不规则图形面积的计算(练习题)及详细讲解

小升初：数学不规则图形面积计算10大经典例题(含做题方法).doc

小升初：数学不规则图形面积计算10大经典例题（含做题方法）第一题图示例题：要在一个直径为10米的花园周围铺一条2米宽的小路，请问小路的面积是多少？答题方法：算出大圆(直径为10+12)的面积，再减小圆（直径为10）的面积即可。

二、四分之一圆减三角形第二题图示例题：已知图中三角形为等腰直角三角形，一条直角边长度是2，求阴影部分面积是多少？答题方法：先求出四分之一的圆（半径为2），再减去三角形面积即可。

三、正方形减四分之一圆第三题图示例题：已知图中正方形边长为2，求阴影部分面积是多少？答题方法：先求出正方形面积（边长为2），再减去四分之一圆（半径为2）即可。

四、正方形减圆形第四题图示例题：已知图中正方形边长为2，求阴影部分面积是多少？答题方法：先求出正方形面积（边长为2），再减去四个四分之一圆（半径为2）即可。

五、四分之一圆减面积的复杂题型第五题图示例题：已知图中正方形边长为2，求阴影部分面积是多少？答题方法：画一条正方形的对角线使之穿过阴影部分，再按照第二题的方法求出二分之一阴影面积，最后正方形面积减阴影部分面积即可。

六、割补型第六题图示例题：已知图中每个正方形的边长均为2，求阴影部分面积是多少？答题方法：经观察发现，图中阴影部分面积正好等于空白部分的面积，因此，可以把两边的阴影合并在一起，阴影面积就是1个正方形的面积。

类似的题型还有如下图：第六题附1题图示七、扇形叠交相减型第七题图示例题：图中OA、OB分别是两个小圆的直径，且OA=OB=2，∠BOA为直角，求图中阴影部分的面积。

答题方法：根据题意，过O点作∠BOA的角平分线，连接AB，观察可发现，示意图中的阴影部分面积正好是三角形ABO的面积。

八、圆形减扇形的类型第八题示意图例题：已知图中圆形的半径为2，三角形的一条边为16，求图中阴影部分的面积。

答题方法：如图，作2条辅助线，即可发现三角形外的阴影部分正好等于三角形内与红色辅助线围成的面积相等，因此，只需求出高是2，底是（16÷2）的两个三角形面积即可。

五年级不规则图形面积计算

五年级不规则图形面积计算我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。

那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

一、例题与方法指导例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。

思路导航：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。

例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF 与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.思路导航：∵△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，∴四边形 AECF 的面积与△ABE 、△ADF 的面积都等于正方形ABCD 的13。

在△ABE 中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2， ∴△ECF 的面积为2×2÷2=2。

所以S △AEF=S 四边形AECF-S △ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。

如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。

思路导航：在等腰直角三角形ABC 中 ∵AB=10∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，∴阴影部分面积=S △ABG-S △BEF=25-8=17（平方厘米）。

例4 如右图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=CD ，若△ABC （阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD 及△ACE 的面积.思路导航：取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.∴△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米。

【小学数学】西师大版五年级上册数学一课一练 5.4不规则图形的面积(含答案)

五年级上册数学一课一练不规则图形的面积一、单选题1将一个圆柱体削制成一个圆锥体，削去部分的体积是圆柱体积的（）A B C 2倍 D 不能确定2如下图，在一片梯形草坪中间开了一条宽3米的平行四边形小路，草坪的面积是（）平方米。

A 300B 255C 345D 453如图所示，甲、乙是两个完全相同的长方形，两幅图的阴影面积相比，下列说法正确的是。

A 甲＞乙B 甲=乙C 甲＜乙D 无法判断4如图中阴影部分的面积是（）平方厘米．（单位：厘米）A 132BC 289 D二、判断题5不规则图形用单位方格纸测面积，单位越小测得结果越准确6用8个1立方厘米的小方块拼成一个正方体．如果拿去一个小方块，它的表面积不变．的小正方形拼成两个不同的图形，这两个图形的周长不同，面积也不同。

8图中涂色的两个三角形面积是一样大的。

三、填空题9求下面图中阴影部分的面积．面积是________ ．10以上两个图形________面积大11下面是阳阳设计的运动场图纸．这个运动场有8条跑道，在图纸上每条跑道宽，最里侧半圆跑道的直径为，直跑道长．比例尺：1 ∶ 1 000 ．回答下列问题．（1）这个运动场的占地面积是________平方米？得数保留整平方米（2）如果要给这个运动场铺上15cm厚的沙子，需要沙子________立方米？（3）如果要给8条跑道和排球场地上铺设塑胶，每平方米价格是170元，一共要用________钱？保留整数（4）弯道面积是________平方米？保留整数、B、C三块中又各选择了的部分涂上阴影（如图）（1）图1中，整个阴影部分面积占大正方形面积的________．（2）图1中，若D的面积为8平方分米，则整个阴影部分面积为________平方分米．（3）将图1中A的空白部分平均分成形状相同且面积相等的两部分（如图2），假如阴影部分的面积为3平方分米，则“？”部分的面积是________平方分米．四、解答题13如图，小半圆经过大半圆的圆心，请计算图中阴影部分的面积和周长．14计算阴影部分的面积．（单位：厘米）五、综合题15按要求操作与解答．（1）①画一个边长为4厘米的正方形．②在正方形内画一个最大的圆．（2）假如把正方形内的圆外部分称为“阴影部分”，求阴影部分面积与圆面积的比．六、应用题16图中阴影部分的面积一样大吗？为什么？17求下图的面积．图中单位：米参考答案一、单选题1【答案】D【解析】【解答】解：将一个圆柱体削制成一个最大的圆锥体，圆锥的体积是圆柱的，削去部分的体积是圆柱体积的，这里没说削成的圆锥是否最大，因此不能确定．故选：D．【分析】将一个圆柱体削制成一个最大的圆锥体，也就是说削成的圆锥与圆柱等底等高，圆锥的体积是圆柱的，即削去部分的体积是圆柱体积的，这里没说削成的圆锥是否最大，因此不能确定．2【答案】B【解析】【解答】解：（1426）×15÷2-3×15=255（平方米）故答案为：B。

