﹣2，1）， 故选：D ． 2．已知复数z =1−i1+i ．则复数z 1+i在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 所对应的点的坐标得答案． 解：因为z =1−i 1+i． ∴z 1+i=1−i (1+i)2=1−i 2i=(1−i)i 2i⋅i=−12−12i ；∴复数z1+i在复平面内对应的点（−12，−12）位于第三象限．故选：C ．3．已知角α满足sin α−√3cos α＝2，则cos2α＝（ ） A ．12B ．√32C ．−12D ．−√32【分析】由已知利用两角差的正弦函数公式可得2sin （α−π3）＝2，求得α−π3=2k π+π2，k ∈Z ，可求2α＝4k π+5π3，k ∈Z ，利用诱导公式可求cos2α的值．解：∵sin α−√3cos α＝2sin （α−π3）＝2， ∴α−π3=2k π+π2，k ∈Z ， ∴2α＝4k π+5π3，k ∈Z ， ∴cos2α＝cos5π3=12．故选：A ．4．命题p ：∀x ∈（0，+∞），e x ＞x +1+12x 2，则￢p 为（ ）A ．∀x ∈（0，+∞），e x ≤x +1+12x 2B ．∃x 0∈(0，+∞)，e x 0＜x 0+1+12x 02C ．∀x ∈（0，+∞），e x ＜x +1+12x 2D ．∃x 0∈(0，+∞)，e x 0≤x 0+1+12x 02【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 解：因为原命题为全称命题，所以其否定为特称命题； 即：∃x 0∈（0，+∞），e x 0≤x 0+1+12•x 02； 故选：D ．5．数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n ＞0，a 2+a 3＝4，a 3+3a 4＝2，则S 3＝（ ） A ．283B ．12C ．383D ．13【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出a 1=9，q =13，由此能求出S 3的值．解：∵数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n ＞0，a 2+a 3＝4，a 3+3a 4＝2， ∴{a 1q +a 1q 2=4a 1q 2+3a 1q 3=2q ＞0，解得a 1=9，q =13，∴S 3=9(1−133)1−13=13．故选：D ．6．一只蚂蚁从正四面体A ﹣BCD 的顶点A 出发，沿着正四面体A ﹣BCD 的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则蚂蚁第1秒后到点B ，第4秒后又回到A 点的不同爬行路线有（ ）A ．6条B ．7条C ．8条D ．9条【分析】根据已知，可做出右图，由图知，不同的爬行路线有7条，问题得以解决． 解：根据已知，可作出右图， 由图知，不同的爬行路线有7条， 故选：B ．7．过点M(12，0)的直线l 与抛物线y 2＝2x 交于A 、B 两点，C （2，0）．则△ABC 面积的最小值为（ ） A ．32B ．12C ．34D ．2【分析】设直线l 的方程为：x ＝ty +12，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与抛物线方程联立，利用韦达定理代入S △ABC =12×(2−12)×|y 1−y 2| 得，S △ABC =34×√4t 2+4，显然当t ＝0时，S △ABC 的值取到最小值．解：设直线l 的方程为：x ＝ty +12，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程{x =ty +12y 2=2x，消去x 得：y 2﹣2ty ﹣1＝0，∴y 1+y 2＝2t ，y 1y 2＝﹣1， ∴S △ABC =12×(2−12)×|y 1−y 2|=34×√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=34×√4t 2+4， ∴当t ＝0时，S △ABC 的值取到最小值，最小值为32， 故选：A ．8．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．43B．2C．83D．103【分析】根据三视图可知几何体为四棱锥，画出直观图，利用体积公式求解．解：根据三视图，可知几何体为四棱锥P﹣ABCD，体积V=13×2×2√2×√2=83．故选：C．9．在某研究所做的一次实验中，得到了大量实验数据（x，y），剔除掉一些不合理数据后，得到了四组数据（2，3.7），（3，4.2），（5，4.9），（6，5.5），则由这四组数据，可以得到y与x之间的回归方程为（）A．