建立二次函数模型解决实际问题
二次函数解决实际问题
二次函数解决实际问题【文章主题】二次函数解决实际问题【引言】二次函数是高中数学中的重要概念，它可以用来解决各种实际问题。
二次函数不仅具有图像美观和数学特性丰富的优点，还能够帮助我们解决现实生活中的一系列实际问题。
本文将深入探讨二次函数对于解决实际问题的具体应用，并结合示例来进一步加深理解。
【正文】1. 什么是二次函数？二次函数是一种具有形式为y = ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c 为常数，且a不等于0。
它的图像通常呈现出一个开口向上或向下的U型曲线，称为抛物线。
二次函数的解析式和图像特性使得它成为解决实际问题的有力工具。
2. 二次函数的实际问题应用2.1 抛物线的轨迹由于二次函数具有抛物线形状，因此它在物理学中的应用非常广泛。
在炮弹的抛射问题中，我们可以利用二次函数来描述弹道的形状和轨迹，从而计算出炮弹的射程、最高点和最大高度等重要参数。
二次函数还可以应用于天体运动的研究、桥梁设计的拱形以及运动物体的轨迹预测等领域。
2.2 最值问题二次函数在经济学和管理学中也有广泛的应用，尤其是涉及利润、成本和收益等问题。
在销售决策中，我们可以建立一个二次函数模型来找到最大利润所对应的产量或价格，从而为企业的营销活动提供科学依据。
二次函数还能够帮助我们解决最小成本和最大效益的问题，为管理决策提供指导。
2.3 预测与优化问题二次函数在预测和优化问题中也有重要应用。
在金融领域，我们可以利用二次函数来建立股票价格的模型，预测未来趋势和价格波动。
二次函数还可以用于优化问题，例如最佳化分工与生产，最佳投资组合等。
3. 示例分析为了更好地理解二次函数解决实际问题的应用，我们以一个典型例子进行分析。
假设有一块田地，面积为1000平方米，现在需要修建一个矩形花坛在田地中。
我们想要找到面积最大的花坛。
我们需要建立数学模型。
设田地的长为x米，宽为(1000/x)米，花坛的面积为A(x) = x*(1000/x) = 1000米^2。
考点08 二次函数实际应用问题的7大类型-原卷版 2023-2024学年九年级数学考点归纳与解题策略
考点08 二次函数实际应用问题的7大类型1 围栏篱笆图形类问题的解决方法几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．面积的最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为函数，建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围.一般涉及到矩形等四边形问题，把图形的面积公式掌握，把需要用到的边和高等用未知数表示，即可表示出面积问题的二次函数的关系式，通过最值问题的解决方法，即可求出最值等问题，注意自变量的取值范围问题。
2 图形运动问题的解决思路此类问题一般具体分析动点所在位置，位置不同，所求的结果也不一样，一般把每一段的解析式求出来，根据解析式判断函数类型，从而判断图像形状。
3 拱桥问题的解决方法◆1、建立二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．◆2、建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）根据题意建立适当的平面直角坐标系；（2）把已知条件转化为点的坐标；（3）合理设出函数解析式；（4）利用待定系数法求出函数解析式；（5）根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.4 销售问题◆1、销售问题中的数量关系：销售利润=销售收入﹣成本；销售总利润=销售量×单价利润◆2、求解最大利润问题的一般步骤：（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润 = 单件利润×总销量”或“总利润 = 总售价 - 总成本”；（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.◆3、在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．5 投球问题的解决方法此类问题一般需要建立平面直角坐标系，设定好每个点的坐标，分析好题目中的每句话的含义是解决这类问题的关键，有排球、足球、高尔夫球、篮球等，首先根据已知条件确定设定的解析式形式，求出解析式，再根据题意了解问题所求的实质是什么求出即可。
二次函数在实际生活中的应用及建模应用
二次函数的建模 知识归纳：求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．一、利用二次函数解决几何面积最大问题1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
(1)设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米）， 根据题意，得： x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩⎨⎧- （自变量x 的取值范围是关键，在几何类题型中，经常采用的办法是：利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围，例如上式中，18-x ，就是含有自变量的加减代数式，考虑到18-x 是边长，所以边长应该＞0，但边长最长不能超过18，于是有0＜18-x ＜18，0＜x ＜18）（2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9)1(2182=-⨯-=-=a b x 时， 81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。
点评：在回答问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。
2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。
问如何围，才能使养鸡场的面积最大？解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x-）（米），根据题意，得：x x x x y 2521)250(2+-=-=； 又∵500,02500＜x＜＞x x ＞∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值，即当25)21(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)21(42504422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2625平方米。
