2014届高考数学二轮复习《导数》各类题型方法总结学生用

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导数知识点各种题型归纳方法总结

导数知识点各种题型归纳方法总结导数知识点和题型总结一、导数的定义：1.函数y=f(x)在x=x处的导数为f'(x)=y'|x=x=lim(Δy/Δx)，其中Δy=f(x+Δx)-f(x)。

2.求导数的步骤：①求函数的增量：Δy=f(x+Δx)-f(x)；②求平均变化率：Δy/Δx；③取极限得导数：f'(x)=lim(Δy/Δx)，其中Δx→0.二、导数的运算：1.基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：① C'=0（C为常数）；② (xn)'=nxn-1；③ (1/x)'=-1/x^2；④ (ex)'=ex；⑤ (sinx)'=cosx；⑥ (cosx)'=-sinx；⑦ (ax)'=axlna（a>0，且a≠1）；⑧ (lnx)'=1/x；⑨ (loga x)'=1/(xlna)（a>0，且a≠1）。

2.导数的运算法则：法则1：[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)（和与差的导数等于导数的和与差）；法则2：[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（前导后不导相乘+后导前不导相乘）；法则3：[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^2（分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号）。

3.复合函数y=f(g(x))的导数求法：①换元，令u=g(x)，则y=f(u)；②分别求导再相乘，y'=g'(x)·f'(u)；③回代u=g(x)。

题型：1.已知f(x)=1/x，则lim(Δy/Δx)，其中Δx→0，且x=2+Δx，f(2)=1/2.答案：C。

2.设f'(3)=4，则lim(f(3-h)-f(3))/h，其中h→0.答案：A。

(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章函数与导数第2课时函数的定义域和值域

第二章函数与导数第2课时函数的定义域和值域第三章 (对应学生用书(文)、(理)9～10页)1. (必修1P 27练习6改编)函数f(x)＝x ＋1＋12－x的定义域为________．答案：{x|x≥－1且x≠2}2. (必修1P 27练习7改编)函数f(x)＝(x －1)2－1，x ∈{－1，0，1，2，3}的值域是________．答案：{－1，0，3}解析：f(－1)＝f(3)＝3，f(0)＝f(2)＝0，f(1)＝－1，则所求函数f(x)的值域为{－1，0，3}．3. (必修1P 31习题3改编)函数f(x)＝2x5x ＋1的值域为____________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y≠25解析：由题可得f(x)＝2x 5x ＋1＝25－25（5x ＋1）.∵ 5x ＋1≠0，∴ f (x)≠25，∴ 值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y≠25. 4. (原创)下列四组函数中的f(x)与g(x)表示同一函数的有________．(填序号) ① f(x)＝x 0，g(x)＝1x ；② f(x)＝x x，g(x)＝x ；③ f(x)＝x 2，g(x)＝(x)4；④ f(x)＝|x|，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x<0.答案：④解析：两个函数是否为同一函数，主要是考查函数三要素是否相同，而值域是由定义域和对应法则所唯一确定的，故只须判断定义域和对应法则是否相同，④符合．5. (必修1P 36习题13改编)已知函数f(x)＝x 2－2x ，x ∈[a ，b]的值域为[－1，3]，则b －a 的取值范围是________．答案：[2，4]解析：f(x)＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，因为x∈[a，b]的值域为[－1，3]，所以当a ＝－1时，1≤b ≤3；当b ＝3时，－1≤a≤1，所以b －a∈[2，4]．1. 函数的定义域(1) 函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合． (2) 求定义域的步骤① 写出使函数式有意义的不等式(组)． ② 解不等式组．③ 写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)． (3) 常见基本初等函数的定义域 ① 分式函数中分母不等于零．② 偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③ 一次函数、二次函数的定义域为R ．④ y ＝a x，y ＝sinx ，y ＝cosx ，定义域均为R ． ⑤ y ＝tanx 的定义域为{x|x≠k π＋π2，k ∈Z }．⑥ 函数f(x)＝x a的定义域为{x|x≠0}． 2. 函数的值域(1) 在函数y ＝f(x)中，与自变量x 的值对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域．(2) 基本初等函数的值域① y ＝kx ＋b(k≠0)的值域是R ．② y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为[4ac －b24a，＋∞)；当a<0时，值域为⎝ ⎛⎥⎤－∞，4ac －b 24a ． ③ y ＝kx(k≠0)的值域为{y|y≠0}．④ y ＝a x(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤ y ＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R ． ⑥ y ＝sinx ，y ＝cosx 的值域是[－1，1]． ⑦ y ＝tanx 的值域是R ． 3. 最大(小)值一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1) 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；(2) 存在x 0∈I ，使得f(x 0)＝M ，那么称M 是函数y ＝f(x)的最大(小)值． [备课札记]题型1 求函数的定义域例1 求下列函数的定义域： (1) y ＝12－|x|＋lg(3x ＋1)；(2) y ＝4－x2ln （x ＋1）.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2－|x|≠0，3x ＋1>0 ⎩⎪⎨⎪⎧x≠－2且x≠2，x>－13，解得x>－13且x≠2，所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x>－13且x≠2. (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧ln （x ＋1）≠0，4－x 2≥0 ⎩⎪⎨⎪⎧x>－1且x≠0，－2≤x≤2，解得－1<x<0或0<x≤2，所求函数的定义域为(－1，0)∪(0，2]．变式训练(1) 求函数y ＝（x ＋1）|x|－x的定义域；(2) 若函数y ＝f(x)的定义域是[0，2]，求函数g(x)＝f （2x ）x －1的定义域．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x|－x>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x≠－1，x<0，所以x<－1或－1<x<0，即定义域是(－∞，－1)∪(－1，0)．(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，得0≤x<1，即定义域是[0，1)．题型2 求函数的值域例2 求下列函数的值域： (1) y ＝x －3x －2；(2) y ＝x 2－2x －3，x ∈(－1，4]； (3) y ＝2x －1x ＋1，x ∈[3，5]；(4) y ＝x 2－4x ＋5x －1(x>1)．解：(1) (换元法)设3x －2＝t ，t ≥0，则y ＝13(t 2＋2)－t ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－112，当t ＝32时，y 有最小值－112，故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－112，＋∞.(2) (配方法)配方，得y ＝(x －1)2－4，因为x∈(－1，4]，结合图象知，所求函数的值域为[－4，5]．(3) (解法1)由y ＝2x －1x ＋1＝2－3x ＋1，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以y max＝32，y min ＝54，故所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32.(解法2)由y ＝2x －1x ＋1，得x ＝1＋y 2－y.因为x ∈[3，5]，所以3≤1＋y 2－y ≤5，解得54≤y ≤32，即所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32. (4) (基本不等式法)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1(t>0)，所以y ＝（t ＋1）2－4（t ＋1）＋5t ＝t 2－2t ＋2t ＝t ＋2t －2(t>0)．因为t ＋2t≥2t·2t＝22，当且仅当t ＝2，即x ＝2＋1时，等号成立，故所求函数的值域为[22－2，＋∞)．