数学月考试卷

合集下载

湖南省长沙市2025届高三上学期第二次月考数学试卷含答案

湖南省长沙市2025届高三上学期第二次月考数学试卷含答案

湖南2025届高三月考试卷(二)数学(答案在最后)命题人、审题人:高三数学备课组时量:120分钟满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数11i z =+的虚部是()A.1 B.12 C.12- D.1-【答案】C【解析】【分析】先化简给定复数,再利用虚部的定义求解即可.【详解】因为()()11i 1i 1i 1i 1i 1i 222z --====-++-,所以其虚部为12-,故C 正确.故选:C.2.已知a 是单位向量,向量b 满足3a b -= ,则b 的最大值为()A.2B.4C.3D.1【答案】B【解析】【分析】设,OA a OB b == ,由3a b -= ,可得点B 在以A 为圆心,3为半径的圆上,利用向量的模的几何意义,可得 b 的最大值.【详解】设,OA a OB b == ,因为3a b -= ,即3OA OB BA -== ,即3AB = ,所以点B 在以A 为圆心,3为半径的圆上,又a 是单位向量,则1OA = ,故OB 最大值为134OA AB +=+= ,即 b 的最大值为4.故选:B.3.已知角θ的终边在直线2y x =上,则cos sin cos θθθ+的值为()A.23- B.13- C.23 D.13【答案】D【解析】【分析】由角θ的终边,得tan 2θ=,由同角三角函数的关系得cos 1sin cos 1tan θθθθ=++,代入求值即可.【详解】因为角θ的终边在直线2y x =上,所以tan 2θ=.所以cos 111sin cos 1tan 123θθθθ===+++.故选:D.4.已知函数()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩对任意的12,x x ∈R ,且12x x ≠,总满足以下不等关系:()()12120f x f x x x ->-,则实数a 的取值范围为()A.34a ≤ B.34a ≥ C.1a ≤ D.1a ≥【答案】D【解析】【分析】由条件判定函数的单调性,再利用指数函数、二次函数的性质计算即可.【详解】()()()12120f x f x f x x x ->⇒- 在上单调递增,又()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩,当0x <时,()e 33xf x a =+-单调递增,当0x ≥时,()f x 单调递增,只需1330a a +-≤+,解得1a ≥.故选:D.5.如图,圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径,且AB CD ⊥,三棱锥A BCD -的体积为83,则圆柱的表面积为()A.10πB.9π2C.4πD.8π【答案】A【解析】【分析】取AB 的中点O ,由13A BCD OCD V S AB -=⋅△,可求解底面半径,即可求解.【详解】设底面圆半径为r ,由AB CD ⊥,易得BC AC BD AD ===,取AB 的中点O ,连接,OC OD ,则,AB OC AB OD ⊥⊥,又OC OD O,OC,OD =⊂ 平面OCD ,所以AB ⊥平面OCD ,所以,11182423323A BCD OCD V S AB r r -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ,解得=1,所以圆柱表面积为22π42π10πr r +⨯=.故选:A.6.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2,过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点,则23AF BF +的最小值为()A.52+ B.5 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】(方法一)首先求出抛物线C 的方程为24y x =,设直线l 的方程为:1x ty =+,与抛物线C 的方程联立,利用根与系数的关系求出21x x 的值,再根据抛物线的定义知11AF x =+,21BF x =+,从而求出23AF BF +的最小值即可.(方法二)首先求出111AF BF+=,再利用基本不等式即可求解即可.【详解】(方法一)因为抛物线C 的焦点到准线的距离为2,故2p =,所以抛物线C 的方程为24y x =,焦点坐标为1,0,设直线l 的方程为:()()11221,,,,x ty A x y B x y =+,不妨设120y y >>,联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩,整理得2440y ty --=,则12124,4y y t y y +==-,故221212144y y x x =⋅=,又B =1+2=1+1,2212p BF x x =+=+,则()()12122321312352525AF BF x x x x +=+++=++≥=,当且仅当12,23x x ==时等号成立,故23AF BF +的最小值为5.故选:B.(方法二)由方法一可得121x x =,则11AF BF +211111x x =+++121212211x x x x x x ++==+++,因此23AF BF +()1123AF BF AF BF ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭235AF BF BF AF =++55≥+=+,当且仅当661,123AF BF =+=+时等号成立,故23AF BF +的最小值为5.故选:B.7.设函数()()cos f x x ϕ=+,其中π2ϕ<.若R x ∀∈,都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()y f x =的图象与直线114y x =-的交点个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用给定条件求出()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,再作出图像求解交点个数即可.【详解】对R x ∀∈,都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以π4x =是=的一条对称轴,所以()ππZ 4k k ϕ+=∈,又π2ϕ<,所以π4ϕ=-.所以()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,在平面直角坐标系中画出()πcos 4f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与114y x=-的图象,当3π4=-x 时,3π14f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,11113π3π4164y --=⨯(-=-<-,当5π4x =时,5π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,5π5π14111461y =⨯-=->-,当9π4x =时,9π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,11119π9π4416y =⨯-=-<,当17π4x =时,17π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,111117π17π4416y =⨯-=->所以如图所示,可知=的图象与直线114y x =-的交点个数为3,故C 正确.故选:C.8.已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足:()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠-⋅=-,且()()()()()g x g y f x f y g x y -=-,则下列说法正确的是()A.()01f =B.()f x 是偶函数C.若()()1112f g +=,则()()2024202420242f g -=-D.若()()111g f -=,则()()202420242f g +=【答案】C【解析】【分析】对A ,利用赋值法令0,0x y ==即可求解;对B ,根据题中条件求出()f y x -,再利用偶函数定义即可求解;对C ,先根据题意求出()()001f g -=-,再找出()()11f x g x ---与()()f x g x ⎡⎤-⎣⎦的关系,根据等比数列的定义即可求解;对D ,找出()()11f x g x -+-与()()f x g x ⎡⎤+⎣⎦的关系,再根据常数列的定义即可求解.【详解】对A ,()()()()()f x g y f y g x f x y -⋅=- ,令0,0x y ==,即()()()()()00000f g f g f -⋅=,解得()00f =,故A 错;对B ,根据()()()()()f x g y f y g x f x y -=-,得()()()()()f y g x f x g y f y x -=-,即()()f y x f x y -=--,故()f x 为奇函数,故B 错;对C ,()()()()()g x g y f x f y g x y -=- 令0x y ==,即()()()()()00000g g f f g -=,()00f = ,()()200g g ∴=,又()00g ≠,()01g ∴=,()()001f g ∴-=-,由题知:()()f x yg x y ---()()()()()()()()f x g y f y g x g x g y f x f y ⎡⎤=-⋅--⎣⎦()()()()f y g y f x g x ⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦,令1y =,即()()()()()()1111f x g x f g f x g x ⎡⎤⎡⎤---=+-⎣⎦⎣⎦,()()1112f g += ,()()()()1112f xg x f x g x ⎡⎤∴---=-⎣⎦,即()(){}f xg x -是以()()001f g -=-为首项2为公比的等比数列;故()()()2024202420242024122f g -=-⨯=-,故C 正确;对D ,由题意知:()()f x yg x y -+-()()()()()()()()f xg y f y g x g x g y f x f y =-⋅+-()()()()g y f y f x g x ⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦,令1y =,得()()()()()()1111f x g x g f f x g x ⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦,又()()111g f -=,即()()()()11f x g x f x g x -+-=+,即数列()(){}f xg x +为常数列,由上知()()001f g +=,故()()202420241f g +=,故D 错.故选:C.【点睛】关键点点睛:本题的关键是对抽象函数进行赋值,难点是C ,D 选项通过赋值再结合数列的性质进行求解.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列说法中正确的是()A.一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ,则这组样本数据的总和等于60B.若样本数据1210,,,x x x 的标准差为8,则数据1221,21,x x -- ,1021x -的标准差为16C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5,方差为2,现样本中又加入一个新数据5,此时样本容量为9,平均数不变,方差变小【答案】ABD【解析】【分析】对于A ,由题意可得样本容量为20,平均数是3,从而可得样本数据的总和,即可判断;对于B ,根据标准差为8,可得方差为64,从而可得新数据的方差及标准差,即可判断;对于C ,根据百分位数的定义,求出第70百分位数,即可判断;对于D ,由题意可求得新数据的平均数及方差,即可判断.【详解】解:对于A ,因为样本的方差()()()222212201333,20s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 所以这个样本有20个数据,平均数是3,这组样本数据的总和为32060,⨯=A 正确;对于B ,已知样本数据1210,,,x x x 的标准差为8s =,则264s =,数据121021,21,,21x x x --- 的方差为2222264s =⨯2816=⨯=,故B 正确;对于C ,数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10个数,从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30,由于100.77⨯=,故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数,即232423.52+=,所以第70百分位数是23.5,故C 错误;对于D ,某8个数的平均数为5,方差为2,现又加入一个新数据5,设此时这9个数的平均数为x ,方差为2S ,则2285582(55)165,2999x S ⨯+⨯+-====<,故D 正确.故选:ABD.10.已知函数()32f x ax bx =-+,则()A.()f x 的值域为RB.()f x 图象的对称中心为()0,2C.当30b a ->时,()f x 在区间()1,1-内单调递减D.当0ab >时,()f x 有两个极值点【答案】BD【解析】【分析】利用一次函数、三次函数的性质结合分类讨论思想可判定A ,利用函数的奇偶性判定B ,利用导数研究函数的单调性结合特殊值法排除C ,利用极值点的定义可判定D.【详解】对于A :当,a b 至少一个不为0,则()f x 为三次或者一次函数,值域均为;当,a b 均为0时,值域为{}2,错误;对于B :函数()()32g x f x ax bx =-=-满足()()3g x ax bx g x -=-+=-,可知()g x 为奇函数,其图象关于()0,0中心对称,所以()f x 的图象为()g x 的图象向上移动两个单位后得到的,即关于0,2中心对称,正确;对于C :()23f x ax b '=-,当30b a ->时,取1,1a b =-=-,当33,33x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时,()()2310,f x x f x =-+>'在区间33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,错误;对于D :()23f x ax b '=-,当0ab >时,()230f x ax b '=-=有两个不相等的实数根,所以函数()f x 有两个极值点,正确.故选:BD.11.我国古代太极图是一种优美的对称图.定义:能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”,则下列命题中正确的是()A.函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +-=的一个太极函数B.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中,都不能为偶函数C.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中,均为中心对称图形D.若函数()()3f x kx kx k =-∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数,则()2,2k ∈-【答案】AD【解析】【分析】根据题意,对于A ,D 利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可,对于B ,C 举反例说明.【详解】对于A ,圆22:(1)1O x y +-=,圆心为0,1,()sin 1f x x =+的图象也过0,1,且0,1是其对称中心,所以()sin 1f x x =+的图象能将圆一分为二,所以A 正确;对于B,C ,根据题意圆22:1O x y +=,如图()331,332313,03231332331,332x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪+-≤≤=⎨⎪+<≤⎪->⎩,与圆交于点()1,0-,1,0,且在x 轴上方三角形面积与x 轴下方个三角形面积之和相等,()f x 为圆O 的太极函数,且()f x 是偶函数,所以B ,C 错误;对于D ,因为()()()()()33()f x k x k x kx kx f x k -=---=--=-∈R ,所以()f x 为奇函数,由()30f x kx kx =-=,得0x =或1x =±,所以()f x 的图象与圆22:1O x y +=的交点为()()1,0,1,0-,且过圆心()0,0,由3221y kx kx x y ⎧=-⎨+=⎩,得()2624222110k x k x k x -++-=,令2t x =,则()232222110k t k t kt -++-=,即()()222110t k t k t --+=,得1t =或22210k t k t -+=,当1t =时,1x =±,当22210k t k t -+=时,若0k =,则方程无解,合题意;若0k ≠,则()4222Δ44k k k k=-=-,若Δ0<,即204k <<时,方程无解,合题意;所以()2,2k ∈-时,两曲线共有两个交点,函数能将圆一分为二,如图,若Δ0=,即2k =±时,函数与圆有4个交点,将圆分成四部分,若Δ0>,即24k >时,函数与圆有6个交点,且均不能把圆一分为二,如图,所以()2,2k ∈-,所以D 正确.故选:AD.【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是理解新定义,即如果一个函数过圆心,并且函数图象关于圆心中心对称,且函数将圆分成2部分,不能超过2部分必然合题.如果函数不是中心对称图形,则考虑与圆有2个交点,交点连起来过圆心,再考虑如何让面积相等.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =-+相切,则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求出曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程,由该切线与抛物线22y ax ax =-+相切,联立消元,得到一元二次方程,其Δ0=,即可求得a .【详解】由2ln y x x =-,则12y x'=-,则11x y ='=,曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程为21y x -=-,即1y x =+,当0a ≠时,则212y x y ax ax =+⎧⎨=-+⎩,得()2110ax a x -++=,由2Δ(1)40a a =+-=,得1a =.故答案为:1.13.已知椭圆G22+22=1>>0的左、右焦点分别为12,F F ,若P 为椭圆C 上一点,11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c,则椭圆C 的离心率为______.【答案】23【解析】【分析】由内切圆半径的计算公式,利用等面积法表示焦点三角形12PF F 的面积,得到,a c 方程,即可得到离心率e 的方程,计算得到结果.【详解】由题意,可知1PF 为椭圆通径的一半,故21b PF a =,12PF F 的面积为21122b cc PF a⋅⋅=,又由于12PF F 的内切圆的半径为3c,则12PF F 的面积也可表示为()12223c a c +⋅,所以()111222223c c PF a c ⋅⋅=+⋅,即()212223b c ca c a =+⋅,整理得:22230a ac c --=,两边同除以2a ,得2320e e +-=,所以23e =或1-,又椭圆的离心率()0,1e ∈,所以椭圆C 的离心率为23.故答案为:23.14.设函数()()44xf x ax x x =+>-,若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个,b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个,则()f x b >恒成立的概率为__________.【答案】58##0.625【解析】【分析】根据题意,利用基本不等式,求得2min ()1)f x =+,转化为21)b +>恒成立,结合a 是从1,2,3,4四个数中任取一个,b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个,得到基本事件总数有24个,再利用列举法,求得()f x b >成立的基本事件的个数,结合古典概型的概率计算公式,即可求解.【详解】因为0,4a x >>,可得40x ->,则()()441441444x f x ax ax a x a x x x =+=++=-+++---2411)a ≥++=,当且仅当4x =时,等号成立,故2min ()1)f x =+,由不等式()f x b >恒成立转化为21)b >恒成立,因为a 是从1,2,3,4四个数中任取一个,b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个,则构成(),a b 的所有基本事件总数有24个,又由()221)1)912,16==+,()221)1319,201)25+=+=,设事件A =“不等式()f x b >恒成立”,则事件A 包含事件:()()1,4,1,8,()()()2,4,2,8,2,12,()()()()3,4,3,8,3,12,3,16,()()()()()()4,4,4,8,4,12,4,16,4,20,4,25共15个,因此不等式()f x b >恒成立的概率为155248=.故答案为:58.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.(1)求B ;(2)若ABC 的面积为334,且2AD DC = ,求BD 的最小值.【答案】(1)π3B =(2.【解析】【分析】(1)利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-,再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==,从而可求解.(2)结合ABC V 的面积可求得3ac =,再由.112333BD BC CA BA BC =+=+,平方后得,()222142993BD c a =++ ,再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-,即222a c b ac +-=,由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===,因为()0,πB ∈,所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V 的面积为33π,43B =,所以133sin 24ac B =,所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+,所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ,所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=,当且仅当6,2a c ==时取等号,所以BD .16.已知双曲线E 的焦点在x 轴上,离心率为233,点(在双曲线E 上,点12,F F 分别为双曲线的左、右焦点.(1)求E 的方程;(2)过2F 作两条相互垂直的直线1l 和2l ,与双曲线的右支分别交于A ,C 两点和,B D 两点,求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】(1)2213x y -=(2)6【解析】【分析】(1)由222c a b =+和3e =,及点(在双曲线E 上,求出22,a b ,即可求出E 的方程;(2)设直线()()121:2,:2l y k x l y x k =-=--,其中0k ≠,根据题中条件确定2133k <<,再将1l 的方程与2213x y -=联立,利用根与系数的关系,用k 表示AC ,BD 的长,再利用12ABCDS AC BD =,即可求出四边形ABCD 面积的最小值.【小问1详解】因为222c a b =+,又由题意得22243c e a ==,则有223a b =,又点(在双曲线E 上,故229213-=b b,解得221,3b a ==,故E 的方程为2213xy -=.【小问2详解】根据题意,直线12,l l 的斜率都存在且不为0,设直线()()121:2,:2l y k x l y x k=-=--,其中0k ≠,因为12,l l 均与E 的右支有两个交点,所以313,33k k >->,所以2133k <<,将1l 的方程与2213x y -=联立,可得()222213121230k x k x k -+--=.设()()1122,,,A x y C x y ,则2212122212123,1313k k x x x x k k---+==--,所以()222121212114AC k x k x x x x =+-=++-)22222222222311212323114113133113k k k kkk k k k k +⎛⎫---+=+-⨯+ ⎪----⎝⎭,同理)22313k BD k +=-,所以))()()()2222222223131111622313313ABCD kkk S AC BD k kkk+++==⋅⋅=⋅----.令21t k =+,所以241,,43k t t ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭,则2222166661616316161131612ABCDt S t t t t t =⋅=⋅=≥-+-⎛⎫-+---+ ⎪⎝⎭,当112t =,即1k =±时,等号成立.故四边形ABCD 面积的最小值为6.17.如图,侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B -==,2,P 为棱11A B 上的动点.(1)求证:1AA ⊥平面11BCC B ;(2)是否存在点P ,使得平面APC 与平面111A B C 的夹角的余弦值为53333?若存在,求出点P ;若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在,点P 为11A B 中点【解析】【分析】(1)延长三条侧棱交于一点O ,由勾股定理证明OA OB ⊥,OA OC ⊥,根据线面垂直的判定定理得证;(2)建立空间直角坐标系,求出平面111A B C 和平面APC 的法向量,利用向量夹角公式求解.【小问1详解】延长三条侧棱交于一点O ,如图所示,由于11124,2AB A B BB ===22OB OA ==所以22216OA OB AB +==,所以OA OB ⊥,同理OA OC ⊥.又OB OC O = ,,OB OC ⊂平面OBC ,所以OA ⊥平面OBC ,即1AA ⊥平面11BCC B .【小问2详解】由(1)知,,OA OB OA OC OB OC ⊥⊥⊥,如图建立空间直角坐标系,则(()0,0,,0,A C,()()111,,0,A B C ,所以((1110,0,,0,,AA AC A B ==-=,()110,B C =.设)111,0,A P A B λλ===,则1AP AA =+)[]1,0,,0,1A P λ=∈,设平面111A B C 和平面APC 的法向量分别为(),,,m x y z n ==(),,r s t ,所以)01000r t λ⎧=+=⎪⎨+==⎪⎪⎩⎩,取()()1,1,1,1,,m n λλλ==+,则cos ,33m n m n m n ⋅===.整理得212870λλ+-=,即()()21670λλ-+=,所以12λ=或76λ=-(舍),故存在点P (点P 为11A B 中点时),满足题意.18.若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质:①存在0M >,使得*,n a M n <∈N ;②{}n a 为单调数列,则称数列{}n a 具有性质P .(1)若121,3nn n a n b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,(i )判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ,并说明理由;(ii )记1122n n n S a b a b a b =+++ ,判断数列{}n S 是否具有性质P ,并说明理由;(2)已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<,记X 为奇数的概率为n c .证明:数列{}n c 具有性质P .【答案】(1)(i )数列{}n a 不具有性质P ,数列{}n b 具有性质P ,理由见解析;(ii )数列{}n S 具有性质P ,理由见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)判断数列是否满足条件①②,可得(i )的结果;利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和,再判断是否满足条件①②.(2)先求数列{}n c 的通项公式,再判断是否满足条件①②.【小问1详解】(i )因为21n a n =-单调递增,但无上限,即不存在M ,使得n a M <恒成立,所以数列不具有性质P .因为113nn b ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,又数列为单调递减数列,所以数列具有性质P .(ii )数列{}n S 具有性质P .2112113333n n n S -=⋅+⋅++ ,23111121133333n n n S +-=⋅+⋅++ ,两式作差得23121111211222333333n n n n S +-=⋅+⋅+⋅++⋅- ,即1121121212223313333313n n n n n n S ++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=-+-=--,所以111,3n n n S +=-<∴数列{}n S 满足条件①.(){}11210,,3nn n n n n a b n S S S +⎛⎫=->∴<∴ ⎪⎝⎭为单调递增数列,满足条件②.综上,数列{}n S 具有性质P .【小问2详解】因为*0,1,,,X n n =∈N ,若X 为奇数的概率为,n c X 为偶数的概率为n d ,()1[1]nn n c d p p +==-+001112220C (1)C (1)C (1)C (1)n n n n nn n n n p p p p p p p p --=-+-+-++- ①()001112220[1]C ()(1)C ()(1)C ()(1)C ()(1)n n n n n n n n n n p p p p p p p p p p ----=--+--+--++-- ②,2n c -=①②,即1(12)2nn p c --=.所以当102p <<时,0121p <-<,故n c 随着n 的增大而增大,且12n c <.故数列{}n c 具有性质P .19.已知函数()24e 2x f x x x-=-,()2233g x x ax a a =-+--(a ∈R 且2a <).(1)令()()()(),x f x g x h x ϕ=-是()x ϕ的导函数,判断()h x 的单调性;(2)若()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立,求a 的取值范围.【答案】(1)ℎ在(),0∞-和0,+∞上单调递增;(2)(],1-∞.【解析】【分析】(1)需要二次求导,利用导函数的符号分析函数的单调性.(2)法一先利用()()22f g ≥这一特殊情况,探索a 的取值范围,再证明对()1,x ∈+∞时,()()f x g x ≥恒成立;法二利用导数工具求出函数()x ϕ的最小值()0x ϕ,同法一求证(]0,1a ∈时()00x ϕ≥,接着求证()1,2a ∈时()20ϕ<不符合题意即可得解.【小问1详解】()()()2224e 233x x f x g x x x ax a a xϕ-=-=-+-++,定义域为{}0xx ≠∣,所以()()()224e 1223x x h x x x a xϕ--==-+-',所以()()2234e 2220x x x h x x --+=+>'.所以()h x 在(),0-∞和()0,∞+上单调递增.【小问2详解】法一:由题知()()22f g ≥即()()()2232120a a a a ϕ=-+=--≥,即1a ≤或2a ≥,所以1a ≤.下证当1a ≤时,()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.令()()24e x F x f x x x x -=+=-,则()()()()()222234e 224e 11,0x x x x x F x t x t x x x---+-'=-==>',所以()()224e 11x x F x x --=-'在()1,+∞单调递增,又()20F '=,所以当()1,2x ∈时,()()0,F x F x '<单调递减,当()2,x ∈+∞时,()()0,F F x x '>递单调增,所以()()20F x F ≥=,故()f x x ≥-,要证()()f x g x ≥,只需证()x g x -≥,即证()223130x a x a a -+++≥,令()()22313G x x a x a a =-+++,则()()()222Δ(31)43561151a a a a a a a =+-+=-+=--,若115a ≤≤,则0∆≤,所以()()223130G x x a x a a =-+++≥.若15a <,则对称轴31425a x +=<,所以()G x 在()1,+∞递增,故()()210G x G a >=≥,综上所述,a 的取值范围为(],1-∞.法二:由题知2224e 233x x x ax a a x--≥-+--对任意的()1,x ∈+∞恒成立,即()2224e 2330x x x x ax a a xϕ-=-+-++≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.由(1)知()()224e 1223x x x x a x ϕ--=-+-'在()1,+∞递增,又()13a ϕ'=-.①若0a ≤,则()()()10,x x ϕϕϕ'>≥'在()1,+∞递增,所以()()24110e x a ϕϕ>=-+>,符合;②若0a >,则()130a ϕ=-<',又()112224e 14e (1)(1)(1)a a a a a a a a a ϕ--⎡⎤+=-=-+⎣⎦++',令()124e(1)a m a a -=-+,则()()()14e 21a m a a h a -=-+=',则()14e 2a h a -'=-为单调递增函数,令()0h a '=得1ln2a =-,当()0,1ln2a ∈-时()()0,h a m a ''<单调递减,当()1ln2,a ∞∈-+时()()0,h a m a ''>单调递增,又()()10,00m m ='<',所以当()0,1a ∈时,()()0,m a m a '<单调递减,当()1,a ∈+∞时,()()0,m a m a '>单调递增,所以()()10m a m ≥=,则()12214e (1)0(1)a a a a a ϕ-⎡⎤+'=-+≥⎣⎦+,所以(]01,1x a ∃∈+,使得()00x ϕ'=,即()0200204e 12230x x x a x ---+-=,且当()01,x x ∈时,()()0,x x ϕϕ'<单调递减,当()0,x x ∈+∞时,()()0,x x ϕϕ'>单调递增,所以()()0222min 000004e 233x x x x x ax a a x ϕϕ-==-+-++.若(]0,1a ∈,同法一可证()0222000004e 2330x x x x ax a a x ϕ-=-+-++≥,符合题意.若()1,2a ∈,因为()()()2232120a a a a ϕ=-+=--<,所以不符合题意.综上所述,a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】方法点睛:导数问题经常会遇到恒成立的问题.常见的解决思路有:(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数最值问题.(2)若()0f x >恒成立,就可以讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值与最值,最终转化为()min 0f x >;若()0f x <⇔()max 0f x <.(3)若()()f x g x ≥恒成立,可转化为()()min max f x g x ≥(需在同一处取得最值).。