如何根据实际问题建立二次函数的模型
如何根据实际问题建立二次函数的模型在学习二次函数的有关知识的时候，对于二次函数基础知识的学习告一段落之后，就进行二次函数的有关知识来解决实际问题，这就要求学生要会灵活运用二次函数的基本知识，讲实际问题中的数量关系转化成二次函数中的自变量和函数，建立二次函数模型。
经过多次的讲解和训练，我发现，这是我在教学中的一个教学难点，也是学习中的一个学习难点。
比如我在讲销售利润类型题目的时候，讲过很多类似的题型，可是学生就是不知道如何解相似类型的题型，即使知道怎么解决的，有时候也是丢三拉四，忘记这点，忘记那点，回答问题不全面。
如题：某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元,每星期可卖出150件，如果没见涨价1元（售价不可以高于45元），那么每星期少卖出10件，设每件涨价x元（x为非负整数），每星期销量为y元（1）：求y与x的函数关系及自变量x的取值范围（2）如何定价让每星期的利润最大且销售量较大？每星期最大利润是多少？通过对学生解答情况的分析，主要问题出现在以下几点：第一：第一问中的函数与自变量的关系，很多同学题目都没有看完，就直接把利润当成函数y，结果导致错误。
原因在于学生没有认真审题。
第二：公式的运用，总利润=(售价-进价)*销售量。
有很多学生不记公式，导致做题的时候不知道怎么表示函数关系。
第三：还有同学就是记得公式，但却不知道如何表示销售量，涨价和销售量之间不知道如何建立函数关系。
这就需要平时加强这方面的训练，还要自己总结归纳，才能有所感，有所收获。
第四：在第二问的时候忽略了X是非负整数，这个重要条件。
导致在最后什么都对的情况下，忽略这一条件而功亏一篑。
这也是没有认真审题的原因导致。
第五：在注意X是非负整数的情况下，很多同学又忽略了最后最值得问题，既然X是非负整数，那么当最后X=2或3时，最值就是在自变量为2和3时，函数的值。
而很多同学依然用函数的顶点纵坐标来作为最值，就是大错特错。
通过对学生的考查，我总结出以下几点对策，来帮助学生灵活运用二次函数的基本知识根据实际问题建立二次函数模型，从而达到解决实际问题的目的。
26.3.1 建立二次函数模型解决实际问题 课件(共20张PPT)华东师大版数学九年级下册
4
y x2 2x 5 4
（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？
（2）y x2 2x 5 x 12 Nhomakorabea94
4
9
当x＝1时， y最大 4 .
∴ 喷出的水流距水平面的最大高度是 9 .
D或E的坐标
抛物线的函 数表达式
可设抛物线表达式 为 y＝ax2（a＜0）
顶点在原点 对称轴为y轴 开口向下
问题2
一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示.
现测得当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面
的距离为2.4 m. 这时，离开水面1.5 m处，涵洞
宽ED是多少？是否会超过1 m？
解：设涵洞的横截面所成抛物线表达式为 y＝ax2（a＜0）
∵ AB＝1.6m ， ∴ CB AB 0.8 m 又由题可知OC＝2.4 m， 2
∴点B的坐标是（0.8，－2.4） 代入y＝ax2（a＜0） ，得－2.4＝a×0.82
∴ a 15 因此，函数关系式是 y 15 x2
4
4
问题2
一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示.
现测得当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面
所以涵洞宽ED是 2 10 ，超过1m. 5
练 练习 习
如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12 m、高6 m. 车辆双向
通行，规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2 m的范围内行驶，
并保持车辆顶部与隧道有不少于 1
3
m的空隙.
你能否根据这些要求，建立适当的平面直角
坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧
（1）写出出售该商品每天所得的利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数 关系式. 利润=（售价－进价）×售出件数
二次函数的应用案例总结
二次函数的应用案例总结二次函数是一种常见的数学函数形式，它的形式为：y = ax^2 + bx + c。
在现实生活中，二次函数可以用于解决各种问题，包括物理、经济、工程等领域。
本文将总结几个常见的二次函数应用案例，以展示二次函数的实际应用。
案例一：物体自由落体的高度模型假设一个物体从高处自由落体，忽略空气阻力，我们可以用二次函数来表示物体的高度与时间之间的关系。
设物体初始高度为H，加速度为g，时间为t。
根据物理定律，物体的高度可以表示为：h(t) = -0.5gt^2 + H。
这个二次函数模型可以帮助我们计算物体在任意时间点的高度，并可以用于预测物体何时落地。
案例二：销售收入和定价策略假设一个公司生产和销售某种产品，销售价格为p（单位：元），销售量为q（单位：件）。
二次函数可以用于建立销售收入与定价策略之间的模型。
设定售价的二次函数为：R(p) = -ap^2 + bp + c，其中a、b、c为常数。
我们可以通过分析二次函数的图像、求解极值等方法，确定最佳售价，以使得销售收入最大化。
案例三：桥梁设计中的弧线形状在桥梁设计中，常常需要确定桥梁的弧线形状，以使得车辆在桥上行驶时感到平稳。
二次函数可以用来描述桥梁的曲线形状。
设桥梁的弧线形状为y = ax^2 + bx，其中x表示桥梁长度的一半，y表示桥梁的高度。
通过调整参数a和b，可以得到不同形状的弧线，以满足设计要求。
案例四：市场需求和价格关系分析在经济学中，二次函数可以用于建立市场需求与价格之间的关系模型。
设市场需求量为D，价格为p。
根据经济理论，市场需求可以表示为：D(p) = ap^2 + bp + c，其中a、b、c为常数。
通过分析二次函数的图像、求解极值等方法，可以研究市场需求和价格之间的关系，得出不同价格下的市场需求量。
综上所述，二次函数在物理、经济、工程等领域中具有广泛的应用。
通过建立二次函数模型，我们可以更好地理解和解决各种实际问题。
利用二次函数解决问题步骤
利用二次函数解决问题步骤正文：
二次函数在数学和实际问题中有着广泛的应用。
利用二次函数解决问题的步骤可以帮助我们更好地理解和解决各种实际情况中的数学难题。
下面将介绍利用二次函数解决问题的一般步骤。
1. 确定问题，首先，需要明确问题的背景和要求，明确所要解决的具体问题是什么，例如寻找最大值、最小值，或者确定某个变量的取值范围等。
