10.2排列组合中的分组分配问题
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方法：（1）先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
（2）均分的五组看成是五个元素在五个位置上 作排列
C
132C
3 9
C62
C 42 C22
A
3 3
A
2 2
A
5 5
四：部分均分无分配对象的问题 例4 六本不同的书分成3组一组4本其余各1本有 多少种分法
C64C21C11 A22
五、非均分组无分配对象问题
（1）每人各得两本；
（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；
（3）一人一本，一人两本，一人三本；
（4）甲得四本，乙得一本，丙得一本；
（5）一人四本，另两人各一本·
(1)
C
2 6
C
2 4
C
2 2
(2)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
(3)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
A
3 3
(4)
C
4 6
C
1 2
C
1 1
(5)
A
1 3
4!·8! 4!·4! 3!
(2)
C
122C
120C82
C
6 6
A
3 3
• 练习1：把10人平均分成两组，再从每组中 选出正、副组长各一人，共有多少种选法?
解：分两步，先分组，再分别在每一组中选正、副 组长．
分组有
C150C55 A22
种方法，
每组中选正、副组长都有 A52 种方法．
由分步计数原理共有
C150C55 A22
A52
A52
50400
种．
二：均分有分配对象的问题
例2：6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、 丙三个人，有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
（1）均分的三组看成是三个元素在三个位置上 作排列
C
2 6
C
2 4
C
2 2
A
3 3
A
3 3
C
2 6
C
2 4
C
4 6
C
1 2
C
1 1
3、12本不同的书分给甲、乙、丙三人按下列条件， 各有多少 种不同的分法？
（1）一人三本，一人四本，一人五本； （2）甲三本，乙四本，丙五本； （3）甲两本，乙、丙各五本； （4）一人两本，另两人各五本·
(1)
C
3 12
C
4 9
C
5 5
A
3 3
(2)
C
3 12
C
4 9
C
5 5
• 练习： 9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种
分法?
• ②一人得2件，一人得3件，一人得4件，有多少种分 法?
• ③每人3件，有多少种分法?
解：②三个人中哪个得2件、哪个得3件、哪个得4件没 有确定，故这三个数字可以在甲、乙、丙中进行排列，
故应在第1问的前提下再进行一步排列，有 A33 种．
故由分步计数原理有 C92 C73 C44 A33 7560 种．
分法? • ①甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少种分法?
解：①以人为主考虑，三个人去取玩具，据分步计数 原理求解．
第1步先由甲从9件不同的玩具中选2件有 C92 种．
第2步由乙从剩下的7件中选3件有 C73 种．
第3步余下4件全给丙有 C44 种．
由分步计数原理得 C92 C73 C44 1260 种．
C
2 2
• 练习：9件不同的玩具，按下列分配方案 各有几种分法?
①甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少种分法? ②一人得2件，一人得3件，一人得4件，有多少种分法? ③每人3件，有多少种分法? ④平均分成三堆，有多少种分法? ⑤分为2、2、2、3四堆，有多少种分法?
• 练习： 9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种
引伸：不平均分配问题：一般来说，把n个不同元素 分成k组，每组分别有 m1, m2 , m3 m个k ，
且 m1, m2 m互k 不相等，且 m1 m2 mk n, 则不同分法为
C C C m1
m2
m3
n
n m1
n (m1 m2 )
C mk mk
种．
如果 m1, m2 mk 中有且仅有i个相等,则不同的分法为：
(3)
C
2 12
C
5 10
C
5 5
(4)
A
1 3
C
122C
5 10
C
5 5
C61C52C33 A33
练习1
1：10本不同的书
（1）按2∶2∶2∶4分成四堆有多少种不同的分法？
（2）按2∶2∶2∶4分给甲、乙、丙、丁四个人有多 少种不同的分法？
(1)
C120C82C62
C
4 4
A
3 3
(2) C120C82C62C44
2、有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？
例5 6本不同的书按1∶2∶3分成三堆有多少种不同 的分法？
C61C52C33
注意：非均分问题无分配对象只要按比例分完再用 乘法原理作积
六、非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙 三个人有多少种不同的分法？
C61C52C33
七、非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法。
C C C m1
m2
m3
n
n m1
n (m1 m2 )
Aii
C mk mk
种．
知识探究
一：均分无分配对象的问题
例1：12本不同的书
（1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？ （2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？
(1)
C
1421 5775
x A33 C93 C63 1680 x 280 种．
⑤先分3件为一堆有 C93 种方法，然后6件平均分配应有
C62 C42 C22 种方法，故共有
A33
C93 C62 C42 C22 A33
1260
种．
三：部分均分有分配对象的问题
例3 .12支笔按3：3：2：2：2再任意分给A、B、 C、D、E五个人有多少种不同的分法？
排列组合中的分组 分配问题
1.(平均分组公式）
一般地平均分成n堆(组)，必须除以n!，如若部 分平均分成m堆(组)，必须再除以m!，即平均分组问 题，一般地来说，km个不同的元素分成k组，每组m个， 则不同的分法有
Ckmm
Cm (k 1)
m
Cmm
Akk
种．
故平均分配要除以分组数的全排列．
2.(不平均分组公式）
③每人3件，即各人分得数相同，不需排列．则有
C93
C63 A33
C33
A33
1680
种．
• 练习 9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种分法?
• ④平均分成三堆，有多少种分法? • ⑤分为2、2、2、3四堆，有多少种分法?
