齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

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齐次与非齐次方程

齐次与非齐次方程方程是数学研究的基础，并且在各个领域中都起着重要作用。

在代数方程中，可以将其分为齐次方程和非齐次方程。

一、齐次方程齐次方程是指方程中所有项的次数均相同的方程，例如：ax^n + bx^n-1 + cx^n-2 + … + px + q = 0其中n为常数，a、b、c、…、p和q为系数。

解齐次方程的方法是假设方程有一个非零解，然后通过一系列的代数运算找到方程的通解。

例如，对于一次齐次方程ax + by = 0，可以假设x = 1并求解出y = -a/b，这就是方程的通解。

对于高次齐次方程，可以使用特征根法来解。

假设ax^n + bx^n-1 + cx^n-2 + … + px + q = 0有一个非零解y = x^m，其中m为常数。

将y 代入原方程中，得到：a(x^m)^n + b(x^m)^n-1 + c(x^m)^n-2 + … + px^m + q = 0化简后可得到：a + b/x + c/x^2 + … + p/x^(n-m-2) + q/x^(n-m) = 0由于x ≠ 0，所以方程可继续化简为：a + b/x + c/x^2 + … + p/x^(n-m-2) + q/x^(n-m) = 0这是一个关于x的齐次方程，可以通过求解它的特征根来得到方程的通解。

二、非齐次方程非齐次方程是指方程中至少有一个项的次数与其他项不同的方程，例如：ax^n + bx^n-1 + cx^n-2 + … + px + q = f(x)其中f(x)为非零函数。

求解非齐次方程的常用方法是通过特解和通解相加得到方程的完整解。

首先，找到一个特解y1，使得f(x) = q，然后将特解代入原方程得到齐次方程。

求解齐次方程得到通解y2，将特解和通解相加即可得到非齐次方程的解。

具体步骤如下：1. 求解齐次方程ax^n + bx^n-1 + cx^n-2 + … + px + q = 0的通解y2。

2. 找到一个特解y1，满足f(x) = q。

齐次线性方程组与非齐次线性方程组

齐次线性方程组与非齐次线性方程组线性方程组是数学中经常遇到的一类问题，其中，常常会涉及到齐次线性方程组和非齐次线性方程组。

本文将介绍齐次线性方程组和非齐次线性方程组的定义、特点以及解的求解方法。

一、齐次线性方程组（Homogeneous Linear Equations）齐次线性方程组是指系数矩阵中各行线性组合的和为零的线性方程组。

一般形式为：A_11x_1 + A_12x_2 + ... + A_1nx_n = 0A_21x_1 + A_22x_2 + ... + A_2nx_n = 0...A_m1x_1 + A_m2x_2 + ... + A_mnx_n = 0其中，A_ij为系数矩阵的元素，x_i为未知数。

齐次线性方程组的特点是零解的存在。

零解是指将所有未知数都取零时，方程组成立。

除了零解外，齐次线性方程组可能还存在非零解。

对于齐次线性方程组的求解可以采用矩阵的方法，即对系数矩阵进行行变换，将其化为行阶梯型矩阵或行最简形矩阵，然后根据矩阵的特性来求解未知数。

具体的求解方法不再赘述。

二、非齐次线性方程组（Non-Homogeneous Linear Equations）非齐次线性方程组是指系数矩阵中各行线性组合的和不为零的线性方程组。

一般形式为：A_11x_1 + A_12x_2 + ... + A_1nx_n = b_1A_21x_1 + A_22x_2 + ... + A_2nx_n = b_2...A_m1x_1 + A_m2x_2 + ... + A_mnx_n = b_m其中，A_ij为系数矩阵的元素，x_i为未知数，b_i为常数向量。