2. 建立二次函数模型，根据问题的特点，建立二次函数模型。
二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 分别为二次项系数、一次项系数和常数项。
根据问题的特点，确定二次函数的具体形式。
3. 求解问题，利用二次函数的性质和相关知识，对建立的二次函数模型进行分析和求解。
可以通过求导数、配方法、公式法等方式，找到函数的极值点、零点等关键信息。
4. 验证和解释，在求解出结果后，需要对结果进行验证和解释，确保结果符合实际情况，并能够清晰地解释结果的意义和影响。
5. 应用实际问题，最后，将得到的结果应用到实际问题中，解
决实际情况中的数学难题，验证二次函数的有效性和实用性。
通过以上步骤，我们可以利用二次函数解决各种实际问题，提
高数学建模和问题解决能力，为实际生活和工程技术提供有效的数
学支持。
同时也可以更好地理解和掌握二次函数的性质和应用，为
进一步深入学习数学打下坚实的基础。
利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题二次函数是数学中重要的一类函数，它具有许多应用于实际问题的能力。
通过解决二次函数相关的实际问题，我们可以更好地理解和应用这一数学工具。
本文将通过几个实际问题的案例，详细介绍如何利用二次函数解决这些问题。
案例一：抛物线的高度与水平距离的关系假设一个小球以一定的初速度从地面上抛出，并以二次函数描述它的高度与水平距离的关系。
首先，我们可以建立抛物线方程：h = ax² + bx + c其中，h为小球的高度，x为水平距离，a、b、c为常数。
当小球达到最高点时，它的速度为零，根据这一条件，可以求得抛物线的顶点坐标为（-b/2a，c-b²/4a）。
通过这一顶点坐标和给定的初速度，可以解得a、b、c的具体值。
有了这些参数，我们就能方便地计算小球在任意水平距离上的高度。
案例二：曲线拟合与数据预测在实际问题中，我们常常需要通过一些已知数据点来拟合出一个曲线，并利用这个曲线对未知数据进行预测。
二次函数是一种常用的曲线模型，因为它能很好地适应一些非线性的数据分布。
具体做法是，通过最小二乘法来求得二次函数的参数，使得拟合曲线与已知数据点之间的误差最小化。
然后，利用这个拟合曲线，我们就可以对未知数据进行预测。
这一方法在经济预测、气象预报等领域有着广泛的应用。
案例三：最优化问题二次函数也可以应用于最优化问题的求解。
以抛物线形式的二次函数为例，假设我们需要在一条直线上选择一个点，使得它到抛物线的距离最小。
这可以被看作是一个最优化问题，即求解抛物线与直线的最短距离。
我们可以通过求解二次函数和直线的交点来解决这个问题。
具体的求解过程利用了二次函数的性质和一些微积分的知识。
总结：通过上述几个案例，可以看出二次函数在实际问题中的广泛应用。
它可以用于描述抛物线的运动、拟合非线性数据以及求解最优化问题等。
通过解决这些实际问题，我们不仅巩固了对二次函数的理解，也提升了数学在实际应用中的能力。
因此，在学习和应用二次函数时，我们应该注重理论知识和实际问题的结合，这样才能更好地掌握和利用二次函数。
时建立二次函数的模型解决实际问题详解演示文稿
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第2课时 建立二次函数的模型解决实际问题
► 学习目标2 二次函数和几何图形的综合题 4．如图 21－4－7，二次函数 y＝x2－4x＋3 的图象交 x
轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，则△ABC 的面积为( C ) A．6 B．4 C．3 D．1
[解析] 连接MN，与抛物线交于P点，根据两点之间线段最短得到此
时PM＋PN最短，设直线MN的关系式为y＝kx＋b，求出直线MN的关
系式，与抛物线关系式联立组成方程组，求出方程组的解得到x与y
的值，此时可以得到两组x与y的值，只有位于线段MN上的点，才符合
要求，因而由此可确定P点的坐标．
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x 15 20 25 30
38
40 45 50
y 10 约 27.58 40 约 48.20 约 49.10 约 47.12 40 约 26.99
(2)确定采用哪种进货方案能让厂家获得最大利润，
并求出最大利润．
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第2课时 建立二次函数的模型解决实际问题
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第2课时 建立二次函数的模型解决实际问题 [解析] (1)在所给定的平面直角坐标系中通过描点、连线等步骤画 出图形，根据图象判断该函数为二次函数，再将三点坐标代入其 中即可求得二次函数的关系式；
A．8 米 B．6 米 C．4 米 D．1 米
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第2课时 建立二次函数的模型解决实际问题
[解析] 由于 y＝－2x2＋8x＝－2(x－2)2＋8，所以抛物线的顶 点坐标是(2，8)，因此，水喷出的最大高度是 8 米．
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构建函数模型解决实际问题
高中数学：构建函数模型解决实际问题角度1 构造一次函数、二次函数模型某创业团队拟生产A ，B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比(如图①)，B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图②)．(注：利润与投资额的单位均为万元)(1)分别将A ，B 两种产品的利润f (x )，g (x )表示为关于投资额x 的函数．(2)该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A ，B 两种产品的生产，问：当B 产品的投资额为多少万元时，生产A ，B 两种产品能获得最大利润？最大利润为多少？解：(1)由A 产品的利润与投资额成正比，可设f (x )＝kx ，将点(1,0.25)代入，得f (x )＝14x (x ≥0)．由B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比，可设g (x )＝t x ，将点(4,2.5)代入，得g (x )＝54x (x ≥0)．(2)设B 产品的投资额为x 万元，则A 产品的投资额为(10－x )万元， 创业团队获得的利润为y 万元，则y ＝g (x )＋f (10－x )＝54x ＋14(10－x )(0≤x ≤10)．