求二面角的6种方法【自己总结全面】

a O
课题3：二面角求法总结
一、知识准备
1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.
2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。

3、二面角的大小范围：[0°，180°]
4、 二面角的求解方法
对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决.定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：
一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角
二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角 三、“算”：计算出该平面角
由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍. 5、二面角做法：做二面角的平面角主要的方法有： 6、 （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； 7、 （2）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。

（3）射影法：凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜
射S S =
θ）求出二面角的大小。

（4）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；
（5）无交线的二面角处理方法
（6）向量法
二、二面角的基本求法及练习
1、定义法（从两面内引两条射线与棱垂直，这两条射线可以相交也可异面，从而面面角就转化为线线角来求）
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫
做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面
内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面
角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

【2012重庆文20】如图（20），在直三棱柱111ABC A B C -中， 4,3AB AC BC ===，D 为AB 的中点.
（Ⅰ）求异面直线1CC 和AB 的距离； （Ⅱ）若11AB A C ⊥，求二面角11A CD B --的平面角的余弦值.
【解析】 确定公垂线段求异面直线间的距离，根据定义确定二面角的平面角.
（Ⅰ）如图，因AC BC =， D 为AB 的中点，故CD AB ⊥.又直三棱柱中，1CC ⊥ 面
ABC ，故1CD CC ⊥，所以异面直线1CC 和AB 的距离为
22CD=5BC BD -=.
（Ⅱ）由1CD ,CD ,AB BB ⊥⊥故CD ⊥ 面11A ABB ，从而1CD DA ⊥，1CD DB ⊥
（步骤1），
故11A DB ∠ 为所求的二面角11A CD B --的平面角（步骤2）.因1A D 是1A C 在面
11A ABB 上的射影，又已知11C,AB A ⊥ 由三垂线定理的逆定理得11D,AB A ⊥从
而11A AB ∠，1A DA ∠都与1B AB ∠互余，因此111A AB A DA ∠=∠，所以
111Rt Rt A AD B A A △△（步骤3），
因此1111AA A B AD AA =,得2
1118AA AD A B =⋅=, 从而221111=23,23A D AA AD B D A D +===（步骤4）
所以在11A DB △中，由余弦定理得222111111111
cos 23
A D D
B A B A DB A D DB +-==⋅.（步骤5）
【2011广东理】如图，在椎体P ABCD -中，ABCD 是边长 为1的棱形，且0
60DAB ∠=,2PA PD ==
,2,PB =
,E F 分别是,BC PC 的中点，
（1）证明：AD DEF ⊥平面;（2）求二面角P AD B --的余弦值.
H
.
,,
//,,,,//,//,//,//,,,,
,,,,23,60,1,21,
,,,,:)1(:2220DEF AD PHB AD PHB DEF E EF DE DEF EF DE PHB DE DE BH PHB EF PB EF BC BC F E PHB AD HB AD HB AH AB BH AH BH DAB AB AH AD PH PD PA BH PH H AD 平面平面平面平面平面又平面又显然平面的中点分别是又平面即从而可得出连接中点为设证明解⊥∴⊥∴=⊂∴∴∴⊥∴⊥⊥∴=+==∠==
⊥∴=
.
7
21
,
721
21
32212323272443472cos ,
2,2
3,27)21()2(,
,,,,,)1()2(22222----=-=-
=⨯
⨯-+=⋅-+=∠∴===-=--∠∴⊂⊂⊥⊥的余弦值为即二面角的平面角就是二面角面面且知由B AD P BH PH PB BH PH PHB PB BH PH B AD P PHB BAD BH PAD PH AD BH AD PH 【2010全国I 理19】如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB ；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .
(Ⅱ) 由225,1,2,,
SA SD AD AB SE EB AB SA =+===⊥知
22
121,AD=133AE SA AB ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
又.
故ADE ∆为等腰三角形.
取ED 中点
F,连
接
AF
,则
226
,3
AF DE AF AD DF ⊥=-=
. 连接FG ，则//,FG EC FG DE ⊥.
所以，AFG ∠是二面角A DE C --的平面角.
连接AG,A G=2,2263
FG DG DF =
-=
, 2221
cos 22
AF FG AG AFG AF FG +-∠==-,
所以，二面角A DE C --的大小为120°.
【2010•浙江理20】如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，AE=EB=AF=FD=4．沿直线EF 将△AEF 翻折成△A ′EF ，使平面A ′EF ⊥平面BEF ． （Ⅰ）求二面角A ′﹣FD ﹣C 的余弦值；
【解析】取线段EF 的中点H ，AF 的中点G ，连接A ′G ，A ′H ，GH ． 因为A ′E=A ′F 及H 是EF 的中点， 所以A ′H ⊥EF
又因为平面A ′EF ⊥平面BEF ， 所以A ′H ⊥平面BEF ， 又AF ⊂平面BEF ， 故A ′H ⊥AF ，
又因为G 、H 是AF 、EF 的中点， 易知GH ∥AB ， 所以GH ⊥AF ，
于是AF ⊥面A ′GH ，
所以∠A ′GH 为二面角A ′﹣DH ﹣C 的平面角， 在Rt △A ′GH 中，A ′H=，GH=2，A'G= 所以
．
故二面角A ′﹣DF ﹣C 的余弦值为
．
【2009全国卷1理18】如图，四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，
2，DC=SD=2.点M 在侧棱SC 上，M 是侧棱SC 的中点；∠ABM=600.
A
E
1
C C
1
B B
1
A F
求二面角S —AM —B 的大小。