备选变式（教师专享）求下列函数的值域： (1) f(x)＝1－x ＋x ＋3；(2) g(x)＝x 2－9x 2－7x ＋12；(3) y ＝log 3x ＋log x 3－1.解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，x ＋3≥0，解得－3≤x≤1.∴ f ()x ＝1－x ＋x ＋3的定义域是[]－3，1. ∵ y ≥0，∴ y 2＝4＋2()1－x ()x ＋3，即y 2＝4＋2－()x ＋12＋4()－3≤x≤1.令t ()x ＝－()x ＋12＋4()－3≤x≤1.∵ x ∈[]－3，1，由t ()－3＝0，t ()－1＝4，t ()1＝0， ∴ 0≤t ≤4，从而y 2∈[]4，8，即y∈[]2，22，∴ 函数f ()x 的值域是[]2，22.(2) g ()x ＝x 2－9x 2－7x ＋12＝()x ＋3()x －3()x －3()x －4＝x ＋3x －4＝1＋7x －4()x≠3且x≠4. ∵ x ≠3且x≠4，∴ g ()x ≠1且g ()x ≠－6.∴ 函数g ()x 的值域是()－∞，－6∪()－6，1∪()1，＋∞. (3) 函数的定义域为{x|x>0且x≠1}．当x>1时，log 3x>0，y ＝log 3x ＋log x 3－1≥2log 3x ·log x 3－1＝1；当0<x<1时，log 3x<0，y ＝log 3x ＋log x 3－1 ＝－[(－log 3x)＋(－log x 3)]≤－2－1＝－3. 所以函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．题型3 函数值域和最值的应用例3 已知函数f(x)＝x 2＋4ax ＋2a ＋6. (1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a 的值；(2) 若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a －1|的值域．解：(1) ∵ f(x)的值域是[0，＋∞)，即f min (x)＝0，∴ 4（2a ＋6）－（4a ）24＝0，∴ a ＝－1或32.(2) 若函数f(x)≥0恒成立，则Δ＝(4a)2－4(2a ＋6)≤0，即2a 2－a －3≤0， ∴ －1≤a≤32，∴ g(a)＝2－a|a －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋2，－1≤a≤1，－a 2＋a ＋2，1<a ≤32. 当－1≤a≤1，g(a)＝a 2－a ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋74，∴ g (a)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4；当1<a≤32，g(a)＝－a 2＋a ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋94，∴ g (a)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，2. ∴ 函数g(a)＝2－a|a －1|的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，4. 备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝1－2a x －a 2x(a>1)． (1) 求函数f(x)的值域；(2) 若x∈[－2，1]时，函数f(x)的最小值是－7，求a 的值及函数f(x)的最大值．解：(1) 由题意，知f(x)＝2－(1＋a x )2，因为a x>0，所以f(x)<2－1＝1，所以函数f(x)的值域为(－∞，1)．(2) 因为a>1，所以当x∈[－2，1]时，a －2≤a x ≤a ，于是f min (x)＝2－(a ＋1)2＝－7，所以a ＝2，此时，函数f(x)的最大值为2－(2－2＋1)2＝716.1. (2013·大纲)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 解析：由－1<2x ＋1<0，得－1<x<－12，所以函数f(2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.2. (2013·山东)函数f(x)＝1－2x＋1x ＋3的定义域为________．答案：(－3，0]解析：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，所以－3<x≤0，即定义域为(－3，0]．3. (2013·北京)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x<1的值域为________．答案：(－∞，2)解析：当x≥1时，log 12x ≤log 121＝0，即f(x)≤0；当x<1时，0<2x <21，即0<f(x)<2，所以函数f(x)的值域为(－∞，2)．4. (2013·徐州三模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，0≤x<1，2x ＋12，x ≥1，若a>b ≥0，且f(a)＝f(b)，则bf(a)的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，3解析：画出分段函数的图象，从图象可知，12≤b<1，1≤a<log 252，f(a)＝f(b)，得bf(a)＝bf(b)＝b(b ＋2)＝(b ＋1)2－1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1上单调增，故bf(a)的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，3.1. 设函数g(x)＝x 2－2(x∈R )，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x ＜g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ），则f(x)的值域是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)解析：由题意f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜g （x ），x 2－x －2，x ≥g （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ∈（－∞，－1）∪（2，＋∞），x 2－x －2，x ≥g （x ），x ∈（－1，2），下面分段求值域，再取并集． 2. 已知二次函数f(x)＝ax 2－x ＋c(x∈R )的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c 的最小值为________．答案：10解析：由二次函数的值域是[0，＋∞)，可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，因此有a ＞0，4ac －14a ＝0，从而c ＝14a ＞0.又c ＋2a ＋a ＋2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋8a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋4a 2≥2×4＋2＝10，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝8a ，14a 2＝4a 2，即a ＝12时取等号，故所求的最小值为10.3. 已知函数f(x)＝log 13(－|x|＋3)的定义域是[a ，b](a 、b∈Z )，值域是[－1，0]，则满足条件的整数对(a ，b)有________对．答案：5解析：由f(x)＝log 13(－|x|＋3)的值域是[－1，0]，易知t(x)＝|x|的值域是[0，2]，∵ 定义域是[a ，b](a 、b∈Z )，∴ 符合条件的(a ，b)有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)共5个．4. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx(a 、b 为常数，且a≠0)满足条件：f(x －1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x 有等根．(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在实数m 、n(m ＜n)，使f(x)定义域和值域分别为[m ，n]和[4m ，4n]？如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由．解：(1) f(x)＝－x 2＋2x.(2) 由f(x)＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，知f max (x)＝1，∴ 4n ≤1，即n≤14＜1.故f(x)在[m ，n]上为增函数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝4m ，f （n ）＝4n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝0， ∴ 存在m ＝－1，n ＝0，满足条件．1. 函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础，因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．3. 求函数值域的常用方法有：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法、导数法等，理论上一切函数求值域或最值均可考虑“导数法”，但在具体的解题中要与初等方法密切配合．请使用课时训练（A）第2课时（见活页）.[备课札记]。

