第七章梁的位移转角挠度祥解
梁弯曲时的位移1梁的位移——挠度和转角2梁的挠曲线
当全梁各横截面上的弯矩 可用一个弯矩方程表示时(例如 图中所示情况)有
EIw M xd x C1
EIw M xd x d x C1x C2
以上两式中的积分常数C1， C2由边界条件确定后即可得出梁 的转角方程和挠曲线方程。
转角则明显不同。
在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；
顺时针转向的转角q为正，逆时针转向的转角q为负。
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
Ⅰ. 挠曲线近似微分方程的导出 在§4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况
下中性层的曲率为
1M EI
这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。
解：该梁的弯矩方程为
M x Fl x
挠曲线近似微分方程为
EIw M x Fl x
以x为自变量进行积分得
EIw
F lx
x2 2
C1
EIw
横截面的转角q 也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之
间的夹角，从而有转角方程：
q tanq w f x
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件
有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同， 所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就 是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和
w
M x
1 w2 3/2 EI
《2024年梁的挠度和转角问题分析》范文
《梁的挠度和转角问题分析》篇一一、引言在工程结构中，梁作为基本的结构构件，其承载能力和稳定性对于整个结构的性能至关重要。
梁在受到外部载荷作用时，会产生挠度和转角，这些变形对结构的整体性能和安全性有着重要影响。
因此，对梁的挠度和转角问题进行分析，对于保障工程结构的安全性和稳定性具有重要意义。
本文将针对梁的挠度和转角问题进行分析，探讨其产生原因、影响因素及解决方法。
二、梁的挠度和转角产生原因梁的挠度和转角是由于外部载荷作用在梁上，导致梁发生变形。
其中，挠度是指梁在受到载荷作用时，中垂线或水平线上的位移量；转角则是指梁在受到扭矩作用时，两端点连线与未受力时的直线之间的夹角。
这些变形与梁的材料性能、几何形状、支座条件以及外部载荷等因素密切相关。
三、影响梁的挠度和转角的因素1. 材料性能：梁的材料性能，如弹性模量、泊松比等，对梁的刚度和变形性能有着重要影响。
弹性模量越大，梁的刚度越大，挠度和转角越小。
2. 几何形状：梁的截面形状和尺寸对挠度和转角也有影响。
截面尺寸越大，梁的刚度越大，变形越小。
此外，截面的形状也会影响梁的弯曲刚度和扭转刚度。
3. 支座条件：支座对梁的约束条件直接影响着梁的变形。
固定支座能够限制梁的位移和转动，从而减小挠度和转角；而滑动支座则允许梁在一定范围内发生位移。
4. 外部载荷：外部载荷是引起梁变形的主要因素。
载荷的大小、作用位置和方向都会对梁的挠度和转角产生影响。
四、梁的挠度和转角问题的解决方法1. 理论分析：通过建立梁的力学模型，运用弹性力学和结构力学理论，对梁的挠度和转角进行理论分析，为实际工程提供理论依据。
2. 实验研究：通过实验手段，如静载试验、动载试验等，对梁的挠度和转角进行实际测量，以验证理论分析的正确性。
3. 优化设计：根据理论分析和实验结果，对梁的结构进行优化设计，提高其刚度和承载能力，减小挠度和转角。
4. 加强支撑：通过增加支座数量或改善支座条件，提高对梁的约束作用，从而减小挠度和转角。
工程力学---材料力学第七章-梁弯曲时位移计算与刚度设计经典例题及详解
P
B C
l 2 l 2
A
x
P 解：AC段：M ( x ) x 2 y P EIy x 2 A P 2 EIy x C x 4 l 2 P 3 EIy x Cx D 12
P
B C
l 2
x
由边界条件： x 0时，y 0
l 由对称条件： x 时，y 0 2
