天津市塘沽区紫云中学高三数学总复习 7.4基本不等式：ab≤a+b2 (a0,b0)

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天津市塘沽区紫云中学高三数学总复习 2.3 函数的奇偶

2.3 函数的奇偶性(时间：45分钟满分：100分) 一、选择题(每小题7分，共35分)1．(2010·山东)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于 ( )A ．3B ．1C ．－1D ．－32．(2010·全国)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}等于( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}3．已知f (x ) (x ∈R )为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( ) A.12 B ．1 C.32 D ．24．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0 的x 的取值范围是 ( )A ．(－∞，2)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(2，＋∞)5． f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是 ( )A ．1B ．4C ．3D ．2二、填空题(每小题6分，共24分)6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (2)＝________.7．(2010·江苏)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．8．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋5)＝－f (x )＋2，且当x ∈(0,5)时，f (x )＝x ，则f (2 011)的值为________．三、解答题(共41分)10．(13分)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，若a 、b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f a ＋f b a ＋b>0.判断函数f (x )在[－1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论．11.(14分)已知函数f (x )对一切x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数；(2)若f (－3)＝a ，用a 表示f (12)．12．(14分)已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2 009]上的所有x 的个数．答案1．D 2．B 3．C 4．B 5．B6．0 7．－1 8．1 9．①②⑤10．解 f (x )在[－1,1]上是增函数．证明如下：任取x 1、x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]．又f (x )是奇函数，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2·(x 1－x 2)．据已知f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[－1,1]上是增函数．11．(1)证明显然f (x )的定义域是R ，它关于原点对称．在f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )中，令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )，令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0，∴f (x )＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)解由f (－3)＝a ，f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )及f (x )是奇函数，得f (12)＝2f (6)＝4f (3)＝－4f (－3)＝－4a .12．解当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)．又设1<x <3，则－1<x －2<1，∴f (x －2)＝12(x －2)．又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f ((－x )＋2)＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2) (1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x －1≤x ≤1，－12x －2 1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1.又∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1 (n ∈Z )．令0≤4n －1≤2 009，则14≤n ≤1 0052，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502 (n ∈Z )，∴在[0,2 009]上共有502个x 使f (x )＝－12.。

天津市塘沽区紫云中学高三数学总复习 7.2一元二次不等式及其解法