导数大题20种主要题型总结及解题方法

导数大题20种主要题型总结及解题方法导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率。

掌握导数的计算和应用方法对于解决各种实际问题具有重要意义。

下面将对导数的20种主要题型进行总结并给出解题方法。

1.求函数在某点的导数。

对于给定的函数，要求在某一点处的导数，可以使用导数的定义或者基本求导法则。

导数的定义是取极限，计算函数在这一点的变化率。

基本求导法则包括常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的求导法则。

2.求函数的导数表达式。

已知函数表达式，要求其导数表达式。

可以使用基本求导法则，并注意链式法则和乘积法则的应用。

3.求高阶导数。

如果已知函数的导数表达式，要求其高阶导数表达式。

可以反复应用求导法则，每次对函数求导一次得到导数表达式。

4.求导数的导函数。

导数的导函数是指对导数再进行求导的过程。

要求导函数时，可以反复应用求导法则，迭代求取导数的导数。

5.利用导数计算函数极值。

当函数的导数为0或不存在时，可能是函数的极值点。

可以利用导数求函数的极值。

6.利用导数判定函数的增减性。

根据函数的导数正负性可以判定函数的增减性。

如果导数大于0，则函数在该区间上递增；如果导数小于0，则函数在该区间上递减。

7.利用导数求函数的最大最小值。

当函数在某一区间内递增时，在区间的左端点处取得最小值；当函数在某一区间内递减时，在区间的右端点处取得最小值。

要求函数全局最大最小值时，可以使用导数判定。

当导数从正数变为负数时，可能是函数取得最大值的点。

8.利用导数求函数的拐点。

如果函数的导数在某一点发生变号，该点可能是函数的拐点。

可以使用导数的二阶导数判定。

9.利用导数求函数的弧长。

曲线的弧长可以通过积分求取，而曲线的弧长元素是由导数表示的。

通过导数求取弧长元素，并积累求和得到曲线的弧长。

10.利用导数求函数的曲率。

曲率表示曲线弯曲程度的大小，可以通过导数求取。

曲率的求取公式是曲线的二阶导数与一阶导数的比值。

11.利用导数求函数的速度和加速度。

(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章函数与导数第8课时指数函数、对数

第二章函数与导数第8课时指数函数、对数函数及幂函数(2)第三章 (对应学生用书(文)、(理)22～23页)考情分析考点新知高考对指数函数的考查近三年有所升温，重点是指数函数的图象和性质，以及指数函数的实际应用问题，在复习时要特别重视对指数函数性质的理解与应用．① 了解指数函数模型的实际背景. ②理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点. ③知道指数函数是一类重要的函数模型.1. (必修1P 110复习9改编)函数y ＝a x －3＋3恒过定点________．答案：(3，4)解析：当x ＝3时，f(3)＝a 3－3＋3＝4，∴ f(x)必过定点(3，4)． 2. (必修1P 110复习3改编)函数y ＝8－16x的定义域是________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 解析：由8－16x ≥0，所以24x ≤23，即4x≤3，定义域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34.3. (必修1P 67练习3)函数f(x)＝(a 2－1)x 是R 上的减函数，则a 的取值X 围是________________．答案：(－2，－1)∪(1，2)解析：由0＜a 2－1＜1，得1＜a 2＜2，所以1＜|a|＜2，即－2＜a ＜－1或1＜a ＜ 2.4. (必修1P 71习题13改编)已知函数f(x)＝a ＋14x ＋1是奇函数，则常数a ＝________.答案：－12解析：由f(－x)＋f(x)＝0，得a ＝－12.5. (原创)函数y ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45|x －1|的值域为__________.答案：(1，2]解析：设y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45u，u ＝|x －1|.由于u ≥0且y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45u是减函数，故0<⎝ ⎛⎭⎪⎫45|x －1|≤1，则1＜y≤2.1. 指数函数定义一般地，函数y ＝a x(a>0，a ≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R ． 2. 指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质(1) 过定点(0，1)，即x ＝0时，y＝1(1) 过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1(2) 当x ＞0时，f(x)>1；x ＜0时，0<f(x)<1(2) 当x ＞0时，0<f(x)<1；x ＜0时，f(x)>1 (3) 在(－∞，＋∞)上是增函数(3) 在(－∞，＋∞)上是减函数[备课札记]题型1 指数型函数的定义域、值域例1 已知x∈[－3，2]，求f(x)＝14x －12x ＋1的最小值与最大值．解：f(x)＝14x －12x ＋1＝4－x －2－x ＋1＝2－2x －2－x＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x －122＋34.∵ x ∈[－3，2], ∴14≤2－x ≤8.则当2－x ＝12，即x ＝1时，f(x)有最小值34；当2－x＝8，即x ＝－3时，f(x)有最大值57.备选变式（教师专享）已知9x－10×3x＋9≤0，求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2的最大值和最小值．解：由9x－10·3x＋9≤0，得(3x－1)(3x－9)≤0，解得1≤3x≤9，∴ 0≤x ≤2.令(12)x ＝t ，则14≤t ≤1，y ＝4t 2－4t ＋2＝4(t －12)2＋1，当t ＝12即x ＝1时，y min ＝1；当t ＝1即x ＝0时，y max ＝2.题型2 指数型函数的图象例2 已知函数f(x)＝|2x －1－1|. (1) 作出函数y ＝f(x)的图象；(2) 若a<c ，且f(a)>f(c)，求证：2a ＋2c<4.(1) 解：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－1，x ≥1，1－2x －1，x<1，其图象如图所示．(2) 证明：由图知，f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.若c≤1，则2a <2，2c ≤2，所以2a ＋2c<4；若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a －1>2c －1－1，即2c －1＋2a －1<2，所以2a ＋2c<4.综上知，总有2a ＋2c<4. 备选变式（教师专享）画出函数y ＝||3x －1的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程||3x－1＝k 无解？有一个解？有两个解？解：.由图知，当k<0时，方程无解；当k ＝0或k≥1时，方程有一个解；当0<k<1时，方程有两个解．题型3 指数函数的综合运用例3 已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a>0且a≠1)．(1) 求函数f(x)的定义域； (2) 讨论函数f(x)的奇偶性；(3) 求a 的取值X 围，使f(x)>0在定义域上恒成立．解：(1) 由于a x －1≠0，则a x≠1，所以x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R ，且x≠0}． (2) 对于定义域内任意的x ，有f(－x)＝(1a －x －1＋12)(－x)3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a x1－a x ＋12x 3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(3) ① 当a>1时，对x>0，所以a x>1，即a x－1>0，所以1a x－1＋12>0. 又x>0时，x 3>0，所以x 3⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12>0，即当x>0时，f(x)>0.由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立．综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立． ②当0<a<1时，f(x)＝（a x＋1）x32（a x－1），当x>0时，0<a x<1，此时f(x)<0，不满足题意；当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意．综上可知，所求a 的取值X 围是a>1. 变式训练设a ＞0，f(x)＝3x a ＋a3x 是R 上的偶函数．(1) 求a 的值；(2) 判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性； (3) 求函数的值域．解：(1) 因为f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)，于是3a ＋a 3＝13a ＋3a ，即9＋a 23a ＝9a 2＋13a .因为a ＞0，故a ＝1.(2) 设x 2＞x 1≥0，f(x 1)－f(x 2)＝(3x 2－3x 1)(13x 2＋x 1－1)．因为3x为增函数，且x 2＞x 1，故3x 2－3x 1＞0.因为x 2＞0，x 1≥0，故x 2＋x 1＞0，于是13x 2＋x 1＜1，即13x 2＋x 1－1＜0，所以f(x 1)－f(x 2)＜0，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数．(3) 因为函数为偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，故f(0)＝2为函数的最小值，于是函数的值域为[2，＋∞)．1. (2013·某某一检)函数y ＝a x－1a(a>0，a ≠1)的图象可能是________．(填序号)答案：④解析：当a>1时，y ＝a x－1a 为增函数，且在y 轴上的截距0<1－1a <1，故①②不正确；当0<a<1时，y ＝a x－1a 为减函数，且在y 轴上的截距1－1a<0，故④正确．2. (2013·某某二模)以下函数中满足f(x ＋1)>f(x)＋1的是________．(填序号)① f(x)＝lnx ；② f(x)＝e x ；③ f(x)＝e x －x ；④ f(x)＝e x＋x. 答案：④解析：若f(x)＝e x ＋x ，则f(x ＋1)＝e x ＋1＋x ＋1＝e ·e x ＋x ＋1>e x＋x ＋1＝f(x)＋1.3. (2013·某某)设函数f(x)＝e x ＋x －2，g(x)＝lnx ＋x 2－3.若实数a 、b 满足f(a)＝0，g(b)＝0，则g(a)、f(b)、0三个数的大小关系为________．答案：g(a)<0<f(b)解析：易知f(x)是增函数，g(x)在(0，＋∞)上也是增函数，由于f(a)＝0，而f(0)＝－1<0，f(1)＝e －1>0，所以0<a<1；又g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，所以1<b<2，所以f(b)>0，g(a)<0，故g(a)<0<f(b)．4. (2013·某某)设函数f(x)＝a x ＋b x －c x，其中c>a>0，c>b>0.(1) 记集合M ＝{(a ，b ，c)|a 、b 、c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b}，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为________．(2) 若a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(填序号) ①x ∈(－∞，1)，f(x)>0；②x ∈R ，使a x 、b x 、c x不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则x ∈(1，2)，使f(x)＝0. 答案：(1) {x|0<x≤1} (2) ①②③解析：(1) 因为c>a>0，c>b>0，a ＝b 且a 、b 、c 不能构成一个三角形的三条边长，所以0<2a≤c，所以ca ≥2.令f(x)＝0，得2a x＝c x，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a x＝2，即x ＝log c a2，1x ＝log 2ca ≥1，所以0<x≤1.(2) 由a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，知a ＋b>c ，因为c>a>0，c>b>0，所以0<a c <1，0<bc <1，当x∈(－∞，1)时，f(x)＝a x ＋b x －c x ＝c x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x －1>c x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac ＋b c －1＝c x ·a ＋b －c c >0，①正确；令a ＝2，b ＝3，c ＝4，则a 、b 、c 可以构成三角形，而a 2＝4，b 2＝9，c 2＝16不能构成三角形，②正确；由c>a ，c>b ，且△ABC 为钝角三角形，则a 2＋b 2－c 2<0.因为f(1)＝a ＋b －c>0，f(2)＝a 2＋b 2－c 2<0，所以f(x)在(1，2)上存在零点，③正确．1. 已知函数f(x)＝a －12x －1是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则f(x)的值域是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32解析：因为f(x)是奇函数，f(－1)＋f(1)＝0，解得a ＝－12，所以f(x)＝－12－12x －1，易知f(x)在(－∞，－1]上为增函数，在[1，＋∞)上也是增函数．当x∈[1，＋∞)时，f(x)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，－12.又f(x)是奇函数，所以f(x)的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32.2. 已知f(x)＝(e x－1)2＋(e －x－1)2，则f(x)的最小值为________．答案：－2解析：将f(x)展开重新配方得f(x)＝(e x ＋e －x )2－2(e x ＋e －x )－2，令t ＝e x ＋e －x，则g(t)＝t 2－2t －2＝(t －1)2－3，t ∈[2，＋∞)，所以，最小值为－2.3. 设函数y ＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤K，K ，f （x ）>K.取函数f(x)＝2－|x|.当K ＝12时，函数f K (x)的单调递增区间为________．答案：(－∞，－1)解析：函数f(x)＝2－|x|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|，作图易知f(x)≤K＝12x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故在(－∞，－1)上是单调递增的．4. 若函数f(x)＝a x(a>1)的定义域和值域均为[m ，n]，某某数a 的取值X 围．解：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a m＝m ，a n ＝n ，即方程a x ＝x 有两个不同的解，设f(x)＝a x －x ，f ′(x)＝a xlna－1，令f′(x)＝0，得x ＝log a 1lna＝－log a lna ，分析得f(－log a lna)<0即可，∴ 1<a<e 1e.1. 指数函数是中学数学中基本初等函数之一，是高考必考内容．本部分知识在高考中主要考查指数函数的定义域、值域、图象以及主要性质(单调性)．2. 将指数函数y ＝a x(a>0，a ≠1)的图象进行平移、翻折，可作出y －y 0＝f(x －x 0)，y ＝|f(x)|，y ＝f(|x|)等函数的图象，要善于灵活应用这类函数图象变换画图和解题．3. 对可转化为a 2x ＋b·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b·a x＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助于换元法解决，但应注意换元后“新元”的X 围．请使用课时训练（A ）第8课时（见活页）.[备课札记]。