【解析】222MB BC MC =
+=，又60,2ABM AB ∠==,所以ABM ∆为等边三
角形，又由M 为SC 中点
2,6,2SM SA AM ===，故222,90SA SM AM SMA =+∠=
取AM 中点G ，连结BG ，取SA 中点H ，连结GH ，则,BG AM GH AM ⊥⊥,由此知
BGH ∠为二面角S AM B --的平面角
连接BH ，在BGH ∆中，
22312223,2222
BG AM GH SM BH AB AH =
====+= 所以2226
cos 23
BG GH BH BGH BG GH +-∠==-••
二面角S AM B --的大小为6
arccos(
【2011湖北文】如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为2，侧棱长为23，点
E 在侧棱1AA 上，点
F 在侧棱1BB 上，且22=AE ，2=BF ．
（Ⅰ）求证E C CF 1⊥；
（Ⅱ）求二面角1C CF E --的大小．
【解析】（Ⅰ）由已知可得132CC =，2212(22)23CE C F ==
+=
222()EF AB AE BF =+-，2212(2)6EF C E ==+=，
于是有22211EF C E C F +=，222
11CE C E CC +=，
所以1C E EF ⊥，1C E CE ⊥． 又EF
CE E =，所以1C E ⊥平面CEF ．
由CF ⊂平面CEF ，故1CF C E ⊥． （Ⅱ）在△CEF 中，由（Ⅰ）可得6EF CF ==
，23CE =，
于是有2
2
2
EF CF CE +=，所以CF EF ⊥． 又由（Ⅰ）知1CF C E ⊥，且1EF
C E E =，所以CF ⊥平面1C EF ．
又1C F ⊂平面1C EF ，故1CF C F ⊥．
于是1EFC ∠即为二面角1E CF C --的平面角．
由（Ⅰ）知△1C EF 是等腰直角三角形，所以145EFC ∠=，即所求二面角1E CF C --的大小为45．
【2008山东理20】如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F
分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;
（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为
6
2
，求二面角E —AF —C 的余弦值. 【解析】
（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，∠ABC =60°，可得△ABC 为正三角形.
因为 E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC . 又 BC ∥AD ，因此AE ⊥AD .
因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AE . 而 PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA ∩AD =A ， 所以 AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD . 所以 AE ⊥PD.
（Ⅱ）解：设AB =2，H 为PD 上任意一点，连接AH ，EH .
由（Ⅰ）知 AE ⊥平面PAD ， 则∠EHA 为EH 与平面PAD 所成的角. 在Rt △EAH 中，AE
，
所以 当AH 最短时，∠EHA 最大， 即 当AH ⊥PD 时，∠EHA 最大.
此时 tan ∠EHA
=
2
AE AH AH == 因此 AH
.又AD=2，所以∠ADH =45°，
所以 PA =2.
解法一：因为 PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ，所以 平面PAC ⊥平面ABCD . 过E 作EO ⊥AC 于O ，则EO ⊥平面PAC ，
过O 作OS ⊥AF 于S ，连接ES ，则∠ESO 为二面角E-AF-C 的平面角，
在Rt △AOE 中，EO =AE ·sin30°
=
，AO =AE ·cos30°=
32
, 又F 是PC 的中点，在Rt △ASO 中，SO =AO ·sin45°
=
4
,
又
4
SE ==
= 在Rt △ESO 中，cos ∠
ESO=SO SE ==
即所求二面角的余弦值为
5
【例】三棱锥中取特殊点定义法作二面角的平面角
四面体ABCD 中，AB ＝AC ＝23，DB ＝DC ＝22，BC ＝2AD ＝4， 则二面角A －BC －D 的大小是( ) A ．30° B．45°C．60° D．135°
【答案】B 【解析】如图，取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，根据二面角的平面角的定义，∠AED 即为所求二面角的平面角，各个线段的长度如图，则∠AED ＝45°.
【例】 在如图3所示的三棱锥P-ABC 中，AB=AC=PB=PC=2,BC=22,PA=2.求二面角P-BC-A 的大小.
C
【解析】作BC 中点D ，连接PD,AD.因PB=PC=AB=AC ，知PD ⊥BC,AD ⊥BC,又有面PBC 与面ABC 共棱可得∠PDA 为二面角.P-BC-A 的平面角.而AB=2,BC=22,易知AD=PD=2,在RT ∆PAD 中，
2
1
2cos 222=⋅-+=∠AD PD PA AD PD PDA
所以二面角P-BC-A 的大小为︒
60.
2、三垂线法
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

