椭圆的标准方程(学案)
椭圆及其标准方程教案
椭圆及其标准方程教案在宇宙中和生活中，我们经常会遇到椭圆形的图形和轨道。
那么，什么是椭圆呢？让我们一起来认识一下。
二）椭圆的定义：椭圆是一个平面上的图形，它的形状类似于拉长的圆形。
椭圆有两个焦点，所有到这两个焦点距离之和等于常数的点的集合就是椭圆。
这个常数称为椭圆的长轴，椭圆的短轴是长轴的一半。
三）椭圆的标准方程：椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心点，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。
四）应用：椭圆不仅在宇宙中和日常生活中有应用，它还在数学和科学领域中有广泛的应用，比如在天文学、航天技术、电子工程、地质勘探等领域都有应用。
掌握椭圆的定义和标准方程，可以帮助我们解决与椭圆相关的问题。
五）总结：在本节课中，我们研究了椭圆的定义和标准方程。
通过研究，我们可以更好地认识和应用椭圆，解决实际问题。
1.椭圆的感性认识在课前，老师和学生一起准备了有关椭圆的实物和图片，如天体运行轨道和平面截圆锥等。
通过这些感性的演示，让学生从直观上认识椭圆。
2.椭圆的定义与圆的定义相比，我们可以将“定点”改为“两个定点”，“距离”改为“距离的和”，那么平面内到两定点的距离的和等于定长的点的集合就是什么图形呢？3.动手实验，亲身体验在课堂上，老师指导学生互相合作，体验画椭圆的过程。
学生需要准备直尺、细绳、钉子、笔和纸板等工具，通过实践了解椭圆上点的特征。
三名同学上台进行演示，先在画板上点出两点F1、F2，然后取一定长的细绳，把它的两端固定在画板上的F1、F2两点处。
当绳长等于| F1F2|时，使笔尖贴紧绳子慢慢移动。
观察笔尖的轨迹，可以明确它是一条线段。
同时，这条线段上的每一个点到F1、F2两点的距离和都相等，且都等于这条绳长。
当绳子长大于| F1F2|时，用笔尖把绳子拉紧，绳子尽量贴紧画板，使笔尖在画板上慢慢移动，就可以在平面内画出一个椭圆。
椭圆的标准方程教案
椭圆的标准方程教案椭圆是平面上一点到两个定点的距离之和等于常数的几何图形，它在几何学和代数学中都有着重要的应用。
在本节课中，我们将学习椭圆的标准方程及其相关性质，帮助学生更好地理解和掌握椭圆的基本知识。
一、椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a(a>0)的点P的轨迹。
定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
二、椭圆的标准方程。
1. 椭圆的标准方程是$x^2/a^2+y^2/b^2=1$，其中a和b分别是椭圆的长轴半径和短轴半径。
2. 当椭圆的长轴与x轴重合时，椭圆的标准方程为$x^2/a^2+y^2/b^2=1$。
3. 当椭圆的长轴与y轴重合时，椭圆的标准方程为$y^2/a^2+x^2/b^2=1$。
三、椭圆的性质。
1. 椭圆的离心率e满足$0<e<1$，离心率越接近于0，椭圆的形状越扁平。
2. 椭圆的焦点到中心的距离为c，满足$c^2=a^2-b^2$。
3. 椭圆的焦点到椭圆上任意一点P的距离之和等于常数2a，即$PF1+PF2=2a$。
四、椭圆的图形及其性质。
1. 椭圆的图形是一个闭合曲线，具有对称性。
2. 椭圆的长轴和短轴分别是椭圆的对称轴和轴。
3. 椭圆的焦点和准线是椭圆的重要几何元素，对于椭圆的性质和方程的研究具有重要意义。
五、椭圆的相关例题。
1. 已知椭圆的长轴长度为6，短轴长度为4，求椭圆的标准方程。
2. 椭圆的焦点坐标为（0，±5），离心率为3/5，求椭圆的标准方程。
3. 椭圆的标准方程为$x^2/16+y^2/9=1$，求椭圆的焦点坐标和离心率。
六、课堂练习。
1. 根据给定的椭圆长轴和短轴长度，求椭圆的标准方程。
2. 根据椭圆的焦点坐标和离心率，求椭圆的标准方程。
3. 求解椭圆的离心率、焦点坐标和标准方程。
通过本节课的学习，相信同学们对椭圆的标准方程和相关性质有了更清晰的认识。
在课后的练习中，希望同学们能够灵活运用所学知识，提高解题能力。
高职椭圆及其标准方程学案
椭圆及其标准方程学案一、目标理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．二、教材分析1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．2．难点：椭圆的标准方程的推导．三、过程(一)椭圆概念的引入“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．椭圆的定义：演示中要从两个方面加以强调：(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．(二)椭圆标准方程的推导1．标准方程的推导(1)建系设点以为x轴，为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为：(3)代数方程(4)化简方程①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；整理后，再平方得②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，(a＞b＞0)．示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a 2-b2．2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．(三)例题与练习例题平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．练习．求适合下列条件的椭圆的标准方程：椭圆的几何性质学案一、目标掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．二、教材分析1．重点：椭圆的几何性质及初步运用．2．难点：椭圆离心率的概念的理解．三、过程(一)复习提问1．椭圆的定义是什么？2．椭圆的标准方程是什么？(二)几何性质1．范围2．对称性3．顶点(1)线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的，它们的长分别等于(2)a、b的几何意义：4．离心率椭圆的离心率的定义：离心率e的几何意义．先分析椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：(2)当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；(3)当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就是圆了．(三)应用例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．小结解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关．前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质．练习：1．求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0．2的方程．双曲线及其标准方程学案一、目标掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导．二、教材分析1．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．2．难点：双曲线的标准方程的推导．三、过程(一)复习提问1．椭圆的定义是什么？强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a＞|F1F2|．2．椭圆的标准方程是什么？(二)双曲线的概念定义：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．(三)双曲线的标准方程标准方程的推导：(1)建系设点取为x轴，为y 轴(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合：(3)代数方程(4)化简方程将这个方程移项，两边平方得：化简得：这就是双曲线的标准方程．两种标准方程的比较(引导学生归纳)：教师指出：(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；(2)如果，那么焦点在x 轴上；如果，那么焦点在y轴上．（注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．）(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是不同于椭圆方程中(四)练习与例题1．求满足下列的双曲线的标准方程：焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；双曲线的几何性质学案一、目标理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征．二、教材分析1．重点：双曲线的几何性质及初步运用．2．难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证．三、过程(一)复习提问引入新课中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标中心在原点、焦点在y轴上的双曲线的标类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．(二)类比联想得出性质(性质1～3)(三)问题之中导出渐近线(性质4)(四)顺其自然介绍离心率(性质5)变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．(五)练习与例题1．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程．(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-144．2．求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；曲线的方程．作业答案：抛物线及其标准方程学案一、目标掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．二、教材分析1．重点：抛物线的定义和标准方程．2．难点：抛物线的标准方程的推导．三、过程(一)导出课题我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．(二)抛物线的定义(三)抛物线的标准方程四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．(四)四种标准方程的应用例题：(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．练习．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x2=2y；(2)4x2+3y=0；(3)2y2+5x=0；(4)y2-6x=0．2．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(-6，-3)．抛物线的几何性质学案一、目标理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．抛物线中的弦、最值等问题．二、教材分析1．重点抛物线的几何性质及初步运用2．难点：抛物线的几何性质的应用．三、过程(二)几何性质怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？以y2=2px(p＞0)为例，用小黑板给出下表，请学生对比、研究和填写．小结：(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了．(三)应用举例例1 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点例2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．例3 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B 两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．证明：(1)当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2．或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2．综合上述有y1y2=-p2又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点，本例小结：(1)涉及直线与圆锥曲线相交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解，这是解决这类问题的一种常用方法．(2)本例命题1是课本习题中结论，要求学生记忆．(四)练习1．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1+x2=6，求|AB|的值．2．证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点．证明：可设抛物线方程与圆锥曲线有关的几种典型题与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到，为了让大家对这方面的知识有一个比较系统的了解，1．圆锥曲线的弦长求法设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．A、B两点，旦|AB|=8，求倾斜角α．分析一：由弦长公式易解．由学生演板完成．解答为：∵抛物线方程为x2=-4y，∴焦点为(0，-1)．设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．将此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0．∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k．∴ k=±1．∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p．由上述解法易求得结果，由学生课外完成．2．与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围．例2 已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值与最小值；解(1)：将x2+4(y-1)2=4代入得：x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y由点(x，y)满足x2+4(y-1)2=4知：4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1．∴0≤y≤2．当y=0时，(x2+y2)min=0．3．与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法．4．圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用△≥0来处理．但用△≥0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的．解决这类问题：方法1，由“△≥0”与直观图形相结合；方法2，由“△≥0”与根与系数关系相结合；方法3，转换参数法(以后再讲)．。