7.2一元二次不等式及其解法(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1.已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是［-12 , -31］，则不等式x 2－bx －a <0的解集是 ( )A.(2,3)B.(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 2.不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，那么不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax 的解集为( )A.{x |0<x <3}B.{x |x <0，或x >3}C.{x |－2<x <1}D.{x |x <－2，或x >1}3.不等式4x －2≤x －2的解集是 ( ) A.(－∞，0］∪(2,4］ B.［0,2)∪［4，＋∞)C.［2,4)D.(－∞，2］∪(4，＋∞)4.(2010·全国Ⅱ)不等式x －3x ＋2<0的解集为( )A.{x |－2<x <3}B.{x |x <－2}C.{x |x <－2，或x >3}D.{x |x >3}5.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1 (a ∈R，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈［－1,1］时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是 ( )A.－12C.b <－1或b >2D.不能确定二、填空题(每小题6分，共24分)6.不等式2－x x －1≥0的解集是 . 7.(2010·全国Ⅰ)不等式x －2x 2＋3x ＋2＞0的解集是 .8.若函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x >0，y >0满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，则不等式f (x ＋6)＋f (x )<2f (4)的解集为 .9.在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y ).若不等式(x －a )*(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是 .三、解答题(共41分)10.(13分)解不等式：log 12(3x 2－2x －5)≤log 12(4x 2＋x －5).11.(14分)当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是全体实数？12.(14分)某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围.答案 1.A 2.A 3.B 4.A 5.C6.(1,2］7. {}x | －2＜x ＜－1或x ＞28. (0,2)9. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 10. 解原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 2－2x －5≥4x 2＋x －5， ①4x 2＋x －5>0， ②解①得x 2＋3x ≤0，即－3≤x ≤0.解②得x >1或x <－54. 故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3≤x <－54. 11. 解 ①当a 2－1＝0，即a ＝±1时，若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立；若a ＝－1，原不等式为2x －1<0，即x <12，不符合题目要求，舍去. ②当a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式的解集是全体实数的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1<0，Δ＝(a －1)2＋4(a 2－1)<0，解得－35<a <1. 综上所述，当－35<a ≤1时，原不等式的解集是全体实数. 12. 解 (1)依题意，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 又售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为x ∈［0,2］.(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是［12 , 2］.。

基本不等式-高考数学知识点总结-高考数学真题复习

基本不等式-⾼考数学知识点总结-⾼考数学真题复习§7.4　基本不等式2014⾼考会这样考　1.利⽤基本不等式求最值、证明不等式；2.利⽤基本不等式解决实际问题．复习备考要这样做　1.注意基本不等式求最值的条件；2.在复习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应⽤．1．基本不等式≤ab a ＋b2(1)基本不等式成⽴的条件：a >0，b >0.(2)等号成⽴的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．⼏个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)＋≥2(a ，b 同号)．b a ab (3)ab ≤2(a ，b ∈R )．(a ＋b2)(4)≥2(a ，b ∈R )．a 2＋b 22(a ＋b2)3．算术平均数与⼏何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为，⼏何平均数为，基本不等式可叙述为：a ＋b2ab 两个正数的算术平均数不⼩于它们的⼏何平均数．4．利⽤基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最⼩值是2.