空间向量-夹角与距离PPT教学课件

根据三垂线定理，AE ⊥ BC。
∴ ∠AED＝θ。
V三棱锥＝
1 3
S△B CD ·AD
B θ
E
D
＝
1 3
×
1
2 BC
·ED
·AD
＝
1 3
×
1 2
BC
·AEcosθ·AD
C
＝ 1 S△AB C ·ADcosθ
3
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱1锥＝ S△ABC·ADcosθ
2 B’
高也相等（顶点都是C）；三棱锥2、3的底
１
△BCB1、△C1B1C 的面积相等1 ，高也相等
A
C （顶点都是A11） ∵V1＝V2＝V3＝3 1 3∵V三棱柱＝ Sh。
V三棱锥。
B
3 ∴V三棱锥＝ Sh。
任意锥体的体积公式：
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积
是S，高是h，那么它的体积是
B B B B BB
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 1 V三棱锥＝ Sh
3
A’
C’ 把三棱锥1以
△ABC为底面、
B’
AA1为侧棱补成
一个三棱柱。
A
C
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 1 V三棱锥＝ Sh
3
连接B’C,然后
a1b1+a2b2+a3b3=0
例1.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求：
(1)线段 AB的中点坐标和长度；
z 设M(x,y,z)是AB的中点，则
B(1,0,5)
OM=
1 2
(OA+OB)
M
AM=MB
o
y
A(3,3,1)
x dA,B 1 32 0 32 5 12 29
例1.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求： (2)到A、B两点距离相等的点P(x,y,z) 的坐标x,y,z满足的条件.
再见！
棱锥、圆锥的体积
复习： 1、等底面积等高的两个柱体体积相等。 2、V柱体＝Sh V圆柱＝πr2 h
3、柱体体积公式的推导：
柱体体积公式的推导：
等底面积等高的几个柱体 体
被平行于平பைடு நூலகம்α的平面所截 截面面积始终相等
积 相 等
∵V长方体＝abc ∴V柱体＝Sh
V圆柱＝πr2 h
α
问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下 锥体体积是否具有相似的结论？
列出三棱锥体积D’表达式）
C’
问问题题12、、你如能果有这几是种一
A’
个解平法行？六面 B’
体呢？或者
C
D
四棱柱呢？
A
B
练习2: 从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到
一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体积的
几分之几？ 问问题题12、、你如能果有改几为种求
A
棱长为解a的法正？四面
B
体A-BCD的体积。
推论：如果圆锥的1 底面半径是r，高是h， 那3 么它的体积是
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱1锥＝ S△ABC·ADcosθ
3
证明：在平面BCD内，作DE ⊥BC，垂足为E，
A 连接AE, DE就是AE在平面BCD上的射影。
Cy
B
例3.求证：如果两条直线垂直于一个 平面，则这两条直线平行。
已知：直线OA⊥平面α，直线 BD⊥平面α，O,B为垂足
求证：OA∥BD
A
D
αo
B
已知：直线OA⊥平面α，直线 BD⊥平面α，O,B为垂足
求证：OA∥BD
Az
D
k i oj y B
αx
证明：以点O为原 点，以射线OA为非 负z轴，建立空间直 角坐标系O-xyz， i,j,k为沿x轴，y轴， z轴的坐标向量，且 设BD=(x,y,z).
它的体定积理是证明13 V：三棱锥＝
Sh
已知：三1 棱锥1（A1-ABC）的底面积S,高是h.
3
求证: V三棱锥＝ Sh
证明:把三棱锥1以△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱
柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三
A’
3
C’
棱锥1和另两个三棱锥2、3。
三棱锥1、2的底△ABA1、△B1A1B的面积相等，
如果表示向量a的有向线段 所在直线垂直于平面α，则称 这个向量垂直于平面α，记作
a⊥α
如果a⊥α ，那么向量a叫 做平面α的法向量
书本第42页练习 1.2.3.4.5
小结：
(1)两个公式：
已知：a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)
cos a,b a1b1 a2b2 a3b3 a12 a22 a32 b12 b22 b32
A’
C’
3
把这个三棱柱
１
A
B’
2
C
分割成三个三 就是棱三锥棱。锥1 和另两个三棱
锥2、3。
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 13V三棱锥＝ Sh
A’ A’ A’ A’A’AA’’ A’ A’ A’ A’ A’ C’ C’ C’ C’ C’ C’
3
１
A A A AAA
2 BB’’ B’ B’ B’ B’ B’
它的体积是
1 3
V三棱锥＝
Sh
A’ A’ A’ A’ A’
A’ A’
A’
3
C’
2 2B’ B’ 2 B2’ B’
B’
高
1 11 1
A AA A
C
C C CC
CC
C
三棱B锥1、B2的B底B△ABBA’、△BB’A’BB的面积相等， 高也相等（顶点都是C）。
A’ A’
1
A
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是
放在同一个平面α上，这是它们的顶点都在和
用平行于平面α的任一平面去截它截们面，分别与底面面内相，似，
设截面和顶点的距离是h1，截面面积分别是S1、S2，
那么 ∵ S1
h2 1
，S
2
h2 1
S1 S2，S1 S2
S h2 S h2 S S
根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
§9.6.3 夹角和距离公式
空间直角坐标系
z
若a=a1i+a2j+a3k
A
则a=( a1,a2,a3 )
k io j
x
OA=(x,y,z); y A(x,y,z)
设A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
z
k io j
x1
x
a y1 y
向量的直角坐标运算
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) a + b =(a1+b1,a2+b2,a3+b3) λa=（λa1, λa2, λa3) a·b=a1b1+a2b2+a3b3
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)
a//b
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3（λ∈R）
a⊥b
作业：
1、四面体O-ABC中，除OC外其余的棱长均为1，且OC与 平面ABC所成的角的余弦值为，求此四面体的体积。