黑龙江省哈尔滨师大附中2024-2025学年高二(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)

黑龙江省哈尔滨师大附中2024-2025学年高二(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨师大附中高二(上)月考数学试卷(10月份)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知椭圆的方程为x23+y24=1,则该椭圆的焦点坐标为( )A. (0,±1)B. (0,±7)C. (±1,0)D. (±7,0)2.已知直线l:x+3my−2=0的倾斜角为π3,则实数m=( )A. −1B. −13C. 13D. 13.已知直线l的方程是(3a−1)x−(a−2)y−1=0,则对任意的实数a,直线l一定经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知P是以F1,F2为焦点的椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点,若PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则此椭圆的离心率为( )A. 12B. 23C. 13D. 535.若直线y=x+b与曲线y=1−x2有公共点,则b的取值范围是( )A. [−2,2]B. [−1,2]C. [−1,1]D. (−1,2)6.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积,当我们垂直地缩小一个圆时,得到一个椭圆,椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为6π,两个焦点分别为F1,F2,点A是椭圆C上的动点,点B是点A关于原点的对称点,若四边形AF1BF2的周长为12,则四边形AF1BF2面积的最大值为( )A. 45B. 25C. 235D. 357.已知圆C:(x+5)2+(y−12)2=9和两点A(0,m),B(0,−m)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则实数m的取值范围为( )A. [11,15]B. [10,16]C. [9,13]D. [8,12]8.已知A,B是圆x2+y2=4上的两个动点,且|AB|=22,点M(x0,y0)是线段AB的中点,则|x0+y0−4|的最大值为( )A. 12B. 62C. 6D. 32二、多选题:本题共3小题,共18分。

辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高二10月份考试数学试题(时间:120分钟,满分:150分)第I 卷(选择题)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在四面体中,已知点是的中点,记,则等于( )A. B.C. D.2.若平面的法向量为,直线的方向向量为,直线与平面的夹角为,则下列关系式成立的是( )A. B.C. D.3.若直线的一个法向量是,则该直线的倾斜角为( )A. B. C. D.4.已知空间向量,则向量在向量上的投影向量是( )A. B. C. D.5.设是的二面角内一点,是垂足,,则的长度为( )A.B.56.对于空间一点和不共线三点,且有,则( )A.四点共面B.四点共面ABCD E CD ,,AB a AC b AD c === BE 1122a b c -++ 1122a b c -+ 1122a b c -+ 1122a b c -++ αμ l vl αθcos v v μθμ⋅= cos v v μθμ⋅=sin v v μθμ⋅= sin v vμθμ⋅= AB )1a =- 30 60 120 150()()1,1,2,1,2,1a b =-=- a b ()1,1,1-555,,663⎛⎫- ⎪⎝⎭555,,636⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,424⎛⎫- ⎪⎝⎭P 120 l αβ--,,,PA PB A B αβ⊥⊥4,3PA PB ==AB O ,,A B C 2OP PA OB OC =-+ ,,,O A B C ,,,P A B CC.四点共面D.五点共面7.将正方形沿对角线折成直二面角,下列结论不正确的是()A.B.,所成角为C.为等边三角形D.与平面所成角为8.正方形的边长为12,其内有两点,点到边的距离分别为3,2,点到边的距离也分别是3和2.如图,现将正方形卷成一个圆柱,使得和重合.则此时两点间的距离为( )二、多项选择题:体题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的按部分得分,有选错的得0分.9.下列说法中,正确的有( )A.直线必过定点B.方程是直线的一般式方程C.直线的斜率为D.点到直线的距离为110.已知空间单位向量两两垂直,则下列结论正确的是( )A.向量与共线B.问量C.可以构成空间的一个基底,,,O P B C ,,,,O P A B C ABCD BD AC BD⊥AB CD 60︒ADC V AB BCD 60︒11ABB A ,P Q P 111,AA A B Q 1,BB AB AB 11A B ,P Q ()32y ax a a =-+∈R ()3,20Ax By C ++=10x ++=()5,3-20y +=,,i j k i j + k j - i j k ++ {},,i j i j k +-D.向量和11.如图,已知正六棱柱的底面边长为2,所有顶点均在球的球面上,则下列说法错误的是( )A.直线与直线异面B.若是侧棱上的动点,则C.直线与平面D.球的表面积为第II 卷(非选择题)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知点关于直线对称的点是,则直线在轴上的截距是__________.13.若三条直线相交于同一点,则点到原点的距离的最小值为__________.14.已知正三棱柱的底面边长为是其表面上的动点,该棱柱内切球的一条直径是,则的取值范围是__________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线的方程:(1)过定点;(2)斜率为.16.(本小题满分15分)如图,在四面体中,面是的中点,是i j k ++ k ABCDEF A B C D E F ''''-''O DE 'AF 'M CC 'AM MD +'AF 'DFE 'O 18π()1,2A -y kx b =+()1,6B --y kx b =+x 2,3,100y x x y mx ny =+=++=(),m n ABC A B C '-''P MN PM PN ⋅ l l ()3,4A -16ABCD AD ⊥,2,BCD AD M =AD P的中点,点在棱上,且.请建立适当的空间直角坐标系,证明:面.17.(本小题满分15分)如图所示,平行六面体中.(1)用向量表示向量,并求;(2)求18.(本小题满分17分)如图,在五棱锥中,平面是等腰三角形.(1)求证:平面平面;(2)求直线与平面所成角的大小.19.(本小题满分17分)如图,在三棱柱中,棱的中点分别为在平面内的射影为是边长为2的等边三角形,且,点在棱上运动(包括端点).请建立适当的空间直角坐标系,解答下列问题:BM Q AC3AQ QC=PQ∥BCD1111ABCD A B C D-111ππ1,2,,23AB AD AA BAD BAA DAA∠∠∠======1,,AB AD AA1BD1BD1cos,BD ACP ABCDE-PA⊥,ABCDE AB∥,CD AC∥,ED AE∥,45,24,BC ABC AB BC AE PAB∠====VPCD⊥PACPB PCD111ABC A B C-1,AC CC1,,D E CABC,D ABCV12AA=F11B C(1)若点为棱的中点,求点到平面的距离;(2)求锐二面角的余弦值的取值范围.F 11B C F BDE F BD E --滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高二10月份考试数学试题参考答案一、单选题1.A2.D3.B4.C5.D6.B7.D8.【答案】B【详解】解法一:如图建系设圆柱底面半径为,则,所以,则所以.解法二:如图,设过点且平行底面的截面圆心为,过点且平行底面的截面圆心为,设圆柱底面半径为,则,所以,则,.r 2π12r =6πr =33,3,,9ππQ P ⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭PQ =P 1O Q 2O r 2π12r =6πr =121122222π,,63πO P O Q PQ PO O O O Q +===++222211221212||22PQ PO O O O Q r O O PO O Q∴=++=++⋅ 222266π36262cos 336,ππ3πPQ ⎛⎫⎛⎫=⋅++⋅⋅=⋅+∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9.AD 10.BCD.11.【答案】AC【详解】对于A ,如图①,连接,则,所以,所以直线与直线共面,故A 错误;对于B ,将平面沿着翻折到与平面共面的位置,得到矩形,如图②所示.因为底面边长为,所以则的最小值为,故B 正确;对于C ,以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图①所示的空间直角坐标系,则,所以.设平面的法向量为,则,即,令,得,所以平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为,则,故C 错误;对于D ,如图③,设球的半径为,根据对称性可知,正六棱柱的外接球的球心在上下底面的中心的连线的中点处.,则,所以球的表面积,故D 正确.,AD A D ''AD ∥,A D A D ''''∥E F ''AD ∥E F ''DE 'AF 'ACC A ''CC 'CDD C ''ADD A ''2π2,3ABC ∠=AC =AM MD +'AD =='F ,,FA FD FF 'x y z ()(()()(2,0,0,,0,0,0,0,,A F F D E '-'(()(,0,,AF FD FE =''=-=- DFE '(),,m x y z = 00FD m FE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩ 00y x =⎧⎪⎨-++=⎪⎩1z =x =DFE ')m = AF 'DFE 'θ1sin 3θO R 12O O 1122,O C O O ==22222211922R OC O C O O ==+=+=O 294π4π18π2S R ==⨯=12.13.【答案】【详解】由解得把代入可得,所以,所以点到原点的距离当时等号成立,此时.所以点到原点的距离的最小值为14.【答案】【详解】由题意知内切球的半径为1,设球心为,则.因为.四、解答题15.【答案】(1)或.(2)或.【详解】(1)由题意知直线的斜率存在,设为则直线的方程为,它在轴,轴上的截距分别是,由已知,得,解得或.故直线的方程为或.(2)设直线在轴上的截距为,则直线的方程是,它在轴上的截距是,8-2,3,y x x y =⎧⎨+=⎩1,2.x y =⎧⎨=⎩()1,240mx ny ++=2100m n ++=102m n =--(),m n d ==4n =-2m =-(),m n []0,4O ()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+ ()2OP PO OM ON OM ON =+⋅++⋅ 2||1PO =- []0,4PM PN ⋅∈ 2360x y +-=83120x y ++=660x y -+=660x y --=l kl ()34y k x =++x y 43,34k k--+()43436k k ⎛⎫+⨯+=± ⎪⎝⎭123k =-283k =-l 2360x y +-=83120x y ++=l y b l 16y x b =+x 6b -由已知,得,所以.所以直线的方程为或.16.解法一:以为坐标原点,所在直线为z 轴,线段的延长线为y 轴,建立如图所示空间直角坐标系,设,由题意得,因为,所以即即所以,所以又因为面BCD 的一个法向量为所以所以又因为面所以面.解法二:66b b -⋅=1b =±l 660x y -+=660x y --=D DA BD 2BD a =()()()10,2,0,0,0,2,0,0,1,0,,2B a A M P a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭3AQ QC =34AQ AC = ()()3,,2,,24Q Q Q x y z x y -=-331,,442Q Q Q x x y y z ===331,,442Q x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭33,,044PQ x y a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0,0,1n =0PQ n ⋅= PQ n⊥ PQ ⊄BCDPQ ∥BCD取的中点,连接,因为为BM 的中点,所以,所以平面,过作,交BC 于以为坐标原点,的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.因为为中点,设则设点的坐标为.因为,所以.因为为的中点,故,又为的中点,故,所以又平面BCD 的一个法向量为,故,所以又平面BCD ,所以平面BC D.17.【答案】(1)2【详解】(1),BD O OP P OP ∥MD OP ⊥BCD O OE BD ⊥,E O ,,OE OD OP2,AD M =AD 2BD a=()()0,,2,0,,0A a B a -C ()00,,0x y 3AQ QC = 003131,,4442Q x a y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭M AD ()0,,1M a P BM 10,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭00313,,0444PQ x a y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0,0,1n =0PQ n ⋅= PQ n⊥ PQ ⊄PQ ∥111,BD AD AA AB BD =+-= 111BD AD AB AD AA AB =-=+-则,所以.(2)由空间向量的运算法则,可得,因为且,因为是正方形,所以,则.18.【答案】(1)见详解(2)【详解】(1)证明:在中,因为,所以,因此故,所以,即又平面,所以.又平面,且,所以平面.又平面,所以平面平面.(或者建系求法向量,证明法向量垂直,略)(2)由(1)知两两相互垂直,分别以的方向为轴、轴、轴正方向,建立()2222211111222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AB AA =+-=+++⋅-⋅-⋅ 111412*********=+++⨯⨯⨯--⨯⨯⨯=1BD = AC AB AD =+ 11,2AB AD AA ===11ππ,23BAD BAA DAA ∠∠∠===ABCD AC = ()()221111BD AC AD AA AB AB AD AD AB AD AA AB AA AD AB AD AB ⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅ 22ππππ11cos121cos 21cos 111cos 22332=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯=111cos ,BD AC BD AC BD AC ⋅===⋅ π6ABC V 45,4,ABC BC AB ∠=== 2222cos458AC AB BC AB BC =+-⋅⋅= AC =222BC AC AB =+90BAC ∠= AB AC⊥PA ⊥,ABCDE AB ∥CD ,CD PA CD AC ⊥⊥,PA AC ⊂PAC PA AC A ⋂=CD ⊥PAC CDC PCD PCD ⊥PAC ,,AB AC AP ,,AB AC AP x y z如图所示的空间直角坐标系,由于是等腰三角形,所以.又,因此,.因为,所以四边形是直角梯形.因为,所以,因此,故,所以.因此.设是面的一个法向量,则,解得.取,得.又,设表示向量与平面的法向量所成的角,则,又因为,所以,因此直线与平面所成的角为.PAB V PA AB ==AC =()()0,0,0,A B ()(0,,0,0,C P AC ∥,ED CD AC ⊥ACDE 2,45,AE ABC AE ∠== ∥BC 135BAE ∠= 45CAE ∠= sin452CD AE =⋅== ()D (()0,,CP CD =-= (),,m x y z =PCD 0,0m CP m CD ⋅=⋅= 0,x y z ==1y =()0,1,1m =(BP =- θBP PCD m1cos 2m BP m BP θ⋅==⋅ π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π3θ=PB PCD π619.【答案】(1(2)解法一:连接,因为在平面内的射影为,所以平面,由于平面,所以,由于三角形是等边三角形,所以,以为原点,分别以的方向为轴、轴、轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系,则,因为所以又因为为中点,所以所以设面的一个法向量为则令,则所以所以点到平面的距离为(2)因为在棱上(包括端点)设12⎡⎢⎣1DC 1C ABC D 1DC ⊥ABC ,AC BD ⊂ABC 11,DC AC DC BD ⊥⊥ABC BD AC ⊥BD ==1DC ==D 1,,DB DA DC x y z (())11,0,1,0,,0,2C C B E ⎛-- ⎝)11C B CB == 1B F 11B C 12F 12BF ⎛= ⎝ BDE ()111,,m x y z =1(0,,2BD ED ⎛== ⎝ 111000x BD m y ED m ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 11z =1y =()m = F BDE BF m m ⋅== F 11B C ()111,01C F C B λλ= ……因为,所以设平面的法向量为,令所以,设锐二面角为,则令,所以,设则二次函数的开口向上,对称轴为,所以当时,该二次函数单调递增,所以当时,该二次函数有最小值,当时,该二次函数有最大值,,即.所以锐二面角的余弦值的取值范围.解法二:(1)连接,因为在平面内的射影为,所以平面,由于平面,所以,)11C B = )1,,0C F λ=BDF ()222,,n x y z = 11,,0),DF DC C F λλ=+=+= 22220000DF n x y x DB n λ⎧⋅=++=⎪⇒⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 2y =2z λ=-()m λ=- F BD E --θ1cos 2θ=[]()32,3t t λ-=∈cos θ==111,,32s s t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭cos θ=221112611244y s s s ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭14s =11,32s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦13s =21111261333⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭12s =2111261122⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭⎡⎣1cos 2θ⎡∈⎢⎣F BD E --12⎡⎢⎣1DC 1C ABC D 1DC ⊥ABC ,AC BD ⊂ABC 11,DC AC DC BD ⊥⊥由于三角形是等边三角形,所以,又以为原点,分别以的方向为轴、轴、轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系,则,又,故,则设平面的法向量为,则,故可设,又,所以点到平面的距离为.(2)设,则,设平面的法向量为,则令,所以,所以,设锐二面角为,ABC ,BD AC BD ⊥==1DC ==D 1,,DCDB DCx yz (()()11,1,0,0,,2C C E B ⎛ ⎝()11C B CB ==-(11,2B F ⎛-- ⎝()1,,2DE DB ⎛== ⎝ BDE ()111,,m x y z =1111020m DE x z m DB ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩ ()m = 1,2BF ⎛=- ⎝ F BDE BF m m ⋅== ()()1111101,C F C B C B λλ=≤≤=- (()(11111DF DC C F DC C B λλλ=+=+=+-=- BDF ()222,,n x y z =22220000DF n x y y DB n λ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 2x =2z λ=)n λ=F BD E --θ则令,所以,设则二次函数的开口向上,对称轴为,所以当时,该二次函数单调递增,所以当时,该二次函数有最小值,当时,该二次函数有最大值,,即.所以锐二面角的余弦值的取值范围.1cos 2θ=[]()32,3t t λ-=∈cos θ==111,,32s s t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭cos θ=221112611244y s s s ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭14s =11,32s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦13s =21111261333⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭12s =2111261122⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭⎡⎣1cos 2θ⎡∈⎢⎣F BD E --12⎡⎢⎣。