y=−0.2x+5.375B．y=0.5x+2.575C．y=−0.5x+3.575D．y=x+2.575【分析】根据数据判断x，y正相关，排除A选项，再求出数据中心（x，y），逐个验证即可．解：x=2+3+5+64=4，y=3.7+4.2+4.9+5.54=4.575．∴线性回归方程经过样本中心点（4，4.575）．∵线性回归直线方程必过样本中心点，∴排除C，D，又∵x与y呈正相关，∴y=0.5x+2.575故选：B．10．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1）＝f（1﹣x），当x∈[1，2]时，f（x）＝log2x，若方程f（x）﹣ax＝0在（0，+∞）上恰好有两个实数根，则正实数a的值为（）A．elog2eB．1eln2C．12D．2【分析】由已知等式可得函数是偶函数且是周期为2的周期函数，并得到函数的一条对称轴方程，作出f（x）的图象，再求出y＝ax与y＝log2x相切时的切点坐标得答案．解：由f（x﹣1）＝f（x+1）＝f（1﹣x），可知f（x）为偶函数，且一条对称轴为x＝1，再由f（x+1）＝f（1﹣x），取x＝x+1，可得f（2+x）＝f（x），求得周期为2．根据x∈[1，2]时，f（x）＝log2x，作出函数f（x）的草图，如图所示：∵方程f（x）﹣ax＝0在（0，+∞）上恰好有两个实数根，∴函数y＝ax与y＝f（x）的图象在y轴右侧有两个交点，设y＝ax与y＝log2x相切时，切点坐标为（x0，log2x0），由y′=1xln2，得1x0ln2=log2x0x0，解得x0＝e＞2．∴由图象可知，当直线y＝ax过点（2，1）时，方程f（x）﹣ax＝0在（0，+∞）上恰好有两个实数根，∴a=1 2．故选：C．11．我国古代的数学著作《九章算术•商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC﹣A1B1C1所得截面图形的面积为（）A．2√213B．4√213C．2√73D．4√73【分析】延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连结PM，与B1C1交于点E，连结NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC﹣A1B1C1所得截面图形，由此能求出结果．解：延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连结PM，与B1C1交于点E，连结NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC﹣A1B1C1所得截面图形，由题意得NE＝ME=√173，AM＝AN=√5，MN=√6，∴AMN截“堑堵”ABC﹣A1B1C1所得截面图形面积为：S=12×√6×(√5)2−(62)2+12×√6×(173)2−(62)2=2√213．故选：A．12．已知函数f（x）＝m（x﹣2e）lnx+1在（1，+∞）上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．(0，1e)B．(1e，+∞)C．（0，e）D．（e，+∞）【分析】问题转化为(x−2e)lnx=−1m在（1，+∞）上有两个解，即函数g（x）＝（x﹣2e）lnx的图象与直线y=−1m在（1，+∞）上有两个交点，利用导数研究函数g（x）的性质，即可得解．解：由已知，可知方程m（x﹣2e）lnx+1＝0在（1，+∞）上有两个解，即(x−2e)lnx=−1 m在（1，+∞）上有两个解，设g （x ）＝（x ﹣2e ）lnx ，则g′(x)=lnx +1−2e x， ∵g ′（x ）在（1，+∞）上单调递增，且g ′（e ）＝0，∴当x ∈（1，e ）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，当x ∈（e ，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，又∵g （1）＝0，g （e ）＝﹣e ，x →+∞时，g （x ）→+∞， ∴−e ＜−1m＜0， ∴m ∈(1e ，+∞)． 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题每小题5分.13．已知函数f （x ）＝x 3﹣5x +a ，直线2x +y +b ＝0与函数f （x ）的图象相切，a ，b 为正实数，则a +b 的值为 2 ．【分析】先对f （x ）求导，根据条件设切点的坐标为（x 0，y 0），然后由f '（x 0）＝﹣2求出切点坐标，进一步求出a +b 的值．