2020-2021学年江西省南昌二中高一(上)第一次月考数学试卷及答案

2020-2021学年江西省南昌二中高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，满分60分）
1．（5分）方程组的解集可表示为（）
A．{1，2}B．（1，2）
C．{（x，y）|x＝1，y＝2}D．
2．（5分）已知集合A＝{a，|a|，a﹣2}，若2∈A，则实数a的值为（）A．﹣2B．2C．4D．2或4
3．（5分）已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（）
A．1B．﹣1C．0，1D．﹣1，0，1 4．（5分）下面的对应是从集合A到集合B的一一映射（）
A．A＝R，B＝R，对应关系f：y＝，x∈A，y∈B
B．X＝R，Y＝{非负实数}，对应关系f：y＝x4，x∈X，y∈Y
C．M＝{1，2，3，4}，N＝{2，4，6，8，10}，对应关系f：n＝2m，n∈N，m∈M
D．A＝{平面上的点}，B＝{（x，y）|x，y∈R}，对应关系f：A中的元素对应它在平面上的坐标
5．（5分）对于全集U的子集M，N，若M是N的真子集，则下列集合中必为空集的是（）A．（∁U M）∩N B．M∩（∁U N）
C．（∁U M）∩（∁U N）D．M∩N
6．（5分）已知m＜﹣2，点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+1，y3）都在二次函数y＝x2﹣2x 的图象上，则（）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y2＜y1＜y3 7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的值域为，则函数
的值域为（）
A．[，]B．[，1]
C．[，1]D．（0，]∪[，+∞）
8．（5分）某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人
听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座．则听讲座的人数为（）
A．181B．182C．183D．184
9．（5分）已知函数的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是（）
A．[﹣2，2]B．[﹣1，2]
C．[﹣2，﹣1]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
10．（5分）已知函数，则不等式f（x+1）＞f（2x）的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．[，0]D．[，1）11．（5分）已知函数，当x∈[1，4]时，f（x）＞1恒成立，则实数m的取值范围为（）
A．[﹣4，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣4，+∞）D．（﹣2，+∞）12．（5分）若存在n∈R，且存在x∈[1，m]，使得不等式|mx2+1|+|2nx|≤3x成立，则实数m 的取值范围是（）
A．[1，2]B．（﹣∞，2]C．（1，2]D．[2，+∞）
二、填空题（每小题5分，满分20分）
13．（5分）设函数，函数f（x）•g（x）的定义域为．
14．（5分）函数y＝kx2﹣4x﹣8在区间[5，10]上单调递增，则实数k的取值范围为．15．（5分）已知集合A，B，C，且A⊆B，A⊆C，若B＝{1，2，3，4}，C＝{0，1，2，3}，则所有满足要求的集合A的各个元素之和为．
16．（5分）已知函数，若方程f（x）＝g（x）有两个实根为x1，x2，且x1＝tx2，t∈[，3]，则实数a的取值范围为．
三、解答题（共6小题，共70分）
17．（10分）已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，U＝R，．求（Ⅰ）A∩B；
（Ⅱ）A∪B；
（Ⅲ）（∁U A）∩B．
18．（12分）（1）已知f（x）满足3f（x）+2f（1﹣x）＝4x，求f（x）解析式；
（2）已知函数，当x＞0时，求g（f（x））的解析式．
19．（12分）已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤3﹣2a}．
（1）若（∁U A）∪B＝R，求a的取值范围；
（2）若A∩B≠B，求a的取值范围．