数学丨黑龙江省哈尔滨市第三中学2025届高三10月月考数学试卷及答案

数学丨黑龙江省哈尔滨市第三中学2025届高三10月月考数学试卷及答案

哈三中2024—2025学年度上学期高三学年十月月考数学试卷考试说明:本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂,非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写,字体工整,字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷(选择题,共58分)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则()A. B.C. D.2.已知是关于的方程的一个根,则()A.20B.22C.30D.323.已知,,,则的最小值为()A.2B.C.D.44.数列中,若,,,则数列的前项和()A. B. C. D.5.在中,为中点,,,若,则()A. B. C. D.6.在三棱柱中,点在棱上,且,点为中点,点在棱上,若平面,则()A.2B.3C.4D.57.已知偶函数定义域为,且,当时,,则函数在区间上所有零点的和为()A.B. C.D.8.已知平面向量,,,满足,且,,则的最小值为()A.B.0C.1D.2二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.对于函数,下列说法正确的是()A.函数最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位,即可得到函数的图象10.在正方形中,,为中点,将沿直线翻折至位置,使得二面角为直二面角,若为线段的中点,则下列结论中正确的是()A.若点在线段上,则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成的角为D.三棱锥外接球的表面积为11.已知函数,则下列结论中正确的是()A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根,则的范围是D.直线与函数图象有两个交点第II卷(非选择题,共92分)三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中,是其前项和.若,,则______.13.在中,,的平分线与交于点,且,,则的面积为______.14.已知三棱锥中,平面,,,,,、分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点,则线段的长度的最小值为______.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中,,,,,为中点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.16.已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)设函数,若在恒成立,求实数的取值范围.17.已知在锐角中,,,分别为内角,,的对边,.(1)求;(2)若,为中点,,求;(3)若,求内切圆半径的取值范围.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩,将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计,如图所示.(1)求的值,并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数;(2)以频率估计概率,若在这段时间内随机选择4天,设每日汽车销售量在内的天数为,在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下,求的分布列及数学期望;(3)为增加销售量,公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动,规则如下:在三棱锥中,、均是边长为2的正三角形,,现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点,记顶点、上的数字分别为和,若为侧棱上一个动点,满足,当“二面角大于”即为中奖,求中奖的概率.19.如图,在四棱锥中,底面为正方形,,是中点,平面,.(1)求四棱锥体积最大值;(2)设,为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围;②四棱锥外接球记为球,当为线段中点时,求平面截球所得的截面面积.数学试卷考试说明:本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂,非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写,字体工整,字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷(选择题,共58分)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合,,再根据交集的定义求.【详解】对集合:因为,所以,即;对集合:因为恒成立,所以.所以.故选:B2.已知是关于的方程的一个根,则()A.20B.22C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为,再由韦达定理计算可得.【详解】因为是关于的方程的一个根,所以方程的另一个虚根为,所以,解得,所以.故选:D.3.已知,,,则的最小值为()A.2B.C.D.4【答案】D【解析】【分析】由已知可得,利用,结合基本不等式可求最小值.【详解】因为,所以,所以,所以,所以,当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为.故选:D.4.数列中,若,,,则数列的前项和()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合递推关系利用分组求和法求.【详解】因为,,所以,,,,,又,,,所以.故选:C.5.在中,为中点,,,若,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】选择为平面向量的一组基底,表示出,再根据表示的唯一性,可求的值.【详解】选择为平面向量的一组基底.因为为中点,所以;又.由.故选:C6.在三棱柱中,点在棱上,且,点为中点,点在棱上,若平面,则()A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理,利用面面平行的判定定理和性质定理,结合平行四边形的性质即可得结论.【详解】依题意,作出图形如图所示设为的中点,因为为的中点,所以,又平面,平面,所以平面,连接,又因为平面,,平面,所以平面平面,又平面平面,平面,所以,又,所以四边形是平行四边形,所以,所以,又,所以,所以,所以.故选:B.7.已知偶函数定义域为,且,当时,,则函数在区间上所有零点的和为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数在区间上的零点的集合等于函数和函数在区间内的交点横坐标的集合,分析函数的图象特征,作出两函数的图象,观察图象可得结论.【详解】因为函数,的零点的集合与方程在区间上的解集相等,又方程可化为,所以函数,的零点的集合与函数和函数在区间内的交点横坐标的集合相等,因为函数为定义域为的偶函数,所以,函数的图象关于轴对称,因为,取可得,,所以函数为偶函数,所以函数的图象关于对称,又当时,,作出函数,的区间上的图象如下:观察图象可得函数,的图象在区间上有个交点,将这个交点的横坐标按从小到大依次记为,则,,,,所以函数在区间上所有零点的和为.故选:A.8.已知平面向量,,,满足,且,,则的最小值为()A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】可设,,,由得到满足的关系,再求的最小值.【详解】可设,,,则.可设:,则.故选:B【点睛】方法点睛:由题意可知:,都是单位向量,且夹角确定,所以可先固定,,这样就只有发生变化,求最值就简单了一些.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.对于函数,下列说法正确的是()A.函数的最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位,即可得到函数的图象【答案】ACD【解析】【分析】先利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式,把函数化成的形式,再对函数的性质进行分析,判断各选项是否正确.【详解】因为.所以,故A正确;函数对称中心的纵坐标必为,故B错误;由,得函数的对称轴方程为:,.令,得是函数的一条对称轴.故C正确;将函数的图象向右平移个单位,得,即将函数的图象向右平移个单位,可得到函数的图象.故D正确.故选:ACD10.在正方形中,,为中点,将沿直线翻折至位置,使得二面角为直二面角,若为线段的中点,则下列结论中正确的是()A.若点在线段上,则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成角为D.三棱锥外接球的表面积为【答案】AC【解析】【分析】对于A,的最小值为可判断A;对于B,过作于,求得,可求三棱锥的体积判断B;对于C;取的中点,则,取的中点,连接,求得,由余弦定理可求异面直线、所成的角判断C;对于D,取的中点,过点在平面内作的垂线交于,求得外接球的半径,进而可求表面积判断D.【详解】对于A,将沿直线翻折至,可得的最小值为,故A正确;对于B,过作于,因为二面角为直二面角,所以平面平面,又平面平面,所以平面,由题意可得,由勾股定理可得,由,即,解得,因为为线段的中点,所以到平面的距离为,又,所以,故B错误;对于C,取的中点,则,且,,所以,因为,所以是异面直线、所成的角,取的中点,连接,可得,所以,在中,可得,由余弦定理可得,所以,在中,由余弦定理可得,所以,所以异面直线、所成的角为,故C正确;对于D,取的中点,过点在平面内作的垂线交于,易得是的垂直平分线,所以是的外心,又平面平面,又平面平面,所以平面,又因为直角三角形的外心,所以是三棱锥的外球的球心,又,所以,所以三棱锥外接球的表面积为,故D错误.故选:AC.11.已知函数,则下列结论中正确的是()A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根,则的范围是D.直线与函数图象有两个交点【答案】BCD【解析】【分析】分和两种情况探讨的符号,判断A的真假;转化为研究函数的最小值问题,判断B的真假;把方程有两个不等实根,为有两个根的问题,构造函数,分析函数的图象和性质,可得的取值范围,判断C的真假;直线与函数图象有两个交点转化为有两解,分析函数的零点个数,可判断D的真假.【详解】对A:当时,;当时,;时,,所以函数只有1个零点.A错误;对B:欲证,须证在上恒成立.设,则,由;由.所以在上单调递减,在上单调递增.所以的最小值为,因为,所以.故B正确;对C:.设,则,.由;由.所以在上单调递增,在单调递减.所以的最大值为:,又当时,.如图所示:所以有两个解时,.故C正确;对D:问题转化为方程:有两解,即有两解.设,,所以.由;由.所以在上单调递增,在上单调递减.所以的最大值为.因为,,所以所以.且当且时,;时,.所以函数的图象如下:所以有两解成立,所以D 正确.故选:BCD【点睛】方法点睛:导数问题中,求参数的取值范围问题,通常有如下方法:(1)分离参数,转化为不含参数的函数的值域问题求解.(2)转化为含参数的函数的极值问题求解.第II 卷(非选择题,共92分)三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中,是其前项和.若,,则______.【答案】【解析】【分析】设数列的公差为,将条件关系转化为的方程,解方程求,由此可求结论.【详解】设等差数列的公差为,因为,,所以,,所以,,所以,故答案为:.13.在中,,的平分线与交于点,且,,则的面积为______.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式,余弦定理列方程求,再由三角形面积公式求结论.【详解】因为,为的平分线,所以,又,所以,由余弦定理可得,又,所以所以,所以的面积.故答案为:.14.已知三棱锥中,平面,,,,,、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点,则线段的长度的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据已知可得的中点外接球的球心,求得外接球的半径与内切球的半径,进而求得两球心之间的距离,可求得线段的长度的最小值.【详解】因为平面,所以是直角三角形,所以,,在中,由余弦定理得,所以,所以,所以是直角三角形,所以,因为平面,平面,所以,又,平面,结合已知可得平面,所以是直角三角形,从而可得的中点外接球的球心,故外接球的半径为,设内切球的球心为,半径为,由,根据已知可得,所以,所以,解得,内切球在平面的投影为内切球的截面大圆,且此圆与的两边相切(记与的切点为),球心在平面的投影为在的角平分线上,所以,由上易知,所以,过作于,,从而,所以,所以两球心之间的距离,因为、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点,所以线段的长度的最小值为.故答案为:.【点睛】关键点点睛:首先确定内外切球球心位置,进而求两球半径和球心距离,再利用空间想象判断两球心与位置关系求最小值.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中,,,,,为中点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)由题意可得,利用勾股定理的逆定理可得,可证结论;(2)以为坐标原点,所在直线为,过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】连接,因为,为中点,所以,因为,所以,所以,又,所以,所以,又,平面,所以平面;【小问2详解】以为坐标原点,所在直线为,过作平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,因为,所以,则,则,设平面的一个法向量为,则,令,则,所以平面的一个法向量为,又,所以,设直线与平面所成的角为,则,所以直线与平面所成角的正弦值为.16.已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)设函数,若在恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)的取值范围为.【解析】【分析】(1)求函数的定义域及导函数,分别在,,,条件下研究导数的取值情况,判断函数的单调性;(2)由条件可得,设,利用导数求其最小值,由此可得结论.【小问1详解】函数的定义域为,导函数,当时,,函数在上单调递增,当且时,即时,,函数在上单调递增,当时,,当且仅当时,函数在上单调递增,当时,方程有两个不等实数根,设其根为,,则,,由,知,,,所以当时,,函数在上单调递增,当时,,函数在上单调递减,当时,,函数在上单调递增,所以当时,函数在上单调递增,当时,函数在上单调递增,函数在上单调递减,函数在上单调递增,【小问2详解】因为,,所以,不等式可化为,因为在恒成立,所以设,则,当时,,函数在上单调递增,当时,,函数在上单调递减,所以当时,函数取最小值,最小值为,故,所以的取值范围为.17.已知在锐角中,,,分别为内角,,的对边,.(1)求;(2)若,为中点,,求;(3)若,求内切圆半径的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)利用正弦定理进行边化角,再结合三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式,可求,进而得到角.(2)利用向量表示,借助向量的数量积求边.(3)利用与正弦定理表示出,借助三角函数求的取值范围.【小问1详解】因为,根据正弦定理,得,所以,因为,所以,所以.【小问2详解】因为为中点,所以,所以,所以,解得或(舍去),故.【小问3详解】由正弦定理:,所以,,因为,所以,所以,,设内切圆半径为,则.因为为锐角三角形,所以,,所以,所以,即,即内切圆半径的取值范围是:.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩,将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计,如图所示.(1)求的值,并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数;(2)以频率估计概率,若在这段时间内随机选择4天,设每日汽车销售量在内的天数为,在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下,求的分布列及数学期望;(3)为增加销售量,公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动,规则如下:在三棱锥中,、均是边长为2的正三角形,,现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点,记顶点、上的数字分别为和,若为侧棱上一个动点,满足,当“二面角大于”即为中奖,求中奖的概率.【答案】(1),175(2)分布列见解析,(3)【解析】【分析】(1)根据频率之和为1可求的值,再根据百分位数的概念求第60百分位数.(2)根据条件概率计算,求的分布列和期望.(3)根据二面角大于,求出可对应的情况,再求中奖的概率.【小问1详解】由.因为:,,所以每日汽车销售量的第60百分位数在,且为.【小问2详解】因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为,抽取的1天汽车销售量在内的概率为.所以:在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下,抽取的1天汽车销售量在内的概率为.由题意,的值可以为:0,1,2,3.且,,,.所以的分布列为:0123所以.【小问3详解】如图:取中点,链接,,,,.因为,都是边长为2的等边三角形,所以,,,平面,所以平面.平面,所以.所以为二面角DE平面角.在中,,所以.若,在中,由正弦定理:.此时:,.所以,要想中奖,须有.由是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个,所以基本事件有个,满足的基本事件有:,,,,,,,,共9个,所以中奖的概率为:.【点睛】关键点点睛:在第(2)问中,首先要根据条件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下,抽取的1天汽车销售量在内的概率”.19.如图,在四棱锥中,底面为正方形,,是中点,平面,.(1)求四棱锥体积的最大值;(2)设,为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围;②四棱锥的外接球记为球,当为线段中点时,求平面截球所得的截面面积.【答案】(1)(2)①;②【解析】【分析】(1)设,用表示四棱锥体积,分析函数的单调性,可求四棱锥体积的最大值.(2)①建立空间直角坐标系,设点坐标,用空间向量求二面角的余弦,结合二次函数的值域,可得二面角余弦的取值范围.②先确定球心,求出球心到截面的距离,利用勾股定理可求截面圆的半径,进而得截面圆的面积.【小问1详解】设则,所以四棱锥体积,.所以:.由;由.所以在上单调递增,在上单调递减.所以四棱锥体积的最大值为.【小问2详解】①以为原点,建立如图空间直角坐标系.则,,,所以,,.设平面的法向量为,则.令,则.取平面的法向量.因为平面与平面所成的二面角为锐角,设为.所以.因为,,所以.②易得,则,此时平面的法向量,所以点到平面的距离为:,设四棱锥的外接球半径为,则,所以平面截球所得的截面圆半径.所以平面截球所得的截面面积为:.【点睛】关键点点睛:平面截球的截面面积问题,要搞清球心的位置,球的半径,球心到截面的距离,再利用勾股定理,求出截面圆的半径.。

2024-2025学年湖北省部分学校九年级(上)第一次月考数学试卷(含解析)

2024-2025学年湖北省部分学校九年级(上)第一次月考数学试卷(含解析)

2024-2025学年湖北省部分学校九年级(上)第一次月考数学试卷一、选择题:本题共10小题,每小题3分,共30分。

在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.一元二次方程4x2+x−3=0中一次项系数、常数项分别是( )A. 2,−3B. 0,−3C. 1,−3D. 1,02.解方程(x+1)2=3(1+x)的最佳方法是( )A. 直接开平方法B. 配方法C. 公式法D. 因式分解法3.抛物线y=−3x2+2x−1与y轴的交点为( )A. (0,1)B. (0,−1)C. (−1,0)D. (1,0)4.若关于x的一元二次方程(k−1)x2+x+1=0有实数根,则k的取值范围是( )A. k≥54B. k>54C. k>54且k≠1 D. k≤54且k≠15.若关于x的方程x2−kx−3=0的一个根是x=3,则k的值是( )A. −2B. 2C. −12D. 126.关于x的方程|x2−2x−3|=a有且仅有两个实数根,则实数a的取值范围是( )A. a=0B. a=0或a=4C. a>4D. a=0或a>47.在手拉手学校联谊活动中,参加活动的每个同学都要给其他同学发一条励志短信,总共发了110条,设参加活动的同学有x个,根据题意,下面列出的方程正确的是( )A. 12x(x+1)=110 B. 12x(x−1)=110 C. x(x+1)=110 D. x(x−1)=1108.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图,那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是( )A. 无实数根B. 有两个相等实数根C. 有两个同号不等实数根D. 有两个异号实数根9.二次函数y=ax2+bx+c,若ab<0,a−b2>0,点A(x1,y1),B(x2,y2)在该二次函数的图象上,其中x1<x2,x1+x2=0,则( )A. y1=−y2B. y1>y2C. y1<y2D. y1、y2的大小无法确定10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列4个结论:①abc<0;②b>a+c;③2a−b=0;④b2−4ac<0.其中正确的结论个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题:本题共5小题,每小题3分,共15分。

湖南师大附中2025届高三上学期月考(二)数学试卷(原卷版)

湖南师大附中2025届高三上学期月考(二)数学试卷(原卷版)

湖南师大附中2025届高三月考试卷(二)数学命题人、审题人:高三数学备课组时量:120分钟 满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数11i z =+的虚部是( ) A. 1 B. 12 C. 12− D. 1−2. 已知a 是单位向量,向量b 满足3a b −=,则b 的最大值为( ) A. 2 B. 4 C. 3 D. 13. 已知角θ的终边在直线2y x =上,则cos sin cos θθθ+的值为( ) A. 23− B. 13− C. 23 D. 134. 已知函数()2e 33,0,x a x f x x a x +−<= +≥ 对任意的12,x x ∈R ,且12x x ≠,总满足以下不等关系:()()12120f x f x x x −>−,则实数a 的取值范围为( ) A 34a ≤ B. 34a ≥ C. 1a ≤ D. 1a ≥ 5. 如图,圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径,且AB CD ⊥,三棱锥A BCD −的体积为83,则圆柱的表面积为().A. 10πB. 9π2C. 4πD. 8π 6. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2,过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点,则23AF BF +的最小值为( )A. 52+B. 5+C. 10+D. 117. 设函数()()cos f x x ϕ=+,其中π2ϕ<.若R x ∀∈,都有ππ44f x f x +=−.则()y f x =的图象与直线114y x =−的交点个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足:()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠−⋅=−,且()()()()()g x g y f x f y g x y −=−,则下列说法正确的是( )A. ()01f =B. ()f x 是偶函数C. 若()()1112f g +=,则()()2024202420242f g −=− D. 若()()111g f −=,则()()202420242f g += 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 下列说法中正确的是( )A. 一个样本的方差()()()22221220133320s x x x =−+−++−,则这组样本数据的总和等于60 B. 若样本数据1210,,,x x x 标准差为8,则数据1221,21,x x −− ,1021x −的标准差为16C. 数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5,方差为2,现样本中又加入一个新数据5,此时样本容量为9,平均数不变,方差变小10. 已知函数()32f x ax bx =−+,则( ) A. ()f x 的值域为RB. ()f x 图象的对称中心为()0,2的C. 当30b a −>时,()f x 在区间()1,1−内单调递减D. 当0ab >时,()f x 有两个极值点11. 我国古代太极图是一种优美的对称图.定义:能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”,则下列命题中正确的是( )A. 函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +−=的一个太极函数B. 对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中,都不能为偶函数C. 对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中,均为中心对称图形D. 若函数()()3f x kx kx k =−∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数,则()2,2k ∈− 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 曲线2ln y x x =−在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =−+相切,则a =__________. 13. 已知椭圆CC :xx 2aa 2+yy 2bb 2=1(aa >bb >0)的左、右焦点分别为12,F F ,若P 为椭圆C 上一点,11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c ,则椭圆C 的离心率为______. 14. 设函数()()44x f x ax x x =+>−,若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个,b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个,则()f x b >恒成立的概率为__________. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知()()()sin sin sin b c B C a c A +−=−. (1)求B ;(2)若ABC ,且2AD DC = ,求BD 的最小值.16. 已知双曲线E 的焦点在x (在双曲线E 上,点12,F F 分别为双曲线的左、右焦点.(1)求E 的方程;(2)过2F 作两条相互垂直直线1l 和2l ,与双曲线的右支分别交于A ,C 两点和,B D 两点,求四边形ABCD 面积的最小值.17. 如图,侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B −==P 为棱11A B 上的动点.(1)求证:1AA ⊥平面11BCC B ;(2)是否存在点P ,使得平面APC 与平面111A B C?若存在,求出点P ;若不存在,请说明理由.18. 若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质:①存在0M >,使得*,n a M n <∈N ;②{}n a 为单调数列,则称数列{}n a 具有性质P .(1)若121,3n n n a n b =−=, (i )判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ,并说明理由; (ii )记1122n n n S a b a b a b =+++ ,判断数列{}n S 是否具有性质P ,并说明理由; (2)已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<,记X 为奇数的概率为n c .证明:数列{}n c 具有性质P .19 已知函数()24e 2x f x x x−=−,()2233g x x ax a a =−+−−(a ∈R 且2a <). (1)令()()()(),x f x g x h x ϕ=−是()x ϕ的导函数,判断()h x 的单调性;的.(2)若()()f x g x ≥对任意()1,x ∈+∞恒成立,求a 的取值范围.的。

2024-2025学年初中七年级上学期(第1-2章) 数学月考试题及答案(新浙教版)

2024-2025学年初中七年级上学期(第1-2章) 数学月考试题及答案(新浙教版)