解：由f （x ）＝x 3﹣5x +a ，得f '（x ）＝3x 2﹣5， ∵直线2x +y +b ＝0与函数f （x ）的图象相切， 设切点的坐标为（x 0，y 0），则3x 02−5=−2， ∴x 0＝1或x 0＝﹣1，∴y 0＝a ﹣4或y 0＝a +4， 即切点坐标为（1，a ﹣4）或（﹣1，a +4）， 代入直线中，得a +b ＝2或a +b ＝﹣2， ∵a ，b 为正实数，∴a +b ＝2． 故答案为：2．14．若x ，y 满足约束条件{4x −3y −6≤02x −2y +1≥0x +2y −1≥0，则z ＝|x ﹣y +1|的最大值为 2811 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，令t ＝x ﹣y +1，利用目标函数t 的几何意义，结合图象得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域如图：令t ＝x ﹣y +1，得y ＝x +1﹣t 表示，斜率为1纵截距为1﹣t 的一组平行直线，{4x −3y +6=0x +2y −1=0⇒C （1511，−211）；平移直线y ＝x +1﹣t ，当直线y ＝x +1﹣t 经过点C （1511，−211）时，直线y ＝x +1﹣t 的截距最小， 此时t max =1511−（−211）+1=2811， 当直线y ＝x +1﹣t 与AB 重合时，直线y ＝x +1﹣t 的截距最大，A （0，12）此时t min ＝0−12+1=12，∴z ＝|x ﹣y +1|的取值范围是：[12，2811]．故z ＝|x ﹣y +1|的最大值为2811．故答案为：2811．15．在△ABC 中，CM →=3MB →，P 为线段AM 上任意一点，若CP →=xCA →+yCB →，则x 2+2x +y 2的最小值为916．【分析】先根据条件得到3x +4y ﹣3＝0，（0≤x ≤1，0≤y ≤34）；再结合其几何意义求解即可．解：因为CM →=3MB →，P 为线段AM 上任意一点，则CP →=xCA →+yCB →=x CA →+4y 3CM →，∴x +4y 3=1，即3x +4y ﹣3＝0，（0≤x ≤1，0≤y ≤34）； ∵则x 2+2x +y 2＝（x ﹣1）2+y 2﹣1，而（x ﹣1）2+y 2表示点（﹣1，0）与点（x ，y ）距离的平方；点（﹣1，0）到线段3x +4y ﹣3＝0，（0≤x ≤1，0≤y ≤34）上的点的距离的最小值为（﹣1，0）与（0，34）的距离，所以：x 2+2x +y 2＝（x ﹣1）2+y 2﹣1≥（√(−1−0)2+(0−34)2）2﹣1=916． 故答案为：916．16．巳知F 1、F 2为双曲线x 24−y 2=1的左、右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若△PF 1F 2内切圆的圆心为I ，则圆心1到圆x 2+（y ﹣1）2＝1上任意一点的距离的最小值为 1 ．【分析】设△PF 1F 2的内切圆分别与PF 1、PF 2切于点A 、B ，与F 1F 2切于点M ，则可知|PA |＝|PB |，|F 1A |＝|F 1M |，|F 2B |＝|F 2M |，点P 在双曲线右支上，根据双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，因此|F 1M |﹣|F 2M |＝2a ，设M 点坐标为（x ，0），代入即可求得x ，可得内切圆的圆心I 与在直线x ＝2上，即可求解．解：设△PF 1F 2的内切圆分别与PF 1、PF 2切于点A 、B ，与F 1F 2切于点M ， 则|PA |＝|PB |，|F 1A |＝|F 1M |，|F 2B |＝|F 2M |． 又点P 在双曲线右支上，∴|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，即（|PA |+|F 1A |）﹣（|PB |+|F 2B |）＝2a ， ∴|F 1M |﹣|F 2M |＝2a ，而|F 1M |+|F 2M |＝2c ，设M 点坐标为（x ，0）， ∵|F 1M |﹣|F 2M |＝2a ，∴（x +c ）﹣（c ﹣x ）＝2a ，解得x ＝a ， 故内切圆的圆心I 与在直线x ＝2上，故圆x 2+（y ﹣1）2＝1上任意一点的距离的最小值为2﹣1＝1 故答案为：1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，tan C tan （A −π6）＝1，b ＝2√3．（1）求△ABC 面积的最大值；（2）设△ABC 的周长为l ，求l 的取值范围．【分析】（1）由已知结合同角商的关系进行切化弦，然后结合和差角公式进行化简可求B ，然后结合余弦定理及基本不等式可求ac 范围，再结合三角形的面积公式可求； （2）由已知结合正弦定理可表示a ，c ，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简后，利用正弦函数的性质可求．