电磁学 第三版 第二章习题课
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4
电磁学
习题课
3. 电容器的储能
4. 带电体系的静电能
Q 1 1 2 W C Q 2C 2 2
2
1 n （点电荷系） W Qi i 2 i 1 1 W d V 2V （ 为所有电荷在体积元 d V 所在处激发的电势） 1 W d S 2S
（ 为所有电荷在面积元 d S 所在处激发的电势）
第二章 静电场与导体
5
电磁学
习题课
计算电容的一般方法
先假设电容器的两极板带等量异号电荷，再计算出电 势差，最后代入定义式。 5. 电场能量和能量密度
电场能量密度 电场能量
1 w 0E2 2 1 W 0E 2 dV 2 V
(真空中)
第二章 静电场与导体
6
电磁学
习题课
例1 (习题2-12) 如图：平行板电容器两极板的面积都是 S，相距为d其间 有一厚度为t 的金属板与极板平行放置，面积亦是S，略去 边缘效应。 （1）求系统的电容C ; (2)金属板离两极板的距离 对系统的电容是否有影响？
R2
q1
R1
r1
O
r2
q2
球壳外表面 上的电荷量
q1 q2 q q U 4 π 0 r1 4 π 0 r2 4 π 0 R1 4 π 0 R2
第二章 静电场与导体
26
电磁学
习题课 Q
由高斯定理知
R2
R1
q q1
由电荷守恒定律知
q1
r1
O
r2
q2
q q1 Q q2
8
d t
电磁学
Байду номын сангаас
习题课
0S C d t
讨论
S
t
0S
d t
t 0
t 0
d
I、当t 0时，C im
0S
d
II、当t d时，C im
C1
0S
d t
此题也可看作是两个电容器串联而成，其中
0S
d1
C2
0S
d2
d1 d 2 d t
S
t
d
第二章 静电场与导体
7
电磁学
习题课
S
t
d
解 （1）设极板上所带电量为Q ,两极板的电势差为U,则
Q U E d l E (d t ) (d t ) (d t ) 0 0S 0 0S Q C U d t
（2）无影响
第二章 静电场与导体
Q
q
所以两者之间的电势差就等于 球体的电势。因此
q 1 1 q Q q q Q ( ) ( ) 4 π 0 R1 2 R1 4 π 0 4 R1 R1 2 R1 3R1
3 Q Q 解得 4 3 则球壳带的总电量为 Q q Q q 4
第二章 静电场与导体
R3
R2
d
Q
q
R1
（2）如果用导线将壳内导体球与壳相连，球壳带电量是 多大？
第二章 静电场与导体
21
电磁学
习题课
解： （1）取球心O处进行分析比 较简单。
R3
球心处的电势是点电荷Q和三 个导体球面上的电荷在O点产 生电势的叠加，分别为
q
R2
R1
d
Q
Q Q Q 4 π 0 d 4 π 0 (4 R1 )
R2 q d r q 1 1 ( ) O E d l 2 4 π 0 R1 R2 4 π 0r R1 R1
R2
第二章 静电场与导体
23
电磁学
习题课
由于球壳接地 壳
q 1 1 O ( ) 4 π 0 R1 R2
R3
0，
q
R2 R1
d
第二章 静电场与导体
2
电磁学
习题课 基本知识点
1. 导体的静电平衡条件 （1）导体内部电场强度处处为零; （2）导体为等势体，导体表面是等势面； （3）导体外（附近）的电场处处与它的表面垂直；
（4）静电荷只分布在导体外表面。
E外 0
第二章 静电场与导体
3
E内 0
电磁学
习题课
2. 电容和电容器 孤立导体的电容
设球壳外表面S3上的总电量为 Q
dq 则有 S3 4 π 0 R3 Q Q Q 4 π 0 R3 4 π 0 (3R1 )
由电势叠加原理，球心处的总电势为
R3 q R2
d
Q
q R1
O Q S S
1
2
由因为
1 Q q q Q S3 ( ) 4 π 0 4 R1 R1 2 R1 3R1
C
q
电容器的电容
几种典型电容器的电容（设极板间为真空）：
q C 1 2
C 4 π0R 0S （2）平行板电容器 C d 4 π 0 R1 R2 （3）同心球形电容器 C R2 R1 2 π 0L （4）同轴柱形电容器 C R2 ln R1
（1）孤立导体球
第二章 静电场与导体
24
电磁学
习题课
（2）当内外球用导线连接时，仍用上述的电势叠加原理计 算球心O点的电势，有 R3 Q dq
40 d
40 R3 Q
0
q
R2 R1
Q 0 40 d 40 R3 Q
注释
d
Q
q