2024-2025学年七年级上学期第一次月考试卷数学试题考试内容:第1至2章,满分120分,难度系数:0.65一、选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)1.中国是世界上最早提出和采用“正负数表示相反意义的量”的国家,关于正负数的记载最早见于公元一世纪的中国数学著作《九章算术》中,比欧洲早一千余年.如果将“向东走40米”记作“40+米”,那么“向西走30米”记作( ) A .30−米B .30+米C .10−米D .10米2.2024年巴黎奥运会开幕式选择在塞纳河举行.塞纳河包括支流在内的流域总面积为78700平方公里.其中数据78700用科学记数法表示为( ) A .278710×B .37.8710×C .47.8710×D .50.78710×3.在23−、2(3) 、(2)−−、|5|−−、0中,负数的个数是( ) A .1个B .2个C .3个D .4个4.中国人最早使用负数,可追溯到两千多年前的秦汉时期,下列关于负数的计算正确的是( ) A .2=2−−B .()32=8−C .2−的相反数是2D .2−的倒数是0.2−5.下列各对数中,互为相反数的是( ) A .(5)−+与(5)+− B .12−与(0.5)+C .-|-0.01|与1100−−D .13−与0.3 6.在数轴上,点A ,B 在原点O 的同侧,分别表示数a ,1,将点A 向左平移3个单位长度,得到点C .若点C 与点B 互为相反数,则a 的值为( ) A .3B .2C .1−D .07.下列运算过程中,有错误的是( )A .(3﹣412)×2=3﹣412×2B .﹣4×(﹣7)×(﹣125)=﹣(4×125×7)C .91819×16=(10﹣119)×16=160﹣1619D .[3×(﹣25)]×(﹣2)=3×[(﹣25)×(﹣2)]8.定义一种新的运算:如果0a ≠,则有2a b a b =+▲,那么722−▲的值( ) A .34B .32−C .152D .129.如图所示,下列关于a ,b ,c 的说法中正确的个数是( ) ①12a <<②1c <−③2b >−④b a <⑤12c −<<⑥a 到原点的距离大于b 到原点的距离 ⑦在a 与c 之间有2个整数A .3个B .4个C .5个D .6个10.分形的概念是由数学家本华·曼德博提出的.如图是分形的一种,第1个图案有2个三角形;第2个图案有4个三角形;第3个图案有8个二角形;第4个图案有16个三角形;……,下列数据中是按此规律分形得到的三角形的个数是( )A .126B .513C .980D .1024二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)11.12024−的相反数是 . 12.某粮店出售的两种品牌的面粉袋上分别标有质量为()250.1kg ±,()250.2kg ±的字样,从中任意拿出两袋,它们的质量最多相差 kg .1314.按照如图所示的操作步骤,若输入x 的值为10−,则输出的值为 .15.比较两数大小: −76−16.把算式()()()579−−−−+写成省略加号和括号的形式 ,读作 17.比2−小6的数是 .18.当||2,||4x y ==,且2x y +=−,则xy = . 19.已知1xyz xyz =,则x zy x y z++值为 .20.在学习有理数乘法时,李老师和同学们做了这样的游戏,将2023这个数说给第一位同学,第一位同学将它减去它二分之一的结果告诉第二位同学,第二位同学再将听到的结果减去它的三分之一的结果告诉第三位同学.第三位同学再将听到的结果减去它的四分之一的结果告诉第四位同学,…照这样的方法直到全班48人全部传完,则最后一位同学告诉李老师的正确结果是 .三、解答题(本大题共8小题,共70分)21.(本题16分)计算下列各题: (1)()()43772743+−++−;(2)12433−÷−×;(3)()()32211234−+×−+−;(4)()235363412−+×−.22.(本题6分)对于有理数a 、b ,定义新运算:“✞”,a b ab a b ⊗−−. (1)计算:()42⊗−________()24−⊗;()()53−⊗−________()()35−⊗−; 152 −⊗ ________152 ⊗−(填“>”或“=”或“<”); (2)我们知道:有理数的加法运算和乘法运算满足交换律,那么,由(1)计算的结果,你认为这种运算:“✞”是否满足交换律?若满足,请说明理由;若不满足,请举例说明.23.(本题6分)在数轴上画出表示下列各数的点,并用“<”连接下列各数.0,112,3−,()0.5−−,34−−,133+−.24.(本题8分)如图,在数轴上有A、B、C这三个点.回答:(1)A、B、C这三个点表示的数各是多少?A:;B:;C:.(2)A、B两点间的距离是,A、C两点间的距离是.(3)应怎样移动点B的位置,使点B到点A和点C的距离相等?25.(本题8分)“滴滴”司机沈师傅从上午800915:~:在东西方向的江平大道上营运,共连续运载十批乘客.若规定向东为正,向西为负,沈师傅营运十批乘客里程如下:(单位:千米)8636848433+−+−++−−++,,,,,,,,,.(1)将最后一批乘客送到目的地时,沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面?距离出发地多少千米?(2)若汽车每千米耗油0.4升,则800915:~:汽车共耗油多少升?(3)若“滴滴”的收费标准为:起步价11元(不超过3千米),超过3千米,超过部分每千米2元.则沈师傅在上午800915:~:一共收入多少元?26.(本题8分)观察下列各式: 第1个等式:11111222−×=−+=−;第2个等式:1111123236−×=−+=−; 第3个等式:11111343412−×=−+=−;…… (1)根据上述规律写出第5个等式: ;(2)第n 个等式: ;(用含n 的式子表示) (3)计算:111111112233420222023−×+−×+−×+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+−×.27.(本题8分)阅读下列材料:计算111503412÷−+.解法一:原式11150505050350450125503412=÷−÷+÷=×−×+×=.解法二:原式4312505050630012121212÷−+÷×.解法三:原式的倒数为111503412−+÷111111111113412503504501250300=−+×=×−×+×=. 故原式300=.(1)上述得出的结果不同,肯定有错误的解法,你认为哪个解法是错误的. (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题:计算:113224261437−÷−+−28.(本题10分)【概念学习】定义新运算:求若干个相同的有理数(均不等于0)的商的运算叫做除方.比加222÷÷,()()()()3333−÷−÷−÷−等,类比有理数的乘方,我们把222÷÷写作2③,读作“2的圈3次方”,()()()()3333−÷−÷−÷−写作()3−④,读作“()3−的圈4次方”.一般地,把n aa a a a ÷÷÷ 个记作:a ⓝ,读作“a 的圈n 次方”.特别地,规定:a a =①.【初步探究】(1)直接写出计算结果:2023=② ;(2)若n 为任意正整数,下列关于除方的说法中,正确的有 ;(横线上填写序号) A .任何非零数的圈2次方都等于1 B .任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 C .圈n 次方等于它本身的数是1或1−D .负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈偶数次方结果是正数【深入思考】我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?(3)请把有理数()0a a ≠的圈n (3n ≥)次方写成幂的形式:a =ⓝ ;(4)计算:()2111472−−÷−×−④⑥⑧.2024-2025学年七年级上学期第一次月考试卷数学试题考试内容:第1至2章,满分120分,难度系数:0.65一、选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)1.中国是世界上最早提出和采用“正负数表示相反意义的量”的国家,关于正负数的记载最早见于公元一世纪的中国数学著作《九章算术》中,比欧洲早一千余年.如果将“向东走40米”记作“40+米”,那么“向西走30米”记作( ) A .30−米 B .30+米 C .10−米 D .10米【答案】A【分析】此题主要考查正负数的意义,正数与负数表示意义相反的两种量,根据向东走记为正,则向西走就记为负,直接得出结论即可. 【详解】解:∵向东走40米记作40+米, ∴向西走30米可记作30−米, 故选A .2.2024年巴黎奥运会开幕式选择在塞纳河举行.塞纳河包括支流在内的流域总面积为78700平方公里.其中数据78700用科学记数法表示为( ) A .278710× B .37.8710×C .47.8710× D .50.78710×【答案】C【分析】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为10n a ×的形式,其中≤<110a ,n 为整数,表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值.确定n 的值时,要看把原数变成a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值10≥时,n 是正数;当原数的绝对值1<时,n 是负数.【详解】解:将78700用科学记数法表示为:47.8710× 故选:C .3.在23−、2(3) 、(2)−−、|5|−−、0中,负数的个数是( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个【答案】B【分析】将每个数进行化简后,得出判断.【详解】解:239−=−,2(93) ,(2)2−−=,|5|5−−=−,因此负数有:23−和|5|−−,共有2个, 故选:B .4.中国人最早使用负数,可追溯到两千多年前的秦汉时期,下列关于负数的计算正确的是( ) A .2=2−− B .()32=8−C .2−的相反数是2D .2−的倒数是0.2−【答案】C【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘方、相反数、倒数,熟练掌握这几个定义是解题的关键.根据绝对值、有理数的乘方、相反数、倒数的定义分别计算判断即可. 【详解】解:A 、22−=,故此选项不符合题意; B 、()328−=−,故此选项不符合题意; C 、−2的相反数是2,故此选项符合题意; D 、−2的倒数是0.5−,故此选项不符合题意; 故选:C .5.下列各对数中,互为相反数的是( ) A .(5)−+与(5)+− B .12−与(0.5)−+C .-|-0.01|与1100−−D .13−与0.3 【答案】C【分析】先化简,根据相反数的定义:只有符号不同的两个数即可求解. 【详解】解:A .−(+5)=−5−5)=−5,选项A 不符合题意; B .−(+0.5)=−0.5,与12−相等,选项B 不符合题意;C .−|−0.01|=−0.01,−(1100−)=1100=0.01,−0.01与0.01互为相反数,选项C 符合题意; D .13−与0.3不是相反数,选项D 不符合题意;故选:C .6.在数轴上,点A ,B 在原点O 的同侧,分别表示数a ,1,将点A 向左平移3个单位长度,得到点C .若点C 与点B 互为相反数,则a 的值为( ) A .3 B .2 C .1− D .0【答案】B【分析】先用a 的式子表示出点C ,根据点C 与点B 互为相反数列出方程求解即可. 【详解】解:由题可知:A 点表示的数为a ,B 点表示的数为1, ∵C 点是A 向左平移3个单位长度,∴C 点可表示为:3a −, 又∵点C 与点B 互为相反数,∴310a −+=, ∴2a =. 故选:B .7.下列运算过程中,有错误的是( )A .(3﹣412)×2=3﹣412×2B .﹣4×(﹣7)×(﹣125)=﹣(4×125×7)C .91819×16=(10﹣119)×16=160﹣1619D .[3×(﹣25)]×(﹣2)=3×[(﹣25)×(﹣2)] 【答案】A【分析】各式计算得到结果,即可作出判断.【详解】解:A 、原式=3×2﹣92×2=6﹣9=﹣3,符合题意;B 、原式=﹣(4×125×7),不符合题意;C 、原式=(10﹣119)×16=160﹣1619,不符合题意; D 、原式=3×[(﹣25)×(﹣2)],不符合题意. 故选:A .8.定义一种新的运算:如果0a ≠,则有2a b a b =+▲,那么722−▲的值( ) A .34 B .32− C .152 D .12【答案】C【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算,求一个数的绝对值,有理数的加法运算等知识点,熟练掌握相关运算法则是解题的关键. 先计算乘方和绝对值,然后相加即可. 【详解】解:722−▲2722=+−742=+152=,故选:C .9.如图所示,下列关于a ,b ,c 的说法中正确的个数是( ) ①12a << ②1c <− ③2b >− ④b a < ⑤12c −<<⑥a 到原点的距离大于b 到原点的距离 ⑦在a 与c 之间有2个整数A .3个B .4个C .5个D .6个【答案】B【分析】此题考查了利用数轴比较有理数的大小,由a ,b ,c 在数轴上的位置得到1012b c a <−<<<<<,进而逐项求解即可.【详解】解:由题意得,1012b c a <−<<<<<, ∴12a <<,①正确;1c >−,②错误; 2b <−,③错误;b a <,④正确; 12c −<<,⑤正确;a 到原点的距离小于b 到原点的距离,⑥错误;在a 与c 之间有2个整数,⑦正确.∴正确的有4个.故选:B .10.分形的概念是由数学家本华·曼德博提出的.如图是分形的一种,第1个图案有2个三角形;第2个图案有4个三角形;第3个图案有8个二角形;第4个图案有16个三角形;……,下列数据中是按此规律分形得到的三角形的个数是( )A .126B .513C .980D .1024【答案】D【分析】根据前面图案中三角形的个数,找出规律,即可求解. 【详解】解:第1个图案有2个三角形,即12个; 第2个图案有4个三角形,即22个; 第3个图案有8个二角形,即32个; 第4个图案有16个三角形,即42个; 则第n 个图案有2n 个三角形,只有D 选项,当21024n =时,10n =符合题意,其余选项n 都不符合题意, 故选:D二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)11.12024−的相反数是 . 【答案】12024【分析】本题考查了相反数,熟练掌握相反数的概念:“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”,是解题的关键. 【详解】解:12024−的相反数是12024. 故答案为:12024. 12.某粮店出售的两种品牌的面粉袋上分别标有质量为()250.1kg ±,()250.2kg ±的字样,从中任意拿出两袋,它们的质量最多相差 kg . 【答案】0.4【分析】本题主要考查正负数的意义,有理数的加减混合运算,根据题意质量相差最多的是()250.2kg ±,再根据有理数的加减运算即可求解,解题的关键理解并掌握正负数的意义,进行有理数的混合运算.【详解】解:根据题可得,质量最少的是少了0.2kg ,质量最多的是多了0.2kg ,∴质量最多相差0.20.20.4(kg)+=, 故答案为:0.4.13 【答案】2−【分析】根据绝对值的意义进行化简即可求解. 【详解】解:2−−=2−, 故答案为:2−.14.按照如图所示的操作步骤,若输入x 的值为10−,则输出的值为 .【答案】25−【分析】本题考查了有理数的混合运算,根据操作步骤列出式子进行计算即可求解. 【详解】解:依题意,()()310529 −÷−×−−()289=×−− 169=−− 25=−故答案为:25−.15.比较两数大小: −76−【答案】>【分析】本题主要考查的是比较有理数的大小,依据两个负数比较大小,绝对值大的反而小比较即可; 【详解】解:∵6677−=,7766−=,6776<, ∴−>−6776, 故答案为:>.16.把算式()()()579−−−−+写成省略加号和括号的形式 ,读作 【答案】 579−+− 负5加7减9【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算,熟练掌握有理数的加减法法则是解题的关键.利用有理数的减法法则和有理数的加法法则解答即可.【详解】()()()()()()579579579−−−−+=−+++−=−+−, 读作:负5加7减9;故答案为:579−+−;负5加7减9. 17.比2−小6的数是 . 【答案】8−【分析】本题考查了有理数的减法,理解题意,根据题意正确列出式子,进行计算即可. 【详解】解:比2−小6的数是268−−=−, 故答案为:8−.18.当||2,||4x y ==,且2x y +=−,则xy = . 【答案】8−【分析】根据绝对值先求出x ,y 的值,再根据2x y +=−得出符合条件的值,计算即可. 【详解】解:∵||2,||4x y ==, ∴2x =±,4y =±, ∵2x y +=−, ∴2,4x y ==−, ∴8xy =−, 故答案为:8−. 19.已知1xyz xyz =,则x zy x y z++值为 . 【答案】1−或3【分析】此题考查了绝对值,以及有理数的除法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.根据已知等式得到||xyz xyz =,确定出x ,y ,z 中负因式有0个或2个,原式利用绝对值的代数意义化简即可得到结果. 【详解】解:由1||xyzxyz =,得到||xyz xyz =,x ∴,y ,z 中有0个或2个负数,当2个都为负数时,原式1111=−−+=−; 当0个为负数时,原式1113=++=.∴1x zy xy z++=−或3 故答案为:1−或320.在学习有理数乘法时,李老师和同学们做了这样的游戏,将2023这个数说给第一位同学,第一位同学将它减去它二分之一的结果告诉第二位同学,第二位同学再将听到的结果减去它的三分之一的结果告诉第三位同学.第三位同学再将听到的结果减去它的四分之一的结果告诉第四位同学,…照这样的方法直到全班48人全部传完,则最后一位同学告诉李老师的正确结果是 . 【答案】202348【分析】根据题意列出算式进行计算即可. 【详解】解:根据题意可得:11112023111123448×−×−×−− ……12347202323448=××××……1202348× 202348=. 故答案为:202348. 三、解答题(本大题共8小题,共70分)21.(本题16分)计算下列各题: (1)()()43772743+−++−; (2)12433−÷−× ;(3)()()32211234−+×−+−;(4)()235363412−+×−. 【答案】(1)50− (2)38(3)6(4)12−【分析】(1)根据有理数的加法法则计算即可; (2)根据有理数的混合运算法则解答即可;(3)根据含有乘方的有理数的混合运算法则解答即可; (4)根据乘法运算律解答即可.本题考查了有理数的混合运算,运算律的应用,熟练掌握法则和预算律是解题的关键. 【详解】(1)解:()()43772743+−++− ()43277743=++−− ()70120=+−50=−.(2)解:12433−÷−×()2433=−×−×236=+ 38=.(3)解:()()32211234−+×−+−()11894=−+×−+129=−−+ 6=.(4)解:()235363412−+×−()()()2353636363412=×−−×−+×− 242715=−+−12=−.22.(本题6分)对于有理数a 、b ,定义新运算:“✞”,a b ab a b ⊗−−. (1)计算:()42⊗−________()24−⊗;()()53−⊗−________()()35−⊗−; 152 −⊗ ________152 ⊗−(填“>”或“=”或“<”); (2)我们知道:有理数的加法运算和乘法运算满足交换律,那么,由(1)计算的结果,你认为这种运算:“✞”是否满足交换律?若满足,请说明理由;若不满足,请举例说明. 【答案】(1)=,=,= (2)满足交换律,理由见解析【分析】本题考查有理数的混合运算,新定义,理解新定义是关键. (1)按照题中新定义的运算进行计算即可作出判断; (2)就一般情况根据新定义进行计算即可.【详解】(1)解:∵()424(2)4(2)10⊗−=×−−−−=−,()24(2)4(2)410−⊗=−×−−−=−; ∴()42(2)4⊗−=−⊗;∵()()53(5)(3)(5)(3)23−⊗−=−×−−−−−=,()()35(3)(5)(3)(5)23−⊗−=−×−−−−−=,∴(5)(3)(3)(5)-⊗-=-⨯-;∵1115557222 −⊗=−×−−−=− ,1115557222⊗−=×−−−−=− ; ∴115522 −⊗=⊗− ; 故答案:=,=,=(2)解:运算:“✞”满足交换律 理由如下:由新定义知:a b ab a b ⊗−−,b a ba b a ⊗−−, ∴a b b a ⊗=⊗,表明运算“✞”满足交换律.23.(本题6分)在数轴上画出表示下列各数的点,并用“<”连接下列各数.0,112,3−,()0.5−−,34−−,133+−.【答案】见解析,()11300.5133234<<−−<+−<−<−−【分析】本题考查了有理数的大小比较,解题的关键是先将所给各数化简,在数轴上表示出各数,再根 【详解】解:()33110.50.5,,334433−−=−−=−+−=− . 画出数轴并在数轴上表示出各数如图:根据数轴的特点从左到右用“<”把各数连接起来为: ()1313300.51342+−<−<−−<<−−<24.(本题8分)如图,在数轴上有A 、B 、C 这三个点.回答:(1)A 、B 、C 这三个点表示的数各是多少?A : ;B : ;C : .(2)A 、B 两点间的距离是 ,A 、C 两点间的距离是 . (3)应怎样移动点B 的位置,使点B 到点A 和点C 的距离相等? 【答案】(1)6−、1、4 (2)7;10(3)点B 向左移动2个单位【分析】本题考查了是数轴,运用数轴上点的移动和数的大小变化规律是左减右加是解答此题的关键. (1)本题可直接根据数轴观察出A 、B 、C 三点所对应的数; (2)根据数轴的几何意义,根据图示直接回答;(3)由于10AC =,则点B 到点A 和点C 的距离都是5,此时将点B 向左移动2个单位即可. 【详解】(1)解:根据图示可知:A 、B 、C 这三个点表示的数各是6−、1、4, 故答案为:6−;1;4.(2)解:根据图示知:AB 的距离是()167−−=;AC 的距离是6410−−=, 故答案为:7;10;(3)解:∵A 、C 的距离是10, ∴点B 到点A 和点C 的距离都是5,∴应将点B 向左移动2B 表示的数为1−,5ABBC ==. 25.(本题8分)“滴滴”司机沈师傅从上午800915:~:在东西方向的江平大道上营运,共连续运载十批乘客.若规定向东为正,向西为负,沈师傅营运十批乘客里程如下:(单位:千米)8636848433+−+−++−−++,,,,,,,,,.(1)将最后一批乘客送到目的地时,沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面?距离出发地多少千米?(2)若汽车每千米耗油0.4升,则800915:~:汽车共耗油多少升?(3)若“滴滴”的收费标准为:起步价11元(不超过3千米),超过3千米,超过部分每千米2元.则沈师傅在上午800915:~:一共收入多少元? 【答案】(1)将最后一批乘客送到目的地时,沈师傅在第一批乘客出发地的东面,距离是5千米 (2)800915:~:汽车共耗油21.2升(3)沈师傅在上午800915:~:一共收入156元【分析】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用,明确正负数的含义及题中的数量关系,是解题的关键.(1)把记录的数字相加即可得到结果,结果为正则在东面,结果为负则在西面; (2)把记录的数字的绝对值相加,再乘以0.4,即可得答案;(3)先计算起步费总额,再将超过3千米的路程相加,所得的和乘以2,将起步费加上超过3千米的费用总额,即可得答案.【详解】(1)解:∵(8)(6)(3)(6)(8)(4)(8)(4)(3)(3)5++−+++−+++++−+−++++=, ∴将最后一批乘客送到目的地时,沈师傅在第一批乘客出发地的东面,距离是5千米; (2)解:|8||6||3||6||8||4||8||4||3||3|+−+++−+++++−+−++++8636848433=+++++++++ 53=,∴0.45321.2×=(升),∴800915:~:汽车共耗油21.2升. (3)解:∵共营运十批乘客, ∴起步费为:1110110×=(元), 超过3千米的收费总额为:[](83)(63)(33)(63)(83)(43)(83)(43)(33)(33)246−+−+−+−+−+−+−+−+−+−×=(元),∴11046156+=(元),∴沈师傅在上午800915:~:一共收入156元 26.(本题8分)观察下列各式: 第1个等式:11111222−×=−+=−;第2个等式:1111123236−×=−+=−; 第3个等式:11111343412−×=−+=−;…… (1)根据上述规律写出第5个等式: ;(2)第n 个等式: ;(用含n 的式子表示) (3)计算:111111112233420222023−×+−×+−×+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+−× .【答案】(1)11111565630−×=−+=− (2)()11111111n n n n n n −×=−+=−+++ (3)20222023−【分析】本题考查了有理数的乘法运算,(1)根据题干,模仿写出第5个等式,即可作答;(2)由(1)以及题干条件,即得第n 个等式:()11111111n n n n n n −×=−+=−+++;(3) 由(2)的结论,先化简再运算,即可作答,掌握第n 个等式:()11111111n n n n n n −×=−+=−+++是解题的关键. 【详解】(1)解:依题意,第5个等式: 11111305656−×=−+=−; (2)解:第1个等式:11111222−×=−+=−; 第2个等式:1111123236−×=−+=−; 第3个等式:11111343412−×=−+=−; 第4个等式:11111454520−×=−+=−; 第5个等式:11111565630−×=−+=−; ……故第n 个等式:()11111111n n n n n n −×=−+=−+++; (3)解:由(2)知第n ()11111111n n n n n n −×=−+=−+++;则111111112233420222023−×+−×+−×+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+−×111111112233420222023=−++−++−++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+−+111111112022202322334=−+−+−++⋅⋅⋅⋅⋅⋅−+112023=−+ 20222023=−27.(本题8分)阅读下列材料:计算111503412÷−+.解法一:原式11150505050350450125503412=÷−÷+÷=×−×+×=.解法二:原式4312505050630012121212÷−+÷×.解法三:原式的倒数为111503412−+÷111111111113412503504501250300=−+×=×−×+×= . 故原式300=.(1)上述得出的结果不同,肯定有错误的解法,你认为哪个解法是错误的. (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题:计算:113224261437−÷−+−【答案】(1)没有除法分配律,故解法一错误; (2)过程见解析,114−.【分析】本题考查了有理数的除法乘法分配律; (1)根据有理数的运算法则进行判断,可得答案;(2)根据有理数的运算顺序,计算原式的倒数,和按照先计算括号内的,最后计算除法,两种方法求解,即可得出答案.【详解】(1)解:没有除法分配律,故解法一错误; (2)解法一:原式的倒数为: 132216143742 −+−÷− , ()132********=−+−×−()()()()13224242424261437=×−−×−+×−−×− 14=−;所以原式114=−; 解法二:原式=17928124242424242 −÷−+−17928124242−+− =−÷1424214=−×114=−. 28.(本题10分)【概念学习】定义新运算:求若干个相同的有理数(均不等于0)的商的运算叫做除方.比加222÷÷,()()()()3333−÷−÷−÷−等,类比有理数的乘方,我们把222÷÷写作2③,读作“2的圈3次方”,()()()()3333−÷−÷−÷−写作()3−④,读作“()3−的圈4次方”.一般地,把n aa a a a ÷÷÷ 个记作:a ⓝ,读作“a 的圈n 次方”.特别地,规定:a a =①.【初步探究】(1)直接写出计算结果:2023=② ;(2)若n 为任意正整数,下列关于除方的说法中,正确的有 ;(横线上填写序号) A .任何非零数的圈2次方都等于1B .任何非零数的圈3次方都等于它的倒数C .圈n 次方等于它本身的数是1或1−D .负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈偶数次方结果是正数【深入思考】我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?(3)请把有理数()0a a ≠的圈n (3n ≥)次方写成幂的形式:a =ⓝ ;(4)计算:()2111472 −−÷−×− ④⑥⑧. 【答案】(1)1;(2)ABD ;(3)21n a − ;(4)1149− 【分析】(1)根据题意,计算出所求式子的值即可;(2(3)根据题意,可以计算出所求式子的值.(4)根据题意,可以计算出所求式子的值.【详解】解:(1)由题意可得,2023202320231=÷=②,故答案为:1;(2)A .因为()10a a a a =÷=≠②,所以任何非零数的圈2次方都等于1,正确;B .因为()10a a a a a a=÷÷=≠③,所以任何非零数的圈3次方都等于它的倒数,正确; C .圈n 次方等于它本身的数是1或1−,说法错误,()11−=②;D .根据新定义以及有理数的乘除法法则可知,负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈偶数次方结果是正数,正确;故答案为:ABD ;(3)21111n a a a a a a a a a a − =÷÷÷÷=⋅⋅= ⓝ,故答案为:21n a −; (4)解:()2114172 −−÷−×− ④⑥⑧ ()()()()711111111967772222− =−÷÷⋅⋅⋅÷−÷−÷−÷−÷−×−÷−÷⋅⋅⋅÷−8个16个 41119647=−−÷×1149=−−4950=−.。