非齐次线性方程组的特点是除了零解外，可能还存在其他解。

当方程组存在解时，称其为有解方程组。

对于非齐次线性方程组的求解，可以将其转化为齐次线性方程组的形式来求解。

具体方法是将方程组转化为增广矩阵，然后对增广矩阵进行行变换，化简为行阶梯型矩阵或行最简形矩阵。

齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】 r (A )= r <n ,若AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足：(1) ,,,n r -12ξξξ线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为AX = 0的通解。

其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）满足()r A n =，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.（注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.）注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。

由上述定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1）当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =；（3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解；（4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。

1、求AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）通解的三步骤（1）−−→A C 行（行最简形）; 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;(3) 写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.【例题1】解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵12472315071014312143001641367124726000743A --⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式：23153121327041361247A --==≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====.注：此法仅对n 较小时方便【例题2】解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵11111321130122654331A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1412(5)(3)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→11111012260122601226⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦2123242(1)(1)r r r r r r r ++⨯-+-⨯−−−−→10115012260000000000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩（其中3x ，4x ，5x 为自由未知量）令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-，于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）. 二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解（,()m n r r ⨯=A A ）用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关1112111222221()00rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b 行其中 0(1,2,,),ii c i r ≠= 所以知1(1)0r d +≠时,原方程组无解.1(2)0,r d r n +==时,原方程组有唯一解. 1(3)0,r d r n +=<时,原方程组有无穷多解.其通解为01122n r n r k k k --=++++X ξξξη，12,,,n r k k k -为任意常数。

非齐次线性方程组的通解

非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*）。

非齐次线性方程组是常数项不全为零的线性方程组。

非齐次线性方程组解法非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。

若
R(A)R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于C1,C2……，Cn-r，即可写出含n-r个参数的通解。

非齐次线性方程组解的判别如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，方程组无解；如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组有解。

在有解的情况下，如果系数矩阵的秩等于未知数的个数，非齐次线性方程组有唯一解。

如果系数矩阵的秩小于未知数的个数，非齐次线性方程组有无穷多解，如果有无穷多解，先求所对应齐次线性方程组的基础解系，再求出非齐次线性方程组的一个特解。

由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其对应的齐次线性方程组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解（通解）可表示为：对应齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的特解。

(完整版)线性代数第四章线性方程组(自考经管类原创)

第四章线性方程组
知识结构
线性方程组
齐次线性方程组非齐次线性方程组
4.1 齐次线性方程组
2
1.齐次线性方程组的解
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2 a2n xn
0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
求齐次线性方程组通解的方法
（1）将系数矩阵A进行初等行变为行最简形矩阵T （2）写出Ax=0的同解方程组Tx=0 （3）确定自由未知量（n-r个），并用自由未知量表示其他未知量（4）依次令其中某个自由未知量为1，其他自由未知量为0，求相应的特殊解，那么基础解系即为所有特殊解的全体（5）特殊解的线性组合即为通解，此处写明组合系数为任意实数
下面给出非齐次线性方程组解的性质
(1)设x 1及x 2都是Ax b的解,则x 1 2为对应的齐次方程Ax 0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
即x 1 2满足方程Ax 0.
(2) 设x 是方程 Ax b的解, x 是方程 Ax 0的解,则x 仍是方程 Ax b 的解.
a21x1 LLL
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LLL
b2 L
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
简写成矩阵形式AX=b，其中
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
例1 判断t为何值时，方程组无解
-x1 4x2 x3 1 tx2 3x3 3

