3.4 定积分与微积分基本定理
定积分微积分基本定理
定积分、微积分基本定理
【定积分】
定积分就是求函数f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积．即由y＝0，x＝a，x＝b，y＝f（X）所围成图形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个
面积，是一个数．
定积分的求法：
求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．
【微积分基本定理】
在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．
其中，微积分的核心（基本）定理是，其中F′（x）＝f （x），而f（x）必须在区间（a，b）内连续．
例1：定积分＝
解：
∫12|3﹣2x|dx
＝+
＝（3x﹣x2）|+（x2﹣3x）|
＝
通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有dx；第二，每一段
对应的被积分函数的表达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．
例2：用定积分的几何意义，则．
解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，
故＝＝．
这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．
【考查】
定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．。
定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理1.定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －a nf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个□01常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛a b f (x )dx ＝limn →∞∑n i ＝1b －an f (ξi )．其中f (x )称为□02被积函数，a 称为积分□03下限，b 称为积分□04上限．2.定积分的几何意义3.定积分的性质性质1：⎠⎛a b kf (x )d x ＝□01k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)．性质2：⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝□02⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛abg (x )d x .性质3：⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋□03⎠⎛c b f (x )d x . 4.微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a b f (x )d x＝□01F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．可以把F (b )－F (a )记为F (x )|b a ，即⎠⎛ab f (x )dx ＝F (x )|b a ＝□02F (b )－F (a )． 5.定积分与曲边梯形面积的关系设阴影部分的面积为S. (1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；(2)S ＝□01－⎠⎛ab f (x )d x ；(3)S ＝□02⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x ；(4)S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x . 6.函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有： (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎜⎛－aaf (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)设f (x )为奇函数，则⎠⎜⎛－aaf (x )d x ＝0.1.概念辨析(1)在区间[a ，b ]上连续的曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛ab |f (x )|d x .( )(2)若⎠⎛a b f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x轴下方．( )(3)已知质点的速度v ＝mt (m >0)，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是⎠⎛0to mt d t＝mt 202.( )答案 (1)√ (2)× (3)√2.小题热身(1)如图，指数函数的图象过点E (2，9)，则图中阴影部分的面积等于()A.8ln 3 B ．8 C.9ln 3 D ．9答案A答案B(3) ⎠⎛-12|x |d x ＝________.答案 52解析 ⎠⎛-12|x |d x 的几何意义是函数y ＝|x |的图象与x 轴围成的图形(如图阴影所示)的面积，所以⎠⎛-12|x |d x ＝12×1×1＋12×2×2＝52.(4)若⎠⎛0t x 2d x ＝9，则常数t 的值为________．答案 3解析 ⎠⎛0t x 2d x ＝x 33|t 0＝t 33＝9，解得t ＝3.题型 一 定积分的计算答案 C 解析。
课件1：定积分与微积分基本定理
自
第4节 定积分与微积分基本定理
高 考
主
体
落
验
实
·
·
明
固
考
基
情
础
典例课来自探后究
作
·
业
提
知
能
菜单
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高
自
考
主 落
1．定积分的概念与性质
体 验
实
·
(1)定积分的定义：
· 明
固
考
基 础
如 果 函 数 f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 连 续 ， 用 分 点 a ＝ 情
π (1)(2013·广州模拟)若∫ 2 0(sin x＋acos x)dx＝2，则实数 a 等于( )
验 · 明 考 情
A．－1
B．1
C. 3
D．－ 3
(2)定积分3 9－x2dx 的值为( ) 0
典 例 探 究
A．9π B．3π C.94π D.92π
课 后 作
·
业
提
知
能
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固 基
当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常
考 情
础
数 叫 做 函 数 f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 定 积 分 ， 记 作
典 例 探
__baf_(_x_)d_x___，即baf(x)dx＝limi＝n1 b－n af(ξi)．
课 后
究
作
·
业
提
知
能
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③bf(x)dx＝_____a _______＋bf(x)dx(其中 a<c<b)．
34定积分与微积分基本定理
第5页
●微积分基本定理
如果f x是区间a,b上的连续函数,并且Fx f x,
那么ba f xdx FbFa,这个结论叫做微积分基本
定理,又叫做牛顿一莱布尼兹公式.为了方便,常把
FbFa记成Fx|ba,即ba f xdx Fx|ba FbFa.
第6页
考点自测
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1.定 积 分 0cosxdx
2 形 的 面 积 为 __________. 答案:3
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题型突破
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题 型 一 tix in g yi定 积 分 的 计 算
【 例 1】 求 下 列 定 积 分 :
1
1 0
x2 x
dx;
2
2
sin
2
x 2
dx
;
2
3
2 1
3
2x
dx.
第15页
第16页
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规律方法:利用微积分基本定理求定积分,其关键是求出被积 函数的原函数,求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互 逆运算,因此应注意掌握一些常见函数的导数.此外,如果被积 函数是绝对值函数或分段函数,那么可以利用定积分的性
3.设f
x
x2 (x
2
x
x
0),
0,
则
11
f
x
dx的值是()
A. 11 x 2dx
B. 11 2xdx
C.
0 1
x
2dx
10
2xdx
D.
0 1
2xdx
10
x 2dx
第10页
解 析 :由 分 段 函 数 的 定 义 及 积 分 运 算 的 性 质 知 1 1 fx d x 0 1 fx d x 1 0 fx d x 0 1 2 x d x 1 0 x 2 d x .
3-4 定积分与微积分基本定理(共54张PPT)
将 区 间 1<xi<…<xn＝b，
－
n个 小 区 间 ， 在 每 个 区 间
1
， xi] 上取一点
ξi (i ＝ 2 1 , ， … ， n) ，作和式 ， 当 n→＋∞时 ， 上 述 和 式 无 限 接 近 某 个 常 数 ， f(x)在 区 间 [a，b]上 定 积 分 ， 记 作 .
b
＝ 这 个 常 数 叫 做 函 数 f(x)dx＝
f(x)dx b ，即 a
a
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其定义体现求定积分的四个步骤： ① 分割 ；② 近似代替 ；③ 取和 ；④ 取极限 ．
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y是 自 0、1、 BE、AE 和抛
AB 围 成 的 区 域 的 面 积 ．
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7 【答案】 6
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3 x2 x 因 为 ( 2 )′＝x，(x2－ 3 )′＝2x－x2， 故 所 求 的 面 积 2 3 x x 1 2 1 2 2 1 2 | | S ＝ (2x－x)dx＋ (2x－x )dx＝ 2 0＋(x － 3 ) 1＝2－0＋(4－ 0 1
x2 x3 x2 2， 又 ( 2 )′＝x，( 3 － 2 )′＝x2－x.故
2 3 2 x x x 8 2 2 2 2 2 | | S＝ (2x－x)dx－ (x －x)dx＝ 2 0－( 3 － 2 ) 1＝2－(3－2 ) ＋ 0 1