(简记：积定和最p ⼩)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最⼤值是.(简记：和定积最⼤)p 24[难点正本　疑点清源]1．在应⽤基本不等式求最值时，要把握不等式成⽴的三个条件，就是“⼀正——各项均为正；⼆定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．运⽤公式解题时，既要掌握公式的正⽤，也要注意公式的逆⽤，例如a 2＋b 2≥2ab 逆⽤就是ab ≤(a ，b >0)等．还要注意“添、a 2＋b 22a ＋b2ab (a ＋b2)拆项”技巧和公式等号成⽴的条件等．3．对使⽤基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使⽤函数y ＝x ＋(m >0)的单调性．mx1．若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最⼤值是________．答案　81解析　由于x >0，y >0，则x ＋y ≥2，xy 所以xy ≤2＝81，(x ＋y2)当且仅当x ＝y ＝9时，xy 取到最⼤值81.2．已知t >0，则函数y ＝的最⼩值为________．t 2－4t ＋1t答案　－2解析　∵t >0，∴y ＝＝t ＋－4≥2－4＝－2，且在t ＝1时取等号．t 2－4t ＋1t1t 3．已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则＋的最⼩值是_____________．1x 2y 答案　8解析　因为＋＝(2x ＋y )1x 2y )＝4＋＋≥4＋2＝8，等号当且仅当y ＝，x ＝时成⽴．y x 4xy y x ·4x y 12144． (2012·浙江)若正数x ，y 满⾜x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最⼩值是( )A. B.C ．5D ．6245285答案　C解析　∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得＝1.15(1y＋3x )∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )15(1y ＋3x )＝15(3x y ＋4＋9＋12y x )＝＋≥＋×213515(3xy＋12yx )135153x y ·12y x ＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最⼩值为5.5．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )－∞，14](0，14]C.D.(－14，0)(－∞，14)答案　A解析　由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆⼼(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，⼜因ab ≤2＝ (a ＝b 时取等号)．(a ＋b 2)14故ab 的取值范围是.(－∞，14]题型⼀　利⽤基本不等式证明简单不等式例1　已知x >0，y >0，z >0.求证：≥8.(y x＋z x )(x y ＋z y )(x z ＋yy ＋≥>0，x z y z 2xyz ∴(y x＋z x )(x y ＋z y )(x z ＋yz )≥＝8.8yz ·xz ·xyxyz当且仅当x ＝y ＝z 时等号成⽴．探究提⾼　利⽤基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的⼀种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．　已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：＋＋≥9.1a 1b 1c 证明　∵a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，∴＋＋＝＋＋1a 1b 1c a ＋b ＋c a a ＋b ＋c ba ＋b ＋c c＝3＋＋＋＋＋＋ba ca ab cb ac b c＝3＋＋＋(b a＋a b )(c a ＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝时，取等号．13题型⼆　利⽤基本不等式求最值例2　(1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则＋的最⼩值为________；1x 1y (2)当x >0时，则f (x )＝的最⼤值为________．2xx 2＋1思维启迪：利⽤基本不等式求最值可以先对式⼦进⾏必要的变换．如第(1)问把＋中1x 1y 的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利⽤基本不等式；第(2)问把函数式中分⼦分母同除“x ”，再利⽤基本不等式．答案　(1)3＋2　(2)12解析　(1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，∴＋＝＋1x 1y 2x ＋yx 2x ＋yy＝3＋＋≥3＋2.当且仅当＝时，取等号．y x 2x y 2y x 2xy (2)∵x >0，∴f (x )＝＝≤＝1，2xx 2＋12x ＋1x 22当且仅当x ＝，即x ＝1时取等号．1x (1)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最⼩值是( )A ．3B ．4C.D.92112(2)已知a >b >0，则a 2＋的最⼩值是________．16b (a －b )答案　(1)B (2)16解析　(1)依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2＝6，(x ＋1)(2y ＋1)即x ＋2y ≥4.当且仅当Error!即Error!时等号成⽴．∴x ＋2y 的最⼩值是4.