小学奥数：不规则图形的面积.专项练习及答案解析

本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求面积的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．【例 1】你有什么好的方法计算所给图形的面积呢？(单位：厘米)3994399439943994图1 图2 图3 【考点】不规则图形的面积【难度】1星【题型】解答【解析】 (方法一)采用分割法，可给原图分成两个长方形，(图1或图2)两个长方形的总面积就是所求的面积．图1的面积是： 4(93)9375⨯++⨯=(平方厘米)．图2的面积是：(94)39475+⨯+⨯=(平方厘米)．(方法二)采用补图法，如果补上一个边长是9厘米的正方形(图3)，就成了一个面积是：(49)(93)156+⨯+=(平方厘米)的大长方形．因此用这个长方形的面积减去所补正方形的面积，就是要求的图形面积(49)(93)9975+⨯+-⨯=(平方厘米)．【答案】75平方厘米【巩固】如图是学校操场一角，请计算它的面积(单位：米)30203040例题精讲4-2-6.不规则图形的面积【解析】这是一个不规则图形，怎样使它能转化为我们熟悉的基本图形呢？可以在图中添上一条辅助线，把多边形切割成上下两个长方形或左右两个长方形；也可以把多边形补充完整，成为一个长方形；302030403020304030203040图一图二图三方法一：如图一，3040203040120014002600⨯+⨯+=+=（）(平方米) 方法二：如图二，203040203060020002600⨯+⨯+=+=（）(平方米) 方法三：如图三，40302030303035009002600+⨯+-⨯=-=（）（）(平方米)【答案】2600平方米【巩固】如右图所示，图中的ABEFGD 是由一个长方形ABCD 及一个正方形CEFG 拼成的，线段的长度如图所示(单位：厘米)，求ABEFGD 的周长和面积．F【考点】不规则图形的面积【难度】1星【题型】解答【解析】方法一：如果求出长方形的宽及正方形的边长，则图形ABEFGD 的周长和面积可以求出．而正方形的边长1046GC DC DG AB DG =-=-=-=(厘米)，长方形的宽1064BE CE =-=-=(厘米)，所求图形的周长102624440=⨯+⨯++=(厘米) 面积1046676CEFG ABCD S S =+=⨯+⨯=正方形长方形(平方厘米)方法二：可以将线段GF 、DG 向外平移，得一个新的图形ABEH ，因为DG HF =，GF DH =，所以图形ABEH 的周长就是图形ABEFGD 的周长．而10AB BE ==(厘米)，所以图形ABEH 是边长为10厘米的正方形．所求图形的周长=正方形ABEH 的周长10440=⨯=(厘米) 面积10106476ABEH DGFH S S =-=⨯-⨯=正方形长方形(平方厘米)【总结】方法一是利用基本图形的周长及面积公式求解，因此首先要知道长方形的长、宽及正方形的边长．方法二是利用转化的思想方法，将较复杂图形转化为基本图形，图形转化前后的周长不变，面积增加了，在计算时应减去增加的面积．【答案】76【巩固】求图中五边形的面积．6453【解析】由图可见五边形为矩形切去一角得来，把切去的角补出来，它的一条直角边长633-=，斜边等于5，所以另一直角边为4，所以矩形的长为448+=，五边形面积16843422⨯-⨯⨯=．【答案】42【例 2】这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20 厘米．问，此楼梯截面的面积是多少？【考点】不规则图形的面积【难度】2星【题型】解答【关键词】华杯赛、口试【解析】如果把楼梯截面补成右图所示的长方形，那么此长方形高280厘米．宽300厘米，它的面积恰好是所求截面的2倍．所以楼梯截面面积为280300242000⨯÷=（）(平方厘米)．【答案】42000【巩固】如图是一个楼梯的截面图，每级台阶的宽和高都是20厘米．这楼梯的截面积是多少平方厘米？【考点】不规则图形的面积【难度】2星【题型】解答【解析】先求出大三角形的两条直角边都是208160⨯=(厘米)，因此大三角形的面积为160160212800⨯÷=(平方厘米)；8个小三角形的面积为2020281600⨯÷⨯=(平方厘米)；因此这楼梯的截面积为12800160014400+=(平方厘米)．【答案】14400【例 3】有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少？【考点】不规则图形的面积【难度】2星【题型】解答【解析】方法一：可以直接求出每小块菜地的长和宽，从而求出每小块菜地的面积；每一块地的面积是：[1622][822]7321-÷⨯-÷=⨯=（）（）(平方米)方法二：也可以求出这块地的总面积，再减去道路的面积，然后把剩余的面积四等分求出每小块菜地的面积；每一块地的面积是：[1682168222]412844421⨯-⨯+⨯-⨯÷=-÷=（）（）(平方米)方法三：还可以运用平移的方法，将道路移到菜地的边沿，先求出四个小长方形组成的长方形面积，再求出其中每一小块菜地的面积．如图所示：[16282]484421-⨯-÷=÷=（）（）(平方米) 【答案】21【例 4】有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么这10张纸片所盖住的桌面的面积是多少平方厘米？【考点】不规则图形的面积【难度】3星【题型】解答【解析】通过操作，一张一张的添加，可以发现每多盖一张，遮住的面积增加21⨯平方厘米，所以这10张纸片盖住的面积是：3221924⨯+⨯⨯=(平方厘米)．【答案】24【例 5】下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.【考点】不规则图形的面积【难度】3星【题型】解答【解析】所求面积等于图中阴影部分的面积，为2052082140-+⨯÷=()(平方厘米)．【答案】140【巩固】两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.FBA【考点】不规则图形的面积【难度】3星【题型】解答【解析】阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积.因为三角形ABC 与三角形DEF 完全相同，都减去三角形DOC 后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC 面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC 的面积.直角梯形OEFC 的上底为1037-=(厘米)，面积为7102217+⨯÷=()(厘米2). 所以，阴影部分的面积是17平方厘米。

(专题)圆中不规则图形面积解法(含答案解析)