定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理1．定积分的概念在⎠⎛ab f (x )dx 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式． 2．定积分的几何意义设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≥0，则定积分⎠⎛ab f (x )dx表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积． 3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )dx ＝k ⎠⎛ab f (x )dx (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]dx ＝⎠⎛ab f 1(x )dx ±⎠⎛ab f 2(x )dx ；(3)⎠⎛ab f (x )dx ＝⎠⎛ac f (x )dx ＋⎠⎛cb f (x )dx (其中a <c <b )．4．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )dx ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )⎪⎪⎪ba ，即⎠⎛abf (x )dx ＝F (x )⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛ab f (x )dx ＝⎠⎛ab f (t )dt .( )(2)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )dx ＝2⎠⎛0a f (x )dx .( )(3)若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )dx ＝0.( )(4)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的区域面积是⎠⎛01(x 2－x )dx .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×⎠⎛01e x dx 的值等于( )A ．eB ．1－eC ．e －1 D.12(e －1)解析：选C.⎠⎛01e x dx ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1.如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是()A ．1 B.43 C. 3 D ．2解析：选B .由⎩⎨⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.所以S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)dx ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43.若∫π20(sin x －a cos x )dx ＝2，则实数a 等于________．解析：由题意知(－cos x －a sin x )|π20＝1－a ＝2，a ＝－1. 答案：－1设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e ](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )dx 的值为________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e ]，所以⎠⎛0e f (x )dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛1e 1x dx＝13x 3⎪⎪⎪10＋ln x ⎪⎪⎪e 1＝13＋ln e ＝43.答案：43定积分的计算[典例引领]利用微积分基本定理求下列定积分： (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋1)dx ；(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )dx ； (3)⎠⎛02|1－x |dx ；(4)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x dx . 【解】 (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋1)dx＝⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛122xdx ＋⎠⎛121dx＝x 33⎪⎪⎪21＋x 2⎪⎪⎪21＋x ⎪⎪⎪21＝193. (2)⎠⎜⎛π(sin x －cos x )dx＝⎠⎜⎛0πsin xdx －⎠⎜⎛0πcos xdx ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪⎪π0＝2. (3)⎠⎛02|1－x |dx ＝⎠⎛01(1－x )dx ＋⎠⎛12(x －1)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |21 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12－1＝1. (4)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x dx ＝⎠⎛12e 2x dx ＋⎠⎛121x dx＝12e 2x ⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1＝12e 4－12e 2＋ln 2.若本例(3)变为“⎠⎛03|x 2－1|dx ”，试求之．解：⎠⎛03|x 2－1|dx＝⎠⎛01(1－x 2)dx ＋⎠⎛13(x 2－1)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪31 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23＝223.计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．[通关练习]1.⎠⎛－11e |x |dx 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2解析：选C.⎠⎜⎛－11e |x |dx ＝⎠⎜⎛－1e －x dx ＋⎠⎛01e x dx ＝－e －x |0－1＋e x |10＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0)＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C .2．若⎠⎛01(x ＋mx )dx ＝0，则实数m 的值为( )A ．－13B ．－23C ．－1D ．－2解析：选B.由题意知⎠⎛01(x 2＋mx )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋m x 22|10＝13＋m2＝0，得m ＝－23.3．(优质试题·泉州模拟)⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x dx ＝________．解析：⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x dx ＝⎠⎛011－x 2dx ＋⎠⎛0112xdx ，⎠⎛0112xdx ＝14，⎠⎛011－x 2dx 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.答案：π＋14利用定积分计算平面图形的面积(高频考点)利用定积分计算平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考向；主要以选择题、填空题的形式出现，一般难度较小．高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下两个命题角度： (1)根据条件求平面图形的面积；(2)利用平面图形的面积求参数．[典例引领]角度一 根据条件求平面图形的面积(优质试题·新疆第二次适应性检测)由曲线y ＝x 2＋1，直线y ＝－x ＋3，x 轴正半轴与y 轴正半轴所围成图形的面积为( ) A ．3 B.103 C.73D.83【解析】 由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示，由⎩⎨⎧y ＝x 2＋1y ＝－x ＋3，解得⎩⎨⎧x ＝－2y ＝5(舍去)或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即A (1，2)，结合图形可知，所求的面积为⎠⎛01(x 2＋1)dx ＋12×22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x |10＋2＝103，选B .【答案】B角度二 利用平面图形的面积求参数已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．【解析】 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(0)＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a ＜0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)dx ＝112a 4＝112，所以a ＝－1. 【答案】 －1用定积分求平面图形面积的四个步骤(优质试题·山西大学附中第二次模拟)曲线y ＝2sinx (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________． 解析：令2sin x ＝1，得sin x ＝12， 当x ∈[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝⎠⎜⎛π65π6 (2sin x －1)dx ＝(－2cos x －x ) ⎪⎪⎪5π6π6＝23－2π3.答案：23－2π3定积分在物理中的应用[典例引领]设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J (x 的单位：m ；力的单位：N )．【解析】 变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )dx ＝⎠⎛110(x 2＋1)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪101＝342(J )． 【答案】342定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )dt .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )dx .以初速40 m /s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603 m B.803 m C.403 mD.203 m解析：选A.由v ＝40－10t 2＝0， 得t 2＝4，t ＝2.所以h ＝⎠⎛02(40－10t 2)dt ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40t －103t 3⎪⎪⎪20＝80－803＝1603(m).求定积分的方法(1)利用微积分基本定理求定积分步骤如下： ①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a )．(2)利用定积分的几何意义求定积分．求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形． (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限． (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和． (4)计算定积分．易错防范(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是积分变量． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积为正，而定积分的结果可以为负．1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x )dx 的值为( )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12。
《定积分与微积分基本定理》教案
《定积分与微积分基本定理》教案章节一：定积分的概念1.1 引入定积分的概念1.2 定积分的几何意义1.3 定积分的性质1.4 定积分的计算方法章节二：定积分的计算2.1 定积分的换元法2.2 定积分的分部积分法2.3 定积分的三角函数法2.4 定积分的特殊函数法章节三：定积分的应用3.1 定积分在几何中的应用3.2 定积分在物理中的应用3.3 定积分在经济学中的应用3.4 定积分在其他领域的应用章节四：微积分基本定理4.1 微积分基本定理的引入4.2 微积分基本定理的证明4.3 微积分基本定理的应用4.4 微积分基本定理的拓展章节五：定积分的进一步应用5.1 定积分的双重积分5.2 定积分的三重积分5.3 定积分的线积分5.4 定积分的面积分《定积分与微积分基本定理》教案（续）章节六：定积分的数值计算6.1 梯形法则6.2 辛普森法则6.3 柯特斯法则6.4 蒙特卡洛方法章节七：定积分的误差分析7.1 梯形法则的误差分析7.2 辛普森法则的误差分析7.3 柯特斯法则的误差分析7.4 蒙特卡洛方法的误差分析章节八：微积分基本定理的应用8.1 微积分基本定理在求解不定积分中的应用8.2 微积分基本定理在求解定积分中的应用8.3 微积分基本定理在求解极限中的应用8.4 微积分基本定理在求解导数中的应用章节九：定积分的优化问题9.1 利用定积分求解最大值和最小值9.2 利用定积分求解极值问题9.3 利用定积分求解最值问题的应用实例9.4 利用定积分求解实际问题中的优化问题章节十：定积分与微积分基本定理的综合应用10.1 利用定积分和微积分基本定理解决实际问题10.2 定积分和微积分基本定理在工程中的应用10.3 定积分和微积分基本定理在科学研究中的应用10.4 定积分和微积分基本定理在其他领域的应用《定积分与微积分基本定理》教案（续）章节十一：定积分的物理意义11.1 定积分在物理学中的作用11.2 定积分与力学中的功11.3 定积分与电磁学中的电场强度11.4 定积分在热力学中的应用章节十二：定积分在工程中的应用12.1 定积分在土木工程中的应用12.2 定积分在机械工程中的应用12.3 定积分在电子工程中的应用12.4 定积分在生物医学工程中的应用章节十三：定积分在经济与管理中的应用13.1 定积分在经济学中的优化问题13.2 定积分在金融学中的应用13.3 定积分在运筹学中的应用13.4 定积分在管理科学中的应用章节十四：定积分在现代科技中的应用14.1 定积分在计算机科学中的应用14.2 定积分在数据科学中的应用14.3 定积分在中的应用14.4 定积分在其他现代科技领域的应用章节十五：定积分与微积分基本定理的复习与提高15.1 定积分的基本概念与性质的复习15.2 微积分基本定理的复习与应用15.3 定积分的计算方法的巩固与提高15.4 定积分在实际问题中的应用案例分析重点和难点解析重点：1. 定积分的概念和几何意义2. 定积分的计算方法：梯形法则、辛普森法则、柯特斯法则和蒙特卡洛方法3. 定积分的应用领域：几何、物理、经济学等4. 微积分基本定理的引入、证明和应用5. 定积分的数值计算和误差分析6. 定积分在不同学科中的应用：物理学、工程学、经济与管理、现代科技等难点：1. 定积分的换元法和分部积分的具体操作2. 定积分的三角函数法和特殊函数法的应用3. 微积分基本定理的证明过程中的理解和应用4. 定积分的数值计算方法的误差分析5. 定积分在实际问题中的优化问题和应用实例6. 定积分在不同学科中的应用：物理学、工程学、经济与管理、现代科技等，这些应用领域的理解和实际问题解决能力的培养。