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
最大转角和最大挠度分别为：
11qa max A 1 x1 0 6 EI 19qa 4 ymax y2 x2 2 a 8EI
3
例5：图示变截面梁悬臂梁，试用积分法
求A端的挠度 P
I
2I
l
fA 解： AC段 0 x l
B
P 3 2 EIy x C2 x D2 6
由边界条件： x l时,y=0, =0
得：
C2
1 1 Pl 2 , D2 Pl 3 2 3
l x 时,yC左 =yC右 , C左 = C右 由连续条件： 2
5 3 2 C1 Pl , D1 Pl 3 16 16
由连续条件： x1 x2 a时, y1 y2 , y1 y2
由边界条件： x1 0时, y1 0
0 x 2 a 时 , y 由对称条件： 2 2
得 D1 0
C1 C2 得 D1 D2
11 3 得 C2 qa 6
qa 1 (11a 2 3 x12 ) 0 x1 a 6 EI q 2 [3ax2 2 ( x2 a)3 11a 3 a x2 2a 6 EI qa y1 (11a 2 x1 x13 ) 0 x1 a 6 EI q y2 [4ax23 ( x2 a) 4 44a 3 x2 ] a x2 2a 24 EI
《2024年梁的挠度和转角问题分析》范文
《梁的挠度和转角问题分析》篇一一、引言在结构力学中，梁是承载荷载并进行传力的基本构件。
对梁的挠度和转角问题的分析，对于结构设计的安全性、稳定性和功能性具有重要意义。
本文将重点分析梁的挠度和转角问题，探究其产生的原因、影响因素及解决方法。
二、梁的挠度问题1. 挠度定义及产生原因梁的挠度是指梁在荷载作用下发生的弯曲变形。
产生挠度的主要原因是外部荷载的作用，包括集中力、均布力等。
此外，梁的材料性质、截面尺寸、支撑条件等因素也会影响挠度的大小。
2. 影响因素分析（1）荷载大小：荷载越大，梁的挠度越大。
（2）材料性质：梁的材料弹性模量越大，抗弯刚度越大，挠度越小。
（3）截面尺寸：梁的截面尺寸越大，抗弯刚度越大，挠度越小。
（4）支撑条件：梁的支撑条件会影响其受力状态，进而影响挠度大小。
3. 解决方法为减小梁的挠度，可采取以下措施：（1）优化结构设计，合理布置荷载和支撑。
（2）选用高弹性模量的材料。
（3）增大梁的截面尺寸，提高抗弯刚度。
（4）采用预应力技术，提高梁的承载能力。
三、梁的转角问题1. 转角定义及产生原因梁的转角是指梁在荷载作用下发生的转动变形。
转角问题主要由外部荷载引起的弯矩引起，使梁发生弯曲变形并产生转角。
此外，梁的材料性质、截面形状和尺寸、支撑条件等因素也会影响转角的大小。
2. 影响因素分析（1）弯矩大小：弯矩越大，梁的转角越大。
（2）截面形状和尺寸：合理的截面形状和尺寸能提高梁的抗弯性能，减小转角。
（3）支撑条件：梁的支撑方式会影响其受力状态，进而影响转角大小。
3. 解决方法为减小梁的转角，可采取以下措施：（1）优化结构设计，合理布置荷载和支撑，减小弯矩。
（2）采用合理的截面形状和尺寸，提高梁的抗弯性能。
（3）采用刚性较大的支撑方式，减小转角。
四、实例分析以一座简支梁桥为例，分析其挠度和转角问题。
该桥采用混凝土梁，受到车辆荷载和自重的作用。
通过建立力学模型，分析荷载、材料性质、截面尺寸和支撑条件对挠度和转角的影响。
工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI
《2024年梁的挠度和转角问题分析》范文
《梁的挠度和转角问题分析》篇一一、引言在结构力学中，梁是重要的承载构件之一。
随着建筑、机械、交通等领域的不断发展，梁的力学性能研究变得尤为重要。
其中，梁的挠度和转角问题作为衡量其承载能力的重要指标，一直是研究的热点。
本文将针对梁的挠度和转角问题进行分析，探讨其产生的原因、影响因素及解决方法。
二、梁的挠度和转角概念1. 挠度概念：挠度是指梁在受到外力作用后，其轴线发生的弯曲变形程度。
通常用y表示，单位为米。
2. 转角概念：转角是指梁在受到弯矩作用时，其端部发生的旋转角度。
转角的大小反映了梁的弯曲程度。
三、梁的挠度和转角问题产生的原因及影响因素1. 原因：梁的挠度和转角问题主要是由于外力作用、材料性能、几何尺寸等因素引起的。
其中，外力作用是导致梁产生挠度和转角的主要因素。
