高中数学 第二章 数列章末复习提升课课件 新人教A版必修5

A．5
B．7
C．9
n，若 S10∶S5＝1∶2，则 S15∶ S5 等于________．
[解析] (1)法一：因为 a1＋a5＝2a3，所以 a1＋a3＋a5＝3a3＝3， 所以 a3＝1，所以 S5＝5（a1＋ 2 a5）＝5a3＝5. 法二：因为 a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3， 所以 a1＋2d＝1，所以 S5＝5a1＋5×24d＝5(a1＋2d)＝5. (2)设 S5＝2k，S10＝k，则 S5，S10－S5，S15－S10 成等比数列， 即 S15－S10＝12k，所以 S15＝32k，故 S15∶S5＝3∶4. [答案] (1)A (2)3∶4
[解] (1)①当 n＝2 时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即 41＋32＋54＋a4＋ 51＋32＝81＋32＋54＋1，解得 a4＝78. ②证明：由 4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得 4Sn＋2－4Sn＋1 ＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即 4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)． 因为 4a3＋a1＝4×54＋1＝6＝4a2， 所以 4an＋2＋an＝4an＋1， 所以aan＋n＋2－1－1212aan＋n 1＝44aan＋n＋2－1－22aan＋n 1＝4an4＋a1－n＋a1－n－2a2nan＋1
(4)待定系数法(构造法)：求数列通项公式方法灵活多样，特 别是对于给定的递推关系求通项公式，对于观察、分析、推 理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列(等 差或等比数列)来求解，这种方法体现了数学中化未知为已 知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是 一种重要的转化方法．
前 n 项 Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)⇔{an}是等差数列 和公式 Sn＝kqn－k(k 为常数，且 q≠0，k≠0，q≠1)⇔{an}
是等比数列
[注意] 在解答题中证明一个数列是等比(或等差)数列通常 用定义法和中项公式法，通项公式法和前 n 项和公式法常在 小题或分析题意时应用．
求数列的通项公式 求数列的通项公式多以小题的形式出现，但也可作为解答题中 的一问命题，主要考查求数列的通项公式，利用通项公式求数 列中的项、公差、公比等，试题较灵活．
(1)(2015·高考湖南卷)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项 和．若 a1＝1，且 3S1，2S2，S3 成等差数列，则 an＝________． (2)已知数列{2n－1an}的前 n 项和 Sn＝9＋2n，则数列{an}的通项 公式为 an＝________． (3)在数列{an}中，若 a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的 通项公式 an＝________．
(3)由条件知 an＋1＋3＝2(an＋3)， 即数列{an＋3}是以 a1＋3＝4 为首项，以 2 为公比的等比数列， 所以 an＋3＝4×2n－1，所以 an＝2n＋1－3.
[答案]
(1)3n－1
11，n＝1， (2)22－n，n≥2
(3)2n＋1－3
数列的通项公式的求法 (1)定义法：直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的 方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目． (2)已知 Sn 求 an.若已知数列的前 n 项和 Sn 与 an 的关系，求 数列{an}的通项 an 可用公式 an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2求解． (3)由递推公式求数列通项法：对于递推公式确定的数列的 求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等 比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．
第二章 数列
章末复习提升课
等差、等比数列的判定 等差、等比数列的判定多为解答题的一问呈现，试题难度为中 等，主要考查证明数列的类型，或由数列类型确定其参数值．
(1)(2015·高考广东卷节选)设数列{an}的前 n 项和为 Sn， n∈N*.已知 a1＝1，a2＝32，a3＝54，且当 n≥2 时，4Sn＋2＋5Sn＝ 8Sn＋1＋Sn－1. ①求 a4 的值； ②证明：an＋1－12an为等比数列． (2)已知等比数列{an}的公比 q＝－12. ①若 a3＝14，求数列{an}的前 n 项和； ②证明：对任意 k∈N*，ak，ak＋2，ak＋1 成等差数列．
＝2（22aann＋＋11－－aann）＝12， 所以数列an＋1－12an是以 a2－12a1＝1 为首项，12为公比的等比 数列． (2)①由 a3＝a1q2＝14及 q＝－12，得 a1＝1， 所以数列{an}的前 n 项和为 Sn＝1×11－－－－1212n＝2＋－312n－1.
②证明：对任意 k∈N*， 2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk＋1－(a1qk－1＋a1qk) ＝a1qk－1(2q2－q－1)， 由 q＝－12得 2q2－q－1＝0，故 2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0，即 2ak ＋2＝ak＋ak＋1， 所以对任意 k∈N*，ak，ak＋2，ak＋1 成等差数列．
等差、等比数列的性质 等差、等比数列的性质主要涉及数列的单调性、最值以及数列 “阶段和”，试题充分体现“小”“巧”“活”的特点，题型多以选择 题和填空题的形式出现，一般难度较小．
(1)(2015·高考全国卷Ⅱ)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项
和，若 a1＋a3＋a5＝3，则 S5＝( )
[解析] (1)因为 3S1，2S2，S3 成等差数列，所以 4S2＝3S1＋S3， 即 4(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3.化简，得aa32＝3，即等比数列{an} 的公比 q＝3，故 an＝1×3n－1＝3n－1. (2)因为 Sn＝9＋2n，① 所以 Sn－1＝9＋2(n－1)(n≥2)，② ①－②，得 2n－1an＝2，所以 an＝2n2－1＝22－n. 当 n＝1 时，a1＝S1＝9＋2＝11， 不符合上式，所以 an＝1212－，n，n＝n≥1，2.
判定一个数列是等差或等比数列的方法
定义法
中项公 式法
an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列 aan＋n 1＝q(非零常数)⇔{an}是等比数列 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列 a2n＋1＝anan＋2(an＋1anan＋2≠0)⇔{an}是等比数列
通项公 an＝pn＋q(p，q 为常数)⇔{an}是等差数列 式法 an＝cqn(c，q 均为非零常数)⇔{an}是等比数列