在一个平面 α 内选一点A 向另一平面 β 作垂线AB ，垂足为B ，再过点B 向棱a 作垂线BO ，垂足为O ，连结AO ，则∠AOB 就是二面角的平面角。

【2011•浙江文20】如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上． （Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；
（Ⅱ）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．求二面角B ﹣AP ﹣C 的大小．
【解析】解：（I ）由题意画出图如下：
由AB=AC ，D 为BC 的中点，得AD ⊥BC ，
又PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，得到PO ⊥BC ， ∵PO ∩AD=O ∴BC ⊥平面PAD ，故BC ⊥PA ．
（II ）如图，在平面PAB 中作BM ⊥PA 于M ，连接CM ，
∵BC ⊥PA ，∴PA ⊥平面BMC ，∴AP ⊥CM ，故∠BMC 为二面角B ﹣AP ﹣C 的平面角， 在直角三角形ADB 中，
；
在直角三角形POD中，PD2=PO2+OD2，在直角三角形PDB中，PB2=PD2+BD2，
∴PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6，
在直角三角形POA中，PA2=AO2+OP2=25，得PA=5，
又cos∠BPA=，从而．
故BM=，
∵BM2+MC2=BC2，∴二面角B﹣AP﹣C的大小为90°．
【2011•重庆文20】如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1
（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值．
【解答】解：法一
（Ⅰ）如图：过D作DF⊥AC，垂足为F，由平面ABC⊥平面ACD，
可得DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高；
设G为边CD的中点，由AC=AD，可得AG⊥CD，
则AG===；
由S△ADC=AC•DF=CD•AG可得，DF==；
在Rt△ABC中，AB==，
S△ABC=AB•BC=；
故四面体的体积V=×S△ABC×DF=；
（Ⅱ）如图，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE，
由（Ⅰ）知DF⊥平面ABC，由三垂线定理可得DE⊥AB，故∠DEF为二面角C﹣AB﹣D 的平面角，
在Rt △AFD 中，AF=
==； 在Rt △ABC 中，EF ∥BC ，从而，可得EF=； 在Rt △DEF 中，tan ∠DEF=
=
．
则二面角C ﹣AB ﹣D 的平面角的正切值为
．
【2009山东卷理】如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。