长郡中学2025届高三上学期月考(二)数学试卷(解析版)

长郡中学2025届高三上学期月考(二)数学试卷(解析版)

长郡中学2025届高三月考试卷(二)数学得分__________.本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合{}(){}2,128tAxx B t t ==∈Z ∣∣ ,则A B = ( )A. []1,3−B. {}0,1C. []0,2D. {}0,1,2【答案】D 【解析】【分析】解绝对值不等式与指数不等式可化简集合,A B ,再利用交集的定义求解即可.【详解】{}{}|2=22A x x xx =≤−≤≤∣, 由指数函数的性质可得(){}{}1280,1,2,3tB t t =≤≤∈=Z ∣,所以{}{}{}220,1,2,30,1,2A B xx ∩−≤≤∩∣. 故选:D.2. 已知复数z 满足i 1z −=,则z 的取值范围是( ) A. []0,1 B. [)0,1C. [)0,2D. []0,2【答案】D 【解析】【分析】利用i 1z −=表示以(0,1)为圆心,1为半径的圆,z 表示圆上的点到原点的距离可得答案. 【详解】因为在复平面内,i 1z −=表示到点(0,1)距离为1的所有复数对应的点, 即i 1z −=表示以(0,1)为圆心,1为半径的圆, z 表示圆上的点到原点的距离,所以最短距离为0,最长距离为112+=,则z 的取值范围是[0,2]. 故选:D3. 已知()2:ln (11)1p f x a x x=+−<< −是奇函数,:1q a =−,则p 是q 成立的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】当p 成立,判断q 是否成立,再由q 成立时,判断p 是否成立,即可知p 是q 成立何种条件.【详解】由()f x 奇函数,则()00f =,即()ln 20a +=,解得1a =−, 所以p q ⇒,当1a =−时,()21ln 1ln 11x f x x x +=−=−−,11x −<<, ()()1111ln ln ln 111x x x f x f x x x x −−++∴−===−=− +−−,所以()f x 是奇函数, 所以p q ⇐, 所以p 是q 的充要条件. 故选:A.4. 若锐角α满足sin cos αα−sin 22πα+=( ) A.35B. 35C. 35 或35D. 45−或45【答案】B 【解析】【分析】先利用辅助角公式求出πsin 4α−,再利用角的变换ππsin 2sin 2π24αα+=−+,结合诱导公式和二倍角公式求解即可.【详解】由题意可得πsin cos 4ααα−=−=πsin 4α−.是因为α是锐角,所以πππ,444α −∈−,πcos 4α −所以πππππsin 2sin 2πsin 22sin cos 24444ααααα+=−+=−−=−−−325=−=−. 故选:B.5. 某大学在校学生中,理科生多于文科生,女生多于男生,则下述关于该大学在校学生的结论中,一定成立的是( )A. 理科男生多于文科女生B. 文科女生多于文科男生C. 理科女生多于文科男生D. 理科女生多于理科男生【答案】C 【解析】【分析】将问题转化不等式问题,利用不等式性质求解. 【详解】根据已知条件设理科女生有1x 人,理科男生有2x 人, 文科女生有1y 人,文科男生有2y 人;根据题意可知1212x x y y +>+,2211x y x y +<+,根据异向不等式可减的性质有()()()()12221211x x x y y y x y +−+>+−+, 即有12x y >,所以理科女生多于文科男生,C 正确.其他选项没有足够证据论证. 故选:C.6. 如图,某车间生产一种圆台形零件,其下底面的直径为4cm ,上底面的直径为8cm ,高为4cm ,已知点P 是上底面圆周上不与直径AB 端点重合的一点,且,AP BP O =为上底面圆的圆心,则OP 与平面ABC所成的角的正切值为( )为A. 2B.12C.D.【答案】A 【解析】【分析】作出直线OP 与平面ABC 所成的角,通过解直角三角形来求得直线OP 与平面ABC 所成的角的正切值.【详解】设O ′为下底面圆的圆心,连接,OO CO ′′和CO , 因为AP BP =,所以AB OP ⊥,又因为,,AB OO OP OO O OP OO ′′⊥=⊂′ 、平面OO P ′,所以AB ⊥平面OO P ′, 因为PC 是该圆台的一条母线,所以,,,O O C P ′四点共面,且//O C OP ′, 又AB ⊂平面ABC ,所以平面ABC ⊥平面POC ,又因为平面ABC 平面POC OC =,所以点P 在平面ABC 的射影在直线OC 上, 则OP 与平面ABC 所成的角即为POC OCO ∠=∠′,过点C 作CD OP ⊥于点D ,因为4cm,2cm OP O C ′==, 所以tan tan 2OO POC OCO O C∠=′′∠==′. 故选:A7. 在平面直角坐标系xOy 中,已知直线1:2l y kx =+与圆22:1C x y +=交于,A B 两点,则AOB 的面积的最大值为( )A. 1B.12C.D.【答案】D 【解析】【分析】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围,得出AOB 的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论.【详解】根据题意可得直线1:2l y kx =+恒过点10,2E,该点在已知园内, 圆22:1C x y +=的圆心为()0,0C ,半径1r =,作CD l ⊥于点D ,如下图所示:易知圆心C 到直线l 的距离为12CD CE ≤=,所以1cos 2CD DCB CB ∠=≤, 又π0,2DCB∠∈,可得ππ,32DCB∠∈; 因此可得2π2,π3ACB DCB∠=∠∈,所以AOB 的面积为112πsin 11sin 223AOB S CA CB ACB =∠≤×××= 故选:D 8. 设函数()()2ln f x xax b x =++,若()0f x ≥,则a 的最小值为( )A. 2−B. 1−C. 2D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数性质判断ln x 在不同区间的符号,在结合二次函数性质得1x =为该二次函数的一个零点,结合恒成立列不等式求参数最值.【详解】函数()f x 定义域为(0,)+∞,而01ln 0x x <<⇒<,1ln 0x x =⇒=,1ln 0x x >⇒>, 要使()0f x ≥,则二次函数2y x ax b =++,在01x <<上0y <,在1x >上0y >, 所以1x =为该二次函数的一个零点,易得1b a =−−, 则2(1)(1)[(1)]y x ax a x x a =+−+=−++,且开口向上, 所以,只需(1)0101a a a −+≤⇒+≥⇒≥−,故a 的最小值为1−.故选:B二、多选题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.)9. 已知2n >,且*n ∈N ,下列关于二项分布与超几何分布的说法中,错误的有( ) A. 若1(,)3X B n ,则()22113E X n ++ B. 若1(,)3X B n ,则()4219D X n += C. 若1(,)3X B n ,则()()11P X P X n ===−D. 当样本总数远大于抽取数目时,可以用二项分布近似估计超几何分布 【答案】BC 【解析】【分析】利用二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质计算判断AB ;利用二项分布的概率公式计算判断C ;利用二项分布与超几何分布的关系判断D.【详解】对于A ,由1(,)3X B n ,得()13E X n =,则()22113E X n ++,A 正确; 对于B ,由1(,)3X B n ,得()122339D X n n =×=,则()()82149D X D X n +==,B 错误; 对于C ,由1(,)3X B n ,得11111221(1)C (),(1)C ()3333n n n n n P X P X n −−−==××=−=××,故(1)(1)P X P X n =≠=−,C 错误;对于D ,当样本总数远大于抽取数目时,可以用二项分布近似估计超几何分布,D 正确. 故选:BC10. 已知函数()sin cos (,0)f x x a x x ωωω=+∈>R 的最大值为2,其部分图象如图所示,则( )A. 0a >B. 函数π6f x−为偶函数 C. 满足条件的正实数ω存在且唯一 D. ()f x 是周期函数,且最小正周期为π 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意,求得函数π()2sin(2)3f x x =+,结合三角函数的图象与性质,逐项判定,即可求解.【详解】由函数()sin cos )f x x a x x ωωωϕ=++,且tan a ϕ=,因为函数()f x 的最大值为22=,解得a =,又因为(0)0f a =>,所以a =A 正确; ()πsin 2sin 3f x x x x ωωω ==+因为πππ2sin 1443f ω=+= ,且函数()f x 在π4的附近单调递减,所以ππ5π2π,Z 436k k ω++∈,所以28,Z k k ω=+∈,又因为π24T >,可得π2T >π2>,解得04ω<<,所以2ω=, 此时π()2sin(2)3f x x =+,其最小正周期为πT =,所以C 、D 正确; 设()πππ2sin 22sin 2663F x f x x x=−=−+=,()()2sin[2()]2sin 2F x x x F x −=−=−=−,所以FF (xx )为奇函数,即函数π()6f x −为奇函数,所以B 不正确. 故选:ACD.11. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,准线交x 轴于点D ,直线l 经过F 且与C 交于,A B 两点,其中点A 在第一象限,线段AF 的中点M 在y 轴上的射影为点N .若MN NF =,则( )A. lB. ABD △是锐角三角形C. 四边形MNDF2 D. 2||BF FA FD ⋅> 【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意分析可知MNF 为等边三角形,即可得直线l 的倾斜角和斜率,进而判断A ;可知直线l 的方程,联立方程求点,A B 的坐标,求相应长度,结合长度判断BD ;根据面积关系判断C.【详解】由题意可知:抛物线的焦点为,02p F,准线为2px =−,即,02p D −,设()()112212,,,,0,0A x y B x y y y ><, 则111,,0,2422x y y p M N+,可得, 因为MN NF =,即MN NF MF ==,可知MNF 为等边三角形,即60NMF ∠=°,且MN ∥x 轴,可知直线l 的倾斜角为60°,斜率为tan 60k =°=,故A 正确;则直线:2p l y x =− ,联立方程222p yx y px=− =,解得32p x y ==或6p x y p= =,即32p A,,6p B p,则,M p p N p,可得28,,,2,,33DFp AD p BDp FA p FB p AB p ======,在ABD △中,BD AD AB <<,且2220BD AD AB +−<, 可知ADB ∠为最大角,且为锐角,所以ABD △是锐角三角形,故B 正确;四边形MNDF 的面积为21122MNDF BDF MNF S S S p p p p p =+=×+×=△△,故C 错误; 因为224,3FB FA p FD p ⋅==,所以2||BF FA FD ⋅>,故D 正确; 故选:ABD.【点睛】方法点睛:有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法(1)涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解; (2)面积问题常采用12S =× 底×高,其中底往往是弦长,而高用点到直线距离求解即可,选择底很重要,选择容易坐标化的弦长为底.有时根据所研究三角形的位置,灵活选择其面积表达形式,若求多边形的面积问题,常转化为三角形的面积后进行求解;(3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时,应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用.三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.) 12. 在ABC 中,AD 是边BC 上的高,若()()1,3,6,3AB BC==,则AD =______.【解析】【分析】设()6,3BD mBC m m == ,表达出()61,33AD m m =++ ,根据垂直关系得到方程,求出13m =−,进而得到答案.【详解】设()6,3BD mBC m m == ,则()()()1,36,361,33AD AB BD m m m m =+=+=++,由0AD BC = 得6(61)3(33)366990AD BC m m m m =+++=+++=,解得13m =−,故()()12,311,2AD =−−=− ,所以||AD ..13. 已知定义在RR 上的函数()f x 满足()()23e xf x f x =−+,则曲线yy =ff (xx )在点()()0,0f 处的切线方程为_____________. 【答案】3y x =+ 【解析】【分析】利用方程组法求出函数解析式,然后利用导数求切线斜率,由点斜式可得切线方程. 【详解】因为()()23e xf x f x =−+,所以()()23e x f x f x −−=+,联立可解得()=e 2e xx f x −+,所以()03f =,所以()()e2e ,01xx f x f −=′−+=′. 所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为3y x −=, 故所求的切线方程为3y x . 故答案为:3y x .14. 小澄玩一个游戏:一开始她在2个盒子,A B 中分别放入3颗糖,然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子,如果结果小于3她就将B 中的1颗糖放入A 中,否则将A 中的1颗糖放入B 中,直到无法继续游戏.那么游戏结束时B 中没有糖的概率是__________. 【答案】117【解析】【分析】设最初在A 中有k 颗糖,B 中有6k −颗糖时,游戏结束时B 中没有糖的概率为()0,1,,6k a k = ,归纳找出递推关系,利用方程得出0a ,再由递推关系求3a .【详解】设A 中有k 颗糖,B 中有6k −颗糖,游戏结束时B 中没有糖的概率为()0,1,,6k a k = . 显然0113a a =,()65112112,153333k k k a a a a a k +−=+=+≤≤,可得()112k k k k a a a a +−−=−,则()566510022a a a a a −=−=,()65626765040010002222221a a a a a a a a a a ∴=+=++=+++=− ,同理()256510002221a a a a a =+++=− ,()()760021212133a a ∴−=−+,解得011385255a ==× ()430112115.25517a a ∴=−=×=故答案为:117【点睛】关键点点睛:本题的关键在于建立统一的一个6颗糖果放入2个盒子不同情况的模型,找到统一的递推关系,利用递推关系建立方程求出0a ,即可得出这一统一模型的答案.四、解答题(本大题共5小题,共77分,解签应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知数列{}n a 中,11a =,且0,n n a S ≠为数列{}n a 的前nn a =.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若1(1)n n n n n c a a +−=,求数列{}n c 的前n 项和. 【答案】(1)21na n =− (2)421,42n n n n T n n n − += + − + ,为偶数为奇数 【解析】【分析】(1)1={aa nn }的通项公式; (2) 求出(1)1142121n n c n n − =+ −+,再讨论n 为奇、偶数,利用裂项相消法即可求数列{}n c 的前n 项和. 【小问1详解】 根据题意知1,2n n n a S S n −=−≥0n a +≠=②,1,2n =≥,所以可得1=为首项,1为公差的等差数列,11n n =+−=,所以2n S n =,121,2n n n a n S S n −−==−≥,当1n =时11a =也满足该式,所以21na n =−. 【小问2详解】由(1)结论可知21n a n =−,所以()()1(1)(1)(1)11212142121n n n n n n n n c a a n n n n +−−− ===+ −+−+, 设{}n c 的前n 项和为n T ,则当n 为偶数时,111111111111433557212142142n n T n n n n =−+++−++++=−+=− −+++则当n 为奇数时,1111111111111433557212142142n n T n n n n + =−+++−++−+=−−=− −+++所以421,42n n n n T n n n − += + − + ,为偶数为奇数.16. 如图,在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中,四边形ABCD 与四边形CDEF 均为等腰梯形,AB∥,CD EF ∥,224CD CD AB EF ===,AD DE AE ===.(1)证明:平面ABCD ⊥平面CDEF ;(2)若M 为线段CD 1=,求二面角A EM B −−的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2【解析】【分析】(1)通过勾股定理及全等得出线线垂直,应用线面垂直判定定理得出OE ⊥平面ABCD ,由OE ⊂平面CDEF 进而得出面面垂直;(2)由面面垂直建立空间直角坐标系,分别求出法向量再应用向量夹角公式计算二面角余弦值.【小问1详解】证明:在平面CDEF 内,过E 做EO 垂直于CD 交CD 于点O ,由CDEF 为等腰梯形,且24CD EF ==,则1,DO =又OE =,所以2OE ,连接AO ,由ADO EDO ≅ ,可知AO CD ⊥且2AO =,所以在三角形OAE 中,222AE OE OA =+,从而OE OA ⊥,又,,,OE CD OA CD O OA CD ⊥∩=⊂平面ABCD ,,所以OE ⊥平面ABCD , 又OE ⊂平面CDEF ,所以平面ABCD ⊥平面CDEF【小问2详解】由(1)知,,,OE OC OA 两两垂直,以O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()()0,0,2,2,0,0,0,2,0,0,2,2A E M B ,()()()2,0,2,2,2,0,0,0,2AE EM MB =−=−= ,设平面AEM 的一个法向量为(),,n x y z =, 则00n AE n EM ⋅= ⋅=,即220220x z x y −= −+= , 取1z =,则()1,1,1n = ,设平面BEM 的一个法向量为()111,,m x y z =, 则00m MB m EM ⋅= ⋅=,即11120220z x y = −+= , 取11y =,则()1,1,0m = ,所以cos,m nm nm n⋅==⋅由图可以看出二面角A EM B−−为锐角,故二面角A EM B−−.17. 已知函数2()e2,Rxf x ax a=−∈.(1)求函数()f x的单调区间;(2)若对于任意的0x>,都有()1f x≥恒成立,求a的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)(],1−∞【解析】【分析】(1)对2()e2xf x ax=−求导,可得2()2e2xf x a′=−,再分类讨论a的取值,得出导数的正负即可得出单调区间;(2)对a进行分类讨论,根据导数正负求得()f x的最小值,判断是否满足()1f x≥,即可求解.【小问1详解】对2()e2xf x ax=−求导,可得2()2e2xf x a′=−,令()0f x′=,即22e20x a−=,即2e x a=,当0a≤时,ff′(xx)>0恒成立,()f x在R上单调递增;当0a>时,21e,2ln,ln2x a x a x a===,当1ln2x a<时,()()0,f x f x′<在1,ln2a∞−上单调递减;当1ln2x a>时,ff′(xx)>0,()f x在1ln,2a∞+上单调递增;综上,当0a≤时,()f x单调递增区间为R;当0a>时,()f x的单调递减区间为1,ln2a∞−,单调递增区间为1ln,2a∞+.【小问2详解】因为对于任意的0x>,都有()1f x≥恒成立,的的对2()e 2x f x ax =−求导,可得2()2e 2x f x a ′=−,令()0f x ′=,即22e 20x a −=,即2e x a =,①当0a ≤时,ff ′(xx )>0,则()f x 在(0,+∞)单调递增,()()01f x f >=,符合题意; ②当01a <≤时,2e x a =,则1ln 02x a ≤, 则()0f x ′>,()f x 在(0,+∞)单调递增,()()01f x f >=,符合题意; ③当1a >时,2e x a =,则1ln 02xa >, 当10,ln 2x a∈ 时,()0f x ′<,则()f x 在10,ln 2a单调递减, 当1ln ,2x a ∞ ∈+ 时,()0f x ′>,则()f x 在1ln ,2a ∞ +单调递增, 所以()ln 11ln e 2ln ln 22a f x f a a a a a a ≥=−⋅=−, 令()ln ,1g a a a a a =−>,则()ln 0g a a ′=−<, 所以()g a 在(1,+∞)上单调递减,所以()()11g a g <=,不合题意; 综上所述,(],1a ∞∈−.18. 已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,,F F E 的一条渐近线方程为y =,过1F 且与x 轴垂直的直线与E 交于P ,Q 两点,且2PQF 的周长为16.(1)求E 的方程;(2),A B 为双曲线E 右支上两个不同的点,线段AB 的中垂线过点()0,4C ,求ACB ∠的取值范围.【答案】(1)22:13y E x −=; (2)2π0,3. 【解析】 【分析】(1)将x c =−代入曲线E 得2b y a =±,故得211b PF QF a==,从而结合双曲线定义以及题意得24416b a b a a = +=,解出,a b 即可得解. (2)设:AB y kx m =+,联立双曲线方程求得中点坐标,再结合弦长公式求得ACM ∠的正切值,进而得ACM ∠范围,从而由2ACB ACM ∠=∠即可得解.【小问1详解】将x c =−代入2222:1(0,0)x y E a b a b −=>>,得2b y a=±, 所以211b PF QF a==,所以2222b PF QF a a ==+,所以由题得24416b a b a a= +=,1a b = ⇒ = 所以双曲线E 的方程为22:13y E x −=. 【小问2详解】由题意可知直线AB斜率存在且k ≠,设:AB y kx m =+,AA (xx 1,yy 1),BB (xx 2,yy 2),设AB 的中点为M . 由2233y kx m x y =+ −=消去y 并整理得222(3)230k x kmx m −−−−=,230k −≠, 则22222(2)4(3)(3)12(3)0km k m m k ∆=+−+=+−>,即223m k >−, 12223km x x k+=−,212233m x x k +=−−,12122226()2233km m y y k x x m k m k k +=++=⋅+=−−,于是M 点为2(3km k −,23)3m k −,2223431243M C MC M m y y m k k k km x kmx k −−−+−===−. 由中垂线知1A MC B k k ⋅=−,所以231241m k km k−+=−,解得:23m k =−. 所以由,A B 在双曲线的右支上可得:22221220333033m m x x m k k k m+−<+=−=>⇒⇒=−>−, 且12222003km x x k k k+>⇒>−, 且()()()()()22222222Δ43390333403m k k k k k k =−+>⇒−+−=−−>⇒<或24k >, 综上24k >即2k >,又CM =, 所以tan AM ACM CM ∠===因为24k >,所以213m k =−<−,故2333k 0−−<<(, 所以π0,3ACM∠∈. 所以2π20,3ACB ACM∠=∠∈ . 19. 对于集合,A B ,定义运算符“Δ”:Δ{,A B x x A x B =∈∈∣两式恰有一式成立},A 表示集合A 中元素的个数.(1)设][1,1,0,2A B =−= ,求ΔA B ;(2)对于有限集,,A B C ,证明ΔΔΔA B B C A C +≥,并求出固定,A C 后使该式取等号的B 的数量;(用含,A C 的式子表示)(3)若有限集,,A B C 满足ΔΔΔA B B C A C +=,则称有序三元组(),,A B C 为“联合对”,定义{}*1,2,,,I n n ∈N ,(){},,,,u A B C A B C I ⊆∣. ①设m I ∈,求满足ΔA C m =的“联合对”(),,A B C u ⊆的数量;(用含m 的式子表示) ②根据(2)及(3)①的结果,求u 中“联合对”的数量.【答案】(1)[1,0)(1,2]−∪(2)||2A C ∆(3)①C 2m n m n +⋅②6n【解析】【分析】(1)根据新定义,对区间逐一分析即可得解;(2)利用韦恩图及新定义,求出不等式等号成立的条件,利用集合的性质转化为求子集个数; (3)①分别求出(),A C ,B 取法的种数,再由分步乘法计数原理得解②结合(2)及(3)①的结果,利用二项式定理求解.【小问1详解】对于,,[1),0x x A x B −∈∈∉,故x A B ∈∆;对于,,[0,1]x x A x B ∈∈∈,故x A B ∉∆;对于,,(1,2]x x A x B ∉∈∈,故x A B ∈∆;对于,,[1],2x x A x B ∉−∉∉,故x A B ∉∆,即[10)(12],,A B −∆ .【小问2详解】画出Venn 图,如图,将A B C 划分成7个集合17,,S S ,则14562547||||||||||,||||||||||A B S S S S B C S S S S ∆=+++∆=+++,1267||||||||||A C S S S S ∆=+++,故45||||||2||2||0A B B C A C S S ∆+∆−∆=+≥不等式成立,当且仅当45S S ==∅时取等号, 4S =∅等价于()A C B ∩⊆,5S =∅等价于()B A C ⊆∪,故当且仅当()()A C B A C ∩⊆⊆∪取等号. 设()B A C D =∩∪,其中集合D 与A C 无交集,由于()\()A C A C A C ∆= ,故有()()\ΔD A C A C A C ∅⊆⊆∪∩=,即D 为A C ∆的某一子集,有||2A C ∆种,从而使上式取等的B 有||2A C ∆个.【小问3详解】①设X A C u =∆⊆,有||X m =,故X 有C m n 种取法,对于每一个x ,知X 中每一个元素x 有两种情形:,x A x C ∈∉或,x A x C ∉∈,且/I X 中每一个元素x 有两种情形:,x A x C ∈∉或,x A x C ∉∈,故,x I x ∀∈共有两种选择,也就是这样的(),A C 有||22I n =种,对于每一个(),A C ,由(2)知B 有||22A C m ∆=种取法.故由乘法原理,这样的“联合对(),,A B C 有C 2m n m n +⋅个.②由①知,u 中“联合对”的数量为()00C 22C 212216n n n m n m n m m n m n n nnm m +−===⋅=+=∑∑(二项式定理), 故u 中“联合对”(),,A B C 的数量为6n .【点睛】关键点点睛:集合新定义问题的关键在于理解所给新定义,会抽象的利用集合的知识,分步乘法计数原理,二项式定理推理运算,此类问题难度大.。