线性代数非齐次方程求解

为Rn的子空间
4. 基础解系（最大无关组）
（1）定义：W 的一组基.
（2）构成条件：
1o 1, 2, …, s 线性无关; 2o AX = 0的任一解向量均可由1, 2, …, s 线性表出则称1, 2, …, s为AX = 0 的一个基础解系.
（3）求法（含在证明中）：
定理1 设R(A) = r < n, 则AX = 0有基础解系且所含
相等.
设1, 2, …, s 是AX = 0基础解系， 1, 2, …, s与
之等价.
1, 2, …, s可由1, 2, …, s 线性表出，所以是AX
= 0的解；
AX = 0的任一解X 可由1, 2, …, s 线性表出，又1, 2, …, s可由1, 2, …, s线性表出，所以X 可由1, 2, …, s 线性表出；
（4）写出通解
2021/4/22
9 返回
x1 2x2 4x3 x4 0 例1 求方程组的通解 2x1 4x2 8x3 2x4 0
解
3x1 6x2 2x3
0
(1)
1
A
2
3
2 4 6
4 8 2
1
2
0
1 0 0
2 0 0
4 0 10
1 0 3
1 2 4 1 0 0 10 3
0 0
4
5
0 0
(2)
得同解方程组
x1
3x3 4x4 0 x2 4x3 5x4 0
x1 x2
3x3 4x4 4x3 5x4
(x3, x4为自由未知量)
(3) 求基础解系（对自由未知量取值）
3
（求得两个解）
1
4 1

齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
一、齐次线性方程组
1.定义：所有方程的常数项都为0的线性方程组称为齐次线性方程组。

2.求解方法：
（1）齐次线性方程组必有解x=0，称为零解。

（2）如果齐次线性方程组的系数行列式不为0，则方程组只有零解。

（3）如果齐次线性方程组的系数行列式等于0，则方程组有非零解。

（4）对于齐次线性方程组的非零解，若x1是其中一个解，则对于k≠0，kx1也是方程组的解。

例如，对于齐次线性方程组
a1x1+a2x2+...+anxn=0
b1x1+b2x2+...+bnxn=0
……
c1x1+c2x2+...+cnxn=0
如果a1a2...an≠0，则只有零解x1=0。

如果a1a2...an=0，且b1b2...bn≠0，则有非零解
x=(b1,b2,...,bn)T和x=k(b1,b2,...,bn)T。

3.推论：对于齐次线性方程组，n个未知量的向量{x1,x2,...,xn}张成的向量空间叫做齐次线性方程组的解空间，其维数等于n-r，其中r是系数矩阵的秩。

二、非齐次线性方程组
1.定义：所有方程的常数项不都为0的线性方程组称为非齐次线性方程组。

2.求解方法：
（1）若常数项b≠0，则非齐次线性方程组必定有解。

（2）设x1和x2为非齐次线性方程组的两个解，则x1-x2为其对应齐次线性方程组的解。

（3）设x0为非齐次线性方程组的一个解，则一般解为
x=x0+kx1，其中x1为对应齐次线性方程组的解，k为任意实数。

3.推论：非齐次线性方程组的解集为齐次线性方程组的解集加上非齐次线性方程组的特解。

齐次和非齐次线性方程组的解法整理

践性方程组解的结构(解法)一、齐sail方程纽的解法【定义】r<n,若从=0 (A为加x川矩阵)的一组解为询,$，…,爲―，且満足：(1) …境"线性无关;(2) 如GO的)任一解部可由这组解找性表示.H称盒，益，…，仏t为从=0的基硏解系.祢X = +心疋2 +…+心心为从=0的逋解。

其中危危…,怎冷任«»»).齐®att方程组的关键冋题就是来通解，而求通解的关键阿题是求基•解系.【定理】若齐次线性方程组从=0有解，!!(1) 若齐次裁性方程组以=O(A为〃以〃拒阵)葫足HA) = ", K只有零解；(2) 齐次拔性方程组有非零解的充嬰条件是r(A)<n.(注：当〃匸”时，齐ftStt方程组有非零解的充要条件是它的系数行列3|A|=0.)注：1、基础解系不唯一，但是它0所含解向最的个数相同，且基碣解系所含解旬量曲个数等于n-r(A).2、非齐次线性方程组AX=B的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐ftSft方程组AX=O^对应的同解方程组。