（1） 证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2） 求二面角B-FC 1-C 的余弦值。

【解析】证（1）略 （2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱AB 的中点,所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取CF 的中点O,则OB ⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,CC 1⊥平面ABCD,所以CC 1⊥BO,所以OB ⊥平面CC 1F,过O 在平面CC 1F 内作OP ⊥C 1F,垂足为P ,连接BP ,则∠OPB 为二面角B-FC 1-C 的一个平面角, 在△BCF 为正三角形中,3OB =,在Rt △CC 1F 中, △OPF ∽△CC 1F,∵
11OP OF CC C F =∴2212
2222
OP =⨯=
+, 在Rt △OPF 中,22
11432BP OP OB =+=+=2
72cos 714
OP OPB BP ∠===,所以二面角B-FC 1-C 7.
E
A
B
C
F
E 1
A 1
B 1
C 1
D 1
D
F 1
O
P
【2008•天津理19】如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°． （Ⅰ）证明AD ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角P ﹣BD ﹣A 的大小．
【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）略
（Ⅲ）解：过点P 做PH ⊥AB 于H ，过点H 做HE ⊥BD 于E ，连接PE 因为AD ⊥平面PAB ，PH ⊂平面PAB ，所以AD ⊥PH ．又AD ∩AB=A ， 因而PH ⊥平面ABCD ，故HE 为PE 在平面ABCD 内的射影．
由三垂线定理可知，BD ⊥PE ，从而∠PEH 是二面角P ﹣BD ﹣A 的平面角． 由题设可得，
PH=PA •sin60°=，AH=PA •cos60°=1， BH=AB ﹣AH=2，BD=，
HE=
于是在RT △PHE 中，tanPEH=
所以二面角P ﹣BD ﹣A 的大小为arctan
．
【2012四川高考文】 如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，
AB BC CA ==，点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上。

（Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小。

A
B
C
P
【解析】
（1）连接OC. 由已知，ABC PC OCP 与平面为直线∠所成的角
设AB 的中点为D ，连接PD 、CD. 因为AB=BC=CA,所以CD ⊥AB.
因为为，所以，PAD PAB APB ∆︒=∠︒=∠6090等边三角形， 不妨设PA=2，则OD=1，OP=3, AB=4.
所以CD=23，OC=131212
2
=+=+CD OD . 在Rt 中，OCP ∆tan 1339
13
3=
==
∠OC OP OPC . （2）过D 作DE AP ⊥于E ，连接CE.
由已知可得，CD ⊥平面PAB. 据三垂线定理可知，CE ⊥PA ，
所以，的平面角——为二面角C AP B CED ∠. 由（1）知，DE=3 在Rt △CDE 中，tan 23
3
2===
∠DE CD CED 故2arctan 的大小为——二面角C AP B
【2019全国卷文19】如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB=90︒，BC=1，AC=CC 1=2. (1)证明：AC 1⊥A 1B;
(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 13，求二面角A 1-AB-C 的大小. 【解析】（1）略
(2) BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1,故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1,
作A 1E ⊥C 1C,E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1,又直线A A 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线A A 1与平面BCC 1B 1间的距离，A 13，因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，故A 1D=A 13作DF ⊥AB ，F 为垂足，连结A 1F,由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，故∠A 1FD 为二面角A 1-AB-C 的平面角，由AD=
22111AA A D -=,得D 为AC 的中点，DF=15
25
AC BC AB ⨯⨯=
,tan ∠A 1FD=
115A D
DF
=,所以二面角A 1-AB-C 的大小为15【2014湖南高考】如图6，四棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都相等，O BD AC = ，
11111O D B C A = ，
四边形11A ACC 和四边形11B BDD 均为矩形. （1） 证明：⊥O O 1底面ABCD ;
（2）若
60=∠CBA ，求二面角D OB C --11的余弦值.
【答案】257
19
【解析】（1）略
(2)如图，过1作11于H ，连接1HC .
由(1)知，⊥O O 1底面ABCD ，所以⊥O O 1底面1111D C B A ，于是. ⊥O O 111C A ，
又因为四棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都相等，所以四边形1111D C B A 为菱形，
因此1111D B C A ⊥，从而⊥11C A 平面11B BDD ,所以O B C A 111⊥，于是⊥O B 1平面
11HC O ，
进而 ⊥O B 11HC ，故11HO C ∠是二面角D OB C --11的平面角.
不妨设2=AB ,因为
60=∠CBA ，所以1,311===
C O OC OB ，71=OB ，
在11B OO Rt ∆中，易知7
32
11111=⋅=
OB B O OO H O ，7192
12111=+=H O C O H C ， 故195727
1973
2
cos 1111===
∠H
C H
O HO C ，即二面角D OB C --1
1的余弦值为19572.
【2014高考全国卷】三棱柱中作棱的垂面法找二面角的平面角
如图所示，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为3， 则二面角A 1 -AB - C 的正切值为 ．
【答案】15 【解析】 连接A 1C ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C . 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B . BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1，故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1.
作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1.
又直线AA 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离，即
A 1E ＝ 3.
因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，故A 1D ＝A 1E ＝ 3.
作DF ⊥AB ，F 为垂足，连接A 1F .由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，
故∠A 1FD 为二面角A 1- AB -C 的平面角．由AD ＝AA 21－A 1D 2
＝1，得D 为AC 中点，
所以DF ＝55，tan ∠A 1FD ＝A 1D
DF
＝15
【2010湖北理18】如图, 在四面体ABOC 中，O C ⊥OA, OC ⊥OB, ∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1.
(Ⅰ) 设P 为AC 的中点.证明：在AB 上存在一点Q,使PQ ⊥OA,并计算=AB
AQ
的值； (Ⅱ) 求二面角O-AC-B 的平面角的余弦值. 【解析】（II ）解连结PN ，PO.
由OC ⊥OA ，OC ⊥OB 知，OC ⊥平面OAB ， 又⊂ON 平面OAB ，∴OC ⊥ON ， 又由ON ⊥OA 知：ON ⊥平面AOC ， ∴OP 是NP 在平面AOC 内的射影， 在等腰COA Rt ∆中，P 为AC 的中点， .OP AC ⊥∴
根据三垂线定理，知：AC ⊥NP .
OPN ∠∴为二面角O —AC —B 的平面角，
在等腰COA Rt ∆中，OC=OA=1，2
2=
∴OP ，
在,3
330tan ,=
︒=∆OA ON AON Rt 中 .
5156
3022
cos ,6
30,22==
=∠∴=+=∆∴PN
PO
OPN ON OP PN PON Rt 中在
【2010全国卷2理19】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为
1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =．
（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°，求二面角111A AC B --的大小．
第19题图
【解析】（Ⅰ）连结1A B ，记1A B 与1AB 的交点于F .
因为面11AA B B 为正方形，故11A B AB ⊥，且1AF FB =.又13AE EB =，（步骤1） 所以1FE EB =,又D 为1BB 的中点，故1DE BF DE AB ⊥∥，.（步骤2） 作CG AB ⊥,G
为垂足，由AC BC =知，G
为
AB
中点.又由
1111,.ABC AA B B CG AA B B ⊥⊥底面得面面（步骤3）
连结DG ，则1DG AB ∥,故DE DG ⊥，由三垂线定理，得DE CD ⊥.（步骤4） 所以DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线.
（Ⅱ）因为1DG AB ∥，故CDG ∠为异面直线1AB 与CD 的夹角，45CDG ∠=.（步骤5） 设2AB =，则1222,2, 3.AB DG CG AC ====，
作111B H AC ⊥，H 为垂足，因为11111A B C AAC C ⊥底面面，故111B H AA C C ⊥面.（步骤6） 又作1HK AC ⊥，K 为垂足，连结1B K ，由三垂线定理得11B K AC ⊥.（步骤7） 因此1B KH ∠为二面角111A AC B --的平面角.
2
21111
11111221111221111111()22233
3
23
2(3)737
tan 14A B AC A B B H A B HC B C B H AA HC AC HK AC B K
B KH HK
⨯-===-=
⨯=+===∠=
=，
，，，
，（步骤8）
所以二面角111A AC B --的大小为arctan 14.（步骤9）
第19题图
3、射影面积法（cos 斜射S S =
θ）
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜
射S S =
θ）求出二面角的大小。

