离散数学命题符号化课件
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命题公式及分类(离散数学)PPT
练习
P32： 1.6：（3）（4） 1.7：（7-10）
19
说 公式A与B具有相同的或不同的真值表，是指真值表的最后 明 一列是否对应相同，而8 不考虑构造真值表的中间过程。
例1 求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
(1) ┐ (p∧q)→┐r
(2)(p∧┐p)(q∧┐q)
(3)┐(p→q)∧q∧r
9
三、命题公式的分类 定义1.9（重言式、永真式、可满足式）
(5) ┐q∨p
(3) ┐(p∧┐q)
12
例3 下列公式中,哪些具有相同的真值表? (1)p→q (2)┐q∨r (3)(┐p∨q)∧((p∧r)→p) (4)(q→r)∧(p→p)
13
习题：求公式┐(p→(q∧r))的真值表。
p q r q∧r p→(q∧r) ┐(p→(q∧r))
00 0 0
例如 F:{0,1}2{0,1}，且F(00)=F(01)=F(11)=0，
F(01)=1，则F为一个确定的2元真值函数.
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命题公式与真值函数
对于任何一个含n个命题变项的命题公式A，都 存在惟一的一个n元真值函数F与A的真值表相同.
下表给出所有2元真值函数对应的真值表, 每一个 含2个命题变项的公式的真值表都可以在下表中找 到.
(A→B)，(AB)也是合式公式。 (4)只有有限次地应用(1)～(3)形式的符号串才
是合式公式。 合式公式也称为命题公式或命题形式，并简称 为公式。
2
关于合式公式的说明
合式公式的定义方式称为归纳定义或递归定义方式。
定义中引进了A,B等符号，用它们表示任意的合式公式，而不 是某个具体的公式，这与p, p∧q, (p∧q)→r等具体的公式是有 所不同的。
离散数学四省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
f : DIn DI , 称 f 为f在I中解释.
(d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上n元谓词常项 ,F 称 F 为F在I中解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中个体常项符号a、函数符
号f、谓词符号F分别替换成它们在I中解释 、a 、f ,F称
所得到公式A为A在I下解释, 或A在I下被解释成A.
比如，x(F(x,y)G(x,z))， x为指导变元，(F(x,y)G(x,z))为 x 辖域，x两次出现均为约束出现，y与 z 均为自由出现
又如, x(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))), x中x是指导变元, 辖域为(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))). y中y是指导变元, 辖 域为(G(x,y)H(x,y,z)). x3次出现都是约束出现, y第一次出 现是自由出现, 后2次是约束出现, z2次出现都是自由出现
19
第19页
实例
例7 判断以下公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式？ (1) xF(x)(xyG(x,y)xF(x))
重言式 p(qp) 代换实例，故为永真式. (2) (xF(x)yG(y))yG(y)
矛盾式 (pq)q 代换实例，故为永假式. (3) x(F(x)G(x))
解释I1: 个体域N, F(x):x>5, G(x): x>4, 公式为真 解释I2: 个体域N, F(x):x<5, G(x):x<4, 公式为假 结论: 非永真式可满足式
2
第2页
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x含有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间关系 如, L(x,y)：x与 y 相关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项谓词, 即命题常项 或命题变项
(d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上n元谓词常项 ,F 称 F 为F在I中解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中个体常项符号a、函数符
号f、谓词符号F分别替换成它们在I中解释 、a 、f ,F称
所得到公式A为A在I下解释, 或A在I下被解释成A.
比如，x(F(x,y)G(x,z))， x为指导变元，(F(x,y)G(x,z))为 x 辖域，x两次出现均为约束出现，y与 z 均为自由出现
又如, x(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))), x中x是指导变元, 辖域为(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))). y中y是指导变元, 辖 域为(G(x,y)H(x,y,z)). x3次出现都是约束出现, y第一次出 现是自由出现, 后2次是约束出现, z2次出现都是自由出现
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实例
例7 判断以下公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式？ (1) xF(x)(xyG(x,y)xF(x))
重言式 p(qp) 代换实例，故为永真式. (2) (xF(x)yG(y))yG(y)
矛盾式 (pq)q 代换实例，故为永假式. (3) x(F(x)G(x))
解释I1: 个体域N, F(x):x>5, G(x): x>4, 公式为真 解释I2: 个体域N, F(x):x<5, G(x):x<4, 公式为假 结论: 非永真式可满足式
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谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x含有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间关系 如, L(x,y)：x与 y 相关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项谓词, 即命题常项 或命题变项
离散数学命题逻辑2.ppt
16
命题的演算
• 利用代换规则从一个命题得到另一 个逻辑等价的命题称为命题的演算。
17
证明逻辑等价、永真（假） 式的方法（1）
• 方法一：真值表法
设P1,…,Pn为命题A和B包含的所有命题变元。
A ⇔B