2. 影响因素：（1）材料性能：梁的材料性能对其抗弯性能有很大影响，如弹性模量、屈服强度等。
（2）几何尺寸：梁的几何尺寸，如截面形状、尺寸等，对其抗弯性能也有很大影响。
（3）支座条件：支座的约束条件、位置等也会对梁的挠度和转角产生影响。
（4）荷载类型及大小：荷载的类型、大小及分布情况也会对梁的挠度和转角产生影响。
四、梁的挠度和转角问题的分析方法1. 理论分析法：通过建立梁的力学模型，运用结构力学理论进行计算分析。
2. 实验法：通过实验手段，对梁进行加载、测量，得到其挠度和转角数据。
3. 数值模拟法：利用有限元等数值模拟软件，对梁进行模拟加载，得到其挠度和转角数据。
五、梁的挠度和转角问题的解决方法1. 优化设计：通过优化梁的几何尺寸、材料性能等，提高其抗弯性能，减小挠度和转角。
2. 加强支撑：增加支座的数量或提高支座的约束条件，以减小梁的挠度和转角。
3. 采用高强度材料：选用高强度、高弹性模量的材料，提高梁的抗弯性能。
4. 预应力技术：采用预应力技术，通过预加压应力来抵抗外力引起的弯矩，减小挠度和转角。
六、结论梁的挠度和转角问题是结构力学中的重要问题，对于保证结构的安全性和稳定性具有重要意义。
第七章 梁的位移-转角、挠度
l2
AqAFA
F
B
qA
q L3 2 4E I z
FA
FL2 16EIz
A
C
EI z
l2
l2
A
qL3 24EIz
FL2 16EIz
B
20
第七章 梁的弯曲变形
例7-5 AB梁的EI为已知,试用叠加法,求梁中间C截面挠度.
q0
A
q0L 6
B
C
l q0L 3
将三角形分布荷载看成载荷集度为q0的均布载荷的一半
y
x
最大转角 y''0 Mx0
A
FbL2 b2 6EIzL
FabL b 6EIzL
最大挠度 y' 0 令x=a
E z y 2 I F 6 L x 3 b 1 6 F x a 3 F L 6 2 L b b 2x
x0 xL
E zB I F 2 L BL 2 b F 1 2 F 6aE L L bz ILa a2 F L 6 2 L b b 2
§7-2 挠曲线的近似微分方程
1.基本概念
位移的度量 A
挠曲线－－
梁变形后各截 面形心的连线
y－挠度
A
θ－转角
F C
l
B
C
y
Bx
挠度向下为正，向上为负. y
转角绕截面中性轴顺时针转为正， 逆时针转为负。
C
B
3
变形过大
• 结构性构件破坏 • 非结构构件破坏 • 影响适用性
第七章 梁的弯曲变形
4
第七章 梁的弯曲变形
变形几何方程为 (w B )q (w B )F R B 0
27
第七章 梁的弯曲变形
七章梁弯曲时的位移
§7－5 梁的刚度校核 提高梁的刚度的措施
一、梁的刚度条件
wm ax l
w l
max
例题5-8 图示悬臂梁AB，承受均布荷载 q 的作用。已知： l=3m，q=3kN/m，，梁采用20a号工字钢，其弹性模量 E=200GPa，试校核梁的刚度。
q
A l
y
Bx
解：查得工字钢的惯性矩为:
I 0.237104 m4
(x
a) 2
C2
（c）
EIw2
Fb 6l
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2
（d）
应用位移边界条件求积分常数 支座约束条件：
w x0 0 w xl 0
位移连续条件：
w1(a) w2 (a), w1(a) w2 (a)
得：
C1 C2
Fb (l 2 b2 ), 6l
D1 D2 0
④ 写出转角方程及挠曲线方程。
例题7-4 一弯曲刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。试 按叠加原理求梁跨中点的挠度和支座处横截面的转角。
Me
q
A
C
l
q
A Me
A
解：此梁上的荷载可以分为 B 两项简单荷载，如图所示。
wC
wCq
wCM
5ql 4 384 EI
Mel2 16 EI
B
A
Aq
AM
ql3 24 EI
M el 3EI
正对称荷载作用下：
wC1
5(q / 2)l 4 384 EI
5ql 4 768 EI
A1
B1
(q / 2)l3 24 EI
ql3 48 EI
B
q
第七章-梁的位移-转角、挠度
第七章 梁的弯曲变形
例 7-4 试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨
中截面挠度ωc和梁端截面的转角θA，θB.
