双曲线解答题5

双曲线解答题5

80、设双曲线12222=-b

y a x (a >0,b >0)上一点M (x 0,y 0),左、右焦点为F 1、F 2,离心率为e ,记2211,MF r MF r ==,求证该双曲线的焦半径公式是：r 1=020,ex a r ex a -=+

81、求证：以双曲线焦半径为直径的圆,必与以双曲线实轴为直径的圆相切. 82、求证：等轴双曲线上任一点到中心的距离是这点到两个焦点的距离的比例中项.

83、已知双曲线的焦点为F 1、F 2(c F F 221=),实轴长为2a ,试证明：平面内到两焦点F 1、F 2的距离的平方差的绝对值等于(2a )2的点的轨迹是已知双曲线的两条准线.

84、等轴双曲线的顶点A ,平行于实轴的弦MN ,求证：△AMN 是直角三角形. 85、求证：双曲线上任一点到两条渐近线的距离的积等于定值.

86、经过双曲线x y 22816

1-=的右焦点F 的直线l 与一条渐近线l 1垂直于A ，交另一条渐近线l 2于B ，求证：线段AB 被双曲线的左准线平分。

87、已知双曲线C ：12222=-b

y a x ,F 1、F 2分别是它的左右焦点,抛物线l 的焦点与C 的右焦点重合,l 的准线与C 的左准线重合,P 是C 和l 的一个交点. 求证：|

|||||||12121PF F F PF PF -=1. 88、点P 在双曲线2222b

y a x -=1上,F 1、F 2为焦点,△PF 1F 2的内切圆切x 轴于A 点,如图,求证：A 为双曲线的顶点.

89、已知AB 是双曲线12222=-b

y a x 过焦点F 1的任意一条弦, 以AB 为直径的圆被F 1相应的准线截得圆弧MN, 求证：弧MN 的度数为定值. 90、求证：经过双曲线上任一点,作两条直线分别平行于两条渐近线,则围成的

平行四边形的面积为定值.

91、△F 1MF 2的顶点F 1、F 2是双曲线b 2x 2-a 2y 2=a 2b 2的两个焦点,点M 在双曲线上,若∠F 1MF 2=θ,求证：△F 1MF 2的面积S =b 2ctg 2

θ. 92、AB 是双曲线12222=-b

y a x 的一条弦,AB 的中点为M ,双曲线中心为O ,如果AB 、OM 的斜率分别为k 、k 0,求证：kk 0=22

a

b . 93、设一直线交双曲线于点A 、B ,交双曲线的渐近线于点C 、D ,求证：BD AC =

94、已知点A 是双曲线12222=-b

y a x 上的动点,O 是双曲线中心,线段OA 的中点为M .试求点M 的轨迹方程,并证明点M 的轨迹是与已知双曲线离心率相等的双曲线.

95、证明：两条准线把两焦点间的线段分成1：2：1的双曲线是等轴双曲线. 96、设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率分别为2a 、2b 、2c 、e ;焦点到相应准线的距离叫焦准距,记为p ;过焦点垂直于实轴的弦叫通径,其长度记为d .求

证：(1)p =.2)2(2

ep d c

b = 97、设双曲线的焦点在渐近线上的射影为G ,求证：G 是准线与渐近线的交点.

98、已知直线l 和双曲线12222=-b

y a x (a ＞0,b ＞0)及其渐近线依次交于A,B,C,D 四点(如图), 求证： |AB|=|CD|.

99、证明：双曲线的一条渐近线和一条准线交于H 点,则由双曲线中心O 到H 的线段长等于双曲线的实半轴长.

100、双曲线12222=-b

y a x ( b ＞a ＞0)上有两点A 、B,它们与中心O 的连线互相垂

直,求证2211

OB OA +是定值.

101、双曲线x a y b

2222-=1中一条准线和一渐近线的交点为M ，与这条准线相对应的焦点为F ，求证：MF 与这条渐近线垂直。

102、设A 、B 是等轴双曲线x 2－y 2=a 2的两个顶点，MN 是该双曲线垂直于x 轴的弦，如图所示，求证：∠MAN ＋∠MBN=1800.

103、设F 1、F 2为双曲线12222=-b

y a x (a ＞0，b ＞0)的左焦点和右焦点，P 是其右支上的一点（非顶点），设∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，e 为双曲线的离心率， 求证：1

122+-=∙e e ctg tg βα. 104、求证：双曲线的渐近线、过焦点与该渐近线垂直的直线以及对应此焦点的准线经过同一点。

105、过点P(－2,2)的直线被双曲线x 2－2y 2=8截得的弦MN 的中点恰好为P, 求|MN|的值.

106、已知双曲线以两坐标为对称轴, 点M(3.2,2.4)是其准线和渐近线的交点, 求此双曲线的方程.

107、一个圆的圆心在双曲线)0,0(12222>>=-b a b

y a x 的右焦点F 2上,该圆过双曲线的中心,交双曲线于点P,直线PF 1(F 1是双曲线的左焦点)是该圆的切线,求双曲线的离心率e.

108、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(

。

(1) 求双曲线C 的方程； (2) 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，

且2>⋅(其中O 为原点)，求k 的取值范围。

双曲线解答题5 〈解答与提示〉

80、 提示：利用双曲线第二定义

81、 提示：利用双曲线定义和三角形中位线定理证明两圆圆心距等于半径之和或半径之差的绝对值。

82、 利用焦半径公式.

83、 设

F 1(－c ，0)、F 2(c ，0)，M(x ，y)为轨迹上任意一点，则|(x+c)2+y 2－

[(x －c)2+y 2]|=4a 2 所以c a x ±=

84、 提示：证明MA 、NA 的斜率乘积为-1

85、 提示：用距离公式计算,定值为2222b

a b a + 86、 )62(2

2)062(1--=⇒⊥x y l l l F ：，， ，代入渐近线方程x y 228160-=得.设AB 中点的坐标为(x 0，y 0),则x 0=12(x A ＋x B )＝-263

. 左准线方程为x=-23

6，∴AB 被左准线平分。 87、 证明：

a c e PF PF ==||||21 又|PF 1|－|PF 2|=2a ∴|

|||22||||||122121PF PF c a c a F F PF PF ===-