弹性力学习题课

由几何方程，可知： x1 0, y1 e1 , xy1 0
x 2 0, y 2 e2 , xy 2 0
由物理方程，可知：
1 E1 E1 e , e , xy1 0 y1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 E2 E2 x2 e , y 2 e , xy 2 0 2 2 2 2 1 2 1 2 x1
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例题2
如图所示的矩形截面柱体，高度为h，宽度为b，厚度 取一个单位，在顶部作用有集中力F和力偶矩M=Fb/4， 体力不计，试用应力函数：
Ax3 Bx 2
求解其应力分量和位移分量，假设A点处 的位移和竖直微分线段的转角均为零 分析： 显然应力函数满足相容方程 4 0 应力分量的表达式
3h 2 F hF 3hF u0 , v0 , 2 2 Eb Eb Eb 2
3 2 3F 2 u h y x x 2 Eb 2b 2 Eb Fy 3 v 1 x h y Eb b
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F
例题 3
如图所示的三角形悬臂梁，只受重力作用，其密度 为 ，试求其应力分量 分析: 无量纲 x m
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思考题
对于小变形的情况，将三角函数表示为 tan tan 1 4 2 2 tan 4 2 1 tan tan 1 4 2 2
2 1 2 1 E E


G
G
E 2 1
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例题2
为了求位移，先由物理方程求出应变分量
1 F x x x y 1 3 E Eb b 1 F x y y x 1 3 E Eb b xy 0
再由几何方程求出位移分量
u F x x 1 3 x Eb b
y m g N/m3
N/m2 因此应力分量的表达式只能是x和y的纯一次式
Ax3 Bx2 y Cxy 2 Dy3 体力分量 f x 0
fy g
验证应力函数满足相容方程
20
例题 3
应力分量的表达式
2 x 2 f x x 2Cx 6 Dy y 2 y 2 f y y 6 Ax 2 By gy x 2 xt 2 Bx 2Cy xy
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例题1
再考虑应力边界条件和应力连续条件（CD面为光滑 接触面）

y1 y 0 y1 y a
q, xy1 y 2
y a
y 0
0
y a
, xy1
xy 2
y a
0
从而得到：
2 1 12 1 2 e1 q, e2 q E E
8
作业题1
9
作业题2
10
作业题2
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例题1
如图所示薄板结构由两种不同材料组成，其中a、h、l、 E1、μ1、E2和μ2均为常数，体力不计，且接触面CD光 滑，在上表面受竖向均布载荷q的作用。试求其位移和 应力解答。 方法一、按位移法求解 假设位移是线性函数 u1 a1 x b1 y c1 , v1 d1 x e1 y f1 u2 a2 x b2 y c2 , v2 d2 x e2 y f 2 忽略体力，验证位移表示的平衡微分方程
2 2 2 x 2 0, y 2 6 Ax 2B, xy 0 y x xy
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例题2
主要边界条件
x x b 0, xy x b 0
2 2
自动满足!
对边界y=0，需要采用圣维南原理进行放松，可得

Байду номын сангаас
3x 2 ux x f1 y Eb 2b
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F
例题2
同理可得
v F x y 1 3 y Eb b
由几何方程第三式
F 3x 2 v x f2 x Eb 2b
df 2 x df1 y 3F 2 y dx dy Eb
给定满足相 容方程的应 力函数 求出应 力分量 通过边界条件 确定待定系数 得到正确解答
半逆解法的基本步骤
针对问题设 定应力函数 判断是否满足 双调和方程 否 导出应力 表达式 验证边界 条件 否 得到正确 的解答
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思考题
E 思考题1，试证明 G 2 1
证明
z , y , x 0
b 2 b 2 y
0 自动满足! F F 从而可以求得 A 2 , B 2b 2b
yx y 0

y 0
dx F ,
b 2
b 2

y
y 0
xdx M F b 4
于是可以得到应力分量为：
F x y 1 3 , x xy 0 b b
1 z y 2 材料处于纯剪状态（Pure Shear）
Oc 1 y tan Ob 4 2 1 z
根据物理方程
1 1 z z y E E 1 1 y y z E E
2011-10-14
第1章内容回顾
2
第2章内容回顾
3
第2章内容回顾
平面问题的边界条件
相容方程
4
第3章内容回顾
按应力函数求解平面问题 (1) 应力函数在区域内满足相容方程 (2) 在边界S上满足应力边界条件 (3) 对于多连体，还需要满足位移单值条件
5
第3章内容回顾
逆解法的基本步骤
u v xy 0 y x
3F 2 f1 y y y u0 2 2 Eb f 2 x x v0
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例题2
位移边界条件
u x0, y h 0, v x0, y h 0
u 0 y x 0, y h
u1 xl 0, u2 xl 0, u2 y h 0 v1 y a v2 y a , v2 y h 0
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例题1
由此，可以解得： u1 0, v1 e1 y a e2 a h
u2 0, v2 e2 y h
通过应力边界条件确定常数

y
y 0
0,

xy
y 0
0
y x tan y x tan
y x tan
sin x y x tan cos xy sin xy
y x tan
0 0
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cos y