A为永真式
A为永假式
P1 … Pn A B P1 … Pn A P1 … Pn A
v1 v1
1
– 在命题变元的不同指派下，真值总是 真的命题公式，记为1或T
• 永假式(矛盾式)
– 在命题变元的不同指派下，真值总是 假的命题公式，记为0或F
6
永真式举例
• (P∧Q) →P的真值表
P Q P∧Q (P∧Q) →P
1
0
0
1
01
0
1
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1
1
1
• (P∧Q) →P是永真式
7
永假式举例
• ((P∧Q) →P)的真值表
(P→Q)(S→Q)(SR) R
(P→Q)(S→Q)(R→S) R //根据逻辑等价的代
换规则
(P→Q)(S→Q)S
//根据P∧(P→Q) ⇒ Q
(P→Q)Q
//根据P∧(P→Q) ⇒ Q
P
//根据Q∧(P→Q)⇒Q
34
永真蕴含式中的代换规则
• 设命题公式A⇒B • 如果在命题公式C中出现A的地方用B替换
1
01
1
10
0
11
1
P→Q 1 1 0 1
10
逻辑等价例2
• 证明 P▽Q⇔(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)
P Q (┐P∧Q)∨(┐Q∧P) P▽Q
命题的演算
• 利用代换规则从一个命题得到另一 个逻辑等价的命题称为命题的演算。
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证明逻辑等价、永真（假） 式的方法（1）
• 方法一：真值表法
设P1,…,Pn为命题A和B包含的所有命题变元。
A ⇔B
A为永真式
A为永假式
P1 … Pn A B P1 … Pn A P1 … Pn A
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– 在命题变元的不同指派下，真值总是 真的命题公式，记为1或T
• 永假式(矛盾式)
– 在命题变元的不同指派下，真值总是 假的命题公式，记为0或F
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永真式举例
• (P∧Q) →P的真值表
P Q P∧Q (P∧Q) →P
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• (P∧Q) →P是永真式
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永假式举例
• ((P∧Q) →P)的真值表
(P→Q)(S→Q)(SR) R
(P→Q)(S→Q)(R→S) R //根据逻辑等价的代
换规则
(P→Q)(S→Q)S
//根据P∧(P→Q) ⇒ Q
(P→Q)Q
//根据P∧(P→Q) ⇒ Q
P
//根据Q∧(P→Q)⇒Q
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永真蕴含式中的代换规则
• 设命题公式A⇒B • 如果在命题公式C中出现A的地方用B替换
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P→Q 1 1 0 1
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逻辑等价例2
• 证明 P▽Q⇔(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)
P Q (┐P∧Q)∨(┐Q∧P) P▽Q
《离散数学》课件-第1章命题逻辑基本概念
注：克里特岛是希腊东南沿海的一个岛屿，位于地中海东部。 它的迈诺斯文明是世界是最早的文明之一，是欧洲文明的发 源地，并在公元前17世纪纪达到其财富和权势的顶峰。克里 特岛先后被希腊人、罗马人、拜占廷人、阿拉伯人、威尼斯 人和奥托曼土耳其人攻陷。岛上居民在1908年宣布与现代的 希腊结成联盟。
6
二、命题的分类
定义1.4 设p、q为任意命题，复合命题“如 果p，则q”称作p与q的蕴涵式，记作p→q，并称p 是蕴涵式的前件（hypothesis or premise），q为 蕴涵式的后件（conclusion or consequence）。 →称为蕴涵联结词。
规定：p→q为假当且仅当p为真q为假。即当 p为真q为假时，p→q为假；其它情况都为真。
（4）如果2是素数，则3也是素数。
简单命题：2是素数。3是素数。联结词：如果，则
（5）2是素数当且仅当3也是素数。
简单命题：2是素数。3是素数。联结词：当且仅当
17
解：简单命题的符号化为：
p：3是偶数。 q：2是偶数。 r：2是素数。 s：4是素数。
为了得到复合命题的符号化 形式，我们还必须对五个联 结词进行符号化！
（6）a能被4整除仅当a能被2整除。 p→q
（7）除非a能被2整除，a才能被4整除。 p→q
（8）除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 p→q
（9）只有a能被2整除，a才能被4整除。 p→q
（1）3不是偶数。 Î 非3是偶数。
简单命题：3是偶数。
联结词：非
（2）2是偶素数。
Î 2是偶数并且2是素数。
简单命题：2是偶数。2是素数。 联结词：并且
（3）2或4是素数。
Î 2是素数或4是素数。
简单命题：2是素数。4是素数。 联结词：或
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二、命题的分类
定义1.4 设p、q为任意命题，复合命题“如 果p，则q”称作p与q的蕴涵式，记作p→q，并称p 是蕴涵式的前件（hypothesis or premise），q为 蕴涵式的后件（conclusion or consequence）。 →称为蕴涵联结词。
规定：p→q为假当且仅当p为真q为假。即当 p为真q为假时，p→q为假；其它情况都为真。
（4）如果2是素数，则3也是素数。
简单命题：2是素数。3是素数。联结词：如果，则
（5）2是素数当且仅当3也是素数。
简单命题：2是素数。3是素数。联结词：当且仅当
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解：简单命题的符号化为：
p：3是偶数。 q：2是偶数。 r：2是素数。 s：4是素数。
为了得到复合命题的符号化 形式，我们还必须对五个联 结词进行符号化！
（6）a能被4整除仅当a能被2整除。 p→q
（7）除非a能被2整除，a才能被4整除。 p→q
（8）除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 p→q
（9）只有a能被2整除，a才能被4整除。 p→q
（1）3不是偶数。 Î 非3是偶数。
简单命题：3是偶数。
联结词：非
（2）2是偶素数。
Î 2是偶数并且2是素数。
简单命题：2是偶数。2是素数。 联结词：并且
（3）2或4是素数。
Î 2是素数或4是素数。
简单命题：2是素数。4是素数。 联结词：或
离散数学课件 4.1一阶逻辑命题符号化
说明： x yG(x, y) 和 x yG(x, y)表示的含义不同！