专题圆中不规则图形面积解法方法一公式法例题11. 的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为_____；若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥底面半径为_____．【答案】①. π ①. 1 2【解析】【分析】由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形面积公式求值；根据扇形的弧长等于底面周长求得底面半径即可．【详解】解：连接BC，由∠BAC＝90°得BC为⊙O的直径，∴BC＝，在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB＝AC＝2，∴S扇形ABC＝904360π＝π；∴扇形的弧长为：902180π⨯＝π，设底面半径为r，则2πr＝π，解得：r＝12，故答案为：π，12．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．变式12. 如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF （面积记为1S ）变形为以点D 为圆心，CD 为半径的扇形（面积记为2S ），则1S 与2S 的关系为（）A. 12S S >B. 12S SC. 12S S <D. 12π3S S =【答案】A 【解析】【分析】由正六边形的性质出EAC 的长，根据扇形面积公式=12×弧长×半径，可得结果【详解】解：由题意：12EAC = ①2112318,2S =⨯⨯=①2163,42S =⨯= ∴12S S > 故选：A【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、扇形面积公式；熟练掌握正六边形的性质，求出弧长是解决问题的关键．变式23. 如图，在ABCD 中，E 为BC 的中点，以E 为圆心，BE 长为半径画弧交对角线AC 于点F ，若60BAC ∠=︒，100ABC ∠=︒，4BC =，则扇形BEF 的面积为________．【答案】4π9【解析】【分析】根据三角形内角和、三角形的外角以及等腰三角形性质求出BEF ∠，然后根据扇形面积公式计算．【详解】解：∵60BAC ∠=︒，100ABC ∠=︒， ∴20ACB ∠=︒，∵E 为BC 的中点，EB 、EF 为半径， ∴20EFC ECF ∠=∠=︒， ∴=40BEF ∠︒， ∵4BC =， ∴2BE =，∴扇形BEF ①①①240243609ππ⨯==．【点睛】本题主要考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，等腰三角形性质，掌握扇形面积计算公式是解题的关键．变式34. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，ABC 的三个顶点均在格点上，把ABC 绕着点A 按逆时针方向旋转到AB C ''△．（1）求BAC ∠的正切值．（2）求扇形CAC '的面积．【答案】（1）1tan 3BAC ∠=；（2）10πCAC S '=扇形．【解析】【分析】(1)过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于D ，如图,根据正切的定义求解； (2)连接CC ´，如图，先利用勾股定理的逆定理证明△ACC 为直角三角形，则∠CAC=90°，然后根据扇形的面积公式计算．【详解】解：（1）过点C 作CD AB ⊥，交AB 的延长线于D ，则2CD =，6AD =， ∴在Rt ACD △中，21tan 63CD BAC AD ∠===．（2）连接CC '，2224880C C '=+=，22222640C A CA '==+=，∵22280C A CA C C ''+==，∴ACC '△为直角三角形，90CAC '∠=︒， ∴290π90π4010π360360CAC AC S '⋅⨯===扇形．【点睛】本题考查了作图一旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．方法二直接和差法特征：阴影部分是几个常见图形组合而成．计算方法：S S S =±阴影常见图形常见图形一、直接和差法：ACB-AOB-AOBAB -半圆AB S 半圆ADEACB例题25. 某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED 与母线AD 长之比为1:2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB AC =，AD BC ⊥．将扇形AEF 围成圆锥时，AE ，AF 恰好重合．（1）求这种加工材料的顶角BAC ∠的大小（2）若圆锥底面圆的直径ED 为5cm ，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）【答案】（1）BAC ∠=90°；（2）S 阴影=（100-25π）cm 2．【解析】【分析】（1）设ED =x ，则AD =2x ，根据圆的周长求 EF 弧长，利用弧长公式求90n =︒即可；（2）由AB AC =，BAC ∠=90°，可得△ABC 为等腰直角三角形，由AD BC ⊥可求BD =CD =AD =10cm ，利用三角形面积公式求S △BAC =12BC AD ⨯，利用扇形面积公式求=25EF S π扇形，利用面积差求S 阴影即可．【详解】解：（1）设ED =x ，则AD =2x ， ∴EF 弧长222180x n xππ⨯=⨯=， ∴90n =︒， ∴BAC ∠=90°；（2）∵ED =5cm ， ∴AD =2ED =10cm ， ∵AB AC =，BAC ∠=90°， ∴△ABC 为等腰直角三角形， ∵AD BC ⊥， ∴BD =CD =AD =10cm ， ∴BC =BD +CD =20cm①∴S △BAC =11201010022BC AD ⨯=⨯⨯=cm 2，∴EFS 扇形29010==25360ππ⨯⨯，∴S 阴影= S △BAC -EF S 扇形=（100-25π）cm 2．【点睛】本题考查圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积，掌握圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积是解题关键．变式46. 如图，在扇形OAB 中，已知90AOB ∠=︒，2OA =，过AB 的中点C 作CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为点D ，E ，则图中阴影部分的面积为（）A. π1-B. π2-C. π4-D.π12- 【答案】B 【解析】【分析】根据矩形的判定定理得到四边形ODCE 是矩形，连接OC ，根据全等三角形的性质得到OD=OE ，然后得到矩形ODCE 是正方形，最后利用扇形和正方形的面积公式计算即可．【详解】如图所示，连接OC∵90AOB ∠=︒，CD OA ⊥，CE OB ⊥ ∴四边形ODCE 是矩形 ∵点C 是AB 的中点 ∴COA COB ∠=∠ ∴COD COE ≌ ∴OD OE =∴四边形ODCE 是正方形 ∴OD CD = ∴2222OD CD += ∴22OD = 即2ODCE S =正方形由扇形的面积公式可得：AOB S π=扇形 ∴=-2S π阴影故选：B【点睛】本题主要考查矩形的判定定理和性质、正方形的判定定理和性质、全等三角形的判定和性质、扇形面积的计算公式，熟练掌握相应的判定定理和性质是解题的关键．变式57. 如图，在O 中，3OA =，45C ∠=︒，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留π）【答案】9942π- 【解析】【分析】由45C ∠=︒，根据圆周角定理得出90AOB ∠=︒，根据S 阴影=S 扇形AOB －AOBS 可得出结论．【详解】解：∵45C ∠=︒， ∴90AOB ∠=︒， ∴S 阴影=S 扇形AOB －AOBS29031=333602π⨯⨯-⨯⨯99=42π-，故答案为：9942π-．【点睛】本题主要考查圆周角定理、扇形的面积计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键．变式68. 如图，在ABC ∆中，BC ＝4，且ABC ∆的面积为4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF ＝45°．（1）求证：BC 为⊙A 的切线；（2）求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见详解；（2）4π-．【解析】【分析】（1）作AD ⊥BC ，根据三角形的面积，可求出AD ＝2=半径且为BC 边上的高，即可判定；（2）再根据圆周角定理得∠EAF ＝2∠EPF ＝90°，而S 阴＝ABCSS -扇形EAF ，然后利用扇形的面积公式：S ＝2360n R π和三角形的面积公式即可计算出图中阴影部分的面积．【详解】解：（1）过点A 作AD ⊥BC ，如图，∵BC=4，S △ABC =4，∴114422BC AD AD ⨯⨯=⨯⨯=， ∴AD=2，又⊙A 的半径为2，∴BC 与⊙A 相切，切点为点D ，（2）∵由（1）可知⊙A 与BC 相切于点D ，∴AD ⊥BC ，且AD ＝2，又∵∠EPF ＝45° ∴∠BAC=90°，而BC ＝4，4ABCS =，∴S 阴＝ABCSS -扇形EAF ＝12BC×AD ﹣2902360π⨯＝4π-．【点睛】本题考查了扇形的面积公式：S ＝2360n R π（其中n 为扇形的圆心角的度数，R 为圆的半径），或S ＝12lR ，l 为扇形的弧长，R 为半径．同时考查了切线的性质定理和圆周角定理．二、构造和差法：OCE-ODC-SBOC例题39. 如图，已知⊙O 的半径是4，点A,B,C 在⊙O 上，若四边形OABC 为菱形，则图中阴影部分面积为① ①A. 83π- B.163π- C.163π- D. 83π-【答案】B 【解析】【分析】连接OB 和AC 交于点D ，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC 的长及∠AOC 的度数，然后求出菱形ABCO 及扇形AOC 的面积，则由S 扇形AOC -S 菱形ABCO 可得答案．【详解】连接OB 和AC 交于点D ，如图所示：∵圆的半径为4① ∴OB=OA=OC=4① 又四边形OABC 是菱形， ∴OB ⊥AC①OD=12OB=2① 在Rt △COD 中利用勾股定理可知：CD=224223,243AC CD -===,∵sin ∠COD=CD OC = ∴∠COD=60°①∠AOC=2∠COD=120°①∴S 菱形ABCO=11422OB AC ⨯=⨯⨯= ∴S 扇形=21204163603ππ⨯⨯=,则图中阴影部分面积为S 扇形AOC -S 菱形ABCO =163π-. 故选B.【点睛】考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积=12a•b（a 、b 是两条对角线的长度）；扇形的面积=2360n r π.变式7【2019·泰安】10. 如图，90AOB ∠=︒，30B ∠=︒，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A ，点C ，交OB 于点D ，若3OA =，则阴影部分的面积为_____.【答案】34π【解析】【分析】根据题意连接OC ，可得阴影部分的面积等于两个阴影部分面积之和，再根据弧AC 所对的阴影部分面积等于弧AC 所对圆心角的面积减去OAC ∆的面积，而不规则图形BCD 的面积等于OBC ∆的面积减去弧DC 所对圆心角的面积.进而可得阴影部分的面积.