Fq
B 解 yc yqcyFc
A
C EI z
l2
l2
yqc
5qL4 384EI z
yFc
FL3 48EI z
q
B
yc
5qL4 384EIz
FL3 48EIz
A
C EI z
l2
axL
L
AC段
E EzIyzI''11 M 2F1 Lbxx2CF 1Lb x
CB段
E E zy'I z'2 I 2 M 2 F 2 L x x b 2 1 2 F F L x xb a F 2 x C a 2
E zy 2 I 6 F L x 3 b 1 6F x a 3 C 2 x D 2
A
AA A A A
A
~
~
~
~~
A
AA
~
~
yA 0
yA 0
A 0
yALyAR
ALAR
10
第七章 梁的弯曲变形
例7-1 求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
F
x
A
yA
A
l
M xFx
B
x
d d EE Ix zy zId dFx y 2x 2M E (CF IZ x1)x dd x C x C11
i 1
由于梁的边界条件不变，因此
n
y y i
i1
重要结论：
n
i ,
i1
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等
于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。 这就是计算弯曲变形的叠加原理。
第七章 弯曲——弯曲位移
EIy = − ∫ [ ∫ M ( x)dx]dx + Cx +D
式中C, D 由梁支座处的已知位移条件 即位移边界条件确定。 弯矩方程分n段时，积分常数个数为 2n 个 由边界条件确定的方程需要2n个 方法的局限性：外力复杂或多跨静定梁时计算量过大
EIy ′ = EI θ = − ∫ M ( x ) dx +C
第七章 弯曲--弯曲位移部分
(Displacements of Bending Beam)
§7-7 梁的位移─挠度及转角
在工程中，对某些受弯构件，除要 求具有足够的强度外，还要求变形不能 过大，即要求构件有足够的刚度，以保 证正常工作。
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大， 就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
Fb ( l 2 − b 2 ) Fb 3 F ( x − a )3 y2 = − x− x + 6 EIl 6 EIl 6 EI
受任意荷载的简支梁，只 要挠曲线上没有拐点，均 可近似地将梁中点的挠度 作为最大挠度。
F
a A x C D b B
x
y
l
例4：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁
的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和ymax。
挠曲线近似微分方程
1、挠曲线方程(deflection equation)
曲线 y = f (x) 的曲率为
y′′ κ=± 2 3/ 2 ′ (1 + y )
梁纯弯曲时中性层的曲率：
M ( x) 1 = ρ ( x) EI z
M ( x) 1 = ρ( x) EI z
1 y′′ κ= =± ≈ ± y′′ 2 3/ 2 (1 + y′ ) ρ( x)
《梁的挠度及转角 》课件
有限元分析
在现代工程分析中，有限元分析 是一种常用的方法来计算挠度和 转角。通过将梁离散化为有限个 小的单元，可以更精确地模拟梁
的变形和应力分布。
02
梁的挠度分析
静力挠度分析
静力挠度分析是指在静力载荷作 用下，对梁的挠度进行计算和分
析的过程。
静力挠度分析主要考虑梁的自重 、外部施加的均布载荷和集中载 荷等因素，通过计算得到梁的挠
温度转角分析
温度转角的大小取决于梁的材料、尺寸和温度变化等 因素。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
温度转角分析的目的是确定梁在温度变化下的变形程 度和转角大小，从而评估梁的耐热性能和稳定性。
