03函数逼近与计算.ppt
合集下载
《数学函数逼近》PPT课件
---------(2)
a0 * 0(x) a1 * 1(x) an * n(x)
使得 * 2 2
m
(S * ( xi ) yi )2
i0
m
min S ( x)
2 2
min
S ( x)
i0
( S ( xi
)
yi
)2
n
其中S(x) a j j (x)为中的任意函数。
j0
---------(3)
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY
理学院
n
称满足条件(3)的求函数S *(x) a*j j (x)的方法为 j0
数据拟合的最小二乘法.
n
S *(x) a*j j (x)为最小二乘解. j0 n
S(x) a j j (x)为拟合函数, a j ( j 0,1, , n)为拟合系数. j0 * 2 称为最小二乘解的平方误差. 2
解: 从数据的散点图可以看出
y与x之间具有三角函数关系 cos x y与x之间还具有指数函数关 系ex
y与x之间还具有对数函数关 系ln x 因此假设拟合函数与基函数分别为
设x, y的关系为
y S(x)
其中S(x)来自函数类 如(1)中y(x)来自线性函数类
设函数类 的基函数为 i(x)(i 0,1,,n) 一般要求n m
也称是由i(x)(i 0,1,, n)生成的函数集 ,即
span{0(x),1(x),,n(x)}
n
i0
k 0,1,,n 即
m
m
m
a0 0(xi )k (xi ) a1 1(xi )k (xi ) an n(xi )k (xi )
函数的最佳逼近解读
§3 Optimal Approximation
最佳一致逼近多项式 的构造：求 n 阶多项式 Pn(x) 使得 || Pn y || 最小。
v 1.0
直接构造 OUAP 的确比较困难，不妨换个角度，先 考察它应该具备的性质。有如下结论：
OUAP 存在，且必同时有 偏差点。 证明：存在性证明略。后者用反证法，设只有正偏差点。
y ( ) ( x xi ) ( n 1)! i 0
( n 1 ) n
达到极小？
§3 Optimal Approximation
在[ 1, 1]上求{ x1, …, xn } 使得 wn( x) ( x xi ) i 1 的||wn|| 最小。
v 2.1
n Pn1 ( x) ，要使||w || 最小就意味着 w ( x ) x 注意到 n n
令 x = cos( ) ，则 x [ 1 , 1 ]。
Tn 的重要性质：
Tn ( x ) cos(n ) cos(n· arc cos x ) 称为Chebyshev多项式
k t cos ( k 0, 1, ... , n) 时，Tn (t k ) 交错取到极大值 1 当 k n 1
{tk }称为切比雪夫交错组 若 y C[a, b] 且 y 不是 n 次多项式，则 n 次OUAP 唯一。 证明：反证，设有2个OUAP’s，分别是Pn 和 Qn 。 对于Rn 有Chebyshev交错组{ t1,…, tn+2 }使得
Pn ( x) Qn ( x) 则它们的平均函数 Rn ( x) 也是一个OUAP。 2 1 1 En | Rn (t k ) y(tk ) | | Pn (tk ) y(tk ) | | Qn (tk ) y(tk ) | En 2 2 | Pn ( t k ) y( t k ) | | Qn ( t k ) y( t k ) | E n
函数逼近基本概念
如 果 存 在 不 全 为 零 的 数 1,2,L,nP,使 得
1x12x2Lnxn0，
（ 1.1）
则 称 x1,x2,L,xn线 性 相 关 . 否 则 ,称 x1,x2,L,xn线 性 无 关 .
