空间向量-夹角与距离PPT教学课件
合集下载
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)

二面角的大小为
.
π4或34π 解析: cos〈m,n〉=|mm|·|nn|= 22,∴〈m,n〉=π4. ∴两平面所成二面角的大小为π4或34π.
经典例题
角度1:点线距
题型一 利用空间向量求距离
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点: (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段. (2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点. (3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.
则 在法向量 n 上的投影向量的长度即为异面直线 a,b 的距离,所以距离为
.
自主学习
二.空间角的向量求法 空间角包括线线角、线面角、二面角,这三种角的定义确定了它
们相应的取值范围,结合它们的取值范围可以用向量法进行求解.
自主学习
角的分类
向量求法
范围
两异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ
设 l1 与 l2 的方向向量分别为 u,v,
经典例题
题型一 利用空间向量求距离
例 2 在三棱锥 S-ABC 中,△ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC⊥平面 ABC,
SA=SC=2 3,M,N 分别为 AB,SB 的中点,如图所示.求点 B 到平面 CMN 的 距离.
取 AC 的中点 O,连接 OS,OB. ∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥BO. ∵平面 SAC⊥平面 ABC,平面 SAC∩平面 ABC=AC, ∴SO⊥平面 ABC. 又 BO⊂平面 ABC,∴SO⊥BO. 又∵△ABC 为正三角形,O 为 AC 的中点,∴AO⊥BO. 如图所示,分别以 OA,OB,OS 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立空v>|
则 cosθ=
|u·v| = |u||v|
用空间向量研究距离、夹角问题(1) PPT教学课件(高二数学人教A版 选必修一)

1
2
又因为=(0, ,0),
z
所以点到平面1 的距离为
D
∙
=
||
1
(0, 2 ,0) ∙ (1,2,1)
6
A
6
=
.
6
即直线到平面1 的距离为
C
F
D1
6
6
C1
A1
E
x
高中数学
B
B1
y
例题小结
1. 求直线到平面的距离、两个平行平面间
的距离可以转化为点到平面的距离.
P
β
两平行线之间的距离
立
体
几
何
距
离
问
题
点到直线的距离
直线到平面的距离
点到平面的距离
两平行平面间的距离
高中数学
投
影
向
量
空
间
向
量
课堂小结
问题6 本节课的学习你体会到向量方法解决立体
几何问题的“三步曲”吗?
立体几何
问题
向量化
向量问题
向量 运算
立体几何
问题的解
高中数学
几何化
向量问题
的解
课后作业
1.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E
z的方程组;
C
D
A
F
(4)解方程组,取其中一组解,得法向量.
D1
B
C1
A1
E
x
高中数学
B1
y
1
2
解:(2)因为=1 =(−1, ,0),
所以//1 .
因为 ⊄ 平面1 ,1
平面
z 1,
2
又因为=(0, ,0),
z
所以点到平面1 的距离为
D
∙
=
||
1
(0, 2 ,0) ∙ (1,2,1)
6
A
6
=
.
6
即直线到平面1 的距离为
C
F
D1
6
6
C1
A1
E
x
高中数学
B
B1
y
例题小结
1. 求直线到平面的距离、两个平行平面间
的距离可以转化为点到平面的距离.
P
β
两平行线之间的距离
立
体
几
何
距
离
问
题
点到直线的距离
直线到平面的距离
点到平面的距离
两平行平面间的距离
高中数学
投
影
向
量
空
间
向
量
课堂小结
问题6 本节课的学习你体会到向量方法解决立体
几何问题的“三步曲”吗?
立体几何
问题
向量化
向量问题
向量 运算
立体几何
问题的解
高中数学
几何化
向量问题
的解
课后作业
1.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E
z的方程组;
C
D
A
F
(4)解方程组,取其中一组解,得法向量.
D1
B
C1
A1
E
x
高中数学
B1
y
1
2
解:(2)因为=1 =(−1, ,0),
所以//1 .
因为 ⊄ 平面1 ,1
平面
z 1,
用空间向量研究距离、夹角问题课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修

(1)求证:B1D⊥平面ABD; (2)求证:平面EGF∥平面ABD;
(3)求平面EGF与平面ABD的距离.
问题二、如何利用方向向量、法向量求异面直线的夹 角、直线与平面所成夹角、平面与平面夹角、二面角?