令x ＝t ，则y ＝－14t 2＋54t ＋52(0≤t ≤10)， 即y ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋6516(0≤t ≤10)， 当t ＝52，即x ＝6.25时，y 取得最大值4.062 5.答：当B 产品的投资额为6.25万元时，创业团队获得最大利润，获得的最大利润为4.062 5万元．角度2 构造指数函数、对数函数模型候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q 10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．解：(1)设DQ ＝x m(x ＞0)，则AQ ＝(x ＋20)m.∵QD DC ＝AQ AP ，∴x 30＝x ＋20AP ，∴AP ＝30(x ＋20)x. ∴S ＝12AP ·AQ ＝15(x ＋20)2x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋400x ＋40≥1 200， 当且仅当x ＝20时取等号，∴DQ 的长度为20 m 时，S 最小，S 的最小值为1 200 m 2.(2)∵S ≥1 600，∴由(1)整理得3x 2－200x ＋1 200≥0.解得0＜x ≤203或x ≥60，即要使S 不小于1 600 m 2，则DQ 的长度范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，203∪[60，＋∞)． 角度4 构造分段函数模型(2019·湖北孝感八校联考)共享单车是城市慢行系统的一种创新模式，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h (x )＝⎩⎨⎧ 400x －12x 2，0＜x ≤400，80 000，x ＞400，其中x 是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本． (1)试将自行车厂的利润y (单位：元)表示为关于月产量x 的函数．(2)当月产量为多少辆时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？解：(1)依题设知，总成本为(20 000＋100x )元，则y ＝⎩⎨⎧ －12x 2＋300x －20 000，0＜x ≤400，60 000－100x ，x ＞400.(2)当0＜x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000，故当x ＝300时，y max ＝25 000；当x ＞400时，y ＝60 000－100x 是减函数，故y ＜60 000－100×400＝20 000.所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25 000元．1.一、二次函数模型问题的2个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法．2．指数函数、对数函数两类函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．3．“y＝x＋ax(a＞0)”型函数模型的求解策略(1)“y＝x＋ax”型函数模型在实际问题中会经常出现．解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y＝x＋ax”型函数模型．(2)求函数解析式要确定函数的定义域．对于y＝x＋ax(a＞0，x＞0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，此时可借用导数来研究函数的单调性．4．分段函数模型的求解策略(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．(1)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(B) A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故该股民这支股票略有亏损．(2)(2019·福建三明第一中学月考)某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可以近似地表示为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500)，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．①当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？②该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？解：①当x ∈[200,300]时，该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12(x －400)2， ∴当x ∈[200,300]时，S ＜0，因此，该项目不会获利．当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，∴政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损．②由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：y x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144)，12x －200＋80 000x ，x ∈[144，500).当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，∴当x ＝120时，y x 取得最小值240.当x ∈[144,500)时，y x ＝12x －200＋80 000x ≥2x 2·80 000x －200＝400－200＝200，当且仅当x 2＝80 000x ，即x ＝400时，y x 取得最小值200.∵240＞200，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．。
2024年华师版九年级下册数学第26章二次函数第3节实践与探索第1课时建立二次函数模型解决实际问题
感悟新知
2. 一般步骤
知1－讲
(1)审：仔细审题，理清题意；
(2)找：找出问题中的变量和常量；
(3)列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，
建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题；
(4)解：依据已知条件，借助二次函数的表达式、
图象和性质等求解实际问题；
(5)检：检验结果，得出符合实际意义的结论.