(2)∵a >b >0，∴b (a －b )≤b ＋a －b 2)a 24当且仅当a ＝2b 时等号成⽴．∴a 2＋≥a 2＋＝a 2＋16b (a －b )16a 2464a 2≥2＝16，当且仅当a ＝2时等号成⽴．a 2·64a 22∴当a ＝2，b ＝时，a 2＋取得最⼩值16.2216b (a －b )题型三　基本不等式的实际应⽤例3　某单位建造⼀间地⾯⾯积为12 m 2的背⾯靠墙的矩形⼩房，由于地理位置的限制，房⼦侧⾯的长度x 不得超过5 m ．房屋正⾯的造价为400元/m 2，房屋侧⾯的造价为150元/m 2，屋顶和地⾯的造价费⽤合计为5 800元，如果墙⾼为3 m ，且不计房屋背⾯的费⽤．当侧⾯的长度为多少时，总造价最低？思维启迪：⽤长度x 表⽰出造价，利⽤基本不等式求最值即可．还应注意定义域0解　由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋×400)＋5 80012x ＝900＋5 800 (0(x ＋16x )则y ＝900＋5 800(x ＋16x )≥900×2＋5 800＝13 000(元)，x ×16(2011·北京)某车间分批⽣产某种产品，每批的⽣产准备费⽤为800元．若每批⽣产x 件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费⽤为1元．为使平均到x8每件产品的⽣产准备费⽤与仓储费⽤之和最⼩，每批应⽣产产品 ( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件答案　B解析　设每件产品的平均费⽤为y 元，由题意得y ＝＋≥2＝20.800x x 8800x ·x 8当且仅当＝(x >0)，即x ＝80时“＝”成⽴，故选B.800x x8忽视最值取得的条件致误典例：(12分)已知a 、b 均为正实数，且a ＋b ＝1，求y ＝的最⼩值．(a ＋1a )(b ＋1b )易错分析　在求最值时两次使⽤基本不等式，其中的等号不能同时成⽴，导致最⼩值不能取到．审题视⾓　(1)求函数最值问题，可以考虑利⽤基本不等式，但是利⽤基本不等式，必须保证“正、定、等”，⽽且还要符合已知条件．(2)可以考虑利⽤函数的单调性，但要注意变量的取值范围．规范解答解　⽅法⼀　y ＝(a ＋1a )(b ＋1b )＝＋≥＋2(ab ＋1ab )(ba ＋ab )(ab ＋1ab )ab ＋1ab )(4ab ＋1ab －3ab)≥2＝2＝.[10分](24ab ·1ab－3×a ＋b 2)(4－32)254当且仅当a ＝b ＝时，y ＝取最⼩值，最⼩值为.[12分] 12(a ＋1a )(b ＋1b )254⽅法⼆　y ＝＝ab ＋＋＋(a ＋1a )(b ＋1b )1ab a b ba＝ab ＋＋＝ab ＋＋1ab (a ＋b )2－2abab＝＋ab －2.[6分]2ab 令t ＝ab ≤2＝，即t ∈.(a ＋b 2)14(0，14]⼜f (t )＝＋t 在上是单调递减的，[10分]2t (0，14]∴当t ＝时，f (t )min ＝，此时，a ＝b ＝.1433412∴当a ＝b ＝时，y 有最⼩值.[12分]12254温馨提醒　(1)这类题⽬考⽣总感到⽐较容易下⼿．但是解这类题⽬却⼜常常出错．(2)利⽤基本不等式求最值，⼀定要注意应⽤条件：即⼀正、⼆定、三相等．否则求解时会出现等号成⽴、条件不具备⽽出错．(3)本题出错的原因前⾯已分析，关键是忽略了等号成⽴的条件.⽅法与技巧1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常⽤于⽐较数(式)的⼤⼩或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利⽤基本不等式的切⼊点．2．恒等变形：为了利⽤基本不等式，有时对给定的代数式要进⾏适当变形．⽐如：(1)当x >2时，x ＋＝(x －2)＋＋2≥2＋2＝4.1x －213≤2＝.13(3x ＋8－3x 2)163失误与防范1．使⽤基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“⼀正、⼆定、三相等”的忽视．要利⽤基本不等式求最值，这三个条件缺⼀不可．2．在运⽤重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满⾜重要不等式中“正”“定”“等”的条件．3．连续使⽤公式时取等号的条件很严格，要求同时满⾜任何⼀次的字母取值存在且⼀致．A 组　专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1． (2011·陕西)设0( )A ．aB ．a <<ab a ＋b2ab a ＋b2C ．a <ab a ＋b2ab a ＋b2答案　B解析　∵02－a ＝(－)>0，即>a ，D 错误，故选B.ab a b a ab 2． (2012·福建)下列不等式⼀定成⽴的是( )A ．lg>lg x (x >0)(x 2＋14)B ．sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z )1sin x C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.>1(x ∈R )1x 2＋1答案　C解析　当x >0时，x 2＋≥2·x ·＝x ，1412所以lg≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；(x 2＋14)⽽当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有＝1，故选项D 不正确．1x 2＋13．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝2，则＋的最⼤值为( )31x 1y A ．2 B.C ．1D.3212答案　C解析　由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，＋＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 32＝1，当且仅当a ＝b ＝时“＝”1x 1y (a ＋b2)3成⽴，则＋的最⼤值为1.1x 1y 4．