(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章函数与导数第5课时函数的图象

第二章函数与导数第5课时函数的图象第三章 (对应学生用书(文)、(理)15～17页)1. (必修1P 53复习14)函数y ＝f(x)与y ＝f(－x)的图象关于________对称．答案：y 轴2. (必修1P 64练习6)函数y ＝2－x的图象是________．(填序号)答案：①3. (必修1P 30练习3改编)函数y ＝f(x)的图象如图所示，则 (1) f(0)＝________，f(－1)＝________，f(4)＝________．(2) 若－1<x 1≤x 2<2，则f(x 1)与f(x 2)的大小关系是________________．答案：(1) 4 5 6 (2) f(x 1)≥f(x 2)4. (原创)函数y ＝x －2x ＋2的图象关于________对称．答案：(－2，1)解析：由y ＝x －2x ＋2＝1－4x ＋2，知y ＝x －2x ＋2的图象可以由y ＝－4x 的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位而得．由于函数y ＝－4x 的图象关于原点对称，所以y ＝x －2x ＋2的图象关于(－2，1)对称．5. (必修1P 36习题9改编)某同学从A 地跑步到B 地，随路程的增加速度减小．若以y 表示该同学离B 地的距离，x 表示出发后的时间，则下列图象中较符合该同学走法的是____________．(填序号)答案：③解析：由于y 表示该同学离B 地的距离，所以答案在①③中选，又随路程的增加速度减小，一半的时间内所走的路程要大于总路程的一半，故选③.1. 基本初等函数及其图象 (1) 一次函数y ＝ax ＋b(a≠0)(2) 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)(3) 反比例函数y ＝kx(k≠0)(4) 指数函数y＝a x(a>0，a≠1)(5) 对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)(1) 平移变换(2) 对称变换(3) 翻折变换[备课札记]题型1 利用描点法画函数图象例1 画出下列函数的图象． (1) y ＝2x －1，x ∈Z ，|x|≤2；(2) y ＝2x 2－4x －3(0≤x<3)； (3) y ＝12(lgx ＋|lgx|)．解：(1) (2)(3)解析：(1) ∵ x∈Z ，|x|≤2，∴ x ＝±2、±1、0，图象由五个孤立点组成，如(1)图所示．(2) ∵ y＝2x 2－4x －3＝2(x －1)2－5(0≤x<3)，∴ 图象为抛物线上的一段弧，如(2)图所示．(3) ∵ y＝12(lgx ＋|lgx|)＝⎩⎪⎨⎪⎧lgx ，x ≥1，0，0<x<1，∴ 图象由两部分组成，如图(3)所示．备选变式（教师专享）画出下列函数的图象： (1) y ＝x 2－2x ()||x >1；(2) f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ；(3) y ＝x|2－x|.解：(1)∵ ||x >1，∴ x<－1或x>1，图象是两段曲线，如图①.(2)f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x()x>0－1x()x<0 ，图象如图②.,①),②)(3) ∵ y＝x|2－x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x （x≥2）－x 2＋2x （x<2），∴ 图象由两部分组成，如图③.③题型2 利用图象的平移变换作函数图象例2 (1) 已知函数y ＝f(x)的图象如图所示，请根据已知图象作出下列函数的图象： ①y ＝f(x ＋1)；②y＝f(x)＋2；(2) 作出函数y ＝2－x －3＋1的图象．解：(1) 将函数y ＝f(x)的图象向左平移一个单位得到y ＝f(x ＋1)的图象(如图①所示)，将函数y ＝f(x)的图象向上平移两个单位得到y ＝f(x)＋2的图象(如图②所示)．(2) 由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3＋1，只需将函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝2－x －3＋1的图象，如图③.③变式训练作下列函数的图象． (1) y ＝3x －1x －2；(2) y ＝log 13[3(x ＋1)]．解：(1) 由y ＝3＋5x －2，将函数y ＝5x 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到函数y ＝3x －1x －2的图象，如图．(2) 由y ＝log 133＋log 13(x ＋1)＝log 13(x ＋1)－1，将函数y ＝log 13x 的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到函数y ＝log 13[3(x ＋1)]的图象，图略．题型3 函数图象的应用例3 当m 为何值时，方程x 2－4|x|＋5－m ＝0有四个不相等的实数根？解：方程x 2－4|x|＋5－m ＝0变形为x 2－4|x|＋5＝m ，设y 1＝x 2－4|x|＋5＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋5（x≥0），x 2＋4x ＋5（x<0），y 2＝m ，在同一坐标系下分别作出函数y 1和y 2的图象，如图所示．由两个函数图象的交点可以知道，当两函数图象有四个不同交点，即方程有四个不同的实数根，满足条件的m 取值范围是1<m<5.备选变式（教师专享）已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，求实数k 的取值范围．解：y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>1，－x －1，－1≤x<1x ＋1，x<－1，在同一直角坐标系下画出两函数的图象，当x>1时，有两交点的实数k 的取值范围为1<k<4；当x<1时，有两交点的实数k 的取值范围为0<k<1，所以实数k 的取值范围是0<k<1或1<k<4.1. (2013·福建)函数f(x)＝ln(x 2＋1)的图象大致是________．(填序号)答案：①解析：f(x)＝ln(x 2＋1)，x ∈R ，当x ＝0时，f(0)＝ln1＝0，即f(x)过点(0，0)．又f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f(x)，即f(x)是偶函数，其图象关于y 轴对称，所以选①.2. (2013·徐州期初)已知直线y ＝a 与函数f(x)＝2x 及g(x)＝3·2x的图象分别相交于A 、B 两点，则A 、B 两点之间的距离为________．答案：log 23解析：由题意知A(log 2a ，a)，B(log 2a3，a)，所以A 、B 之间的距离AB ＝|x A －x B |＝log 23.3. (2013·安徽)函数y ＝f(x)的图象如图所示，在区间[a ，b]上可以找到n(n≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n，则n 的取值集合是________．答案：{}2，3，4解析：由题意，函数y ＝f(x)上的任一点坐标为(x ，f(x))，故f （x ）x 表示曲线上任一点与坐标原点连线的斜率．若f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n ，则曲线上存在n 个点与原点连线的斜率相等，即过原点的直线与曲线y ＝f(x)有n 个交点，数形结合可得n 的取值可为2，3，4.4. (2013·新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是________．答案：[－2，0]解析：作出函数y ＝|f(x)|的图象，当|f(x)|≥ax 时，必有k ≤a ≤0，其中k 是y ＝x 2－2x(x≤0)在原点处的切线斜率，显然k ＝－2.所以a 的取值范围是[－2，0]．1. 函数y ＝e x＋e－xe x －e－x 的图象大致为________．(填序号)答案：①解析：由e x－e －x≠0，得定义域为{x|x≠0}，排除③、④.又y ＝e x＋e －xe x －e －x ＝e 2x＋1e 2x －1＝1＋2e 2x－1，所以当x ＞0时函数为减函数，故应为①. 2. 对实数a 和b ，定义运算“ ”：a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b≤1，b ，a －b>1.设函数f(x)＝(x 2－2) (x－1)，x ∈R .若函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________．答案：(－2，－1]∪(1，2]解析：由题意，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x≤2，x －1，x<－1或x>2，作出图象，数形结合知，c ∈(－2，－1]∪(1，2]．3. 设函数f(x)(x∈R )满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x ∈[0，1]时f(x)＝x 3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为________．答案：6解析：因为当x∈[0，1]时f(x)＝x 3，所以当x∈[1，2]时，(2－x)∈[0，1]，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3.当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，g(x)＝xcos(πx)；当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32时，g(x)＝－xcos(πx)，注意到函数f(x)、g(x)都是偶函数，且f(0)＝ g(0), f(1)＝ g(1)，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0，作出函数f(x)、g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上各有一个零点，所以共有6个零点． 4. 已知函数f(x)＝ax 3－3ax ，g(x)＝bx 2＋clnx ，且g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为2y －1＝0.(1) 求g(x)的解析式；(2) 设函数G(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ≤0，g （x ），x ＞0，若方程G(x)＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．解：(1) g′(x)＝2bx ＋cx.由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧g′（1）＝0，g （1）＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c ＝0，b ＝12，∴ b ＝12，c ＝－1， ∴ g(x)＝12x 2－lnx.(2) G(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 3－3ax ，x ≤0，12x 2－lnx ，x ＞0，当x ＞0时，G(x)＝g(x)＝12x 2－lnx ，g ′(x)＝x －1x ＝（x ＋1）（x －1）x.令g′(x)＝0，得x ＝1，且当x∈(0，1)，g ′(x)＜0，x ∈(1，＋∞)，g ′(x)＞0，∴ g(x)在(0，＋∞)上有极小值，即最小值为g(1)＝12.当x≤0时，G(x)＝f(x)＝ax 3－3ax ，f ′(x)＝3ax 2－3a ＝3a(x ＋1)(x －1)．令f′(x)＝0，得x ＝－1.①若a ＝0，方程G(x)＝a 2不可能有四个解；②若a ＜0时，当x∈(－∞，－1)，f ′(x)＜0，当x∈(－1，0)，f ′(x)＞0，∴ f(x)在(－∞，0]上有极小值，即最小值为f(－1)＝2a.又f(0)＝0，∴ G(x)的图象如图①所示，从图象可以看出方程G(x)＝a 2不可能有四个解；,①) ,②)③若a ＞0时，当x∈(－∞，－1)，f ′(x)＞0，当x∈(－1，0)，f ′(x)＜0，∴ f(x)在(－∞，0]上有极大值，即最大值为f(－1)＝2a.又f(0)＝0，∴ G(x)的图象如图②所示．从图象可以看出方程G(x)＝a 2若有四个解，必须12＜a 2＜2a ，∴ 22＜a ＜2.综上所述，满足条件的实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，2.1. 作图的前提要能熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数图象等．2. 掌握几种图象的变换的方法技巧，如平移变换、伸缩变换、对称变换、周期变换、翻折变换等，能帮助我们简化作图过程．3. 利用函数图象可以解决一些形如f(x)＝g(x)的方程解的个数问题，解题中要注意对方程适当变形，选择适当的函数作图．请使用课时训练（B ）第5课时（见活页）.第11 页共11 页。

高中导数题所有题型及解题方法

高中导数题所有题型及解题方法在高中数学中，导数是一个非常重要的概念。

导数是描述曲线在某一点处的切线斜率的指标。

在高中数学中，学生需要掌握不同类型的导数题。

以下是高中导数题中的所有题型及解题方法：1.求函数的导数：这是最基本的导数问题。

对于一个函数，需要求出它的导数函数。

为此，需要使用导数的定义公式，即极限。

例如，对于函数f(x) = x^2 + 2x + 1，其导数是f’(x) = 2x + 2。

2.求函数的导数在某一点处的值：这个类型的问题需要计算函数在一定点处的导数值。

为此，需要使用导数的定义公式，并将x的值代入到函数中计算。

例如，对于函数f(x) = x^2 + 2x + 1，在x = 2处的导数值为f’(2) = 6。

3.求函数的极值：极值是函数在某一点处的最大值或最小值，即导数为0的点。

为了找到函数的极值，需要计算函数的导数，并找到导数为0的点。

例如，对于函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，其导数为f’(x) =3x^2 - 6x + 2。

为了找到函数的极值，需要找到导数为0的点。

计算可得，x = 1或x = 2是导数为0的点。

因此，函数的极值为f(1) = 1和f(2) = 3。

4.求函数的拐点：拐点是函数曲线从凸向上到凹向上或从凸向下到凹向下的点。

为了找到函数的拐点，需要计算函数的二阶导数，即导数的导数。

例如，对于函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，其一阶导数为f’(x) = 3x^2 - 6x + 2，二阶导数为f’’(x) = 6x - 6。