第三章导数及其应用3-4定积分与微积分基本定理(理)
(4)公式法：套用公式求定积分，避免繁琐 的运算，是求定积分常用的方法． (5)定义法：用定义求定积分是最基本的求 定积分方法．
[例1] 用定积分的定义求由y＝3x，x＝0，x ＝1，y＝0
[解析] (1)分割：把区间[0,1]等分成n个小区间
i－1 i 1 n ，n (i＝1,2，…，n)．其长度为Δx＝ n ，把曲边
2x
1 2 1 1－1|x|dx＝2 xdx＝2× x |0 ＝1； 解析：(1) 2
1 0
1 1 3 1 －3 2 (2) x ＋x4dx＝ 3x －3x 1
2 1
2
8 1 1 1 21 ＝ － － ＋ ＝ . 3 3 3×8 3 8
＝(x
2
1 3 3 32 3 ＋3x)|－1 － x |－1 ＝ . 3 3
32 答案： 3
点评：利用定积分求平面图形的面积时，关 键是将待求面积的平面图形看成可求积分的 平面图形的和或差，还要注意待求面积的平 面图形在y轴上方还是下方，以确定积分的 正负．
由曲线y＝ x，y＝x2所围成图形的面积为____．
b a b a
n －1 i ＝0
分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积 式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积．
对定义的几点说明：
b f(x)dx是一个常数． (1)定积分
a
(2)用定义求定积分的一般方法是： ①分割区间：将区间分为n个小区间，实际应用 中常常是n等分区间[a，b]； ②近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；
b－a ③求和： f(ξi)· ； n i＝1
定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理知识点一:定积分的概念如果函数在区间上连续，用分点将区间分为n个小区间，在每个小区间上任取一点(i=1,2,3…,n)，作和式，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即,，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.说明:(1)定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零;(2)用定义求定积分的四个基本步骤:?分割;?近似代替;?求和;?取极限.知识点二:定积分的几何意义设函数在区间上连续.在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积;在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示曲边梯形面积的相反数;在上，当既取正值又取负值时，曲线的某些部分在轴的上方，而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图形的面积赋予负号;在一般情形下，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和.知识点三:定积分的性质(1)(为常数)，(2)，(3)(其中)，(4)利用函数的奇偶性求积分:若函数在区间上是奇函数，则;若函数在区间上是偶函数，则.知识点四:微积分基本定理微积分基本定理(或牛顿,莱布尼兹公式):如果在上连续，且，则。
其中叫做的一个原函数.注意:求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.由于也是的原函数，其中c为常数.知识点五:应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线，，轴(即直线)及一条曲线()围成的曲边梯形的面积:2(如图，由三条直线，，轴(即直线)及一条曲线()围成的曲边梯形的面积:3(由三条直线轴及一条曲线(不妨设在区间上，在区间上)围成的图形的面积:,，.4. 如图，由曲线及直线，围成图形的面积: 知识点六:定积分在物理中的应用变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.变力作功物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.规律方法指导1(如何正确理解定积分的概念定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即(称为积分形式的不变性)，另外定积分与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如与的值就不同。
定积分与微积分基本定理
5．定积分在物理中的简单应用 (1)作变速直线运动的物体(速度函数为 V(t)，速度方向不变) 在时间区间[a，b]上所经过的路程 S＝____________. (2)在变力 F＝F(x)的作用下，物体沿力 F 的方向作直线运动， 并且由 x＝a 运动到 x＝b(a＜b)，则力 F 对物体所做的功 W＝ ____________. (3)在变力 F＝F(x)的作用下，物体沿与力 F 的方向成 θ 角的 方向作直线运动，并且由 x＝a 运动到 x＝b(a＜b)，则力 F 对物 体所做的功 W＝____________.
(2014·江西)若 f(x)＝x2＋201f(x)dx，则 01f(x)dx＝(
)
A．－1
B．－13
C.13
D．1
解：01f(x)dx 为常数，不妨设 a＝01f(x)dx.则 f(x)＝x2
＋2a，所以
a＝01(x2＋2a)dx＝13x3＋2ax|10，所以
1 a＝3＋2a，
所以 a＝－13.故选 B.
• 3.4 定积分与微积分基 本定理
1．定积分的定义
(1)如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成 n
个 小 区 间 ， 在 每 个 小 区 间 上 任 取 一 点 ξi(i ＝ 1 ， 2 ， … ， n) 作 和 式
n
i 1
ba n
f
(i ) ．当 n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做
解：变力 F(x)＝x2＋1 使质点 M 沿 x 轴正向从 x＝1
定积分与微积分基本定理.
3 ＝(x3－x2＋x)|－ 1＝24.
(2)
2 1 π
1 1 3 2 2 x－xdx＝2x －ln x|1＝ －ln 2. 2
π π
(3) (sin x－cos x)dx＝ sin xdx－ cos xdx＝
定积分与微积分基本定理
结束
2．计算下列定积分： (1) (3)
3 -1 π 0
(3x －2x＋1)dx；(2)
2
2 1 2 0
1 x－xdx； |1－x|dx.
(sin x－cos x)dx；(4)
3 -1
解：(1)
(3x2－2x＋1)dx
0 0 0 π (－cos x) |0 －sin x |π 0 ＝2.
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第十二节
定积分与微积分基本定理
结束
(4) |1－x|dx＝ (1－x)dx＋ (x－1)dx
0 0 1
2
1
2
1 2 1 1 2 ＝x－2x |0＋2x －x |2 1 1 1 1 2 2 ＝1－2－0＋2×2 －2－2×1 －1＝1.
1 0 1 1 1－x dx 的几何意义是求单位圆面积的 ，所以 0 4
如：定积分 π 1－x dx＝ . 4
2
2
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第十二节
定积分与微积分基本定理
结束
[练一练]
若 f(x)dx＝1， f(x)dx＝－1，则 f(x)dx＝________.
解析：∵ f(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx， ∴ f(x)dx＝ f(x)dx－ f(x)dx＝－1－1＝－2.
16-定积分与微积分基本定理 (2)
3.4 定积分与微积分基本定理教学目标重点是理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的思想；掌握定积分的计算方法．难点是利用定积分的几何意义解决问题．能力点：定积分的定义及几何意义以及极限思想，正确进行表述、判断和推理．教育点：提高学生的认知水平，塑造良好的认知结构．自主探究点：抓住定义，运用类比、联系和举例的方法加深对有关概念的理解和应用．高考要求：1、理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程；3、掌握定积分的计算方法；4、利用定积分的几何意义会解决问题．学法与教具1、学法：探究归纳，讲练结合2、教具：多媒体、实物投影仪．一、【知识结构】二、【知识梳理】1．用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边递形的面积的具体步骤为、、、.2.定积分的定义如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式 。
当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作 ，即()baf x dx ⎰＝ ，其中()f x 称为 ，x 称为 ，()f x dx 称为 ，[,]a b 为 ，a 为 ，b 为 ， “⎰”称为积分号．3．()baf x dx ⎰的实质（1）当()f x 在区间[,]a b 上大于0时，()ba f x dx ⎰表示 ； （2）当()f x 在区间[,]ab 上小于0时，()baf x dx ⎰表示 ；（3）当()f x 在区间[,]a b 上有正有负时，()baf x dx ⎰表示 ；4．定积分的性质根据定积分的定义及几何意义，容易得到定积分的如下性质： （1）()ba kf x dx ⎰＝ （k 为常数）；（2）12[()()]baf x f x dx ±=⎰ ；（3）()baf x dx ⎰＝ （其中a c b <<）．5．微积分基本定理一般地，如果()f x 是闭区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()baf x dx ⎰＝__________________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿―――莱布尼兹公式，可以把()()F b F a -记作 ，即()ba f x dx ⎰＝ ＝ ．［特别提醒］ 1．定积分()baf x dx ⎰的值只与被积函数()f x 及被积区间[,]a b 有关，而与积分变量所用的符号无关，即定积分()baf x dx ⎰是一个常数，当被积函数()f x 及被积区间[,]a b 给定后，这个数便是确定的，它除了不依赖于定义中的对区间[,]a b 的分法和i ξ的取法外，也不依赖于()baf x dx ⎰中的积分变量，即()baf x dx⎰＝()baf t dt ⎰．2．由积分符号()baf x dx ⎰可知，积分变量x 的变化范围是a x b ≤≤.3．定积分的概念与理论是在解决实际问题的过程中，运用数学知识抽象概括后产生和发展起来的，它的几何意义是表示曲边梯形的面积，物理意义来源于汽车行驶的路程．4．运用定积分的性质可以将较为复杂的求定积分问题转化为简单的求定积分问题，因此，在求定积分时应充分考虑利用定积分的性质化简后再进行求解．三、【范例导航】 例1.求定积分2211d 2x x x+⎰．