已知0( )A. B.C.D.13123423答案　B解析　∵00.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤32＝.(x ＋1－x 2)34当x ＝1－x ，即x ＝时取等号．12⼆、填空题(每⼩题5分，共15分)5．已知x ，y ∈R ＋，且满⾜＋＝1，则xy 的最⼤值为________．x 3y4答案　3解析　∵x >0，y >0且1＝＋≥2，∴xy ≤3.当且仅当＝时取等号．x 3y4xy12x3y46． (2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则·的最⼩值为________．(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)答案　9解析　＝5＋＋4x 2y2(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)1x 2y 2≥5＋2＝9，1当且仅当x 2y 2＝时“＝”成⽴．127．某公司⼀年需购买某种货物200吨，平均分成若⼲次进⾏购买，每次购买的运费为2万元，⼀年的总存储费⽤数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使⼀年的总运费与总存储费⽤之和最⼩，则每次购买该种货物的吨数是_______．答案　20解析　设每次购买该种货物x 吨，则需要购买次，则⼀年的总运费为×2＝，200x 200x 400x ⼀年的总存储费⽤为x ，所以⼀年的总运费与总存储费⽤为＋x ≥2＝40，当且400x 400x·x仅当＝x ，即x ＝20时等号成⽴，故要使⼀年的总运费与总存储费⽤之和最⼩，每次400x 应购买该种货物20吨．三、解答题(共22分)8． (10分)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)＋＋≥8；1a 1b 1ab (2)≥9.(1＋1a )(1＋1b )证明　(1)＋＋＝＋＋1a 1b 1ab 1a 1b a ＋bab＝2，(1a＋1b )∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，1a 1b a b ba ∴＋＋≥8(当且仅当a ＝b ＝时等号成⽴)．1a 1b 1ab 12(2)⽅法⼀　∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋＝1＋＝2＋，1a a ＋b a ba 同理，1＋＝2＋，1b ab ∴＝(1＋1a )(1＋1b )(2＋b a )(2＋ab )＝5＋2≥5＋4＝9.(ba＋ab )∴≥9(当且仅当a ＝b ＝时等号成⽴)．(1＋1a )(1＋1b )12⽅法⼆　＝1＋＋＋.(1＋1a )(1＋1b )1a 1b 1ab 由(1)知，＋＋≥8，1a 1b 1ab 故＝1＋＋＋≥9.(1＋1a )(1＋1b )1a 1b 1ab 9． (12分)为处理含有某种杂质的污⽔，要制造⼀个底宽为2 m 的⽆盖长⽅体沉淀箱(如图所⽰)，污⽔从A 孔流⼊，经沉淀后从B 孔流出，设箱的底长为a m ，⾼度为b m ．已知流出的⽔中该杂质的质量分别与a ，b 的乘积成反⽐，现有制箱材料60 m 2.问：当a ，b 各为多少⽶时，经沉淀后流出的⽔中该杂质的质量分数最⼩(A ，B 孔的⾯积忽略不计)?解　⽅法⼀　设y 为流出的⽔中该杂质的质量分数，则y ＝，其中k >0为⽐例系数，依题意，求使y 值最⼩的a ，b 的值．kab 根据题设，有4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)，解得b ＝ (030－a2＋a于是y ＝＝＝kab k30a －a 22＋a k－a ＋32－64a ＋2＝k34－(a ＋2＋64a ＋2)≥＝，k34－2(a ＋2)·64a ＋2k18当且仅当a ＋2＝时等号成⽴，y 取得最⼩值．64a ＋2这时a ＝6或a ＝－10(舍)，将其代⼊①式，得b ＝3.故当a 为6 m ，b 为3 m 时，经沉淀后流出的⽔中该杂质的质量分数最⼩．⽅法⼆　依题意，求使ab 值最⼤的a ，b 的值．由题设，知4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)，即a ＋2b ＋ab ＝30 (a >0，b >0)．因为a ＋2b ≥2，所以2·＋ab ≤30，2ab 2ab 当且仅当a ＝2b 时，上式取等号．由a >0，b >0，解得0即当a ＝2b 时，ab 取得最⼤值，其最⼤值为18.所以2b 2＝18，解得b ＝3，进⽽求得a ＝6.故当a 为6 m ，b 为3 m 时，经沉淀后流出的⽔中该杂质的质量分数最⼩．B 组　专项能⼒提升(时间：25分钟，满分：43分)⼀、选择题(每⼩题5分，共15分)1．不等式a 2＋b 2≥2|ab |成⽴时，实数a ，b ⼀定是( )A ．正数B ．⾮负数C ．实数D ．不存在答案　C解析　原不等式可变形为a 2＋b 2－2|ab |＝|a |2＋|b |2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，对任意实数都成⽴．2．如果021212121212的⼤⼩顺序是 ( )A ．P >Q >MB ．Q >P >MC ．Q >M >PD ．M >Q >P答案　B解析　因为P ＝log ，Q ＝(log a ＋log b )，12a ＋b2121212M ＝log (a ＋b )，所以只需⽐较，，的⼤⼩，显然>.⼜因为<1212a ＋b2ab a ＋b a ＋b2ab a ＋b2(因为a ＋b >，也就是<1)，所以>>，⽽对数函数当底数a ＋b (a ＋b )24a ＋b4a ＋b a ＋b2ab ⼤于0且⼩于1时为减函数，故Q >P >M .3．