解：如图26.3-2，过点C作CE⊥AB于点E，设CD＝x m， 梯形储料场ABCD的面积为S m2，则BC＝(12－x)m. 易得四边形ADCE为矩形， ∴CD＝AE＝x m，∠DCE＝∠CEB＝90°， ∴∠BCE＝∠BCD－∠DCE＝30°. 在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，
∠BCE＝30°，∴
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
感悟新知
(1)请写出y与x之间的函数表达式.
知1－练
解：y＝50－x2(0 ≤ x ≤ 20).
(2)当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2 250元？
由题意得
50－
x 2
(40＋x)＝2 250，
解得x1＝10，x2＝50.
销售量×单件利润= 总利润
∵ x＋40 ≤ 60，∴ x ≤ 20，∴ x＝10.
感悟新知
知1－练
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大 值为多少？
感悟新知
解：设矩形养殖场的总面积为 S，
知1－练
由(1)得 S＝3x(8－x)＝－3(x－4)2＋48，
BE＝12BC＝
6－
1 2
x
m，
感悟新知
∴ AD＝CE＝
3BE＝
6
3－
3 2
x
m，
时建立二次函数模型解决实际问题PPT课件
问题：如何建立直角坐标系？
y
解：如图建立直角坐 标系.
l
o
x
问题：解决本题的关键是什么？ 解：建立合适的直角坐标系.
解：如图建立直角坐标系.
y
根据题意可设该拱桥形成
的抛物线的解析式为
y=ax2+2.
∵该抛物线过(2,0),
l
x
o
x
∴0=4a+2，a= 1 2
y 1 x2 2. 2
解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，A点坐标为(0， 1.25)，顶点B坐标为(1，2.25).
y x 12 2.25
数学化
y ●B(1,2.25) A
(0,1.25)
●
D(-2.5,0) o
●x
C(2.5,0)
设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式 为：y=－ (x-1)2+2.25. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理，点 D的坐标为(-2.5,0) .
导入新课
回顾与思考 问题：解决生活中面积的实际问题时，你会用到什么知识？ 所用知识在解决生活中问题时，还应注意哪些问题？
讲授新课
二次函数在建筑问题中的应用
问题：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
问题引导 （1）求宽度增加多少需要什么数据？ （2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？ （3）如何求这组数据？需要先求什么？ （4）图中还知道什么？ （5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
二次函数的应用于农业问题
二次函数的应用于农业问题在农业领域，数学模型的应用越来越广泛。
而二次函数作为一种常见的数学模型，也被广泛应用于解决农业问题。
本文将探讨二次函数在农业上的应用，包括农作物产量、施肥量以及农田面积等方面。
一、农作物产量的二次函数模型农业中最常见的一个问题就是如何估计农作物的产量。
产量受到多种因素的影响，如阳光、温度、土壤肥力等。
而二次函数可以用来建立农作物产量与这些因素之间的关系。
例如，我们可以使用二次函数来描述土壤湿度对水稻产量的影响。
假设水稻产量（Y）与土壤湿度（X）的关系可以由以下二次函数表示：Y = aX^2 + bX + c其中a、b、c为待确定的常数。
通过采集不同土壤湿度对应的水稻产量数据，可以利用最小二乘法求解出a、b、c的值，从而建立起土壤湿度与水稻产量之间的二次函数模型。
二、施肥量的二次函数模型合理的施肥量对于作物的生长和产量有着重要的影响。
而二次函数也可以应用于农业中的施肥问题。
以玉米为例，我们可以使用二次函数来研究施肥量与玉米产量的关系。
假设玉米产量（Y）与施肥量（X）的关系可以由以下二次函数表示：Y = aX^2 + bX + c同样地，通过采集不同施肥量对应的玉米产量数据，可以利用最小二乘法求解出a、b、c的值，从而建立起施肥量与玉米产量之间的二次函数模型。
根据该模型，农民可以合理调整施肥量，以最大程度地提高玉米产量。
三、农田面积的二次函数模型在规划农田面积时，二次函数模型也可以发挥作用。
合理的农田面积规划可以提高土地的利用率和农作物的产量。
假设某地的农田面积（Y）与农民数量（X）的关系可以由以下二次函数表示：Y = aX^2 + bX + c通过收集不同农民数量对应的农田面积数据，可以利用最小二乘法求解出a、b、c的值，从而建立起农田面积与农民数量之间的二次函数模型。
农民在规划农田面积时可以根据该模型进行决策，以满足农业发展的需求。
总结：二次函数作为一种常见的数学模型，被广泛应用于农业领域。
用二次函数解决生活问题