解析：2211d 2x x x+⎰22211111111d ln ln(2)(ln 3ln 2).2222x x x x x ⎛⎫⎡⎤=-=-+=- ⎪⎢⎥⎣⎦+⎝⎭⎰ 评注：本题由2211d 2xx x +⎰想到被积函数的原函数可能是自然对数的形式，只是需要把212x x +拆成1x与12x +的差．运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数． 变式训练：计算:220sin 2x dx π⎰分析：我们要直接求2sin 2x 的原函数比较困难，但我们可以将2sin 2x先变式化为1cos 11cos 222x x -=-，再求积分，利用上述公式就较容易求得结果，方法简便易行. 解：2222222000001cos 1111sin cos |sin |222222x x dx dx dx xdx x x ππππππ-==-=-⎰⎰⎰⎰11110sin sin 04222242πππ=-⋅-+=- 评注：较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分.例2.求定积分120(1(1))x x dx ---⎰的值．解析：12(1(1))x x dx ---⎰表示圆22(1)1(0)x y y -+=≥的一部分与直线y x=所围成的图形（如图所示）的面积，因此2120π11π1(1(1))114242x x dx ⨯---=-⨯⨯=-⎰． 评注：本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦，由120(1(1))x x dx ---⎰联想到圆22(1)1(0)x y y -+=≥的一部分与直线y x =，再联想到定积分的几何意义，从而简化了运算．这也是数形结合思想的又一体现．运用定积分的几何意义计算定积分，需要具备较强的观察能力、分析能力．变式训练：求定积分121(1)x dx --⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出． 解：121(1)x dx --⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以121(1)x dx --⎰＝2π． 例3、求y 2=x 与直线x-2y-3=0所围图形的面积．解法一：先求出抛物线与直线的交点P(1,-1)与Q(9,3)，如图把所求面积的平面图形分成S 1，S 2两部分，分别求得它们的面积A 1, A 2 ：A 1=1[()]x x dx --⎰=21xdx ⎰=43; A 2=91328()23x x dx --=⎰ 所以A=A 1+A 2=43+283=1023解法二：本题也可把抛物线与直线方程写成x= y 2=g 1(y), x=2y+3=g 2(y), 应用公式对y 求积分便得： A=3211[()()]g y g y dy --⎰=321[(23)]y y dy -+-⎰=1023评注：1. 求平面图形的面积的解题步骤：（1）画出图形；（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点横（纵）坐标，定出积分上、下限；（3）确定被积函数，注意分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分的表达式；（5）运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．2．求解时要灵活选择坐标系，积分变量，由图形特点，适当选取积分变量对计算简繁有很大影响，显然上述解法二简洁．变式训练：求曲线3y x =与直线2y x =所围成的图形的面积． 解：如图，先求出直线与曲线的交点，由方程组32y x y x ⎧=⎨=⎩，，解得02x x ==±，．故交点坐标为(222)(00)(222)--，，，，，． 因此，积分区间应分为两部分[20][02]-，，，，且由图象的对称性知，图形在两个积分区间上面积相等．故023320(2)(2)S x x dx x x dx -=-+-⎰⎰232242012(2)222x x dx x x =-=-=⎰||． 点评：本解法充分利用图形的对称性，减少了运算量.xyo1-11例4、（2012年高考湖南理15）函数f （x ）=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像如图所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.（1）若6πϕ=，点P 的坐标为（0，33），则ω= ; （2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 .解析：（1）()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6πϕ=，点P 的坐标为（0，33）时，33cos,362πωω=∴=； （2）由图知222T AC ππωω===，122ABCS AC πω=⋅=，设,A B 的横坐标分别为,a b . 设曲线段ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S 则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224ABCSP Sππ===. 点评：本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P 在图像上求ω，（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.变式训练： (2012年惠州质检)设y ＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x ⎰dx.先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N)．再数出其中满足y i ≤f(x i )(i ＝1,2，…，N)的点数N 1，那么由随机模拟方法可得积分1()f x ⎰dx 的近似值为______．解析：因为0≤f(x)≤1且由定积分的定义知：1()f x ⎰dx 是由直线x ＝0，x ＝1及曲线y ＝f(x)与x 轴围成的面积．又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形的面积为1，且共有N 个数对，即N 个点．而满足y i ≤f(x i )的有N 1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有N 1个点．所以用几何概型的概率公式得：f(x)在x ＝0到x ＝1上与x 轴围成的面积为1N N ×1＝1N N ，即10()f x ⎰dx ＝1NN.四、【解法小结】1．(1)若使F ′(x)＝f(x)的函数F(x)不易寻找时，要把f(x)进行等价变形， (2)一般要把被积函数变形为幂函数、指数函数、正(余)弦函数积的和或差．2．用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．3．当被积函数的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，用求曲边梯形面积的代数和的方法求定积分．但要注意两点：(1)函数的图象连续不间断．(2)函数图象是在x 轴上方还是下方．4．对于不便求出被积函数的原函数的，可考虑用定积分的几何意义求解．5、利用定积分求面积一定要结合几何图形的直观性，把所求的曲边形的面积用函数的定积分表示，关键有两点：一是确定积分的上下限；二是确定被积函数．只要解决了这两点，所求的面积就转化为根据微积分基本定理计算定积分了．五、【布置作业】 必做题：1、（2012年济南三模）已知函数2()321f x x x =++，若11()2()(0)f x dx f a a -=>⎰成立，则a ＝________2、（2012年莱芜3月模拟）函数2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为 .3、（2012临沂3月模拟）函数32()1f x x x x =-++在点(1,2)处的切线与函数2()g x x =围成的图形的面积等于_________；4、（2012日照5月模拟）如图，由曲线sin y x =，直线32x π=与x 轴围成的阴影部分的面积是 （A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）35、（2011年高考陕西理11）．设2lg 0()30ax x f x x t dt x>⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰，若((1))1f f =，则a = ．必做题答案：1、13 2、56 3、43C. 4、D 5、1 选做题：1、（2012年临沂二模）已知{(,)|01,01}x y x y Ω=≤≤≤≤，A 是由直线0,(01)y x a a ==<≤和曲线3y x =围成的曲边三角形区域，若向区域Ω上随机投一点，点落在区域A 内的概率为164，则a 的值是（A ）164（B ）18 （C ）14 （D ）122、（2012青岛二模）设220(13)4a x dx =-+⎰，则二项式26()a x x+展开式中不含．．3x 项的系数和是A ．-160B ．160C ．161D ．-161 3、已知函数f(x)=bx ax x ++232131, a,b ∈R,)(x f '是函数f(x)的导数． （1)试判断函数f(x)的单调性；(2)若-1≤a ≤1, -1≤b ≤1,求方程)(x f '=0有实数根的概率．（3）若-1≤a ≤1, -1≤b ≤1,求方程)(x f '＋ax ＋a 2＋a ＝0有实数根的概率．选做题答案： 1、D 2、C 3、解析：（1）由f(x)=bx ax x ++232131得b ax x x f ++='2)(, ①若△=a 2-4b ＜0，即a 2＜4b ，当x ∈R 时,)(x f '＞0恒成立，所以f(x)在R 上单调递增；②若△=a 2-4b=0，即a 2=4b ，当x ∈R 时)(x f '≥0恒成立，当且仅当x=-2a时, )(x f '=0. 当x ≠-2a 时, )(x f '>0恒成立，所以函数f(x)在(-∞, -2a )上为增函数，在(-2a，+∞)上也为增函数，而函数f(x)在x=-2a处连续，则f(x)在R 上单调递增;③若△=a 2-4b>0，即a 2>4b ，令)(x f '=0,即b ax x ++2=0,解得2421b a a x ---=,2422ba a x -+-=,21x x <.当x ∈(-∞, 1x )时)(x f '＞0，当x ∈(21,x x )时,)(x f '<0时,当x ∈(x 2, +∞)时, )(x f '＞0.则函数f(x)在(-∞,x 1)上单调递增, (21,x x )上单调递减，(x 2, +∞)上单调递增．故若a 2≤4b 时，函数f(x)在R 上单调递增；若a 2>4b 时，函数f(x)在(-∞,x 1)上单调递增，(21,x x )上单调递减，(x 2, +∞)上单调递增，其中2421b a a x ---=,2422ba a x -+-=.（2）方程)(x f '=0，即b ax x ++2=0有实数根，则△≥0，即a 2≥4b ，若-1≤a ≤1, -1≤b ≤1,方程)(x f '=0有实数根的条件是⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≤≤-b a b a 411112 (※)如图条件(※)的面积为da a S ⎰---=1121)]1(4[=da a ⎰-+112)14(613212113=+=-a . 而条件-1≤a ≤1, -1≤b ≤1的面积为S=4，根据几何概型的概率公式可知,方程)(x f '=0有实数根的概率为P=24131=S S . （3）方程)(x f '＋ax ＋a 2＋a ＝0，即x 2＋2ax ＋a 2＋a ＋b=0有实数根，则△≥0，即a+b ≤0，若-1≤a ≤1, -1≤b ≤1,方程)(x f '＋ax ＋a 2＋a ＝0有实数根的条件是⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤-≤≤-01111b a b a (※) 如图：条件(※)的面积为S 1=2，而条件-1≤a ≤1, -1≤b ≤1的面积为S=4， 根据几何概型的概率公式可知，方程)(x f '＋ax ＋a 2＋a ＝0有实数根的概率为P=211=S S . 六、【教后反思】1、本教案的亮点是：首先以结构图呈现定积分与微积分基本定理的知识，直观明了；其次，在梳理相关知识以填空的形式，充分关注知识的系统化，再次，例题选择典型、全面（定积分的计算、求面积、知识的交汇性），关注的主干知识，讲练结合，真正地让学生动起来，让课堂活起来．最后，在作业的布置上，选择2012年各地最新的模拟题，对学生理解、巩固知识起到了良好作用．2、本教案的不足之处是：题量有点大，45分钟没完成教学任务，若对程度好的学校应该能够完成.。
微积分学基本定理与定积分的计算课件
精僻地得出: 上的连续函数一定存在原函数,且
是 的一个原函数这一基本结论.