5. 总结分析结果，提 出改进建议。
4. 将实测数据与理论 计算结果进行对比分 析；
案例分析结果与结论
结果
实测数据与理论计算结果基本一致， 证明了理论的正确性和实用性；
结论
梁的挠度和转角是结构安全的重要指 标，应加强监测和理论研究，以提高 结构的安全性和稳定性。
05
梁的挠度及转角优化设 计
优化设计方法与步骤案例二高层建筑中源自梁结构挠度及转角变 化案例三
大跨度钢结构的梁在风载作用下的 挠度及转角表现
案例分析方法与步骤
• 方法：理论计算与实测数据相结合
案例分析方法与步骤
步骤
1. 收集相关资料，了解工程概况和梁的结构特点 ； 2. 进行理论计算，预测梁的挠度和转角；
案例分析方法与步骤
3. 实地监测，获取梁 的实际挠度和转角数 据；
梁弯曲变形的计算
第7章 梁弯曲变形的计算§7-1 挠度与转角及梁的刚度条件梁变形前后形状的变化称为变形，一般用各段梁曲率的变化表示。
梁变形前后位置的变化称为位移，位移包括线位移和角位移，如图7-1所示。
在小变形和忽略剪力影响的条件下，线位移是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为挠度，用v 表示；角位移是横截面变形前后的夹角，称为转角，用θ表示。
而dxx dv x )()(=θ，可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程Y=f(x)。
梁的设计中，除了需要满足强度条件外，在很多情况下，还要将其弹性变形限制在一定范围内，即满足刚度条件][][max max θθ≤≤v v式中的和][v ][θ分别为梁的许用挠度和许用转角，可从有关设计手册中查得。
§7-2 挠度曲线的近似微分方程忽略剪力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式为： 式（a）表明梁轴线上任一点的曲率)(1x ρ与该点处横截面上的弯矩成正比，而与该截面的抗弯刚度)(x M EI 成反比。
如图7-2所示。
而梁轴线上任一点的曲率与挠曲线方程v 之间存在下列关系：)(xEIx M x )()(1=ρ （a） 232221)(1⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+±dx dv dx vd x ρ （b）将上式代入式（a），得到EIx M dx dv dx v d )(12322=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+±（c） 小挠度条件下，1<<=θdxdv，式（c）可简化为： EI x M dxv d )(22=±（d）在图7-3所示的坐标系中，正弯矩对应着22dx vd 的正值（图7-3a），负弯矩对应着22dxvd 的负值（图7-3b），故式（d）左边的符号取正值EI x M dx v d )(22= （8-1）式（7-1）称为小挠度曲线微分方程，简称小挠度微分方程。
显然，小挠度微分方程仅适用于线弹性范围内的平面弯曲问题。
第7章_梁的位移
w" ( x)
M z ( x) w ( x) EI z
"
上式就是梁小挠曲线近似微分方程。
M z ( x) w ( x) EI z
"
M>0
x
x
M<0
w" ( x) 0( x) 0
M z ( x) w ( x) 2 EI z
FP 3 EIw1 x C1 x D1 8
3FP 2 1 L 2 EI 2 x FP ( x ) C2 8 2 4
FP 3 1 L 3 EIw2 x FP ( x ) C2 x D2 8 6 4
其中C1、C2、D1、D2为积分常数，由支承的 约束条件和AB段与BC段梁交界处得连续条 件确定。
例 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大 转角。 P
L
解：
建立坐标系并写出弯矩方程
x
M (x ) P(x L )
"
w
写出微分方程的积分并积分
EIw M ( x) P( L x)
1 2 EIw P( L x) C1 2
'
1 EIw P( L x)3 C1 x C2 6