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均⼤于0，则＋的最⼩值为( )1m 2n A ．2 B ．4C ．8D ．16答案　C解析　点A (－2，－1)，所以2m ＋n ＝1.所以＋＝(2m ＋n )＝4＋＋≥8，当且仅当n ＝2m ，即m ＝，n ＝时等号成1m 2n (1m ＋2n )n m 4m n 1412⽴．⼆、填空题(每⼩题5分，共15分)4．若正实数x ，y 满⾜2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最⼩值是________．答案　18解析　由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥2＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，2xy 即()2－2－6≥0，xy 2xy ∴(－3)·(＋)≥0.xy 2xy 2⼜∵>0，∴≥3，即xy ≥18.xy xy 2∴xy 的最⼩值为18.5．已知m 、n 、s 、t ∈R ＋，m ＋n ＝2，＋＝9，其中m 、n 是常数，且s ＋t 的最⼩值是，ms nt 49满⾜条件的点(m ，n )是圆(x －2)2＋(y －2)2＝4中⼀弦的中点，则此弦所在的直线⽅程为__________．答案　x ＋y －2＝0解析　因(s ＋t )＝m ＋n ＋＋(m s＋n t )tm s snt≥m ＋n ＋2，所以m ＋n ＋2＝4，mn mn 从⽽mn ＝1，得m ＝n ＝1，即点(1,1)，⽽已知圆的圆⼼为(2,2)，所求弦的斜率为－1，从⽽此弦的⽅程为x ＋y －2＝0.6．定义“*”是⼀种运算，对于任意的x ，y ，都满⾜x *y ＝axy ＋b (x ＋y )，其中a ，b 为正实数，已知1] .答案　1解析　∵1]∵2a ＋3b ≥2，∴ab ≤.6ab 23当且仅当2a ＝3b ，即a ＝1时等号成⽴，所以当a ＝1时，ab 取最⼤值.23三、解答题7． (13分)甲、⼄两地相距s 千⽶，⼀船由甲地逆⽔匀速⾏驶⾄⼄地，⽔速为常量p (单位：千⽶/⼩时)，船在静⽔中的最⼤速度为q 千⽶/⼩时(q >p )．已知船每⼩时的燃料费⽤(单位：元)与船在静⽔中的速度v (单位：千⽶/⼩时)的平⽅成正⽐，⽐例系数为k .(1)把全程燃料费⽤y (单位：元)表⽰为船在静⽔中的速度v 的函数，并求出这个函数的定义域；(2)为了使全程燃料费⽤最⼩，船的实际前进速度应为多少？解　(1)由题意，知船每⼩时的燃料费⽤是k v 2，全程航⾏时间为，sv －p 于是全程燃料费⽤y ＝k v 2· (psv －p (2)由(1)，知y ＝k v 2·sv －p＝ks ·＝ks [v ＋p ＋]v 2－p 2＋p 2v －pp 2v －p ＝ks [v －p ＋＋2p ]p 2v －p ≥ks [2＋2p ]＝4ksp (当且仅当v －p ＝，即v ＝2p 时等号成⽴)．(v －p )·p 2v －p p 2v －p①当2p ∈(p ，q ]，即2p ≤q 时，y min ＝4ksp ，此时船的前进速度为2p －p ＝p ；②当2p ?(p ，q ]，即2p >q 时，函数y ＝k v 2·在(p ，q ]内单调递减，所以sv －p y min ＝ks ·，此时船的前进速度为q －p .q 2q －p 故为了使全程燃料费⽤最⼩，当2p ≤q 时，船的实际前进速度应为p 千⽶/⼩时；当2p >q 时，船的实际前进速度应为(q －p )千⽶/⼩时．。

天津市塘沽区紫云中学高三数学总复习 2.7 函数与方程

2.7 函数与方程(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1．在以下区间中，存在函数f (x )＝x 3＋3x －3的零点的是( ) A ．[－1,0] B ．[1,2]C ．[0,1]D ．[2,3]2．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为( ) A ．2 B ．3C ．1D ．43．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln x ＋2x －6 x >0－x x ＋1 x ≤0 的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34．方程|x 2－2x |＝a 2＋1 (a >0)的解的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．45．(2010·天津)函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)二、填空题(每小题6分，共24分)6．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1) (n ∈N )内，则n ＝________.7．已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________．8．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是__________．三、解答题(共41分)10．(13分)关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．11.(14分)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．12．(14分)(1)m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4.①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；(2)若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．答案1．C 2．A 3．D 4．B 5．C6．2 7．(2,3) 8.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <1 9．