为微分学和积分学架起了桥梁,因此被称为微积分学
基本定理.
定理指出 是 的一个原函数,而 又是变上限
积分,故
证明:
（iiii) Newtom—leibnize公式（微积分基本公式）证明
令
令
牛顿(Newton)—莱布尼茨(Leibniz)公式
则
微积分基本公式表明：
(2)求定积分问题转化为求原函数不定积分的的问题.
例 求
解
分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.
3 积分第二中值定理
1) 定理9.11
2) 推论
证明:
因此证得
问题的提出
我们知道求定积分的关键是求原函数，而求原函数的方法是求不定积分，然而不定积分中有换元法，那么定积分是否也有换元法，有哪些不同？
在一定条件下，可以用换元积分法与分 部积分法来计算定积分.
二 换元积分法与分部积分法
定义
一 变限积分与原函数的存在性
1 变限积分的概念
2 变限上积分的性质
1) 连续性
定理9.9
证明:
证
定理9.10
2) 原函数存在定理(微积分学基本定理)
由积分中值定理得
注
（1）
（2）
(i) 解决了原函数的存在性问题
(ii) 沟通了导数与定积分之间的内在联系
定理9.12
1 定积分的换元法 (Formula for Integration by Substitution)
则有定积分换元公式
证明：
说明
（1）
（2）
《定积分与微积分基本定理》教案
《定积分与微积分基本定理》教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义强调定积分的重要性1.2 定积分的性质演示定积分的几何意义证明定积分的可加性1.3 定积分的计算方法介绍牛顿-莱布尼茨公式演示定积分的计算步骤第二章：定积分的应用2.1 定积分在几何中的应用求解平面区域的面积求解曲线的弧长2.2 定积分在物理中的应用解释定积分在物理学中的意义求解物体的体积2.3 定积分在概率中的应用引入概率密度函数的概念求解概率问题第三章：微积分基本定理3.1 微积分基本定理的定义解释微积分基本定理的含义强调微积分基本定理的重要性3.2 微积分基本定理的证明介绍牛顿-莱布尼茨公式的证明过程解释微积分基本定理的证明方法3.3 微积分基本定理的应用演示微积分基本定理在实际问题中的应用求解实际问题中的定积分第四章：定积分的近似计算4.1 定积分的数值计算方法引入数值计算方法的概念介绍数值计算方法的原理4.2 定积分的数值计算实例演示定积分的数值计算过程分析数值计算的精度4.3 定积分的蒙特卡洛方法介绍蒙特卡洛方法的概念演示蒙特卡洛方法在定积分计算中的应用第五章：定积分的优化问题5.1 定积分的最值问题引入定积分最值问题的概念解释定积分最值问题的意义5.2 定积分的极值点问题介绍极值点的概念求解定积分的极值点5.3 定积分的优化应用演示定积分在实际问题中的应用求解实际问题中的定积分优化问题第六章：定积分的变限函数6.1 变限函数的概念解释变限函数的定义强调变限函数在定积分中的作用6.2 变限函数的极限介绍变限函数极限的概念证明变限函数极限的性质6.3 变限函数的定积分演示变限函数定积分的计算方法分析变限函数定积分的结果第七章：定积分的换元法7.1 换元法的概念解释换元法的定义强调换元法在定积分计算中的重要性7.2 换元法的步骤介绍换元法的计算步骤演示换元法在定积分计算中的应用7.3 换元法的注意事项分析换元法的适用条件讨论换元法可能遇到的问题第八章：定积分的分部积分法8.1 分部积分的概念解释分部积分法的定义强调分部积分法在定积分计算中的作用8.2 分部积分的步骤介绍分部积分的计算步骤演示分部积分法在定积分计算中的应用8.3 分部积分的推广介绍分部积分的推广形式讨论分部积分的扩展应用第九章：定积分的瑕点处理9.1 瑕点的概念解释瑕点的定义强调瑕点在定积分计算中的重要性9.2 瑕点的处理方法介绍瑕点的处理方法演示瑕点处理在定积分计算中的应用9.3 瑕点问题的进一步讨论分析瑕点问题的复杂性讨论瑕点问题的解决策略第十章：定积分的实际应用案例分析10.1 定积分在经济学中的应用引入经济学中的优化问题演示定积分在经济学中的应用10.2 定积分在生物学中的应用介绍生物学中的种群动力学问题求解生物学中的定积分问题10.3 定积分在工程学中的应用解释工程学中的质心问题应用定积分求解工程学问题第十一章：定积分的进一步拓展11.1 多元函数的定积分引入多元函数定积分概念解释多元函数定积分的计算方法11.2 定积分在多变量函数中的应用演示多元函数定积分在几何和物理问题中的应用求解多变量函数的定积分问题11.3 定积分的向量分析介绍向量分析与定积分的关系应用向量分析解决定积分问题第十二章：定积分的数值方法12.1 数值方法概述解释数值方法的定义和作用强调数值方法在定积分计算中的应用12.2 数值方法的原理与步骤介绍数值方法的原理和计算步骤演示数值方法在定积分计算中的应用12.3 常用数值方法分析讨论龙格-库塔和其他数值方法的优缺点分析不同数值方法在定积分计算中的应用场景第十三章：定积分的优化问题13.1 优化问题的定义与分类引入优化问题的概念解释优化问题的分类和特点13.2 定积分与优化问题的关系强调定积分在优化问题中的作用演示定积分在优化问题中的应用13.3 定积分优化问题的求解方法介绍常见的优化方法应用定积分求解优化问题第十四章：定积分在概率论中的应用14.1 概率论与定积分的关系解释概率论中定积分的作用强调定积分在概率论中的重要性14.2 定积分在概率密度函数中的应用引入概率密度函数的概念演示定积分在概率密度函数计算中的应用14.3 定积分在概率问题求解中的应用讨论定积分在概率问题求解中的方法求解概率问题中的定积分第十五章：定积分在现代科学技术中的应用15.1 定积分在物理学中的应用介绍定积分在物理学中的作用演示定积分在物理学问题中的应用15.2 定积分在化学中的应用解释定积分在化学问题中的重要性求解化学问题中的定积分15.3 定积分在其他学科中的应用分析定积分在其他学科领域的作用探讨定积分在不同学科中的应用前景重点和难点解析重点：1. 定积分的概念与性质：理解定积分的定义、几何意义以及其可加性等基本性质。
定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理1．定积分的概念 在⎰b af (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质 (1)⎰b akf (x )d x ＝k⎰b af (x )d x (k 为常数)；(2)⎰b a[f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎰baf 1(x )d x ±⎰b af 2(x )d x ；(3⎰b af (x )d x ＝⎰b af (x )d x ＋⎰b af (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎰baf (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数． 为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即f ⎰b a(x )d x ＝F (x ) |b a ＝F (b )－F (a )．基本积分公式表⑴C dx =⎰0 ⑵C x m dx x m m++=+⎰111 ⑶C x dx x+=⎰ln 1⑷C e dx e xx+=⎰⑸C aa dx a xx+=⎰ln ⑹⎰+=C x xdx sin cos ⑺⎰+-=C x x cos sin ⑻⎰+-=C x x x xdx ln ln 1．(2013·江西高考)若S 1＝⎰21x 2d x ，S 2＝⎰211xd x ，S 3＝⎰21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3 .C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 12．（2013北京，5分）直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直， 则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43B ．2 C.83 . D. 16233．（2013湖南，5分）若∫T 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．4．（2012福建，5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取 一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( ) A.14 B.15 C.16 D.175．（2012湖北，5分）已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( ) A.2π5 B.43 . C.32 D.π26．（2011湖南，5分）由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12B ．1 C.32D.3. 7．（2010山东，5分）由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112B.14C.13D.712 8.（2010湖南，5分）⎰421xd x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2.9．(2009·福建，5分)⎰-22ππ(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2.10．（2011陕西，5分）设f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧≤+>⎰0,30,lg 2x dt t x x x a 若f (f (1))＝1，则a ＝________. 11、(2008海南)由直线21=x ，x=2，曲线x y 1=及x 轴所围图形的面积为（ ） A.415B. 417 C. 2ln 21 D. 2ln 2.12、(2010海南)设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点11(,)(1,2,)x y i N =…,，再数出其中满足11()(1,2,)y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分10()f x dx ⎰的近似值为 。
定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理1．定积分(1)定积分的相关概念：在∫ba f (x )d x 中，∫叫作积分号，a 叫作积分的下限，b 叫作积分的上限，f (x )叫作被积函数．(2)定积分的性质：①∫ba 1d x ＝b －a ；②⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)； ③⎠⎛a b[f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x ； ④⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x .(3)定积分的几何意义：①当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分∫ba f (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分∫b af (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(如图中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．2．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有∫ba f (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个式子称为牛顿——莱布尼茨公式．通常称F (x )是f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )|b a ，即∫ba f (x )d x ＝ F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．1.()baf x dx ⎰与()baf t dt ⎰相等吗？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分[()()]baf xg x dx -⎰ (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积．1．(2013²江西高考)若S 1＝221x dx ⎰，S 2＝211dx x⎰，S 3＝21e x dx ⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 2．