趣味数学134：连续自然数立方和公式探源
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
连续自然数立方和公式探源
前面，在“有趣的图形数”和“求连续自然数立方和的公式”两篇文章中，曾经两次推导过求连续自然数立方和的公式：
13＋23＋33＋…＋n3＝[n(n＋1)/2]2
一次用的是“图形法”，一次用的是“列表法”。其实，早在公元100年前后，毕达哥拉斯学派的继承人尼科马霍斯，在他的著作《算术入门》中就曾经用非常简单的方法推导过这个公式。
现在，让我们按照他的思路，重复一下这个公式的推导过程。
过程大体上是这样的：
首先，从奇数列的一个性质入手。
奇数列1，3，5，7，9，11，13，…有一个性质，很容易验证：
1＝13
3＋5＝23
7＋9＋11＝33
13＋15＋17＋19＝43
21＋23＋25＋27＋29＝53
……
请你自上而下仔细观察这一系列等式的左端：
第1个等式左端，结束于第1个奇数；
第2个等式左端，结束于第3个奇数；
第3个等式左端，结束于第6个奇数；
第4个等式左端，结束于第10个奇数；
第5个等式左端，结束于第15个奇数；
……
结果发现，这些奇数的序数1，3，6，10，15，…原来是“三角形数”，它的每一项等于从1开始的连续自然数的和。第1项是1，第2项是1＋2＝3，第3项是1＋2＋3＝6，第4项是1＋2＋3＋4＝10，第5项是1＋2＋3＋4＋5＝15，……第n项是1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)/2。即，第n个等式左端，结束于第n(n＋1)/2个奇数。
然后，对上面这一系列等式的左右两端，分别求和：
右端是连续自然数的立方和13＋23＋33＋…＋n3。
左端是连续奇数的和。我们知道，求连续奇数的和，求到第几个奇数，就等于第几个奇数的平方。现在，求到第n(n＋1)/2个奇数，当然等于[n(n＋1)/2]2。
这样就得到求连续自然数立方和的公式：
13＋23＋33＋…＋n3＝[n(n＋1)/2]2
这种方法思路清晰论证简单。尼科马霍斯之所以能够想到这个方法，显然跟毕达哥拉斯学派对图形数的宠爱有关。图形数是自然数的形象化，自然数是众数之源，自然数真是一个取之不尽用之不竭的宝藏。