2、三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA＝BC＝a，PA,BC的 公垂线段为EF(E、F分别在PA、BC上)，且EF＝h，求 三棱锥的体积。
⑴、证明底面积相等、高也相等的任意两个锥体体积相等：
（一个锥体的体积计算可以间接求得）
⑵、证明三棱锥的体积等于其底面积与高的积的三分之一：
（它充分揭示了一个三棱锥的独特性质，可根据需要重 3、锥体新的安体排积底计面算，在这立样体也几为何点体到积面计的算距中离，、占线有到重面要的位距置离，计它 可补成柱体算又提可供以了截新成的台思体考，方它法可。以这自一换点底以面后、再自学换习顶。点），在 计算与证明中有较大的灵活性，技巧运用得当，可使解题过程
分析：
B θ
E C
∵AEcosθ＝ED
1
D ∴S△AED＝ 2 ED·AD 又BE与CE都垂直平面AED，故BE、CE
分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。 结论： V三棱锥＝VC-AE D＋VB-AE D
练习1： 将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，
这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请
3
问题1、ADcosθ有什么几何意义？ A
结论：
V三棱锥＝
1 3
S△AB
C
·d
F
B
D
θ
E C
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱1锥＝ S△ABC·ADcosθ
1 13
问题2、解答过A程中的3 ×2 1 BC ·AEcosθ·AD其中 2 AEcosθ·AD可表示意思？
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
取任意两个锥体，它们
S1 h1
h S
的底面积＋为S，高都是h
平行于平面α的任一平面去截
＋
Sh11
截面面积始终相等
h
＝
两个锥体体积相等
S
α
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
S1 h1
S1h1
h
h
S
S
α
证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h。
1
A
C
C C C C C C C CC
三棱B锥2、3B的底B △BBCBB’、B △BC’BB’C的B面B积相等。 高也相等（顶点都是A’）。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 1 V三棱锥＝ Sh
A’
A’
3
A’
3
C’
2 B’
B’
1
A
C
C
C
B
B
V1＝V2＝V3＝
1 3
V三棱锥
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
d A,B x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
(2).向量的坐标及运算为解决线段长 度及两线垂直方面的问题提供了有力 和方便的工具，对于几何体中有关夹 角，距离，垂直，平行的问题，可将 其转化为向量间的夹角，模，垂直， 平行的问题，利用向量的方法解决。
作业：书本第 43页6,7,8,9
1 3
V锥体＝
Sh
推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，
那么1 它的体积是
3 V圆锥＝ πr2h
小结： 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
1
定理二：如果三棱锥的底3面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ Sh
定理三：如果一个锥体（1棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h3，那么它的体积是 V锥体＝ Sh
就是三棱锥1
和另两个三棱 C C C C C CC C C C C C 锥2、3。
B B B B B BB
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 13V三棱锥＝ Sh
A’
A’
A’
3
C’
2 B’
B’
1
A
C 三棱锥1、2的底
C
C
△ABA’、△B’A’B
B
的面积相等。 B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
简化，常常给人耳目一新的感觉。
小结： 4、定理及推论
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
定理二、如果三棱锥1 的底面积是S，高是h，那么 3 它的体积是 V三棱锥＝ Sh
定理三：如果一个锥体1 （棱锥、圆锥）的底面积 是S，高3是h，那么它的体积是 1 V锥体＝ Sh
推论：如果圆锥的底3面半径是r，高是h， 那么它的体积是 V ＝ πr2h
1 它的体积是
3
V三棱锥＝
Sh
A’
3
C’
2 B’
三棱锥2、3的底 B’
△BCB’、△C’B’C
C C 的面积相等。
C
B
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是
A’
A’ A’
A’ A’ A’
A’
1 它的体积是
3
高
V三棱锥＝
A’ A’ A’
3
C’
Sh
2
2B’
B’
2
2B’2B’
B’
2
2B’
2B’2 B’B’
解：设点P到A、B的距离相等，则
(x 3)2 y 32 z 12 x 12 y 02 z 52
化简，得 4x+6y-8z+7=0 即到A,B距离相等的点的坐标（x,y,z) 满足的条件是4x+6y-8z+7=0
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中， E,F分别是CC1,A1D1的中点,求异面直线 AB与EF所成的角.
A’
C’
B’
A
C
B
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’
C’
B’
A
C
B
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’ A’ A’ A’ A’A’ A’ A’ A’ A’ A’ C’ C’ C’ C’ C’ C’ B’ B’ B’ B’ B’ B’
A A A A AA
C C C C CC C C C C C
解解解三你二一、能、、将有利补四几用形面种体，体解积将分法公三割？式棱为
D 锥三V补棱四面成锥体一C＝-个A13BS正E△和方BC三体D·h棱。
锥D-ABE
E C
小结：
1、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想，形 象具体地在立体几何中运用“割补”进行解题的技巧。 2、三棱锥体积的证明分两步进行：
F D1 A1
D
A
M C1
∠MFE即异面直线
B1 E AB与EF所成的角
C B
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中， E,F分别是CC1,A1D1的中点,求异面直 线AB与EF所成的角.
z D1 F A1
D A x
解：以D为原点，
C1 DA,DC,DD1分别为x
B1
轴，y轴，z轴建立直
E 角坐标系.