1、异面直线的夹角
范围:[0°,90°]
l1
u
v
l2
uv
cos cos u,v
uv
2、直线与平面的夹角
教学目标
(1)学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、 二面角的向量法
(2)能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题 (3)提高分析与推理能力和空间想象能力
问题与例题
问题一、立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平 面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等。如何 用空间向量解决这些问题呢?
课后作业
课时作业(四)A组:教材P43第9、10题 B组:教材P43第15、18题
与β的夹角为_3___.
3.如图,在正方体ABEF-DCE′F′中,M,N分别为AC,BF的中点,求 (1)求直线MN与直线AC的夹角余弦值 (2)求直线EN与平面MNB的夹角余弦值 (3)平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值.
课堂小结
1、向量法求点到直线(平行直线)的距离. 2、向量法求点到平面(直线到平面、平面到平面) 的距离. 3、向量法求直线与直线、直线与平面、平面与平 面的夹角.
范围:[0°,90°]
l
u
n
un
sin cos u, n
un
3、平面与平面的夹角
范围:[0°,90°]
n2
n1
cos cos n1, n2 n1 n2
n1 n2
例题3、如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=CB=2,AA1=3,
(3)求平面EGF与平面ABD的距离.
问题二、如何利用方向向量、法向量求异面直线的夹 角、直线与平面所成夹角、平面与平面夹角、二面角?
1、异面直线的夹角
范围:[0°,90°]
l1
u
v
l2
uv
cos cos u,v
uv
2、直线与平面的夹角
教学目标
(1)学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、 二面角的向量法
(2)能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题 (3)提高分析与推理能力和空间想象能力
问题与例题
问题一、立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平 面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等。如何 用空间向量解决这些问题呢?
课后作业
课时作业(四)A组:教材P43第9、10题 B组:教材P43第15、18题
与β的夹角为_3___.
3.如图,在正方体ABEF-DCE′F′中,M,N分别为AC,BF的中点,求 (1)求直线MN与直线AC的夹角余弦值 (2)求直线EN与平面MNB的夹角余弦值 (3)平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值.
课堂小结
1、向量法求点到直线(平行直线)的距离. 2、向量法求点到平面(直线到平面、平面到平面) 的距离. 3、向量法求直线与直线、直线与平面、平面与平 面的夹角.
范围:[0°,90°]
l
u
n
un
sin cos u, n
un
3、平面与平面的夹角
范围:[0°,90°]
n2
n1
cos cos n1, n2 n1 n2
n1 n2
例题3、如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=CB=2,AA1=3,
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(1(共27张PPT)

4
3
D. 2
B.
答案:B
解析:建立坐标系如图,则 A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),O
∴=(0,1,0),1 =(-1,0,1).
设 n=(1,y,z)是平面 ABC1D1 的一个法向量,
· = = 0,
则
解得 y=0,z=1,∴n=(1,0,1).
1 · = -1 + = 0,
点到另一个平面的距离求解.注意:这个点要选取适当,以方便求解为主.
当堂检测
1.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量
n=(-1,0,1),则两平面间的距离是(
)
3
2
A.
B.
2
2
C. 3
D.3 2
答案:B
解析:∵两平行平面 α,β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1),
(3)求平面EGF与平面ABD的距离.
思路分析: 根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一
点到另一个平面的距离,即点面距.
(1)证明:如图所示建立空间直角坐标系,
设AB=a,
则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),
则向量在直线 l 上的投影向量=(a·μ)μ.点 P 到直线 l 的距离为
PQ= 2 -(·)2 .
2.两条平行直线之间的距离
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,
则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
点睛:点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,
3
D. 2
B.
答案:B
解析:建立坐标系如图,则 A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),O
∴=(0,1,0),1 =(-1,0,1).
设 n=(1,y,z)是平面 ABC1D1 的一个法向量,
· = = 0,
则
解得 y=0,z=1,∴n=(1,0,1).
1 · = -1 + = 0,
点到另一个平面的距离求解.注意:这个点要选取适当,以方便求解为主.
当堂检测
1.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量
n=(-1,0,1),则两平面间的距离是(
)
3
2
A.
B.
2
2
C. 3
D.3 2
答案:B
解析:∵两平行平面 α,β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1),
(3)求平面EGF与平面ABD的距离.
思路分析: 根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一
点到另一个平面的距离,即点面距.
(1)证明:如图所示建立空间直角坐标系,
设AB=a,
则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),
则向量在直线 l 上的投影向量=(a·μ)μ.点 P 到直线 l 的距离为
PQ= 2 -(·)2 .