d 2 w1 3F EI M 1 ( x) P x dx 2 4
L (0 x ) 4
d 2 w2 3FP L EI 2 M 2 ( x) x FP ( x ) dx 4 4
L ( x L) 4
积分后得：
3FP 2 EI1 x C1 8
AB段：
M 1 ( x) 3FP x 4
《梁的挠度及转角 》课件
载荷大小和方向不随时间变化，转角计算相对简 单。
动载荷
载荷大小和方向随时间变化，需要考虑时间因素 对转角的影响，计算较为复杂。
冲击载荷
载荷突然施加或卸载，可能导致梁发生大变形和 瞬时转角，需要特别考虑安全系数。
04
梁的挠度及转角实例分析
实际工程中的挠度及转角问题
总结词：实际应用
详细描述：梁的挠度和转角是实际工程中常见的问题，特别是在桥梁、建筑和机 械工程中。了解和掌握梁的挠度及转角对确保结构安全和性能至关重要。
设计思路
通过调整梁的截面尺寸、材料、支撑条件等，使挠度和转角在一个 合理的范围内，以保证梁的安全性和稳定性。
优化设计实例分析
1 2 3
案例一
某桥梁的横梁设计，通过优化截面尺寸和材料分 布，显著降低了挠度，提高了承载能力。
案二
某高层建筑的楼板设计，通过合理布置支撑和优 化梁的尺寸，有效控制了转角，增强了结构的稳 定性。
案例三
某机械设备的框架设计，综合考虑挠度和转角的 影响，优化了整体结构，实现了轻量化和高性能 。
THANKS
感谢观看
进行计算。
动载荷下的挠度
在动载荷作用下，梁的挠度值可能 较大，需要考虑动载荷对挠度的影 响，可以采用动力学模型进行计算 。
复合载荷下的挠度
在实际工程中，梁可能同时受到静 载荷和动载荷的作用，需要采用更 为复杂的模型进行计算。
03
梁的转角计算
转角的计算方法
公式法
根据梁的物理方程和边界条件， 通过数学公式计算转角。
实例分析一：简支梁的挠度及转角
总结词
简支梁分析
详细描述
简支梁是一种常见的梁类型，其挠度和转角可以通过理论公式进行计算。该实 例将介绍简支梁在不同载荷下的挠度和转角，以及如何通过优化设计来减小挠 度和转角。
梁的位移
A
C
B
x
w挠度
C'
B'
衡量梁弯曲变形程度的曲线是曲率，我们为什么用挠度和转
角？
2、转角 (slope)
横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角. 用 表示
横截面的转角也就是曲线在该点处的切线与X轴之间的夹角
A
C
B
x
C'
w挠度（
B 转角
3、挠曲线 (Deflection curve) 梁变形后的轴线称为挠曲线 . 也称弹性曲线
EIz2
Fb 6L
x3
1 6
Fx
a3
Fb
L2 b2 6L
x
EIz1
Fb 2L
x2
Fb
L2 6L
b2
EIz1
Fb 6L
x3
Fb
L2 6L
b2
x
例题 5.3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。
a A
Fb L
6EIz 2EIz 3EIz
例题 5.2
求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。
A
x
l
y
边界条件
x0 0 x0 0
xL
B
qL3 6EI z
M x 1 qL x2
B
2
x
EI z
M
x
1 2
q
L
x
2
EI z
EI z
材料力学第七章 梁的变形
EIy1=－Fx13/9＋ 5Fa2x1/9 EIy2=－Fx23/9＋F(x2－a )3/6＋ 5Fa2x2/9
（0≤x1 ≤a）
（ a ≤x2 ≤3a ）
7. 求ymax , θmax
x 0,
max
A
5Fa2 9EI
（）
x 1.367a,
ymax
0.4838 Fa3 EI
21
F
A
C
在如图所示的座标系下，顺时针转为正，反之为负。
转角方程 θ = θ（x）
平行于轴线方向的线位移忽略
7
挠度与转角的关系：
θ θ’
y
x y
小变形
θ =θ ′
tgθ ′ ≈ θ ′ = y′
y dy
dx
x
8
§7-2 直梁挠曲线近似微分方程
一、挠曲线近似微分方程
纯弯曲 k 1 M
EIz
(x)
F C yCF
42
例题4
怎样用叠加法确定C 和 yC ?