【详解】解：根据题意连接OC,90903060OA OC OAB B ︒︒︒︒=∠=-∠=-=ACO ∴∆为等边三角形60AOC ︒∴∠=∴阴影部分面积1=26013333cos3036022ππ︒⨯⨯-⨯⨯=∴阴影部分面积2=2133033223604ππ⨯-⨯⨯=-∴阴影部分面积=阴影部分面积1+阴影部分面积2=34π故答案为34π．【点睛】本题只要考查圆弧的面积计算，关键在于阴影部分面积的分割.变式811. 如图，A ，C 是双曲线1y x=上关于原点对称的点，B ，D 是双曲线3y x=-上关于原点对称的点，圆弧BAD 与BCD 围成了一个封闭图形，当线段AC 与BD 都最短时，图中阴影部分的面积为________．【答案】163π-【解析】【分析】设点A 1x x ⎛⎫⎪⎝⎭，，要使当线段AC 与BD 都最短，就是使OA 最短，利用勾股定理表示出OA 与x 的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出OA 的最小值，即可求出AC 的值；再利用同样的方法可求出BC 的长；再证明△ABC 是等边三角形，然后利用扇形的面积公式和三角形的面积公式可求出阴影部分的面积．【详解】解：设点A 1x x ⎛⎫⎪⎝⎭，，要使当线段AC 与BD 都最短，就是使OA 最短，∴OA ==∴当10x x-=时，OA ，∴x =1（负值舍去），∴点A （1，1），点()1,1C --；∴AC =，设点B 3m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，要使当线段BD 都最短，就是使OB 最短，∴OB ==∴当30x x-=时，OB ，∴x ，∴点B ( ，点D-；∵点B 和点D ，点A 和点C 关于原点对称， ∴BC =AB =CD =AD ，∴BC ==∴△ABC 是等边三角形， ∴BC =AC =AB ，∴r =∴S 阴影部分=(211164623ππ⎛-⨯=- ⎝故答案为：163π-【点睛】本题考查了反比例函数，线段最值，二次函数求最值，等边三角形，弓形面积的计算，解题关键在于求出线段的最值．变式92019·新抚区三模】12. 如图，AB ＝AC ，⊙O 为△ABC 的外接圆，AF 为⊙O 的直径，四边形ABCD 是平行四边形．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若∠BAC ＝45°，AF ＝2，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）124π+-．【解析】【分析】（1）由题意根据垂径定理得到AF ⊥BC ，根据平行四边形的性质得到AD ∥BC ，求得AD ⊥AF ，于是得到AD 是⊙O 的切线；（2）根据题意连接OC ，OB ，根据圆周角定理得到∠BOC=90°，根据勾股定理得到，连接OE ，根据梯形和扇形的面积公式即可得到结论．【详解】解：（1）①AB ＝AC ， ①AB AC =， ①AF 为①O 的直径， ①AF①BC ，①四边形ABCD 是平行四边形， ①AD①BC ， ①AD①AF ， ①AD 是①O 的切线；（2）连接OC ，OB ，①①BAC ＝45°， ①①BOC ＝90°， ①AF ＝2，①OB ＝OC ＝1，①BC①四边形ABCD 是平行四边形，①AD ＝BC ，连接OE ， ①AB①BD ，①①ACE ＝①BAC ＝45°， ①①AOE ＝2①ACE ＝90°， ①OA ＝OE ＝1，①阴影部分的面积＝S 梯形AOED ﹣S 扇形AOE ＝12（）×1﹣2901360π⨯＝124π-．【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．方法三：重叠法特征：几个常见图形经过一次性重叠组成常见图形，从而重叠部分是阴影部分．计算方法：12n S S S S S =++-阴影图形图形图形组成图形例题413. 如图，正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内画半圆．求图中阴影部分的面积．【答案】222a π-【解析】【分析】阴影部分的面积为正方形的面积减去四空白的面积．而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空隙的面积，正方形的面积为a 2，半圆的面积为21122a π⎛⎫ ⎪⎝⎭π. 【详解】解：如图，图中四个半圆都通过正方形的中心，用正方形的面积减去四空白的面积，剩下的就是阴影部分的面积，而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空隙的面积， ∴2=S a 正方形，221=224a S a ππ⎛⎫=⎪⎝⎭半圆 ∴22=22=22a S S S a π--正方形半圆4个空白∴2222222==2222a a S S S a a a a πππ⎛⎫----=-= ⎪⎝⎭阴影正方形4个空白【点睛】本题考查了圆的面积以及不规则的几何图形的面积的求法，将不规则图形转化为规则的几何图形的面积的和与差是解题的关键．变式1014. ①①①①Rt ABC ①①∠BCA=90° 4,2AC BC ==①①①①①,AC BC ①①①①①①①①①①①①①①①① ①A.542π- B. 104π- C. 108π- D.582π- 【答案】A 【解析】【详解】①①①①①①①①①①S 1、S 2、S 3、S 4、S 5①①①①①①∵①①①①①①①①①①S 1+S 5+S 4+S 2+S 3+S 4①△ABC①①①①S 3+S 4+S 5①①①①① ①①①①S 1+S 2+S 4①∴①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①①① ①①①①①①①①=12π×4+12π×1-4×2÷2=52π-4① ①①A.变式1115. 正三角形的边长为2，分别以A 、B 、C 为圆心，以1为半径在三角形形内作弧，作ABC 内切圆，求阴影部分面积．【答案】56π-【解析】【分析】根据切线长定理求出①OBD =①OBF =30°，由切线的性质得①ODB =90°，根据勾股定理求出OD ，然后根据S 圆中间空白= 6S ①BDO - 3S 扇形BDF 和S 阴影=S ⊙O - S 圆中间空白求解即可．【详解】解：连接OD ，OB ，由题意知BD =1， ①①ABC 是等边三角形， ①①ABC =60°，①①O 是①ABC 的内切圆，①①OBD =①OBF =30°，①ODB =90°， ①OB =2OD ， ①OD 2+BD 2=OB 2，①OD 2+12=4OD 2，①OD S 圆中间空白= 6S ①BDO - 3S 扇形BDF=2160161323360π⨯⨯⨯⨯-⨯12π，①S 阴影=S ⊙O - S 圆中间空白=212ππ⎫⨯-⎪⎭⎝⎭=56π故答案为：56π-【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，以及扇形面积公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．方法四割补法特征：把阴影部分某一部分图形，改变它的位置后，从新组成一个常见图形．计算方法：S S =阴影组成图形例如：例题516. 如图，在⊙O中，直径2AB=，AC切O于A，BC交⊙O于D，若∠=︒，则阴影部分的面积为______.45C【答案】1【解析】【分析】根据题意连接AD，得到ABC为等腰直角三角形，推出AB=BD，则弓形BD的面积=弓形AD的面积，故阴影部分的面积=△ACD的面积，可解出最终结果．【详解】连接AD ，=45C ∠︒，AC 切⊙O 于A 点，=90BAC ∴∠︒，ABC 为等腰直角三角形，又=90ADB ∠︒，∴AD=BD ，弓形BD 的面积=弓形AD 的面积，故阴影部分的面积=△ACD 的面积，AB=2，S △ACD=12CD×AD=12，即阴影部分的面积是1．【点睛】本题考查圆的性质及切线和弓形面积的知识，属于综合题，需要充分掌握圆的基础知识，学会运用圆的性质进行解题是关键．变式1217.CFD 的圆心C 是AB 的中点，且扇形CFD 绕着点C 旋转，半径AE ，CF 交于点G ，半径BE ，CD 交于点H ，则图中阴影面积等于（）A. 12π-B.22π- C. 1π- D. 2π-【答案】D 【解析】【分析】先根据扇形面积公式求出两扇形面积，再过C 分别作CM ⊥AE 于M ，CN ⊥BE于N ，连接EC ，再证明△CMG ≌△CNH的正方形CMEN 得面积，进而可求得阴影部分的面积．2π=，过C 分别作CM ⊥AE 于M ，CN ⊥BE 于N ，连接EC ，则四边形CMEN 是矩形， ∵C 是AB 的中点，∴∠AEC =①BEC ，即EC 平分∠AEB ， ∴CM =CN ，∴四边形CMEN 是正方形， ∴∠CMG =∠MCN =①CNH ，∴∠MCG +∠GCN =①NCH +①GCN =90°， ∴∠MCG =①NCH ， ∴△CMG ≌△CNH （ASA ），的正方形CMEN 的面积，∴空白部分面积为112=，∴阴影部分面积为21π2π-⨯=-，故选：D ．【点睛】本题考查扇形面积公式、圆的有关性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟记扇形面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理和全等三角形的判定与性质，求出空白部分面积是解答的关键．变式1318. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，AD 是∠BAC 的平分线，经过A ，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．若圆半径为2，则阴影部分面积＝_____．【答案】2 3【解析】【分析】连接OD，OF．首先证明OD∥AC，推出S阴影＝S扇形OF A，再证明△AOF是等边三角形即可解决问题．【详解】解：连接OD，OF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAC，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴S①AFD＝S①OFA，∴S阴影＝S扇形OF A，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB ＝2OD ， ∴∠B ＝30°， ∴∠BAC ＝60°， ∵OF ＝OA ，∴△AOF 是等边三角形， ∴∠AOF ＝60°，∴S 阴影＝S 扇形OF A ＝260223603ππ⋅=．故答案为：23π．【点睛】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，运用转化的思想思考问题．变式1419. 如图，AB 是⊙O 的直径，E 是⊙O 上一点，AC 平分BAE ∠，过点C 作CD AE ⊥交AE 延长线于点D ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若6AB =，30BAC ∠=︒，求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）3π2【解析】【分析】（1）连接OC ，根据等腰三角形的性质得到∠BAC =∠ACO ，推出AD //OC ，根据平行线的性质得到∠OCD =90°，于是得到CD 是⊙O 的切线；（2）求出∠OEA =∠EOC =60°，由扇形的面积公式可得出答案．【详解】（1）连接OC ， ∵OC =OA ，∴∠BAC =∠ACO ， ∵AC 是∠BAD 的平分线， ∴∠DAC =∠BAC ， ∴∠DAC =∠ACO ， ∴AD //OC ， ∴∠OCD +∠D =180°， ∵CD AE ⊥ ∴∠CDA =90°， ∴∠OCD =90°， ∴CD 是⊙O 的切线．