2.两条平行直线之间的距离
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,
则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
点睛:点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,
用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时+用空间向量研究距离问题)课件

= -,
·1 = 2 + 2 = 0,
所以
所以 = -.
· = 2 + 2 = 0.
取x=1,则y=-1,z=-1.
所以,n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量.
所以点 D1 到平面 A1BD 的距离
|1 1 ·|
d= ||
=
2
3
=
2 3
.
3
(2)根据题意,知A1D1
, ,
2 6 3
,
3
=4,a·u= 3 .
所以点 C 到直线 AB1 的距离为
2
2
-(·)
=
33
.
3
探究二
点到平面的距离
【例2】 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,求:
(1)点D1到平面A1BD的距离;
(2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
分析:(1)由平面 A1BD 的法向量和向量1 1 可求出点 D1 到平面 A1BD 的
|1 |
= -
2
2
,0,
2
2
.
所以,点 M 到直线 AD1 的距离
d=
2 -(·)2
当 m=-
-
3
2×
2
=
=
2
+
2 1
(-) - 2 (-)2
=
3 2
-
2
1 2
时,根式内的二次函数取得最小值3a .
3
故 d 的最小值为
3
a.
3
+
1 2
.
2
反思感悟 用向量方法求直线外一点N到直线的距离的步骤
人教A版 数学 选择性必修
·1 = 2 + 2 = 0,
所以
所以 = -.
· = 2 + 2 = 0.
取x=1,则y=-1,z=-1.
所以,n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量.
所以点 D1 到平面 A1BD 的距离
|1 1 ·|
d= ||
=
2
3
=
2 3
.
3
(2)根据题意,知A1D1
, ,
2 6 3
,
3
=4,a·u= 3 .
所以点 C 到直线 AB1 的距离为
2
2
-(·)
=
33
.
3
探究二
点到平面的距离
【例2】 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,求:
(1)点D1到平面A1BD的距离;
(2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
分析:(1)由平面 A1BD 的法向量和向量1 1 可求出点 D1 到平面 A1BD 的
|1 |
= -
2
2
,0,
2
2
.
所以,点 M 到直线 AD1 的距离
d=
2 -(·)2
当 m=-
-
3
2×
2
=
=
2
+
2 1
(-) - 2 (-)2
=
3 2
-
2
1 2
时,根式内的二次函数取得最小值3a .
3
故 d 的最小值为
3
a.
3
+
1 2
.
2
反思感悟 用向量方法求直线外一点N到直线的距离的步骤
人教A版 数学 选择性必修
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题高中数学人教A版选择性必修1课件

P35-2(2).棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段DD1, BB1的中点,求直
线FC1到直线AE的距离.
①公式法 析 : 可证AE // FC1,
直线FC1到直线AE的距离即为点F到直线AE的距离,
A
建系Dxyz , A(2,0,0), E (0,0,1), F (2,2,1) AE (2,0,1), AF (0,2,1), 1
E
B
C
P
| AB n |
|n |
z
P
(法4 : 几何补形法)
E
将四棱锥补成正方体可以快速找到高
A
Cy
D
B
探究交流
③找垂线法(过点找面的垂线)
[例1]各棱长为1的正四面体, 求点O到面ABC的距离.
O
析 : 分别取BC, AC的中点E, F .
连接AE , BF交于点D, 则D为ABC 的中心.
,
, 2),
2
2
2 2
设直线AN 与CM 所成角为 ,
AN CM
7
∵cos AN , CM
8
| AN || CM |
7
所以直线与夹角的余弦值等于− .
8
M
O
N
探究交流 考点八.求线面角
①空间向量法
例 7 如图 1.4-19,在棱长为 1 的正四面体(四个面都是正三角形)
点,求异面直线AN和CM所成角的余弦值.
三棱锥对棱相等,可以补成一个长方体,如图
解 : 如图建立空间直角坐标系O xyz.
2 2
2
2
则A(0, 0, 2), C ( 2, 7, 2), N (
线FC1到直线AE的距离.
①公式法 析 : 可证AE // FC1,
直线FC1到直线AE的距离即为点F到直线AE的距离,
A
建系Dxyz , A(2,0,0), E (0,0,1), F (2,2,1) AE (2,0,1), AF (0,2,1), 1
E
B
C
P
| AB n |
|n |
z
P
(法4 : 几何补形法)
E
将四棱锥补成正方体可以快速找到高
A
Cy
D
B
探究交流
③找垂线法(过点找面的垂线)
[例1]各棱长为1的正四面体, 求点O到面ABC的距离.
