二次函数与三角形综合

二次函数与三角形综合

在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法：

1.如图，过三角形的某个顶点作与x 轴或y 轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加．

11

22

ABC ACD ADB C B ACE CEB A B S S S AD y y S S CE x x ∆∆∆∆∆=+=⋅-=+=⋅-

其中D ,E 两点坐标可以通过BC 或AB 的直线方程以及A 或C 点坐标得到． 2.如图，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积．

ABC DEBF DAC AEB CBF S S S S S ∆∆∆∆=---.

所涉及的各块面积都可以通过已知点之间的坐标差直接求得．

3.如图，通过三个梯形的组合，可求出三角形的面积.该方法不常用．

()()()()()()111

222

ABC ADEB CFEB ADFC A B A B B C B c C A C A S S S S x x y y x x y y x x y y ∆=-++=

-++-++-+ 4.如图，作三角形的高，运用三角形的面积公式求解四边形的面积．该方法不常用，如果三角形的一条边,与0x y ±=平行，则可以快速求解．

1

2

ABC S h BC ∆=⋅．

例题精讲

一、二次函数与三角形综合

【例1】 二次函数21

8

y x =的图象如图所示，过y 轴上一点(0M ，2)的直线与抛物线交于A ，B 两点，

过点A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ． ⑴ 当点A 的横坐标为2-时，求点B 的坐标；

⑵ 在⑴的情况下，分别过点A ，B 作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，在EF 上是否存在点P ，

使APB ∠为直角．若存在，求点P

的坐标；若不存在，

请说明理由；

⑶ 当点A 在抛物线上运动时(点A 与点O 不重合)，求

AC BD ⋅的值．

【例2】 如图，已知抛物线的顶点为(01)A ，，矩形CDEF 的顶点C F ，在抛物线上，D E ，在x 轴上，CF

交y 轴于点(02)B ，，且其面积为8． ⑴ 求此抛物线的解析式；

⑵ 如图2，若P 点为抛物线上不同于A 的一点，连结PB 并延长交抛物线于点Q ，过点P Q ，分别作x 轴的垂线，垂足分别为S R ，． ①求证：PB PS =； ②判断SBR ∆的形状；

③试探索在线段SR 上是否存在点M ，使得以点P S M ，，为顶点的三角形和以点Q R M ，，为顶点的三角形相似，若存在，请找出M 点的位置；若不存在，请说明理由．

【例3】 已知二次函数2

12

y x bx c =

++的图象经过点(36)A -，

并且与x 轴相交于点(10)B -，和点C ，顶点为P

（1）求二次函数的解析式；

（2）设D 为线段OC 上一点，满足DPC BAC ∠=∠，求点D 的坐标

【例4】 如图，已知平面直角坐标系中三点(20)(02)(0)A B P x ，，，，，(0)x <，连结BP ，过P 点作

PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点(2)C y ， （1）求y 与x 之间的函数关系式；

（2）当x 取最大整数时，求BC 与的交点Q 的坐标。 【例5】 已知一元二次方程210x px q +++=的一根为2．

（1）求q 关于p 的解析式；

（2）求证：抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点；

（3）设抛物线2y x px q =++的顶点为M ，且与x 轴相交于()()1200A x B x ，

、，两点，求使AMB ∆面积最小时的抛物线的解析式．

【例6】 已知二次函数22(2)4y m x mx n =--+的图象的对称轴是直线2x =，且它的最高点在直线

1

12

y x =

+上． ⑴ 求此二次函数的解析式； ⑵ 若此二次函数的图象开口方向不变，定点在直线1

12

y x =+上移动到M 点时，图象与x 轴恰好交于A 、B 两点，且8ABM

S ∆=，求这时的二次函数的解析式．

【例7】 如图，已知抛物线2y x px q =++与x 轴交于点A 、B ，交y 轴负

半轴于C 点，点B 在点A 的右侧，90ACB ∠=︒，112

OA OB OC

-=

． (1)求抛物线的解析式；

(2)求ABC ∆的外接圆的面积；

(3) 在抛物线2y x px q =++上是否存在点P ，使得PAB ∆的面积

为 如果有，这样的点有几个；如果没有，请说明理由．

【例8】 一开口向上抛物线与x 轴交于A （2m -，0），B （m ＋2，0）两点，记抛物线顶点为C ，且AC

⊥BC ．

（1）若m 为常数，求抛物线的解析式；

（2）若m 为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？ （3）设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．

【例9】 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点

A （0，2），点C （-1，0），如图所示，抛物线22y ax ax =+-经过点

B ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【例10】 如图所示，抛物线2()y x m =--的顶点为A ，其中0m >．