凝固温度场知识

（二）数值方法
数值方法又叫数值分析法，是用计算机程序来求解数学模型的近似解，又称 为数值模拟或计算机模拟。
1.差分法 差分法是把原来求解物体内随空间、时间连续分布的温度问题， 转化为求在时间领域和空间领域内有限个离散点的温度值问题，再用这些离散点 上的温度值去逼近连续的温度分布。差分法的解题基础是用差商来代替微商，这 样就将热传导微分方程转换为以节点温度为未知量的线性代数方程组，得到各节 点的数值解。
二、热传导过程的偏微分方程
三维热傅里叶热传导微分方程为：
∂T ∂t
=
λ cρ
⎜⎜⎝⎛
∂ 2T ∂x 2
+
∂ 2T ∂y 2

+
∂ 2T ∂z 2
⎟⎟⎠⎞
=
a
∇
2T
式中
a —— 导温系数， a = λ ； cρ
∇2 —— 拉普拉斯运算符号。
二维传热： ∂T ∂t
=
a
⎜⎜⎝⎛
∂ 2T ∂x 2
+
∂ 2T ∂y 2
2.边界条件 边界条件是指导热体表面与周围介质间的热交换情况。
常见的边界条件有以下三类：
（1）第一类边界条件 给定物体表面温度Tw 随时间 t 的变化关系，表达式为：
Tw = f (t) （2）第二类边界条件 给出通过物体表面的比热流随时间 t 的变化关系，表
1
达式为：
λ ∂T = q(x, y, z,t)
⎟⎟⎠⎞
一维传热：
∂T = a ∂ 2T ∂t ∂x 2
上述微分方程式是传热学理论中的最基本公式，适合于包括铸造、焊接过程
在内的所有热传导问题的数学描述，但在对具体热场进行求解时，除了上述微分
方程外，还要根据具体问题给出导热体的初始条件与边界条件。
1.初始条件 初始条件是指物体开始导热时（即 t =0 时）的瞬时温度分布。
对于铸件侧，有边界条件：x =0( t >0)时，T1 = T2 = Ti ，初始条件：t=0 时，T1 = T10 ,
所以得（铸件）：
T1 = Ti + (T10
−
Ti
)erf
⎜⎛ ⎜⎝
2
x ⎟⎞ a1t ⎟⎠
同理可得铸型侧温度场的方程式为：
T2
= Ti
+ (Ti
−
T 20
)erf
⎜⎛ ⎜⎝
2
x ⎟⎞ a 2 t ⎟⎠
（1）凝固过程的初始状态为：铸
铸型 a2 Е D Л
Τ T10
铸件 a1 Е D Л Ti
件与铸型内部分别为均温，铸件的起始
温度为浇铸温度 T10 ，铸型的起始温度 为环境温度或铸型预热温度T20 ；
（2）铸件金属的凝固温度区间很
小，可忽略不计；
（3）不考虑凝固过程中结晶潜热
根据不同的差分格式分为：向前差分、向后差分、平均差分、中心差分、加 列金格式等。
2.有限元法 有限元法是根据变分原理来求解热传导问题微分方程的一种数 值计算方法。有限元法的解题步骤是先将连续求解域分割为有限个单元组成的离 散化模型，再用变分原理将各单元内的热传导方程转化为等价的线性方程组，最 后求解全域内的总体合成矩阵。
ୈೋষ 凝固温度场
第一节 传热基本原理
一、温度场基本概念 不稳定温度场：温度场不仅在空间上变化，并且也随时间变化的温度场
T = f (x, y, z, t)
稳定温度场： 不随时间而变的温度场（即温度只是坐标的函数），其表达式为：
T = f (x, y, z)
等温面：空间具有相同温度点的组合面。 等温线：某个特殊平面与等温面相截的交线。 温度梯度（ gradT ）：对于一定温度场，沿等温面或等温线某法线方向的温度变化 率。温度梯度越大，图形上反映为等温面（或等温线）越密集。
∂n
（3）第三类边界条件 给出物体周围介质温度T f 以及物体表面与周围介质
( ) 的换热系数α ，表达式为：
λ ∂T ∂n
= α Tw − T f
上述三类边界条件中，以第三类边界条件最为常见。
三、凝固温度场的求解方法
（一）解析法
解析方法是直接应用现有的数学理论和定律去推导和演绎数学方程（或模 型），得到用函数形式表示的解，也就是解析解。
T1
=
b1T10 b1
+ b2T20 + b2
+ b2T10 − b2T20 b1 + b2
erf
⎜⎛ ⎜⎝
2
x ⎟⎞ a1t ⎟⎠
T2
=
b1T10 + b2T 20 b1 + b2
+
b1T10 b1
− b1T20 + b2
erf
⎜⎛ ⎜⎝
2
x ⎟⎞ a 2 t ⎟⎠
图 2-4 为半无限大平板铸铁件分别在砂型和金属型铸模中浇铸后在 t=0.01h、0.05h、0.5h 时刻的温度分布曲线。
其通解为：
T
=
C
+
D erf
⎜⎜⎝⎛
2
x at
⎟⎟⎠⎞
式中， C 、 D 为不定积分常数， erf (x)为高斯误差函数，其计算式为：
∫ erf ⎜⎜⎝⎛
2
x at
⎟⎟⎠⎞
=
2 π
x
2 at e − β 2 dβ
0
其值可通过查表 2-1 求得。
误差函数的性质为：x=0, erf(x)=0,erf(-x)=-erf(x),erf(∞)=1, erf(-∞)=-1.
T20
0
x
图 2-3 无限大平板铸件凝固温度场分布
的释放；
（4）铸件的热物理参数 λ1 、 c1 、 ρ1 与铸型的热物理参数 λ2 、 c2 、 ρ2 不随温 度变化；
（5）铸件与铸型紧密接触，无界面热阻，即铸件与铸型在界面处等温（Ti）。 显然，凝固过程中，铸件与铸型中的温度分布符合
∂T = a ∂ 2T ∂t ∂x 2
对于公式中的界面温度 Ti，可以通过在界面处热流的连续性条件求出，即：
3
从而
λ1
⎡ ⎢⎣
∂ T1 ∂x
⎤ ⎥⎦
x=0
=
λ
2
⎡ ⎢⎣
∂T2 ∂x
⎤ ⎥⎦ x = 0
Ti
=
b1T10 b1
+ b2T20 + b2
式中，b1 = λ1c1ρ1 ，为铸件的蓄热系数；b2 = λ2c2 ρ2 ，为铸型的蓄热系数。
优点：是物理概念及逻辑推理清楚，解的函数表达式能够清楚地表达温度场 的各种影响因素，有利于直观分析各参数变化对温度高低的影响。
缺点：通常需要采用多种简化假设，而这些假设往往并不适合实际情况，这 就使解的精确程度受到不同程度的影响。目前，只有简单的一维温度场（“半无限 大”平板、圆柱体、球体）才可能获得解析解。
第二节 铸件凝固温度场的解析解法
以“半无限大”平板为例，运用三维热傅里叶热传导微分方程来求铸件及铸型
的温度场分布
2
一、半无限大平板铸件凝固过程的一维不稳定温度场
可以近似地认为是沿着界面的法 线方向一维热传导，这样就构成了半无 限大平板铸件凝固过程的一维不稳定 温度场的求解问题。 为简化问题，假设：