由于 Q的存在，球壳外表面的电荷 Q分布是不均匀的。当球 体与球壳相连后，成为一个等势体，由静电平衡条件知，电 荷只能分布在导体的外表面上，所以此时只有球壳的外表面 带电 Q。
于是
0S 0S C1C2 C C1 C2 d1 d 2 d t
第二章 静电场与导体
9
电磁学
习题课
例2 (习题2-13)
解 P点电场强度 E E E o E er er 2 π 0r 2 π 0 (d r )
q
由高斯定理可得，球壳内表面S2 上的总电量为 q q
q dq S1 4 π 0 R1 4 π 0 R1 q
dq q q S2 4 π 0 R2 4 π 0 R2 4 π 0 (2 R1 ) q
第二章 静电场与导体
22
电磁学
习题课
第二章 静电场与导体
19
电磁学
习题课
q q 0 4 π 0d 4 π 0 R
取 注释
R q q d
q q 3
d 3R
导体接地表示导体与大地等电势，即电势为零，决 不能认为导体一接地，其上的电荷就全部流入大地而不 带电，这种情况只有孤立导体才是如此。当非孤立导体 （如本题）接地时，其上电荷分布决定于周围带电体的 情况。由于导体在静电平衡下是等势体，所以选取导体 球心O处进行讨论比较方便。由计算结果可知,感应电荷 只能小于或等于外部q的电量。
因球面上感应电荷与球心O的距离均为球的半径R，且感应 的总电荷量为零，所以感应电荷在O点产生的电势为零，即
o 0
第二章 静电场与导体
13
电磁学
习题课
q P o 4 π 0 r0
由此球面感应电荷在P点产生的电势为
q q P P o 4 π 0r 4 π 0 r0 q q P 4 π 0 r0 4 π 0 r
P P
根据静电平衡条件得
q
r r0
P
R
在求解导体问题时，静电平衡条件应用是十分重要的，在（1） q 是无法求出 的。 中单由 P
4 0 r
但由于球体达到静电平衡后，球体是一等势体，所以往往在 导体中选取某些特殊点，可以使这类问题解决。 本题中球心处就是一个对称点，由于感应电荷总量为零，而 且所有感应电荷到球心距离相同，所以可求出该特殊点的电 势，再由导体为等势体的特点，求解其它点的电学量。
电磁学
习题课
第二章 习题课
第二章 静电场与导体
1
电磁学
习题课 基本要求
• 理解导体的静电平衡条件，掌握导体达到静电平 衡状态时电荷及电场强度的分布特征。能结合静 电平衡条件分析静电感应、静电屏蔽等现象。掌 握存在导体时静电场的场强分布和电势分布的计 算方法。 • 掌握电容的定义及其物理意义，掌握典型电容器 电容及电容器储能的计算方法。 • 理解电场具有能量，掌握带电系统和静电场能量 的计算方法。
第二章 静电场与导体
20
电磁学
习题课
例5 习题2-11（P85）
如图所示，半径为 R1 的导体球带 电量 q ，在它外面同心的罩一金属 外壳，其内外壁半径分别为R2与R3 ，已知 R3 3R1 R2 2R1 ，今在 ， 距球心为 d 4R1处放一电量为Q 的点电荷，并将导体球壳接地，试 问： （1）球壳带的总电量是多大？
因q2 0，于是得所求得电势为
表面上的感 应电荷量
q2在球壳外
1 q1 q2 q1 q1 Q U （ ） 4 π 0 r1 r2 R1 R2
第二章 静电场与导体
两导线的电势差
d a
P
er
r
d
2a
d a d a 1 1 E d r E d r [ r d r ]d r 2 π0 a a a d d a ln π0 a
第二章 静电场与导体
10
电磁学
习题课
故长为 L 一段电容为
O
E、
O 处的
q
R
O
q
q r0
P
d
P
电荷守恒 感应电荷在
q
感
0
O 处的
0
17
第二章 静电场与导体
电磁学
习题课
⑵ 腔内任一点的 E 、
q
R
O
q
q r0
P
E0
腔内任一点
（导体的静电平衡条件）
d
导体为等势体
腔 内 o 感 q
第二章 静电场与导体
15
电磁学
习题课
例4 空腔导体外有点电荷 已知:
R
O
R 、 q 、d
Pq
求： ⑴ 感应电荷在 O 处的
⑵ 腔内任一点的 E 、
E 、
d
⑶ 空腔接地，求感应电荷的总量
第二章 静电场与导体
16
电磁学
习题课
⑴ 感应电荷在
EO E q E感 0 qr0 E感 E q 4 π 0d 2
C
Q
L π 0 L ln d
a
单位长度电容为
C π0 L ln d a
第二章 静电场与导体
11
电磁学
习题课
例3 如图，一导体球原为中性，今在距离球心为 r0 处放一 电量为 q 的点电荷，试求：
(1) 球上的感应电荷在球内P点上的场强 E P 和电势 P ；
q 0 4 π 0d
第二章 静电场与导体
18
电磁学
习题课