1C
C B
A
D
E
1A
1B
【2008北京理】如图，在三棱锥P ABC -中，
2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．
（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；
（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； 【解析】（Ⅰ）证略
（Ⅱ）AC BC =，AP BP =，APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥． 又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且AC
PC C =，
BC ∴⊥平面PAC ．
取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =，BE AP ∴⊥．
EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．
∴△ACE 是△ABE 在平面ACP 内的射影， 于是可求得：
2222=+===CB AC AP BP AB ，622=-=AE AB BE ，
2==EC AE 则1222
121=•=•=
=∆CE AE S S ACE 射， 3622
1
21=•=•=
=∆EB AE S S ABE 原 设二面角B AP C --的大小为ϑ，则3
3
3
1cos =
=
=
原
射S S ϑ ∴二面角B AP C --的大小为3
3arccos
=ϑ 【2006全国Ⅱ】 直三棱柱中射影面积法求二面角
如图，在直三棱柱ABC —111C B A 中，AB = BC ，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点. 设
AB AC AA 21==，则二面角11C AD A --的大小为 .
【答案】
3
π
【解析】连结1AB .2221,,2BC AB AC BC AB AB AC AA +=∴=== . ︒=∠=∠∴90111CBA A B C ，即⊥11B C 面11A ABB
1AC ∴在面11A ABB 内的射影是1AB .∴△D AC 1在面11A ABB 内的射影
是△D AB 1.
A
C
B
E P A
C
B
P
设它们的面积分别为S 和'
S ，所成的二面角为θ.
设AB = BC = 1，2
2,2
6,2
2,2,22222111=-==+=====AE AD DE BD AB AD D B AC CC AC .
4
221,22211'1=
⋅==⋅=∴AB DB S DE AC S . .3,21cos '
πθθ===S S 所以二面角11C AD A --的大小为
3
π
. 【例】 如图，在正方体111D C B A ABCD -中，E 为1AA 的中点，则平面DE B 1与底面ABCD 所成的二面角的余弦值为 . 【答案】
6
【解析】 在正方体111D C B A ABCD -中，1AA ⊥底面ABCD ∴A 为点E 在底面ABCD 上的射影。

∴△ABD 是△EB 1D 在底面ABCD 上的射影三角形。

设正方体的棱长为1，则.3,2
5
11==
=D B E B DE 在△EB 1D 中，过E 作EG ⊥B 1D 于G ，则2
22121=
-=
G B E B EG ∴4
6322212111=⨯⨯=•=∆D B EG S D
EB ，1122ABD S AD AB ∆=•= 设平面DE B 1与底面ABCD 所成的二面角为θ则16
cos 3
ABD EB D S S θ∆∆=
=
. 4、垂面法:
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此
公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。

【例】空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别
为4、3、
3
39
2，求二面角βα--l 的大小. G D 1C 1
B 1
A 1D
C B
【解析】如图5，分别作PA ⊥α于A ，PB ⊥β于B ，则易知 l ⊥平面PAB ，设l ∩平面PAB=C ，连接PC ，则l ⊥PC.
分别在Rt △PAC 、Rt △PBC 中，PC=
3392，PA=4，PB=3，则AC=332，BC=3
3
5. 因为P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC 为直径，设PC=2R ，二面角βα--l 的大小为θ. 分别在△PAB 、△ABC 中，由余弦定理得
AB 2=AC 2+BC 2-2·AC ·BCcos θ=PA 2+PB 2-2·PA ·PBcos(θπ-)， 则可解得cos θ=2
1
-
，θ=120o ，二面角βα--l 的大小为120o .
【例】过二面角内一点A 作AB ⊥α于B ，作AC ⊥β于C ，面ABC 交棱a 于点O ，则∠BOC 就是二面角的平面角。

例 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求B-PC-D 的大小。

【解析】如图，PA ⊥平面BD BD ⊥AC
BD ⊥BC 过BD 作平面BDH ⊥PC 于H
PC ⊥DH 、BH
∠BHD 为二面角B-PC-D 的平面角。

因23a,
12PB ·BC=S △PBC=1
2
PC ·BH 则BH=3a =DH ，
又2a 在△BHD 中由余弦定理，得：
cos ∠BHD ＝)
22
2
222
6621
22
66
2a BH DH BD BH BD a a
⎫⎫
+-⎪⎪+-⎝
⎭⎝⎭==-⨯⨯，又0＜∠BHD
＜π ，则
P
图5
β
α
l
C
B
A
j
A B
C
D
H
∠BHD=2
3
π
，二面角B-PC-D的大小是
2
3
π。