O
析 : 分别取BC, AC的中点E, F .
连接AE , BF交于点D, 则D为ABC 的中心.
,
, 2),
2
2
2 2
设直线AN 与CM 所成角为 ,
AN CM
7
∵cos AN , CM
8
| AN || CM |
7
所以直线与夹角的余弦值等于− .
8
M
O
N
探究交流 考点八.求线面角
①空间向量法
例 7 如图 1.4-19,在棱长为 1 的正四面体(四个面都是正三角形)
点,求异面直线AN和CM所成角的余弦值.
三棱锥对棱相等,可以补成一个长方体,如图
解 : 如图建立空间直角坐标系O xyz.
2 2
2
2
则A(0, 0, 2), C ( 2, 7, 2), N (
1.4.2用空间向量研究距离夹角问题(第二课时角度-线线、线面角)课件(人教版)

探究交流
向量与的夹角
例 7 如图 1.4-19,
ABCD 中, M,N
例 7 如图 1.4-19,在棱长为 1 的正四面体(四个面都是正三角形)
ABCD 中, M,N 分别为 BC ,AD 的中点,求直线 AM 和 CN 夹角的余弦值.
夹角的余弦值.
追问1:这个问题的已知条件是什么?根据以往的经验,你打算通过什么途径将这个
=
=
,
3
3
∙
×1
2
2
.
所以直线与平面所成的角正弦值等于
3
z E
A
N
B
O
M
x
C
y
D
探究交流
用空间向量求直线 与平面所成角的步骤和方法:
化为向量问题
进行向量运算
回到图形问题
①转化为求直线的方向向量与
平面的法向量的夹角
②计算cos , =
∙
∙
的值
③直线与平面所成的角的
立体几何问题转化成向量问题? 几何法 基底法
坐标法
解:取中点,过作⊥平面,
z E
以为原点,,,所在直线为轴、轴、轴,建立
A
如图所示的空间直角坐标系.
N
B
O
y
D
M
x
C
请同学们课后完成!
探究交流
将立体几何问题转化成向量问题的途径:
途径1:通过建立一个基底,用空间向量表示问题中涉
求直线与平面所成
角的正弦值.
夹角的余弦值.
3
( ,0,0),
2
角
向量与平面的法向量的夹角
1
(0, ,0),
2
3
用空间向量研究夹角问题课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

Ԧ
向量夹角<,
Ԧ >的区别与联系是什么?
θ
θ
θ
Ԧ
a, b
本质:两直线所
成角就是它们的
方向向量所成角
或其补角。
cos cos a, b
Ԧ
a, b
cos cos( a, b ) cos a, b
cos cos a, b
4,
3).
C1
N
D( x , y, z ) ,则
y
B
C
6 x 2 y 6z 0
,取y 3,则z 4,x 3,∴n (3, 3, 4), x
4 y 3z 0
| AD n |
24
3 34
.
设AD与平面AMN 所成的角为 ,则 sin | cos AD,n |
| a b |
| a || b |
新知探究
2.直线与平面所成角
思考3:若直线的方向向量为,平面的法向量为,则直线与平面
Ԧ
所成角与向量夹角<,
Ԧ >的区别与联系是什么?
a
α
A
θ
B
C
直线与平面所成角范围:
∈ [,
新知探究
2.直线与平面所成角
思考3:若直线的方向向量为,平面的法向量为,则直线与平面
Ԧ >|=
|∙|
||∙||
|∙|
||∙||
3、平面与平面的夹角: = | < , > | =
∈ [0, ]
2
|∙|
||∙||
二面角:先计算平面角再根据图分辨锐、钝二面角,添加正负号
向量夹角<,
Ԧ >的区别与联系是什么?
θ
θ
θ
Ԧ
a, b
本质:两直线所
成角就是它们的
方向向量所成角
或其补角。
cos cos a, b
Ԧ
a, b
cos cos( a, b ) cos a, b
cos cos a, b
4,
3).
C1
N
D( x , y, z ) ,则
y
B
C
6 x 2 y 6z 0
,取y 3,则z 4,x 3,∴n (3, 3, 4), x
4 y 3z 0
| AD n |
24
3 34
.