20．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，f（0）＝1，f（1）＝0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立．
（1）求f（x）解析式；
（2）若函数g（x）＝f（x）+2（1﹣m）x在[2，+∞）上的最小值为﹣7，求实数m的值．21．（12分）已知定义在R上的函数f（x）对任意x1，x2∈R都有等式f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）﹣1成立，且当x＞0时，有f（x）＞1．
（1）求证：函数f（x）在R上单调递增；
（2）若f（3）＝4，关于x不等式恒成立，求t的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝|x+m|2﹣3|x|．
（1）当m＝0时，求函数y＝f（x）的单调递减区间；
（2）当0＜m≤1时，若对任意的x∈[m，+∞），不等式f（x﹣m﹣1）≤2f（x﹣m）恒成立，求实数m的取值范围．
2020-2021学年江西省南昌二中高一（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，满分60分）
1．（5分）方程组的解集可表示为（）
A．{1，2}B．（1，2）
C．{（x，y）|x＝1，y＝2}D．
【分析】求出方程组的解，结合选项即可得解．
【解答】解：方程组的解为，
∴方程组的解集中只有一个元素，且此元素是有序数对，
∴{（x，y）|x＝1，y＝2}、、{（1，2）}均符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查方程组的解以及集合的表示方法，属于基础题．
2．（5分）已知集合A＝{a，|a|，a﹣2}，若2∈A，则实数a的值为（）A．﹣2B．2C．4D．2或4
【分析】由集合A＝{a，|a|，a﹣2}，2∈A，得a＝2，|a|＝2或a﹣2＝2，再由集合中元素的互异性能求出实数a的值．
【解答】解：∵集合A＝{a，|a|，a﹣2}，2∈A，
∴a＝2，|a|＝2或a﹣2＝2，
解得a＝﹣2或a＝2或a＝4．
当a＝﹣2时，A＝{﹣2，2，﹣4}，成立；
当a＝2时，a＝|a|，A中有两个相等元素，不满足互异性；
当a＝4时，a＝|a|，A中有两个相等元素，不满足互异性．
实数a的值为﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
3．（5分）已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（）
A．1B．﹣1C．0，1D．﹣1，0，1
【分析】若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程ax2+2x+a＝0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围．
【解答】解：由题意可得，集合A为单元素集，
（1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，∅，
（2）当a≠0时则△＝4﹣4a2＝0解得a＝±1，
当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，∅，
当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，∅．
综上所述，a的取值为﹣1，0，1．
故选：D．
【点评】本题考查根据子集与真子集的概念，解题时要认真审题，注意分析法、讨论法和等价转化法的合理运用．属于基础题．
4．（5分）下面的对应是从集合A到集合B的一一映射（）
A．A＝R，B＝R，对应关系f：y＝，x∈A，y∈B
B．X＝R，Y＝{非负实数}，对应关系f：y＝x4，x∈X，y∈Y
C．M＝{1，2，3，4}，N＝{2，4，6，8，10}，对应关系f：n＝2m，n∈N，m∈M
D．A＝{平面上的点}，B＝{（x，y）|x，y∈R}，对应关系f：A中的元素对应它在平面上的坐标
【分析】利用映射和一一映射的定义求解．
【解答】解：对于选项A：集合A中的元素0，在集合B中没有与之对应的y的值，所以选项A错误；
对于选项B：集合X中的元素2与﹣2都与集合Y中的元素16对应，所以不是从集合X 到集合Y的一一映射，所以选项B错误；
对于选项C：集合N中的元素10在集合M中没有原像，所以不是从集合M到集合N的一一映射，所以选项C错误；
对于选项D：平面上的任意一点都存在唯一的有序实数对（x，y）与之对应，反过来，任意一组有序实数对（x，y）都对应平面上的唯一的一个点，所以是从集合A到集合B 的一一映射，所以选项D正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查了映射和一一映射的概念，是基础题．