学案3：2.2.1 椭圆的标准方程
2.2.1 椭圆的标准方程学习目标核心素养1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1.通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养学生的数学抽象素养.2.借助于标准方程的推导过程，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.新知初探1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．(2)相关概念：两个定点F1，F2叫做椭圆的，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的．思考1：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？2.椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c) a，b，c的关系a2＝初试身手1．已知点M 到两个定点A (－1,0)和B (1,0)的距离之和是定值2，则动点M 的轨迹是( ) A 一个椭圆 B ．线段ABC ．线段AB 的垂直平分线D ．直线AB2．以下方程表示椭圆的是( ) A.x 225＋y 225＝1 B.2x 2－3y 2＝2 C.－2x 2－3y 2＝－1D.x 2n 2＋y 2n 2＋2＝0 3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是( ) A.x 25＋y 24＝1 B.x 23＋y 24＝1 C.x 25＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1 D.x 29＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1 合作探究类型1 求椭圆的标准方程例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)． 规律方法确定椭圆方程的“定位”与“定量”提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 跟踪训练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (2)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142.类型2 椭圆的定义及其应用 [探究问题]1．如何用集合语言描述椭圆的定义？2．如何判断椭圆的焦点位置？3．椭圆标准方程中，a ，b ，c 三个量的关系是什么？例2 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 为椭圆上的点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．母题探究(改变问法)在例题题设条件不变的情况下，求点P的坐标．类型3 与椭圆有关的轨迹问题例3如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．规律方法在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时，由椭圆的定义知其轨迹是椭圆，这时可根据定值及两定点的坐标分别求出a，c，即可写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法.跟踪训练2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．规律方法椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，利用定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，这样可以减少运算量. 当堂达标 1．思考辨析(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ( ) (2)椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是(±3,0)． ( )(3)y 2a 2＋x 2b2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆． ( )2．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为( )A ．1B ．5C ．2D ．73．椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为( )A ．10B ．20C ．40D ．504．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆C 上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是________．参考答案新知初探 1．(1)和等于常数 (2)焦点 焦距思考1：[提示] 2a 与|F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：思考2：[提示] a ，b 的值及焦点所在的位置． 初试身手 1．【答案】B【解析】定值2等于|AB |，故点M 只能在线段AB 上． 2．【答案】C【解析】A 中方程为圆的方程，B ，D 中方程不是椭圆方程． 3．【答案】C【解析】若椭圆的焦点在x 轴上，则c ＝1，b ＝2，得a 2＝5，此时椭圆方程是x 25＋y 24＝1；若焦点在y 轴上，则a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，此时椭圆方程是x 23＋y 24＝1.] 合作探究类型1 求椭圆的标准方程例1 解：(1)由于椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵2a ＝(5＋4)2＋(5－4)2＝10，∴a ＝5. 又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)法一：①当焦点在x 轴上时，a b依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，1a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.因为a >b >0，所以无解．综上，所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.跟踪训练1．解：(1)法一：因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，所以a ＝6. 又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝4 2. 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.法二：因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2＋16b 2＝1，a 2＝b 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.(2)法一：若椭圆的焦点在x 轴上，a b由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.同理可得：焦点在y 轴上的椭圆不存在． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.类型2 椭圆的定义及其应用 [探究问题]1．[提示] P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a,2a ＞|F 1F 2|}．2．[提示] 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．3．[提示] 椭圆的标准方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a ，b ，c (都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a >b ，a >c ，且a 2＝b 2＋c 2(如图所示)．例2 解：由已知a ＝2，b ＝3， 得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2， 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|. ①由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，即|PF 2|＝4－|PF 1|. ②②代入①解得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF 1F 2的面积是35 3.母题探究解：设P 点坐标为(x 0，y 0)．由本例解答可知S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝353，解得|y 0|＝353，即y 0＝±353， 将y 0＝±353代入x 24＋y 23＝1得x ＝±85，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫±85，±353. 类型3 与椭圆有关的轨迹问题例3 解：由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |， |CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |. ∴|CM |＋|MA |＝5.∴M 点的轨迹为椭圆，其中2a ＝5， 焦点为C (－1,0)，A (1,0)， ∴a ＝52，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.∴所求轨迹方程为：x 2254＋y 2214＝1.跟踪训练2．解：如图所示，设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，由题意动圆M 内切于圆C 1， ∴|MC 1|＝13－r . 圆M 外切于圆C 2，∴|MC 2|＝3＋r .∴|MC 1|＋|MC 2|＝16＞|C 1C 2|＝8，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆， 且2a ＝16,2c ＝8， b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48， 故所求轨迹方程为x 264＋y 248＝1.当堂达标1．[提示] (1)× 需2a ＞|F 1F 2|. (2)× (0，±3)．(3)× a ＞b ＞0时表示焦点在y 轴上的椭圆． 2．【答案】D【解析】由|PF 1|＋|PF 2|＝10可知到另一焦点的距离为7. 3．【答案】B【解析】由椭圆的定义得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，所以△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝20，故选B. 4．【答案】x 24＋y 23＝1【解析】由|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2，∴原方程化为x 24＋y 2b 2＝1，将A ⎝⎛⎭⎫1，32代入方程得b 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.。
椭圆及其标准方程学案
《§8.1.1 椭圆及其标准方程》学案一、学习目标：1.理解并掌握椭圆的定义、焦距2.掌握椭圆的标准方程及其推导方法 二、问题的提出2005年10月12日上午9时，“神舟六号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问： “神舟六号”载人飞船的运行轨道是什么？(神舟六号在进入太空后，先以远地点347公里、近地点200公里的椭圆轨道运行，后经过变轨调整为距地343公里的圆形轨道.)问题1：什么叫圆?问题2：如果将圆的定义中的”一个定点”改为”两个定点”,也就是说将”到一个定点的距离等于定长”改述为:到两个定点的距离之和等于定长,那么点的集合又是什么呢?三、自学指导：任务一：1、做实验：阅读P102第一段内容，尝试动手画图。
材料：作业本大小纸张、一段细绳、两颗图钉、一支铅笔。
把绳子的两端分开固定在两个定点21F F 、上，保持拉紧状态，移动铅笔，请思考 （1）笔尖画出的轨迹是什么图形？（2）在一次实验过程中，绳长改变了吗？21F F 、的位置改变了吗？ （3）改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ （4）绳长能小于两图钉之间的距离吗？2、结论：绳长记为a 2，两定点间的距离记为c 2(c ≠0). （1）当c a 22>时，轨迹是 ；（2）当c a 22=时，轨迹是 ； （3）当c a 22<时，轨迹是 .3、椭圆的定义：平面内与两个定点21F F 、的 等于 （大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个 叫做椭圆的焦点， 的距离叫做椭圆的焦距。
翻译为数学语言：a MF MF 221=+（常数）（221F ）焦点： 焦距： （一般用2c 表示） 任务二：阅读P102--103内容，尝式推导“椭圆的方程”。
1．回顾求曲线方程的一般步骤：（1） （2） （3） 2. 椭圆标准方程的推导过程（1）建系、设点：取通过焦点21F F 的直线为 ，线段21F F 的垂直平分线为 ，建立平面直角坐标系。
新教材2022版人教A版数学选择性必修第一册学案：3.1.1 椭圆及其标准方程(含解析)
