配方法解一元二次方程知识点及练习

配方法解一元二次方程解法
用配方法解一元二次方程
20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤 1）一化：化二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；x 2+
a b x+a
c =0 2）二移：移项，使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；x 2+a b x =–a
c 3）三配：①配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为x 2+a b x+(a
b 2)2 =–a
c +(a
b 2)2的形式； ②方程左边变形为一次二项式的完全平方式，右边合并为一个常数；（x+a 2b ）2=2442a a
c b - 4）四解：①用直接开平方法解变形后的方程，此时需保证方程右边是非负数，否则原方程无解。

x+a
2b = a ac b 242-±
②分别解这两个一元二次方程，求出两根。

x =
特别提示：（1）配方法的理论依据是完全平方公式a 2+2ab+b 2=(a+b)2
(2)配方法解方程的步骤可以灵活运用，有时可不比将二次项系数化为1，而是将方程配成（mx+n ）2=c 的形式，再直接开平方降次求解。

（3）一元二次方程的配方是两边同时除以a ，而二次三项式的配方是提取a ，要注意区别。

练习
一、用配方法解下列方程
1）210x x +-=； 2）23610x x +-=； 3）21(1)2(1)02x x ---+
=； 4）23610x x --=； 5）22310x x --=； 6）210x x --=； 7）23920x x -+=；
8）2）2410y y ++=； 9）2310y y ++=； 10）2310y y ++=．
二、用适当的数（式）填空：
1）23x x -+ (x =-
2)；2）2x px -+ ＝(x - 2)； 3）23223(x x x +-=+ 2)+ ； 4）28x x ++（ ）=（x + ）2；
5）2
23x x -+（ ）＝（x - ）2； 6）2b y y a
-+（ ）＝（y - ）2． 7）方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ．
8）关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ．
9）用配方法解一元二次方程的一般步骤是：化二次项系数为1，把方程化为20
x mx n ++=的形式；把常数项移到方程右边即 方程两边同时加上2
4
m ，整理得到
24m n =-；当204m n -≥时，(2m x +=，当204m n -<时，原方程 10）把方程22(21)0x m x m m -+++=化成2()x a b +=的形式是： ．
三、用配方法证明：
1）多项式42241x x --的值总大于4224x x --的值． 2）21a a -+的值恒为正；
3）2
982x x -+-的值恒小于0． 4）无论x 取何实数，代数式-2x 2-12x+2的值不大于20 四、阅读理解题．
阅读材料：为解方程222
(1)5(1)40x x ---+=，我们可以将21x -视为一个整体，然后设21x y -=，则222(1)x y -=，原方程化为2540y y -+=
①
解得11y =，24y =
当1y =时，211x -=，22x ∴=，x =∴
当4y =时，214x -=，25x =∴，x =∴
∴原方程的解为1x =2x =3x =4x =解答问题：
（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用
法达到了降次的目的，体现了 的数学思想．
（2）解方程4260x x --=．。