已知质点的速度v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( ) A ．10t 20 B ．5t 20 C.103t 20 D.53t 203．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2x 2xx，则11()f x dx -⎰的值是( )A.121x dx -⎰B. 112x dx -⎰ C. 021x dx -⎰＋12x dx ⎰ D. 012x -⎰d x ＋120x ⎰d x4．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________． 5．(2013²湖南高考)若20Tx dx ⎰＝9，则常数T 的值为________．[例1] (1) 120(2)x x dx -+⎰； (2) 0(sin cos )x x dx π-⎰；(3) 2211(e )x dx x+⎰; (4) 201x dx -⎰.【互动探究】若将本例(1)中的“－x 2＋2x ”改为“－x 2＋2x ”，如何求解？【方法规律】 定积分的求法(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则()aaf x dx -⎰＝0.1.＝________.2．若()20sin cos d x a x x π+⎰＝2，则实数a ＝________.3.x ⎰＝________.[例以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2(2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 x 3x ＋4x(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J 【方法规律】利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．一物体做变速直线运动，其v t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为________．1．利用定积分求平面图形的面积是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度偏小，属中低档题．2．高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下几个命题角度：(1)知图形求曲线围成图形的面积；(2)知函数解析式求曲线围成图形的面积；(3)知曲线围成图形的面积求参数的值．[例3] (1)(2012²湖北高考)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2(2)(2011²新课标全国卷)由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为A.103B．4 C.163D．6(3)(2012²山东高考)设a>0.若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略(1)知图形求面积．首先，依据函数的图象求出解析式；其次，确立被积函数；最后，利用定积分求面积．(2)知函数解析式求面积．解决此类问题应分四步：①画图；②确定积分上、下限，即求出曲线的交点坐标；③确定被积函数；④由定积分求出面积．(3)知图形的面积求参数．求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．1．曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x 围成的图形的面积是( ) A.13 B.23 C ．1 D.432．由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________．————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————个定理——微积分基本定理利用微积分基本定理求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分互为逆运算．条结论——定积分应用的两条常用结论(1)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程．条性质——定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行； (4)f (x )在区间[－a ，a ]上连续，若f (x )为偶函数，则()d aaf x x -⎰＝2 0()d a f x x ⎰；若f (x )为奇函数，则()d aaf x x -⎰＝0.易误警示(四)利用定积分求平面图形面积的易错点[典例] (2012²上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[名师点评] 1.本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形； (2)准确确定被积函数和积分变量．曲线y ＝x 2＋2与直线5x －y －4＝0所围成的图形的面积等于________．[解题指导] 根据已知条件，求出f (x )的解析式，然后利用定积分求解．[全盘巩固]1．已知f (x )是偶函数，且6()d f x x ⎰＝8，则66()d f x x -⎰＝( )A ．0B ．4C ．6D ．162．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32 D.3 3．已知f (x )＝2－|x |，则21()d f x x -⎰＝( )A ．3B ．4 C.72 D.924．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 m B.803 m C.403 m D.203m 5．(2014²德州模拟)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( )A.112 B.14 C.13 D.7126．如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0<t <1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是( )A.14B.12 C ．1 D ．2 7．(2014²西安模拟)若11(2)d ax x x+⎰＝3＋ln 2，则a 的值是________．8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈，e](e 为自然对数的底数)，则()d ef x x ⎰的值为________．9．曲线y ＝12ex 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，直线l 1：x ＝2，直线l 2：y ＝－t 2＋8t (其中0≤t ≤2，t 为常数)，若直线l 1，l 2与函数f (x )的图象以及l 1、l 2、y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求阴影面积S 关于t 的函数S (t )的解析式．11．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．12．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．[冲击名校]1．一物体在变力F (x )＝5－x 2(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下，沿着与F (x )成30°角的方向做直线运动，则从x ＝1处运动到x ＝2处时变力F (x )所做的功为( )A.233 J B. 3 J C.433J D ．2 3 J 2．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标为________．[高频滚动]已知函数f (x )＝ax 2－b ln x 在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝3x －1.(1)若f (x )在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，求实数k 的取值范围；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，均存在t ∈[1,3]，使得13t 3－c ＋12t 2＋ct ＋ln 2＋16≤f (x )，试求实数c 的取值范围．积分与微积分基本定理答案1.解析：选 B S 1＝32113x ＝83－13＝73，S 2＝2ln 1x ＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝2e 1x ＝e 2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.2.解析：选 B S ＝10t tdt ⎰＝0250t t＝5t 2.3.解析：选 D11()f x dx -⎰＝012x -⎰d x ＋12x ⎰d x .4.解析：22x dx ⎰＝32103x ＝83.答案：83 5.解析：20T x dx ⎰＝3103T x ＝13T 3＝9，解得T ＝3.答案：3例 1.[自主解答] (1) 12(2)x x dx -+⎰＝12()x dx -⎰＋12xdx ⎰＝31103x-＋210x ＝－13＋1＝23.(2) 0(sin cos )x x dx π-⎰＝0sin xdx π⎰－0cos xdx π⎰＝(cos )x π-－sin 0xπ＝2.(3)2211(e )xdx x +⎰＝221e xdx ⎰＋211dx x ⎰＝221e 12x ＋2ln 1x ＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2.(4)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x x ，x －x，故1(1)x dx -⎰＝1(1)x dx -⎰＋21(1)x dx -⎰＝2102x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12＋12＝1.【互动探究】解：⎰表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y ＝－x 2＋2x ，得(x －1)2＋y 2＝1(y≥0)，故0⎰表示圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14，即⎰＝14π.解析：＝20sin cos x x dx π-⎰＝()40cos sin d x x x π-⎰＋()24sin cos d x x x ππ-⎰＝()sin cos 40x x π+＋()2cos sin 4x x ππ--＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.答案：22－22.解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x ，∴46212243(34)d 4()d 22x x x x v t t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰＝(sin cos )20a x x π-＝⎝⎛ a sin π2－⎭⎪⎫cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2，∴a ＝1.3.解析：由定积分的几何意义知，0x ⎰是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝围成的封闭图形的面积，故x ⎰＝π²324＝9π4.答案：9π4[例2] [自主解答] (1)由v (t )＝7－3t ＋151＋t ＝0，可得t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋151＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 3＋＋t 4＝4＋25ln 5.(2)力F (x )做功为2010d x ⎰＋42(34)d x x +⎰＝10x 20＋243422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝20＋26＝46.