1＋2或1 10．解设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]，①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解，∵f (0)＝1>0，则应有f (2)≤0，又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m ≤－32. ②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥00<－m －12<2f 2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －12－4≥0－3<m <14＋m －1×2＋1≥0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥3或m ≤－1－3<m <1m ≥－32，∴－32≤m ≤－1，由①②可知m ≤－1.11．解 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根．设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0时，即m 2－4＝0， ∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)， ∴2x ＝1，x ＝0符合题意．当Δ>0时，即m >2或m <－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根，即f (x )有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.12．解 (1)①f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点⇔方程f (x )＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，∴m ＝4或m ＝－1.②方法一设f (x )的两个零点分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4m 2－43m ＋4>0x 1＋1x 2＋1>0x 1＋1＋x 2＋1>0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －4>03m ＋4－2m ＋1>0－2m ＋2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m >4或m <－1，m >－5，m <1，∴－5<m <－1.故m 的取值范围为(－5，－1)．方法二由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－m >－1，f －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4>0，m <1，1－2m ＋3m ＋4>0.∴－5<m <－1.∴m 的取值范围为(－5，－1)．(2)令f (x )＝0，得|4x －x 2|＋a ＝0，即|4x －x 2|＝－a .令g (x )＝|4x －x 2|，h (x )＝－a .作出g (x )、h (x )的图象．由图象可知，当0<－a <4，即－4<a <0时，g (x )与h (x )的图象有4个交点，即f (x )有4个零点．故a 的取值范围为(－4,0)．。

天津市塘沽区紫云中学高三数学总复习 2.4 指数与指数

2.4 指数与指数函数(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1．下列等式36a 3＝2a ；3－2＝6－22；－342＝4－34×2中一定成立的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．把函数y ＝f (x )的图象向左、向下分别平移2个单位长度得到函数y ＝2x 的图象，则( )A ．f (x )＝2x ＋2＋2B ．f (x )＝2x ＋2－2C ．f (x )＝2x －2＋2D ．f (x )＝2x －2－23．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )4.函数f (x )＝a x －b的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 ( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 5．(2010·安徽)设232555322(),(),()555a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a二、填空题(每小题6分，共24分)6．已知函数f (x )＝|2x －1|，a f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0; ②a <0，b ≥0，c >0；③2－a <2c; ④2a ＋2c <2.7．若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________.8．函数f (x )＝223x x a m +-+(a >1)恒过点(1,10)，则m ＝________. 9．设函数f (x )＝a －|x | (a >0且a ≠1)，若f (2)＝4，则f (－2)与f (1)的大小关系是__________．三、解答题(共41分)10．(13分)(1)计算：22110.5332234[(3)(5)(0.008)(0.02)(0.32)]89----+÷⨯÷0.06250.25；(2)化简：4123 3332233382()42a ab bab ab a--÷-⨯++a·3a25a·3a(式中字母都是正数)．11.(14分)已知对任意x∈R，不等式222411()22x mx mx x-+++>恒成立，求实数m的取值范围．