5．（5分）对于全集U的子集M，N，若M是N的真子集，则下列集合中必为空集的是（）A．（∁U M）∩N B．M∩（∁U N）
C．（∁U M）∩（∁U N）D．M∩N
【分析】根据题目给出的全集是U，M，N是全集的子集，M是N的真子集画出集合图形，由图形表示出三个集合间的关系，从而看出是空集的选项．
【解答】解：集合U，M，N的关系如图，
由图形看出，（∁U N）∩M是空集．
故选：B．
【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了集合的图形表示法，考查了数形结合的解题思想，是基础题．
6．（5分）已知m＜﹣2，点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+1，y3）都在二次函数y＝x2﹣2x 的图象上，则（）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y2＜y1＜y3
【分析】欲比较y3，y2，y1的大小，利用二次函数的单调性，只须考虑三点的横坐标是不是在对称轴的某一侧，结合二次函数的单调性即得．
【解答】解：∵m＜﹣2，∴m﹣1＜m＜m+1＜﹣1，
即三点都在二次函数对称轴的左侧，
又二次函数y＝x2﹣2x在对称轴的左侧是单调减函数，
∴y3＜y2＜y1
故选：B．
【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质、二次函数的性质的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．
7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的值域为，则函数
的值域为（）
A．[，]B．[，1]
C．[，1]D．（0，]∪[，+∞）
【分析】由f（x）的值域可知f（x+1）的值域，先用换元法设t＝1﹣2f（x+1）将g（x）转化为关于的二次函数，再结合二次函数的性质即可求出g（x）的值域．
【解答】解：R上的函数f（x）的值域为，则f（x+1）的值域也为，故1﹣2f（x+1）∈，
设t＝1﹣2f（x+1）∈，则，
∴＝，，
由二次函数的性质可知：
当时，g（x）取最大值1；
当时，g（x）取最小值；
∴g（x）的值域为，
故选：C．
【点评】本题考查了利用换元法和数形结合思想，判断二次函数的最值问题，属于中档题．
8．（5分）某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座．则听讲座的人数为（）
A．181B．182C．183D．184
【分析】设全班同学是全集U，听数学讲座的人组成集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲座的人组成集合C，根据题意，用韦恩图表示出各部分的人数，即可求出
【解答】解：设全班同学是全集U，听数学讲座的人组成集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲座的人组成集合C，
根据题意，用韦恩图表示，如图所示：
，
由韦恩图可知，听讲座的人数为62+7+5+11+4+50+45＝184（人），
故选：D．
【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．
9．（5分）已知函数的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是（）
A．[﹣2，2]B．[﹣1，2]
C．[﹣2，﹣1]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
【分析】m＝﹣2，则y＝（m+2）x2+2mx+1为一次函数，符合题意；
m≠﹣2，y＝（m+2）x2+2mx+1为二次函数，需要开口向上，且与x轴有交点，用判别式求解m的范围即可．
【解答】解：要使函数的值域是[0，+∞），则y＝（m+2）x2+2mx+1的最小值≤0，
当m＝﹣2时，，符合题意；
当m≠﹣2时，要使函数的值域是[0，+∞），
则y＝（m+2）x2+2mx+1为二次函数，开口向上，且与x轴有交点，
∴m+2≥0，且△＝4m2﹣4（m+2）≥0，
∴﹣2＜m≤﹣1或m≥2；
综上可知﹣2≤m≤﹣1或m≥2，
故选：C．
【点评】本题需要对m＝﹣2和m≠﹣2进行分类讨论，当m≠﹣2时结合利用二次函数的根的存在性判断即可，属于基础题．