用二次函数解决生活问题二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的常见的数学模型．将实际问题中的变量关系转化成二次函数后，就可以利用二次函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型．一、以现实的生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等“抛物线”的探究，建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数确定二次函数的表达式例1 如图1，一位运动员在距篮圈中心水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运动的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．求抛物线的关系式．分析：由函数图象的对称轴为y轴，故可设篮球运行的路线所对应的函数关系式为y=ax2+k（a≠0，k≠0）．解：设函数关系式为y=ax2＋k（a≠0），由题意可知，A、B两点坐标为（1.5，3.05），（0，3.5）．则21.5 3.053.5.a kk⎧+=⎨=⎩，解得a=－0.2，∴抛物线对应的函数关系式为y=-0.2x2＋3.5．例2 如图2，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米（即MO＝6米），小孔顶点N距水面4.5米（NC＝4.5米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图3中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．图2图3分析：观察图3的图象可知抛物线的对称轴为y轴，顶点为（0，6），故可设函数关系式为y=ax2＋6．又因为AB＝20，所以OB＝10，故B（10，0）又在抛物线上，可代入求值．解：设抛物线所对应的函数关系式为y=ax2＋6．依题意，得B（10，0）．∴a×102＋6＝0．解得a=－0.06．即y=－0.06x2＋6．当y=4.5时，－0.06x2＋6=4.5，解得x=±5．∴DF＝5，EF＝10．即水面宽度为10米．二、在几何图形中，利用图形的面积、相似三角形等有关知识获得y与x的关系式例3 如图4，用长为l2 m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C=∠D=∠E．设CD=DE=xm，五边形ABCDE的面积为Sm2．问当x取什么值时，S最大?并求出S的最大值．分析：本题可通过对图形的适当分割，转化为比较熟悉的三角形、特殊四边形的面积问题来解决．解：连结EC，作DF⊥EC，垂足为F．∵∠DCB=∠CDE=∠DEA，∠EAB=∠CBA=90°，∴∠DCB=∠CDE=∠DEA=120°．∵DE=CD，∴∠DEC=∠DCE=30°，∴∠CEA=∠ECB=90°．∴四边形EABC为矩形，∴∴AE=6－DE =6－x，DF=12x，EC=x3．∴S =)60(364332<<+-x x x ． 故当4)433(236=-⨯=x 时，312=最大S m 2． 关于二次函数的实际应用，体现在生活中的方方面面。
实际问题与二次函数—建立二次函数模型解决实际问题(教材配套课件)
到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
典例精析
例1 图中是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离
水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增
加了多少？
解法一: 如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建
立平面直角坐标系.
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2
∴-4=100a，a=-0.04
∴y=-0.04x2 .
C
A
O
h
20 m
D
x
B
在“拱桥类”问题中，一般知道拱高和拱长，这时可根据抛物线的对
称性建立以对称轴为y轴的坐标系，然后根据所建立的坐标系，确定抛物线
上一些点的坐标.若顶点在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2；若
顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2+k.
面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）
2
近似满足函数关系y＝﹣ x + x+c，其图象如
图所示．已知铅球落地时的水平距离为10m．
（1）求铅球出手时离地面的高度；
（2）在铅球行进过程中，当它离
地面的高度为 m时，求此时铅球
的水平距离．
2
解：（1）根据题意，将（10，0）代入y＝﹣ x +
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即抛物线过点(2,-2)
∴-2=a×22
∴a=-0.5
∴这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5x2 .