由上述定理可知，若加是系数矩阵的打数(也即方程的个效)，”是未知量的个数，II有：(1) 当加<"时，r(A)<m<n t ft时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数旅一定有非零解；(2) 当〃匸"时，齐次拔性方程组有非零解的充要条件是它的系数行则衣国=0；(3) 当m = n且r(A) = “时，若泵数拒阵的行列刻A|H O, H齐次线U方程组只有零解；(4) 当m > H时，若r(A)<//r IS存在齐次城性方程组的同解方程组；若心)>”,则齐次拔性方程组无解。

1、来从=O(A为〃7X"矩阵)通解的三步U(1) A^-^C (行最简形)；写出同解方程组CX=Q.(2) 来岀的基硏解系询爲，•••，&・『；(3) 耳出i解X = + «$ +…+ Vr^-r其中东，忽・・・，紿为任显热有r （A ） = 4 = //,则方程组仅有零解.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m “）（注ih 方程组的个数不等于未知量的个数（即m 知i ）,不可以用行列衣的方法来判Bi h 从而可廿算系数矩l?A 的行列式:23-15:: ：=327工0,知方程组仅有零解，即x 1=x 2=x 3=x 4=0.41—3 o1 -2 4 -7注：ft 法仅对n 较小时方便令 x 3 = 1 , x 4 = 0 , x 5=0 9 II x, =l,x 2 =-2；令 x 3 = 0 , x 4= \ f x 5 = 0 F 得 X] = h 忑=一2 ; 令七=0 , 兀=0, X 5= \ 9 x } =5,X 2 =-6 , 于是得到原方程组的一个基碣解系为+3X 2 ~X 3 +5X 4 =0, +x 2 +2® ~X4=0, +x 2 _3兀 +6X 4 =0,—2X 2 +4X 3 一 7q =0.2xl 3x [«R1】解线性方程组「+Xy +£ +X5=0, 3x }+2x ? +九 +q—3*5 =0,X 2+2X 3 +2X 4 +6X 5 =0,5zV)+4x ) +3X 3 +3X 4 "X 5=0.[flH2]解找性方程组解法一: 将系数矩阵A 化为阶梯形矩薛2 3 4 13 11 -2-1 2 -3 45 -16 -7-274 -10 43 'T-7 14 16即 x\ =x 2=x 3=x 4=0.ri 1 1 1r"1 1 1 1■ 132 1 1 a 斤x(-5)+、 0 -1 -2 - 2 -6 1 1 一/|X (-3)+G0 1 2 2 61 2 2 6.5 4 3 3 一 L_0 _1 -2 -2 -610-1-1 0 12 2 0 0 0 0 00 0一5 6 0 0可得 r(A) = 2<n 9 解：将系数矩阵A 化为筒化阶U 站矩阵A = ；2^(-1)+?4舅方程组有无穷多解・其同解方程组为x } = x 3 +x 4 x 2 = -2X 3 -2X 4（其中X- x 4f x 5为自由未知量）所以，原方程组的通解为X=k^+k^2+k^ (k lt k2f k3eR).二、非齐次线性方程组的解狀AX=b { A mxn r(A) = r )用初等行变换*解，不ffiSSir列践性无关(1) 〃冲工0时，原方程组无解.(2) <+1=0,r = n时,泉方程纽有唯一解.(3) 為=O,r<HW,g方程组有无穷多解.其通解为X =班 +出f +••• + «—$_ , k、、％、•••,匕”为任其中：盲疋2,…疋…为从=力导出组AX=0的基碣解系，久为AX=b^特解,【定理1】如果〃是非齐次拔性方程组AX=b的解，◎是其导出组AX=0ffl-个解，»a +〃是非齐次缆性方程组AX=b的解。

非齐次线性方程组的通解

非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程晃伟罩组的通解＝齐次线性方程组的通解＋非齐次线性方程组的一个特解（η＝ζ＋η＊）槐艳。

非齐次线性方程组是常数项不全为零的线性方程组。

非齐次线性方程组解法：
非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：
（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。