第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程素养目标·定方向课程标准学法解读1．理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程．2．掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程．1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．(数学建模)2．掌握椭圆的定义和标准方程．(数学抽象)3．会求椭圆的标准方程．(数学运算)必备知识·探新知知识点1 椭圆的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于__常数__(大于|F1F2|)的点的轨迹．2．焦点：两个定点F1，F2．3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|．4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝__2a__(常数)且2a__＞__|F1F2|．知识点2 椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程__x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)____y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)__图形焦点坐标 __F 1(－c,0)，F 2(c,0)____F 1(0，－c )，F 2(0，c )__a ，b ，c 的 关系 __b 2＝a 2－c 2__思考：能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？提示：能．椭圆的焦点在x 轴上⇔标准方程中含x 2项的分母较大；椭圆的焦点在y 轴上⇔标准方程中含y 2项的分母较大．关键能力·攻重难题型探究题型一 求椭圆的标准方程 角度1 待定系数法典例1 根据下列条件，求椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)．[分析] (1)设出焦点在x 轴上的椭圆的标准方程，再根据条件求出a ，b 的值，即可求得方程；(2)设出焦点在y 轴上的椭圆的标准方程，再根据条件求出a ，b 的值，即可求得方程；(3)焦点位置不确定，可以分两种情况分别求解，也可直接设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )．[解析] (1)因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为2a ＝(5＋4)2＋(5－4)2＝10，所以a ＝5．又c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9． 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1．(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1．(3)方法1：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5，故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1．②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，1a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15，因为不满足a ＞b ＞0，所以无解．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1．方法2：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1．[规律方法] 椭圆方程的求法1．利用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤如下：(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a ，b ，c 的等量关系；(4)求a ，b 的值，代入所设方程．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0)．因为焦点位置包括焦点在x 轴上(m ＜n )或焦点在y 轴上(m ＞n )两种情况，所以可以避免分类讨论，从而简化运算．角度2 定义法典例2 一个动圆与圆Q 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆Q 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．[分析] 两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，由此可以找到动圆圆心满足的条件等式．[解析] 两定圆的圆心和半径分别为Q 1(－3,0)，r 1＝1；Q 2(3,0)，r 2＝9．设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，由题意有|MQ 1|＝1＋R ，|MQ 2|＝9－R ，∴|MQ 1|＋|MQ 2|＝10＞|Q 1Q 2|＝6．由椭圆的定义可知点M 在以Q 1，Q 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16．故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1．[规律方法] 1．若动点轨迹满足椭圆的定义，则根据椭圆的定义来确定a ，b ，c ，从而确定椭圆的标准方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．2．一般步骤：(1)将条件转化为到两定点的距离之和为定值(该定值大于两定点之间的距离)； (2)判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴； (3)确定椭圆的基本量a ，b ，c ，从而确定椭圆的标准方程． 【对点训练】❶ 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点．[解析] (1)方法一：(分类讨论法)若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)．由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝8，b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎨⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝8，a 2＝4.则a 2＜b 2，与题设中a ＞b ＞0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．方法二：(待定系数法)设椭圆的方程为 Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．(2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16．设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16．① 又点(3，－5)在椭圆上，所以(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1．②由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1．题型二 对椭圆标准方程的理解典例3 (1)若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示椭圆，则实数m 的取值范围是( B )A ．(－9,25)B ．(－9,8)∪(8,25)C ．(8,25)D ．(8，＋∞)(2)若方程x 2－3my 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是__⎝⎛⎭⎫－∞，－13__．[解析] (1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧25－m ＞0，m ＋9＞0，m ＋9≠25－m ，解得－9＜m ＜8或8＜m ＜25，即实数m 的取值范围是(－9,8)∪(8,25)．(2)由题意知m ≠0，将椭圆方程化为x 21＋y 2－13m＝1，依题意有⎩⎨⎧－13m＞0，1＞－13m ，解得m ＜－13，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－13． [规律方法] 根据椭圆方程求参数的取值范围 1．给出方程x 2m ＋y2n＝1，其表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ≠n ，其表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是m ＞n ＞0，其表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是n ＞m ＞0．2．若给出椭圆方程Ax 2＋By 2＝C ，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式x 2C A ＋y 2C B＝1，再研究其焦点的位置等情况．【对点训练】❷ 若方程x 2a 2－y 2a －12＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是__(－4,0)∪(0,3)__．[解析] 方程化为x 2a 2＋y 212－a＝1，依题意应有12－a ＞a 2＞0，解得－4＜a ＜0或0＜a ＜3． 题型三 椭圆中的焦点三角形问题典例4 已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上的任一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝π3，求△PF 1F 2的面积．[分析] (1)由|PF 1|＋|PF 2|是定值，求|PF 1|·|PF 2|的最大值，可考虑用基本不等式；(2)求焦点三角形的面积，可考虑用定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 及余弦定理先求|PF 1|·|PF 2|，再考虑用三角形面积公式求面积．[解析] (1)由|PF 1|＋|PF 2|≥2|PF 1|·|PF 2|知， |PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝⎛⎭⎫2022＝100， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝10时，等号成立， 即|PF 1|·|PF 2|取到最大值100． (2)c 2＝a 2－b 2＝100－64＝36，c ＝6， 则F 1(－6,0)，F 2(6,0)． ∵P 为椭圆上任一点， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20． 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝12，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos π3，即122＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|．∵|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|，∴122＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|， ∴122＝202－3|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝202－1223＝2563．∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin π3＝12×2563×32＝6433．[规律方法] 焦点三角形的常用公式(1)焦点三角形的周长L ＝2a ＋2c ．(2)在△MF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos θ．(3)焦点三角形的面积S △F 1MF 2＝12|MF 1||MF 2|sin θ＝b 2tan θ2．(选择题、填空题可直接应用此公式求解)【对点训练】❸如图，已知经过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点F 2的直线AB 垂直于x 轴，交椭圆于A ，B 两点，F 1是椭圆的左焦点．(1)求△AF 1B 的周长；(2)如果AB 不垂直于x 轴，△AF 1B 的周长有变化吗？为什么？ [解析] (1)由题意知A ，B 在椭圆x 225＋y 216＝1上，故有|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |，∴△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝2a ＋2a ＝10＋10＝20，∴△AF 1B 的周长为20．(2)如果AB 不垂直于x 轴，△AF 1B 的周长仍为20不变．理由：|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ，和AB 与x 轴是否垂直无关．易错警示典例5 △ABC 的三边a 、b 、c (a ＞b ＞c )成等差数列，A 、C 两点的坐标分别是(－1,0)、(1,0)，求顶点B 的轨迹方程．[错解] 设点B 的坐标为(x ，y )．∵a 、b 、c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ，即|BC |＋|BA |＝2|AC |，∴|BC |＋|BA |＝4． 根据椭圆的定义易知，点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1．[辨析] 错误的原因是忽略了题设中的条件a ＞b ＞c ，使变量x 的范围扩大，从而导致错误．另外一处错误是当点B 在x 轴上时，A 、B 、C 三点不能构成三角形．[正解] ∵a ＞c ，即(x －1)2＋y 2＞(x ＋1)2＋y 2，解得x ＜0．又点B 不在x 轴上，∴x ≠－2．故所求的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(－2＜x ＜0)．[规律方法] 要认真审题，弄清已知条件，注意是否存在隐含条件，不能扩大或缩小变量x 或y 的取值范围．。
湘教版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线与方程 3.1.1 椭圆的标准方程
在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,
即4=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cos 60°,
即4=16-3|PF1|·|PF2|.
所以|PQ1|+|PQ2|=8>6=|Q1Q2|.
所以P点轨迹是以Q 1,Q 2为焦点的椭圆,且2a=8,2c=6.
即a=4,c=3,所以b2=a2-c2=7.
故动圆圆心的轨迹方程是
2
16
+
2
7
=1.
变式训练2
若动圆M过定点A(-3,0),且内切于定圆B:(x-3)2+y2=100,则动圆圆心M的轨
∴动圆圆心M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,此时a=5,c=3,∴b2=a2-c2=16.
∴动圆圆心M的轨迹方程为
2
25
+
2
16
=1.
探究点二 对椭圆标准方程的理解
【例
2
3】(1)若方程
25-
+
2
=1
+9
表示椭圆,则实数 m 的取值范围是(
A.(-9,25)
B.(-9,8)∪(8,25)
【例2】一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求
这个动圆圆心的轨迹方程.
分析 设出动圆的圆心及半径,利用两圆相切的几何条件列式求解.
解 两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9.