解：（1）因为tan C tan （A −π6）＝1， 所以sin C sin （A −π6）＝cos C cos （A −π6）， 所以cos （A +C −π6）＝0， 即cos （5π6−B ）＝0，∴5π6−B =12π，∴B =13π， ∵b ＝2√3．由余弦定理可得，b 2＝12=a 2+c 2−2ac ×12， ∴ac ＝a 2+c 2﹣12≥2ac ﹣12，故ac ≤12，当且仅当a ＝c 时取等号，故S △ABC =12acsinB =√34ac ≤3√3，即面积的最大值3√3（2）由正弦定理可得，a sinA =c sinC =b sinB =√3√32=4，所以a ＝4sin A ，c ＝4sin C ＝4sin （2π3−A ），∴a +c ＝4sin A +4sin （2π3−A ）＝4sin A +2sin A +2√3cos A ＝6sin A +2√3cos A ，＝4√3sin(A +π6)，∵△ABC 为锐角三角形，故{0＜A ＜12π0＜2π3−A ＜12π， 解可得，π6＜A ＜12π，∴13π＜A +π6＜2π3，所以√32＜sin(A +π6)≤1，所以6＜a +c ≤4√3， 故l ∈(6+2√3，6√3]．18．双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A 、B 两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据： A 电商平台 64718170796982737560B 电商平台60809777968776839496（1）作出A 、B 两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；销售量＞80销售量≤80总计 A 电商平台 B 电商平台 总计（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ． P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【分析】（1）根据题意画茎叶图， （2）根据数据填表，代公式，比较，判断，（3）根据题意找出店铺销售量前五名，然后求事件，求概率． 解：（1）A 、B 两个电商平台销售数据的茎叶图如图，由茎叶图可知B 电商平台的销售更好，因为B 整体数据集中比A 高， （2）填表如下；销售量＞80销售量≤80总计 A 电商平台 2 8 10 B 电商平台 6 4 10 总计81220K 2=20(2×4−6×8)28×12×10×10≈3.333＜3.841，没有95%的把握认为销售量与电商平台有关．（3）从这20个网络销售店铺销售量前五名为97，96，96，94，87． 分别设为A ，B ，C ，D ，E ， 随机抽取三个店铺共有10种可能，如下：（A ，B ，C ），（A ，B ，D ），（A ，B ，E ），（A ，C ，D ），（A ，C ，E ），（A ，D ，E ），（B ，C ，D ），（B ，C ，E ），（B ，D ，E ），（C ，D ，E ）， 恰好有两个店铺的销售量在95以上有6种， 恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率为610=35．19．如图①，平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，∠ABC =π3，E 为CD 中点．将△ADE 沿AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，得到如图②所示的四棱锥P ﹣ABCE ． （1）求证：平面PAE ⊥平面PBE ； （2）求点B 到平面PEC 的距离．【分析】（1）求解三角形可得AE ＝2，BE ＝2√3，结合AB ＝4，得到BE ⊥AE ，再由平面APE ⊥平面ABCE ，结合平面与平面垂直的性质可得BE ⊥平面PAE ，进一步得到平面PAE ⊥平面PBE ；（2）设O 为AE 的中点，连接PO ，CO ，求得PO =√3，进一步求解三角形可得OC 、PC 的值，求解三角形PEC 与BEC 的面积，利用等体积法可求得点B 到平面PEC 的距离．【解答】（1）证明：在图①中连接BE ，由平面几何知识，求得AE ＝2，BE ＝2√3， 又∵AB ＝4，∴BE ⊥AE ，在图②中，∵平面APE ⊥平面ABCE ，且平面APE ∩平面ABCE ＝AE ， ∴BE ⊥平面PAE ， 又∵BE ⊂平面PBE ， ∴平面PAE ⊥平面PBE ；（2）解：设O 为AE 的中点，连接PO ，CO ， 由已知可得△PAE 为等边三角形，∴PO =√3．∵平面PAE ⊥平面ABCE ，∴PO ⊥平面ABCE ，得PO ⊥CO ． 