2024-2025学年河北省省级联测高三(上)月考数学试卷(含答案)

2024-2025学年河北省省级联测高三(上)月考数学试卷(含答案)

2024-2025学年河北省省级联测高三(上)月考数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={−1,2,3,4},B ={x ∈Z|y =ln (9−x 2)},则A ∩B =( )A. {1,2,3}B. {−1,2}C. {2,3}D. {0,1,2,3,4}2.已知复数z 1=a 2−3a +3i ,z 2=2+(a 2−4a)i ,a ∈R ,若z 1+z 2为纯虚数,则a =( )A. 1或2B. 1C. 2D. 33.已知向量a ,b 满足|a |=2,b =(2,0),且|a +b |=2,则a 在b 上的投影向量的坐标为( )A. (−1,0)B. (1,0)C. (−2,0)D. (2,0)4.已知cos (α+π2)=2cos(α+3π),则sin 2α+12sin2αcos 2α=( )A. −14 B. 34 C. 2D. 65.某中学开展劳动实习,学习制作模具,有一个模具的毛坏直观图如图所示,它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体,已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面(过圆柱上、下底面圆的圆心连线的平面)ABCD 是面积为16的正方形,则该几何体的体积为( )A. 16π3B. 16πC. 64π3D. 72π6.设S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和,3S 2=a 1+2a 3,a 3=8,则数列{a n +2n−1}的前5项和为( )A. 55B. 57C. 87D. 897.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象先向右平移π4个单位长度,再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若关于x 的方程g(x)−m =0在x ∈[−π12,π6]上有两个不等实根,则实数m 的取值范围为( )A. (−2,2]B. (−2,− 3]C. [ 3,2]D. (− 3, 3]8.已知定义域为R的函数f(x)不是常函数,且满足f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=0,则∑2026i=1f (i)=( )A. −2B. 2C. −2026D. 2026二、多选题:本题共3小题,共18分。

2024-2025学年初中九年级上学期第一次月考数学试题及答案(苏科版)

2024-2025学年初中九年级上学期第一次月考数学试题及答案(苏科版)

2024-2025学年度第一学期第一次月考模拟试卷一、单选题1. 下列是一元二次方程的是( )A. 20ax bx c ++=B. 22x x −=C. ()222x x x −=−D. 11x x+= 2. 一元二次方程2310x x −−=的根的情况为( )A. 无实数根B. 有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根3. 一元二次方程2430x x −+=配方后变形为( )A. ()241x −=B. ()221x −=C. ()241x +=D. ()221x += 4. 若关于x 一元二次方程2690kx x −+=有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( )A. 1k >B. 0k ≠C. 1k <D. 1k <且0k ≠ 5. 将抛物线2y x =先向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线对应的函数解析式为( )A. ()223y x =−+B. ()232y x =−+ C. ()223y x =++ D. ()232y x =−− 6. 若()()()1232,,1,,2,A y B y C y −是抛物线()221y x a =−+上的三点,则123,,y y y 为的大小关系为( )A 123y y y >> B. 132y y y >> C. 321y y y >> D. 312y y y >> 7. 若抛物线242y kx x =−−与x 轴有两个交点,则k 的取值范围为( )A. 2k >−B. 2k ≥−C. 2k >−且0k ≠D. 2k ≥−且0k ≠ 8. 二次函数2y ax bx c =++图象上部分点的对应值如下表则使0y <的x 的取值范围为( ) x 3− 2− 1− 01 2 3 4 y 60 4− 6− 6− 4− 0 6A. 0x <B. 12x >C. 23x −<<D. 2x <−或3x >的.二、填空题9. 已知m 是方程2520x x −−=的一个根,则22101m m −−=______. 10. 一元二次方程()2110x k x +++=有两个相等的实数根,那么k 的值为_____. 11. 若关于x 的一元二次方程()22240m x mx m −++−=有一个根是0,则m 的值为________ 12. 用一根长22cm 的铁丝围成面积是230cm 的矩形.假设矩形的一边长是cm x ,则可列出方程_____________________13. 如图,已知抛物线2y ax bx c ++与直线y kx m =+交于()3,1A −−、()0,3B 两点,则关于x 的不等式2ax bx c kx m ++≥+的解集是________.14. 抛物线()232y x =−−−的顶点坐标是________ .15. 已知二次函数()214y x =+−,当02x ≤≤时,函数值y 取值范围为__________16. 飞机着陆后滑行的距离(米)关于滑行时间(秒)的函数解析式为260 1.5s t t =−,则飞机着陆后滑行_________秒才停下来.17. 如图所示,,A B 分别为22(2)1y x =−−图象上的两点,且直线AB 垂直于y 轴,若2AB =,则点B 的纵坐标为________.18. 如图,横截面为抛物线的山洞,山洞底部宽为8米,最高处高163米,现要水平放置横截面为正方形的箱子,其中两个顶点在抛物线上的大箱子,在大箱子的两侧各放置一个横截面为正方形的小箱子,则小箱子的正方形的最大边长为______米.三、解答题19. 商场销售某种拖把,已知这种拖把的进价为80元/套,售价为120元/套,商场每天可销售20套、国庆假期临近,该商场决定采取适当的降价措施,经调查:这种拖把的售价每降价1元,平均每天可多售出2套,设这种拖把每套降价x 元.(1)降价后每套拖把盈利______元,平均每天可销售______套(用含x 的代数式表示);(2)为扩大销售量,尽快减少库存,当每套拖把降价多少元时,该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元?(3)该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元?若能,求出x 的值;若不能,请说明理由. 20. 解方程:(1)2(2x 1)9+=;(2)2x 2﹣4x =1(配方法);(3)22x 5x 10−+=;(4) ()2(x 3)4x 3x 0−−−= 21. 随着科技的发展,某省正加快布局以5G 等为代表的新兴产业.据统计,目前该省5G 基站数量约为1.5万座,计划到今年底,全省5G 基站数是目前的4倍;到后年底,全省5G 基站数量将达到17.34万座.(1)计划在今年底,全省5G 基站数量是多少万座?(2)按照计划,从今年底到后年底,全省5G 基站数量的年平均增长率为多少?22. 如图,老李想用长为70m 的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD ,并在边BC 上留一个2m 宽的门(建在EF 处,另用其他材料).(1)当羊圈的边AB 的长为多少米时,能围成一个面积为2640m 的羊圈?(2)羊圈的面积能达到2650m 吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.23. 已知函数()214y x =−−+.(1)当x =____________时,抛物线有最大值,____________.(2)当x ____________时,y 随x 的增大而增大.(3)该函数可以由函数2y x =−的图象经过怎样的平移得到?(4)该抛物线与x 轴交于点____________,与y 轴交于点____________.(写坐标)(5)在下面的坐标系中画出该抛物线的图象.24. 已知图象的顶点坐标是()2,1,且与x 轴的一个交点坐标是()3,0,求此二次函数的解析式. 25. 已知:二次函数()221y x m x m =−++−. (1)求证:该抛物线与x(2)设抛物线与x 轴的两个交点是A B 、(A 在原点左边,B 在原点右边),且3AB =,求此时抛物线的解析式.26. 若直线5y x =−与y 轴交于点A ,与x 轴交于点B ,二次函数2y ax bx c =++的图象经过点A ,点B ,且与x 轴交于点()1,0C −.(1)求二次函数解析式;(2)若点P 为直线AB 下方抛物线上一点,连接PA ,PB ,求ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标;是的2024-2025学年度第一学期第一次月考模拟试卷一、单选题1. 下列是一元二次方程的是( )A. 20ax bx c ++=B. 22x x −=C. ()222x x x −=−D. 11x x += 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别.本题根据一元二次方程的定义解答.【详解】解:A 、当0a ≠时,20ax bx c ++=是一元二次方程,故本选项不符合题意; B 、22x x −=是一元二次方程,故本选项符合题意;C 、变形为22x =不是一元二次方程,故本选项不符合题意;D 、11x x+=含有分式,不是一元二次方程,故本选项不符合题意; 故选:B2. 一元二次方程2310x x −−=的根的情况为( )A. 无实数根B. 有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根【答案】D【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的情况,涉及一元二次方程根的判别式,由题中一元二次方程得到判别式,即可判断答案,熟记一元二次方程根的情况与判别式符号关系是解决问题的关键.【详解】解:一元二次方程2310x x −−=, 3,1,1a b c ==−=−,()()21431∴∆−−××−112=+130=>,∴一元二次方程2310x x −−=的根的情况为有两个不相等的实数根,故选:D .3. 一元二次方程2430x x −+=配方后变形为( )A. ()241x −=B. ()221x −=C. ()241x +=D. ()221x +=【答案】B【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法,掌握配方法是解题的关键.先把常数项移到方程右边,再把方程两边加上4,然后把方程左边写成完全平方形式即可.【详解】解:2430x x −+=,∴243x x −=−,∴24434x x −+=−+,即()221x −=.故选:B4. 若关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( )A. 1k >B. 0k ≠C. 1k <D. 1k <且0k ≠ 【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式.根据一元二次方程根的判别式,即可求解.【详解】解:∵关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有两个不相等的实数根,∴()26490k ∆=−−×>,且0k ≠,解得:1k <且0k ≠,即k 的取值范围是1k <且0k ≠.故选:D5. 将抛物线2y x =先向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线对应的函数解析式为( )A. ()223y x =−+B. ()232y x =−+ C. ()223y x =++ D. ()232y x =−− 【答案】B【解析】【分析】本题考查函数图象的平移,解题的关键是要熟练掌握函数的平移规律:“左加右减,上加下减”,根据函数图象平移规律即可得到答案.【详解】解:将抛物线2y x =先向上平移2个单位长度,得到22y x =+,再向右平移3个单位长度,得到()232y x =−+, 故选:B .6. 若()()()1232,,1,,2,A y B y C y −是抛物线()221y x a =−+上三点,则123,,y y y 为的大小关系为( )A. 123y y y >>B. 132y y y >>C. 321y y y >>D. 312y y y >>【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质,掌握当抛物线开口方向向上时,离对称轴越远,函数值越大成为解题的关键.先确定抛物线的对称轴,再确定抛物线开口向上,此时离对称轴越远,函数值越大,据此即可解答.【详解】解:∵()221y x a =−+,∴抛物线的对称轴为直线1x =,开口向上,∴离对称轴越远,函数值越大,∵点()12,A y −离对称轴最远,点()21,B y 在对称轴上,∴132y y y >>.故选:B .7. 若抛物线242y kx x =−−与x 轴有两个交点,则k 的取值范围为( )A. 2k >−B. 2k ≥−C. 2k >−且0k ≠D. 2k ≥−且0k ≠ 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系,二次函数的定义,二次函数与x 轴有两个交点,则与之对应的一元二次方程有两个不相等的实数根,据此利用判别式求出k 的取值范围,再结合二次项系数不为0即可得到答案.【详解】解:∵抛物线242y kx x =−−与x 轴有两个交点, 的∴()()2Δ44200k k =−−×−⋅> ≠ , ∴2k >−且0k ≠,故选:C .8. 二次函数2y ax bx c =++图象上部分点的对应值如下表则使0y <的x 的取值范围为( ) x 3− 2− 1− 01 2 3 4 y 60 4− 6− 6− 4− 0 6A. 0x <B. 12x >C. 23x −<<D. 2x <−或3x >【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质,先求出二次函数的表达式,再根据与x 轴的交点即可求出0y <的x 的取值范围,解题的关键是求出二次函数2y ax bx c ++的表达式.【详解】解:由表格可知2y ax bx c ++经过()2,0−,()3,0,()0,6−,设解析式为()()23y a x x =+−∴()()02036a +−=−, 解得:1a =,∴抛物线解析式为()()2236y x x x x =+−=−−,∴抛物线图象开口向上,与x 轴的交点为()2,0−,()3,0,∴0y <时x 的取值范围是23x −<<,故选:C .二、填空题9. 已知m 是方程2520x x −−=的一个根,则22101m m −−=______. 【答案】3【解析】【分析】本题考查一元二次方程的根的定义、代数式求值,根据一元二次方程的根的定义,将m 代入2520x x −−=,求出252m m −=,即可求出22101m m −−的值.【详解】解:∵m 是方程2520x x −−=的一个根,∴252m m −=,∴()2221012512213,m m m m −−=−−=×−=故答案为:3. 10. 一元二次方程()2110x k x +++=有两个相等的实数根,那么k 的值为_____. 【答案】1或3−【解析】【分析】本题考查了根的判别式:一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系:当0∆>时,方程有两个不相等的实数根;当Δ0=时,方程有两个相等的实数根;当Δ0<时,方程无实数根.根据判别式的意义得到()2Δ1410k =+−×=,然后解关于k 的方程即可. 【详解】解:由题意得:()2Δ1410k =+−×=,即:()214k +=,解得:1k =或3−,故答案为:1或3−. 11. 若关于x 的一元二次方程()22240m x mx m −++−=有一个根是0,则m 的值为________ 【答案】2−【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的定义及方程的解的定义,将0x =代入方程求出2m =±,再根据一元二次方程的定义求出2m ≠,由此得到答案,正确理解一元二次方程的定义及方程的解的定义是解题的关键.【详解】解:将0x =代入()22240m x mx m −++−=,得240m −=, 解得2m =±,∵20m −≠,∴2m ≠,∴2m =−,故答案为2−.12. 用一根长22cm 的铁丝围成面积是230cm 的矩形.假设矩形的一边长是cm x ,则可列出方程_____________________ 【答案】22=302x x −【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的运用,要掌握运用长方形的面积计算公式S ab =来解题的方法.本题可根据长方形的周长可以用x 表示另一边长的值,然后根据面积公式即可列出方程.【详解】解:一边长为 c m x ,则另一边长为22cm 2x −, 得22=302x x −. 故答案为:22=302x x −. 13. 如图,已知抛物线2y ax bx c ++与直线y kx m =+交于()3,1A −−、()0,3B 两点,则关于x 的不等式2ax bx c kx m ++≥+的解集是________.【答案】30x −≤≤【解析】【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系,主要利用了数形结合的思想,解题关键在于对图象的理解,题目中的不等式的含义为:二次函数的图象在一次函数图象上方时,自变量x 的取值范围.根据图象,写出抛物线在直线上方部分的x 的取值范围即可.【详解】∵抛物线2y ax bx c ++与直线y kx m =+交于()3,1A −−、()0,3B 两点, ∴由函数图象可得,不等式2ax bx c kx m ++≥+的解集是30x ≤≤﹣,故答案为:30x −≤≤.14. 抛物线()232y x =−−−的顶点坐标是________ . 【答案】()3,2− 【解析】【分析】本题考查了二次函数2()y a x h k =−+(a ,h ,k 为常数,0a ≠)性质,2()y a x h k =−+是抛物线的顶点式,a 决定抛物线的形状和开口方向,其顶点是(,)h k ,对称轴是直线x h =. 【详解】解:物线()232y x =−−−的顶点坐标是()3,2−.故答案为:()3,2−.15. 已知二次函数()214y x =+−,当02x ≤≤时,函数值y 的取值范围为__________ 【答案】35y −≤≤##53x ≥≥− 【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与性质,根据题意得当1x >−时,y 随x 的增大而增大,求得当0x =时,=3y −;2x =时,5y =,即可求解.【详解】解:由题意得,10a =>,对称轴1x =−, ∴当1x >−时,y 随x 增大而增大, ∵当0x =时,=3y −;2x =时,5y =,∴当02x ≤≤时,函数值y 的取值范围为35y −≤≤, 故答案为:35y −≤≤.16. 飞机着陆后滑行的距离(米)关于滑行时间(秒)的函数解析式为260 1.5s t t =−,则飞机着陆后滑行_________秒才停下来. 【答案】20 【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用,飞机停下时,也就是滑行距离最远时,即在本题中需求出s 最大时对应的t 值,根据顶点坐标的实际意义可得答案. 【详解】∵()2260 1.5 1.520600s t t t =−=−−+, ∴当20t =时,s 取得最大值600, ∴飞机着陆后滑行20秒才停下来.的的故答案:20.17. 如图所示,,A B 分别为22(2)1y x =−−图象上的两点,且直线AB 垂直于y 轴,若2AB =,则点B 的纵坐标为________.【答案】1 【解析】【分析】本题主要考查二次函数图象的对称性,能够熟练运用对称轴求点的横坐标是解题关键.求出对称轴后根据对称性求点B 横坐标,再代入解析式即可解答. 【详解】解:∵()2221y x =−−, ∴抛物线对称轴为直线2x =, ∵2AB =,∴点B 横坐标为213+=,将3x =代入()2221y x =−−得1y =, ∴点B 的纵坐标为1. 故答案为:118. 如图,横截面为抛物线的山洞,山洞底部宽为8米,最高处高163米,现要水平放置横截面为正方形的箱子,其中两个顶点在抛物线上的大箱子,在大箱子的两侧各放置一个横截面为正方形的小箱子,则小箱子正方形的最大边长为______米.【解析】为【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用,先建立解析中坐标系,则()4,0A ,设大小正方形的边长分别为2m ,n ,则点B 、C 的坐标分别为:()(),2,m m m n n +,,利用待定系数法求出抛物线解析式为211633y x =−+,再把B 、C 坐标代入求解即可.【详解】解:建立如下平面直角坐标系,则点()4,0A ,设大小正方形的边长分别为2m ,n ,则点B 、C 的坐标分别为:()(),2,m m m n n +,、设抛物线的表达式为:()21603y ax a =+≠, 将点A 的坐标代入上式得:160163a =+,解得13a =−,∴抛物线的表达式为:213y x =− 将点B 、C 的坐标代入上式得:()2211623311633m m n m n =−+ =−++①②,由①得1228m m ==−,(舍去),解得:2m n = = 或2m n = =(舍去),米.. 三、解答题19. 商场销售某种拖把,已知这种拖把的进价为80元/套,售价为120元/套,商场每天可销售20套、国庆假期临近,该商场决定采取适当的降价措施,经调查:这种拖把的售价每降价1元,平均每天可多售出2套,设这种拖把每套降价x 元.(1)降价后每套拖把盈利______元,平均每天可销售______套(用含x 的代数式表示);(2)为扩大销售量,尽快减少库存,当每套拖把降价多少元时,该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元?(3)该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元?若能,求出x 的值;若不能,请说明理由. 【答案】(1)()40x −,2x(2)每套拖把降价17元时,能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元; (3)不能,理由见解析 【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用,解题的关键是正确分析题目中的等量关系. (1)设每套拖把降价x 元,根据题意列出代数式即可;(2)设每套拖把降价x 元,则每套的销售利润为()40x −元,平均每天的销售量为()202x +套,根据题意列出一元二次方程求解即可;(3)设每套拖把降价y 元,则每套的销售利润为()12080y −−元,平均每天的销售量为()202y +套,根据题意列出一元二次方程,然后依据判别式求解即可. 【小问1详解】解:设每套拖把降价x 元,则每天销售量增加2x 套,即每天销售()202x +套, 每套拖把盈利()1208040x x −−=−元.故答案为:()40x −,()202x +; 【小问2详解】解:设每套拖把降价x 元,则每套的销售利润为()40x −元,平均每天的销售量为()202x +套,依题意得:()()402021242x x −+=, 整理得:2302210x x −+=,解得:121317x x ==,. 又∵需要尽快减少库存,∴17x =.答:每套拖把降价17元时,能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元; 【小问3详解】解:商家不能达到平均每天盈利1400元,理由如下:设每套拖把降价y 元,则每套的销售利润为()12080y −−元,平均每天的销售量为()202y +套,依题意得:()()120802021400y y −−+=, 整理得:2303000y y −+=. ∵()22Δ43041300300<0b ac =−=−−××=−, ∴此方程无实数解, 即不可能每天盈利1400元. 20. 解方程:(1)2(2x 1)9+=; (2)2x 2﹣4x =1(配方法); (3)22x 5x 10−+=;(4) ()2(x 3)4x 3x 0−−−=【答案】(1)121,2x x ==−;(2)1211x x ;(3)12x x ;(4)1233,5x x == 【解析】【分析】(1)直接开平方法解方程即可;(2)先方程两边除以2,将二次项系数化为1,再在方程两边同时加上1,配方开平方即可解答; (3)确定a 、b 、c ,求出△值,当判断方程有解时,带入公式求解即可; (4)整理方程,利用因式分解法解方程即可. 【详解】(1)2(2x 1)9+= 开平方,得:2x 13+=±, 解得:121,2x x ==−; (2)22x 41x −=,二次项系数化为1,得:21x 22x −=, 配方,得:21x 2112x −+=+, 即23(x 1)2−=,开方,得:1x −=解得:1211x x (3)22x 5x 10−+= ∵a=2,b=﹣5,c=1,∴△=224(5)42117b ac −=−−××=﹥0,∴x =,解得:12x x =(4)()2(x 3)4x 3x 0−−−= ()2(x 3)4x 30x +−−=(3)(53)0x x −−=∴30x −=或530x −=,解得:1233,5x x ==. 【点睛】本题考查解一元二次方程的方法,熟练掌握一元二次方程的各种解法的步骤和注意点,灵活选用解法是解答的关键.21. 随着科技的发展,某省正加快布局以5G 等为代表的新兴产业.据统计,目前该省5G 基站数量约为1.5万座,计划到今年底,全省5G 基站数是目前的4倍;到后年底,全省5G 基站数量将达到17.34万座.(1)计划在今年底,全省5G 基站数量是多少万座?(2)按照计划,从今年底到后年底,全省5G 基站数量的年平均增长率为多少? 【答案】(1)6万座 (2)70% 【解析】【分析】本题考查有理数乘法的应用,一元二次方程的实际应用:(1)根据计划到今年底,全省5G 基站数是目前的4倍,列出算式计算即可;(2)设全省5G 基站数量的年平均增长率为x ,根据题意,列出一元二次方程,进行求解即可 【小问1详解】解:由题意得:1.546×=(万座); 答:计划在今年底,全省5G 基站数量是6万座. 【小问2详解】解:设全省5G 基站数量的年平均增长率为x ,由题意得:()26117.34x +=,解得:120.7, 2.7x x ==−(不符合题意,舍去); 答:全省5G 基站数量的年平均增长率为70%.22. 如图,老李想用长为70m 的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD ,并在边BC 上留一个2m 宽的门(建在EF 处,另用其他材料).(1)当羊圈的边AB 的长为多少米时,能围成一个面积为2640m 的羊圈?(2)羊圈的面积能达到2650m 吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由. 【答案】(1)当羊圈的边AB 的长为16m 或20m 时,能围成一个面积为2640m 的羊圈 (2)羊圈的面积不能达到2650m ,理由见解析 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用,根据题意列出一元二次方程,解一元二次方程是解题的关键. (1)设羊圈的边AB 的长为m x ,则边BC 的长为()722m x -根据题意列出一元二次方程,解方程即可求解;(2)同(1)的方法建立方程,根据方程无实根即可求解. 【小问1详解】解:设羊圈的边AB 的长为m x ,则边BC 的长为()722m x -,根据题意,得()722640x x −=,化简,得2363200x x −+=,解方程,得116x =,220x =,当116x =时,72240x −=, 当220x =时,72232x −=.答:当羊圈的边AB 的长为16m 或20m 时,能围成一个面积为2640m 的羊圈. 【小问2详解】不能,理由如下:根据题意,得()722650x x −=, 化简,得2363250x x −+=,()22436432540b ac −=−×=−−< , ∴该方程没有实数根. ∴羊圈的面积不能达到2650m 23. 已知函数()214y x =−−+.(1)当x =____________时,抛物线有最大值,是____________. (2)当x ____________时,y 随x 的增大而增大.(3)该函数可以由函数2y x =−的图象经过怎样的平移得到?(4)该抛物线与x 轴交于点,与y 轴交于点____________.(写坐标) (5)在下面的坐标系中画出该抛物线的图象.【答案】(1)1;4 (2)1<(3)见解析 (4)(1,0)−和(3,0);(0,3) (5)见解析 【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x 轴的交点坐标、二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.(1)根据二次函数的顶点式找出抛物线的顶点坐标,再根据二次项系数为1−得出抛物线开口向下,由此即可得出结论;(2)根据抛物线开口方向结合抛物线的对称轴,即可找出单增区间;(3)找出函数2y x =−的顶点坐标,结合函数2(1)4y x =−−+的顶点坐标,即可找出平移的方法; (4)令0y =可得出关于x 的一元二次方程,解方程求出x 值,由此得出抛物线与x 轴的交点坐标;令0x =求出y 值,由此即可得出抛物线与y 轴的交点坐标;(5)列表,描点,连线即可画出该抛物线的图象. 【小问1详解】解: 函数解析式为2(1)4y x =−−+,∴抛物线的开口向下,顶点坐标为(1,4). ∴当1x =时,抛物线有最大值,是4.故答案为:1;4; 【小问2详解】解: 抛物线的开口向下,对称轴为1x =,∴当1x <时,y 随x 的增大而增大.故答案为:1<; 【小问3详解】解: 函数2y x =−的顶点坐标为(0,0),∴将函数2y x =−的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度即可得出函数2(1)4y x =−−+的图象.【小问4详解】解:令0y =,则有2(1)40x −−+=, 解得:11x =−,23x =,∴该抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)−和(3,0).当0x =时,2(01)43y =−−+=, ∴该抛物线与y 轴的交点坐标为(0,3).故答案为:(1,0)−和(3,0);(0,3). 【小问5详解】 解:列表:x 1−0 1 2 3 y343描点,连线,该抛物线的图象如图:.24. 已知图象的顶点坐标是()2,1,且与x 轴的一个交点坐标是()3,0,求此二次函数的解析式. 【答案】()221y x =−−+ 【解析】【分析】本题主要考查了求二次函数解析式,先把解析式设顶点式,再利用待定系数法求解即可. 【详解】解:设此二次函数解析式为()()2210y a x a =−+≠,把()3,0代入()()2210y a x a =−+≠中得:()20321a =−+,解得1a =−,∴此二次函数解析式为()221y x =−−+. 25. 已知:二次函数()221y x m x m =−++−.(1)求证:该抛物线与x 轴一定有两个交点;(2)设抛物线与x 轴的两个交点是A B 、(A 在原点左边,B 在原点右边),且3AB =,求此时抛物线的解析式.【答案】(1)见解析 (2)2y x x 2−− 【解析】【分析】(1)根据()()22Δ2418m m m =+−−=+的符号,即可求解,为(2)由根与系数关系,列出()()2224A B A B A B AB x x x x x x =−=+−⋅,即可求解,本题考查了根的判别式,根据系数关系,解题的关键是:熟练掌握根的判别式,根据系数关系.【小问1详解】证明:()()22Δ2418m m m =+−−=+,20m ≥ ,2Δ880m ∴=+≥>,故抛物线与x 轴一定有两个交点,【小问2详解】解:令0y =,得()2210x m x m −++−=, 由(1)知Δ0>,2A B x x m ∴+=+,1A B x x m ⋅=−,()()()()22224241A B A B A B AB x x x x x x m m =−=+−⋅=+−−, ()()22419m m ∴+−−=,解得1m =±,A 在原点左边,B 在原点右边,10A B x x m ∴⋅=−<,1m ∴<,1m ∴=−,故抛物线的表达式为:2y x x 2−−.26. 若直线5y x =−与y 轴交于点A ,与x 轴交于点B ,二次函数2y ax bx c =++的图象经过点A ,点B ,且与x 轴交于点()1,0C −.(1)求二次函数的解析式;(2)若点P 为直线AB 下方抛物线上一点,连接PA ,PB ,求ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标;【答案】(1)245y x x =−−(2)当52x =时,ABP S 最大,最大为1258,这时点P 的坐标为535,24 − 【解析】【分析】本题考查二次函数的综合应用,熟练掌握的图像和性质是解题的关键. (1)利用待定系数法求函数解析式即可;(2)过点P 作PQ x ⊥轴交AAAA 于点Q ,设点P 的坐标为()2,45x x x −−,则点Q 的坐标为(),5x x −,则25PQ x x =−+,然后根据ABPS PQ OB =⋅ 计算即可. 【小问1详解】解:当xx =0时,5y =−,∴点A 的坐标为()0,5−, 当0y =时,50x −=,解得5x =,∴点B 的坐标为()5,0,设抛物线的解析式为()()51y a x x =−+,代入()0,5−得:55a −=−,解得:1a =,∴二次函数的解析式为()()25145y x x x x =−+=−−; 【小问2详解】解:过点P 作PQ x ⊥轴交AAAA 于点Q ,设点P 的坐标为()2,45x x x −−,则点Q 的坐标为(),5x x −, ∴225(45)5PQ x x x x x =−−−−=−+, ∴()2211551255522228ABP S PQ OB x x x =⋅=×−+×==−−+ , 当52x =时,ABP S 最大,最大为1258,这时点P 的坐标为535,24 − .。