若R(A)<R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

线性代数-非齐次线性方程组

这时又分两种情形： 1) 2时, r A r A 3, 方程组有唯一解:
1 1 x1 , x2 , x3 . 2 2 2
Hale Waihona Puke 12定理1 线性方程组 Amn x b有解 r ( A) r ( A | b).
且在有无穷多解时，其通解表达式中含有 n r ( A)个任意参数。
推论
矩阵方程 AX B有解的充分必要条件是
r ( A) r ( A, B )
证明：不妨设r(A)=r,利用初等行变换把增广矩阵化为行阶梯形
(1) r ( A) r ( A ) 方程组无解 .
(2) r ( A) r ( A ) n 方程组有唯一解；
(3) r ( A) r ( A ) < n 方程组有无穷多解；
Ann x b ，推论对n 元非齐次线性方程组
(1)r ( A) n，即 A可逆时,方程组有唯一解.
证
对增广矩阵 A 进行初等变换，
方程组的增广矩阵为
0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 A 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 ~ 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
方程组
例3
x1 x2 x x 2 3 证明方程组 x3 x4 x x 5 4 x5 x1
a1 a2 a3 a4 a5 有解的充要条件
是a1 a2 a3 a4 a5 0. 在有解的情况下，求出它的一切解．
问取何值时, 有唯一解? 无解？有无穷多个解 ?
解一对增广矩阵 A ( A, b) 作初等行变换，

非齐次线性方程组的解

非齐次线性方程组的解线性方程组是数学中一个非常重要的概念，可以用来描述多个未知数之间的关系。

在实际问题中，我们经常会遇到非齐次线性方程组，即右端项不为0的线性方程组。

非齐次线性方程组的解是指使得方程组中所有方程都成立的未知数的取值。

在本文中，将详细讨论非齐次线性方程组的解及其求解方法。

首先，我们先回顾一下齐次线性方程组的解。

对于齐次线性方程组Ax=0，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，0为零向量，如果存在一个非零向量x使得Ax=0，那么x就是齐次线性方程组的解。

齐次线性方程组总有非零解，因为零向量满足Ax=0。

但齐次线性方程组的解不唯一，它有无穷多个解。

可以通过求解方程组的增广矩阵，经过高斯消元法得到阶梯形矩阵，再得到最简形矩阵，从而得到基础解系。

然而，非齐次线性方程组Ax=b是指右端项不为0的线性方程组，我们需要找到一组解使得Ax=b成立。

如果存在一个向量x使得Ax=b，那么x就是非齐次线性方程组的解。

但是，非齐次线性方程组的解不再有无穷多个，而是只有一个特解x0加上齐次线性方程组的解。

也就是说，非齐次线性方程组的解是特解加上齐次线性方程组的解。

具体来说，对于非齐次线性方程组Ax=b，我们可以通过增广矩阵的高斯消元法来求解。

我们将增广矩阵进行行变换，使得增广矩阵的左半部分变为一个最简形矩阵，然后根据最简形矩阵的形式来确定特解。

最后，我们可以通过求解齐次线性方程组Ax=0来得到齐次线性方程组的解。

举个例子来说明非齐次线性方程组的解的求解过程：假设我们有一个非齐次线性方程组：2x+y+z=23x+2y+z=4首先，我们可以写出增广矩阵：[211，2][321，4]接下来，我们对增广矩阵进行高斯消元法。

通过行变换，将增广矩阵的左半部分变为最简形矩阵：[10-1，0][011，2]从最简形矩阵中可以看出，特解x0=0，y=2，z=-2、然后，我们需要求解齐次线性方程组Ax=0。

根据最简形矩阵的形式，我们可以得到齐次线性方程组的解：x=t,y=-t,z=t，其中t为任意实数。

齐次方程组和非齐次方程组的解

齐次方程组和非齐次方程组的解齐次方程组和非齐次方程组是线性代数中的重要概念，它们在解决实际问题中起着重要作用。

本文将分别介绍齐次方程组和非齐次方程组的定义、特点以及求解方法。

一、齐次方程组的解齐次方程组是指方程组的右边等于零的线性方程组。

具体来说，对于一个n元线性方程组，可以表示为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = 0其中a11, a12, ..., ann为常数，x1, x2, ..., xn为未知数。