在△OEC 中，OE ＝1，EC ＝2，∠OEC =2π3． 由余弦定理得OC =√7． ∴PC =√3+7=√10．在△PEC 中，PE ＝EC ＝2，PC =√10． ∴S △PEC =12×√10×22−(102)2=√152，又∵S △BCE =12×2√3×1=√3．设点B 到平面PEC 的距离为d ， 由V P ﹣BCE ＝V B ﹣PCE ，得13×√3×√3=13×√152×d ， 解得d =2√155．∴点B 到平面PEC 的距离为2√155．20．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A （﹣1，0），B （1，0），且sin A 、sin C 、sin B 成等差数列．（1）求△ABC 的顶点C 的轨迹方程；（2）直线y ＝kx +b 与顶点C 的轨迹交于M ，N 两点，当线段MN 的中点P 落在直线y =−√32上时，试问：线段MN 的垂直平分线是否恒过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【分析】（1）在△ABC 中，由正弦定理，可得|CB |+|CA |＝2|AB |＝4＞|AB |，由椭圆定义，可知顶点C 的轨迹为中心在原点，以A ，B 为焦点的椭圆（不包括与x 轴交点），进而得到顶点C 的轨迹方程；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立直线y ＝kx +b 与椭圆方程，利用韦达定理可求得P （2√3k 3，−√32），进而得到线段MN 的垂直平分线方程为：y +√32=−1k （x −2√33k ），即y =−1k x +√36，所以线段MN 的垂直平分线恒过定点（0，√36）．解：（1）在△ABC 中，∵sin A +sin B ＝2sin C ， 根据正弦定理，可得|CB |+|CA |＝2|AB |＝4＞|AB |，由椭圆定义，可知顶点C 的轨迹为中心在原点，以A ，B 为焦点的椭圆（不包括与x 轴交点），∴2a ＝4，2c ＝2，∴b 2＝a 2﹣c 2＝3， ∴轨迹方程为：x 24+y 23=1 （x ≠±2）；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立方程{y =kx +bx 24+y 23=1，消去y 得：（4k 2+3）x 2+8kbx +4b 2﹣12＝0， ∴x 1+x 2=−8kb 4k 2+3，x 1x 2=4b 2−124k 2+3，∴x P =−4kb 4k 2+3，y P =3b 4k 2+3，∵点P 落在直线y =−√32上，∴3b 4k +3=−√32，∴4k 2+3=−2√3b ， ∴x P =2√33k ，∴P （2√3k 3，−√32），∴线段MN 的垂直平分线方程为：y +√32=−1k （x −2√33k ），即y =−1k x +√36，∴线段MN 的垂直平分线恒过定点（0，√36）． 21．已知函数f （x ）＝ax +1x，g （x ）=e xx−1． （1）讨论函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性；（2）若对任意的x ∈（0，+∞），f （x ）＜g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）对f （x ）求导得，f′(x)=a −1x2=ax 2−1x2，然后分a ≤0和a ＞0两个类别，讨论f '（x ）的正负，即可得f （x ）的单调性；（2）构造函数h （x ）＝e x ﹣ax 2﹣x ﹣1（x ＞0），求出h '（x ），令H （x ）＝h '（x ）＝e x ﹣2ax ﹣1，再求H '（x ）＝e x ﹣2a ，当a ≤12时，易证得h （x ）在（0，+∞）上为增函数，h （x ）＞h （0）＝0成立，即f （x ）＜g （x ）成立；当a ＞12时，由H '（x ）＝e x ﹣2a ＝0，解得x ＝ln 2a ，可得函数H （x ）的单调性即h '（x ）的单调性，于是h '（x ）≥h '（ln 2a ）≥2a ﹣1﹣2aln 2a ，再令t （a ）＝2a ﹣1﹣2aln 2a （a ＞12），求导可知t （a ）在(12，+∞)上为减函数，t （a ）＜t(12)=0，即h '（ln 2a ）＜0，最后结合隐零点的思维可证得当a ＞12时，对x ∈（0，+∞），f （x ）＜g （x ）不恒成立，因此得解．解：（1）∵f （x ）＝ax +1x，∴f′(x)=a −1x2=ax 2−1x2， 当a ≤0时，f '（x ）＜0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减；当a ＞0时，由f '（x ）＝0，得x =±√aa（舍负），当x ∈(0，√a a )时，f '（x ）＜0，函数f （x ）单调递减，当x ∈(√aa ，+∞)时，f '（x ）＞0，函数f （x ）单调递增．