第 10 页
四、符号化
例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1)人都爱美。
(2)有人用左手写字。
个体域分别为：
(a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
解: (a)设F(x):x爱美，G(x):x用左手写字，则
(1) xF(x) (2) xG(x)
， L(x,y): x与y跑得同样快。 (5) ﹁ x y(F(x) G(y) H(x, y)) (6) ﹁ x y(F(x) F(y) L(x, y))
第 16 页
总结和作业
➢ 小结 ◆ 理解个体词、谓词、量词的含义 ◆ 掌握一阶逻辑命题的符号化
➢ 作业（做书上）
课本63-64页 4(1) (3), 5(1) (3)，6 (1) (3) (5)
第1 页
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 命题逻辑的局限性
在命题逻辑中，研究的基本单位是简单命题，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数 量关系。
➢ 一阶逻辑所研究的内容
为了克服命题逻辑的局限性，将简单命题再细分，分 析出个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的 内在联系和数量关系。 ◆ §4.1一阶逻辑命题符号化 ◆ §4.2一阶逻辑公式及解释 ◆ §5.1一阶逻辑等值式与置换规则 ◆ §5.2一阶逻辑前束范式
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 苏格拉底三段论
◆ 所有的人都是要死的。 ◆ 苏格拉底是人。 ◆ 所以，苏格拉底是要死的。 试证明此推理。 解：令p:所有的人都是要死的,q:苏格拉底是人,r:苏格拉底 是要死的，则 前提：p，q 结论：r 推理的形式结构： p Ù q ® r
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四、符号化
例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1)人都爱美。
(2)有人用左手写字。
个体域分别为：
(a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
解: (a)设F(x):x爱美，G(x):x用左手写字，则
(1) xF(x) (2) xG(x)
， L(x,y): x与y跑得同样快。 (5) ﹁ x y(F(x) G(y) H(x, y)) (6) ﹁ x y(F(x) F(y) L(x, y))
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总结和作业
➢ 小结 ◆ 理解个体词、谓词、量词的含义 ◆ 掌握一阶逻辑命题的符号化
➢ 作业（做书上）
课本63-64页 4(1) (3), 5(1) (3)，6 (1) (3) (5)
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第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 命题逻辑的局限性
在命题逻辑中，研究的基本单位是简单命题，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数 量关系。
➢ 一阶逻辑所研究的内容
为了克服命题逻辑的局限性，将简单命题再细分，分 析出个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的 内在联系和数量关系。 ◆ §4.1一阶逻辑命题符号化 ◆ §4.2一阶逻辑公式及解释 ◆ §5.1一阶逻辑等值式与置换规则 ◆ §5.2一阶逻辑前束范式
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 苏格拉底三段论
◆ 所有的人都是要死的。 ◆ 苏格拉底是人。 ◆ 所以，苏格拉底是要死的。 试证明此推理。 解：令p:所有的人都是要死的,q:苏格拉底是人,r:苏格拉底 是要死的，则 前提：p，q 结论：r 推理的形式结构： p Ù q ® r
离散数学课件ppt课件
联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→， ，对于同一优先级的联结词，先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
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例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
离散数学PPT课件 15命题公式及命题符号(ppt文档)
• 注意：命题变元本身不是命题，只有给它一个 解释，才变成命题。
二.合式公式 ( wff ) (well formed formulas)
• 1.定义：
⑴ 单个命题变元是个合式公式。
⑵ 若A是合式公式，则A是合式公式。
⑶ 若A和B是合式公式，则(A∧B)， (A∨B)，(AB)和(AB)都是合式公式.
• 若写成(PQ) (P R)时，当P为F，Q为F时，即天没 下雨而我没上街，此时我说的是假话，但是表达式
(PQ) (P R) 的真值却是“T” ，因为此时(P R)的
真值是“T”。所以这个表达式也不对。
作业： P33 – 1.2, 1.4 , 1.5
1-3 命题公式及命题符号化
一.常值命题与命题变元
• 常值命题：即是我们前面所说的命题。它是有 具体含义 (真值)的。例如：“3是素数。”就 是常值命题。
• 命题变元：用大写的英字母如P、Q等表示任何 命题。称这些字母为命题变元。
• 对命题变元作指派(给命题变元一个解释)：将 一个常值命题赋予命题变元的过程，或者是直 接赋给命题变元真值“T”或“F”的过程。
11
100
十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8
9
二进制数 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001
注:有效数字前加0不影响数值，如000=0，001=1，010=10，011=11
• 为了有序地列出A(P1,P2,…,Pn)的真值表， 可以将F看成0，将T看成1，按照二进制 数00…0, 00…01, 00…010, …, 11…10, 11…1(即十进制的0,1,2,…. ,2n -1)的次序 进行指派列真值表。
• 例5.人不犯我，我不犯人；人若犯写成：(PQ)∧(PQ)
二.合式公式 ( wff ) (well formed formulas)
• 1.定义：
⑴ 单个命题变元是个合式公式。
⑵ 若A是合式公式，则A是合式公式。
⑶ 若A和B是合式公式，则(A∧B)， (A∨B)，(AB)和(AB)都是合式公式.