齐次方程组的特点是它必定有解，因为至少有一个平凡解，即所有未知数取零的解。

除了平凡解外，齐次方程组还可能有非平凡解，即至少存在一组未知数不全为零的解。

求解齐次方程组的一种方法是利用矩阵的性质，将其转化为矩阵方程。

具体步骤是将系数矩阵A和未知数向量X写成矩阵的形式：AX = 0其中A是一个n×n的矩阵，X是一个n×1的列向量。

根据线性代数的知识可知，当且仅当矩阵A的行列式不为零时，方程组有唯一解即平凡解。

当矩阵A的行列式为零时，方程组有无穷多解即非平凡解。

这是因为非零行向量可以线性组合得到零向量，从而得到非平凡解。

另一种求解齐次方程组的方法是使用高斯消元法。

通过对系数矩阵进行行变换，将其化为行简化阶梯形矩阵，从而得到方程组的解。

二、非齐次方程组的解非齐次方程组是指方程组的右边不等于零的线性方程组。

具体来说，对于一个n元线性方程组，可以表示为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn其中a11, a12, ..., ann为常数，b1, b2, ..., bn为已知常数，x1, x2, ..., xn为未知数。

线性齐次及非齐次方程的解法

上面结论也适合于一阶线性非齐次方程，还可推广到二阶以上的线性非齐次方程。
作业
习题五（P230）
1 （1）（3）（5）；
4 ； 6 （2）。
4.4.2 常系数线性微分方程
第十二章
一、求解常系数线性齐次微分方程二、求解常系数线性齐次微分方程
18
一、二阶常系数齐次线性微分方程:
①
和它的导数只差常数因子,
∴ e x 与 xe x 线性无关。
定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
数) 是该方程的通解. (自证)
例如, 方程
有特解
且
y2 y1
tan
x
常数, 故方程的通解为
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1y1 Cn yn (Ck为任意常数)
4
说明:
y C1y1(x) C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如,
是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解
但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与线性无关概念.
5
定义: 设 y1(x), y2 (x), , yn (x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
u 0
取 u = x , 则得 y2 x er1 x , 因此原方程的通解为 y ( C1 C2 x ) er1 x
20
3. 当 p2 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1 e( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e( i ) x e x (cos x i sin x )

非齐次线性方程组的解法

非齐次线性方程组的解法可以采用下面几种方法：
1. 高斯消元法：该方法是利用矩阵的初等变换来求解方程组的，它的基本思想是将方程组化为上三角形式，然后从上往下逐步求解。

2. 列主元消元法：该方法是在高斯消元法的基础上，通过每一步选取列主元来求解方程组。

3. 牛顿迭代法：该方法是利用函数的迭代求解方程组，它的基本思想是把方程组看成一个函数，然后利用函数的迭代求解。

4. 雅可比迭代法：该方法是利用雅可比矩阵来求解方程组，它的基本思想是把方程组看成一个函数，然后利用雅可比矩阵的迭代求解。

5. 全选主元高斯消元法：该方法是在高斯消元法的基础上，通过每一步选取全选主元来求解方程组。

6. 高斯-赛德尔迭代法：该方法是利用高斯-赛德尔迭代公式来求解方程组，它的基本思想是把方程组看成一个函数，然后利用高斯-赛德尔迭代公式的迭代求解。

齐次和非齐次线性方程组的解法定稿

齐次和非齐次线性方程组的解法定稿This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】 r (A )= r <n ,若AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足：(1) ,,,n r -12ξξξ线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为AX = 0的通解。

其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）满足()r A n =，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.（注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.）注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -.2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。