（2）由f （x ）＜g （x ），得e x ﹣ax 2﹣x ﹣1＞0，设h （x ）＝e x ﹣ax 2﹣x ﹣1（x ＞0），则h '（x ）＝e x ﹣2ax ﹣1，令H （x ）＝e x ﹣2ax ﹣1，则H '（x ）＝e x ﹣2a ，当a ≤12时，∵x ∈（0，+∞），∴H '（x ）＞0，H （x ）为增函数， ∴H （x ）＝h '（x ）＞h '（0）＝0，∴h （x ）在（0，+∞）上为增函数， ∴h （x ）＞h （0）＝0成立，即f （x ）＜g （x ）成立． 当a ＞12时，由H '（x ）＝e x ﹣2a ＝0，解得x ＝ln 2a ，x ∈（0，ln 2a ）时，H '（x ）＜0，H （x ）为减函数，x ∈（ln 2a ，+∞）时，H '（x ）＞0，H （x ）为增函数，∴h '（x ）≥h '（ln 2a ）≥2a ﹣1﹣2aln 2a ，设t （a ）＝2a ﹣1﹣2aln 2a （a ＞12），则t '（a ）＝﹣2ln 2a ＜0，∴t （a ）在(12，+∞)上为减函数， ∴t （a ）＜t(12)=0，即h '（ln 2a ）＜0 ∴∃x 0∈（0，+∞），当x ∈（0，x 0）时，h '（x ）＜0，h （x ）为减函数，当x ∈（x 0，+∞）时，h '（x ）＞0，h （x ）为增函数，又h （0）＝0，∴当x ∈（0，x 0）时，h （x ）＜0，∴当a ＞12时，对x ∈（0，+∞），f （x ）＜g （x ）不恒成立， 综上所述，a ∈(−∞，12]． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =(t t+1)2y =2−2t+1（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)+√2=0．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的取值范围．【分析】（1）根据曲线C 的参数方程，消去t 即可得到其普通方程；由直线l 的极坐标方程可得ρcos θ﹣ρsin θ+2＝0，再根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得到其直角坐标方程；（2）设m =t t+1，则P 点坐标（x 0，y 0）满足{x 0=m 2y 0=2m（m 为参数），再由点到直线的距离公式求出点P 到直线l 的距离的取值范围．解：（1）∵曲线C 的参数方程为{x =(t t+1)2y =2−2t+1（t 为参数）， ∴曲线C 的普通方程为y 2＝4x （y ≠2）；∵直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)+√2=0，∴ρcosθ﹣ρsinθ+2＝0，∴l的直角坐标方程为x﹣y+2＝0．（2）设m=tt+1，则P点坐标（x0，y0）满足{x0=m2y0=2m（m为参数）．由点到直线的距离公式，可得P到直线l的距离d=22=22√22，∴点P到直线l的距离的取值范围为(√22，+∞)．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=√|x+2|+|x−1|−a．（1）当a＝4时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足12m+n+2m+3n=s时，求3m+4n的最小值．【分析】（1）a＝4时，得出f（x）需满足|x+2|+|x﹣1|﹣4≥0，然后讨论x的取值，去掉绝对值号求出x的范围即可得出f（x）的定义域；（2）根据题意可知a≤|x+2|+|x﹣1|对x∈R恒成立，从而可得出a≤3，进而得出s＝3，从而得出12m+n+2m+3n=3，然后即可得出3m+4n=13[3+2(2m+n)m+3n+m+3n2m+n]，然后根据基本不等式即可得出3m+4n的最小值．解：（1）a＝4时，|x+2|+|x﹣1|﹣4≥0，当x＜﹣2时，﹣x﹣2﹣x+1﹣4≥0，解得x≤−5 2；当﹣2≤x≤1时，x+2﹣x+1﹣4≥0，解得x∈∅；当x＞1时，x+2+x﹣1﹣4≥0，解得x≥3 2，∴函数f（x）的定义域为{x|x≤−52或x≥32}；（2）∵函数f（x）的定义域为R，∴|x+2|+|x﹣1|﹣a≥0对任意的x∈R恒成立，∴a≤|x+2|+|x﹣1|，又|x+2|+|x﹣1|≥|x+2﹣x+1|＝3，∴a≤3，∴s＝3，∴12m+n +2m+3n=3，且m＞0，n＞0，∴3m+4n＝（2m+n）+（m+3n）=13[(2m+n)+(m+3n)]⋅(12m+n+2m+3n)=13[3+2(2m+n) m+3n +m+3n2m+n]≥13(3+2√2)=1+2√23，当且仅当m=1+2√215，n=3+√215时取等号，∴3m+4n的最小值为1+2√23．。