为了找到函数的拐点，需要找到二阶导数为0的点。

计算可得，x = 1是二阶导数为0的点。

因此，函数在x = 1处有一个拐点。

5.求函数与直线的交点：这个类型的问题需要找出函数和直线的交点。

为此，需要先将直线方程代入到函数中，然后解方程。

例如，对于函数f(x) = x^2 + 2x + 1和直线y = 3x - 1，将直线方程代入到函数中可得x^2 + 2x + 1 = 3x - 1。

(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章函数与导数第7课时指数函数、对数函数

第二章函数与导数第7课时指数函数、对数函数及幂函数(1)第三章 (对应学生用书(文)、(理)20～21页),1. (必修1P 63习题2改编)用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)： (1) 3a 2＝________；(2) a a a ＝________；(3) ⎝⎛⎭⎫3a 2·ab 3＝________．答案：(1) a 23 (2) a 78 (3) a 76b 322. (必修1P 80习题6改编)计算：(lg5)2＋lg2×lg50＝________．答案：1解析：原式＝(lg5)2＋lg2×(1＋lg5)＝lg5(lg2＋lg5)＋lg2＝1.3. (必修1P 80习题12改编)已知lg6＝a ，lg12＝b ，则用a 、b 表示lg24＝________．答案：2b －a解析：lg24＝lg 1446＝2lg12－lg6＝2b －a.4. (必修1P 63习题6改编)若a ＋a －1＝3，则a 32－a －32＝______．答案：±4解析：a 32－a －32＝(a 12－a －12)(a ＋a －1＋1)．∵ (a 12－a －12)2＝a ＋a －1－2＝1，∴ (a 12－a －12)＝±1，∴ 原式＝(±1)×(3＋1)＝±4. 5. 已知实数a 、b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式：① 0＜b ＜a ；② a＜b ＜0；③ 0＜a ＜b ；④ b＜a ＜0；⑤ a＝b. 其中所有不可能成立的关系式为________．(填序号) 答案：③④解析：条件中的等式⇔2a =3b⇔a lg2=b lg3．若a ≠0，则lg2lg3b a =∈（0，1）．（1）当a ＞0时，有a ＞b ＞0，即关系式①成立，而③不可能成立；（2）当a ＜0时，则b ＜0，b ＞a ，即关系式②成立，而④不可能成立；若a =0，则b =0，故关系式⑤可能成立．1. 根式(1) 根式的概念① n a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a （n 为奇数），|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a≥0），－a （a<0）（n 为偶数）； ② (n a)n ＝a(注意a 必须使na 有意义)． 2. 有理指数幂(1) 分数指数幂的表示① 正数的正分数指数幂是a mn ，m 、n∈N *，n>1)； ② 正数的负分数指数幂是a －m n ＝1a m n＝1(a>0，m 、n∈N *，n>1)；③ 0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义．(2) 有理指数幂的运算性质① a s a t ＝a s ＋t(a>0，t 、s∈Q )；② (a s )t ＝a st(a>0，t 、s∈Q )；③ (ab)t ＝a t b t(a>0，b ＞0，t∈Q )． 3. 对数的概念 (1) 对数的定义如果a b＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2) 几种常见对数4. 对数的性质与运算法则 (1) 对数的性质① alog a N ＝N ；② log a a N＝N(a>0且a≠1)． (2) 对数的重要公式① 换底公式：log b N ＝log a N log a b (a 、b 均大于零且不等于1)；② log a b ＝1log b a .(3)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ① log a (MN)＝log a M ＋log a N ； ② log a MN ＝log a M －log a N ；③ log a M n＝nlog a M (n∈R )； ④ log am M n＝n m log a M.[备课札记]题型1 指数幂的运算例1 化简下列各式(其中各字母均为正数)： (1) 1.5－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋80.25×42＋(32×3)6－⎝ ⎛⎭⎪⎫2323； (2) （a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5；(3) a 43－8a 13b 4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3a.解：(1) 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＋234×214＋22×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2＋108＝110.(2) 原式＝a －13·b 12·a －12·b 13a 16·b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a.(3) 原式＝a 13（a －8b ）（2b 13）2＋2b 13a 13＋（a 13）2×a 13a 13－2b 13×a 13＝a 13（a －8b ）a －8b×a 13×a 13＝a.备选变式（教师专享）化简下列各式：(1) 12523＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋34313－⎝ ⎛⎭⎪⎫127－13；(2) 56a 13·b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23·b －3)12.解：(1)33；(2)－5ab 4ab 2.题型2 对数的运算例2 求下列各式的值．(1) log 535＋2log 12 2－log 5150－log 514；(2) log 2125×log 318×log 519.解：(1) 原式＝log 535×5014＋2log 12212＝log 553－1＝2.(2) 原式＝lg 125lg2×lg 18lg3×lg 19lg5＝－2lg5lg2×－3lg2lg3×－2lg3lg5＝－12.变式训练(1) 计算：lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 278；(2) 已知log 189＝a ，18b＝5，用a 、b 表示log 3645.解：(1) 原式＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1258×12.5－lg9lg8·lg8lg27＝1－2lg33lg3＝13. (2) 由题意，得b ＝log 185，故log 3645＝log 1845log 1836＝log 189＋log 185log 18324－log 189＝a ＋b2－a.题型3 指数与对数的混合运算例3 已知实数x 、y 、z 满足3x ＝4y ＝6z＞1. (1) 求证：2x ＋1y ＝2z；(2) 试比较3x 、4y 、6z 的大小．(1) 证明：令k ＝3x ＝4y ＝6z＞1，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，于是1x ＝log k 3，1y ＝log k 4，1z ＝log k 6，从而2x ＋1y ＝2log k 3＋log k 4＝log k 32＋log k 4＝log k 36＝2log k 6，等式成立．(2) 解：由于k ＞1，故x 、y 、z ＞0.3x 4y ＝3log 3k 4log 4k ＝3lgklg34lgk lg4＝3lg44lg3＝lg43lg34＝lg64lg81＜1； 4y 6z ＝2log 4k 3log 6k ＝2lgklg43lgk lg6＝2lg63lg4＝lg62lg43＝lg36lg64＜1，故3x ＜4y ＜6z.备选变式（教师专享）若xlog 34＝1，求23x－2－3x2x ＋2－x 的值．解：由xlog 34＝1，知4x＝3， ∴23x－2－3x2x ＋2－x ＝()2x －2－x ()22x ＋2－2x ＋12x＋2－x＝（22x －1）（22x ＋2－2x＋1）22x＋1＝（3－1）⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋13＋13＋1＝136.1. (2013·四川)计算：lg 5＋lg 20＝________．答案：1解析：lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg10＝1.2. (2013·长春调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ≥4，f （x ＋1），则f(2＋log 23)＝________．答案：124解析：由3<2＋log 23<4，得3＋log 23>4，所以f(2＋log 23)＝f(3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 224＝124. 3. (2013·新课标)已知a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a 、b 、c 的大小关系为________．答案：a>b>c解析：a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由于log 32>log 52>log 72，所以a>b>c.4. (2013·温州二模)已知2a ＝3b ＝6c，若a ＋b c ∈(k ，k ＋1)，则整数k 的值是________．答案：4解析：设2a ＝3b ＝6c＝t ，则a ＝log 2t ，b ＝log 3t ，c ＝log 6t ，所以a ＋b c ＝log 2t log 6t ＋log 3t log 6t ＝log t 6log t 2＋log t 6log t 3＝log 26＋log 36＝2＋log 23＋log 32.因为2<log 23＋log 32<3，所以4<a ＋bc <5，即整数k 的值是4.1. 设a ＝lge ，b ＝(lge)2，c ＝lg e ，则a 、b 、c 的大小关系是________．答案：a ＞c ＞b解析：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0，知a>b.又c ＝lge ，作商比较知c>b ，故a>c>b.2. 已知三数x ＋log 272，x ＋log 92，x ＋log 32成等比数列，则公比为________．答案：3解析：∵ 三数x ＋log 272，x ＋log 92，x ＋log 32成等比数列，∴ (x ＋log 92)2＝(x ＋log 272)(x ＋log 32)，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12log 322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13log 32(x ＋log 32)，解得x ＝－14log 32，∴ 公比q ＝x ＋log 32x ＋12log 32＝3.3. 设a ＞1，若对任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，则a 的取值范围是________．答案：a≥2解析：∵ a＞1，x ∈[a ，2a]， ∴ log a x ∈[1，1＋log a 2]．又由y∈[a，a 2]，得 log a y∈[1，2]， ∵ log a y ＝3－log a x ，∴ 3－log a x ∈[1，2]， ∴ log a x ∈[1，2]，∴ 1＋log a 2≤2，log a 2≤1，即a≥2.4. 已知m 、n 为正整数，a ＞0且a≠1，且log a m ＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＋1＋…＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＋n －1＝log a m ＋log a n ，求m 、n 的值．解：左边＝log a m ＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m ＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2m ＋1＋…＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n m ＋n －1＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫m·m ＋1m ·m ＋2m ＋1·…·m ＋n m ＋n －1＝log a (m ＋n)，∴ 已知等式可化为log a (m ＋n)＝log a m ＋log a n ＝log a mn. 比较真数得m ＋n ＝mn ，即(m －1)(n －1)＝1.∵ m 、n 为正整数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝1，n －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2.1. 根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程．2. 对数运算法则是在化同底的情况下进行的，在对含有字母的对数式化简时必须保证恒等变形．3. 在解决指数、对数问题时，指数式与对数式的互化起着重要作用．请使用课时训练（B ）第7课时（见活页）.[备课札记]。

2014高考数学迎考重要锦囊导数应用篇

2014高考数学迎考重要锦囊：导数应用篇
专题综述
导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面：
1.导数的常规问题：
(1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于次多项式的导数问题属于较难类型。

2.关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

知识整合
1.导数概念的理解。

2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值。

复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。

课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。

3.要能正确求导，必须做到以下两点：
(1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。

(2)对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。

江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件：常考问题4 导数的简单应用

所以 f(x)在区间[1，e]上为增函数． 1 所以当 x＝1 时，f(x)取得最小值； 2 1 2 当 x＝e 时，f(x)取得最大值2e ＋1. (2)证明 2 3 1 2 设 h(x)＝g(x)－f(x)＝3x －2x －ln x，x∈(1，＋∞)，
3 2 2 2 x － x － 1 x － 1 2 x ＋x＋1 1 2 则 h′(x)＝2x －x－ x＝＝ . x x
• 【训练2】 (2013·德州二模)设函数f(x)＝x ln x. • (1)求函数f(x)在点M(e，f(e))处的切线方程； • (2) 设 F(x) ＝ ax2 － (a ＋ 2)x ＋ f′(x)(a>0) ，讨论函数F(x)的单调性．
解 (1)f′(x)＝ln x＋1(x>0)，则函数 f(x)在点 M(e，f(e))处的切线的斜率为 f′(e)＝2，又 f(e)＝e，所以切线方程为 y－e＝2(x－e)，即 y＝2x－e. 1 (2)F(x)＝ax －(a＋2)x＋ln x＋1(x>0)，F′(x)＝2ax－(a＋2)＋ x ＝
热点二
利用导数研究函数的单调性
1－a 【例 2】已知函数 f(x)＝ln x－ax＋－1，a∈R. x (1)当 a＝－1 时，求函数的单调区间； 1 (2)当 0≤a<2时，讨论 f(x)的单调性．
2 解 (1)当 a＝－1 时，f(x)＝ln x＋x＋ x－1，x∈(0，＋∞)，所以 x－1x＋2 f′(x)＝，x∈(0，＋∞)． x2 由 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x＝－2(舍去)，所以当 x∈(0,1)时， f′(x)<0，函数 f(x)单调递减；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数 f(x)单调递增．故当 a＝－1 时，函数 f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．

