新教材：2.1 第2课时 等式性质与不等式性质

跟踪训练2 下列命题中一定正确的是
√A.若 a>b，且1a>1b，则 a>0，b<0
B.若 a>b，b≠0，则ab>1 C.若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d D.若a>b，且ac>bd，则c>d
三、利用不等式的性质求范围
例 3 已知 12<a<60,15<b<36.求 a－b 和ab的取值范围.
ab A.d>c
√a b B.d<c
ab C.c>d
解析 因为c<d<0，所以－c>－d>0，
即－1d>－1c>0. 又 a>b>0，所以－ad>－bc， 从而有ad<bc.
二、利用性质比较大小
例 2 若 P＝ a＋6＋ a＋7，Q＝ a＋5＋ a＋8(a>－5)，则 P，Q 的大小关系为
A.P<Q
B.P＝Q
√C.P>Q
D.不能确定
解析 P2＝2a＋13＋2 a＋6a＋7， Q2＝2a＋13＋2 a＋5a＋8， 因为(a＋6)(a＋7)－(a＋5)(a＋8)＝a2＋13a＋42－(a2＋13a＋40)＝2>0， 所以 a＋6a＋7> a＋5a＋8， 所以P2>Q2，所以P>Q.
解 ∵15<b<36，∴－36<－b<－15， ∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45. 又316<1b<115，∴1326<ab<6105，即13<ab<4. 故－24<a－b<45，13<ab<4.
延伸探究 已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围.
解 令a＋b＝μ，a－b＝ν，则2≤μ≤4,1≤ν≤2. 由aa＋ －bb＝ ＝μν，， 解得ab＝ ＝μμ＋ －22 νν， ， ∴4a－2b＝4·μ＋2 ν－2·μ－2 ν＝2μ＋2ν－μ＋ν＝μ＋3ν. 而2≤μ≤4,3≤3ν≤6，则5≤μ＋3ν≤10， ∴5≤4a－2b≤10.
反思 感悟
同向不等式是有可加性与可乘性(需同正)，但不能相减或相除，应用时
要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性.
跟踪训练3 已知0<a＋b<2，－1<b－a<1，则2a－b的取值范围是_－__32_<_2_a_－__b_<_52_.
解析 因为0<a＋b<2，－1<－a＋b<1， 且 2a－b＝12(a＋b)－32(－a＋b)， 结合不等式的性质可得， －32<2a－b<52.
知识点二 不等式的性质
性质 1 2 3
别名 对称性 传递性 可加性
4
可乘性
性质内容 a>b⇔b < a a>b，b>c⇒a>c a>b⇔a＋c > b＋c a>b⇒ac > bc c>0 a>b⇒ac < bc c<0
注意 ⇔ 不可逆 可逆
c的符号
5
同向可加性
a>b
⇒a＋c
>
b＋d
c>d
同向
6 同向同正可乘性
a>b>0⇒ac > bd c>d>0
同向
7
可乘方性
a>b>0⇒an > bn(n∈N，n≥2) 同正
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若a>b，则a－c>b－c.( √ )
2.
a b
>1⇒a>b.(
×
)
3.a>b⇔a＋c>b＋c.( √ )
跟踪训练 1 若1a<1b<0，有下面四个不等式：
①|a|>|b|，②a<b，③a＋b<ab，④a3>b3.
则不正确的不等式的个数是
A.0
B.1
√C.2
D.3
解析 由1a<1b<0 可得 b<a<0，从而|a|<|b|，①②均不正确；
a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，③正确； a3>b3，④正确. 故不正确的不等式的个数为2.
3
3
(2)已知 a>b>0，c<d<0.求证：
a d<
b c.
证明 因为c<d<0，所以－c>－d>0.
所以 0<－1c<－1d. 又因为 a>b>0，所以－ad>－bc>0.
3
所以
－a 3 d>
－cb，即－ 3
3
ad>－
bc，
3
3
两边同乘－1，得
a d<
b c.
反思
感悟 (1)首先要注意不等式成立的条件，在解决选择题时，可利用特值法进行 排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算. (2)应用不等式的性质证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，不 可省略条件或跳步推导.
3 随堂演练
PART THREE
1.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是
A.a>b>－b>－a
√C.a>－b>b>－a
B.a>－b>－a>b D.a>b>－a>－b
解析 由a＋b>0知，a>－b，∴－a<b<0. 又b<0，∴－b>0，∴a>－b>b>－a.
123Baidu Nhomakorabea5
2.已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是
第二章 2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解等式的性质. 2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 等式的基本性质
(1)如果a＝b，那么 b＝a . (2)如果a＝b，b＝c，那么 a＝c . (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么 ac＝bc .
反思 感悟
比较大小的两种方法
作商比较法
依据
a
A>0，B>0，且b >1⇒A>B；
A>0，B>0，且
a b
<1⇒A<B
乘方比较法 A2>B2且A>0，B>0⇒A>B
同号两数比较大小或指数式
应用范围
要比较的两数(式)中有根号
之间比较大小
步骤
①作商 ②变形 ③判断商值与1的大小 ④下结论
①乘方 ②用作差比较法或作商比较法
A.a>b⇒ac2>bc2
B.ac>bc⇒a>b
√C. aa>b<b0⇒1a>1b
D. aab>>b0⇒1a>1b
解析 当c＝0时，A不成立； 当c<0时，B不成立； 当 ab<0 时，a>b⇒aab<abb，即1a>1b，C 成立.
同理可证D不成立.
12345
3.若a>b>0，c<d<0，则一定有
4. a>b，⇔a＋c>b＋d.( × )
c>d
2 题型探究
PART TWO
一、利用不等式的性质判断或证明
例1 (1)给出下列命题： ①若 ab>0，a>b，则1a<1b； ②若a>b，c>d，则a－c>b－d； ③对于正数 a，b，m，若 a<b，则ab<ab＋ ＋mm. 其中真命题的序号是___①__③___.