6-齐次线性方程组的解法

- 8 1 2 750 1 - 8 2 1200 1 1 - 9 2250
1 0 0 200 0 1 0 250 0 0 1 300
所以此方程组的解为 x1 200 x2 250 x 300 3
若各部门在计划期内的最终产品为y1=75,y2=120, y3=225，预测各部门在计划期内的总产出x1,x2,x3.
解：列出此经济系统在计划期内的产品分配平衡表。
产出投入
1 生产部门 2 3
消费部门最终产品 1 2 3 0.2x1 0.1x2 0.2x3 75 0.1x1 0.1x1 0.2x2 0.1x2 0.2x3 0.1x3 120 225
取x4为自由未知量，则方程可化为
x1 c x 2 c 令x4 c，则方程的解为 x 3 0 x4 c
x1 x 4 , x x , 4 2 x3 0
第四节投入产出问题
投入产出是分析研究经济各个部分（作为生产单位或消费单位的产业部门、行业、产品等）之间表现为投入和产出的相互依存关系的一种经济数量分析方法。由美国经济学家里昂惕夫1933年提出。
产出投入
消费部门农业工业 190 1520 95 1995 3800 其他 30 180 60 330 600 60 90 30 420 600
最终产品总产出 320 2010 415 600 3800 600
农业生产部门工业其他创造价值总投入
xij 解：由公式 aij 得出直接消耗系数矩阵 xj
令X ( x1 , x 2 ,, xn )T , Y ( y 1 , y 2 ,, y n )T , 则上式可化为矩阵方程

高数考研备战常微分方程的齐次与非齐次解法

高数考研备战常微分方程的齐次与非齐次解法常微分方程是高等数学中的重要内容，也是考研数学中必考的知识点之一。

在常微分方程中，齐次方程和非齐次方程的解法是备战考研的重点。

本文将为大家详细介绍常微分方程的齐次与非齐次解法，助力大家高效备考。

一、齐次方程的解法齐次方程是指形式为dy/dx = f(x,y)的方程，其中f(x,y)满足齐次性质f(tx,ty) = f(x,y)。

齐次方程的解法相对简单，可以通过变量分离法和换元法来求解。

1. 变量分离法变量分离法是求解齐次方程的常用方法。

具体步骤如下：（1）将方程变形为dy = g(x)dx，其中g(x)为x的函数。

（2）对方程两边同时积分，得到∫dy = ∫g(x)dx。

（3）对上式进行求积分，并加上任意常数C，得到y = ∫g(x)dx + C。

（4）得到的方程即为齐次方程的通解。

2. 换元法换元法是另一种常用的齐次方程求解方法。

具体步骤如下：（1）设u = y/x，即y = ux。

（2）将dy/dx = f(x,y)转化为关于u和x的方程，求出du/dx，并将y用u和x表示。

（3）对上式进行变量分离，得到du/u = g(x)dx。

（4）对上式进行求积分，并加上任意常数C，得到ln|u| = ∫g(x)dx + C。

（5）解出u，即得到u = e^(∫g(x)dx + C)。

（6）将u = y/x代入上式，得到y = xe^(∫g(x)dx + C)。

（7）得到的方程即为齐次方程的通解。

二、非齐次方程的解法非齐次方程是指形式为dy/dx = f(x,y) + g(x)的方程，其中g(x)为非零的函数。

求解非齐次方程的方法主要有常数变易法和特解叠加法。

1. 常数变易法常数变易法是求解非齐次方程的常用方法。

具体步骤如下：（1）先求齐次方程dy/dx = f(x,y)的通解y0。

（2）设非齐次方程的通解为y = y0 + u(x)，其中u(x)为待定函数。

（3）将y = y0 + u(x)代入非齐次方程，得到dy/dx = f(x,y0+u) + g(x)。

什么是齐次方程和非齐次方程

什么是齐次方程和非齐次方程
齐次和非齐次的区别如下：
1、常数项不同：
齐次线性方程组的常数项全部为零，非齐次方程组的常数项不全为零。

2、表达式不同：
齐次线性方程组表达式：Ax=0；非齐次方程组程度常数项不全为零： Ax=b。

齐次和非齐次线性方程的含义：
1、在代数方程，如y =2 x +7，仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。