新高考数学二轮复习知识点总结与题型归纳第6讲导数的应用之单调性、极值和最值(解析版)

第6讲导数的应用之单调性、极值和最值1．函数单调性与导函数符号的关系一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在该区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在该区间内单调递减.2．求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性.注①使()0f x '=的离散点不影响函数的单调性，即当()f x '在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在(,)-∞+∞上，3()f x x =，当0x =时，()0f x '=；当0x ≠时，()0f x '>，而显然3()f x x =在(,)-∞+∞上是单调递增函数.②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '≥（()f x '不恒为0），反之不成立.因为()0f x '≥，即()0f x '>或()0f x '=，当()0f x '>时，函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增.当()0f x '=时，()f x 在这个区间为常值函数；同理，若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减，则()0f x '≤（()f x '不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： ()0f x '>⇒()f x 单调递增； ()f x 单调递增()0f x '⇒≥； ()0f x '<⇒()f x 单调递减； ()f x 单调递减()0f x '⇒≤.3．函数极值的概念设函数()y f x =在点0x 处连续且0()0y f x '==，若在点0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，则0x 为函数的极大值点；若在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，则0x 为函数的极小值点.函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点. 4．求可导函数()f x 极值的一般步骤（1）先确定函数()f x 的定义域；（2）求导数()f x '；（3）求方程()0f x '=的根；（4）检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()y f x =在这个根处取得极小值.注①可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是：0x 是导函数的变号零点，即0()0f x '=，且在0x 左侧与右侧，()f x '的符号导号.②0()0f x '=是0x 为极值点的既不充分也不必要条件，如3()f x x =，(0)0f '=，但00x =不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数()f x x =，在极小值点00x =是不可导的，于是有如下结论：0x 为可导函数()f x 的极值点0()0f x '⇒=；但0()0f x '=⇒0x 为()f x 的极值点. 5．函数的最大值、最小值若函数()y f x =在闭区间[],a b 上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在[],a b 上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得.6．求函数的最大值、最小值的一般步骤设()y f x =是定义在区间[],a b 上的函数，()y f x =在(,)a b 可导，求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值，可分两步进行：（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.1．已知0x 是函数()e ln x f x x =-的极值点，若()00,a x ∈， ()0,b x ∈+∞，则 A. ()0f a '>， ()0f b '< B. ()0f a '<， ()0f b '< C. ()0f a '>， ()0f b '> D. ()0f a '<， ()0f b '> 【答案】D【解析】因为()1(0)x f x e x x '=->，令()1=0x f x e x '=-，即1=x e x ，在平面直角坐标系画出1,x y e y x==的图象，如图：根据图象可知， ()()()()000,,0,,,0x x f x x x f x '∞'∈∈+，所以 ()0f a '<， ()0f b '>，故选D.2．已知20a b =≠，且关于x 的函数()321132f x x a x a bx =++⋅在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为（）A. 0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,6ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦C. ,3ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 2,33ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】()321132f x x a x a bx =++⋅在R 有极值， ()2'0f x x a x a b ∴=++⋅=有不等式的根， 0∴∆>，即2240,4cos 0a a b a a b θ-⋅>∴->，120,cos 2a b θ=≠∴<， 0,3πθπθπ≤≤∴<≤，即向量,a b 夹角范围是,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦，故选C. 【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、利用导数研究函数的极值，属于难题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a ba bθ=（此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影， a 在b 上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.3．在ABC ∆中， ,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，则sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值是（） A. 0 B. 32- C. 32D. -1 【答案】D【解析】()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+，∴f′（x ）=x 2+2bx+（a 2+c 2-ac ），又∵函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，∴x 2+2bx+（a 2+c 2-ac ）=0有两个不同的根，∴△=（2b ）2-4（a 2+c 2-ac ）＞0，即ac ＞a 2+c 2-b 2，即ac ＞2accosB ；即cosB ＜12，故∠B 的范围是（π3π，），所以23B π- 5,33ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当3112B 326B πππ-==，即时sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值是-1 故选D4．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝xlnx ， 11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则f(x)( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值，又有极小值D. 既无极大值，又无极小值【答案】D【解析】因为xf ′(x )－f (x )＝x ln x ，所以()()2ln xf x f x x x x -='，所以()'ln ()f x xx x=，所以f (x )＝12x ln 2x ＋cx .因为f (1e )＝12e ln 21e ＋c ×1e ＝1e ，所以c ＝12，所以f ′(x )＝12ln 2x ＋ln x ＋12＝12(ln x ＋1)2≥0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(0，＋∞)上既无极大值，也无极小值，故选D.点睛：根据导函数求原函数，常常需构造辅助函数，一般根据导数法则进行：如()()f x f x '-构造()()x f x g x e =， ()()f x f x '+构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '-构造()()f xg x x=， ()()xf x f x '+构造()()g x xf x =等 5．设a R ∈，若函数,x y e ax x R =+∈有大于零的极值点，则（）A. 1a e<- B. 1a e >- C. 1a >- D. 1a <-【答案】D【解析】()x f x e a '=+（x>0）,显然当0a ≥时， ()0f x '>，f(x)在R 上单调递增，无极值点，不符。

高考数学题型总结之导数题型分析及解题方法

高考数学题型总结之导数题型分析及解题方法高考数学题型总结之导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数;两个函数的和、差、差不多导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1. 在区间上的最大值是22.已知函数处有极大值，则常数c= 6 ;3.函数有极小值-1 ,极大值3题型二：利用导数几何意义求切线方程1.曲线在点处的切线方程是2.若曲线在P点处的切线平行于直线，则P点的坐标为(1，0)3.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为4.求下列直线的方程：(1)曲线在P(-1,1)处的切线; (2)曲线过点P(3,5)的切线;解：(1)因此切线方程为(2)明显点P(3，5)不在曲线上，因此可设切点为，则①又函数的导数为，因此过点的切线的斜率为，又切线过、P(3,5)点，因此有②，由①②联立方程组得，，即切点为(1，1)时，切线斜率为;当切点为(5，25)时，切线斜率为;因此所求的切线有两条，方程分别为题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1.已知函数的切线方程为y=3x+1(Ⅰ)若函数处有极值，求的表达式;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求函数在[-3，1]上的最大值;(Ⅲ)若函数在区间[-2，1]上单调递增，求实数b的取值范畴解：(1)由过的切线方程为：而过故由①②③得a=2，b=-4，c=5(2)当又在[-3，1]上最大值是13。

(3)y=f(x)在[-2，1]上单调递增，又由①知2a+b=0。

依题意在[-2，1]上恒有0，即①当;②当;③当综上所述，参数b的取值范畴是教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采纳范读，让幼儿学习、仿照。

如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。

江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件：常考问题5 导数的综合应用

• [规律方法] 涉及不等式证明或恒成立问题，常依据题目特征，恰当构建函数，利用导数研究函数性质，转化为求函数的最值、极值问题．在转化过程中，一定要注意等价性，对于含参数的不等式，注意分离参数与分类讨论；必要时，可作出函数图象草图，借助几何直观分析转化．
【训练 2】已知函数 f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)． (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a＝－1 时，证明：在(1，＋∞)上，f(x)＋2>0； ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 (3)求证： · · · „· < (n ≥2，n∈N*)． 2 3 4 n n a1－x (1)解根据题意知，f′(x)＝ x (x>0)，当 a>0 时，f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为 (1，＋∞)；当 a<0 时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当 a＝0 时，f(x)不是单调函数．
②若 k＝e2，F′(x)＝(ex 2－1)(2x＋4)，
＋
故 F(x)在(－2，＋∞)上单调递增，因为 F(－2)＝0，所以 f(x)≤kg(x)恒成立； ③若 k>e2，则 F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)<0，从而当 x∈[－2，＋∞)时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上所述 k 的取值范围是[1，e2]．
1 1 f(x)的单调递增区间为－∞，2，递减区间为2，＋∞.所以
1 1 f(x)max＝f 2 ＝2e＋c.
x (2)由已知|ln x|＝f(x)得|ln x|－e2x＝c，x∈(0，＋∞)， x 令 g(x)＝|ln x|－e2x，y＝c.
• [规律方法] (1)本题第(1)问，利用了函数单调的充分条件：“ 若 f′(x)>0 ，则 f(x) 单调递增，若f′(x)<0，则f(x) • 单调递减 ” ；求出函数的单调区间，而对于函数的最值需谨记函数在闭区间上一定存在最值，在开区间上函数不一定存在最值，若存在，一定是极值． • (2)本题第 (2)问，借助转化与数形结合的思想，把方程根的个数转化为两个函数图象交点的个数，利用极值解决问题．

高考压轴题：导数题型及解题方法总结很全

高考压轴题：导数题型及解题方法（自己总结供参考）一．切线问题题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。

方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。

题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。

方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。

注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。

例已知函数f （x ）=x 3﹣3x ．（1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、（提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。