（2）连接CE ，OE ， ∵6AB =， ∴3OC OE ==，∵30BAC DAC ∠=∠=︒，OA OE =， ∴60OEA EOC ∠=∠=︒，AOE ∴和EOC △为等边三角形60OEC AOE EOC ∴∠=∠=∠=︒∴//CE AB ， ∴CEO CAE S S =△△， ∴60π93π3602EOC S S ⋅⋅===阴扇．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．方法五等积法特征：阴影部分图形在不改变面积的前提下，改变它的形状后，是一个常见图形．计算方法：=S S阴影常见图形一、平移法例题620. 直径为4 cm的圆O1，平移5 cm到圆O2，则图中阴影部分面积为( )A. 20 cm2B. 10 cm2C. 25 cm2D. 16 cm2【答案】A【解析】【详解】分析：通过平移，把⊙O2的半圆向左平移到⊙O1的位置，则圆中阴影部分面积等于一个矩形的面积，然后根据面积公式计算即可．详解：圆中阴影部分面积=5×4=20①cm2①①故选A①点睛：本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．二、旋转法例题7【2019·扬州】21. 如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45︒至四边形AB C D'''的位置，若4cmAB=，则图中阴影部分的面积为________2cm．【答案】2π【解析】【分析】由旋转的性质得：∠BAB'=45°，四边形AB'C'D'≌四边形ABCD，图中阴影部分的面积=四边形ABCD的面积+扇形ABB'的面积-四边形AB'C'D'的面积=扇形ABB'的面积，代入扇形面积公式计算即可．【详解】解：由旋转的性质得：∠BAB'=45°，四边形AB'C'D'≌四边形ABCD，则图中阴影部分的面积=四边形ABCD的面积+扇形ABB'的面积-四边形AB'C'D'的面积=扇形ABB'的面积=2 454 360π⨯=2π；故答案为：2π．【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积公式；熟练掌握旋转的性质，得出阴影部分的面积=扇形ABB'的面积是解题的关键．变式1822. 如图，A，B，C，D，E相互外离，它们的半径都是2，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（）A. 6πB. 5πC. 4πD. 3π【答案】A 【解析】【分析】求出五个扇形的圆心角之和，利用扇形面积公式求解即可．【详解】(52)180540-⨯︒=︒ ∴254026360S ππ=⨯= 故选A ．【点睛】本题考查了多边形内角和，扇形面积公式，理解题意是解题的关键．变式1923. 如图，已知2)，1)，将△AOB 绕着点O 逆时针旋转，使点A旋转到点A′(－2，的位置，则图中阴影部分的面积为________．【答案】34π【解析】【详解】试题分析：①A （2）、B （1），①OA=4，①由A （2）使点A 旋转到点A′（﹣2，，①①A′OA=①B′OB=90°，根据旋转的性质可得，''OB C OBC S S ∆∆=，①阴影部分的面积等于S 扇形A'OA ﹣S 扇形C'OC =2211444ππ⨯-⨯=34π，故答案为34π．考点：1．扇形面积的计算；2．坐标与图形变化-旋转．视频变式2024. 如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为(1,1),(4,2),(3,4)A B C ---．（1）作出ABC 关于原点对称的111A B C △；（2）将ABC 绕点A 逆时针旋转90︒，根据三角形扫过的痕迹，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）所作图形如图所示，见解析；（2）图中阴影部分的面积为134π．【解析】【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征得到A 1、B 1、C 1，然后描点即可；（2）由题意，阴影部分的面积等于线段AC 绕点A 逆时针旋转90°所得到的扇形面积，即可求出答案．【详解】解：（1）所作图形如图所示：（2）由题意可知，∵AC ==所求阴影部分的面积等于线段AC 绕点A 逆时针旋转90°所得到的扇形面积：211344S ππ=⨯⨯=扇形．【点睛】本题考查了作图——旋转变换，旋转的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．也考查了三角形的面积和扇形面积公式．三、对称法 ACDOAB S = ADC例题8【2018·山西】25. 如图，正方形ABCD 内接于①O①①O 的半径为2，以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积为（）A. 4π①4B. 4π①8C. 8π①4D. 8π①8【答案】A【解析】【分析】利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF 的面积-△ABD 的面积.【详解】利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF 的面积-△ABD 的面积=290413602π⨯⨯-×4×2=4π-4① 故选A①【点睛】本题考查扇形的面积公式、正方形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．变式2126. 如图，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠BCD ＝30°，CD ＝S 阴影＝_____．【答案】83π 【解析】【分析】根据垂径定理求得CE ED ==，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD 、OE 的长度，最后将相关线段的长度代入S 阴影=S 扇形ODB -S △DOE +S △BEC ．【详解】解：如图，假设线段CD 、AB 交于点E ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∴CE ＝ED ＝又∵∠BCD ＝30°，∴∠DOE ＝2∠BCD ＝60°，∠ODE ＝30°，∴OE ＝DE•cot60°＝2，OD ＝2OE ＝4， ∴S 阴影＝S 扇形ODB ﹣S △DOE +S △BEC ＝2600D 118OE DE BE CE 360223ππ⨯-⨯+⋅=-＝83π．故答案为83π．【点睛】此题考查了垂径定理、扇形面积的计算，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．变式2227. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，30ABD ∠=︒，4AB =，分别以点A 、点C 为圆心，以OA 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留π）【答案】43π 【解析】【分析】根据菱形的性质得到AC ⊥BD ，∠ABC =2∠ABD =60°，即可得出∠BAD =120°，根据直角三角形的性质求出AO 、BD ，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠ABD =30°，∴AC ⊥BD ，∠ABC =2∠ABD =60°，∴∠BAD =120°，OA =12AB =12×4=2，由勾股定理得，OB =∴BD =∴阴影部分的面积=12×2120243603ππ⨯=，故答案为：43π．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．变式2328. 如图，平行四边形ABCD 中，AB=AC=4，AB①AC ，O 是对角线的交点，若①O 过A 、C 两点，则图中阴影部分的面积之和为_____．【答案】4．【解析】【详解】①①AOB=①COD ，①S 阴影=S ①AOB ．①四边形ABCD 是平行四边形， ①OA=12AC=12×4=2． ①AB①AC ， ①S 阴影=S ①AOB =12OA•AB=12×2×4=4．【点睛】本题考查了扇形面积的计算．四、等底等高变形例题929. 如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6AB =，AD 是BAC ∠的平分线，经过A ，D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，O 分别与AB 、AC 相交于点E 、F ．若圆半径为2．则阴影部分面积（）．A. 13π B. 43π C. 23π 3 【答案】C【解析】【分析】连接OD ，OF ．首先证明OD ∥AC ，推出S 阴＝S 扇形OFA ，再证明△AOF 是等边三角形即可解决问题．【详解】解：连接OD ，OF ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB＝∠DAC，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴S△AFD＝S△OFA，∴S阴＝S扇形OFA，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴S阴＝S扇形OFA＝2 6022= 3603.故选：C．【点睛】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．变式2430. 如图，P是半径为2的⊙O外一点，PB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，且BC①2，则图中阴影部分的面积为________①【答案】2 3π【解析】【详解】整体分析：连接OC①OB①则①OAB为等边三角形，由BC①OA①得S①OCB①S①PCB①把阴影部分的面积转化为扇形OBC的面积.解①连接OC①OB.①OB①OC①BC①2①①①OAB为等边三角形，①①COB①60°.∵BC①OA①①S①OCB①S①PCB①①S阴影①S扇形OBC①2602360π⨯①23π.变式2531. 如图,在半径为2的⊙O中,点Q为优弧MN的中点,圆心角∠MON=60°,在弧QN 上有一动点P,且点P到弦MN所在直线的距离为x.(1)求弦MN的长;(2)试求阴影部分面积y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)试分析比较,阴影部分面积y 与OMN S 扇形的大小关系.【答案】（1）MN ＝2；（2）2π023y x x =+-≤≤+；（3）见解析【解析】【分析】①1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可得出△OMN 是等边三角形，即OM=ON=MN =2,①2）根据三角形的面积公式，即可列出y、x 的函数关系式,①3①根据等底等高的三角形的面积相等，可以过点O 作OP′①MN ，以此线段为分界线进行分情况讨论．【详解】(1) ∵OM =ON ,∠MON =60°,∴△MON 是等边三角形,∴MN =OM =ON =2.(2) 作OH ⊥MN 于H 点,∴112MH MN ==.在Rt △OHN 中,222OH ON NH =- ,∴OH =.2π3OMN OMN S S S=-=-弓形扇形∴21π232PMN y S S x =+=⨯弓形,即2π023y x x =+≤≤+.(3) 令OMN y S =扇形,即22ππ33x +=,∴x =当x =,OMN y S =扇形;当0x ≤<,OMN y S <扇形;2x ≤+时,OMN y S >扇形.【点睛】本题主要考查了圆的综合题,解题时,利用了勾股定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质以及扇形面积的计算,解决本题的关键是要熟练利用相关几何定理和性质.。