10．（5分）已知函数，则不等式f（x+1）＞f（2x）的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．[，0]D．[，1）
【分析】根据题意，先分析函数的定义域，再由常见函数的单调性可得f（x）在区间[﹣
1，1]上为增函数，由此原不等式等价于，解可得x的取值范围，即可得
答案．
【解答】解：根据题意，函数，有，解可得﹣1≤x≤1，即函数的定义域为[﹣1，1]，
函数y＝在区间[﹣1，1]上为增函数，y＝在区间[﹣1，1]上为减函数，则函数f（x）＝﹣在区间[﹣1，1]上为增函数，
则f（x+1）＞f（2x）⇔，解可得﹣≤x≤0，即不等式的解集为[﹣，
0]，
故选：C．
【点评】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意函数的定义域，属于基础题．11．（5分）已知函数，当x∈[1，4]时，f（x）＞1恒成立，则实数m的取值范围为（）
A．[﹣4，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣4，+∞）D．（﹣2，+∞）【分析】设＝t，t∈[1，2]，原不等式等价为﹣m＜t+在t∈[1，2]恒成立，即有﹣m＜t+在t∈[1，2]的最小值，运用基本不等式可得最小值，进而得到所求范围．
【解答】解：设＝t，由x∈[1，4]，可得t∈[1，2]，
则当x∈[1，4]时，f（x）＞1恒成立，
即为t2+mt+4＞1，即﹣m＜t+在t∈[1，2]恒成立，
即有﹣m＜t+在t∈[1，2]的最小值，
由t+≥2＝2，当且仅当t＝∈[1，2]时，取得等号，
则﹣m＜2，即m＞﹣2，
可得m的取值范围是（﹣2，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查函数恒成立问题解法，注意运用参数分离和基本不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12．（5分）若存在n∈R，且存在x∈[1，m]，使得不等式|mx2+1|+|2nx|≤3x成立，则实数m 的取值范围是（）
A．[1，2]B．（﹣∞，2]C．（1，2]D．[2，+∞）
【分析】由题易知m＞1恒成立，则此时利用|2n|恒定非负将不等式进行变形求解即可．【解答】解：因为x∈[1，m]，
所以m＞1，
则mx2+1＞0，
所以原不等式可变为mx2+1+|2nx|≤3x，
因为x∈[1，m]，
所以原不等式进一步变形为mx2+1+|2n|x≤3x，
所以，
令，
则f（x）在区间[1，m]上是减少的，
由存在性可知在区间[1，m]上有解，
所以f（x）在[1，m]上的最大值应不小于0，
所以f（1）≥0，
即﹣m+2≥0，
解得：m≤2，
综上可得：m的取值范围为1＜m≤2．
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式及不等式恒成立问题，属于难题．
二、填空题（每小题5分，满分20分）
13．（5分）设函数，函数f（x）•g（x）的定义域为（，+∞）．
【分析】根据f（x），g（x）的解析式即可得出：要使得f（x）•g（x）有意义，则需满足2x﹣3＞0，然后解出x的范围即可．
【解答】解：要使f（x）•g（x）有意义，则：2x﹣3＞0，解得，
∴f（x）•g（x）的定义域为．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数定义域的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．14．（5分）函数y＝kx2﹣4x﹣8在区间[5，10]上单调递增，则实数k的取值范围为[，+∞）．
【分析】由题意可知区间[5，10]是函数增区间的子集，对k分情况讨论，利用二次函数的性质求解．
【解答】解：∵函数y＝kx2﹣4x﹣8在区间[5，10]上单调递增，
∴区间[5，10]是函数增区间的子集，
①当k＝0时，函数y＝﹣4x﹣8，在区间[5，10]上单调递减，不符合题意；
②当k＞0时，函数y＝kx2﹣4x﹣8的增区间为[，+∞），
∴，解得k，
∴k；
③当k＜0时，函数y＝kx2﹣4x﹣8的增区间为（﹣∞，]，
∴10，解得k，
∴k∈∅，
综上所述，实数k的取值范围为[，+∞），
故答案为：[，+∞）．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，对k分情况讨论是解题关键，是中档题．
15．（5分）已知集合A，B，C，且A⊆B，A⊆C，若B＝{1，2，3，4}，C＝{0，1，2，3}，则所有满足要求的集合A的各个元素之和为24．