• 若写成(PQ) (P R)时，当P为F，Q为F时，即天没 下雨而我没上街，此时我说的是假话，但是表达式
(PQ) (P R) 的真值却是“T” ，因为此时(P R)的
真值是“T”。所以这个表达式也不对。
作业： P33 – 1.2, 1.4 , 1.5
1-3 命题公式及命题符号化
一.常值命题与命题变元
• 常值命题：即是我们前面所说的命题。它是有 具体含义 (真值)的。例如：“3是素数。”就 是常值命题。
• 命题变元：用大写的英字母如P、Q等表示任何 命题。称这些字母为命题变元。
• 对命题变元作指派(给命题变元一个解释)：将 一个常值命题赋予命题变元的过程，或者是直 接赋给命题变元真值“T”或“F”的过程。
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十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8
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二进制数 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001
注:有效数字前加0不影响数值，如000=0，001=1，010=10，011=11
• 为了有序地列出A(P1,P2,…,Pn)的真值表， 可以将F看成0，将T看成1，按照二进制 数00…0, 00…01, 00…010, …, 11…10, 11…1(即十进制的0,1,2,…. ,2n -1)的次序 进行指派列真值表。
• 例5.人不犯我，我不犯人；人若犯写成：(PQ)∧(PQ)
离散数学第一章PPT课件
R 0 1 0 1 0 1 0 1
Assignments（作业）
第30页: 4
1.3 公式分类与等价式
1.3.1 公式分类 1.3.2 等价公式（等值演算） 1.3.3 基本等价式----命题定律 1.3.4 代入规则和替换规则 1.3.5 证明命题公式等价的方法
1.3.1 公式分类
定义1.13 设A是一个命题公式，对A所有可能的解释： (1)若A都为真，称A为永真式或重言式。
(2)若A都为假，称A为永假式或矛盾式。
(3)若至少存在一个解释使得A为真，称A为可满足式。
例1 从上一节真值表可知，命题公式(PQ)(P∨Q)为 重言式，(PQ)∧Q为矛盾式，PQ)∧R为可满足式。
注： 1、 永真式必为可满足式，反之则不然；永真式的否定是永 假式，反之亦然； 2、 决定一个公式是否是一个永真式、永假式或可满足式有 三种方法：真值表法（适用于变元少而简单的公式）、求主范
1.否定词(negation connective )﹁
定义1.4 复合命题“非P”称为命题P的否定，记作
P，读作非P。 P为真当且仅当P为假。
例3 设 P：离散数学是计算机专业的核心课程， 则 P:离散数学不是计算机专业的核心课 程。
2.合取词(conjunction connective )∧
命题符号化的目的在于用五个联结词将日 常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题， 其关键在于对自然语言中语句之间的逻辑关系 以及命题联结词的含义要有正确的理解，使用 适当的联结词： （1）确定语句是否是一个命题；
（2）找出句中连词，用适当的命题联结词表
示。
Assignments（作业）
第30页: 3（偶数小题）
定义1.12 设A是含有n个命题变元的命题 公式，将命题公式A在所有赋值之下取值的情 况汇列成表，称为A的真值表( truth table )。 为列出一个公式的真值表，我们约定： ①命题变元按字典序排列；②对公式的每个 解释，以二进制从小到大列出；③当公式较 复杂时，可先列出子公式的真值，最后列出 所给公式的真值。
离散数学讲义 第二章命题逻辑PPT课件
解 令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
于是上述命题可表示为P→Q。
7
5．等值“”
定义2.2.5 设P和Q是两个命题，则它们的等值命
题是一个复合命题，称为等值式复合命题，记作“P Q” （读作“P当且仅当Q”）。
当P和Q的真值相同时,PQ取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
德.摩根定律
E11
PQP∨Q
E12
P Q (P∧Q)∨(P∧Q)
E13
P (QR) (P∧Q) R
E14
P Q (PQ)∧(QP)
E15
PQQP
23
三、等价式的判别
有两种方法：真值表方法，命题演算方法
1、真值表方法
例1 用真值表方法证明 E10： (PQ) PQ
解 令：A= (PQ)，B= PQ，构造A，B
一个复合命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
例8 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起；
R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真的.
例9 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜
就读完它。”符号化。
对于上述五种联结词，应注意到： 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真 值，而与这些原子命题的内容含义无关。
9
命题符号化
利用联结词可以把许多日常语句符号化。基本步骤如下：
离散数学命题逻辑1.ppt
当命题变元P用一个特定命题去取代时， 才能确定P的真值， 这时也称对P进行指派。 例： 若P是命题变元，
P：北京是中国的首都。（指派P为命题北京是中国的 首都）
14
离散数学
命题——小结 判断一句话是否是命题的步骤：
1）看它是否是陈述句，如果是疑问句、感叹句和祈使句则不 是命题； 2）看它是否是悖论，悖论不是命题，如“我正在说谎”； 3）看它真值是否唯一，如果不唯一，则不是命题。
29
离散数学
联结词———小结 1. 复合命题的真值只取决于构成它们的原子命题的真值和命
题联结符的定义，而与它们的内容、含义无关，与联结词所 连接的两个原子命题之间是否有关系无关。 2. ，和具有可交换性，而，没有。
30
离散数学
联结词———小结
1.“只要(若、当)A成立，则B成立” ：AB 2.“仅当A成立时,B成立”和“只有A成立时，B成立”：
9
离散数学
命题示例2 某些感叹句、祈使句、疑问句等没有真假之分，所以不是
命题。 明天开会吗？ 多美妙啊！ 请进来。 全体立正。
10
离散数学
判断语句是否为命题要注意的问题：
目前无法确定真值，但从本质而言，真值存在的语句是命题。 例： (1) 别的星球上有生物。
(2) 2046年世界杯在中国举行。
离散数学
命题的表示 [定义]命题标识符：表示命题的符号，通常是大写英文字母。 [定义]命题符号化：将表示命题的符号放在该命题的前面。
例：P：北京是中国的首都。 Q：北京承办2008年奥运。
13
离散数学
命题的表示（续） [定义]命题常量：表示确定命题的命题标识符。
[定义]命题变元：可表示任意一个（原子或复合）命题的命 题标识符，就称为命题变元。当命题变元表示原子命题时， 该变元称为原子变元。
P：北京是中国的首都。（指派P为命题北京是中国的 首都）
14
离散数学
命题——小结 判断一句话是否是命题的步骤：
1）看它是否是陈述句，如果是疑问句、感叹句和祈使句则不 是命题； 2）看它是否是悖论，悖论不是命题，如“我正在说谎”； 3）看它真值是否唯一，如果不唯一，则不是命题。
29
离散数学
联结词———小结 1. 复合命题的真值只取决于构成它们的原子命题的真值和命
题联结符的定义，而与它们的内容、含义无关，与联结词所 连接的两个原子命题之间是否有关系无关。 2. ，和具有可交换性，而，没有。
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离散数学
联结词———小结
1.“只要(若、当)A成立，则B成立” ：AB 2.“仅当A成立时,B成立”和“只有A成立时，B成立”：
9
离散数学
命题示例2 某些感叹句、祈使句、疑问句等没有真假之分，所以不是
命题。 明天开会吗？ 多美妙啊！ 请进来。 全体立正。
10
离散数学
判断语句是否为命题要注意的问题：
目前无法确定真值，但从本质而言，真值存在的语句是命题。 例： (1) 别的星球上有生物。
(2) 2046年世界杯在中国举行。
离散数学
命题的表示 [定义]命题标识符：表示命题的符号，通常是大写英文字母。 [定义]命题符号化：将表示命题的符号放在该命题的前面。
例：P：北京是中国的首都。 Q：北京承办2008年奥运。
13
离散数学
命题的表示（续） [定义]命题常量：表示确定命题的命题标识符。
[定义]命题变元：可表示任意一个（原子或复合）命题的命 题标识符，就称为命题变元。当命题变元表示原子命题时， 该变元称为原子变元。
离散数学一阶逻辑命题符号化ppt课件
例如: 逻辑学中著名的三段论:
凡偶数都能被2整除. 6是偶数. 所以, 6能被2整除.