若 x1,x2,L,xn线 性 无 关 ， 且 对 任 意 xS,都 有
x1x12x2Lnxn
则 记 Sspan{x1,x2， L,xn}
(2)(u,v)(u,v), R;
(3) (uv,w)(u,w)(v,w), u,v,wX; (4) (u,u)0,当且仅u当 0时(， u,u)0. 则称 (u,v)为X上的 u与v的内积 . 定义了内积的 称线 为内积空 . (v,间 u )为 (u)的 ,v 共 K 轭 R 时 (v,， u ) (u当 ),.v
并x称 1,x2,,xn为空 S的 间 一组基 S为 ， n维 称 空 空 间
有 序 1,数 2,,组 n称 为 x在 元 x1,x2,素 ,xn这 个 基,下 的 并 记 1,作 2,,（ n）
如S 果 中有无限个素 线， 性S 则 无 为称 关 无元 限维线性空
例 p ( x ) ： H n { a n x n 设 a 1 x a 0 |a n R } 则p(x)anxna1xa0 又1，x， ，xn线性无关
故 H n sp， ax ， n， { x n } 1H ,n 维n 数 1 . 为
对连续函数f(x)∈C[a, b]，它不能用有限个线性无关的 函 数 表 示 ， 故 C[a, b] 是 无 限 维 的 ， 但 它 的 任 一 元 素
f(x)∈C[a, b]均可用有限维的p(x)∈ H n 逼近，使误差
函数类 B 通常是 n 次多项式，有理函数或分段低次多项式。
《数值分析》第3讲：函数逼近与计算
想）
函数的逼近与计算
pn * ( x) ? 1、Chebyshev给出如下概念
设 f ( x) C[a,b], 如p果( x) Hn ,
f (x)
|
p( x0 )
f
(
x0
)
|
max
a xb
|
p( x)
f ( x) |
p4 0*(x)
则称 x是0 偏差点。
如果 p( x0 ) f ( x0 ) 则称 x是0 正偏差点。
b
2a
a0 (
x ) 0 (
x)k
(
x)dx
b
b
2a an( x)n( x)k ( x)dx 2a ( x) f ( x)k ( x)dx
即
I ak
2a0 0( x),k ( x) 2a11( x),k ( x)
2an n( x),k ( x) 2 f ( x),k ( x)
函数的逼近与计算
则
1
1 1
2
n1
1 H 2
1 3
1 n2
1 n 1
1 n2
1 2n 1
例3.2 (P56)
已知 f ( x) 1 x2 C[0, 1], span{1, x}
则
1
(0 , 0 )
1dx 1,
0
(0 , 1)
1
1
xdx
0
2
(1, 0 )
1
1
xdx ,
▲ 1856年解决了椭圆积分的雅可比逆转问题，建立了椭圆函数 新结构的定理，一致收敛的解析函数项级数的和函数的解析性的 定理，圆环上解析函数的级数展开定理等。
函数的逼近与计算
函数的逼近与计算
pn * ( x) ? 1、Chebyshev给出如下概念
设 f ( x) C[a,b], 如p果( x) Hn ,
f (x)
|
p( x0 )
f
(
x0
)
|
max
a xb
|
p( x)
f ( x) |
p4 0*(x)
则称 x是0 偏差点。
如果 p( x0 ) f ( x0 ) 则称 x是0 正偏差点。
b
2a
a0 (
x ) 0 (
x)k
(
x)dx
b
b
2a an( x)n( x)k ( x)dx 2a ( x) f ( x)k ( x)dx
即
I ak
2a0 0( x),k ( x) 2a11( x),k ( x)
2an n( x),k ( x) 2 f ( x),k ( x)
函数的逼近与计算
则
1
1 1
2
n1
1 H 2
1 3
1 n2
1 n 1
1 n2
1 2n 1
例3.2 (P56)
已知 f ( x) 1 x2 C[0, 1], span{1, x}