[答案] (1)C (2)B解析：由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s＝()331122322222021022132()d d e 33363kx x x x kx x x x x x x kx x x ππ-⎡⎤''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥--=+- ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎣⎦⎰⎰则＝1122d t t ⎰＋312d t ⎰＋6311d 3t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰＝t 2112＋2t 31＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16t 2＋t 63＝494.答案：494[例3] [自主解答] (1)由题意知二次函数f (x )＝－x 2＋1，它与x 轴所围图形的面积为11()d f x x -⎰＝12()d f x x ⎰＝2 120(1)d x x -+⎰＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3 10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43.(2)作出曲线y ＝x ，直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为4(2)d x x ⎤-⎦⎰＝)42d x x +⎰＝3224212032x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝23³8－12³16＋2³4＝163.(3)由题意知0x ⎰＝a 2.又332222033a x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭则＝a 2.即23a 32＝a 2，所以a ＝49.[答案] (1)B (2)C (3)491.解析：选A 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y 2＝x ，得两曲线的交点为(0,0)，(1,1)．所以)12d x x ⎰＝332121033x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝13，即曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x 围成的图形的面积是13.2.解析：如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1,0)和(1,0)． 所以S ＝221d x x -⎰＝()121d x x -⎰＋()2211d x x -⎰＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 331＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤83－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝2.答案：2[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为122010d x x ⎰＋()12121010d x x x -⎰＝3110230x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 2－103x 3112＝54.[答案] 54 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋2，5x －y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋6＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.如图所示，当2<x <3时，直线5x －y －4＝0在曲线y ＝x 2＋2的上方，所以所求面积为()32254(2)d x x x ⎡⎤--+⎣⎦⎰＝()32256d x x x ⎡⎤--⎣⎦⎰＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 2－13x 3－6x ⎪⎪⎪32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52³32－13³33－6³3－⎝ ⎛⎭⎪⎫52³22－13³23－6³2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－92－⎝ ⎛⎭⎪⎫－143＝16.答案：161.解析：选 D 因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以66()d f x x -⎰＝06()d f x x -⎰＋60()d f x x ⎰＝26()d f x x ⎰＝16.2.解析：选D 结合函数图象可得所求封闭图形的面积是33cos d x x ππ-⎰＝sin x 33ππ-＝ 3.3.解析：选C ∵f (x )＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x x ，2＋x x，∴21()d f x x -⎰＝()012d x x -+⎰＋()202d x x -⎰＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋x 220－1＋⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 2220＝32＋2＝72. 4.解析：选A 由v ＝40－10t 2＝0，得t ＝2(t ＝－2舍去)，则此物体达到最高时的高度为()2204010d t t -⎰＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40t －103t 320＝40³2－103³8＝1603 (m)． 5.解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得x ＝0或x ＝1，由图易知封闭图形的面积＝1230()d xx x-⎰＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 4410＝13－14＝112.6.解析：选A 设图中阴影部分的面积为S (t )，则S (t )＝22()d ttx x -⎰＋122()d tx t x-⎰＝43t 3－t 2＋13，由S ′(t )＝2t (2t －1)＝0，得t ＝12为S (t )在区间(0,1)上的最小值点，此时S (t )min ＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14.7.解析：由11(2)d ax x x +⎰＝()x 2＋ln x 1a ＝()a 2＋ln a －(12＋ln 1)＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2(a >1)，得a 2＋ln a ＝4＋ln 2，所以a ＝2.答案：28.解析：依题意得()d ef x x ⎰＝12d x x ⎰＋11d ex x ⎰＝x 3310＋ln x 1e ＝13＋1＝43.答案：439.解析：由题意得y ′＝12e x '⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1212e x ，所以曲线在点(4，e 2)处的切线斜率为12e 2，因此切线方程为y －e 2＝12e 2²(x －4)，则切线与坐标轴的交点为A (2,0)，B (0，－e 2)，所以S △AOB ＝12|－e 2|³2＝e 2(O 为坐标原点)．答案：e 210解：(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f (x )的最大值为16，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ²82＋b ²8＋c ＝0，4ac －b 24a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝8，c ＝0，故函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－t 2＋8t ，y ＝－x 2＋8x ，得x 2－8x －t (t －8)＝0，∴x 1＝t ，x 2＝8－t .∵0≤t ≤2，∴直线l 2与f (x )的图象的交点坐标为(t ，－t 2＋8t )，由定积分的几何意义知：S (t )＝()2208(8)d tt t x x x⎡⎤-+--+⎣⎦⎰＋()222(8)8d tx x t t x⎡⎤-+--+⎣⎦⎰＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－t 2＋8t x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋4x 20t ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋4x 2－－t 2＋8t x 2t＝－43t 3＋10t 2－16t ＋403. 11解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝120()d x x x -⎰＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310＝16.又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S2＝120()d kx x kx x ---⎰d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 310k -＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.12解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝101d 3x x ⎫⎪⎭⎰＋3112d 3x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎰＝322121036x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 231＝23＋16＋43＝136. 1.解析：选C 由已知条件可得，F (x )所做的功为32()2215d x x -⎰＝433J. 2.解析：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )， 则()20d xkx x x -⎰＝()22d x x kx x -⎰，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 30x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12kx 22x ， 整理得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12kx 2，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169解：(1)f ′(x )＝2ax －bx ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3，f＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，f (x )＝2x 2－ln x ，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12，则函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1≥0，k －1<12，解得1≤k <32.k ＋1>12，故实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. (2)设g (t )＝13t 3－c ＋12t 2＋ct ＋ln 2＋16，根据题意可知g (t )min ≤f (x )min ，由(1)知f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋ln 2，g ′(t )＝t 2－(c ＋1)t ＋c ＝(t －1)(t －c )，当c ≤1时，g ′(t )≥0，g (t )在t ∈[1,3]上单调递增，g (t )min ＝g (1)＝c2＋ln 2，满足g (t )min ≤f (x )min .当1<c <3时，g (t )在t ∈[1，c ]时单调递减，在t ∈[c,3]时单调递增，g (t )min ＝g (c )＝－16c 3＋12c 2＋ln 2＋16，由－16c 3＋12c 2＋ln 2＋16≤12＋ln 2，得 c 3－3c 2＋2≥0，(c －1)(c 2－2c －2)≥0，此时1＋3≤c <3.当c ≥3时，g ′(t )≤0，g (t )在t ∈[1,3]上单调递减，g (t )min ＝g (3)＝－3c 2＋143＋ln 2，g (3)＝－3c 2＋143＋ln 2≤－3³32＋143＋l n 2≤12＋ln 2.综上，c 的取值范围是(－∞，1]∪[1＋3，＋∞)．。