这个推理是数学中的真命题, 是正确的, 但在命题逻辑中却无 法判断其正确性, 用p,q,r分别表示以上三个命题. 则得到推理的形式结构为:
(p∧q)→r
由于上式不是重言式, 因而不能由它判断推理的正确性. 原因 在于各命题的内在联系没有表示出来. 为了克服命题逻辑的局限性, 应该将原子命题再细分, 分析出 个体词, 谓词和量词, 以便达到表达出命题的内在联系和命题 之间的逻辑关系. 这就是一阶逻辑所研究的内容.
解
(1) 令M(x): x 为实数 ; F(x): x能写成整数之比. 则
x (M(x)→ F(x))
不是 x (M(x) ∧ F(x))
假命题
(2) 令M(x): x 为素数; G(x): x为偶数. 则
x (M(x)∧G(x))
不是 x (M(x) → G(x))
真命题
(3) 令M(x): x 是人; H(x): x登上过木星. 则
2. 谓词: 用来刻划个体词的性质或个体词之间相互关系的词. 例如: (1) 在命题“是无理数”中, “…是无理数”是谓词.
(2) 在命题“x 是有理数”中, “…是有理数”是谓词. (3) 在命题“小王与小李同岁”中, “…与…同岁”是谓词. (4) 在命题“x与y具有关系L”中, “…与…具有关系L”是谓词. 注 ① 常用大写字母F, G, H 等来表示谓词. ② 表示具体性质或关系的谓词称为谓词常项; 表示抽象或泛指的性质或关系的谓词称为谓词变项. ③ F(a): 表示个体常项a具有性质F (F是谓词常项或变项); F(x): 表示个体变项x具有性质F (F同上); F(a,b): 表示个体常项a, b具有关系F (同上); F(x,y): 表示个体变项 x, y具有关系F (同上) . 一般地, 用P(x1,x2,…,xn)表示含n(n≥1)个个体变项x1,x2,…,xn 的n元谓词. 它可看成以个体域为定义域, 以{0,1}为值域的n元函数关系. 当P取常项, 且(x1,x2,…,xn)取定常项(a1,a2,…,an)时, P(a1,a2,…,an)是一个命 题.
凡偶数都能被2整除. 6是偶数. 所以, 6能被2整除.
这个推理是数学中的真命题, 是正确的, 但在命题逻辑中却无 法判断其正确性, 用p,q,r分别表示以上三个命题. 则得到推理的形式结构为:
(p∧q)→r
由于上式不是重言式, 因而不能由它判断推理的正确性. 原因 在于各命题的内在联系没有表示出来. 为了克服命题逻辑的局限性, 应该将原子命题再细分, 分析出 个体词, 谓词和量词, 以便达到表达出命题的内在联系和命题 之间的逻辑关系. 这就是一阶逻辑所研究的内容.
解
(1) 令M(x): x 为实数 ; F(x): x能写成整数之比. 则
x (M(x)→ F(x))
不是 x (M(x) ∧ F(x))
假命题
(2) 令M(x): x 为素数; G(x): x为偶数. 则
x (M(x)∧G(x))
不是 x (M(x) → G(x))
真命题
(3) 令M(x): x 是人; H(x): x登上过木星. 则
2. 谓词: 用来刻划个体词的性质或个体词之间相互关系的词. 例如: (1) 在命题“是无理数”中, “…是无理数”是谓词.
(2) 在命题“x 是有理数”中, “…是有理数”是谓词. (3) 在命题“小王与小李同岁”中, “…与…同岁”是谓词. (4) 在命题“x与y具有关系L”中, “…与…具有关系L”是谓词. 注 ① 常用大写字母F, G, H 等来表示谓词. ② 表示具体性质或关系的谓词称为谓词常项; 表示抽象或泛指的性质或关系的谓词称为谓词变项. ③ F(a): 表示个体常项a具有性质F (F是谓词常项或变项); F(x): 表示个体变项x具有性质F (F同上); F(a,b): 表示个体常项a, b具有关系F (同上); F(x,y): 表示个体变项 x, y具有关系F (同上) . 一般地, 用P(x1,x2,…,xn)表示含n(n≥1)个个体变项x1,x2,…,xn 的n元谓词. 它可看成以个体域为定义域, 以{0,1}为值域的n元函数关系. 当P取常项, 且(x1,x2,…,xn)取定常项(a1,a2,…,an)时, P(a1,a2,…,an)是一个命 题.