【人教新课标】五年级上册数学试题-不规则图形的面积(含答案)

第8课时不规则图形的面积
一、(新知导练)图中每个小方格的面积是1cm2，请你估计这片银杏叶的面积。

1．方格纸上满格的一共有()格，不是满格的有()格。

这片银杏叶的面积在()cm2～()cm2之间。

2．如果把不满一格的都按半格计算，这片银杏叶的面积大约是()cm2。

3．将这片银杏叶近似转化成梯形：
S＝(a＋b)h÷2＝____ ____＝____ ____(cm2)
二、估计每个图形的面积。

(图中每个小方格的面积是1cm2)
()cm2()cm2
三、下图中每1个小方格代表1cm2，计算涂色部分的面积各是多少，并按面积从大到小的顺序排列。

四、有一块近似平行四边形的地，底是35m，高是14.3m。

这块地的面积大约是多少平方米？(得数保留整数)
五、图中每个小方格的面积为1m2，请你估计这个天然温泉的面积。

六、如图，图中每个小方格的面积为1cm2，试着求出阴影部分的面积。

第8课时不规则图形的面积
一、1.816824 2.16 3.(3＋7)×3÷215
二、2622
三、④＞②＞③＞①
四、35×14.3≈501(m2)
五、这个天然温泉的面积大约是32m2。

六、阴影部分的面积等于大长方形的面积减去三角形①②④，减去长方形③，减去梯形⑤的面积。

8×6－2×4÷2－2×4÷2－2×3÷2－3×2－(3＋4)×3÷2＝20.5(cm2)。

六年级数学培优专题-不规则图形面积计算

六年级数学培优专题-不规则图形面积计算不规则图形面积计算（1）我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表:实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。

那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

一、例题与方法指导例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。

思路导航:阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。

例2 如右图，正方形ABCD 的边长为6厘米，△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等，求三角形AEF 的面积. 思路导航: ∵△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等，∴四边形 AECF 的面积与△ABE 、△ADF 的面积都等于正方形ABCD 的13。

在△ABE 中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，∴△ECF 的面积为2×2÷2=2。

所以S △AEF=S 四边形AECF-S △ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。

如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。

思路导航:在等腰直角三角形ABC 中∵AB=10∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，∴阴影部分面积=S △ABG-S △BEF=25-8=17（平方厘米）。

例4 如右图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=CD ，若△ABC （阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD 及△ACE 的面积. 思路导航:取BD 中点F ，连结AF.因为△ADF 、△ABF 和△ABC 等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.∴△ACD 的面积等于15平方厘米，△ABD 的面积等于10平方厘米。

六年级数学-不规则图形面积计算

形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：
实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。
例2如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.
思路导航：
∵△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，
∴四边形 AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形ABCD的。
在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，
∴△ECF的面积为2×2÷2=2。
所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。
例3两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。
思路导航：
在等腰直角三角形ABC中
∵AB=10
∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，
∴阴影部分面积=S△ABG-S△BEF=25-8=17（平方厘米）。
例4如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.
求△ABD及△ACE的面积.
思路导航：
取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，
所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.
一、相加法：
这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.

28不规则图形的面积计算

这三个记忆周期属于短期记忆的范畴。
如何利用规律实现更好记忆呢？
认识图形（二）认识平面图形
超级记忆法-记忆规律第四个
记忆周期是 1天第五个记忆周期是 2天第六个记忆周期是 4天
第记七忆个周如何利用规律实现更好记忆呢？
期是 7天第八个
认识图形（二）认识平面图形
超级记忆法-场景法
例1
想一想，
怎样把这个图形转化成已学过的图形？小组合作，你们怎样分的，在图
这些方法有什么相同点和不同点？
上画出来，一种方
法画一张图。
12 345
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不规则图形的面积计算
方法一：分成一个长方形和一个梯形。
12m 4m
10m 10-4=6（m）
15m
12×4+（12+15）×6÷2=129（㎡）答：这块草坪的面积是129㎡。
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
认识图形（二）认识平面图形
超级记忆法-记忆方法 TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的
卧室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松；
TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、从左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
苏教版数学五年级上册
2 多边形的面积
不规则图形的面积计算
情景导入
探究新知
课堂练习
课堂小结
课后作业
不规则图形的面积计算
情景导入
华丰小学校园里有一块草坪（如下图），它的面积是多少平方米？
你准备怎样算？与同学交流。

五年级上册数学一课一练5.4不规则图形的面积西师大版(含答案)

五年级上册数学一课一练-5.4不规则图形的面积一、单选题1.下面三幅图中，正方形一样大，则三个阴影部分的面积（）A. 一样大B. 第一幅图最大C. 第二幅图最大D. 第三幅图最大2.两个完全一样的直角三角形重叠成右图形状，形成两个梯形，这两个梯形的面积大小关系是( )。

A. A大B. B大C. 相等D. 无法确定3.如图半径均为2cm的四个圆如图所示，分别连结, , , ，所得正方形，则其阴影部分的面积为（）A. 16－πB. 16－2πC. 16－3πD. 16－4π二、判断题4.计算组合图形的面积也要用到基本图形的面积公式。

5.右图中的阴影部分面积占长方形的。

6.用8个1立方厘米的小方块拼成一个正方体．如果拿去一个小方块，它的表面积不变．三、填空题7.图中阴影部分是________形，它的底是小正方形的________，它的高是________。

8.以上两个图形________面积大9.如图，大正方形的周长是48厘米。

涂色部分的面积为________平方厘米。

10.一块菜地的形状如下图所示，它的面积是________ ．四、解答题11.计算阴影图形的面积．12.计算组合图形的面积。

(单位：cm)五、综合题13.看图列式计算（1）武汉地铁2号线．（2）已知BE=6dm，EC=4dm．求图中阴影部分的面积．六、应用题14.在长方形ABCD中，AB=8，BC=15，E是CD的中点，F是BC的中点，连接BD，AE，AF把图形分成六块，求阴影部分的面积和是多少？参考答案一、单选题1.【答案】A【解析】【解答】假设正方形的边长是4，第一个图形：4×4-3.14×(4÷2)²=16-3.14×4=16-12.56=3.44第二个图形：4×4-3.14×(4÷4)²×4=16-3.14×4=16-12.56=3.44第三个图形：4×4-3.14×4²÷4=16-3.14×4=16-12.56=3.44所以三个阴影部分的面积一样大.故答案为：A【分析】三个阴影部分的面积都是正方形面积减去内部空白部分的面积，假设出正方形的边长，然后根据正方形和圆面积公式分别计算阴影部分的面积并作出判断即可.2.【答案】C【解析】【解答】解：梯形A的面积=直角三角形面积-空白部分面积，梯形B的面积=直角三角形面积-空白部分面积，所以梯形A的面积=梯形B的面积。

不规则图形面积的求法

不规则图形面积的求法求不规则图形面积的基本思路是通过分割、重叠、等积替换等方法把不规则图形转化为规则图形或规则图形面积的和差。

一、等积替换（1）三角形等积替换依据：等底等高的三角形面积相等或全等的三角形面积相等。

例1、如图1所示，半圆O 中,直径AB 长为4,C 、D 为半圆O 的三等分点.,求阴影部分的面积.解：连结OC 、OD ，由C 、D 为半圆O 的三等分点知：∠COD=60°，且∠ADC=∠DAB=30°， ∴CD ∥AB ，所以ODC ADC S S ∆∆=（同底等高的三角形面积相等）∴＝＝扇形阴影O CD S S ππ323602602=⨯⨯例2、如图2所示，在矩形ABCD 中,AB=1,以AD 为直径的半圆与BC 切于M 点,求阴影部分面积.解：由AB ＝1，半圆与BC 相切，得AD ＝2 取AD 的中点O ，则OD ＝BM ＝1。