5．无棱二面角的处理方法
（1）补棱法
本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。

即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决
【2011大纲卷】已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．
【答案】【解析】解：由题意画出图形如图：
因为E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是∠BPE，因为B1E=2EB，CF=2FC1，
所以BE：CF=1：2
所以SB：SC=1：2，
设正方体的棱长为：a，所以AS=a，BP=，BE=，在RT△PBE中，
tan∠EPB===，
【2008湖南】如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E 是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
【解析】（Ⅰ）证略
（Ⅱ）延长AD 、BE 相交于点F ，连结PF .
过点A 作AH ⊥PB 于H ，由（Ⅰ）知 平面PBE ⊥平面PAB ,所以AH ⊥平面PBE . 在Rt △ABF 中，因为∠BAF ＝60°， 所以，AF =2AB =2=AP .
在等腰Rt △PAF 中，取PF 的中点G ，连接AG . 则AG ⊥PF .连结HG ，由三垂线定理的逆定理得， PF ⊥HG .所以∠AGH 是平面PAD 和平面PBE 所成二面角的平面角（锐角）.
在等腰Rt △PAF 中， 2
2.2
AG PA == 在Rt △PAB 中，
22
225.55
AP AB
AP AB AH PB
AP AB =
==
=+
所以，在Rt △AHG 中， 2510
5sin .52
AH AGH AG ∠=== 故平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小是10
arcsin
.5
【2010•江西文】如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB=2．
（1）求直线AM 与平面BCD 所成的角的大小；
（2）求平面ACM 与平面BCD 所成的二面角的正弦值．
A
B
C
E
D
P
A
B
C
E
D
P
F
G
H
【解析】解：（1）取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD ． 又平面MCD ⊥平面BCD ，则MO ⊥平面BCD ，
所以MO ∥AB ，A 、B 、O 、M 共面．延长AM 、BO 相交于E ， 则∠AEB 就是AM 与平面BCD 所成的角． OB=MO=
，MO ∥AB ，则
，
，所以
，故∠AEB=45°．
（2）CE 是平面ACM 与平面BCD 的交线．
由（1）知，O 是BE 的中点，则BCED 是菱形．
作BF ⊥EC 于F ，连AF ，则AF ⊥EC ，∠AFB 就是二面角A ﹣EC ﹣B 的平面角， 设为θ．
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°．
．
所以，所求二面角的正弦值是
．
（2）补形法
【例】 如图已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，
AB =2，AF = 1，M 是线段EF 的中点. 则二面角A – DF – B
的大小为
【答案】60°【解析】将原几何体补成长方体ABCD – FB 1ED 1，如图 由正方体的性质知，BA ⊥面ADD 1F ，过A 作AG ⊥DF 连BG ，则BG ⊥DF ，∴∠AGB 为所求二面角的平面角，在Rt △AGB 中，
图10
D
A
C
B E F
B 1
D 1
O G
M
易求∠AGB = 60°.
【例】四棱锥补成长（正）方体作平面角
如图8，四棱锥S – ABCD 的底面是边长为1的正方形，SD 垂直于底面ABCD ，SB =3，则面ASD 与面BSC 所成二面角的大小为
【答案】 45°【解析】∵AB = BC = 1，∴SD = 1，故可把原四
棱锥补成正方体ABCD – A 1B 1C 1S ，连A 1B ，则面ASD 与面BSC 所
成的二面角，即为面ADSA 1与BCSA 1所成的二面角. ∵A 1S ⊥SD ，A 1S ⊥SC ，∴∠CSD 为所求二面角的平面角，∠CAD = 45°，故所求二面角为45°.
【例】 四棱锥补成三棱锥作平面角
在底面是直角梯形的四棱锥S – ABCD 中，∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，
AD =
2
1
，则面SCD 与面SAB 所成二面角的正切值为 【答案】
2
2 【解析】 如图13，延长BA 、CD 交于E ，连结SE . ∵AD =2
1
BC ，且AD ∥BC ，∴EA = AB = SA = 1，SE ⊥SB 。