椭圆及其标准方程(优秀获奖教案)-椭圆及其标准方程教案
2.2.1椭圆及其标准方程（1）教学目标:重点: 椭圆的定义及椭圆标准方程,用待定系数法和定义法求曲线方程.难点：椭圆标准方程的建立和推导．知识点：椭圆定义及标准方程.能力点：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法,提高学生运用坐标法解决几何问题的能力懂得欣赏数学的“简洁美”，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法.教育点：通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力，培养学生探索数学的兴趣，激发学生的学习热情.自主探究点：1.通过教学情境中具体的学习活动（如动手实验、自主探究、合作交流等），引导学生发现并提出数学问题，并在作出合理推导的基础上，形成椭圆的定义；2.探讨椭圆标准方程的最简形式，并通过对解决问题过程的反思，获得求曲线方程的一般方法.考试点：椭圆定义及标准方程，利用其解决有关的椭圆问题易错易混点：在用椭圆标准方程时，学生一般在“焦点的位置”上容易出错.拓展点：如何利用坐标法探讨其它圆锥曲线的方程.教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课【创设情景】材料1：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.材料2：20XX 年6月16日下午18时，“神州九号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神州九号”飞船的运行轨道是什么？多媒体展示“神州九号”运行轨道图片．【设计意图】利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆.通过“神州九号”的轨道录像，让学生感受现实，激发学生的学习兴趣，培养爱国思想. 思考1:自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢?思考2:在圆的学习中我们知道,平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆.那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？【设计意图】对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研究，但对椭圆，学生只停留在直观感受，基于它俩的关系，引导学生用上一章所学，来研究椭圆． 学生分组做试验,教师同时做好指导:按照课本上介绍的方法，学生用一块纸板；两个图钉，一根无弹性的细绳试画椭圆，让学生自己动手画，同桌相互切磋，探讨研究.（提醒学生：作图过程中注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件）思考:点M 运动时，12,F F 移动了吗？点M 按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？1.在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？2.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？3.当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程， 师生共同总结规律：当1212||||||MF MF F F +> 时,M 点的轨迹为椭圆；当1212||||||MF MF F F +=时,M 点的轨迹为线段1F 2F ； 当1212||||||MF MF F F +<时,M 点的轨迹不存在． 【设计意图】在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一是为了给学生一个动手实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践思考，为进一步上升到理论做准备．二、探究新知 （一）归纳定义思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？设椭圆上任一点为M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+【设计意图】通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力.（二）椭圆标准方程的推导复习提问求曲线方程的一般步骤：（教师提问，针对对于学生回答情况做一总结） （1）建系、设点;（2）写出点的集合;（3）列式;（4）化简;（5）证明. 思考：如何建系，才能使求出的方程最简呢？由学生自主提出建立坐标系的不同方法，教师根据学生提出的“建系”方式，把学生分成若干组，分别按不同的建系的方法推导方程，进行比较。
2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆的标准方程(一)学案新人教B版选修2-1
2.2.1 椭圆的标准方程(一)学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一椭圆的定义思考1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？思考2 在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆？梳理(1)我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于__________(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|}．(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a>|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a＝|F1F2|动点的轨迹是线段F1F22a<|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在知识点二椭圆的标准方程思考1 在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？思考2 若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10，如何求出点P的轨迹方程？梳理 (1)椭圆标准方程的两种形式焦点位置 标准方程焦点焦距 焦点在x 轴上x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) F 1(－c ，0)，F 2______ 2c焦点在y 轴上y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) F 1______， F 2(0，c )2c(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系椭圆在坐标系中的位置标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) 焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系b 2＝a 2－c 2(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标．判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为y 25＋x 24＝1的椭圆，焦点在y 轴上，而且可求出焦点坐标F 1(0，－1)，F 2(0，1)，焦距|F 1F 2|＝2.类型一 椭圆的定义解读例1 点P (－3，0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，判断圆心M 的轨迹．反思与感悟 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．常数(2a )必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．跟踪训练1 下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ③到定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．类型二 求椭圆的标准方程命题角度1 用待定系数法求椭圆的标准方程例2 求焦点在坐标轴上，且经过两点P (13，13)，Q (0，－12)的椭圆的标准方程．引申探究求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆方程．反思与感悟 (1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m >0，n >0)．(2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1(a >b >0，b 2>－λ)，与椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为y 2a 2＋λ＋x 2b 2＋λ＝1(a >b >0，b 2>－λ)．跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)椭圆过点(3，2)，(5，1)；(3)椭圆的焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1)．命题角度2 用定义法求椭圆的标准方程例3 已知一动圆M 与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程．反思与感悟 用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a ，b 的值．跟踪训练3 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过点P 作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．类型三 椭圆中焦点三角形问题例4 (1)已知P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积；(2)已知椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，求∠F 1PF 2的大小．反思与感悟 在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形．这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF 1|＋|MF 2|＝2a 及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．跟踪训练4 (1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点三角形PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝α，点P 的坐标为(x 0，y 0)，求证：△PF 1F 2的面积12PF F S ＝c |y 0|＝b 2tan α2；(2) 已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图)．求△PF 1F 2的面积．1．已知A(－5，0)，B(5，0)．动点C满足|AC|＋|BC|＝10，则点C的轨迹是( ) A．椭圆B．直线C．线段D．点2．若方程3x2＋ky2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的可能取值为( )A．1 B．3 C．0 D．－23．已知椭圆C：x225＋y216＝1内有一点M(2，3)，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上一点，则|PM|＋|PF1|的最大值为________，最小值为________．4．椭圆8x2＋3y2＝24的焦点坐标为________________．5．求经过两点(2，－2)，(－1，142)的椭圆的标准方程．1．椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．在解题过程中将|PF1|＋|PF2|看成一个整体，可简化运算．2．椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”、“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决．3．凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a(M为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M(x0，y0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算．提醒：完成作业第二章 2.2.1(一)答案精析问题导学 知识点一思考1 在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．思考2 笔尖到两图钉的距离之和不变，等于绳长．绳长大于两图钉间的距离．若在移动过程中绳长发生变化，即到两定点的距离不是定值，则轨迹就不是椭圆．若绳长不大于两图钉间的距离，轨迹也不是椭圆． 梳理 (1)常数 椭圆 焦点 焦距 知识点二思考1 不一定，只需a >b ，a >c 即可，b ，c 的大小关系不确定．思考2 以两定点的中点为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A (3，0)，B (－3，0)．设P (x ，y )，依题意得|PA |＋|PB |＝10， 所以x －32＋y 2＋x ＋32＋y2＝10，即点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.梳理 (1)(c ，0) (0，－c ) 题型探究例1 解 方程x 2＋y 2－6x －55＝0化标准形式为(x －3)2＋y 2＝64，圆心为(3，0)，半径r ＝8.因为动圆M 与已知圆相内切且过P 点，所以|MC |＋|MP |＝r ＝8，根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |，所以动点M 的轨迹是椭圆．跟踪训练1 ②例2 解 方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧132a2＋132b 2＝1，0＋－122b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝14.由a >b >0知不合题意，故舍去．②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧132a 2＋132b 2＝1，－122a 2＋0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． 则⎩⎪⎨⎪⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1， 故椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.