设AD与平面AMN 所成的角为 ,则 sin | cos AD,n |
| a b |
| a || b |
新知探究
2.直线与平面所成角
思考3:若直线的方向向量为,平面的法向量为,则直线与平面
Ԧ
所成角与向量夹角<,
Ԧ >的区别与联系是什么?
a
α
A
θ
B
C
直线与平面所成角范围:
∈ [,
新知探究
2.直线与平面所成角
思考3:若直线的方向向量为,平面的法向量为,则直线与平面
Ԧ >|=
|∙|
||∙||
|∙|
||∙||
3、平面与平面的夹角: = | < , > | =
∈ [0, ]
2
|∙|
||∙||
二面角:先计算平面角再根据图分辨锐、钝二面角,添加正负号
1.4.2用空间向量研究距离,夹角问题第2课时课件

1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°,
则直线l与平面α所成的角等于( C )
A.130°
B.60°
C.40°
D.50°
解析:因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角
等于130°,所以它们所在直线的夹角为50°,则直线l
与平面α所成的角等于90°-50°=40°.
2.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB=2.
夹角的余弦值.
解:如图所示,建立空间直角坐标系,
则 A(2 ,0,0),A1(2 ,2 ,0),
B1(0,2 ,0),C1( , , ),
→
→
→
所以 =(- ,- , ), =(0,2 ,0), =(-2 ,0,0).
设平面 AA1C1 的法向量为 m=(x1,y1,z1),
因为 =(0,1,0),所以 sin θ=
→
| ·|
→
| |||
=
所以直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为
,
.
两平面的夹角
[例 3] 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,H 是正方形 AA1B1B 的中心,
AA1=2 ,C1H⊥平面 AA1B1B,且 C1H= ,求平面 AA1C1 与平面 A1B1C1
所以 ax=0,且 ay=0,所以 x=y=0,故 n=(λ,0,0).
→
→
又 =(- a,, a),所以 cos< ,n>=
→
·
=
| |||
设直线 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为θ,
→
用空间向量研究距离、夹角问题 课件

(1)求平面的法向量
n;
(2)选择参考向量 AP(其中点A为平面内任意一点 );
(3)代入点到平面的距离公式求解距离.
思考: 类似地,请同学们研究如何求两个平行平面的距离.
直线与平面平行时,直 直线上的任意一点到平
线与平面的距离可以转
面的距离;
n
化为 P
l
αA 平面与平面平行时,两 个平面间的距离可以转 化为 其中一个平面上任意一 点到另一个平面的距离 .
5.平面与平面平行时,两个平面间的距离可以转化为 其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离.
布置作业:
同步训练里《跟踪练习》
巩固练习:
1.在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中,
(1)点A到平面B1C的距离为
D1
(2)直线DC到平面AB1的距离为
A1
(3)平面DA1到平面CB1的距离为
D
A
C1 B1
C B
2.如图,在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中,
E为DD1的中点, F为线段 BB1的中点.
第一章空间向量与立体几何
1.4空间向量的应用(2) ——用空间向量研究距离、夹角问题
第一课时
导入新课:
我们知道, 立体几何中的距离问题 包括点到直线、点到 平面、两条平行直线以 及两个平行平面的距离 问题等. 如何用空间向量解决这些问题呢?
学习新课:
1. 点到直线的距离:探究:已知直线 l的单位向量
a
b
a b
2
距离? 可转化为求其中一条直 线上 的点到另一条直线的距 离.
练习:
如图,在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中,
(1)点A到直线D1C的距离为
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(第一、二课时)课件(人教版)

点面距
Ԧ
AQ = (Ԧ ∙ )
用空间向量
研究直线、
平面的位置
关系
2
∙
| ∙ |
= | ∙
|=|
|=
||
||
||
向量(立体几何)的问题中主要解决的四个量:
与距离类似,角度是立体几何中另一个重要的度量.
下面我们用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面
P
平面的法向量为
追问2 点的位置向量该如何确定?
A
在平面上取一点A作为基点,向量表
示点P的位置向量
我们该如何利用这些条件求点到平面的距离?
Q
问题5 如何利用这些条件求点到平面的距离?
= 就是向量在直线上的投影
l
1.求
2.向量在直线上的投影向量
3.求 = 的长
A
A2
勾股定理
Q
A3
情景二:
问题3 如何利用向量方法求两条平行直线之间的距离?