则
1
(0 , 0 )
1dx 1,
0
(0 , 1)
1
1
xdx
0
2
(1, 0 )
1
1
xdx ,
▲ 1856年解决了椭圆积分的雅可比逆转问题，建立了椭圆函数 新结构的定理，一致收敛的解析函数项级数的和函数的解析性的 定理，圆环上解析函数的级数展开定理等。
函数的逼近与计算
函数极限与逼近思想(课件)
lim
x x0
f
(x) 也不存在。
13
第一节 极限的概念
x 1, x > 0
【例 4】 讨论函数 f (x) 0, x 0 当 x 0时的极限。
x 1, x < 0
解 因为 ， ， lim f (x) lim (x 1) 1 lim f (x) lim (x 1) 1
x0
x0
x0
x0
lim
x0
f
(x)
lim
x0+
f
(x) ，所以，
lim
x0
f
(x)
不存在。
sin x, x > 0
【例 5】 试求函数 f (x) 1 cos x, x ≤ 0 在 x 0 处的极限。
解 因为 ， ， lim f (x) lim (1 cos x) 0 lim f (x) lim sin x 0
x∞
x
不存在。
11
第一节 极限的概念
（2） 当 x x0 时，函数 f (x) 的极限 定义 2.4 设函数 f (x) 在点 x0 的某个邻域（点 x0 本身可以除外）内有定义，若当 x 趋于 x0 （但 x x0 ）时，
函数 f (x) 的值无限接近于一个确定的常数 A ，则称 A 为函数 f (x) 当 x x0 时的极限，记作 lim f (x) A 或者 f (x) A (x x0 ) 。
第二节 极限的运算
【例 6】
求极限
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
。
解
。 lim
x2
x2
x3 1 3x
5
lim（x3 1）
x2
第三章 函数逼近与计算
其中，H n 表示由所有次数不超过n的代数多项式
构成的线性空间。
这就是
C a,b
空间中的最佳一致逼近问题。
四、C a , b 上最佳一致逼近多项式的存在性
定理2（Borel定理)
对任意的 f x C a , b , 在 H n 中都存在对
* f x 的最佳一致逼近多项式,记为 pn x ,使得
对于函数类 A 中给定的函数 f x ，要求在另一类较简
单的且便于计算的函数类 B A 中寻找一个函数 P x ，使
P x 与
f x 之差在某种度量意义下最小。
A 通常为区间
注：本章中所研究的函数类
a,b
上的连续函数，记做 C a , b ;而函数类 B 通常是代数多项式或三角多项式。
采用
b
a
f x P x dx f x P x
2
2
作为度量误差“大小”标准的函数逼近称为最佳平 方逼近或均方逼近。
§2
定义
最佳一致逼近
对于任意 设函数 f x 是区间 a , b 上的连续函数， 给定的 ，如果存在多项式 P x ，使不等式
4、交错点组
定义 若函数 f x 在其定义域的某一区间 a , b
上存在 n 个点
xk , k
1, 2 , ..., n ,
f
使得
,
1
f
xk
f
max f
f
x
x
k 1, 2,..., n;
2
xk
xk 1 , k
数值分析--第3章 函数逼近和快速傅里叶变换-文档资料
则称 x1, , xn 线性相关. 否则，若等式(1.1)只对 成立， 0 1 2 n
, xn线性无关. 则称 x 1,
2019/2/17 课件 6
若线性空间 S是由 n 个线性无关元素 x1, , xn 生成的，
x S 都有 x x x 1 1 n n
, xn 称为空间 S 则 x1, 的一组基，记为
S span { x , , x } 1 n
并称空间 S 为n 维空间，系数 称为 x 在基 , 1, n
, , x1, , xn下的坐标， 记作 ( 1 n).
