电磁场与电磁波-9解读

第九章习题解答

9.1 设元天线的轴线沿东西方向放置，在远方有一移动接收台停在正南方而收到最大电场强度，当电台沿以元天线为中心的圆周在地面移动时，电场强度渐渐减小，问当电场强

时，电台的位置偏离正南多少度？ 解：元天线（电基本振子）的辐射场为

jkr j

θ-=E e 可见其方向性函数为(),sin f

θφθ=，当接收台停在正南方向（即090θ=）时，得

到最大电场强度。由

sin θ=

得 045θ=

此时接收台偏离正南方向045±。

9.2 上题中如果接收台不动，将元天线在水平面内绕中心旋转，结果如何？如果接收天线也是元天线，讨论收发两天线的相对方位对测量结果的影响。

解： 如果接收台处于正南方向不动，将天线在水平面内绕中心旋转，当天线的轴线转至沿东西方向时，接收台收到最大电场强度，随着天线地旋转，接收台收到电场强度将逐渐变小，天线的轴线转至沿东南北方向时，接收台收到电场强度为零。如果继续旋转元天线，收台收到电场强度将逐渐由零慢慢增加，直至达到最大，随着元天线地不断旋转，接收台收到电场强度将周而复始地变化。

当接收台也是元天线，只有当两天线轴线平行时接收台收到最大电场强度；当两天线轴线垂直时接收台收到的电场强度为零；当两天线轴线任意位置，接收台收到的电场强介于最大值和零值之间。

9.3 如题9.3图所示一半波天线，其上电流分布为()

1

1cos 2

2m I I kz z ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭

（1）求证：当0r l >>时，

020

cos cos 22sin jkr

m z I e A kr πθμπθ

-⎛⎫ ⎪⎝⎭=

⋅

（2）求远区的磁场和电场；

（3）求坡印廷矢量； （4）已知

220

cos cos 20.609sin d π

πθθθ

⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎰

，求辐射电阻； （5）求方向性系数。

题9.3（1）

图

解：（1）沿z 方向的电流z I 在空间任意一点

()0,P r θ产生的矢量磁位为

()/2

00/2

,4l jkr z z l I e A r dz r μθπ

--=⎰

假设0r l >>，则 1

020cos cos r r z r r z θ

θ

≈-⎧⎨≈+⎩

120

111r r r ≈≈ 将以上二式代入()0,z A r θ的表示式得

()()()()()

()()()12000

/2000000/2cos cos /20000/2cos cos 00

cos cos ,4cos cos 4cos 4l jkr jkr m

z l jk r z jk r z l m l jkr jkz jkz m kz e kz e I

A r dz dz r r kz e

kz e I dz

r r I e kz e e dz r θθθθ

μθπ

μπμπ------+--⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪=+⎨⎬

⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩

⎭⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰⎰⎰

()()()()(){}()()0

00

/2

000

/200

022000

,2cos cos cos 4cos 1cos cos 1cos 41cos cos cos 1cos cos cos 224sin sin cos 2l jkr m z l jkr m jkr m jkr m I A r e kz kz dz r I e kz kz dz r I e r I e kr μθθπμθθπππθθθθμπθθπμπ----=⎡⎤⎣⎦=++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭=+⎢

⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦=

⎰⎰2cos 2sin θθ

⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由此得证。

（2）远区的磁场和电场为

002000

001

sin 1

1sin sin r

r

r r r r A r A r A θφ

θ

φ

μθμθθφθ=

∇⨯∂∂∂=

∂∂∂H A

e e e

而 cos sin 0

r z z A A A A A θφθ

θ==-=

得

()0000001sin cos cos 22sin z

jkr m H r A r r I e j r ϕθμπθπθ-∂

=

∂⎛⎫ ⎪

⎝⎭=⋅ 0,0r H H θ==

由麦克斯韦方程 1

j ωε

=∇⨯E H

得

000

cos cos 22sin jkr m E H I e j

r θφ

ηπθηπθ

-=⎛⎫

⎪⎝⎭=⋅

0,0r E E φ==

由远区场的表示式，可得其方向性函数为 ()cos cos 2sin f πθθθ

⎛⎫ ⎪⎝⎭=

在极坐标系下E 面和H 面的方向图如题9.3（2）图所示。

E 面方向图 E 面方向图 题9.3（2）图

（3）平均坡印廷矢量为 1Re 2av *⎡⎤=

⨯⎣⎦S E H 2

2

2

022201122cos cos 28sin m E H E I r θφθ

ηπθηπθ

==⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅S

（2） 由总辐射功率

y

y