请大家思考一下,它的思路是怎样的?
P
’
A
u
Q
概念2:
在其中一条直线上取定一点,则点到另一
条直线的距离即为两条平行直线之间的距离.
两条平行直线的距离
=
P
’
点到直线的距离
− ( ∙
)
A
u
Q
课堂例题
例 如图,在棱长为1的正方体— 1111中,为线段1的中
等问题;
(3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.
空间中距离的问题
两点距
点线距
点面距
点的位置向量+ 两条平行直线的距离
Ԧ
AQ = (Ԧ ∙ )
用空间向量
研究直线、
平面的位置
关系
2
∙
| ∙ |
= | ∙
|=|
|=
||
||
||
向量(立体几何)的问题中主要解决的四个量:
与距离类似,角度是立体几何中另一个重要的度量.
下面我们用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面
P
平面的法向量为
追问2 点的位置向量该如何确定?
A
在平面上取一点A作为基点,向量表
示点P的位置向量
我们该如何利用这些条件求点到平面的距离?
Q
问题5 如何利用这些条件求点到平面的距离?
= 就是向量在直线上的投影
l
1.求
2.向量在直线上的投影向量
3.求 = 的长
A
A2
勾股定理
Q
A3
情景二:
问题3 如何利用向量方法求两条平行直线之间的距离?
请大家思考一下,它的思路是怎样的?
P
’
A
u
Q
概念2:
在其中一条直线上取定一点,则点到另一
条直线的距离即为两条平行直线之间的距离.
两条平行直线的距离
=
P
’
点到直线的距离
− ( ∙
)
A
u
Q
课堂例题
例 如图,在棱长为1的正方体— 1111中,为线段1的中
等问题;
(3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.
空间中距离的问题
两点距
点线距
点面距
点的位置向量+ 两条平行直线的距离
1.4.2+用空间向量研究距离、夹角问题-第1课时课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版

1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 用空间向量研究距离问题
【学习目标】
1.借助直线的方向向量和平面的法向量,能计算点到直线的距离、点到平
面的距离,并知道两条平行直线之间的距离、直线与平面平行时两者间的距离、
两个平行平面之间的距离.
2.能分析和解决一些立体几何中的距离问题,体会向量方法与综合几何方
→
⋅ AF = 0,
y = x,
−6x + 6y = 0,
所以
即 z = x,
−6x + 6z = 0,
令x = 1,则y = 1,z = 1,所以 = 1,1,1 是平面ACF的一个法向量.
设点E到平面ACF的距离为d,
则d =
AE⋅
=
12
3
= 4 3,所以点E到平面ACF的距离为4 3.
为AD,PC的中点.
(1)求证:DE//平面PFB;
课中探究
解:证明:以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别
为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则P 0,0,2 ,F 1,0,0 ,B 2,2,0 ,E 0,1,1 ,D 0,0,0 ,
所以FP = −1,0,2 ,FB = 1,2,0 ,DE = 0,1,1 ,
∴ A1 O ⊥ 平面ABC.
课中探究
∵△ ABC是等边三角形,∴ BO ⊥ AC,建立如图所示的空间
直角坐标系,则A 0, −1,0 ,B
P
∴
3
1
, − , 0 ,Q 0,1, 3 ,B1
2
2
3
3
QP =
, − , − 3 ,QB1
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 用空间向量研究距离问题
【学习目标】
1.借助直线的方向向量和平面的法向量,能计算点到直线的距离、点到平
面的距离,并知道两条平行直线之间的距离、直线与平面平行时两者间的距离、
两个平行平面之间的距离.
2.能分析和解决一些立体几何中的距离问题,体会向量方法与综合几何方
→
⋅ AF = 0,
y = x,
−6x + 6y = 0,
所以
即 z = x,
−6x + 6z = 0,
令x = 1,则y = 1,z = 1,所以 = 1,1,1 是平面ACF的一个法向量.
设点E到平面ACF的距离为d,
则d =
AE⋅
=
12
3
= 4 3,所以点E到平面ACF的距离为4 3.
为AD,PC的中点.
(1)求证:DE//平面PFB;
课中探究
解:证明:以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别
为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则P 0,0,2 ,F 1,0,0 ,B 2,2,0 ,E 0,1,1 ,D 0,0,0 ,
所以FP = −1,0,2 ,FB = 1,2,0 ,DE = 0,1,1 ,
∴ A1 O ⊥ 平面ABC.