⑶ 空腔接地 求感应电荷的总量 球壳电势
q
R
0 o
由电势叠加原理
O
d
q r0
P
o q q 0
q O 处 q 4 π 0d d S 1 q q d S 4 π 0 R 4 π0R 4 π0R q q
第二章 静电场与导体
q
r r0
P
R
12
电磁学
习题课
由电势叠加原理可知，P点的电势为点 电荷 q 和球面感应电荷在该处产生的 电势的标量和，即
q P P 4 π 0r
q
r r0
P
R
由于球体等电势，所以球内任一点P的电势与球心O点的电 势相同，则有
q P o o 4 π 0 r0
(2) 若将球接地，E P 和 P 结果如何？
解 （1）由静电平衡条件和场强叠加原理 可知，P点的电场强度为点电荷 q 和 球面感应电荷在该处产生的场强的矢 量和，且为零，即
q EP EP r 0 3 4 π 0r q EP r 3 4 π 0r
第二章 静电场与导体
25
3 Q Q 4
电磁学
习题课
例6 带电量为Q 的导体球壳，内外半径分别为 R1和 R2，现 将电荷量为 q1 的点电荷放在壳内离球心 O为r 处，电荷量 1 为 q2的点电荷放在壳外离球心 O 为 r2处，如图所示。试求 Q 球心 O 的电势。 解：根据电势叠加原 理，球心O的电势等 于所有电荷在O点产 生的电势之和，即 球壳内表面 上的电荷量
（2）当球接地后，球体电势为
q
r r0
P
R
0
q P 4 π 0r
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q P P 0 4 π 0r
第二章 静电场与导体
电磁学
习题课
q EP EP r 0 3 4 0 r q EP r 3 注释 4 0 r
电磁学
习题课
3. 电容器的储能
4. 带电体系的静电能
Q 1 1 2 W C Q 2C 2 2
2
1 n （点电荷系） W Qi i 2 i 1 1 W d V 2V （ 为所有电荷在体积元 d V 所在处激发的电势） 1 W d S 2S
（ 为所有电荷在面积元 d S 所在处激发的电势）
第二章 静电场与导体
5
电磁学
习题课
计算电容的一般方法
先假设电容器的两极板带等量异号电荷，再计算出电 势差，最后代入定义式。 5. 电场能量和能量密度
电场能量密度 电场能量
1 w 0E2 2 1 W 0E 2 dV 2 V
(真空中)
第二章 静电场与导体
6
电磁学
习题课
例1 (习题2-12) 如图：平行板电容器两极板的面积都是 S，相距为d其间 有一厚度为t 的金属板与极板平行放置，面积亦是S，略去 边缘效应。 （1）求系统的电容C ; (2)金属板离两极板的距离 对系统的电容是否有影响？
R2
q1
R1
r1
O
r2
q2
球壳外表面 上的电荷量
q1 q2 q q U 4 π 0 r1 4 π 0 r2 4 π 0 R1 4 π 0 R2
第二章 静电场与导体
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电磁学
习题课 Q
由高斯定理知
R2
R1
q q1
由电荷守恒定律知
q1
r1
O
r2
q2
q q1 Q q2
8
d t
电磁学
Байду номын сангаас
习题课
0S C d t
讨论
S
t
0S
d t
t 0
t 0
d
I、当t 0时，C im
0S
d
II、当t d时，C im
C1
0S
d t
此题也可看作是两个电容器串联而成，其中
0S
d1
C2
0S
d2
d1 d 2 d t
S
t
d
第二章 静电场与导体
7
电磁学
习题课
S
t
d
解 （1）设极板上所带电量为Q ,两极板的电势差为U,则
Q U E d l E (d t ) (d t ) (d t ) 0 0S 0 0S Q C U d t
（2）无影响
第二章 静电场与导体
Q
q
所以两者之间的电势差就等于 球体的电势。因此
q 1 1 q Q q q Q ( ) ( ) 4 π 0 R1 2 R1 4 π 0 4 R1 R1 2 R1 3R1
3 Q Q 解得 4 3 则球壳带的总电量为 Q q Q q 4
第二章 静电场与导体
R3
R2
d
Q
q
R1
（2）如果用导线将壳内导体球与壳相连，球壳带电量是 多大？
第二章 静电场与导体
21
电磁学
习题课
解： （1）取球心O处进行分析比 较简单。
R3
球心处的电势是点电荷Q和三 个导体球面上的电荷在O点产 生电势的叠加，分别为
q
R2
R1
d
Q
Q Q Q 4 π 0 d 4 π 0 (4 R1 )