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:
-3=-0.5x² 解得x=± ，这时水面宽度为2 m
22.3.3拱桥问题和运动中的抛物线
22.3.3——拱桥问题和运动中的抛物线学习目标1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．(重点)2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．(重、难点)一、利用二次函数解决实物抛物线形问题建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？例1、如图是一座截面图为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米.（1）以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立坐标系，求出抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若水位上升1.5米时，求此时的水面宽度；（3）在（1）的条件下，若水位下降1米时，水面宽度比初始时增加多少？例2、如图1是一座抛物线型拱桥C1侧面示意图．水面宽AB与桥面长CD均为24m，点E在CD上，DE=6m，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．(1)求桥拱顶部O离水面的距离；(2)如图2，在(1)的条件下，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆是形状相同的抛物线C2，C3，其最低点与桥面CD的距离均为1m.①求出C2的解析式；②求拱桥抛物线C1与钢缆抛物线C2的竖距离的最小值．二、利用二次函数解决运动中抛物线型问题例3、如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？例4、跳绳运动中，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小涵与小军将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小涵拿绳子的手的坐标是(0,1).身高1.50m的小丽站在绳子的正下方，且距小涵拿绳子的手1m时，绳子刚好经过她的头顶．(1)求绳子所对应的抛物线的解析式(不要求写自变量的取值范围)；(2)身高1.70m的小兵，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？(3)身高1.64m的小伟，站在绳子的正下方，他距小涵拿绳子的手s m，为确保绳子通过他的头顶，请直接写出s的取值范围．例5、飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数解析式是s=60t−1.2t2.飞机着陆后滑行______米才能停下来．变式训练：1.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数表达式为s=20t−5t2，当遇到紫急情况时，司机急刹车，但由于惯性，汽车要滑行______s才能停下来．t2，飞机着陆2.飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式为y=60t−65至停下来期间的最后10s共滑行______m.课堂练习：1.军事演习在平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足y＝－x2＋10x.经过秒炮弹到达它的最高点，最高点的高度是米，经过秒炮弹落到地上爆炸了．2.烟花厂为春节特别设计了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度ℎ(m)关于飞行时间t(s)的函数表达式为ℎ=−3t2+12t+30，若这种礼炮在上升到最高点引爆，则从点火升空到引爆需时______s.23.某一型号飞机着陆后滑行的距离y(m)与滑行时间x(s)之间的函数关系式是y＝60x－1.5x2，该型号飞机着陆后滑行____ _m才能停下来．4.如图，庄子大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需( )A. 18秒B. 36秒C. 38秒D. 46秒5.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度ℎ(米)与小球的运动时间t(秒)之间的关系式是ℎ=30t−5t2(0≤t≤6)，若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛出______秒时，两个小球在空中的高度相同．6.物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度ℎ(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是40m②小球抛出3s后，速度越来越快③小球抛出3s时速度为0④小球的高度ℎ=30m时，t=1.5s其中正确的是( )A. ①②③B. ①②C. ②③④D. ②③7.一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为__ _米．8.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式；(不要求写出自变量x的取值范围)(2) 当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．。
二次函数的模型建立与解决实际问题
二次函数的模型建立与解决实际问题二次函数是数学中重要的一个概念，也被广泛应用于实际问题的建模和解决。
本文将介绍二次函数的基本形式、模型的建立方法，以及如何利用二次函数解决实际问题。
一、二次函数的基本形式二次函数一般可以写成以下形式：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
其中，a不等于0，否则称为一次函数。
二次函数的图像一般是一个抛物线。
二、二次函数的模型建立方法建立二次函数模型的关键在于确定函数中的系数a、b、c。
常用的方法包括根据已知点建立方程、根据已知的函数值建立方程，以及根据图像特征建立方程等。
下面以几个具体的例子来说明。
例1：已知抛物线上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求二次函数的模型。
由于已知两个点的坐标，可以建立两个方程：y1 = ax1^2 + bx1 + cy2 = ax2^2 + bx2 + c可以解这个方程组得到a、b、c的值，从而得到二次函数的模型。
例2：已知二次函数过定点(0, c)和与正轴交于点C(x, 0)，求二次函数的模型。
由于已知两个点的坐标，可以建立两个方程：c = a * 0^2 + b * 0 + c0 = a * x^2 + b * x + c可以解这个方程组得到a、b、c的值，从而得到二次函数的模型。
例3：已知抛物线的顶点为V(h, k)，求二次函数的模型。
由于已知顶点的坐标，可以将二次函数写成顶点形式：y = a(x - h)^2 + k其中，h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。
三、利用二次函数解决实际问题二次函数的模型可以应用于多个实际问题的解决中，例如抛物线的轨迹问题、最值问题、运动问题等。
在抛物线的轨迹问题中，可以根据已知的条件建立二次函数模型，通过求解二次函数的顶点、判别式、根等，得到抛物线的特征，进而解决具体的问题。
在最值问题中，可以根据已知的限制条件建立二次函数模型，通过求解二次函数的最值，得到问题的最优解。
人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数第三课时课件
6．(15 分)隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为 8 m， 宽为 2 m，隧道最高点 P 位于 AB 的中央且距地面 6 m，建立如图所示 的坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆货车高 4 m，宽为 2 m，能否从该隧道内通过，为什么？
(3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什 么？
解：设大孔对应的抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2＋6. 依题意，得B(10，0)，∴a×102＋6＝0.解得a＝－0.06.即y＝－ 0.06x2＋6.当y＝4.5时，－0.06x2＋6＝4.5.解得x＝±5，∴DF＝ 5，EF＝10.即水面宽度为10米
10．(14 分)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到