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2020年吉林省梅河口市第五中学高考第七次模拟考试数学试题
一、单选题
1．已知集合{}2|20A x x x =+-，{|120}=->B x x ，则A B =（ ）
A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．12,2⎡
⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．12,2⎡
⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
2．设两个非零向量1e 与2e 不共线，如果12ke e +和12e ke +共线那么k 的值是（ ）
A ．1
B ．-1
C ．3
D ．±1
3．函数()sin 2sin 4f x x x =-在区间[0,]π的零点之和为（ ）
A ．32π
B ．2π
C ．52π
D ．3π
4．若复数z 满足()34i i 2i z +-=+，则z =（ ）
A ．46i +
B ．42i +
C ．42i --
D ．26i +
5．如图，给出抛物线和其对称轴上的四个点P 、Q 、R 、S ，则抛物线的焦点是（ ）
A ．P
B ．Q
C ．R
D ．S
6．过双曲线22
22x y a b
-=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ，与另一条渐近线相交于点B ，若FB =2FA ，则此双曲线的离心率为（ ）
A ．12
B ．2
C
D 7．()f x 的定义域是()0,+∞，其导函数为()f x '，若()()1ln f x f x x x '-
=-，且()2f e e =（其中e 是自然对数的底数），则( )
A ．221f f <
B ．4334f f <
C ．当x e =时，()f x 取得极大值2e
D ．当0x >时，()0f x ex -≤
8．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁
9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F ，G 分别为棱AB ，1AA ，11C D 的中点，下列结论中，其中正确的个数是（ ）
①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；
②11//B D 平面EFG ；
③1BD ⊥平面1ACB ；
④异面直线EF 与1BD ；
⑤四面体11ACB D 的体积等于
43 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
10．执行下面的程序框图，如果输入的1a =，2b =，那么输出的n 的值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 11．已知定义在上的偶函数
，满足，且时，，则方程在区间[0，10]上根的个数是（ )
A ．20
B ．19
C ．18
D ．17
12．已知函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图像如图所示，则ϕ=（ ）
A ．4π-
B ．6π
C ．3π
D ．512
π
二、填空题
13．如图的正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AC 与平面11CB D 所成的角为___________. 14．若过点(,0)A a 的任意一条直线都不与曲线C ：x y xe =相切，则a 的取值范围是______. 15．四边形ABCD 中，0160,cos ,77A B AB BC ==
==,当边CD 最短时，四边形ABCD 的面积为__________．
16．如图，点D 在ABC ∆的边AC 上，且3CD AD =，BD =，cos 24
ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为________．
三、解答题
17．已知椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，过椭圆的左、右焦点12,F F 分别作倾斜角为θ的直线1l ，2l 分别交椭圆于A ，B 和C ，D 两点，当π3
θ=
时，直线AB 与CD
（1）求椭圆的标准方程； （2）若AB 不与x 轴重合，点P 在椭圆上，且满足OA OB tOP +=（t ＞0）.
