2012-2013(1)概率论与数理统计解答

一. 填空题：（每题3分，共15分）

1. 设A 、B 为两事件，P （A ）= 0.7，P （B ）= 0.6，A B ⊃，则()P A B = 0.25 .

2. 若随机变量X 在[0，1]上服从均匀分布，Y = 2X +1 的概率密度为：

3若随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为(23),0,0

(,)0,x y ce x y f x y -+⎧>>=⎨⎩

其他 ，则 C =

6 。

4. 若随机变量X 服从参数为2指数分布X ~e （2），则2

()E X X += 1 . 5. 若随机变量X 的数学期望与方差分别为EX = 1，DX = 1，且 1

{1}4

P X ε-<=，根据切比雪夫不等式，ε

应满足03

ε<≤

。

二. 选择题：（每题3分，共15分）

1. 设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC 表示 ..... D ．A 、B 、C 至多发生一个

2.设随机变量X 的密度函数为3014,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他

，则使P （X > a ）= P （X < a ）成立，

a 为 ..........................A ．14

2-

3. 若随机变量（X ，Y ）的概率密度为221/,1

(,)0x y f x y π⎧+≤=⎨⎩，其它

，则X 与Y 的随机

变量 ........................C ．不独立同分布 .. 4．设随机变量X 在[a ，b ]上服从均匀分布，且EX=3，DX=4/3，则参数a ，b 的值为..... B ．a = 1，b = 5

5.若12,,,n X X X 是取自总体2

(,)N μσ的一个样本，μ已知，σ未知，则以下是统计量的是 .................... A ．

21

()/n

i

i X

X μ=-∑

1

,13

()2

0,

Y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它

三.判断题：（每题2分，共10分）

1. 若A 与B 互斥，则P （A B ）= 0。 （ 对 ）

2. 若()F x 是连续变量X 的分布函数，则

()1F x dx ∞

-∞

=⎰

。

（ 错 ） 3. 若（X ，Y ）的联合概率函数与边缘概率函数之间存在关系式(,)()()i X i Y j P x y P x P y =⋅j ，1,2,i j = 、 ，

则X 与Y 独立。 （ 对 ） 4. 若随机变量X 与Y 独立，则有()D XY DX DY =⋅。 （ 错 ） 5. 若12,,,n X X X 是取自总体X 的简单随机样本，则1X 与2X 同分布。 （ 对 ）

四|．计算题：（每题10分，共60分）

1. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学

生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？

【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P

（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知

（1）()()()

()()()()()()

P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==

+ 0.20.11

0.027020.80.90.20.137

⨯=

==⨯+⨯

即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()

()()()()()()

P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A =

=

+ 0.80.14

0.30770.80.10.20.913

⨯=

==⨯+⨯

即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.

2. 从五个数1，2，3，4，5中任取3个数123x x x ，，，求：（1）随机变量123max{}X x x x =，，的概率分布；（2）随机变量X 的分布函数；（3）{4}P X ≤。 解：（1）X 的可能值是3，4，5. 易知

21213

521313

521413

51

(3)0.1103

(4)0.3,106

(5)0.610

C C P X C C C P X C C C P X C ============ 因此，所求的概率分布为

（2）根据 (){}()i i

x x

F x P X x p x ≤=≤=

得

0,30.1,34()0.4,451,5

x x F x x x <⎧⎪≤<⎪

=⎨≤<⎪⎪≥⎩（注意区间分段）

（3）故所求的概率为

{4}{3}{4}0.10.30.4

P X P X P X ≤==+==+=

3. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=⎩⎨

⎧<<<.

,

0,

10,,1其他x x y

求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.

题3图

【解】()(,)d X f x f x y y +∞

-∞

=

⎰

1d 2,01,

0,

.x

x y x x -⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他