q
A
B
C
yC
l
l
C
2
2
43
A
B
l 2
q
C
yC
l
C
2
A
l 2
A
l 2
q
B
l 2
q
B
l 2
A
q
l
B
l
2
2
44
简单静不定梁（超静定梁）
一、静定梁
F Fl
A
B
C
l
l
2
2
qa
A
B
C
a
a
45
梁的挠度及转角_OK
连续性假设
梁的轴线将由原来的水平直线变成一
条连续平坦(flat)的曲线—挠曲线。
6
直梁平面弯曲的两种位移
A
C
F X
挠度（deflection）w—
B 横截面形心在垂直于
C ′ B ′ 轴线方向的位移。
A
x y
cB F x yw
c′ u
B′
转角（slope）—横截
5. EXAMPEL
9
1、挠度和转角的关系
AA
x y
cB F x yw
c′
B′
挠曲线 y=f(x) 上任
意点的切线斜率为：
dy df (x) (b)
dx dx
结论：梁截面的转角等于挠曲线y对于位置坐标 x的一阶导数。
10
2、建立挠曲线微分方程 1 M 4-4
积分（法1、）叠物加理法方、面奇: 异函数法、能量 EIZ
列挠曲线近似微分方程求约束反力flei列弯矩方程mxfxfl5exanpel15ei6ei求b截面转角和位移将xl代入eifleifl求约束反力列弯矩方程17求位移方程列挠曲线近似微分方程确定积分常数求最大挠度和位移eiqleiql38418example53图示一弯曲刚度为ei的简支梁在d点处受一集中荷载作用
力的分解法----各横截面的位移或转角等 于每项荷载独立作用时在同位置产生的挠 度和转角代数和。
A= A1+ A2= FL2/16EI + mL/6EI
B= B1+ B2= - FL2/16EI - mL/3EI
yc= yc1 + yc2 = FL3/48EI +mL2/16EI
材料力学第7章
由C点处的光滑连续条件：
w1 w1
xa
w2 w2
xa
xa
xa
C1 C 2
, D1 D 2
x0
由梁的边界条件： w1
0 ,
w2
xl
0
D1 D 2 0 ,
C1 C 2
Fb 6l
l b
2
2
12
材料力学
出版社 科技分社
得梁AC段转角方程和挠曲线位移方程
积分一次：
E Iw 1 Fb 2l Fb 6l x C1
2
挠曲线近 Fb 似微分方 E Iw1 x l 程：
积分二次：
E Iw 1 x C1 x D1
3
10
材料力学
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CB段（a x l）: 弯矩方程：
M
2
x
Fb l
x F x a
tan dw dx f x
小变形梁可近似为 w f x 转角方程
2
材料力学
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§7.3 积分法求梁的位移
对于等截面直梁
EI w M x
一次积分得转角方程
EI EI w M x dx C
23
材料力学
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所谓改变结构来提高梁的刚度在这里是指增加梁的 支座约束使静定梁成为超静定梁。
24
材料力学
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本章小结 （1）梁的位移用挠度w和转角 两个基本量表示,且
x w x ;
（2）由挠曲线近似微分方程
EI w M x
C 0, D 0
梁弯曲的位移
dM FS dx
d 3w FS EI dx 3
M x w EI
w
////
q EI
挠度满足的微分方程。分别有二、四个 积分常数。由边界条件来确定
梁弯曲的位移
边界条件：
夹紧端：
y(0) w(0) 0 dy / (0) w (0) 0 dx
梁弯曲的位移
由此题可见，当以 x 为自变量对挠曲线近似微分方 程进行积分时，所得转角方程和挠曲线方程中的积分常 数是有其几何意义的：
x2 EIw F lx C1 2 lx 2 x 3 EIw F 2 6 C1 x C2
从而有
梁弯曲的位移
根据对称性可知，两支座处的转角A及B的绝对值 相等，且均为最大值，故 qx ql3 / // w max A B x l 2 EI 24EI q
max
x
wmax min
y 最大挠度在跨中，其值为 2 3 4 3 ql 2 l l 5ql wmax w | x l 2 l 2l 24EI 2 2 384EI q l 3 6lx 2 4 x3 w 转角方程 24 EI qx 3 l 2lx 2 x3 挠曲线方程 w 24 EI
明显不同。
1 m EI
梁弯曲的位移
在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；
顺时针转向的转角 为正，逆时针转向的转角 为负。
梁弯曲的位移
Ⅰ. 挠曲线近似微分方程的导出 在§4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下 中性层的曲率为
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梁挠曲线近似微分方程
6
d2 y M ( x) 2 EI Z dx
A
C
第七章 梁的弯曲变形
B
x
y
C
B
tan
dy dx