离散数学第一章命题逻辑PPT课件
如：
P: 明天下雪,
Q: 明天下雨
是两个命题, 利用联结词“不”, “并且”, “或”等可构成新
命题:
“明天不下雪”；
“明天下雪并且下雨”；
“明天下雪或下雨”等 。
11/20/2020
chapter1
8
1.2 联结词
即： “非P”； “P并且Q”； “P或Q”等 。 在代数式x+3 中, x , 3 叫运算对象, +叫运算符,
断言是一陈述语句。一个命题是一个或真或假而不能 两者都是的断言。如果命题是真, 我们说它的真值为真； 如果命题是假，我们说它的真值是假。
11/20/2020
chapter1
2
1.1 命题及其表示法
【例1 】判定下列各语句是否为命题：
(a) 巴黎在法国。
（是）
(b) 煤是白色的。（是）Biblioteka (c) 3+2=5
为方便起见，公式最外层的括号可省略。有时为了
看起来清楚醒目, 也可保留某些原可省去的括号。
11/20/2020
chapter1
18
1.3 命题公式
单个命题变元和命题常元叫原子公式。由以下形成
规则生成的公式叫命题公式 (简称公式):
(1) 单个原子公式A、B是命题公式。
(2) 如果A和B是命题公式, 则(┐A) , (A∧B) , (A∨B) ,
第一章 命题逻辑
Proposition Logic
1.1 命题及其表示法 1.2 联结词 1.3 命题公式与翻译 1.4 重言式、矛盾式、可满足公式 1.5 等价与蕴含 1.6 推理理论
1.1 命题及其表示法
1、命题 命题——非真即假的陈述句。
离散数学之命题符号化 ppt课件
是合式公式 (2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB),
(AB)也是合式公式 (4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是
合式公式 说明: 外层括号可以省去
25
合式公式的层次
定义 (1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式. (2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：
17
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“”
定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式 的前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词， 并规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
18
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
共有 2 2n 个n元真值函数.
例如 F:{0,1}2{0,1}，且F(00)=F(01)=F(11)=0， F(01)=1，则F为一个确定的2元真值函数.
33
命题公式与真值函数
对于任何一个含n个命题变项的命题公式A，都存在 惟一的一个n元真值函数F为A的真值表. 等值的公式对应的真值函数相同. 下表给出所有2元真值函数对应的真值表, 每一个含 2个命题变项的公式的真值表都可以在下表中找到.
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
教材与教学参考书
教材：
耿素云、屈婉玲、张立昂，离散数学（第五 版），清华大学出版社, 2013.
(AB)也是合式公式 (4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是
合式公式 说明: 外层括号可以省去
25
合式公式的层次
定义 (1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式. (2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：
17
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“”
定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式 的前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词， 并规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
18
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
共有 2 2n 个n元真值函数.
例如 F:{0,1}2{0,1}，且F(00)=F(01)=F(11)=0， F(01)=1，则F为一个确定的2元真值函数.
33
命题公式与真值函数
对于任何一个含n个命题变项的命题公式A，都存在 惟一的一个n元真值函数F为A的真值表. 等值的公式对应的真值函数相同. 下表给出所有2元真值函数对应的真值表, 每一个含 2个命题变项的公式的真值表都可以在下表中找到.
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
教材与教学参考书
教材：
耿素云、屈婉玲、张立昂，离散数学（第五 版），清华大学出版社, 2013.
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葫蘆，假裝唸了一些咒語，然後說：「啊哈！如果碰到從東方來的人，你就會賺到錢。」 當天晚上，賣碗商高興的跑來找算命仙。『真是謝謝您，我真的碰到來自東方的人，結果
賺了很多錢，您真是太準了。』算命仙笑著說：「那是當然的，以後歡迎再來算命啊。」 當賣碗商回去後，麥芽糖商人氣呼呼地找來了。『根本就不準嘛！我今天遇到從東方來的
•
大人常對小孩說：「如果你乖乖，我就給你糖吃。」不知道有沒
有小孩了解，即使不乖，還是可能有糖可吃這件事呢？
离散数学 第一章 命题逻辑
5
说明： 1、形式蕴涵与实质蕴涵：