将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。

（答案：m 的范围是()2,3--）题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。

方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。

（)(,22x f x ）；建立21,x x 的等式关系，12112)()(y y x f x x -='-，12212)()(y y x f x x -='-；求出21,x x ，进而求出切线方程。

解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。

例求曲线2x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程。

（答案02=--e y x e ）二．单调性问题题型1 求函数的单调区间。

求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。

分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4) 在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。

导数常见题型与解题方法总结

导数常见题型与解题方法总结导数题型总结：1.分离变量：在使用分离变量时，需要特别注意是否需要分类讨论（大于0，等于0，小于0）。

2.变更主元：已知谁的范围就把谁作为主元。

3.根分布。

4.判别式法：结合图像分析。

5.二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系；（2）端点处和顶点是最值所在。

基础题型：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：1.令f'(x)=0，得到两个根。

2.画两图或列表。

3.由图表可知。

另外，变更主元（即关于某字母的一次函数）时，已知谁的范围就把谁作为主元。

例1：设函数y=f(x)在区间D上的导数为f'(x)，f'(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)<___成立，则称函数y=f(x)在区间D上为“凸函数”。

已知实数m是常数，f(x)=(-x^4+mx^3+3x^2)/62.1.若y=f(x)在区间[0,3]上为“凸函数”，求m的取值范围。

解法一：从二次函数的区间最值入手，等价于g(x)<0在[0,3]上恒成立，即g(0)<0且g(3)<0.因此，得到不等式组-3<m<2.解法二：分离变量法。

当x=0或x=3时，g(x)=-3<0.因此，对于0≤x≤3，g(x)<___成立。

根据分离变量法，得到不等式组-3<m<2.2.若对满足m≤2的任何一个实数m，函数f(x)在区间(a,b)上都为“凸函数”，求b-a的最大值。

由f(x)=(-x^4+mx^3+3x^2)/62得到f'(x)=(-4x^3+3mx^2+6x)/62，f''(x)=(-12x^2+6mx+6)/62.因为f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”，所以f''(x)>0在(a,b)___成立。

因此，得到不等式组a≤x≤b和-12a^2+6ma+6>0，即a≤x≤b且m≤2或a≤x≤b且m≥1/2.由于m≤2，所以a≤x≤b且m≤2.根据变更主元法，将F(m)=mx-x^2+3视为关于m的一次函数最值问题，得到不等式组F(-2)>0和F(2)>0，即-2x-x^2+3>0且2x-x^2+3>0.解得-1<x<1.因此，b-a=2.Ⅲ）由题意可得，对任意x∈[1,4]，有f(x)≤g(x)代入g(x)得：x3+(t-6)x2-(t+1)x+3≥x3+(t-6)x2/2化___：x2(t-7/2)-x(t+1/2)+3≥0由于对于任意x∈[1,4]，不等式都成立，所以判别式≤0：t+1/2)2-4×3×(t-7/2)≤0化___：t2-10t+19≤0解得：1≤___≤9综上所述，a=-3，b=1/2，f(x)的值域为[-4,16]，t的取值范围为1≤t≤9.单调增区间为：$(-\infty,-1),(a-1,+\infty)$和$(-1,a-1)$。

2014年高考导数问题的题型方法盘点

2014年高考导数问题的题型方法盘点新教材引入导数的内容后，拓展了高中数学学习和研究的领域，给传统的中学数学内容注入了生机与活力,也为高中数学解题增添了新的视角，新的方法。

此外，由于导数的工具性和导数的几何意义也使得导数与解析几何、不等式、函数等知识的紧密相联，在这些知识交汇点处设计层次不同，难度可控的试题，拓宽了高考的命题空间。

近几年的高考，加大了对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，以考查学生对知识的整体把握和综合能力已成为新高考中的一道靓丽的风景线。

导数在高考中经常考的如下内容1.导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数.2.两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值.3.利用结论求参数的范围.4.由前面的结论证明与自然数相关的不等式下面笔者就2014年高考题谈谈导数问题的常见类型及其解法，以供参考。

1对导数定义和求导法则的考查例1【2014江西高考理第14题】若曲线x y e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________. （2ln -，2）点评：本题考查了指数函数求导公式及导数的几何意义，属于低起点题，但命题形式生动活泼.只要能够对三角函数顺利求导,就能快速做出答案.2对导数的几何意义的考查例2曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 . 解：曲线xy 1=和2x y =在它们的交点坐标是(1，1)，利用求导的方法求切线的斜率得，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x －1，它们与x 轴所围成的三角形的面积是43。

点评：本题涉及到函数曲线的切线问题，由于无法用传统的二次方程根的判别式来求解，导数的几何意义无疑为这类问题的解决提供了新方法、新途径。

实际上，涉及到曲线的切线尤其是三次或三次以上的曲线与对数曲线、指数曲线等曲线的切线和公切线问题，常常考虑利用导数来求解，可谓事半功倍。

高中数学解题方法---导数各类题型方法总结

数， f (x) = x4 − mx3 − 3x2 12 6 2 （1）若 y = f (x) 在区间[0,3] 上为“凸函数”，求 m 的取值范围；（2）若对满足 m ≤ 2的任何一个实数m ，函数 f (x) 在区间(a,b)上都为“凸函数”，求b − a
的最大值.
解由函数得 :
f (x) = x4 − mx3 − 3x2
g (0)
<
0
⇒
−3
<
0
⇒m>2
g(3) < 0 9 − 3m − 3 < 0
解法二：分离变量法：
∵ 当时恒成立 x = 0 , ∴ g(x) = x2 − mx − 3 = −3 < 0
,
当时恒成立 0 < x ≤ 3 , g(x) = x2 − mx − 3 < 0
等价于 m > x2 − 3 = x − 3 的最大值（0 < x ≤ 3 ）恒成立，
f
/
(1)
=
−3
a = −3
b = 1+ a
b = −2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， f (x) 在[−1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减
g(x) = x3 + t − 6 x2 − (t +1)x + 3 (t > 0)
（Ⅰ）求a,b 的2值；（Ⅱ）当 x ∈[−1,4]时，求 f (x) 的值域；（Ⅲ）当 x∈[1,4]时，不等式 f (x) ≤ g(x) 恒成立，求实数 t 的取值范围。
解：（Ⅰ） ∴ ，解得 f / (x) = 3x2 + 2ax
∴
[a + 1,

2014高考数学必考点解题方法秘籍导数理

2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：导数一、考试内容(重点)导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 22．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ；3．函数331x x y -+=有极小值－1 ,极大值 3题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为（1，0）3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --=4．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线；（2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线；解：（1）123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即，（2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=，所以过),(00y x A 点的切线的斜率为/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有352000--=x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255 110000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值(重点)1．已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1（Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，某某数b 的取值X 围解：（1）由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在③由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(23+-+=x x x x f（2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f 当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13。