【分析】由题意推出集合A是两个集合的子集，求出集合B，C的公共元素得到集合A，进而求出结论．
【解答】解：因为集合A，B，C，且A⊆B，A⊆C，B＝{1，2，3，4}，C＝{0，1，2，3}，
所以集合A是两个集合的子集，集合B，C的公共元素是1，2，3，
所以满足上述条件的集合A＝∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，∴所有满足要求的集合A的各个元素之和为：4（1+2+3）＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查集合的基本运算，集合的子集的运算，考查基本知识的应用．16．（5分）已知函数，若方程f（x）＝g（x）有两个实根为x1，x2，且x1＝tx2，t∈[，3]，则实数a的取值范围为[，]．
【分析】把方程f（x）＝g（x）有两个实根为x1，x2，转化为ax2+x+1＝0（x≠0）有两个实根为x1，x2，由根与系数的关系及x1＝tx2可得a与t的关系，分离a，结合双勾函数求最值．
【解答】解：方程f（x）＝g（x）即为，
亦即ax2+x+1＝0（x≠0），由题意，
△＝1﹣4a≥0，即a．
且，，
又x1＝tx2，得a＝＝＝，t∈[，3]，
当t＝1时，有最小值4，则a有最大值，
当t＝或3时，t+有最大值，则a有最小值为．
∴实数a的取值范围为[，]，
故答案为：[，]．
【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，训练了利用双勾函数求最值，是中档题．
三、解答题（共6小题，共70分）
17．（10分）已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，U＝R，．求（Ⅰ）A∩B；
（Ⅱ）A∪B；
（Ⅲ）（∁U A）∩B．
【分析】化简集合A、B，再求A∩B与A∪B、（∁U A）∩B．
【解答】解：集合A＝{x|≤0}＝{x|﹣5＜x≤}，
B＝{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|1＜x＜2}，U＝R，
（Ⅰ）A∩B＝{x|﹣5＜x≤}∩{x|1＜x＜2}＝{x|1＜x≤}；
（Ⅱ）A∪B＝{x|﹣5＜x≤}∪{x|1＜x＜2}＝{x|﹣5＜x＜2}；
（Ⅲ）∵∁U A＝{x|x≤﹣5或x＞}，
∴（∁U A）∩B＝{x|x≤﹣5或x＞}∩{x|1＜x＜2}＝{x|＜x＜2}．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
18．（12分）（1）已知f（x）满足3f（x）+2f（1﹣x）＝4x，求f（x）解析式；
（2）已知函数，当x＞0时，求g（f（x））的解析式．
【分析】（1）直接利用换元法的应用和解方程组求出函数的关系式．
（2）利用函数的定义域的应用求出函数的关系式．
【解答】解：（1）解令x＝1﹣x，则1﹣x＝x，
所以3f（x）+2f（1﹣x）＝4x，整理得3f（1﹣x）+2f（x）＝4（1﹣x），
则，
解得：；
（2）由于函数，
当x＞0时，g（f（x））＝．
故：．
【点评】本题考查的知识要点：函数的解析式的求法，换元法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
19．（12分）已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤3﹣2a}．
（1）若（∁U A）∪B＝R，求a的取值范围；
（2）若A∩B≠B，求a的取值范围．
【分析】（1）根据补集与并集的定义，列出不等式组求得a的取值范围．
（2）根据A∩B＝B得B⊆A，讨论B＝∅和B≠∅时，分别求出对应a的取值范围，
再求A∩B≠B时a的取值范围．
【解答】解：（1）由集合A＝{x|0≤x≤2}，所以∁U A＝{x|x＜0或x＞2}，
又B＝{x|a≤x≤3﹣2a}，（∁U A）∪B＝R，
所以，解得a≤0；
所以实数a的取值范围是（﹣∞，0]．
（2）若A∩B＝B，则B⊆A，
当B＝∅时，3﹣2a＜a，解得a＞1；
当B≠∅时，有a≤1，
要使B⊆A，则，
解得；
综上知，实数a的取值范围是；
所以A∩B≠B时a的取值范围是的补集，
为．
【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了推理与转化能力，是中档题．20．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，f（0）＝1，f（1）＝0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立．