R2 q d r q 1 1 ( ) O E d l 2 4 π 0 R1 R2 4 π 0r R1 R1
R2
第二章 静电场与导体
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电磁学
习题课
由于球壳接地 壳
q 1 1 O ( ) 4 π 0 R1 R2
R3
0，
q
R2 R1
d
第二章 静电场与导体
2
电磁学
习题课 基本知识点
1. 导体的静电平衡条件 （1）导体内部电场强度处处为零; （2）导体为等势体，导体表面是等势面； （3）导体外（附近）的电场处处与它的表面垂直；
（4）静电荷只分布在导体外表面。
E外 0
第二章 静电场与导体
3
E内 0
电磁学
习题课
2. 电容和电容器 孤立导体的电容
设球壳外表面S3上的总电量为 Q
dq 则有 S3 4 π 0 R3 Q Q Q 4 π 0 R3 4 π 0 (3R1 )
由电势叠加原理，球心处的总电势为
R3 q R2
d
Q
q R1
O Q S S
1
2
由因为
1 Q q q Q S3 ( ) 4 π 0 4 R1 R1 2 R1 3R1
C
q
电容器的电容
几种典型电容器的电容（设极板间为真空）：
q C 1 2
C 4 π0R 0S （2）平行板电容器 C d 4 π 0 R1 R2 （3）同心球形电容器 C R2 R1 2 π 0L （4）同轴柱形电容器 C R2 ln R1
（1）孤立导体球
第二章 静电场与导体
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电磁学
习题课
（2）当内外球用导线连接时，仍用上述的电势叠加原理计 算球心O点的电势，有 R3 Q dq
40 d
40 R3 Q
0
q
R2 R1
Q 0 40 d 40 R3 Q
注释
d
Q
q
由于 Q的存在，球壳外表面的电荷 Q分布是不均匀的。当球 体与球壳相连后，成为一个等势体，由静电平衡条件知，电 荷只能分布在导体的外表面上，所以此时只有球壳的外表面 带电 Q。
于是
0S 0S C1C2 C C1 C2 d1 d 2 d t
第二章 静电场与导体
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电磁学
习题课
例2 (习题2-13)
解 P点电场强度 E E E o E er er 2 π 0r 2 π 0 (d r )
q
由高斯定理可得，球壳内表面S2 上的总电量为 q q
q dq S1 4 π 0 R1 4 π 0 R1 q
dq q q S2 4 π 0 R2 4 π 0 R2 4 π 0 (2 R1 ) q
第二章 静电场与导体
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电磁学
习题课
第二章 静电场与导体
19
电磁学
习题课
q q 0 4 π 0d 4 π 0 R
取 注释
R q q d
q q 3
d 3R
导体接地表示导体与大地等电势，即电势为零，决 不能认为导体一接地，其上的电荷就全部流入大地而不 带电，这种情况只有孤立导体才是如此。当非孤立导体 （如本题）接地时，其上电荷分布决定于周围带电体的 情况。由于导体在静电平衡下是等势体，所以选取导体 球心O处进行讨论比较方便。由计算结果可知,感应电荷 只能小于或等于外部q的电量。
因球面上感应电荷与球心O的距离均为球的半径R，且感应 的总电荷量为零，所以感应电荷在O点产生的电势为零，即
o 0
第二章 静电场与导体
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电磁学
习题课
q P o 4 π 0 r0
由此球面感应电荷在P点产生的电势为
q q P P o 4 π 0r 4 π 0 r0 q q P 4 π 0 r0 4 π 0 r
P P
根据静电平衡条件得
q
r r0
P
R
在求解导体问题时，静电平衡条件应用是十分重要的，在（1） q 是无法求出 的。 中单由 P
4 0 r
但由于球体达到静电平衡后，球体是一等势体，所以往往在 导体中选取某些特殊点，可以使这类问题解决。 本题中球心处就是一个对称点，由于感应电荷总量为零，而 且所有感应电荷到球心距离相同，所以可求出该特殊点的电 势，再由导体为等势体的特点，求解其它点的电学量。
电磁学
习题课
第二章 习题课
第二章 静电场与导体
1
电磁学
习题课 基本要求