解：④设分三堆有x 种方法，因堆与堆之间没有差异，
而人却有差异，在第③问中，先分三堆再三人去拿． 故有
（2）均分的五组看成是五个元素在五个位置上 作排列
C
132C
3 9
C62
C 42 C22
A
3 3
A
2 2
A
5 5
四：部分均分无分配对象的问题 例4 六本不同的书分成3组一组4本其余各1本有 多少种分法
C64C21C11 A22
五、非均分组无分配对象问题
（1）每人各得两本；
（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；
（3）一人一本，一人两本，一人三本；
（4）甲得四本，乙得一本，丙得一本；
（5）一人四本，另两人各一本·
(1)
C
2 6
C
2 4
C
2 2
(2)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
(3)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
A
3 3
(4)
C
4 6
C
1 2
C
1 1
(5)
A
1 3
4!·8! 4!·4! 3!
(2)
C
122C
120C82
C
6 6
A
3 3
• 练习1：把10人平均分成两组，再从每组中 选出正、副组长各一人，共有多少种选法?
解：分两步，先分组，再分别在每一组中选正、副 组长．
分组有
C150C55 A22
种方法，
每组中选正、副组长都有 A52 种方法．
由分步计数原理共有
C150C55 A22
A52
A52
50400
种．
二：均分有分配对象的问题
例2：6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、 丙三个人，有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
（1）均分的三组看成是三个元素在三个位置上 作排列
C
2 6
C
2 4
C
2 2
A
3 3
A
3 3
C
2 6
C
2 4
C
4 6
C
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C
1 1
3、12本不同的书分给甲、乙、丙三人按下列条件， 各有多少 种不同的分法？
（1）一人三本，一人四本，一人五本； （2）甲三本，乙四本，丙五本； （3）甲两本，乙、丙各五本； （4）一人两本，另两人各五本·
(1)
C
3 12
C
4 9
C
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A
3 3
(2)
C
3 12
C
4 9
C
5 5
• 练习： 9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种
分法?
• ②一人得2件，一人得3件，一人得4件，有多少种分 法?
• ③每人3件，有多少种分法?
解：②三个人中哪个得2件、哪个得3件、哪个得4件没 有确定，故这三个数字可以在甲、乙、丙中进行排列，
故应在第1问的前提下再进行一步排列，有 A33 种．
故由分步计数原理有 C92 C73 C44 A33 7560 种．
分法? • ①甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少种分法?
解：①以人为主考虑，三个人去取玩具，据分步计数 原理求解．
第1步先由甲从9件不同的玩具中选2件有 C92 种．
第2步由乙从剩下的7件中选3件有 C73 种．
第3步余下4件全给丙有 C44 种．
由分步计数原理得 C92 C73 C44 1260 种．
C
2 2
• 练习：9件不同的玩具，按下列分配方案 各有几种分法?
①甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少种分法? ②一人得2件，一人得3件，一人得4件，有多少种分法? ③每人3件，有多少种分法? ④平均分成三堆，有多少种分法? ⑤分为2、2、2、3四堆，有多少种分法?
• 练习： 9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种
引伸：不平均分配问题：一般来说，把n个不同元素 分成k组，每组分别有 m1, m2 , m3 m个k ，
且 m1, m2 m互k 不相等，且 m1 m2 mk n, 则不同分法为
C C C m1
m2
m3
n
n m1
n (m1 m2 )
C mk mk
种．
如果 m1, m2 mk 中有且仅有i个相等,则不同的分法为：
(3)
C
2 12
C
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(4)
A
1 3
C
122C
5 10
C
5 5
C61C52C33 A33
练习1
1：10本不同的书
（1）按2∶2∶2∶4分成四堆有多少种不同的分法？
（2）按2∶2∶2∶4分给甲、乙、丙、丁四个人有多 少种不同的分法？
(1)
C120C82C62
C
4 4
A
3 3
(2) C120C82C62C44
2、有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？
例5 6本不同的书按1∶2∶3分成三堆有多少种不同 的分法？
C61C52C33
注意：非均分问题无分配对象只要按比例分完再用 乘法原理作积
六、非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙 三个人有多少种不同的分法？
C61C52C33
七、非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法。
C C C m1
m2
m3
n
n m1
n (m1 m2 )
Aii
C mk mk
种．
知识探究
一：均分无分配对象的问题
例1：12本不同的书
（1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？ （2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？
(1)
C
1421 5775
x A33 C93 C63 1680 x 280 种．
⑤先分3件为一堆有 C93 种方法，然后6件平均分配应有
C62 C42 C22 种方法，故共有
A33
C93 C62 C42 C22 A33
1260
种．
三：部分均分有分配对象的问题
例3 .12支笔按3：3：2：2：2再任意分给A、B、 C、D、E五个人有多少种不同的分法？
排列组合中的分组 分配问题
1.(平均分组公式）
一般地平均分成n堆(组)，必须除以n!，如若部 分平均分成m堆(组)，必须再除以m!，即平均分组问 题，一般地来说，km个不同的元素分成k组，每组m个， 则不同的分法有
Ckmm
Cm (k 1)
m
Cmm
Akk
种．
故平均分配要除以分组数的全排列．
2.(不平均分组公式）
③每人3件，即各人分得数相同，不需排列．则有
C93
C63 A33
C33
A33
1680
种．
• 练习 9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种分法?
• ④平均分成三堆，有多少种分法? • ⑤分为2、2、2、3四堆，有多少种分法?
解：④设分三堆有x 种方法，因堆与堆之间没有差异，
而人却有差异，在第③问中，先分三堆再三人去拿． 故有