课中探究
∵△ ABC是等边三角形,∴ BO ⊥ AC,建立如图所示的空间
直角坐标系,则A 0, −1,0 ,B
P
∴
3
1
, − , 0 ,Q 0,1, 3 ,B1
2
2
3
3
QP =
, − , − 3 ,QB1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
它的体定积理是证明13 V:三棱锥=
Sh
已知:三1 棱锥1(A1-ABC)的底面积S,高是h.
3
求证: V三棱锥= Sh
证明:把三棱锥1以△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱
柱,然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥,就是三
A’
3
C’
棱锥1和另两个三棱锥2、3。
三棱锥1、2的底△ABA1、△B1A1B的面积相等,
列出三棱锥体积D’表达式)
C’
问问题题12、、你如能果有这几是种一
A’
个解平法行?六面 B’
体呢?或者
C
D
四棱柱呢?
A
B
练习2: 从一个正方体中,如图那样截去四个三棱锥,得到
一个正三棱锥A-BCD,求它的体积是正方体体积的
几分之几? 问问题题12、、你如能果有改几为种求
A
棱长为解a的法正?四面
B
体A-BCD的体积。
它的体积是
1 3
V三棱锥=
Sh
A’ A’ A’ A’ A’
A’ A’
A’
3
C’
2 2B’ B’ 2 B2’ B’
B’
高
1 11 1
A AA A
C
C C CC
CC
C
三棱B锥1、B2的B底B△ABBA’、△BB’A’BB的面积相等, 高也相等(顶点都是C)。
A’ A’
1
A
定理二:如果三棱锥的底面积是S,高是
1
A
C
C C C C C C C CC
三棱B锥2、3B的底B △BBCBB’、B △BC’BB’C的B面B积相等。 高也相等(顶点都是A’)。
定理二:如果三棱锥的底面积是S,高是h,那么
它的体积是 1 V三棱锥= Sh
A’
A’
3
A’
3
C’
2 B’
B’
1
A
C
C
C
B
B
V1=V2=V3=
1 3
V三棱锥
定理二:如果三棱锥的底面积是S,高是h,那么
简化,常常给人耳目一新的感觉。
小结: 4、定理及推论
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
定理二、如果三棱锥1 的底面积是S,高是h,那么 3 它的体积是 V三棱锥= Sh
定理三:如果一个锥体1 (棱锥、圆锥)的底面积 是S,高3是h,那么它的体积是 1 V锥体= Sh
推论:如果圆锥的底3面半径是r,高是h, 那么它的体积是 V = πr2h
3
问题1、ADcosθ有什么几何意义? A
结论:
V三棱锥=
1 3
S△AB
C
·d
F
B
D
θ
E C
例题一:如图:已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD,侧面ABC与底面所成的角为θ 求证:V三棱1锥= S△ABC·ADcosθ
1 13
问题2、解答过A程中的3 ×2 1 BC ·AEcosθ·AD其中 2 AEcosθ·AD可表示意思?
再见!
棱锥、圆锥的体积
复习: 1、等底面积等高的两个柱体体积相等。 2、V柱体=Sh V圆柱=πr2 h
3、柱体体积公式的推导:
柱体体积公式的推导:
等底面积等高的几个柱体 体
被平行于平面α的平面所截 截面面积始终相等
积 相 等
∵V长方体=abc ∴V柱体=Sh
V圆柱=πr2 h
α
问题:对比柱体体积公式的推导及结论,猜想一下 锥体体积是否具有相似的结论?