引申探究解 据题意可设其方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1(λ>－9)，又椭圆过点(3，15)，将此点代入椭圆方程，得λ＝11(λ＝－21舍去)， 故所求的椭圆方程为x 236＋y 220＝1.跟踪训练2 解 (1)设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 则2a ＝10，c ＝4，故b 2＝a 2－c 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1 (A >0，B >0，A ≠B )，则⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋4B ＝1，25A ＋B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝391，B ＝1691.故所求椭圆的标准方程为x 2913＋y 29116＝1. (3)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. 例3 解 依题意得C 1(－3，0)，r 1＝1，C 2(3，0)，r 2＝9，设M (x ，y )，动圆半径为R ， 则|MC 1|＝1＋R ，|MC 2|＝9－R ， 故|MC 1|＋|MC 2|＝10＞6＝|C 1C 2|，据椭圆定义知，点M 的轨迹是一个以C 1，C 2为焦点的椭圆，且a ＝5，c ＝3， 故b 2＝a 2－c 2＝16.故所求动圆圆心M 的轨迹方程为 x 225＋y 216＝1. 跟踪训练3 解 设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 不妨取|PF 1|＝453，|PF 2|＝253，由椭圆的定义，知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2 5.即a ＝ 5.由|PF 1|>|PF 2|知，PF 2垂直于焦点所在的坐标轴． 在Rt△PF 2F 1中， 4c 2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝609，∴c 2＝53，∴b 2＝a 2－c 2＝103.又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上，故所求的椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y25＝1. 例4 解 (1)由椭圆的标准方程， 知a ＝5，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝1，∴|F 1F 2|＝2.又由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2 5.在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|· cos∠F 1PF 2，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30°， 即4＝20－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)．1212121·sin 2F PF S PF PF F PF ∆∴∠＝＝12×16(2－3)×12＝8－4 3. (2)由x 29＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2，∴c ＝7，∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2， ∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝－12，又∵0°＜∠F 1PF 2＜180°， ∴∠F 1PF 2＝120°.跟踪训练4 (1)证明 12PF F S ∆＝12|F 1F 2||y 0|＝c |y 0|. 在△PF 1F 2中，根据椭圆定义， 得|PF 1|＋|PF 2|＝2a . 两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.①根据余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos α＝4c 2.②①－②，得(1＋cos α)|PF 1||PF 2|＝2b 2，所以|PF 1||PF 2|＝2b21＋cos α.根据三角形的面积公式，得12121sin 2PF F S PF PF α∆＝＝12·2b 21＋cos α·sin α＝b 2·sin α1＋cos α. 又因为sin α1＋cos α＝2sin α2cosα22cos2α2＝sinα2cosα2＝tan α2，所以S △PF 1F 2＝b 2tan α2.(2)解 由已知得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. 从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由勾股定理可得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4， 所以|PF 2|＝4－|PF 1|.从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4. 解得|PF 1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32， 即△PF 1F 2的面积是32.当堂训练1．C 2.A 3.10＋10 10－10 4．(0，－5)，(0，5)5．解 设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，(－1，142)分别代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧ 4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝18，B ＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.。
《椭圆及其标准方程》教学设计(精选3篇)
《椭圆及其标准方程》教学设计（精选3篇）《椭圆及其标准方程》教学设计篇1一、教材内容分析本节是整个解析几何部分的重要基础学问。
这一节课是在《直线和圆的方程》的基础上，将讨论曲线的方法拓展到椭圆，又是连续学习椭圆几何性质的基础，同时还为后面学习双曲线和抛物线作好预备。
它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，所以椭圆是同学学习解析几何由浅入深的一个台阶，它在整章中具有承前起后的作用。
二、学情分析高中二班级同学正值身心进展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应学问基础，所以他们乐于探究、敢于探究。
但高中生的规律思维力量尚属阅历型，运算力量不是很强，有待于训练。
基于上述分析，我实行的是“创设问题情景-----自主探究讨论-----结论应用巩固”的一种讨论性教学方法，教学中采纳激发爱好、主动参加、乐观体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。
使同学真正成为课堂的主体。
三、设计思想1、把章头图和引言用微机以影像、录音和图片的形式给出，生动体现出数学的有用性；2、进行分组试验，让同学亲自动手，体验学问的发生过程，并培育团队协作精神；3、利用《几何画板》进行动态演示，增加直观性；四、教学目标1、学问与技能目标：理解椭圆定义、把握标准方程及其推导。
2、过程与方法目标：注意数形结合，把握解析法讨论几何问题的一般方法，注意探究力量的培育。
3、情感、态度和价值观目标：(1)探究方法激发同学的求知欲，培育深厚的学习爱好。
(2)进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学习。
五、教学的重点和难点教学重点：椭圆定义的理解及标准方程的推导。
教学难点：标准方程的推导。
四、说教学过程（一）、创设情景，导入新课。
（3分钟)1、利用微机放映“彗星运行”资料片，引入课题——椭圆及其标准方程。
2、提问：同学们在日常生活中都见过哪些带有椭圆外形的物体？对同学的回答进行筛选，并利用微机放映几个例子的图片。
设计意图：通过观看影音资料，一方面使同学简洁了解椭圆的实际应用，另一方面产生问题意识，对讨论椭圆产生心理期盼。
高二数学人教A版选修1-1学案第二章2-12-1-1椭圆及其标准方程Word版含答案
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第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程1.椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|}．定义中的常数不满足2a>|F1F2|时点的轨迹是什么？提示：(1)当|PF1|＋|PF2|＝2a<|F1F2|时，P的轨迹不存在.(2)当|PF1|＋|PF2|＝2a＝|F1F2|时，P的轨迹为以F1，F2为端点的线段．2．椭圆的标准方程椭圆标准方程的两种形式焦点位置标准方程焦点焦距焦点在x轴上x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)F1(－c，0)，F2(c，0)2c焦点在y轴上y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)F1(0，－c)，F2(0，c)2c(1)从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？提示：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．(2)在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？提示：不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．()提示：(1)×.因为2a＝|F1F2|＝8，动点的轨迹是线段F1F2，不是椭圆．(2)已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．( )提示：(2)×.2a<|F 1F 2|，动点的轨迹不存在．(3)平面内到点F 1(－4，0)，F 2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆．( ) 提示：(3)√.符合椭圆的定义．(4)平面内到点F 1(－4，0)，F 2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆．( ) 提示：(4)×.平面内到点F 1(－4，0)，F 2(4，0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线．2．椭圆x 216 ＋y 225 ＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若||PF 1 ＝2，则||PF 2 ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】选D.由题意a ＝5，||PF 1 ＋||PF 2 ＝2a ， 所以||PF 2 ＝2a －||PF 1 ＝10－2＝8.3．(教材二次开发：例题改编)设F 1，F 2为定点，||F 1F 2 ＝6，动点M 满足||MF 1 ＋||MF 2 ＝10，则动点M 的轨迹是________．(从以下选择：椭圆．直线．圆.线段)【解析】动点M 满足||MF 1 ＋||MF 2 ＝10>6＝|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆． 答案：椭圆类型一 求椭圆的标准方程(数学运算)1．(2021·昆明高二检测)已知椭圆的两个焦点是⎝⎛⎭⎫－3，0 ，⎝⎛⎭⎫3，0 ，且点⎝⎛⎭⎫0，2 在椭圆上，则椭圆的标准方程是( )A ．x 213 ＋y 24 ＝1 B ．x 29 ＋y 24 ＝1 C ．x 24 ＋y 213 ＝1D ．x 213 －y 24 ＝1【解析】选A.由题意，因为椭圆的两个焦点是(－3，0)，(3，0)，所以c ＝3，且焦点在x 轴上，又因为椭圆过点⎝⎛⎭⎫0，2 ，所以b ＝2，根据a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝13 ，故椭圆的标准方程为x213＋y 24 ＝1.2．已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)的左焦点为F(－ 3 ，0)，且椭圆C 上的点与长轴两端点构成的三角形面积最大值为3 2 ，则椭圆C 的方程为( ) A ．x 23 ＋y 2＝1 B ．x 24 ＋y 2＝1 C ．x 26 ＋y 23 ＝1D ．x 29 ＋y 26 ＝1【解析】选C.因为椭圆C 的左焦点为F(－ 3 ，0)，所以c ＝ 3 ， 又因为椭圆C 上的点与长轴两端点构成的三角形面积的最大值为3 2 ，即12 ×2a×b ＝ab ＝3 2 ①又因为a 2＝b 2＋c 2，即a 2＝b 2＋3② 由①②解得：a ＝ 6 ，b ＝ 3 ， 椭圆C 的方程为x 26 ＋y 23 ＝1.3．求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13 ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12的椭圆的标准方程．【解析】方法一：(1)当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0).依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝14．由a>b>0，知不合题意，故舍去．(2)当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a 2 ＋x 2b 2 ＝1(a>b>0).依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122a2＋0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15．所以所求椭圆的标准方程为y 214 ＋x 215＝1.方法二：设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m>0，n>0，m≠n).则⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132n ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1， 故椭圆的标准方程为y 214 ＋x 215＝1.1．求曲线方程首先考虑比较简单的定义法，也可以用待定系数法． 2．待定系数法求椭圆标准方程的步骤(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是在两个坐标轴上都有可能． (2)设方程．①依据上述判断设方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)或y 2a 2 ＋x 2b 2 ＝1(a>b>0)； ②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m>0，n>0且m≠n).