在数理逻辑中，即使P、Q没有内在联系 ， P→Q 仍有意义。 2、 蕴涵式P→Q 有多种形式：
若P，则Q P是Q的充分条件 Q是P的必要条件 仅当Q则P Q每当P P仅当Q 3、逆命题，反命题，逆反命题： 给定P→Q， 则Q→P， ¬P→ ¬ Q ， ¬ Q→ ¬ P分别叫做P→Q的逆命题、反 命题、逆反命题。
最後賣肉的商人也來了。『今天我的確是賺到了錢，但不是碰到來自東方的人，而是來自 北方的人。所以你算錯了吧？』算命仙露出一付不可理喻的表情說：「嘿，這位兄弟，我是說 你如果碰到從東方來的人就會賺錢，何時說你碰到從北方來的人就不會賺錢啊？我可沒這麼說 喔。」賣肉商人覺得有理，點點頭回去了。
當所有商人回去後，算命仙露出笑容：「賺錢真是簡單啊！四個人來算命都給一樣的答案 ，竟然有三個是準確的，足足賺了三千啊。嘻嘻嘻！」
2
條件否定¬(P→Q)的真值表:
P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
于是得到：¬(P→Q) 与 P∧¬Q 等价。
P∧¬Q 0 0 1 0
換個角度來看，既然下雨地就會溼；那麼如果地是乾的，就一定是沒有下雨。 下面的真偽值表可以反應這個關係：
P
Q
¬Q → ¬P
0
0
1
0111001
1
1
「非 Q則非P」為「若 P 則 Q」之逆否命題（contrapositive），和「若 P 則 Q 」 為等價之命題。我們稱 Q 為 P之必要條件。
当P和Q的真值相同时,P↔Q取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
非本仓库工作人员，一律不得入内。
解
令P：某人是仓库工作人员；
Q：某人可以进入仓库。
则上述命题可表示为P↔Q。
离散数学 第一章 命题逻辑
8
例11 黄山比喜马拉雅山高，当且仅当3是素数
令P：黄山比喜马拉雅山高；Q：3是素数 本例可符号化为PQ
的說法則为「如果 P 就 Q」，意思是如果 P 是真那麼 Q 也一定为真。 例如：「如果下雨地就是溼的。」「若P則Q 」的真偽值表如下：
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
在這種情形之下，P稱為 Q 的充分條件。我們注意到「 P→Q 」為 偽只發生在 P 為真及 Q 為偽的情況下。
离散数学 第一章 命题逻辑
4. 蕴含“→”
定义1-4 由命题P和Q利用“→”组成的复合命题，称为蕴含式复合
命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
例8 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜就读完它。”符
号化。
解
令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
人，卻一毛錢也沒賺到！』算命仙摸著下巴說：「那就奇怪了，不過既然不準，錢就還給你吧 。」
當麥芽糖商人回去後，糕餅商人也怒氣衝天的跑進來。『今天我都沒賺到錢，把我的錢還 給我！』算命仙停頓了一下，問說：「那麼，是否有碰到來自東方的人呢？」糕餅商搔著頭說 ：『沒有耶，只碰到來自南方的人。』「那就對啦，我是說你如果碰到從東方來的人就會賺錢 ，可沒說碰到從南方來的人會賺錢啊。」糕餅商聽這話似乎有理，就回去了。
离散数学 第一章 命题逻辑
3
例：算命仙的神機妙算 從前，在某市住著一位算命仙。他家門口掛了一個招牌寫著：“神機妙算，一回一千元！
如果算得不準，保證退錢”商人們看了，都爭相來算命。 第一個來算命的是賣碗的商人。算命仙收了一千元後，假裝唸了一些咒語，說：「啊哈！
如果碰到從東方來的人，你就會賺到錢。」商人想到今天會賺錢，就開開心心地離開了。 之後又有賣麥芽糖的商人、賣糕餅的商人與賣肉的商人前來算命，算命仙都對他們依樣畫
离散数学 第一章 命题逻辑
4
• 故事中的算命仙就是巧妙地運用了這種條件命題而賺到錢的。讓我們 來研究一下他是如何辦到的。
•
我們考慮“ P= 碰上來自東方的人，Q= 賺到錢 ”有四種情形會發
生：
1. 碰到來自東方的人，而賺到錢。
2. 碰到來自東方的人，但沒有賺到錢。
3. 沒有碰到來自東方的人，而賺到錢。
离散数学 第一章 命题逻辑
6
例. P： 月亮下山 Q： 3+3=6
则P→Q： 若月亮下山,则3+3=6 （并没有实质蕴含关系，仍承认）
Q→P： 叫做P→Q的逆命题 ┐P→┐Q ： 叫做P→Q的反命题 ┐Q→┐P： 叫做P→Q的逆反命题
离散数学 第一章 命题逻辑
7
5．等值“↔”
定义1-5 由命题P和Q，利用“↔”组成的复合命题，称为等值式 复合命题，记作“P↔Q” （读作“P当且仅当Q”）。
从汉语的语义看，P与Q之间并无联系，但就联结 词的定义来看，因为P的真值为假，Q的真值为真， 所以PQ的真值为假。
对于上述五种联结词，应注意到： 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真 值，而与这些原子命题的内容含义无关。
于是上述命题可表示为P→Q。
例9 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起； 1 R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真离散的数. 学 第一章 命题逻辑
• 蘊涵（條件）「如果…就…」的意义：
• 兩個命題 P,Q可以用「若P則Q」(if P then Q) 的蘊涵
（implication）方式連接，逻辑符号的表法为 P→Q 。中文口語上
4. 沒有碰到來自東方的人，也沒賺到錢。
• 然而，算命仙算不準的情形即是「如果 p 就 q」為偽的情形。上面的真 偽值表清楚的顯示只有在 3 的情形之下才會發生。所以，用「如果 p 就 q」的方法幫人家算命，總會有四分之三機率是準確的。因此，即使 承諾「如果算不準就退錢」，算命仙仍然可能賺到錢。因為，算不準 的機準只有四分之一。小心別上當哦！
賺了很多錢，您真是太準了。』算命仙笑著說：「那是當然的，以後歡迎再來算命啊。」 當賣碗商回去後，麥芽糖商人氣呼呼地找來了。『根本就不準嘛！我今天遇到從東方來的
•