（1）求f（x）解析式；
（2）若函数g（x）＝f（x）+2（1﹣m）x在[2，+∞）上的最小值为﹣7，求实数m的值．【分析】（1）利用函数值以及函数的值域，转化求解a，b，c，即可得到函数的解析式．（2）求出函数的解析式，通过函数的最小值，求解m的值即可．
【解答】解：（1）二次函数f（x）＝ax2+bx+c，f（0）＝1，f（1）＝0，所以c＝1，a+b ＝﹣1，
对任意实数x均有f（x）≥0成立，△＝b2﹣4a＝0，解得a＝1，b＝﹣2，
所以函数的解析式为：f（x）＝x2﹣2x+1；
（2）g（x）＝x2﹣2mx+1，函数的对称轴为x＝m，
①当m＜2时，g（x）min＝g（2）＝5﹣4m＝﹣7，则m＝3（舍）；
②当m≥2时，，得．
综上，．
【点评】本题考查函数的解析式的求法，二次函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
21．（12分）已知定义在R上的函数f（x）对任意x1，x2∈R都有等式f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）﹣1成立，且当x＞0时，有f（x）＞1．
（1）求证：函数f（x）在R上单调递增；
（2）若f（3）＝4，关于x不等式恒成立，求t的取值范围．【分析】（1）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，结合已知条件以及单调性的定义推出结果．
（2）结合已知条件推出恒成立，利用函数的性质，转化求解即可．【解答】（1）证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，
∴f（x2﹣x1）＞1，f（x2）＝f（x1）+f（x2﹣x1）﹣1，
∴f（x2）＞f（x1）．
故函数f（x）在R上单调递增．
（2）解：f（3）＝f（1）+f（2）﹣1＝f（1）﹣1+f（1）+f（1）﹣1＝3f（1）﹣2，∴f（1）＝2，
原不等式等价于，
故恒成立，
令，，
∴，y+t＞1，∴t＞1﹣y，
∴t∈（﹣1，+∞）．
【点评】本题考查函数的应用，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力，是难题．22．（12分）已知函数f（x）＝|x+m|2﹣3|x|．
（1）当m＝0时，求函数y＝f（x）的单调递减区间；
（2）当0＜m≤1时，若对任意的x∈[m，+∞），不等式f（x﹣m﹣1）≤2f（x﹣m）恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）求得m＝0时，f（x）的分段函数形式，结合二次函数的对称轴和单调性，可得所求单调递减区间；
（2）由题意可得原不等式等价为x2﹣4x+6m﹣1+3|x﹣（1+m）|≥0在x∈[m，+∞）上恒成立，令g（x）＝x2﹣4x+6m﹣1+3|x﹣（1+m）|，只需g（x）min≥0即可，写出g（x）的分段函数的形式，讨论单调性可得最小值，解不等式可得所求范围．
【解答】解：（1）因为m＝0，所以f（x）＝x2﹣3|x|＝，
因为函数f（x）＝x2﹣3x的对称轴为，开口向上，
所以当时，函数f（x）＝x2﹣3x单调递减；当时，函数f（x）＝x2﹣3x 单调递增；
又函数f（x）＝x2+3x的对称轴为，开口向上，
所以当时，函数f（x）＝x2+3x单调递增；当时，函数f（x）＝x2+3x 单调递减；
因此，函数y＝f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，﹣）和；
（2）由题意，不等式f（x﹣m﹣1）≤2f（x﹣m）可化为（x﹣1）2﹣3|x﹣1﹣m|≤2x2﹣6|x﹣m|，
即x2﹣4x+6m﹣1+3|x﹣（1+m）|≥0在x∈[m，+∞）上恒成立，
令g（x）＝x2﹣4x+6m﹣1+3|x﹣（1+m）|，
则只需g（x）min≥0即可；因为0＜m≤1，所以1＜m+1≤2，
因此g（x）＝x2﹣4x+6m﹣1+3|x﹣（1+m）|＝，
当m≤x≤m+1时，函数g（x）＝x2﹣7x+9m+2开口向上，对称轴为：，
所以函数g（x）在[m，m+1]上单调递减；
当x＞m+1时，函数g（x）＝x2﹣x+3m﹣4开口向上，对称轴为．
所以函数g（x）在[m+1，+∞）上单调递增，
因此，
由g（x）min≥0得m2+4m﹣4≥0，解得或，
因为0＜m≤1，所以．
即实数m的取值范围为．
【点评】本题考查函数的单调区间的求法，以及函数恒成立问题解法，考查转化思想和分类讨论思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。