(3)找关系：依据已知条件，建立关于a ，b 或m ，n 的方程组．(4)得方程：解方程组，将a ，b 或m ，n 代入所设方程即为所求． 提醒：焦点所在坐标轴不同，其标准方程的形式也不同． 类型二 椭圆中的焦点三角形问题(数学运算)【典例】(1)椭圆x 29 ＋y 22 ＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，求∠F 1PF 2的大小．(2)已知椭圆x 24 ＋y 23 ＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积． 【思路导引】【解析】(1)由x 29 ＋y 22 ＝1，知a ＝3，b ＝ 2 ， 所以c ＝7 ，|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2， 在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2| ＝－12 ，所以∠F 1PF 2＝120°.(2)由x 24 ＋y 23 ＝1，知a ＝2，b ＝ 3 ，所以c ＝a 2－b 2 ＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos ∠PF 1F 2， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.① 由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4.② 由①②联立得|PF 1|＝65 .所以12PFF S ＝12 |PF 1||F 1F 2|sin ∠PF 1F 2 ＝12 ×65 ×2×32 ＝335 .1．椭圆定义的应用(1)实现椭圆上的点与两个焦点连线长度之间的相互转化． (2)将椭圆上的点与两焦点连线的和看成一个整体，求解定值问题． 2．椭圆定义解题的整体思想对于椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1，F 2构成的△F 1PF 2，如果已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12 |PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出|PF 1|和|PF 2|，这样可以减少运算量．1．已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，离心率为33 ，过点F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为4 3 ，则C 的方程为________．【解析】由题意及椭圆的定义知4a ＝4 3 ， 则a ＝ 3 .又c a ＝c 3 ＝33 ，所以c ＝1.所以b 2＝2. 所以C 的方程为x 23 ＋y 22 ＝1. 答案：x 23 ＋y 22 ＝12．已知P 是椭圆y 25 ＋x 24 ＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点且∠F 1PF 2＝30°，则△F 1PF 2的面积是________． 【解析】由椭圆方程知a ＝5 ，b ＝2， 所以c ＝a 2－b 2 ＝1，所以|F 1F 2|＝2，又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2 5 . 在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－ 2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2， 即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30°， 即4＝20－(2＋ 3 )|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝16(2－ 3 )，12PFF S＝12 |PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12 ×16(2－ 3 )×12 ＝8－43 . 答案：8－4 3【拓展延伸】椭圆中的焦点三角形：椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解． 【拓展训练】在椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)的焦点三角形PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝α，点P 的坐标为(x 0，y 0)，求证：△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝c|y 0|＝b 2tan α2 .【证明】12PFF SS △PF 1F 2＝12 |F 1F 2||y 0|＝c|y 0|.在△PF 1F 2中，根据椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a. 两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.① 根据余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2| cos α＝4c 2.②， ①－②，得(1＋cos α)|PF 1||PF 2|＝2b 2， 所以|PF 1||PF 2|＝2b 21＋cos α.根据三角形的面积公式得12PFF S ＝12 |PF 1||PF 2|sin α ＝12 ·2b 21＋cos α ·sin α＝b 2·sin α1＋cos α. 又因为sin α1＋cos α ＝2sin α2cos α22cos 2α2 ＝sin α2cos α2＝tan α2 ， 所以12PFF S ＝b 2tan α2 . 类型三 与椭圆有关的轨迹问题(直观想象、数学运算)定义法【典例】一个动圆与圆Q 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆Q 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．【思路导引】由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹．【解析】由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q 1(－3，0)，R 1＝1；Q 2(3，0)，R 2＝9.设动圆圆心为M(x ，y)，半径为R ，如图．由题设有|MQ 1|＝1＋R ，|MQ 2|＝9－R ，所以|MQ 1|＋|MQ 2|＝10>|Q 1Q 2|＝6.由椭圆的定义知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3. 所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，故动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.若将“圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1”改为“圆Q1：(x＋3)2＋y2＝9”，试求这个动圆圆心的轨迹方程．【解析】由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，R1＝3；Q2(3，0)，R2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R.由题设有|MQ1|＝3＋R，|MQ2|＝9－R，所以|MQ1|＋|MQ2|＝12>|Q1Q2|＝6.由椭圆的定义知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝6，c＝3.所以b2＝a2－c2＝36－9＝27，椭圆方程为x236＋y227＝1，又当M在点(－6，0)时，不存在圆符合题意，所以x≠－6，故动圆圆心的轨迹方程为x236＋y227＝1(x≠－6).代入法(相关点法)【典例】已知P是椭圆x24＋y28＝1上一动点；O为坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程为________．【思路导引】点Q为OP的中点⇒点Q与点P的坐标关系⇒代入法求解．【解析】设Q(x ，y)，P(x 0，y 0)，由点Q 是线段OP 的中点知x 0＝2x ，y 0＝2y ， 又x 20 4 ＋y 20 8 ＝1，所以（2x ）24 ＋（2y ）28 ＝1，即x 2＋y 22 ＝1.答案：x 2＋y 22 ＝11．对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．2．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(x ，y)与另一个已知曲线C ：F(x ，y)＝0上的动点Q(x 1，y 1)存在着某种联系，可以把点Q 的坐标用点P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线C 的方程 F(x ，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法).1．已知动圆M 过定点A(－3，0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解析】设动圆M 的半径为r ，则|MA|＝r ，|MB|＝8－r ，所以|MA|＋|MB|＝8，且8>|AB|＝6，所以动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(－3，0)，B(3，0)，且2a ＝8，所以a ＝4，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.所以所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216 ＋y 27 ＝1.2．(2021·洛阳高二检测)已知椭圆的两焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且||F 1F 2 是||PF 1 与||PF 2 的等差中项．(1)求此椭圆方程；(2)若点P 满足∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．【解析】(1)设所求椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)，根据已知可得||F 1F 2 ＝2，所以||PF 1 ＋||PF 2 ＝4＝2a ，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，所以此椭圆方程为x 24 ＋y 23 ＝1；(2)在△PF 1F 2中，设||PF 1 ＝m ，||PF 2 ＝n ，由余弦定理得4＝m 2＋n 2－2mn·cos 60°，所以4＝(m ＋n)2－2mn －2mn·cos 60°＝16－3mn ，mn ＝4，所以12PFF S S △PF 1F 2＝12 mn·sin 60°＝12 ×4×32 ＝3 .1．若方程x 220＋a ＋y 24－a ＝1表示椭圆，则实数a 的取值范围是() A ．⎝⎛⎭⎫－20，4B ．⎝⎛⎭⎫－20，－8 ∪⎝⎛⎭⎫－8，4C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－20 ∪⎝⎛⎭⎫4，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－20 ∪⎝⎛⎭⎫－8，＋∞【解析】选B.因为方程x 220＋a ＋y 24－a＝1表示椭圆， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧20＋a>0，4－a>0，20＋a≠4－a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a>－20，a<4，a≠－8⇒－20<a<－8或－8<a<4.2．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(0，－8)，F 2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )A ．x 2100 ＋y 236 ＝1B ．y 2400 ＋x 2336 ＝1C ．y 2100 ＋x 236 ＝1D ．y 220 ＋x 212 ＝1【解析】选C.由已知c ＝8，2a ＝20，所以a ＝10，b 2＝a 2－c 2＝36，故椭圆的方程为y 2100 ＋x 236 ＝1. 3．若方程x 2m ＋y 21－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为________．【解析】由题可知，方程x 2m ＋y 21－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得1－m>m>0，解得：0<m<12 ，所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，12 . 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 4．如果方程x 2a 2 ＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．【解析】由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎨⎧a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎨⎧（a ＋2）（a －3）>0，a>－6. 解得a>3或－6<a<－2. 答案：(3，＋∞)∪(－6，－2)关闭Word 文档返回原板块。
《椭圆的标准方程》教案
《椭圆及其标准方程》教学设计教材：湖南教育出版社《普通高中教科书.数学.选择性必修第一册§3.1.1节》一、内容分析本节课是高中数学选择性必修第一册《第3章圆锥曲线与方程》的第一课，是继学习圆以后运用"曲线和方程"理论解决具体的二次曲线的又一实例，也是圆锥曲线这一章的一节入门课。
从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程；重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣；通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美.同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础。
因此，这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点。
课程标准要求对椭圆定义与方程的研究，能将曲线与方程对应起来，能将几何问题坐标化，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。
而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。
二、教学目的学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。