又∵SA ⊥面ABCD ，∴面SEB ⊥面ABCD ， ∵BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，BC ⊥SE ，
∴SE ⊥面SBC ，SE ⊥SC ，∠BSC 是所求二面角的平面角，
又∵SB =2，BC = 1，∴tan ∠BSC =
2
2. 【例】如图12, P-ABCD 为正四棱锥，边长为a ,求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值. 【解析】 如图，过P 点作AB l //,则PAB l 面⊂. 故在P-ABCD 中有CD l AB l //,//.
所以,l PAB PCD D l =⊂面知面面 ,PC .
作AB 中点E,CD 中点 F.连接PE,PF.易知PE ⊥AB,PE ⊥l ,又PF ⊥CD,PF ⊥l ,可知∠EPF 为所求二面角的平面角.
由条件PE=PF=
a EF a =,2
3
，得到 6
1
2cos 222=⋅-+=∠PF PE EF PF PE EPF
故平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为6
1
.
（3）平移法
图8 A B
D A 1
C 1
B 1
S
C
图13
A
B E
C
D
S l
F E
图12
D
C
A
B
【例】在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是BC 的中点，试求面ED B 1与平面
11A ABB 所成二面角的大小.
【解析】取11D A 中点F ，连FD,FB;
取AD 中点K 连接A ₁K,BK,A ₁B.显然,DE ₁BF 为平行四边形.因为A ₁K//FD,KB//DE,知平面A ₁KB//平面DEB ₁F 。

取A ₁B 中点O,连接OK,OA, 由A ₁K=BK,A ₁A=BA 知，
OK ⊥A ₁B,OA ⊥A ₁B 故∠AOK 为二面角的平面角.
4
3,2122222=-==
=OB BK OK OB OA 可得3
6
cos =
∠AOK 故平面ED B 1与平面11A ABB 所成二面角的大小为
3
6arccos
.
6、向量法
向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。

在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题．对于空间向量→
a 、→
b ，
有cos ＜→a ，→
b ＞=→
→→
→⋅⋅|
|||b a b
a ．利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中二面角的
问题．
如图：二面角的大小等于<π-<m ,n> 如图：二面角的大小等于<m ,n>
1
A 1
D 1
C 1
B A
D
C
B
K
图9
E
F
O
【2019新课标1理】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A−MA1−N的正弦值．
【解析】（1）连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点，
所以ME∥B1C，且ME=1
2
B1C．
又因为N为A1D的中点，所以ND=1
2
A1D．
由题设知A1B1=DC，可得B1C=A1D，故ME=ND，
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．
又MN⊄平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．
（2）由已知可得DE⊥DA．
以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则
(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)，3,2)M ，
(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-，1(13,2)A M =--，1(1,0,2)A N =--，(0,3,0)MN =．
设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则1100A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，
所以32040x y z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，
．
可取3,1,0)=m ．
设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，．n n 所以3020q p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，
．
可取(2,0,1)=-n ．
于是2315
cos ,||25⋅〈〉=
==
⨯‖m n m n m n ， 所以二面角1A MA N --10
【2019新课标2理】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．
（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1； （2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值． 【解析】（1）由已知得，11B C ⊥平面11ABB A ，BE ⊂平面11ABB A ，
故11B C ⊥BE ．
又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．
（2）由（1）知190BEB ∠=︒．由题设知Rt ABE △≌11Rt A B E △，所以45AEB ∠=︒， 故AE AB =，12AA AB =．
以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，||DA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D –xyz ，
则C （0，1，0），B （1，1，0），1C （0，1，2），E （1，0，1），(1,0,0)CB =，(1,1,1)CE =-，
1(0,0,2)CC =．
设平面EBC 的法向量为n =（x ，y ，x ），则
0,0,CB CE ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩n n 即0,
0,
x x y z =⎧⎨-+=⎩ 所以可取n =(0,1,1)--.
设平面1ECC 的法向量为m =（x ，y ，z ），则
10,0,
CC CE ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩m m 即20,
0.z x y z =⎧⎨-+=⎩ 所以可取m =（1，1，0）． 于是1
cos ,||||2
⋅<>=
=-n m n m n m ．
所以，二面角1B EC C --
的正弦值为
2
． 【2019新课标3理】图1是由矩形ABED ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合.连结DG ，如图2.
（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B -CG -A 的大小.
图1 图2
三、总结：
1、定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。

此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。

2、三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。

此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。

3、垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用。

4、以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。

5、射影法是在不易作出平面角时用。

在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。