dy dx
M ( x) dx C1 EI Z
在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线 在该截面处的切线斜率。
y
M ( x) dx dx C1 x C2 EI Z
3
d2 y dx 2 dy 2 1 ( ) dx
3
M ( x) EI Z
5
第七章 梁的弯曲变形
d2 y M ( x) EI Z dx 2
o
M M
x
o
x
M
d2y 0 2 dx
y y
d2y 0 2 dx
M
d2 y M ( x) 2 EI Z dx
Fb 2 Fb L2 b 2 EI z1 x 2L 6L
Fb 3 1 Fb L2 b 2 3 EI z y2 x F x a x 6L 6 6L
Fb 3 Fb L2 b 2 EI z y1 x x 6L 6L
12
求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。
L
x x
CB段
Fb Fb 1 EI z y' '2 M x x F x a EI z 2 2 x 2 L F x a 2 C2 2L 2
Fb 3 1 x F x a 3 C2 x D2 6L 6
L
axL
AC段
y
Fb 2 Fb EI z1 C xx EI z y' '1 M 1 x 21 L L
EI z y1 Fb 3 x C1 x D1 6L
x0
D1 0 y0 0
xL
yL 0
EI z y2
xa
a1 y1D D y22a
1 1 aC C a 2 2
FbFb 1 2 1 3 3 Fb Fb 2 F3 3 0 3 EI L L L a Ca L C C L b Z 3C 2 Fb a a F a C2 a D2 Fb 1 1 1a 2D1 2 2 6 L 6 6 L a C a F a a C2 6L 6L 6 1 2L 2L 2 Fb 2 1 Fb L2 b 2 2 EI z 2 x F x a 2L 2 6L
A
~
A
A
~
~
位移边界条件
~
光滑连续条件
A
~
A
~
A
~ ~
~
A A
~
yA 0
yA 0
y AL y AR
A 0
AL AR
~
9
AA
AA
A
A A
A
~转角。
F A
yA
x
A
M x Fx
B
x
dy dy 2M ( x ) Fxdx dx C C EI z Fx 1 1 dx EI dx EI z C Z 1 2
2
x
l
x
EI z y' ' M x
2
1 EI z y' EI z qL x 3 C1 6
y
边界条件
qL3 C1 6 EI z
EI z y
1 qL x 4 C1 x C2 24
x0 x0 xL
0
y 0
y
qL3 C2 24 EI z
7
第七章 梁的弯曲变形
通过积分求弯曲位移的特征：
适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况 下的对称弯曲。
积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚 度不连续处，其挠曲线的近似 微分方程应分 段列出，并相应地分段积分。
积分常数由位移边界条件确定。
8
第七章 梁的弯曲变形
积分常数C1、C2由边界和连续条件确定
Fx 2 FL2 2 EI z 2 EI z
Fx 3 FL2 FL3 y x 6 EI z 2 EI z 3EI z
10
FL2 A 2 EI z
第七章 梁的弯曲变形
例7-2求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。 1
B A
M x
2
q L x
1 q L x 2
qL4 yB 8 EI z
q L x 3 L3 6 EI z
qL3 B 6 EI z
q L x 4 4 L3 x L4 24 EI z
11
第七章 梁的弯曲变形
例7-3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大 挠度。 Fb F M x x 0 xa 1 b a L x A B Fb C M 2 x x F x a L Fb l Fa
第七章 梁的弯曲变形
1
第七章 梁的弯曲变形
§7-2 挠曲线的近似微分方程
1.基本概念
位移的度量
挠曲线－－ 梁变形后各截 面形心的连线
A
C
F B
l
A
y－挠度 θ－转角
挠度向下为正，向上为负.
C
y
B
x
y
C
B
转角绕截面中性轴顺时针转为正， 逆时针转为负。
2
第七章 梁的弯曲变形
变形过大
• 结构性构件破坏 • 非结构构件破坏 • 影响适用性
l
y
边界条件
xL xL x0
B 0
yB 0
FL2 C1 2 EI z FL3 C2 3EI z
FL3 yA 3EI z
Fx 2 EI z y dx C1 x C2 3 Fx 2 EI z y 6 C1 x C2
3
第七章 梁的弯曲变形
§7-2 挠曲线的近似微分方程
2.挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时，得到：
1 M ρ EIz
忽略剪力对变形的影响
1 M ( x) ( x) EI z
4
第七章 梁的弯曲变形
§7-2 挠曲线的近似微分方程
M ( x) EI Z 1
1
d2 y dx 2 dy 2 1 ( ) dx