(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章函数与导数第4课时函数的奇偶性及

第二章函数与导数第4课时函数的奇偶性及周期性第三章(对应学生用书(文)、(理)13～14页)考点分析考点新知① 函数奇偶性的考查一直是近几年某某命题的热点，命题时主要是考查函数的概念、图象、性质等.②能综合运用函数的奇偶性、单调性及周期性分析和解决有关问题．①了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性定义判断一些简单函数的奇偶性.②掌握奇函数与偶函数的图象对称关系，并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题.③了解周期函数的意义，并能利用函数的周期性解决一些问题.1. (必修1P45习题8改编)函数f(x)＝mx2＋(2m－1)x＋1是偶函数，则实数m＝________．答案：12解析：由f(－x)＝f(x)，知m＝12.2. (必修1P43练习5改编)函数f(x)＝x3－x的图象关于________对称.答案：原点解析：由f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－f(x)，知f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称．3. (原创)设函数f(x)是奇函数且周期为3，若f(1)＝－1，则f(2 015)＝________．答案：1解析：由条件，f(2 015)＝f(671×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝1.4. (必修1P43练习4)对于定义在R上的函数f(x)，给出下列说法：①若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)；②若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数；③若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；④若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数．其中，正确的说法是________．(填序号)答案：①③解析：根据偶函数的定义，①正确，而③与①互为逆否命题，故③也正确，若举例奇函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x－2，x>0，x＋2，x<0，由于f(－2)＝f(2)，所以②④都错误．5. (必修1P54练习测试10)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x<0时，f(x)＝________．答案：x3＋x－1解析：若x<0，则－x>0，f(－x)＝－x3－x＋1，由于f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x 3＋x －1.1. 奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．2. 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称．(2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数．若存在x 使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数．3. 函数的图象与性质奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系(1) 注意函数y ＝f(x)与y ＝kf(x)的单调性与k(k≠0)有关．(2) 注意函数y ＝f(x)与y ＝1f （x ）的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a ，b]和[－b ，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a ，b]和[－b ，－a]上有相反的单调性． 5. 函数的周期性设函数y ＝f(x)，x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得对任意x∈D，都有f(x ＋T)＝f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T 为函数f(x)的一个周期．(D 为定义域)题型1 判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝x 3－1x ；(2) f(x)＝1－x2|x ＋2|－2；(3) f(x)＝(x －1)1＋x1－x； (4) f(x)＝3－x 2＋x 2－3.解：(1) 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，由f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2) 去掉绝对值符号，根据定义判断．由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤1，x ≠0且x≠－4. 故f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，且有x ＋2＞0. 从而有f(x)＝1－x 2x ＋2－2＝1－x 2x，这时有f(－x)＝1－（－x ）2－x ＝－1－x2x＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(3) 因为f(x)定义域为[－1，1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4) 因为f(x)定义域为{－3，3}，所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数．备选变式（教师专享）判断下列函数的奇偶性：(1) f(x)＝x 4＋x ；(2) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x （x<0），－x 2＋x （x>0）； (3) f(x)＝lg(x ＋x 2＋1)．解：(1) 定义域为R ，f(－1)＝0，f(1)＝2，由于f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数；(2) 因为函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，并且当x ＜0时，－x ＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－(x 2＋x)＝－f(x)(x ＜0)．当x ＞0时，－x ＜0，所以f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝－(－x 2＋x)＝－f(x)(x ＞0)．故函数f(x)为奇函数．(3) 由x ＋x 2＋1>0，得x∈R ，由f(－x)＋f(x)＝lg(－x ＋x 2＋1)＋lg(x ＋x 2＋1)＝lg1＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．题型2 函数奇偶性的应用例2 (1) 设a∈R ，f(x)＝a·2x＋a －22x＋1(x∈R )，试确定a 的值，使f(x)为奇函数； (2) 设函数f(x)是定义在(－1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f(a －2)－f(4－a 2)<0，某某数a 的取值X 围．解：(1) 要使f(x)为奇函数，∵ x ∈R ，∴需f(x)＋f(－x)＝0.∵ f(x)＝a －22x ＋1，∴ f(－x)＝a －22－x ＋1＝a －2x ＋12x ＋1.由⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2x ＋12x ＋1＝0，得2a －2（2x＋1）2x＋1＝0， ∴ a ＝1.(2) 由f(x)的定义域是()－1，1，知⎩⎪⎨⎪⎧－1<a －2<1，－1<4－a 2<1，解得3<a< 5.由f(a －2)－f(4－a 2)<0，得f(a －2)<f(4－a 2)．因为函数f(x)是偶函数，所以f(|a －2|)<f(|4－a 2|)．由于f(x)在(0，1)上是增函数，所以|a －2|<|4－a 2|，解得a<－3或a>－1且a≠2. 综上，实数a 的取值X 围是3<a<5且a≠2. 变式训练(1) 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x>0是奇函数，求a ＋b 的值；(2) 已知奇函数f(x)的定义域为[－2，2]，且在区间[－2，0]内递减，若f(1－m)＋f(1－m 2)<0，某某数m 的取值X 围．解：(1) 当x>0时，－x<0，由题意得f(－x)＝－f(x)，所以x 2－x ＝－ax 2－bx. 从而a ＝－1，b ＝1，所以a ＋b ＝0. (2) 由f(x)的定义域是[－2，2]，知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m≤ 3. 因为函数f(x)是奇函数，所以f(1－m)<－f(1－m 2)，即f(1－m)<f(m 2－1)．由奇函数f(x)在区间[－2，0]内递减，所以在[－2，2]上是递减函数，所以1－m>m 2－1，解得－2<m<1.综上，实数m 的取值X 围是－1≤m<1. 题型3 函数奇偶性与周期性的综合应用例3 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f(x ＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x －x 2.(1) 求证：f(x)是周期函数；(2) 当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(3) 计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)的值． (1) 证明：因为f(x ＋2)＝－f(x)，所以f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数． (2) 解：因为x∈[2，4]，所以－x∈[－4，－2]，4－x∈[0，2]，所以f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x 2＋6x －8.又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝－x 2＋6x －8，即f(x)＝x 2－6x ＋8，x ∈[2，4]．(3) 解：因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝0，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1. 备选变式（教师专享）已知定义在R 上的函数f(x)对任意实数x 、y 恒有f(x)＋f(y)＝f(x ＋y)，且当x ＞0时，f(x)＜0，又f(1)＝－23.(1) 求证：f(x)为奇函数；(2) 求证：f(x)在R 上是减函数；(3) 求f(x)在[－3，6]上的最大值与最小值．(1) 证明：令x ＝y ＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，从而f(0)＝0.令y ＝－x ，可得f(x)＋f(－x)＝f(x －x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(2) 证明：设x 1、x 2∈R ，且x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，于是f(x 1－x 2)＜0.从而f(x 1)－f(x 2)＝f[(x 1－ x 2)＋x 2]－ f(x 2) ＝ f (x 1－ x 2) ＋f(x 2)－ f(x 2)＝ f (x 1－ x 2)＜0.所以f(x)为减函数．(3) 解：由(2)知，所求函数的最大值为f(－3)，最小值为f(6)．f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]＝－2f(1)－f(1)＝－3f(1)＝2，f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－4.于是f(x)在[－3，6]上的最大值为2，最小值为－4.1. (2013·某某期初)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x ＋4)＝f(x)．当x∈(0，2)时，f(x)＝－x ＋4，则f(7)＝________．答案：－3解析：f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.2. (2013·某某)已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________．答案：(－5，0)∪(5，＋∞)解析：作出f(x)＝x 2－4x(x>0)的图象，如图所示．由于f(x)是定义在R 上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称，作出x<0的图象．不等式f(x)>x 表示函数y ＝f(x)的图象在y ＝x 的上方，观察图象易得，原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．3. (2013·某某)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)内单调递增．若实数a 满足f(log 2a)＋f(log 12a )≤2f(1)，则a 的取值X 围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 解析：因为f(log 12a)＝f(－log 2a)＝f(log 2a)，所以原不等式可化为f(log 2a )≤f(1)．又f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|log 2a|≤1，解得12≤a ≤2.4. (2013·某某二模)设函数y ＝f(x)满足对任意的x∈R ，f(x)≥0且f 2(x ＋1)＋f 2(x)＝9.已知当x∈[0，1)时，有f(x)＝2－|4x －2|，则f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0136＝________．答案： 5解析：由题知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，因为f(x)≥0且f 2(x ＋1)＋f 2(x)＝9，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝5，如此循环得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫6712＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×168－12＝5，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0136＝ 5.1. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（1－x ），x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x>0，则f(2 014)＝________．答案：1解析：由已知得f(－1)＝log 22＝1，f(0)＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝0－(－1)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝0，所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现，所以f(2 014)＝f(4)＝1.2. 已知f(x)是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f(x)＝x 3－x ，则函数y ＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________．答案：7解析：由条件，当0≤x＜2时，f(x)＝x(x ＋1)(x －1)，即当0≤x ＜2时，f(x)＝0有两个根0，1，又由周期性，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根2，3，当4≤x<6时，f(x)＝0有两个根4，5，而6也是f(x)＝0的根，故y ＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为7.3. 设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x 2，若对任意的x∈[t ，t ＋2]，不等式f(x ＋t)≥2f(x)恒成立，则实数t 的取值X 围是________．答案：[2，＋∞)解析：∵ 当x≥0时，f(x)＝x 2且f(x)是定义在R 上的奇函数，又f(x ＋t)≥2f(x)＝f(2x)，易知f(x)在R 上是增函数，∴ x ＋t≥2x ，∴ t ≥(2－1)x.∵ x ∈[t ，t ＋2]，∴ t ≥(2－1)(t ＋2)，∴ t ≥ 2.4. 已知f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，不等式f(1＋xlog 2a )≤f(x－2)恒成立，某某数a 的取值X 围．解：∵ f(x)是偶函数，当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，不等式f(1＋xlog 2a )≤f(x－2)等价于f(|1＋xlog 2a|)≤f(2－x)．又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴ |1＋xlog 2a|≤2－x ，∴ x －2≤1＋xlog 2a ≤2－x ，∴ 1－3x ≤log 2a ≤1x－1，上述不等式在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x max ≤log 2a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1min， ∴－2≤log 2a ≤0，解得14≤a ≤1.1. 函数奇偶性的判断，本质是判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，前提是定义域关于原点对称，运算中，也可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0或f(x)－f(－x)＝0)是否成立．2. 若f(x)是偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．3. 奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的区间上有相同的单调性，偶函数在对称的区间上有相反的单调性．请使用课时训练（A）第4课时（见活页）.[备课札记]。

导数大题方法总结

导数大题方法总结总结是指对某一阶段的工作、学习或思想中的经验或情况进行分析研究，做出带有规律性结论的书面材料，它可以促使我们思考，让我们一起认真地写一份总结吧。

那么总结要注意有什么内容呢？以下是小编整理的导数大题方法总结，欢迎大家分享。

一、总论一般来说，导数的大题有两到三问。

每一个小问的具体题目虽然并不固定，但有相当的规律可循，所以在此我进行了一个答题方法的总结。

二、主流题型及其方法（1）求函数中某参数的值或给定参数的值求导数或切线一般来说，一到比较温和的导数题的会在第一问设置这样的问题：若f（x）在x=k时取得极值，试求所给函数中参数的值；或者是f（x）在（a，f（a））处的切线与某已知直线垂直，试求所给函数中参数的值等等很多条件。

虽然会有很多的花样，但只要明白他们的本质是考察大家求导数的能力，就会轻松解决。

这一般都是用来送分的，所以遇到这样的题，一定要淡定，方法是：先求出所给函数的导函数，然后利用题目所给的已知条件，以上述第一种情形为例：令x=k，f（x）的导数为零，求解出函数中所含的参数的值，然后检验此时是否为函数的极值。

注意：①导函数一定不能求错，否则不只第一问会挂，整个题目会一并挂掉。

保证自己求导不会求错的最好方法就是求导时不要光图快，一定要小心谨慎，另外就是要将导数公式记牢，不能有马虎之处。

②遇到例子中的情况，一道要记得检验，尤其是在求解出来两个解的情况下，更要检验，否则有可能会多解，造成扣分，得不偿失。

所以做两个字来概括这一类型题的方法就是：淡定。

别人送分，就不要客气。

③求切线时，要看清所给的点是否在函数上，若不在，要设出切点，再进行求解。

切线要写成一般式。

（2）求函数的单调性或单调区间以及极值点和最值一般这一类题都是在函数的第二问，有时也有可能在第一问，依照题目的难易来定。

这一类题问法都比较的简单，一般是求f（x）的单调（增减）区间或函数的单调性，以及函数的极大（小）值或是笼统的函数极值。