A’
C’
3
把这个三棱柱
1
A
B’
2
C
分割成三个三 就是棱三锥棱。锥1 和另两个三棱
锥2、3。
B
定理二:如果三棱锥的底面积是S,高是h,那么 它的体积是 13V三棱锥= Sh
A’ A’ A’ A’A’AA’’ A’ A’ A’ A’ A’ C’ C’ C’ C’ C’ C’
3
1
A A A AAA
2 BB’’ B’ B’ B’ B’ B’
作业:
1、四面体O-ABC中,除OC外其余的棱长均为1,且OC与 平面ABC所成的角的余弦值为,求此四面体的体积。
2、三棱锥P-ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=a,PA,BC的 公垂线段为EF(E、F分别在PA、BC上),且EF=h,求 三棱锥的体积。
1 它的体积是
3
V三棱锥=
Sh
A’
3
C’
2 B’
三棱锥2、3的底 B’
△BCB’、△C’B’C
C C 的面积相等。
C
B
B
定理二:如果三棱锥的底面积是S,高是
A’
A’ A’
A’ A’ A’
A’
1 它的体积是
3
高
V三棱锥=
A’ A’ A’
3
C’
Sh
2
2B’
B’
2
2B’2B’
B’
2
2B’
2B’2 B’B’
解解解三你二一、能、、将有利补四几用形面种体,体解积将分法公三割?式棱为
D 锥三V补棱四面成锥体一C=-个A13BS正E△和方BC三体D·h棱。
锥D-ABE
E C
小结:
1、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想,形 象具体地在立体几何中运用“割补”进行解题的技巧。 2、三棱锥体积的证明分两步进行:
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
取任意两个锥体,它们
S1 h1
h S
的底面积+为S,高都是h
平行于平面α的任一平面去截
+
Sh11
截面面积始终相等
h
=
两个锥体体积相等
S
α
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
S1 h1
S1h1
h
h
S
S
α
证明:取任意两个锥体,设它们的底面积为S,高都是h。
如果表示向量a的有向线段 所在直线垂直于平面α,则称 这个向量垂直于平面α,记作
a⊥α
如果a⊥α ,那么向量a叫 做平面α的法向量
书本第42页练习 1.2.3.4.5
小结:
(1)两个公式:
已知:a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)
cos a,b a1b1 a2b2 a3b3 a12 a22 a32 b12 b22 b32
Cy
B
例3.求证:如果两条直线垂直于一个 平面,则这两条直线平行。
已知:直线OA⊥平面α,直线 BD⊥平面α,O,B为垂足
求证:OA∥BD
A
D
αo
B
已知:直线OA⊥平面α,直线 BD⊥平面α,O,B为垂足
求证:OA∥BD
Az
D
k i oj y B
αx
证明:以点O为原 点,以射线OA为非 负z轴,建立空间直 角坐标系O-xyz, i,j,k为沿x轴,y轴, z轴的坐标向量,且 设BD=(x,y,z).
2 B’
高也相等(顶点都是C);三棱锥2、3的底
1
△BCB1、△C1B1C 的面积相等1 ,高也相等
A
C (顶点都是A11) ∵V1=V2=V3=3 1 3∵V三棱柱= Sh。
V三棱锥。
B
3 ∴V三棱锥= Sh。
任意锥体的体积公式:
定理三:如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积
是S,高是h,那么它的体积是
解:设点P到A、B的距离相等,则
(x 3)2 y 32 z 12 x 12 y 02 z 52
化简,得 4x+6y-8z+7=0 即到A,B距离相等的点的坐标(x,y,z) 满足的条件是4x+6y-8z+7=0
例2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中, E,F分别是CC1,A1D1的中点,求异面直线 AB与EF所成的角.
⑴、证明底面积相等、高也相等的任意两个锥体体积相等:
(一个锥体的体积计算可以间接求得)
⑵、证明三棱锥的体积等于其底面积与高的积的三分之一:
(它充分揭示了一个三棱锥的独特性质,可根据需要重 3、锥体新的安体排积底计面算,在这立样体也几为何点体到积面计的算距中离,、占线有到重面要的位距置离,计它 可补成柱体算又提可供以了截新成的台思体考,方它法可。以这自一换点底以面后、再自学换习顶。点),在 计算与证明中有较大的灵活性,技巧运用得当,可使解题过程
A’
C’
B’
A
C
B
与三棱柱相对照,请猜想三棱锥体积公式。
A’
C’
B’
A
C
B
与三棱柱相对照,请猜想三棱锥体积公式。
A’ A’ A’ A’ A’A’ A’ A’ A’ A’ A’ C’ C’ C’ C’ C’ C’ B’ B’ B’ B’ B’ B’
A A A A AA
C C C C CC C C C C C
§9.6.3 夹角和距离公式
空间直角坐标系
z
若a=a1i+a2j+a3k
A
则a=( a1,a2,a3 )
k io j
x
OA=(x,y,z); y A(x,y,z)
设A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
z
k io j
x1
x
a y1 y
向量的直角坐标运算
1 3
V锥体=
Sh
推论:如果圆锥的底面半径是r,高是h,
那么1 它的体积是
3 V圆锥= πr2h
小结: 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
1
定理二:如果三棱锥的底3面积是S,高是h,那么 它的体积是 V三棱锥= Sh