连结OM 交 BD 于E; 则△OED ≌△MEB∴MEB OED S S ∆∆= （全等三角形面积相等）∴＝＝扇形阴影O M D S S 43601902ππ=⨯⨯ (２）弓形等积替换依据：等弧所对的弓形面积相等。

例3、在RT △ABC 中,∠B=90°,AB=BC=4,AB 为直径的⊙O 交AC 于点D, 求图中两个阴影部分的面积之和.解：连结BD ，由AB 为⊙O 的直径得∠ADB ＝90°， RT △ABC 中∠B ＝90°AB ＝BC ＝4，得∠A ＝45°且AC＝AD ＝BD ＝CD＝∴A D BnD S S 弓形m 弓形＝∴CDB 11S CD BD 422S ∆⨯⨯⨯阴影＝＝＝例4、点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ是圆周上四点，且 AB ＋ CD＝ AC ＋ BD ，弦ＡＢ＝８，ＣＤ＝４，求两个阴影部分的面积之和。

解：作⊙ O 的直径BE 连结AE ，则∠BAE ＝90°，AB AE =＋半圆；A图2图4又∵ AB ＋ CD＝ AC ＋ BD ＝ 1AB CD AC BD 2（＋＋＋）＝半圆， ∴ AE ＝ CD ，所以A E C DS m n S 弓形弓形＝，AE=CD=4。

六年级下册数学试题-同步讲练：不规则图形的面积(解析版)人教版

不规则图形的面积【使用说明】本讲义针对人教版本教材，适用于对基本概念掌握较好的学生。

旨在加强对图形求面积的方法的讲解，达到灵活运用的目的。

本节重点➢知识点一：本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括分割、填补、等积变形，通过这些方法的学习，体会求面积的技巧，提高观察能力、动手操作能力、综合运用能力。

例题精讲例题：求如图直角梯形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

【分析】【解答】【难度系数】1变式练习：【题目】求阴影部分的面积（单位：厘米）【分析】【解答】【难度系数】2【例 1】下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.【分析】利用面积相等进行转化，把求不规则阴影部分面积转化为求下方直角梯形面积进行计算。

【解答】所求面积等于图中阴影部分的面积，为2052082140-+⨯÷=()(平方厘米)．【难度系数】2变式练习：【题目】两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.【分析】利用面积相等进行转化，把求左侧阴影梯形面积转化为求下方直角梯形面积进行计算。

【解答】阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积.因为三角形ABC 与三角形DEF 完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应FB A相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积.直角梯形OEFC的上底为10-3=7(厘米)，面积为（7+10）×2÷2=17(平方厘米).所以，阴影部分的面积是17平方厘米。

【难度系数】2例题：如图，在长方形ABCD中，AB长8厘米，BC长15厘米，四边形EFGH的面积是9平方厘米，求阴影部分的面积和。

【分析】【解答】【难度系数】3变式练习：【题目】如图，正方形的边长为10，四边形EFGH的面积为5，那么阴影部分的面积是．【分析】根据等底等高的三角形面积相等，把三角形的面积之和转化为正方形面积的一半，再进行求解。

五年级奥数专题：不规则图形面积计算(含答案)

不规则图形面积计算我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形,一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中,有些图形不是以基本图形的形状出现,而是由一些基本图形组合、拼凑成的,它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。

那么,不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系,问题就能解决了。

一、例题与方法指导例1 如右图,甲、乙两图形都是正方形,它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。

思路导航：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG 、△BDE 、△EFG ）的面积之和。

例2 如右图,正方形ABCD 的边长为6厘米,△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等,求三角形AEF 的面积. 思路导航： ∵△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等,∴四边形 AECF 的面积与△ABE 、△ADF 的面积都等于正方形ABCD 的13。

在△ABE 中,因为AB=6.所以BE=4,同理DF=4,因此CE=CF=2,∴△ECF 的面积为2×2÷2=2。

所以S △AEF=S 四边形AECF-S △ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3 两块等腰直角三角形的三角板,直角边分别是10厘米和6厘米。

如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。

思路导航：在等腰直角三角形ABC 中∵AB=10∵EF=BF=AB-AF=10-6=4,∴阴影部分面积=S △ABG-S △BEF=25-8=17（平方厘米）。

例4如右图,A 为△CDE 的DE 边上中点,BC=CD,若△ABC （阴影部分）面积为5平方厘米. 求△ABD 及△ACE 的面积.思路导航：取BD 中点F,连结AF.因为△ADF 、△ABF 和△ABC 等底、等高,所以它们的面积相等,都等于5平方厘米.∴△ACD 的面积等于15平方厘米,△ABD 的面积等于10平方厘米。

小学奥数：不规则图形的面积.专项练习及答案解析

本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求面积的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．【例 1】你有什么好的方法计算所给图形的面积呢？(单位：厘米)3994399439943994图1 图2 图3 【考点】不规则图形的面积【难度】1星【题型】解答【解析】 (方法一)采用分割法，可给原图分成两个长方形，(图1或图2)两个长方形的总面积就是所求的面积．图1的面积是： 4(93)9375⨯++⨯=(平方厘米)．图2的面积是：(94)39475+⨯+⨯=(平方厘米)．(方法二)采用补图法，如果补上一个边长是9厘米的正方形(图3)，就成了一个面积是：(49)(93)156+⨯+=(平方厘米)的大长方形．因此用这个长方形的面积减去所补正方形的面积，就是要求的图形面积(49)(93)9975+⨯+-⨯=(平方厘米)．【答案】75平方厘米【巩固】如图是学校操场一角，请计算它的面积(单位：米)30203040例题精讲4-2-6.不规则图形的面积【解析】这是一个不规则图形，怎样使它能转化为我们熟悉的基本图形呢？可以在图中添上一条辅助线，把多边形切割成上下两个长方形或左右两个长方形；也可以把多边形补充完整，成为一个长方形；302030403020304030203040图一图二图三方法一：如图一，3040203040120014002600⨯+⨯+=+=（）(平方米) 方法二：如图二，203040203060020002600⨯+⨯+=+=（）(平方米) 方法三：如图三，40302030303035009002600+⨯+-⨯=-=（）（）(平方米)【答案】2600平方米【巩固】如右图所示，图中的ABEFGD 是由一个长方形ABCD 及一个正方形CEFG 拼成的，线段的长度如图所示(单位：厘米)，求ABEFGD 的周长和面积．F【考点】不规则图形的面积【难度】1星【题型】解答【解析】方法一：如果求出长方形的宽及正方形的边长，则图形ABEFGD 的周长和面积可以求出．而正方形的边长1046GC DC DG AB DG =-=-=-=(厘米)，长方形的宽1064BE CE =-=-=(厘米)，所求图形的周长102624440=⨯+⨯++=(厘米) 面积1046676CEFG ABCD S S =+=⨯+⨯=正方形长方形(平方厘米)方法二：可以将线段GF 、DG 向外平移，得一个新的图形ABEH ，因为DG HF =，GF DH =，所以图形ABEH 的周长就是图形ABEFGD 的周长．而10AB BE ==(厘米)，所以图形ABEH 是边长为10厘米的正方形．所求图形的周长=正方形ABEH 的周长10440=⨯=(厘米) 面积10106476ABEH DGFH S S =-=⨯-⨯=正方形长方形(平方厘米)【总结】方法一是利用基本图形的周长及面积公式求解，因此首先要知道长方形的长、宽及正方形的边长．方法二是利用转化的思想方法，将较复杂图形转化为基本图形，图形转化前后的周长不变，面积增加了，在计算时应减去增加的面积．【答案】76【巩固】求图中五边形的面积．6453【解析】由图可见五边形为矩形切去一角得来，把切去的角补出来，它的一条直角边长633-=，斜边等于5，所以另一直角边为4，所以矩形的长为448+=，五边形面积16843422⨯-⨯⨯=．【答案】42【例 2】这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20 厘米．问，此楼梯截面的面积是多少？【考点】不规则图形的面积【难度】2星【题型】解答【关键词】华杯赛、口试【解析】如果把楼梯截面补成右图所示的长方形，那么此长方形高280厘米．宽300厘米，它的面积恰好是所求截面的2倍．所以楼梯截面面积为280300242000⨯÷=（）(平方厘米)．【答案】42000【巩固】如图是一个楼梯的截面图，每级台阶的宽和高都是20厘米．这楼梯的截面积是多少平方厘米？【考点】不规则图形的面积【难度】2星【题型】解答【解析】先求出大三角形的两条直角边都是208160⨯=(厘米)，因此大三角形的面积为160160212800⨯÷=(平方厘米)；8个小三角形的面积为2020281600⨯÷⨯=(平方厘米)；因此这楼梯的截面积为12800160014400+=(平方厘米)．【答案】14400【例 3】有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少？【考点】不规则图形的面积【难度】2星【题型】解答【解析】方法一：可以直接求出每小块菜地的长和宽，从而求出每小块菜地的面积；每一块地的面积是：[1622][822]7321-÷⨯-÷=⨯=（）（）(平方米)方法二：也可以求出这块地的总面积，再减去道路的面积，然后把剩余的面积四等分求出每小块菜地的面积；每一块地的面积是：[1682168222]412844421⨯-⨯+⨯-⨯÷=-÷=（）（）(平方米)方法三：还可以运用平移的方法，将道路移到菜地的边沿，先求出四个小长方形组成的长方形面积，再求出其中每一小块菜地的面积．如图所示：[16282]484421-⨯-÷=÷=（）（）(平方米) 【答案】21【例 4】有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么这10张纸片所盖住的桌面的面积是多少平方厘米？【考点】不规则图形的面积【难度】3星【题型】解答【解析】通过操作，一张一张的添加，可以发现每多盖一张，遮住的面积增加21⨯平方厘米，所以这10张纸片盖住的面积是：3221924⨯+⨯⨯=(平方厘米)．【答案】24【例 5】下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.【考点】不规则图形的面积【难度】3星【题型】解答【解析】所求面积等于图中阴影部分的面积，为2052082140-+⨯÷=()(平方厘米)．【答案】140【巩固】两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.FBA【考点】不规则图形的面积【难度】3星【题型】解答【解析】阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积.因为三角形ABC 与三角形DEF 完全相同，都减去三角形DOC 后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC 面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC 的面积.直角梯形OEFC 的上底为1037-=(厘米)，面积为7102217+⨯÷=()(厘米2). 所以，阴影部分的面积是17平方厘米。