2024-2025学年安徽省县中联盟高二(上)月考数学试卷(10月份)(A卷)(含答案)

2024-2025学年安徽省县中联盟高二(上)月考数学试卷(10月份)(A卷)(含答案)

2024-2025学年安徽省县中联盟高二(上)月考数学试卷(10月份)(A卷)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.直线x+3y+2=0的倾斜角为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.已知i+zz=−i,则z的虚部为( )A. 1B. 12C. −12D. −13.已知向量a=(1,m,−1),b=(1,−1,1),若(a+b)⊥b,则m=( )A. 4B. 3C. 2D. 14.已知一条入射光线经过A(−2,3),B(−1,1)两点,经y轴反射后,则反射光线所在直线方程为( )A. 2x+y+1=0B. 2x−y+1=0C. 2x−y−1=0D. 2x+y−3=05.如图,已知A,B,C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点,点P为平面ABC外一点,且AP,AB =AP,AC=120°,|AP|=3,若AO=AB+AC,则|OP|=( )A. 42B. 35C. 6D. 376.已知直线l1:(m+2)x+(m2−1)y−3=0与l2:3x+(m+1)y+m−5=0平行,则m=( )A. −1或52B. 52C. −1D. 17.已知点A(−1,0),点B为曲线y=x2+3(x>−1)上一动点,记过A,B两点的直线斜率为k AB,则k AB的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 48.在四面体ABCD中,AB=AC=AD=2,AB⊥平面ACD,∠CAD=60°,点E,F分别为棱BC,AD上的点,且BE=3EC,AD=3FD,则直线AE与直线CF夹角的余弦值为( )A. 37035B. 27035C. 7035D. 7070二、多选题:本题共3小题,共18分。

在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。

9.设M ,N 是两个随机事件,若P(M)=13,P(N)=16,则下列结论正确的是( )A. 若N ⊆M ,则P(M ∪N)=13B. 若M ∩N =⌀,则P(M +N)=0C. 若P(M ∩N)=118,则M ,N 相互独立D. 若M ,N 相互独立,则P(−M ∪−N )=11810.已知m ∈R ,直线l 的方程为(m−1)x +(m +1)y +2=0,则( )A. ∃m ∈R ,使得直线l 与直线x−y−1=0垂直B. 当直线l 在x 轴上的截距为−2时,l 在y 轴上的截距为−23C. ∀m ∈R ,直线l 不过原点D. 当m ∈[0,+∞)时,直线l 的斜率的取值范围为(−1,1]11.在坐标系O θ−xyz(0<θ<π)中,x ,y ,z 轴两两之间的夹角均为θ,向量i ,j ,k 分别是与x ,y ,z 轴的正方向同向的单位向量.空间向量a =xi +yj +zk(x,y,z ∈R),记a θ=(x,y,z),则( )A. 若a θ=(x 1,y 1,z 1),b θ=(x 2,y 2,z 2),则a θ+b θ=(x 1+x 2,y 1+y 2,z 1+z 2)B. 若a 0=(x 1,y 1,z 1),b 0=(x 2,y 2,z 2),则a 0⋅b 0=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2C. 若OA π3=(0,0,2),OB π3=(0,2,0),OC π3=(2,0,0),则三棱锥O−ABC 的体积为2 23D. 若a π3=(a,a,0),b π3=(0,0,b),且ab ≠0,则a ,b 夹角的余弦值的最小值为−33三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

2024-2025学年湖南师范大学附属中学高三上学期月考(一)数学试题及答案

2024-2025学年湖南师范大学附属中学高三上学期月考(一)数学试题及答案

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(一)数学命题人:高三数学备课组 审题人:高三数学备课组时量:120分钟 满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣,则A B = ( )A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+(i 是虚数单位),则z 等于( )A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ,则向量a b + 在向量b 上投影向量为( )A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若396714,63a a a a +==,则7S =( )A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分,90分以上(含90分)为及格.阅卷结果显示,全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布,试卷的难度系数(难度系数=平均分/满分)为0.49,标准差为22,则该次数学考试及格的人数约为( )附:若()2,X Nμσ~,记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+,则()()0.750.547,10.683p p ≈≈.A 136人B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭,则αβ+=( )A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,以2F 为圆心,a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点,若123AB F F >,则双曲线的离心率的取值范围是( )A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩,,,,若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根,则实数a 的取值范围是( )A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分9. 如图,在正方体111ABCD A B C D -中,E F M N ,,,分别为棱111AA A D AB DC ,,,的中点,点P 是面1B C 的中心,则下列结论正确的是( )A. E F M P ,,,四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则( )A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点,则5π13π,24m ⎛⎤∈⎥⎝⎦11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=,则()A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______.13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,当0x >时,()()2f x f x '->,且()10f =,则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点,且60AOB ∠=,若(),R OC OA OB λμλμ=+∈,则λμ+的取值范围是__________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知22cos a b c B +=.(1)求角C ;(2)若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长.16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点.(1)求a 的值;(2)设函数()ex kxg x =,若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ,使得()()120f x g x -≥,求k 的取值范围.17. 已知四棱锥P ABCD -中,平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点,F 为棱PC 上异于,P C 的点.的(1)证明:BD EF ⊥;(2)试确定点F 的位置,使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长,点P 在抛物线1C 上,圆222:(2)E x y r -+=(其中01r <<).(1)若1,2r Q =为圆E 上的动点,求线段PQ 长度的最小值;(2)设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点,过D 作圆E 的两条切线,分别交抛物线1C 于点,M N .证明:直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验,推出了A 和B 两个套餐服务,顾客可选择A 和B 两个套餐之一,并在App 平台上推出了优惠券活动,下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况.销售量千张经计算可得:10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑(1)因为优惠券购买火爆,App 平台在第10天时系统出现异常,导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少,已知销售量y 和日期t 呈线性关系,现剔除第10天数据,求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示;(2)若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14,选择B 套餐的概率为34,并且A 套餐可以用一张优惠券,B 套餐可以用两张优惠券,记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ,求n P ;(3)记(2)中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n *∈.①求n P 的最值;②数列收敛的定义:已知数列{}n a ,若对于任意给定的正数ε,总存在正整数0N ,使得当0n N >时,n a a ε-<,(a 是一个确定的实数),则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛..参考公式:()()()1122211ˆˆ,n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ya y bxx x x nx====---==---∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(一)数学命题人:高三数学备课组 审题人:高三数学备课组时量:120分钟 满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣,则A B = ( )A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域,求出集合,A B ,再求交集.【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =-≤≤=-<=<<∣∣∣,则{12}A B xx ⋂=<<∣,故选:D .2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+(i 是虚数单位),则z 等于( )A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =-+,再由模长公式即可得出结果.【详解】依题意()1i 3i z +=-+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z -+--+-+====-+++-,所以z ==.故选:C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ,则向量a b +在向量b 上的投影向量为( )A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=-+⋅=== 所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b b b +⋅==- .故选:A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若396714,63a a a a +==,则7S =( )A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质,即可求解公差和首项,进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列,396214a a a ∴+==,即67a =,所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =-=∴=-=-,()767732212S ⨯∴=⨯-+⨯=,故选:A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分,90分以上(含90分)为及格.阅卷结果显示,全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布,试卷的难度系数(难度系数=平均分/满分)为0.49,标准差为22,则该次数学考试及格的人数约为( )附:若()2,X Nμσ~,记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+,则()()0.750.547,10.683p p ≈≈.A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数,即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ,再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤,即可求出(90)P X ≥,即可估计人数.【详解】由题得0.4915073.5,22μσ=⨯==,()()(),0.750.547p k P k X k p μσμσ=-≤≤+≈ ,()5790P X ∴≤≤()0.750.547p =≈,()()900.510.5470.2265P X ≥=⨯-=,∴该校及格人数为0.22651200272⨯≈(人),故选:B .6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭,则αβ+=( )A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解,再由两角和的余弦公式求解即可.【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪=⋅⎪⎩,解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩,,()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅-⋅=-,π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()0,παβ∴+∈,2π,3αβ∴+=,故选:D .7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,以2F 为圆心,a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点,若123AB F F >,则双曲线的离心率的取值范围是( )A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =,再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <,即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心,a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay -=交于,A B 两点,则2F 到渐近线0bx ay -=的距离d b ==,所以AB =,因为123AB F F >,所以32c ⨯>,可得2222299a b c a b ->=+,即22224555a b c a >=-,可得2259c a <,所以2295c a <,所以e <,又1e >,所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝.故选:B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩,,,,若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根,则实数a 的取值范围是( )A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =,则方程等价为()0f u =,根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =,利用数形结合进行求解即可.【详解】令()u f x =,则()0f u =.①当0a =时,若()0,0u f u ≤=;若0u >,由()2log 0f u u ==,得1u =.所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =.如图所示,满足()0f x ≤的x 有无数个,方程()1f x =只有一个解,不满足题意;②当0a ≠时,若0≤u ,则()20uf u a =⋅≠;若0u >,由()2log 0f u u ==,得1u =.所以由()()0ff x =可得()1f x =,当0x >时,由()2log 1f x x ==,可得2x =,因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根,则方程()1f x =在(,0∞-]上有且仅有一个实数根,若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈,故1a ≥;若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<,不满足题意.综上所述,实数a 的取值范围是[)1,+∞,故选:C .二、多选题:本题共36分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分9. 如图,在正方体111ABCD A B C D -中,E F M N ,,,分别为棱111AA A D AB DC ,,,的中点,点P 是面1B C 的中心,则下列结论正确的是( )A. E F M P ,,,四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形,判断A ;分别连接,E F 和1,B C ,截面1C BEF 是等腰梯形,判断B ;分别取11,BB CC 的中点,G Q ,易证EF 显然不平行平面QGMN ,可判断C ;EM ⊥平面PMN ,可判断D.【详解】对于A :如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ,点P 在平面外,,,,E F M P ∴四点不共面,∴选项A 错误;对于B :分别连接,E F 和1,B C ,则平面PEF 即平面1C BEF ,截面1C BEF 是等腰梯形,∴选项B 正确;对于C :分别取11,BB CC 的中点,G Q ,则平面PMN 即为平面QGMN ,由正六边形EFMHQK ,可知HQ EF ,所以MQ 不平行于EF ,又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ,所以EF MQ W = ,所以EF I 平面QGMN W =,所以EF 不平行于平面PMN ,故选项C 错误;对于D :因为,AEM BMG 是等腰三角形,45AME BMG ∴∠=∠=︒,90EMG ∴∠=︒,EMMG ∴⊥,,M N 是,AB CD 的中点,易证MN AD ∥,由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ,MN ∴⊥平面11ABB A ,又ME ⊂平面11ABB A ,EM MN ∴⊥,,MG MN ⊂ 平面PMN ,EM ∴⊥平面GMN ,EM ⊂ 平面MEF ,∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确.故选:BD .10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则( )A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点,则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ,根据平移可得函数图象,即可由正弦型函数的奇偶性求解B ,利用整体法即可判断C ,由5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解所以根,即可求解D.【详解】对于A ,由35π3π2π0848f ⎛⎫⎛⎫=+⨯=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故A 错误;对于B ,()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得:3π3π5ππ228842y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,为奇函数,故B 正确;对于C ,当5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,则5π5π2,3π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,由余弦函数单调性知,()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,故C 错误;对于D ,由()1f x =,得5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ,()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点,其横坐标从小到大依次为:ππ5π3π9π5π,,,,,424242,而第7个交点的横坐标为13π4,5π13π24m ∴<≤,故D 正确.故选:BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=,则( )A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++-=,即可判断A 正确;利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确,可判断()g x 也是以8为周期的周期函数,即C 正确;根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =-=∑,可得D 错误.【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x -=-=-,且()()()00,21g f x g x =++-=,即()()21f x g x +-=①,用x -替换()()21f x g x ++-=中的x ,得()()21f x g x -+=②,由①+②得()()222f x f x ++-=所以()f x 的图象关于点(2,1)对称,且()21f =,故A 正确;由()()222f x f x ++-=,可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++-=+=--=-,所以()()()()82422f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦,所以()f x 是以8为周期的周期函数,故B 正确;由①知()()21g x f x =+-,则()()()()882121g x f x f x g x +=++-=+-=,故()()8g x g x +=,因此()g x 也是以8为周期的周期函数,所以()()202400g g ==,C 正确;又因为()()42f x f x ++-=,所以()()42f x f x ++=,令2x =,则有()()262f f +=,令10x =,则有()()10142,f f +=…,令8090x =,则有()()809080942f f +=,所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =-=++++++=∑ ,故D 错误.故选:ABC【点睛】方法点睛:求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时,经常利用其中两个性质推得第三个性质特征,再进行相关计算.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______.【答案】180-【解析】【分析】根据题意,由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅-,化简即可得到结果.【详解】在6(31)x y +-的展开式中,由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅-=-,得2x y 的系数为180-.故答案为:180-.13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,当0x >时,()()2f x f x '->,且()10f =,则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,-⋃+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ''-=,因此可得()()2f x f x '>,可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零,在()0,1上小于零,即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数,定义域为R ,所以()()f x f x -=-,两边同时求导可得()()f x f x ''--=-,即()()f x f x ''-=且()00f =,又因为当0x >时,()()2f x f x '->,所以()()2f x f x '>.构造函数()()2x f x h x =e ,则()()()22xf x f x h x '-'=e,所以当0x >时,()()0,h x h x '>在()0,∞+上单调递增,又因为()10f =,所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零,在()0,1上小于零,又因为2e 0x >,所以()f x 在()1,+∞上大于零,在()0,1上小于零,因为()f x 为奇函数,所以()f x 在(),1∞--上小于零,在()1,0-上大于零,综上所述,()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞.故答案为:()()1,01,-⋃+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点,且60AOB ∠=,若(),R OC OA OB λμλμ=+∈,则λμ+的取值范围是__________.【答案】⎡⎢⎣【解析】【分析】建系设点的坐标,再结合向量关系表示λμ+,最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可.【详解】方法一:设圆O 的半径为1,由已知可设OB 为x 轴的正半轴,O 为坐标原点,过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系,其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ⎛ ⎝,其中π,0,3BOC θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦,由(),R OC OA OB λμλμ=+∈,即()()1cos ,sin 1,02θθλμ⎛=+⎝,整理得1cos sin 2λμθθ+==,解得cos λμθ==,则ππcos cos ,0,33λμθθθθθ⎛⎫⎡⎤+==+=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,ππ2ππ,,sin 3333θθ⎤⎡⎤⎛⎫+∈+∈⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎦所以λμ⎡+∈⎢⎣.方法二:设k λμ+=,如图,当C 位于点A 或点B 时,,,A B C 三点共线,所以1k λμ=+=;当点C 运动到AB的中点时,k λμ=+==,所以λμ⎡+∈⎢⎣故答案为:⎡⎢⎣四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知22cos a b c B +=.(1)求角C ;(2)若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长.【答案】(1)2π3C = (2)3CD =【解析】【分析】(1)利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=,再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解;(2)利用正弦定理得出3b a =,再由余弦定理求出4a =,12b =,再根据三角形的面积建立等式求解.【小问1详解】由22cos a b c B +=,根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=,则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=,所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=,整理得()2cos 1sin 0C B +=,因为,B C 均为三角形内角,所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠,因此1cos 2C =-,所以2π3C =.【小问2详解】因为CD 是角C的平分线,AD DB ==所以在ACD 和BCD △中,由正弦定理可得,,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==,因此sin 3sin B ADA BD==,即sin 3sin B A =,所以3b a =,又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-,即222293a a a =++,解得4a =,所以12b =.又ABC ACD BCD S S S =+△△△,即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅,即4816CD =,所以3CD =.16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点.(1)求a 的值;(2)设函数()ex kxg x =,若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ,使得()()120f x g x -≥,求k 的取值范围.【答案】(1)1a = (2)(]()10,-∞-+∞ ,【解析】【分析】(1)直接根据极值点求出a 的值;(2)先由(1)求出()f x 的最小值,由题意可得是求()g x 的最小值,小于等于()f x 的最小值,对()g x 求导,判断由最小值时的k 的范围,再求出最小值与()f x 最小值的关系式,进而求出k 的范围.【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα--=='+⋅+,由1111ln 10e e e a f a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝,得1a =,当1a =时,()ln 1f x x ='+,函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增,所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点,所以1a =.【小问2详解】由(1)知min 11()e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.函数()g x 的导函数()()1exg x k x -=-'①若0k >,对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=-,使得()()12111e 1e k g x g f x k ⎛⎫=-=-<-<-≤ ⎪⎝⎭,即()()120f x g x -≥,符合题意.②若()0,0k g x ==,取11ex =,对2x ∀∈R ,有()()120f x g x -<,不符合题意.③若0k <,当1x <时,()()0,g x g x '<在(),1∞-上单调递减;当1x >时,()()0,g x g x '>在(1,+∞)上单调递增,所以()min ()1ek g x g ==,若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ,使得()()120f x g x -≥,只需min min ()()g x f x ≤,即1e ek ≤-,解得1k ≤-.综上所述,k 的取值范围为(](),10,∞∞--⋃+.17. 已知四棱锥P ABCD -中,平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点,F 为棱PC 上异于,P C 的点.(1)证明:BD EF ⊥;(2)试确定点F 的位置,使EF 与平面PCD【答案】(1)证明见解析(2)F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】(1)连接,,PE EC EC 交BD 于点G ,利用面面垂直的性质定理和三角形全等,即可得证;(2)取DC 的中点H ,以E 为坐标原点,分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立,利用线面角公式代入即可求解.小问1详解】如图,连接,,PE EC EC 交BD 于点G .因为E 为AB 的中点,PA PB =,所以PE AB ⊥.因为平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB ⋂平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ,所以PE ⊥平面ABCD ,因为BD ⊂平面ABCD ,所以BD ⊥.因为ABD BCE ≅ ,所以CEB BDA ∠∠=,所以90CEB ABD ∠∠+= ,所以BD EC ⊥,因为,,PE EC E PE EC ⋂=⊂平面PEC ,所以BD ⊥平面PEC .因为EF ⊂平面PEC ,所以BD EF ⊥.【小问2详解】如图,取DC 的中点H ,以E 为坐标原点,分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,【设2AB =,则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E -,设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<,所以()(),,11,2,1x y z λ-=-,所以,2,1x y z λλλ===-,即(),2,1F λλλ-.则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==-=-,设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =,则00DC m PC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,,即2020a b a b c +=⎧⎨+-=⎩,,取()1,2,3m =--,设EF 与平面PCD 所成的角为θ,由cos θ=sin θ=.所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅====整理得2620λλ-=,因为01λ<<,所以13λ=,即13PF PC = ,故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时,EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长,点P 在抛物线1C 上,圆222:(2)E x y r -+=(其中01r <<).(1)若1,2r Q =为圆E 上的动点,求线段PQ长度的最小值;(2)设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点,过D 作圆E 的两条切线,分别交抛物线1C 于点,M N .证明:直线MN 经过定点.【答案】(1(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =,进而根据两点斜率公式,结合三角形的三边关系,即可由二次函数的性质求解,(2)根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程,由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解,即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】由题意得椭圆的方程:221116y x +=,所以短半轴14b =所以112242p b ==⨯=,所以抛物线1C 的方程是2y x =.设点()2,P t t ,则111222PQ PE ≥-=-=≥,所以当232ι=时,线段PQ.【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点,21t ∴=,且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ,则:直线()222:b a MN y a x a b a --=--,即()21y a x a a b-=-+,即()0x a b y ab -++=.直线()21:111a DM y x a --=--,即()10x a y a -++=.由直线DMr =,即()()()2222124240r a r a r -+-+-=..同理,由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r -+-+-=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解,22224224,11r r a b ab r r --∴+==--代入方程()0x a b y ab -++=得()()222440x y r x y +++---=,220,440,x y x y ++=⎧∴⎨++=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=-⎩∴直线MN 恒过定点()0,1-.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法:先根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.技巧:若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验,推出了A 和B 两个套餐服务,顾客可选择A 和B 两个套餐之一,并在App 平台上推出了优惠券活动,下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况.日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43259 2.682.76 2.70.4经计算可得:10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑.(1)因为优惠券购买火爆,App 平台在第10天时系统出现异常,导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少,已知销售量y 和日期t 呈线性关系,现剔除第10天数据,求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示;..(2)若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14,选择B 套餐的概率为34,并且A 套餐可以用一张优惠券,B 套餐可以用两张优惠券,记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ,求n P ;(3)记(2)中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n *∈.①求n P 的最值;②数列收敛的定义:已知数列{}n a ,若对于任意给定的正数ε,总存在正整数0N ,使得当0n N >时,n a a ε-<,(a 是一个确定的实数),则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛.参考公式: ()()()1122211ˆˆ,n ni i i i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====---==---∑∑∑∑.【答案】(1)673220710001200y t =+ (2)433774n n P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭(3)①最大值为1316,最小值为14;②证明见解析【解析】【分析】(1)计算出新数据的相关数值,代入公式求出 ,ab 的值,进而得到y 关于t 的回归方程;(2)由题意可知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥,其中12113,416P P ==,构造等比数列,再利用等比数列的通项公式求解;(3)①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论,结合指数函数的单调性求解;②利用数列收敛的定义,准确推理、运算,即可得证.【小问1详解】解:剔除第10天的数据,可得 2.2100.4 2.49y ⨯-==新,12345678959t ++++++++==新,则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t ==⎛⎫⎛⎫=-⨯==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑新新,所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t ==⎛⎫- ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新,可得6732207ˆ 2.4560001200a =-⨯=,所以6732207ˆ60001200y t =+.【小问2详解】解:由题意知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥,其中12111313,444416P P ==⨯+=,所以11233,(3)44n n n n P P P P n ---+=+≥,又由2131331141644P P +=+⨯=,所以134n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列,所以131,(2)4n n P P n -+=≥所以1434(2)747n n P P n --=--≥,又因为1414974728P -=-=-,所以数列47n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为928-,公比为34-的等比数列,故143)74n n P --=-,所以1934433(()2847774n n n P -=--+=+-.【小问3详解】解:①当n 为偶数时,19344334()(28477747n n n P -=--+=+⋅>单调递减,最大值为21316P =;当n 为奇数时,19344334()(28477747n n n P -=--+=-⋅<单调递增,最小值为114P =,综上可得,数列{}n P 的最大值为1316,最小值为14.②证明:对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+,其中 []x 表示取整函数,当 347[log ()]13n ε>+时,347log ()34333333()()()7747474n n n P εε-=⋅-=⋅<⋅=,所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨:与新定义有关的问题的求解策略:1、通过给出一个新的定义,或约定一种新的运算,或给出几个新模型来创设新问题的情景,要求在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实心信息的迁移,达到灵活解题的目的;2、遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、运算、验证,使得问题得以解决.方法点拨:与数列有关的问题的求解策略:3、若新定义与数列有关,可得利用数列的递推关系式,结合数列的相关知识进行求解,多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解,求解过程灵活运用数列的性质,准确应用相关的数列知识.。