• 理解导体的静电平衡条件，掌握导体达到静电平 衡状态时电荷及电场强度的分布特征。能结合静 电平衡条件分析静电感应、静电屏蔽等现象。掌 握存在导体时静电场的场强分布和电势分布的计 算方法。 • 掌握电容的定义及其物理意义，掌握典型电容器 电容及电容器储能的计算方法。 • 理解电场具有能量，掌握带电系统和静电场能量 的计算方法。
第二章 静电场与导体
20
电磁学
习题课
例5 习题2-11（P85）
如图所示，半径为 R1 的导体球带 电量 q ，在它外面同心的罩一金属 外壳，其内外壁半径分别为R2与R3 ，已知 R3 3R1 R2 2R1 ，今在 ， 距球心为 d 4R1处放一电量为Q 的点电荷，并将导体球壳接地，试 问： （1）球壳带的总电量是多大？
因q2 0，于是得所求得电势为
表面上的感 应电荷量
q2在球壳外
1 q1 q2 q1 q1 Q U （ ） 4 π 0 r1 r2 R1 R2
第二章 静电场与导体
两导线的电势差
d a
P
er
r
d
2a
d a d a 1 1 E d r E d r [ r d r ]d r 2 π0 a a a d d a ln π0 a
第二章 静电场与导体
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电磁学
习题课
故长为 L 一段电容为
O
E、
O 处的
q
R
O
q
q r0
P
d
P
电荷守恒 感应电荷在
q
感
0
O 处的
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第二章 静电场与导体
电磁学
习题课
⑵ 腔内任一点的 E 、
q
R
O
q
q r0
P
E0
腔内任一点
（导体的静电平衡条件）
d
导体为等势体
腔 内 o 感 q
第二章 静电场与导体
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电磁学
习题课
例4 空腔导体外有点电荷 已知:
R
O
R 、 q 、d
Pq
求： ⑴ 感应电荷在 O 处的
⑵ 腔内任一点的 E 、
E 、
d
⑶ 空腔接地，求感应电荷的总量
第二章 静电场与导体
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电磁学
习题课
⑴ 感应电荷在
EO E q E感 0 qr0 E感 E q 4 π 0d 2
C
Q
L π 0 L ln d
a
单位长度电容为
C π0 L ln d a
第二章 静电场与导体
11
电磁学
习题课
例3 如图，一导体球原为中性，今在距离球心为 r0 处放一 电量为 q 的点电荷，试求：
(1) 球上的感应电荷在球内P点上的场强 E P 和电势 P ；
q 0 4 π 0d
第二章 静电场与导体
18
电磁学
习题课
⑶ 空腔接地 求感应电荷的总量 球壳电势
q
R
0 o
由电势叠加原理
O
d
q r0
P
o q q 0
q O 处 q 4 π 0d d S 1 q q d S 4 π 0 R 4 π0R 4 π0R q q
第二章 静电场与导体
q
r r0
P
R
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电磁学
习题课
由电势叠加原理可知，P点的电势为点 电荷 q 和球面感应电荷在该处产生的 电势的标量和，即
q P P 4 π 0r
q
r r0
P
R
由于球体等电势，所以球内任一点P的电势与球心O点的电 势相同，则有
q P o o 4 π 0 r0
(2) 若将球接地，E P 和 P 结果如何？
解 （1）由静电平衡条件和场强叠加原理 可知，P点的电场强度为点电荷 q 和 球面感应电荷在该处产生的场强的矢 量和，且为零，即
q EP EP r 0 3 4 π 0r q EP r 3 4 π 0r
第二章 静电场与导体
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3 Q Q 4
电磁学
习题课
例6 带电量为Q 的导体球壳，内外半径分别为 R1和 R2，现 将电荷量为 q1 的点电荷放在壳内离球心 O为r 处，电荷量 1 为 q2的点电荷放在壳外离球心 O 为 r2处，如图所示。试求 Q 球心 O 的电势。 解：根据电势叠加原 理，球心O的电势等 于所有电荷在O点产 生的电势之和，即 球壳内表面 上的电荷量
（2）当球接地后，球体电势为
q
r r0
P
R
0
q P 4 π 0r
14
q P P 0 4 π 0r
第二章 静电场与导体
电磁学
习题课
q EP EP r 0 3 4 0 r q EP r 3 注释 4 0 r