不规则图形面积的计算(练习题)及详细讲解

第一讲不规则图形面积得计算(一)习题一(及详细答案）一、填空题（求下列各图中阴影部分得面积）：二、解答题：1、如右图,AＢCD为长方形，ＡB=１0厘米,ＢＣ＝6厘米,E、F分别为AB、AD中点,且FＧ＝2GE、求阴影部分面积。

２、如右图,正方形ABCD与正方形DEFG得边长分别为12厘米与6厘米、求四边形CMGN （阴影部分)得面积、3、如右图,正方形ABCＤ得边长为5厘米,△ＣEF得面积比△ADF得面积大５平方厘米、求CＥ得长。

4、如右图,已知ＣF=2DF,DE=EA,三角形BＣＦ得面积为2,四边形ＢＥDF得面积为4、求三角形ＡBE得面积、5、如右图，直角梯形ABCＤ得上底BＣ=１0厘米,下底AＤ＝１4厘米,高CD＝5厘米、又三角形ＡBF、三角形BＣE与四边形BEDF得面积相等。

求三角形DEＦ得面积、６、如右图，四个一样大得长方形与一个小得正方形拼成一个大正方形,其中大、小正方形得面积分别就就是６４平方米与９平方米、求长方形得长、宽各就就是多少？7、如右图,有一三角形纸片沿虚线折叠得到右下图,它得面积与原三角形面积之比为２:３,已知阴影部分得面积为5平方厘米、求原三角形面积、８、如右图,ABＣD得边长BＣ=10,直角三角形BCE得直角边EC长8,已知阴影部分得面积比△ＥＦG得面积大10、求CF得长、习题一解答一、填空题:二、解答题：ﻫﻫ3、CＥ=7厘米、ﻫ可求出BE＝12、所以CE=BE－5＝7厘米、４、３、提示:加辅助线BD∴ＣＥ＝4,DE＝ＣD-ＣＥ=5-4=1。

同理ＡＦ＝8,DF＝AD-AF=14-8＝6，6、如右图，大正方形边长等于长方形得长与宽得与、中间小正方形得边长等于长方形得长与宽得差、而大、小正方形得边长分别就就是8米与3米,所以长方形得宽为(8－3)÷2＝2、5（米),长方形得长为８-2、５=５、5(米)、7、１5平方厘米、解：如右图，设折叠后重合部分得面积为ｘ平方厘米,ﻫx=5、所以原三角形得面积为2×5+5=15平方厘米、∴阴影部分面积就就是:１０x-40+S△GEF由题意:S△ＧEF+１0＝阴影部分面积，∴10x-4０=1０,x＝５(厘米）、。

小学奥数全国推荐最新五年级奥数通用学案附带练习题解析答案37不规则图形的面积(一)

年级五年级学科奥数版本通用版课程标题不规则图形的面积（一）我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形，它们的面积及周长都可由相应的公式直接计算。

实际问题中，有些图形是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长可能无法应用公式直接计算。

我们一般称这样的图形为不规则图形。

组合的形式分为两种：一是拼接组合，二是重叠组合。

由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。

那么，怎样去计算不规则图形的面积及周长呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，这样问题就能解决了。

本节课主要用公式法、求和差法、分割法、等量代换法解答不规则图形的面积问题。

1. 常见图形的面积公式：名称图形面积公式长方形ab正方形 2a三角形 ah 21 平行四边形ah梯形h b a ⋅+)(212. 几个重要结论：（1）如果两个三角形的底和高分别相等，那么这两个三角形的面积相等。

（2）如果两个三角形的底（或高）相等，那么它们的面积之比等于它们的高（或底）之比。

例１如图所示，大正方形和小正方形的边长分别为4和2，求阴影部分的面积。

分析与解：如题图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它是一个底是2、高是4的三角形，可以直接利用三角形的面积公式求得阴影部分的面积为2×4÷2＝4。

本题是利用公式直接求解，这种方法是根据已知条件，从整体出发观察组合图形的特征，并与熟悉的基本图形产生联想。

例２正方形甲的边长是5厘米，正方形乙的边长是4厘米，阴影部分的面积是多少？分析与解：两个正方形的面积和：＋＝41（平方厘米）；三个空白三角形的面积和：（5＋4）×5÷2＋4×4÷2＋5×（5－4）÷2＝33（平方厘米）；阴影部分的面积：41－33＝8（平方厘米）。

五年级奥数题解第二讲《不规则图形面积的计算(二)》

第二讲不规则图形面积的计算（二）不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”合并使用才能解决。

例1：如下图（1），在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆，求阴影部分的面积。

(1)(2)解法一：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到图（2）。

这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等。

所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。

解法二：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如图（3）所示。

阴影部分的面积是正方形面积的一半。

(3)(4)解法三：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如图（4）所示。

阴影部分的面积是正方形的一半。

例2：如下图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。

解：由容斥原理，S阴影=S扇形ACB＋S扇形ACD－S正方形ABCD=4π×AB2×2－AB2=4π×42×2－42=16×（2π－1）≈16×2214.3-=9.12（平方厘米）。

例3：如下图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE半径AE=6厘米，扇形CBF的半径CB=4厘米。

求阴影部分的面积。

EB解：S阴景=S扇形ABE＋S扇形CBF－S矩形ABCD=41×π×62＋41×π×42－6×4=41×π（36＋16）－24=13π－24=15（平方厘米）（取π=3）例4：如下图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20厘米，如果阴影（1）的面积比阴影（2）的面积大7平方厘米，求BC长。

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