三、重点难点重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求椭圆方程。
难点：椭圆标准方程的建立和推导。
四、核心素养●直观想象、●数学运算、○数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、●数学建模．五、教学准备希沃白板5课件.六、教学流程->->->七、教学过程动画演示: 取一条定长的细绳，把它的两端分别固定在纸上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖．问题1：若绳长等于两点F1，F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？问题2：若绳长大于两点F1，F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？回答椭圆是满足什么条件的点的轨迹？力。
(二）新知探索在实验过程我们发现：1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？点的轨迹是线段F1F2.(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2.椭圆标准方程的推导．选取建系方案,让学生动手，尝试推导.以过1F、2F的直线为x轴，线段12F F的垂直平分或线为y轴，建立平面直角坐标系．设)0(221>=ccFF，点),(yxM为椭圆上任意一点，则{}aMFMFMP221=+=，得()()aycxycx22222=++++-，（想一想：下面怎样化简？）（１）教师为突破难点，进行引导设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？化简，得)()(22222222caayaxca-=+-．1.引导学生交流讨论：椭圆和圆之间的联系和区别，从而得到椭圆的定义。
3.1.1椭圆及其标准方程学案
3.1.1椭圆及其标准方程学案
【学习目标】
1.理解椭圆的概念，掌握椭圆的标准方程及其几何特征。
2.理解焦点、焦距的含义及其在椭圆中的作用。
3.掌握椭圆的标准方程的推导过程。
4.会利用椭圆的标准方程解决一些实际问题。
【学习重点】
1.椭圆的概念和标准方程。
2.椭圆的标准方程的推导过程。
3.利用椭圆的标准方程解决实际问题。
【学习难点】
1.椭圆的几何特征的理解。
2.椭圆标准方程的灵活运用。
【学习过程】
一、引入（5分钟）
1.回顾与椭圆的相关的知识点，如椭圆的定义，焦点，焦距等概念。
2.展示一些与椭圆相关的图片或实物，让学生更直观地感受椭圆。
3.引导学生思考：什么是椭圆？它有哪些特征？如何表示椭圆？
二、新课学习（30分钟）
1.阅读教材，深入理解椭圆的概念和标准方程。
2.通过实例和练习，掌握椭圆的标准方程及其几何特征。
3.学习椭圆的焦点和焦距的含义及其在椭圆中的作用。
4.掌握椭圆的标准方程的推导过程，了解推导过程中的注意事项。
5.通过例题解析，掌握如何利用椭圆的标准方程解决实际问题。
三、自主练习（15分钟）
1.根据所学知识，尝试自己解答教材中的相关练习题。
2.对于有困难的问题，可以寻求同学或老师的帮助。
3.对自己的学习情况进行自我评价，找出自己的不足之处。
四、小结与反思（10分钟）
1.回顾本节课学习的重点和难点，总结学习收获。
2.思考自己在哪些方面还需要加强，制定下一步的学习计划。
学案2：2.1.1椭圆及其标准方程
2．1.1 椭圆及其标准方程学习目标：1.掌握椭圆的定义，会用待定系数法求椭圆的标准方程．2．了解椭圆标准方程的推导、坐标法的应用．预习提示：1．给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？2．在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？3．观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单？4．椭圆方程中，a 、b 以及参数c 有什么几何意义，它们满足什么关系？5．椭圆定义中，为什么要限制常数|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＞|F 1F 2|?课堂探究：例1、 (1)已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，则到F 1、F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是________；(2)椭圆x 216＋y 225＝1的两焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 1的周长为________．变式训练：椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8D ．32例2、 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两焦点坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且过点(5,0)；(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)和(0,1)两点．变式训练：本例(2)若改为“经过(－23，1)和(3，－2)两点”，其他条件不变，试求椭圆的标准方程．例3、已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，垂足为P ′，点M在PP ′上，并且PM →＝2MP′→，求点M 的轨迹．变式训练：设A 是椭圆x 225＋y 216＝1与x 轴的左交点，P 是椭圆上一个动点，试求AP 中点M 的轨迹方程．例4、 已知B 、C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长为18，求这个三角形顶点A 的轨迹方程．变式训练：已知动圆与定圆C ：x 2＋y 2＋4y －32＝0内切，且过定圆内的一个定点A (0,2)，求动圆圆心P 的轨迹方程．当堂达标：1．平面内到两定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4的点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．圆D ．以上都不对2．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是( ) A ．(±4,0) B ．(0，±4) C ．(±3,0) D ．(0，±3) 3．一椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(0，－8)，F 2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )A.x 2100＋y 236＝1B.y 2400＋x 2336＝1C.y 2100＋x 236＝1D.y 220＋x 212＝1 4．已知一椭圆标准方程中b ＝3，c ＝4，求此椭圆的标准方程．答案：1．【提示】固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键．2．【提示】笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长．3．【提示】以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x(y)轴，线段F1F2的垂直平分线为y(x)轴建系．4．【提示】椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半，叫半焦距．a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.5．【提示】只有当2a＞|F1F2|时，动点M的轨迹才是椭圆；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a＜|F1F2|时满足条件的点不存在．课堂探究：例1、【自主解答】(1)由于动点到F1、F2的距离之和恰巧等于F1F2的长度，故此动点的轨迹是线段F1F2.(2)由椭圆的定义，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF1|＝2a，∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝20，∴△ABF1的周长为20.【答案】(1)线段F1F2(2)20变式训练：【解析】如图，F2为椭圆右焦点，连MF2，则ON是△F1MF2的中位线，∴|ON|＝12|MF2|，又|MF 1|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，∴|MF 2|＝8，∴|ON |＝4.【答案】 B例2、【自主解答】 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， ∴2a ＝(5＋4)2＋ (5－4)2＝10，∴a ＝5.又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9，故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)法一 当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)． ∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1. ∴所求椭圆的方程为：x 24＋y 2＝1； 当椭圆的焦点在y 轴上时， 设方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)． ∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴⎩⎨⎧ 0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.与a ＞b 矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. 法二 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )．∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ＝1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝14，n ＝1，综上可知，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1. 变式训练：【解】 设椭圆的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，将点(－23，1)，(3，－2)代入上述方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，解得⎩⎨⎧ m ＝115，n ＝15，故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1. 例3、【自主解答】 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝x ，y 0＝3y . ∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝9上，∴x 20＋y 20＝9. 将x 0＝x ，y 0＝3y 代入得x 2＋9y 2＝9，即x 29＋y 2＝1. ∴点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2＝1. 变式训练：【解】 设P (x 0，y 0)，AP 的中点M (x ，y )，则⎩⎨⎧ x ＝x 0－52，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x ＋5，y 0＝2y ，代入椭圆方程x 225＋y 216＝1， 得(2x ＋5)225＋y 24＝1， 所以AP 中点M 的轨迹方程是(2x ＋5)225＋y 24＝1. 例4、【自主解答】 以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的中点为原点，建立平面直角坐标系．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)．由|AB |＋|BC |＋|AC |＝18，得|AB |＋|AC |＝10＞|BC |＝8.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a ＝10，即a ＝5，且点A 不能在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)． 变式训练：【解】 如图所示．由定圆C ：x 2＋(y ＋2)2＝36知圆心C (0，－2)，半径r ＝6.设动圆圆心P 的坐标为(x ，y )，半径为|P A |.∵圆P 与圆C 内切，∴|PC |＝r －|P A |，即|P A |＋|PC |＝r ＝6.∴动圆圆心P 到两定点A (0,2)，C (0，－2)的距离之和为6，且6＞4.故动圆圆心P 的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆，且2a ＝6,2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，∴b 2＝5.∴ 所求动圆圆心P 的轨迹方程为x25＋y29＝1. 当堂达标：1．【解析】 因|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|＝4，故点M 的轨迹是线段．【答案】 B2．【解析】 ∵a 2＝25，b 2＝16且焦点在y 轴上，∴c ＝3，焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)．【答案】 D3．【解析】 由题意c ＝8，a ＝10且焦点在y 轴上，∴b 2＝a 2－c 2＝100－64＝36，∴方程为y 2100＋x 236＝1. 【答案】 C4．【解】 ∵b 2＝9，c 2＝16，∴a 2＝b 2＋c 2＝25.∵此椭圆的焦点不确定，∴标准方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1.。
椭圆的标准方程学案(共3课时)-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
