离散数学命题符号化课件

离散数学 第一章 命题逻辑
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例：算命仙的神機妙算 從前，在某市住著一位算命仙。他家門口掛了一個招牌寫著：“神機妙算，一回一千元！
如果算得不準，保證退錢”商人們看了，都爭相來算命。 第一個來算命的是賣碗的商人。算命仙收了一千元後，假裝唸了一些咒語，說：「啊哈！
如果碰到從東方來的人，你就會賺到錢。」商人想到今天會賺錢，就開開心心地離開了。 之後又有賣麥芽糖的商人、賣糕餅的商人與賣肉的商人前來算命，算命仙都對他們依樣畫
4. 沒有碰到來自東方的人，也沒賺到錢。
• 然而，算命仙算不準的情形即是「如果 p 就 q」為偽的情形。上面的真 偽值表清楚的顯示只有在 3 的情形之下才會發生。所以，用「如果 p 就 q」的方法幫人家算命，總會有四分之三機率是準確的。因此，即使 承諾「如果算不準就退錢」，算命仙仍然可能賺到錢。因為，算不準 的機準只有四分之一。小心別上當哦！
葫蘆，假裝唸了一些咒語，然後說：「啊哈！如果碰到從東方來的人，你就會賺到錢。」 當天晚上，賣碗商高興的跑來找算命仙。『真是謝謝您，我真的碰到來自東方的人，結果
賺了很多錢，您真是太準了。』算命仙笑著說：「那是當然的，以後歡迎再來算命啊。」 當賣碗商回去後，麥芽糖商人氣呼呼地找來了。『根本就不準嘛！我今天遇到從東方來的
于是上述命题可表示为P→Q。
例9 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起； 1 R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真离散的数. 学 第一章 命题逻辑
• 蘊涵（條件）「如果…就…」的意义：
• 兩個命題 P,Q可以用「若P則Q」(if P then Q) 的蘊涵
（implication）方式連接，逻辑符号的表法为 P→Q 。中文口語上
•
大人常對小孩說：「如果你乖乖，我就給你糖吃。」不知道有沒
有小孩了解，即使不乖，還是可能有糖可吃這件事呢？
离散数学 第一章 命题逻辑
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说明： 1、形式蕴涵与实质蕴涵：
在数理逻辑中，即使P、Q没有内在联系 ， P→Q 仍有意义。 2、 蕴涵式P→Q 有多种形式：
若P，则Q P是Q的充分条件 Q是P的必要条件 仅当Q则P Q每当P P仅当Q 3、逆命题，反命题，逆反命题： 给定P→Q， 则Q→P， ¬P→ ¬ Q ， ¬ Q→ ¬ P分别叫做P→Q的逆命题、反 命题、逆反命题。
最後賣肉的商人也來了。『今天我的確是賺到了錢，但不是碰到來自東方的人，而是來自 北方的人。所以你算錯了吧？』算命仙露出一付不可理喻的表情說：「嘿，這位兄弟，我是說 你如果碰到從東方來的人就會賺錢，何時說你碰到從北方來的人就不會賺錢啊？我可沒這麼說 喔。」賣肉商人覺得有理，點點頭回去了。
當所有商人回去後，算命仙露出笑容：「賺錢真是簡單啊！四個人來算命都給一樣的答案 ，竟然有三個是準確的，足足賺了三千啊。嘻嘻嘻！」
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例. P： 月亮下山 Q： 3+3=6
则P→Q： 若月亮下山,则3+3=6 （并没有实质蕴含关系，仍承认）
Q→P： 叫做P→Q的逆命题 ┐P→┐Q ： 叫做P→Q的反命题 ┐Q→┐P： 叫做P→Q的逆反命题
离散数学 第一章 命题逻辑
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5．等值“↔”
定义1-5 由命题P和Q，利用“↔”组成的复合命题，称为等值式 复合命题，记作“P↔Q” （读作“P当且仅当Q”）。
4. 蕴含“→”
定义1-4 由命题P和Q利用“→”组成的复合命题，称为蕴含式复合
命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
例8 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜就读完它。”符
号化。
解
令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
从汉语的语义看，P与Q之间并无联系，但就联结 词的定义来看，因为P的真值为假，Q的真值为真， 所以PQ的真值为假。
对于上述五种联结词，应注意到： 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真 值，而与这些原子命题的内容含义无关。
当P和Q的真值相同时,P↔Q取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
非本仓库工作人员，一律不得入内。
解
令P：某人是仓库工作人员；
Q：某人可以进入仓库。
则上述命题可表示为P↔Q。
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例11 黄山比喜马拉雅山高，当且仅当3是素数
令P：黄山比喜马拉雅山高；Q：3是素数 本例可符号化为PQ
离散数学 第一章 命题逻辑
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• 故事中的算命仙就是巧妙地運用了這種條件命題而賺到錢的。讓我們 來研究一下他是如何辦到的。
•
我們考慮“ P= 碰上來自東方的人，Q= 賺到錢 ”有四種情形會發
生：
1. 碰到來自東方的人，而賺到錢。
2. 碰到來自東方的人，但沒有賺到錢。
3. 沒有碰到來自東方的人，而賺到錢。
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條件否定¬(P→Q)的真值表:
P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
于是得到：¬(P→Q) 与 P∧¬Q 等价。
P∧¬Q 0 0 1 0
換個角度來看，既然下雨地就會溼；那麼如果地是乾的，就一定是沒有下雨。 下面的真偽值表可以反應這個關係：
P
Q
¬Q → ¬P
0
0
1
Biblioteka Baidu
0
1
1
1
0
0
1
1
1
「非 Q則非P」為「若 P 則 Q」之逆否命題（contrapositive），和「若 P 則 Q 」 為等價之命題。我們稱 Q 為 P之必要條件。
的說法則为「如果 P 就 Q」，意思是如果 P 是真那麼 Q 也一定为真。 例如：「如果下雨地就是溼的。」「若P則Q 」的真偽值表如下：
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
在這種情形之下，P稱為 Q 的充分條件。我們注意到「 P→Q 」為 偽只發生在 P 為真及 Q 為偽的情況下。
离散数学 第一章 命题逻辑
人，卻一毛錢也沒賺到！』算命仙摸著下巴說：「那就奇怪了，不過既然不準，錢就還給你吧 。」
當麥芽糖商人回去後，糕餅商人也怒氣衝天的跑進來。『今天我都沒賺到錢，把我的錢還 給我！』算命仙停頓了一下，問說：「那麼，是否有碰到來自東方的人呢？」糕餅商搔著頭說 ：『沒有耶，只碰到來自南方的人。』「那就對啦，我是說你如果碰到從東方來的人就會賺錢 ，可沒說碰到從南方來的人會賺錢啊。」糕餅商聽這話似乎有理，就回去了。