如果 S中有无限个线性无关元素 x , ,x , 则称 S 1 n, 为无限维线性空间.
n
的一组基，故
n H span { 1 , x , , x }, n
a ,a , ,a )是 p ( x ) 的坐标向量，H n 是 n 1 维的. 且( 0 1 n
2019/2/17
课件
8
对连续函数 f( ，它不能用有限个线性无关的 x ) C [ a , b ] 函数表示，故 C[a, b] 是无限维的，但它的任一元素 f ( x)
( x ) span { ( x ), ( x ), , ( x )} C [ a , b ]
0 1 n
可表示为
( x ) a ( x ) a ( x ) a ( x ). （1.4）
0 0 1 1 n n
*
*
函数逼近问题就是对任何 f( ， x ) C [ a , b ] 在子空间Φ
个代数多项式 p ( x ) ， 使
在 [ a , b ] 上一致成立. 伯恩斯坦1912年给出的证明是一种构造性证明. 他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式
第3章 函数逼近与曲线拟合
例如、 三角函数系：1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…是 区间［-π，π］上的正交函数系，因为
s in k xs in jxdx 0,
jxdx 0,
( j k)
( j k)
cos k xcos
s in k xcos
a
(1)
则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权正交. 若函数族
0 ( x), 1 ( x), , n ( x),
b
满足关系
j k; 0, ( j , k ) ( x) j ( x)k ( x)dx a Ak 0, j k ;
(2)
则称 k ( x) 是[a, b]上带权 ρ(x)正交函数族 ；
如果范数 取为 2，即 f ( x) P ( x)
2 2
min f ( x) P( x)
PH n PH n
2 2
b min a [ f ( x) P( x)]2 dx ,
则称P ( x)为f ( x)在[a, b]上的最佳平方逼近多项式 。 若f ( x)是 [a, b]上的一个列表函数，在a x0 x1 xm b 上给出f ( xi )(i 0,1,, m), 要求P 使 f P 2 min f P 2 min
PH n
则称P ( x)是f ( x)在[a, b]上的最佳逼近多项式 。 若取 ，即 f ( x) P ( x) min f ( x) P( x)
PH n
min max f ( x) P( x) ,
PH n a x b
03(2)-最佳一致逼近
§2 最佳一致逼近一、最佳一致逼近的概念定义3.10 设函数f (x )是区间[a , b ]上的连续函数，对于任意给定的ε >0，如果存在多项式p (x )，使不等式ε<-<<)()(max x p x f bx a 成立，则称多项式p (x )在区间[a , b ]上一致逼近(或均匀逼近)于函数f (x )。
那么，对于在区间[a , b ]上的连续函数f (x )，是否存在多项式p (x )一致逼近于f (x )呢？这个问题有许多人研究过。
德国数学家维尔斯特拉斯(Weierstrass)在1885年曾给出下述著名定理。
维尔斯特拉斯定理 若f (x )是区间[a , b ]上的连续函数，则对于任意ε >0，总存在多项式p (x )，使对一切a ≤x ≤b 有ε<-)()(x p x f证明从略。
维尔斯特拉斯定理表明，连续函数f (x )可以用多项式p (x )逼近到任意精确程度，但维尔斯特拉斯定理只在理论上肯定了闭区间上的连续函数可以用多项式以任意精确度来逼近，并没有给出确定逼近得最快的多项式的方法。
事实上，如果精确度要求较高，则用来逼近的多项式的次数一般也很高，这就增加了计算工作量。
因而，在实际计算时，我们总量希望在一定的精确度要求下，逼近多项式的次数越低越好。
切比雪夫从这样的观点去研究一致逼近问题，他不让逼近多项式的次数n 趋于无穷大，而是先把n 加以固定。
对于给定的[a , b ]上的连续函数f (x )，他提出在次数不超过n 的多项式的集合p n 中去寻找一个多项式)(*x p n ，使它在[a , b ]上“最佳地逼近”f (x )。
这里最佳逼近的意思是指)(*x p n 对f (x )的偏差。
)()(max *x p x f n bx a -<< 和其它任一p (x ) ∈ p n 对f (x )的偏差)()(max x p x f bx a -<<比较时是最小的，也就是说{})()(max min )()(max )(*x P x f x p x f bx a p x p n b x a n-=-<<∈<<(3.18)这就是通常所谓的最佳一致逼近问题，也称为切比雪夫逼近问题。