这种方程的函数图像为一条直线，所以称为线性方程。

2、常数项不全为零的线性方程组称为非齐次线性方程组。

非齐次线性方程组的表达式为：Ax=b。

齐次和非齐次线性方程的求解步骤：
1、非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：
（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。

若R(A)<R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于C1、C2……，即可写出含n-r个参数的通解。

2、齐次线性方程组求解步骤：
（1）对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；
（2）若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：
（3）继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；
（4）选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解。

工程数学精品课件：(非)齐次线性方程组解的性质与结构

穷多解，也有n-r个自由未知数.
(4)当A为n阶方阵时,若r(A)=n,即|A|≠0,则AX=B 有唯一解
性质 1
若X₁,X₂为AX=B的解，则X₁-X₂必为AX=0的解.
证：因为X₁,X₂为AX=B的解，所以
AX₁=B,AX₂=B
于是
A(X₁-X₂)=AX₁-AX₂=B-B=0
性质 2
若X₀为AX=B的解，X1为AX=0的解，则X₀+X1必为AX=B的解.
它们即构成基础n-r系.X1 ，X2 ， … ，Xn−r
求线性方程组
的基础解系与通解。
解
1 0 3
1
1
1
1 1 5
1 1 5 1 1 1 5
2
1 1 5 1

0 2 7 4
0 2 7 4 0 1 7
1 1 2 3
为它的解.
证：由已知条件，有
AX₁=0和AX₂=0
所以
A(X₁+X₂)=AX₁+AX₂=0+0=0
性质2 若 X 为AX=0的解，则对于任意实数k，kX 亦
为它的解.
证：由已知条件，有
AX=0
所以
A(kX)=kAX=k0=0
由性质1和性质2得齐次线性方程组解的任何线性组合仍为它的解.
齐次线性方程组AX=0有一组解向量X1 , X 2 , … ，X ,它本身是线性
(3)当A为n阶方阵时,AX=0只有零解的充要条件是r(A)=n,即|A|≠0.
(4)当A 为n阶方阵时,AX=0有非零解的充要条件是r(A)<n,即|A|=0.
(5)当A为m×n矩阵,且r(A)=r时,方程组AX=0有n-r个自由未知数.

齐次线性方程组的解法

齐次线性方程组的解法非齐次线性方程组ax=b有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(a)=rank(a， b)（否则为无解）。

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(a)=n。

当系数矩阵a的秩等于增广矩阵b的秩时非齐次线性方程组有解。

（矩阵的秩就是指矩阵通过初等行变换和初等列变换得到的非零行或非零列的个数。

）当方程存有唯一解时，r(a)=r(b)=n；当方程组有无限多个解时,r(a)=r(b)=r\ucn；当方程组难解时，r（a）＜r（b）。

1、非齐次线性方程组：常数项不全为零的线性方程组比如：x+y+z=1;2x+y+3z=2;4x-y+3z=3;2、齐次线性方程组：常数项全部为零的线性方程组例如：x+y+z=0;2x+y+3z=0;4x-y+3z=0;齐次线性方程组求解步骤：1、对系数矩阵a展开初等行转换，将其化成行阶梯形矩阵；2、若r(a)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；若r(a)=r\ucn（未知量的个数），则原方程组存有非零求解，展开以下步骤：3、继续将系数矩阵a化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；4、挑选出最合适的民主自由未知量，并挑适当的基本向量组，代入同解方程组，获得原方程组的基础卢播，进而写下吉龙德。

（1）对增广矩阵b施行初等行变换化为行阶梯形。

若r(a)\ucr(b)，则方程组无解。

（2）若r(a)=r(b)，则进一步将b化成行及最简形。

（3）设r(a)=r(b)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数，即可写出含n-r个参数的通解。