大人常對小孩說：「如果你乖乖，我就給你糖吃。」不知道有沒
有小孩了解，即使不乖，還是可能有糖可吃這件事呢？
离散数学 第一章 命题逻辑
5
说明： 1、形式蕴涵与实质蕴涵：
在数理逻辑中，即使P、Q没有内在联系 ， P→Q 仍有意义。 2、 蕴涵式P→Q 有多种形式：
若P，则Q P是Q的充分条件 Q是P的必要条件 仅当Q则P Q每当P P仅当Q 3、逆命题，反命题，逆反命题： 给定P→Q， 则Q→P， ¬P→ ¬ Q ， ¬ Q→ ¬ P分别叫做P→Q的逆命题、反 命题、逆反命题。
最後賣肉的商人也來了。『今天我的確是賺到了錢，但不是碰到來自東方的人，而是來自 北方的人。所以你算錯了吧？』算命仙露出一付不可理喻的表情說：「嘿，這位兄弟，我是說 你如果碰到從東方來的人就會賺錢，何時說你碰到從北方來的人就不會賺錢啊？我可沒這麼說 喔。」賣肉商人覺得有理，點點頭回去了。
當所有商人回去後，算命仙露出笑容：「賺錢真是簡單啊！四個人來算命都給一樣的答案 ，竟然有三個是準確的，足足賺了三千啊。嘻嘻嘻！」
2
條件否定¬(P→Q)的真值表:
P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
于是得到：¬(P→Q) 与 P∧¬Q 等价。
P∧¬Q 0 0 1 0
換個角度來看，既然下雨地就會溼；那麼如果地是乾的，就一定是沒有下雨。 下面的真偽值表可以反應這個關係：
P
Q
¬Q → ¬P
0
0
1
0111001
1
1
「非 Q則非P」為「若 P 則 Q」之逆否命題（contrapositive），和「若 P 則 Q 」 為等價之命題。我們稱 Q 為 P之必要條件。
当P和Q的真值相同时,P↔Q取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
非本仓库工作人员，一律不得入内。
解
令P：某人是仓库工作人员；
Q：某人可以进入仓库。
则上述命题可表示为P↔Q。
离散数学 第一章 命题逻辑
8
例11 黄山比喜马拉雅山高，当且仅当3是素数
令P：黄山比喜马拉雅山高；Q：3是素数 本例可符号化为PQ
的說法則为「如果 P 就 Q」，意思是如果 P 是真那麼 Q 也一定为真。 例如：「如果下雨地就是溼的。」「若P則Q 」的真偽值表如下：
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
在這種情形之下，P稱為 Q 的充分條件。我們注意到「 P→Q 」為 偽只發生在 P 為真及 Q 為偽的情況下。
离散数学 第一章 命题逻辑
4. 蕴含“→”
定义1-4 由命题P和Q利用“→”组成的复合命题，称为蕴含式复合
命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
例8 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜就读完它。”符
号化。
解
令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
人，卻一毛錢也沒賺到！』算命仙摸著下巴說：「那就奇怪了，不過既然不準，錢就還給你吧 。」
當麥芽糖商人回去後，糕餅商人也怒氣衝天的跑進來。『今天我都沒賺到錢，把我的錢還 給我！』算命仙停頓了一下，問說：「那麼，是否有碰到來自東方的人呢？」糕餅商搔著頭說 ：『沒有耶，只碰到來自南方的人。』「那就對啦，我是說你如果碰到從東方來的人就會賺錢 ，可沒說碰到從南方來的人會賺錢啊。」糕餅商聽這話似乎有理，就回去了。
离散数学 第一章 命题逻辑
3
例：算命仙的神機妙算 從前，在某市住著一位算命仙。他家門口掛了一個招牌寫著：“神機妙算，一回一千元！
如果算得不準，保證退錢”商人們看了，都爭相來算命。 第一個來算命的是賣碗的商人。算命仙收了一千元後，假裝唸了一些咒語，說：「啊哈！
如果碰到從東方來的人，你就會賺到錢。」商人想到今天會賺錢，就開開心心地離開了。 之後又有賣麥芽糖的商人、賣糕餅的商人與賣肉的商人前來算命，算命仙都對他們依樣畫
离散数学 第一章 命题逻辑
4
• 故事中的算命仙就是巧妙地運用了這種條件命題而賺到錢的。讓我們 來研究一下他是如何辦到的。
•
我們考慮“ P= 碰上來自東方的人，Q= 賺到錢 ”有四種情形會發
生：
1. 碰到來自東方的人，而賺到錢。
2. 碰到來自東方的人，但沒有賺到錢。
3. 沒有碰到來自東方的人，而賺到錢。
离散数学 第一章 命题逻辑
6
例. P： 月亮下山 Q： 3+3=6
则P→Q： 若月亮下山,则3+3=6 （并没有实质蕴含关系，仍承认）
Q→P： 叫做P→Q的逆命题 ┐P→┐Q ： 叫做P→Q的反命题 ┐Q→┐P： 叫做P→Q的逆反命题
离散数学 第一章 命题逻辑
7
5．等值“↔”
定义1-5 由命题P和Q，利用“↔”组成的复合命题，称为等值式 复合命题，记作“P↔Q” （读作“P当且仅当Q”）。
从汉语的语义看，P与Q之间并无联系，但就联结 词的定义来看，因为P的真值为假，Q的真值为真， 所以PQ的真值为假。
对于上述五种联结词，应注意到： 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真 值，而与这些原子命题的内容含义无关。
于是上述命题可表示为P→Q。
例9 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起； 1 R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真离散的数. 学 第一章 命题逻辑
• 蘊涵（條件）「如果…就…」的意义：
• 兩個命題 P,Q可以用「若P則Q」(if P then Q) 的蘊涵
（implication）方式連接，逻辑符号的表法为 P→Q 。中文口語上
4. 沒有碰到來自東方的人，也沒賺到錢。
• 然而，算命仙算不準的情形即是「如果 p 就 q」為偽的情形。上面的真 偽值表清楚的顯示只有在 3 的情形之下才會發生。所以，用「如果 p 就 q」的方法幫人家算命，總會有四分之三機率是準確的。因此，即使 承諾「如果算不準就退錢」，算命仙仍然可能賺到錢。因為，算不準 的機準只有四分之一。小心別上當哦！