第3章:椭圆与方程第1课：椭圆的标准方程一．学习目标：理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程. 二．概念梳理.1.平面内 ，叫做椭圆. 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距.2.根据椭圆的定义可知：集合{}a MF MF M P 221=+=，0,0,221>>=c a c F F ，且c a , 为常数.当a F F 221<时，集合P 为_______；当a F F =21时，集合P 为 当a F F 221>时，集合P 为 .3.焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为 .焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为 .其中c b a ,,满足关系为 . 三．典例分析.例1.求下列椭圆的焦点坐标.(1).13422=+y x (2).14322=+y x (3).13422=+y x (4).123422=+y x例2.已知方程125922=-++my m x . (1) 若上述方程表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围； (2) 若上述方程表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围； (3) 若上述方程表示椭圆，求实数m 的取值范围.例3.(多选题)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地球转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，下列式子正确的是( )A ．a 1＋c 1＝a 2＋c 2B ．a 1－c 1＝a 2－c 2C ．c 1a 2>a 1c 2D ．c 1a 1<c 2a 2例4.求下列椭圆的标准方程1．两个焦点坐标分别为)0,4(),0,4(21F F -,且椭圆上一点P 到两个焦点的距离之和为10； 2.已知椭圆上点)3,2(M ，且两焦点是)0,2(),0,2(21F F -； 3.经过两点)214,1(),2,2(--； 4.与椭圆192522=+y x 有相同焦点，且经过点)15,3(.四．练习题1.椭圆1222=+y m x 与椭圆116822=+y x 的焦距相等，则m 的值是 2.如果方程16222=++a y a x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是_______.3.椭圆12-5122=+-my m x ，焦点在y 轴上，则m 的取值范围是 . 4.椭圆243822=+y x 的焦点坐标为 5.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 两个焦点的坐标分别是(－4，0)和（4，0），且椭圆经过点（5，0）； (2) 中心在原点，且经过点)0,3(P ，b a 3=.第2课：椭圆的焦点三角形初探一．学习目标：掌握椭圆的焦点三角形及常见结论. 二．概念梳理:焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：21F PF ∆中， (1). c F F a PF PF 2||,2||||2121==+. (2). 焦点三角形的周长为.22c a L +=(3).21221cos 12||||PF F b PF PF ∠+=. (4). 焦点三角形的面积为：2tan sin ||||212122121PF F b PF F PF PF S ∠=∠=. ①．当||||21PF PF =，即点P 为短轴端点时，θ最大；②．S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；(5). 假设焦点21F PF ∆的内切圆半径为r ，则r c a S )(+=. 三．典例分析.例1．(多选题)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( ) A ．椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1B ．椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1C ．|PQ |＝233D ．△PF 2Q的周长为43例2.(多选题)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A (离地面最近的点)距地面m 千米，远地点B (离地面最远的点)距地面n 千米，并且F ，A ，B 三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c ，则( )A ．a －c ＝m ＋RB ．a ＋c ＝n ＋RC ．2a ＝m ＋nD ．b ＝(m ＋R )(n ＋R )例3.(1).椭圆12422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，且2||||21=-→→PF PF ，求→→⋅21PF PF .(2).椭圆13422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，且 12021=∠F PF ，则12PF F 的面积为多少？四.练习题.1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 242. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1 B ．31C ．34 D ．32 5. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 246．已知椭圆2212516x y +=的两个焦点分别为1F ， 2F ，斜率不为0的直线l 过点1F ，且交椭圆于A ， B 两点，则2ABF 的周长为（ ）． A ．10 B ．16 C ．20 D ．257．(多选题)如图，两个椭圆x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，下列四个选项正确的为( )A ．P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)，E 1(0，－4)，E 2(0,4)四点的距离之和为定值B ．曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称 C ．曲线C 所围区域面积必小于36D ．曲线C 总长度不大于6π8.已知椭圆11625:22=+y x C 内有一点)3,2(M ，1F 、2F 分别为其左右焦点，P 是椭圆上一点，求：(1).||||1PF PM -的最大值与最小值； (2).||||1PF PM +的最大值与最小值.第3课：基于椭圆的轨迹问题研究一．学习目标:能够在不同情境中应用椭圆的定义求出相关的轨迹方程，会用求轨迹的基本方法求解轨迹方程，了解椭圆的第二，三定义.三．典例分析.1.基于第一定义的椭圆轨迹问题.例1.已知C B,是两个定点，8=BC ，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点Ａ的轨迹方程.例2.已知点A 为圆32)2(:22=++y x B 上任意一点，点)0,2(C ，线段AC 的中垂线交AB 于点M ，求动点M 的轨迹方程.例3.已知动圆P 与圆25)3(:22=++y x E 内切，与圆1)3(:22=+-y x F 外切，记圆心P 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程.2.基于第二定义的椭圆轨迹问题.例4.已知曲线M 上的动点(,)P x y 到定点()1,0F 距离是它到定直线:4l x =距离的一半． 求曲线M 的方程.3.基于第三定义的椭圆轨迹问题.例5.在平面直角坐标系中，动点M 分别与两个定点()2,0A -，()2,0B 的连线的斜率之积为12-.求动点M 的轨迹C 的方程.4.相关点法求轨迹.例6.已知A 为圆22:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足2.BP BA =求动点P 的轨迹方程.四.练习题110=为不含根式的形式是（ ）A.2212516x y += B.221259x y += C.2251162x y += D.221925x y +=2．设圆(x ＋1)2＋y 2＋25的圆心为C ＋A (1,0)是圆内一定点＋Q 为圆周上任一点＋线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ＋则M 的轨迹方程为( )A.224412125x y -=B.224412125x y +=C.224412521x y -=D.224412521x y += 3．(多选题)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c ，下列结论正确的是( )A ．卫星向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小4.已知动点(),M x y 与定点()1,0F 的距离和它到直线3x =．求动点M 的轨迹方程C .5.在圆48)22(:221=++yxC内有一点)0,22(P,Q为圆1C上一动点，线段PQ的垂直平分线与QC1的连线交于点C．求点C的轨迹方程．6.设M为圆4:22=+yxC的动点，M在x轴的投影为N，动点P满足→→=MNPN32，动点P的轨迹为E.求E的方程.。
椭圆标准方程的教案6篇
椭圆标准方程的教案6篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）
《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）《椭圆及其标准方程》篇1教学目标:(一)知识目标:掌握椭圆的定义及其标准方程,能正确推导椭圆的标准方程.(二)能力目标:培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力;培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力.(三)情感目标:激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神.教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.教学难点:椭圆标准方程的推导.教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力.教具准备:多媒体和自制教具:绘图板、图钉、细绳.教学过程:(一)设置情景,引出课题问题:XX年10月12日上午9时,“神州六号”载人飞船顺利升空,实现多人多天飞行,标志着我国航天事业又上了一个新台阶,请问:“神州六号”飞船的运行轨道是什么?多媒体展示“神州六号”运行轨道图片.(二)启发诱导,推陈出新复习旧知识:圆的定义是什么?圆的标准方程是什么形式?提出新问题:椭圆是怎么画出来的?椭圆的定义是什么?它的标准方程又是什么形式?引出课题:椭圆及其标准方程(三)小组合作,形成概念动画演示椭圆形成过程.提问:点m运动时,f1、f2移动了吗?点m按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆?下面请同学们在绘图板上作图,思考绘图板上提出的问题:1.在作图时,视笔尖为动点,两个图钉为定点,动点到两定点距离之和符合什么条件?其轨迹如何?2.改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?3.当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗?学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程,得出这样三个结论:椭圆线段不存在并归纳出椭圆的定义:平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.(四)椭圆标准方程的推导:1.回顾:求曲线方程的一般步骤:建系、设点、列式、化简.2.提问:如何建系,使求出的方程最简?由各小组讨论,请小组代表汇报研讨结果.各组分别选定一种方案:(以下过程按照第一种方案)①建系:以所在直线为x轴,以线段的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。
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§2.2.1椭圆的标准方程
教学目标：
（一）、知识与技能：理解椭圆标准方程的推导；掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆
的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。
（二）、过程与方法：让学生经历椭圆标准方程的推导过程，进一步掌握求曲线方程的一般
方法，体会数形结合等数学思想；培养学生运用类比、联想等方法提出问题。
（三）、情感态度与价值观：通过具体的情境感知研究椭圆标准方程的必要性和实际意义；
体会数学的对称美、简洁美，培养学生的审美情趣，形成学习数学知识的积极态度。
教学重点：椭圆的标准方程 教学难点：椭圆标准方程的推导 教学过程：
（一）、问题情境：
生活中存在着大量的椭圆，比如：
问题1：汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状是椭圆，怎样设计才能精确地制造它们？ 问题2：把一个圆压扁了，像一个椭圆，它究竟是不是椭圆？
问题3：电影放映机上的聚光灯泡的反射镜、运用高能冲击波击碎肾结石的碎石机等仪器设备都是运用椭圆的性质制造的。
怎样才能准确地制造它们？ 制作教具引入 椭圆的定义：
注：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？
（1）平面内；若把平面内去掉，则轨迹是什么？
（2）椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数；记为2a ； 两焦点之间的距离称为焦距，记为2c,即:12F F ＝2c.
（3）常数212F F a >,若212F F a =，则轨迹是什么？若212F F a <呢？ （二）、建构数学：
1、回顾求圆的标准方程的基本步骤
建立坐标系、设点、找等量关系、代入坐标、化简 2、如何建立适当的坐标系？
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴。
) ①建立适当的直角坐标系： ②设点：
③根据条件a PF PF 221=+得
④化简：
思考：怎样推导焦点在y 轴上的椭圆的标准方程？
问题1:椭圆标准方程的特点是什么? 问题2: 如何判断椭圆焦点位置?
例题讲解 一、基础训练
1、若动点P 到两定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和为8，则动点P 的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 线段F1F2 C. 直线F 1F 2 D. 不存在
2、求下列椭圆的焦点坐标
1、1
92
2=+y x 2、112322=+y x 3、4222=+y x 4、14491622=+y x 3、已知椭圆的方程为
1100
362
2=+y x ，则=a ，=b ，=c ，焦点坐标
为： ，焦距为 如果曲线上一点P 到焦点1F 的距离为8，则点P 到另一个焦点2F 的距离等于 。
二、例题讲解
例1、求适合下列条件的椭圆方程 （1）a ＝4，b ＝3，焦点在x 轴上； （2）b=1，15=c ，焦点在y 轴上
（3）.若椭圆满足：5=a ，3=c ，焦点在x 轴上，求它的标准方程。
变：若把焦点在x 轴上去掉呢？
（4）已知椭圆经过（2，-1）、（-1，3）两点，求它的标准方程
例2、已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为4.2m ，外轮廓线上的点到两个焦点之和为3m ，求这个椭圆的标准方程。
课堂小结：这节课我们学习了椭圆的标准方程，掌握了求焦点在x 轴上和在y 轴上的标准方程，求标准方程常用的方法：待定系数法，坐标转移法；有时还需要数形结合、分类讨论等思想。