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3.4 定积分与微积分基本定理一、选择题1．与定积分∫d x 相等的是( )． 3π01－cos x A.∫sin d x B.∫d x 23π0x 223π0|sin x 2|C. D ．以上结论都不对|2∫3π0sin x 2d x |2. 已知f (x )为偶函数，且f(x)d x ＝8，则f(x)d x ＝( )6∫0⎰-66A ．0 B ．4 C ．8 D ．163．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )．A. mB. mC. mD. m 16038034032034．一物体以v ＝9.8t ＋6.5(单位：m /s )的速度自由下落，则下落后第二个4 s 内经过的路程是( )A ．260 mB ．258 mC ．259 mD ．261.2 m 5．由曲线y ＝，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为 x ( )．A. B ．4 C. D ．6 1031636．已知a ＝2，n ∈N *，b ＝x 2d x ，则a ，b 的大小关系是( )． n ∑i ＝11n (i n )1∫0A ．a >bB ．a ＝bC ．a <bD ．不确定 7．下列积分中①d x ； ②； ③d x ； ④d x ，积分值等于1的个数是( )． e ∫11x ⎰-22xdx 2∫04－x 2π()⎰-20sin cos 22cos πx x x A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题8．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为______．9．曲线y ＝与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为____________．1x10．若(2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于_________．k ∫11． |3－2x |d x ＝________.2∫112．抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为________．三、解答题13．如图在区域Ω＝{(x，y)|－2≤x≤2,0≤y≤4}中随机撒900粒豆子，如果落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，试估计落在图中阴影部分的豆子数．14．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．(12，0)15．曲线C：y＝2x3－3x2－2x＋1，点P，求过P的切线l与C围成的图形的面积．16. 已知二次函数f(x)＝3x2－3x，直线l1：x＝2和l2：y＝3tx(其中t为常数，且0<t<1)，直线l2与函数f(x)的图象以及直线l1、l2与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图K15－3，设这两个阴影区域的面积之和为S(t)．(1)求函数S(t)的解析式；(2)定义函数h(x)＝S(x)，x∈R.若过点A(1，m)(m≠4)可作曲线y＝h(x)(x∈R)的三条切线，求实数m的取值范围．3.4 定积分与微积分基本定理一、选择题1．与定积分∫d x 相等的是( )． 3π01－cos x A.∫sin d x B.∫d x 23π0x223π0|sin x 2|C. D ．以上结论都不对|2∫3π0sin x 2d x |解析 ∵1－cos x ＝2sin 2，∴∫d x ＝ x23π01－cos x ∫|sin |d x ＝∫|sin |d x .3π02x 223π0x 2答案 B 2. 已知f (x )为偶函数，且f(x)d x ＝8，则f(x)d x ＝( ) 6∫0⎰-66A ．0 B ．4 C ．8 D ．16解析 －6f(x)d x ＝2f(x)d x ＝2×8＝16.6∫6∫0答案 D3．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )． A. m B. m C. m D. m 1603803403203解析 v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，(40－10t 2)d t ＝Error!＝40×2－×8＝(m)． 2∫020*******答案 A4．一物体以v ＝9.8t ＋6.5(单位：m /s )的速度自由下落，则下落后第二个4 s 内经过的路程是( )A ．260 mB ．258 mC ．259 mD ．261.2 m解析 (9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t)Error!＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋8∫452－78.4－26＝261.2.答案 D 5．由曲线y ＝，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为x ( )．A. B ．4 C. D ．6 103163解析 由y ＝及y ＝x －2可得，x ＝4，所以由y ＝及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为x x 4∫0(－x ＋2)d x ＝Error!＝. 答案 C x (23x 32－12x 2＋2x )1636．已知a ＝2，n ∈N *，b ＝x 2d x ，则a ，b 的大小关系是( )． n ∑i ＝11n (i n )1∫0A ．a >bB ．a ＝bC ．a <bD ．不确定答案 A7．下列积分中①d x ； ②； ③d x ； ④d x ，积分值等于1的个数是( )． e ∫11x ⎰-22xdx 2∫04－x 2π()⎰-20sin cos 22cos πx x x A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析 ①Error!＝1，②Error!＝0， e 12－2③d x ＝(π22)＝1， 2∫04－x 2π1π14④∫0d x ＝∫0(cos x ＋sin x )d x π2cos 2x 2 cos x －sin x 12π2＝(sin x －cos)|0＝1. 12π2答案 C二、填空题8．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为______．解析 由F(x)＝kx ，得k ＝100，F(x)＝100x ，100x d x ＝0.18(J )．W ＝∫0.060答案 0.18 J9．曲线y ＝与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为____________． 1x答案 －ln 2 3210．若(2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于_________．k ∫0解析 (2x －3x 2)d x ＝2x d x －3x 2d x ＝x 2＝k 2－k 3＝0，k ∫0k ∫0k∫0|k 0－x 3|k 0∴k＝0或k ＝1.答案 0或111． |3－2x |d x ＝________.2∫1解析 ∵|3－2x |＝Error!∴|3－2x |d x ＝∫1(3－2x )d x ＋(2x －3)d x 2∫1322∫32＝Error!1＋(x 2－3x )|2＝. 323212答案 1212．抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为________． 解析 如图所示，因为y ′＝－2x ＋4，y ′|x ＝1＝2，y ′|x ＝3＝－2，两切线方程为y ＝2(x －1)和y ＝－2(x －3)．由Error!得x ＝2.所以S ＝[2(x －1)－(－x 2＋4x －3)]d x ＋[－2(x －3)－(－x 2＋4x －3)]d x2∫13∫2＝(x 2－2x ＋1)d x ＋(x 2－6x ＋9)d x2∫13∫2＝Error!＋Error!＝. 213223答案 23三、解答题13．如图在区域Ω＝{(x ，y )|－2≤x ≤2,0≤y ≤4}中随机撒900粒豆子，如果落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，试估计落在图中阴影部分的豆子数．解析 区域Ω的面积为S 1＝16.图中阴影部分的面积S 2＝S 1－Error!＝. 2－2323设落在阴影部分的豆子数为m ， 由已知条件＝， m 900S 2S 1即m ＝＝600. 900S 2S 1因此落在图中阴影部分的豆子约为600粒．14．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解析 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝(x －x 2)d x ＝Error!＝.又Error! 1∫01016由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，＝∫(x －x 2－kx )d x S 21－k 0＝Error! 1－k 0＝(1－k )3.又知S ＝， 1616所以(1－k )3＝， 12于是k ＝1－ ＝1－. 31234215．曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积． (12，0)解析 设切点坐标为(x0，y0)y ′＝6x 2－6x －2，则y ′|x ＝x 0＝6x －6x 0－2， 20切线方程为y ＝(6x －6x 0－2)， 20(x －12)则y 0＝(6x －6x 0－2)， 20(x 0－12)即2x －3x －2x 0＋1＝(6x －6x 0－2). 302020(x 0－12)整理得x 0(4x －6x 0＋3)＝0， 20解得x 0＝0，则切线方程为y ＝－2x ＋1.解方程组Error!得Error!或Error!由y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1与y ＝－2x ＋1的图象可知S ＝∫0[(－2x ＋1)－(2x 3－3x 2－2x ＋1)]d x 32＝∫0(－2x 3＋3x 2)d x ＝. 32273216. 已知二次函数f(x)＝3x 2－3x ，直线l 1：x ＝2和l 2：y ＝3tx(其中t 为常数，且0<t<1)，直线l 2与函数f(x)的图象以及直线l 1、l 2与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图K 15－3，设这两个阴影区域的面积之和为S(t)．(1)求函数S(t)的解析式；(2)定义函数h(x)＝S(x)，x ∈R .若过点A (1，m )(m ≠4)可作曲线y ＝h (x )(x ∈R )的三条切线，求实数m 的取值范围．解析 (1)由Error!得x 2－(t ＋1)x ＝0，所以x1＝0，x 2＝t ＋1.所以直线l 2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0，t ＋1.因为0<t<1，所以1<t ＋1<2.所以S(t)＝∫[3tx －(3x 2－3x)]d x ＋t ＋1[(3x 2－3x)－3tx]d x t ＋102∫＝Error!＋Error!＝(t ＋1)3－6t ＋2. t ＋102t ＋1(2)依据定义，h(x)＝(x ＋1)3－6x ＋2，x ∈R ，则h ′(x )＝3(x ＋1)2－6.因为m ≠4，则点A (1，m )不在曲线y ＝h (x )上．过点A 作曲线y ＝h (x )的切线，设切点为M (x 0，y 0)，则3(x 0＋1)2－6＝， x 0＋1 3－6x 0＋2－m x 0－1化简整理得2x －6x 0＋m ＝0，其有三个不等实根． 30设g (x 0)＝2x －6x 0＋m ，则g ′(x 0)＝6x －6. 3020由g ′(x 0)>0，得x 0>1或x 0<－1；由g ′(x 0)<0，得－1<x 0<1，所以g (x 0)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，所以当x 0＝－1时，函数g (x 0)取极大值；当x 0＝1时，函数g (x 0)取极小值．因此，关于x 0的方程2x －6x 0＋m ＝0有三个不等实根的充要条件是Error! 30即Error!即－4<m <4. 故实数m 的取值范围是(－4,4)．。