月考试卷(试题)2024-2025学年五年级上册数学人教版

月考试卷(试题)2024-2025学年五年级上册数学人教版

月考试卷(1~2单元)2024-2025学年五年级上册数学人教版考试时间:90分钟满分:100分题号一二三四五总分评分1.(2分)乐乐的爸爸从美国买来一本故亦书花了6.5美元,按1美元折合人民币6.41元计算,这本故事书折合人民币是元。

(结果保留两位小数)2.(6分)0.06×92.5 的积是位小数,保留一位小数是,保留整数是。

3.(2分)《中国居民膳食指南(2022)》推荐,成年人每天应摄入薯类食物0.05~0.1 kg。

某公司现有58名员工,该公司员工食堂每天至少需要kg薯类食物。

(结果保留整数)4.(4分)五子棋是一种有趣的棋类游戏,黑方或白方率先将五子连成一线即为获胜。

下五子棋时,如果一方落下的棋子同时形成两个或两个以上的四子连线,这步棋就称为“四四禁手”。

如下面左图中两种情况,黑棋落在“×”的位置,就形成了“四四禁手”的棋面。

右图是对战中五子棋的棋面图,这时黑子下的位置,白子下的位置,都能形成“四四禁手”棋面。

5.(4分)如图直线l是两个三角形的对称轴,已知C点用数对(8,2)表示,那么,A点用数对表示为,B点用数对表示为。

6.(2分)在同一张方格纸上,甲的位置用数对表示是(1,1),乙的位置用数对表示是(2,1),如果甲的位置用数对表示是(0,0),那么乙的位置用数对表示是。

7.(2分)一根绳子对折2次,每段长2.25m,这根绳子原来长m。

二、单选题(共5题;共10分)8.(2分)小明在教室里的位置是第5列第4行,用数对表示是(5,4),他前面一位同学的位置用数对表示是()。

A.(5,5)B.(4,4)C.(6,5)D.(5,3)9.(2分)小机灵在用计算器计算4.9×8时,发现计算器的键“4”坏了,他想到了4种不用按键“4”的输入方法,其中()方法的结果肯定是错误的。

A.0.7×7×8B.9.8×8÷2C.5×8-8D.2×2×8+0.9×810.(2分)与20.23×1.3结果相等的式子是()。

黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高一上学期10月月考 数学试卷(含答案)

黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高一上学期10月月考 数学试卷(含答案)

哈九中2024级高一学年10月月考数学试卷(时间:120分钟 满分:150分)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列表示正确的是()A. B. C.2.若集合,则应满足()A. B. C. D.3.对于集合,若不成立,则下列理解正确的是()A.集合的任何一个元素都属于B.集合的任何一个元素都不属于C.集合中至少有一个元素属于D.集合中至少有一个元素不属于4.设,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件5.若命题是假命题,则实数的取值范围是()A.B.C. D.6.若函数的定义域是,则函数的定义域是( )A. B. C. D.7.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题,这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图,弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形(边长可以为0)拼成的一个大正方形.若直角三角形的直角边长分别为和,则该图形可以完成的无字证明为( )*0∈N 12∈Z π∈Q R{},A x x =-x 0x >0x <0x =0x ≤,A B B A ⊆B AB AB AB Ax ∈R 05x <<01x <<2:,40p x x x a ∃∈++=R a 04a <<4a >0a <4a ≥()y f x =[]1,2y f=[]1,2⎡⎣[]1,4[]2,4a bA.B.8.若函数的部分图象如图所示,则( )A. B. C. D.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分.9.下列各组函数表示不同函数的是()A.B.C.D.)0,02a b a b +≥>>()2220,0a b ab a b +≥>>()20,011a b a b ≥>>+()0,02a b a b +≥>>()22f x ax bx c=++()1f =23-112-16-13-()()0,f x g x ==+()()01,f x g x x==()()f x g x x==()()211,1x f x x g x x -=+=-10.已知,则下列命题正确的是( )A.若且,则B.若,则C.若,则D.若且,则11.已知集合,则可能是( )A. B.C.或 D.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知集合,则__________.13.若正数满足,则的最小值是__________.14.表示不大于的最大整数,例,则的的取值范围__________,方程的解集是__________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题13分)已知集合(1)求;(2)若,求实数的取值范围.16.(本题15分)已知函数的解析式(1)求(2)画出的图像,并写出函数的单调区间和值域(直接写出结果即可).,,a b c ∈R 0ab ≠a b <11a b >01a <<2a a<0a b >>11b b a a+>+c b a <<0ac <22bc ac <(){}{}2110,1,0A x ax a x a B x x =-++><=>∣∣A B ⋂10x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭{01}x x <<∣{01x x <<∣1x a ⎫>⎬⎭11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭{}{}2340,230A xx x B x x =+-<=+≥∣∣A B ⋂=,x y 35x y xy +=34x y +[]x x ][2.32, 5.66⎡⎤=-=-⎣⎦[]2x =x []22x x ={}20,21,2x A xB x a x a a x ⎧⎫-=≤=≤≤+∈⎨⎬+⎩⎭R ∣A B A ⊆a ()f x ()350501281x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<<⎨⎪-+>⎩12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x(3)若,求的值.17.(本题15分)(1)已知关于的不等式的解集为,求的解集;(2)若不等式对于任何实数恒成立,求实数的取值范围.18.(本题17分)已知函数,且(1)求的解析式;(2)已知:当时,不等式恒成立;:当时,是单调函数,若和只有一个是真命题,求实数的取值范围.19.(本题17分)若存在实数使得,则称是区间的一内点.(1)若是区间的一内点,求的值;(2)求证:的充要条件是存在,使得是区间的一内点;(3)给定实数,若对于任意区间是区间的一内点,是区间的一内点,且不等式和不等式对于任意都恒成立,求证:()2f a =a x 220ax x c ++>11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭220cx x a -+->()()()211310m x m x m +--+->x m ()2f x x bx c =++()()()11,02f x f x f +=-=-()f x ,a p ∈R 01x <<()32f x x a +<+q []2,2x ∈-()()g x f x ax =-p q a ()0,1λ∈()1x a b λλ=+-x (),()a b a b <λ2x =()1,3λλ(),x a b ∈()0,1λ∈x (),a b λ()0,1ω∈()1,(),a b a b x <1λ2x 2λ()22211x a b ωω≤+-()22221x a b ωω≤-+a b ∈R 、121λλ+=答案1-8DADB BCBD9.ABD 10.BCD11.BC 12. 13.5 14.;15.(1)由题意得,解得,则.(2)因为,当时,,解得,满足题意,当时,因为,所以,解得,综上所述,实数的取值范围为.16.【详解】(1)解:因为,所以,则.(2)解:如图所示,当时,函数最大值为6,无最小值,所以值域为单调递增区间,单调递减区间最大值无法取到(3)解:当时,,解得;当时,,解得,不符合题意;当时,,解得,综上所述,或3.17.(1)由题意得:是方程的两个根,3,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭[)2,3{}2()()22020x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩22x -<≤{22}A xx =-<≤∣B A ⊆B =∅21a a >+1a <-B ≠∅B A ⊆212212a a a a ≤+⎧⎪>-⎨⎪+≤⎩112a -≤≤a 1,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦1012<<111122f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭11111283222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1x =(),6∞-(],1∞-[)1,∞+0a ≤()352f a a =+=1a =-01a <≤()52f a a =+=3a =-1a >282a -+=3a =1a =-11,32-220ax x c ++=所以,解得,所以不等式即为,即,解得,所以不等式的解集为.(2)因为不等式对任何实数恒成立,①当即时,不等式为,不满足题意,舍去,②当时,则解得,综上所述,实数的取值范围为.18.(1)因为,则的对称轴是,解得,又因为,所以.(2)若为真,,则对任意的恒成立,可知的图象开口向上,对称轴为,可知在内单调递减,且,则;若为真,,可知的图象开口向上,对称轴为,因为在内是单调函数,则或,解得或;120931104a c a c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩122a c =-⎧⎨=⎩220cx x a -+->222120x x -++>()()2230x x -+->23x -<<{23}xx -<<∣()()()211310m x m x m +--+->x 10m +=1m =-260x ->1m ≠-()()210Δ(1)12110m m m m +>⎧⎨=--+-<⎩1m >m ()1,∞+()()11f x f x +=-()f x 12b x =-=2b =-()02f c ==-()222f x x x =--p ()32f x x a +<+()22341a f x x x x >-+=-+()0,1x ∈()241h x x x =-+2x =()241h x x x =-+()0,1()01h =1a ≥q ()()()222g x f x ax x a x =-=-+-()g x 22a x +=()g x []2,2-222a +≤-222a +≥6a ≤-2a ≥若与真假性相反,则或,解得或,所以实数的取值范围为或.19.解:(1)(2)①若是区间的一内点,则存在实数使得,,则,②若,取,则,且,则是区间的一内点,故的充要条件是存在,使得是区间的一内点;(3)因为是区间的一内点,则,则恒成立,则恒成立,当时,上式不可能恒成立,因此,所以,即,即同理,故.p q 162a a ≥⎧⎨-<<⎩162a a a <⎧⎨≤-≥⎩或6a ≤-12a ≤<a 6a ≤-12a ≤<12λ=x (),()a b a b <λ()0,1λ∈()1x a b λλ=+-()()()1,x a b a b b a b λλλ=+-=-+∈(),x a b ∈b x b a λ-=-()1x a b λλ=+-01b x b a b a b a--<<=--x (),()a b a b <λ(),x a b ∈()0,1λ∈x (),a b λ1x 1λ()1111x a b λλ=+-()()2221111a b a b λλωω⎡⎤+-≤+-⎣⎦()()()2222211111220a ab b ωλλλλλω---+-+-≥210ωλ-≤210ωλ->()()()222211111Δ4420λλωλλλω=----+-≤()210λω-≤1,λω=21λω=-121λλ+=。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

七年级期末综合测试数学试卷
命题人:汀祖镇泉塘中学刘礼胜
一、选择(3×20)
1.平面直角坐标系中,点P(m2 +1,-1)一定在第()象限。

A .一 B. 二 C. 三 D. 四
2..不等式组
21
30
x
x



+≥

的解在数轴上可以表示为()
A、 B、
C、 D、
3.若与是方程mx+ny=5的解,则m+n=()
A 5
B 10
C 12
D -5
4、已知为方程的解 x和y是等腰三角形两边长,那么这个三角形的周长是()
A 3
B 4
C 5
D 4或5
5.、一件商品的销售价为100元,已知利润在25%--50%之间,则这件商品的进货价为a(精确到元)应满足()A 60≤a≤80 B 67≤a≤80 C 125≤a≤150 D 60≤a≤87
6. 为了紧急安置100名地震灾民,需要搭建可容纳6人和4人的两种帐篷。

则搭建方案有()
A 8
B 9
C 16
D 17
7、若不等式有解则a的取值范围是()
A a >-1
B a ≥-1
C a ≤ 1
D a <1
8、如图:长方形ADFM四周共有10个点,相邻两点间的距离都等于1.以这些点为顶点够成的三角形的面积等于3.这样的三角形有()个 A 4 B 8 C 10 D 12
9.如图:已知∠EGF=100°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=( )
2
-4-3-2-1012
-4-3-2-101
2
-4-3-2-1012
-4-3-2-101



-

-

+
2
2
1
x
x
a
x



=
-
+
=
4
2y
3x
1
7y
4x



=
-
=
2
1
y
x



-
=
=
1
2
y
x
A 170°
B 200°
C 260°
D 280°
10、一个凸多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和是2520°,原多边形是()边。

A 15
B 16
C 17
D 15,16或17
二填空(3×20)
11已知3x n-3 - y1+0.5m= 5是二元一次方程,则m=( ),n=( )
12若是方程的解,则a=( )
13、已知三角形三边的长分别是3,(1-2a), 8,则a的取值范围为()
14、已知3x+4 ≤ 6+2(x+2),则
的最小值等于()
15、如图:∠AED=70°,则∠A+∠B+∠C+∠D=()
16、如图:平行四边形ABCD的顶点B、C、D的坐标分别为(9,0),(n,3),(12,m+2)。

则 n-3m=( )
17、在直角坐标系中,对△ABC 连续作旋转变换,依次得到三角形错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

……在三角形错误!未找到引用源。

的直角顶点的坐标是()
18、如图:一块三角尺放在一根直尺上,且∠1=40°,则∠2=()
19、在△ABC中,已知点D、E、F分别为BC,AD,CE 的中点,且△ABC的面积=4,
则△BEF的面积=()



-
=
=
3
2
y
x
1+x



=
+
=
+
13
4
2
5
ax
y
y
x
20、过n 边形的一个顶点有2m 条对角线,m 边形没有对角线,k 边形只有k 条对角线。

则 (n-k)m =( )
三、解答题(60=5+5+10×5)
21、解方程
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧18+3=2-23=61+-3)()(y x y x x y
22、解不等式组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≥+++2253
15632x x x x φ
23、已知方程组 的解是一对正数 (1)求a 的值。

(2)化简


⎨⎧-=-+=+133a y x a y x 12+a a -2
24、在平面直角坐标系中,A(0,3),B(5,2),若点C在y轴上,且△ABC的面积=10.求C点的坐标。

25、如图:AB∥CD,PA、PC分别平分∠BAC和∠ACD,过P点作PM交PM于M,PE交AB于E。

则(1)∠1+∠2+∠3+∠4不变;(2)∠3+∠4—∠1—∠2不变。

请选择正确的答案并给予证明。

26、阅读化工厂的生产调度表:
类别
配料表
库存原料(kg)A产品/件B产品/件
甲原料(kg)9 4 360
乙原料(kg) 3 10 290
获利(元/件)700 1200
如果你是生产厂长,需要生产50件产品。

按现有材料安排生产,A、B两种产品的生产
数量有几种安排方案?最多可获利多少元?。

相关文档
最新文档