看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的
手间距为4 m，距地面均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿
绳子的手的水平距离1 m，2.5 m处．绳子在甩到最高处时刚
好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5 m，则学生 m
C．1.66 m
D．1.67 m
由题意可知，抛物线经过点 A(0，2)，P(4，6)，B(8，2)．设抛物线的 方程为 y＝ax2＋bx＋c，将 A，P，B 三点的坐标代入抛物线方程，解 得抛物线解析式为 y＝－14x2＋2x＋2
(2)令 y＝4，则有－14x2＋2x＋2＝4.解得 x1＝4＋2 2，x2＝4－2 2，∵ |x2－x1|＝4 2＞2，∴货车可以通过
D．12.1 m
2．(5分)某幢建筑物，从10 m高的窗口A用水管向外喷水，
喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面与地面垂直)．如果抛物
线的最高点M离墙1 m，离地面 m(如图所示)，则水流落地点
二次函数解决实际问题归纳
二次函数解决实际问题归纳及练习一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤：1、基本思路：理解问题→分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→用函数关系式么最大（最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②问的求解依靠配方法或最值公式而不是解方程。
（1）利用二次函数解决利润最大问题此类问题围绕总利润=单件利润×销售总量，设未知数时，总利润必然是因变量y，而自变量有两种情况：①自变量x是所涨价多少或降价多少；②自变量x是最终销售价格。
例：商场销售M型服装时，标价75元/件，按8折销售仍可获利50%，现搞促销活动，每件在8折的基础上再降价x元，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x(x﹥0)①求M型服装的进价②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。
（2）利用二次函数解决面积最值例：已知正方形ABCD边长为8，E、F、P分别是AB、CD、AD上的点（不与正方形顶点重合），且PE⊥PF，PE=PF问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小，最小面积多少？1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？2：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m，顶部C离地面的高度为4.4m，现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.7m，装货宽度为2.4m。
这辆汽车能否顺利通过大门?若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由.3、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？4、某公司试销某种“上海世博会”纪念品,每件按30元销售，可获利50％，设每件纪念品的成本为a 元。
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解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，A点坐标为(0， 1.25)，顶点B坐标为(1，2.25).
y x 12 2.25
数学化
y ●B(1,2.25) A
(0,1.25)
●
D(-2.5,0) o
●x
C(2.5,0)
设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式 为：y=－ (x-1)2+2.25. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理，点 D的坐标为(-2.5,0) .
A.50m
B.100m
C.160m
D.200m
2.如图，济南建邦大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的 表达式为y= ax²+bx,小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀 速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时 和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部 分的桥面OC共需3_6____秒.
根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.
当堂练习
1.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组 成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根 不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图）， 则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（C ）
学练优九年级数学上（HK） 教学课件
21.4 二次函数的应用
第2课时 建立二次函数模型解决实际问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.能运用二次函数的知识分析解决相关实际问题；（重点） 2.经历探索解决实际问题的过程，进一步获得利用数学方法解决
实际问题的经验； （难点） 3.感受数学建模思想和数学的应用价值.（难点）
x
D B
∵该抛物线过(10,-4),
∴-4=100a，a=-0.04
∴y=-0.04x2.
方法归纳
1.用二次函数解决实际问题，首先要建立好模型，而且所建 的坐标系要是最合适的，不然事倍功半；
2.根据建立好的坐标系求出该函数的解析式； 3.在实际问题中要注意自变量的取值范围内.
典例精析 例：一公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装 一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的 喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为 使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到 距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少 要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？
导入新课
回顾与思考 问题：解决生活中面积的实际问题时，你会用到什么知识？ 所用知识在解决生活中问题时，还应注意哪些问题？
讲授新课
二次函数在建筑问题中的应用
问题：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
问题引导 （1）求宽度增加多少需要什么数据？ （2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？ （3）如何求这组数据？需要先求什么？ （4）图中还知道什么？ （5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？
课堂小结
建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤: (1)根据题意建立适当的平面直角坐标系； (2)把已知条件转化为点的坐标； (3)合理设出函数解析式； (4)利用待定系数法求出函数解析式； (5)根据求得的解析式进一步分析,判断并进行有关的计算.
“拱桥”问题
问题：如何建立直角坐标系？
y
解：如图建立直角坐 标系.
l
oHale Waihona Puke x问题：解决本题的关键是什么？ 解：建立合适的直角坐标系.
解：如图建立直角坐标系.
y
根据题意可设该拱桥形成
的抛物线的解析式为
y=ax2+2.
∵该抛物线过(2,0),
l
x
o
x
∴0=4a+2，a= 1 2
y 1 x2 2. 2
∵水面下降1m，即当y=-1时， x 6 ,
∴水面宽度增加了 2 6 4 米.
练一练
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱 顶距离水面 4 m．
如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解
析式；
C A
y O
h 20 m
解：设该拱桥形成的抛
物线的解析式为y=ax2.