若2
t =
，求直线AB 的方程. 18．已知斜三棱柱111ABC A B C -，2ABC π
∠=，1AC BC ⊥，
12BC BA ==，1BC =
，1AC =
（1）求1AA 的长；
（2）求1AA 与面ABC 所成的角的正切值.
19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足22n n n S a a =+
（1）证明数列{}n a 为等差数列,求数列{}n a 的通项公式;
（2）若数列{}n b 满足21n n n b a a +=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明: 34
n T < 20．有编号为1，2，3…n 的n 个学生，入座编号为1，2，3…n 的n 个座位，每个学生规定坐一个座位, 设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为x , 已知2x =时, 共有6种坐法.
（1）求n 的值；
（2）求随机变量x 的概率分布列及数学期望()E x ．
21．选修4-5：不等式选讲
已知()3f x x a x =-+-．
（Ⅰ)当1a =时，求()f x 的最小值；
（Ⅱ）若不等式()3f x ≤的解集非空，求a 的取值范围．
22．在极坐标系中，直线:sin()43l πρθ+
=，圆:4sin C ρθ=.以极点O 为原点，极轴为x 轴正
半轴建立直角坐标系xOy .
（1）求直线l 的直角坐标方程和圆C 的参数方程；
（2）已知点P 在圆C 上，P 到l 和x 轴的距离分别为1d ，2d ，求12d d +的最大值.
23．已知命题P ：直线y x m =+与抛物线22x y =至少有一个公共点；命题q ：函数32123
y x x mx n =+-+在(6,2)-上单调递减．若“p q ∧”为假，“p q ∨”为真，求实数m 的取值范围．
【答案与解析】
1．B
分别解出A B 、集合，再求交集即可得出答案.
集合{}
{}2|20|(1)(2)0[2,1]A x x x x x x =+-=-+=-. 集合1{|120}(,)2B x x =->=-∞.
所以A B =12,2⎡⎫-⎪⎢⎣
⎭ 故选：B.
本题考查集合的交集，属于基础题.正确解出A B 、集合是解本题的关键.
2．D
()
12121212ke e e ke ke e e ke λ++∴+=+
2 ,111k k k k λλ∴==∴=∴=±
故选D
3．C
由()0f x =得sin 2sin 4sin 2(12cos 2)0x x x x -=-=，即sin 20x =或12cos20x -=．再分别计算出零点即可得解.
解：由()0f x =得sin 2sin 4sin 2(12cos 2)0x x x x -=-=，
即sin 20x =或12cos20x -=．
又[0,]x π∈，则2[0,2]x π∈， 当sin 20x =时，20x =或2x π=或22x π=，即0x =，
2
π，π满足； 当12cos20x -=时，即1cos 22x =，23x π=或523x π=，解得6
x π=，56π满足， 则()f x 在区间[0,]π的零点共有5个．它们之和为5506262πππππ++++=． 故选：C ．
本题考查三角函数的性质，函数的零点问题，属于中档题.
4．D
【解析】由()34i-i 2i z +=+可得， ()()34i-2+i -i =1-2i z +=，所以26i z =+ ，故选D. 5．B
分别作出准线方程，根据抛物线的定义，即可判断焦点的位置．
如图可知：分别做P，Q，R，S关于y轴的对称点，分别过对称点做x轴的垂线，
根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离相等，
分别判断，可知Q为抛物线的焦点，
故选：B．
本题考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属于基础题．
6．B
先由FB 2FA，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．。