答案1．A 2．C 3．B 4．D 5．A 6．④ 7.5±12 8．9 9．f (－2)>f (1) 10．解 (1)原式＝ 22113324849100042625[()()()50]()27981010000-+÷⨯÷＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49－73＋25×152×4210÷12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－179＋2×2＝29.(2)原式＝11111213333333321111111223333352[()(2)]2()()(2)(2)()a a b a ba a a a ab b a a --⋅÷⨯+⋅+⋅＝51116333111336(2)2aa a ab a b a -⨯⨯-＝12233.a a a a ⨯⨯=11．解由题知：不等式222411()()22x xx mx m +-++>对x ∈R 恒成立，∴x 2＋x <2x 2－mx ＋m ＋4对x ∈R 恒成立． ∴x 2－(m ＋1)x ＋m ＋4>0对x ∈R 恒成立． ∴Δ＝(m ＋1)2－4(m ＋4)<0.∴m 2－2m －15<0.∴－3<m <5.12．解 (1)依题意0<c <1，∴c 2<c ，∵f (c 2)＝98，∴c 3＋1＝98，c ＝12.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1 0<x <122－4x ＋1 12≤x <1，由f (x )>28＋1得当0<x <12时，12x ＋1>28＋1，∴24<x <12，当12≤x <1时，2－4x ＋1>28＋1，∴12≤x <58.综上可知，24<x<58，∴f(x)>28＋1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|24<x<58.。

天津市塘沽区紫云中学高三数学总复习 13.2基本算法语

13.2基本算法语句(时间：45分钟满分：100分) 一、选择题(每小题7分，共35分)1．下列赋值语句正确的是( )A．a＋b＝5 B．5＝a C．a＝b＝2 D．a＝a＋1 2．下面的程序语句输出的结果S为( )I＝1WHILE I<8S＝2*I+3I=I+2WENDPRINT SENDA．17 B．19 C．21 D．233．当a＝3时，下面的程序段输出的结果是( )IF a<10 THENy＝2*aELSEy=a*aPRINT yA．9 B．3 C．10 D．64．若下列程序执行的结果是3，INPUT xIF x>＝0 THENy＝xELSEy＝－xEND IFPRINT yEND则输入的x的值是( )A ．3B ．－3C ．3或－3D ．0 5．读程序当输出的y 的范围大于1时，则输入的x 值的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) 二、填空题(每小题6分，共24分)6．下面的程序运行后第3个输出的数是________．i=1 x=1 DOPRINT x i=i+1 x=x+21 LOOP UNTIL i=5 ENDINPUT x IF x >0 THEN y ＝SQR (x ) ELSEy ＝(0.5)^x －1 END IF PRINT y END7．下列程序执行后输出的结果是________．8．下述程序的表达式为__________________．9．运行下面程序框内的程序，在两次运行中分别输入－4和4，则运行结果依次为________．INPUT “x＝”；x IF x>＝2 THEN y ＝3＋x^2 ELSEIF x>＝0 THEN y ＝2]y ＝x/2 END IF END IF PRINT y ＋1 END三、解答题(共41分)10．(13分)设计算法，根据输入的x 的值，计算y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x ≤2.5，x 2－1， x >2.5的值，写出计算程序．11．(14分)设计算法求1＋13＋15＋…＋119的值，画出程序框图，并编写程序．12．(14分)编写程序，使得任意输入的3个整数按从大到小的顺序输出．IN PUT “x=”;x IF x>2.5 THEN y=x^2+1 END IF PRINT “y=”;y END答案1.D2. A3.D4.C5.C6.27.9908. S ＝13＋15＋…＋117＋119 9. －1,2010. 解算法如下：第一步，输入x ；第二步，如果x >2.5，则y ＝x 2－1；第三步，如果x ≤2.5，则y ＝x 2＋1；第四步，输出y . 程序如下：11. 解程序框图：程序：12. 解用a ，b ，c 表示输入的3个整数；为了节约变量，把它们重新排列后，仍用a ，b ，c 表示，并使a ≥b ≥c .具体操作步骤如下：S=0 n=1 i=1WHILE i<=10S=S+1/n n=n+2 i=i+1 WEND PRINT S END第一步：输入3个整数a，b，c.第二步：将a与b比较，并把小者赋给b，大者赋给a.第三步：将a与c比较，并把小者赋给c，大者赋给a，此时a已是三者中最大的．第四步：将b与c比较，并把小者赋给c，大者赋给b，此时a，b，c已按从大到小的顺序排列好．第五步：按顺序输出a，b，c.程序：INPUT “a，b，c＝”；a，b，cIF b>a THENt＝aa＝bb＝tEND IFIF c>a THENt＝aa＝cc＝tEND IFIF c>b THENt＝bb＝cc＝tEND IFPRINT a，b，cEND。

高三总复习数学课件基本不等式

A．3 B．4 C．5 D．6
()
解
析
：
∵
x
＞
2
，
∴
x
－
2
＞
0
，
∴
y
＝
ห้องสมุดไป่ตู้
x
＋
4 x－2
＝
(x
－
2)
＋
4 x－2
＋
2≥2
x－2·x－4 2＋2＝6，当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时取等号，∴函数 y
＝x＋x－4 2的最小值为 6. 答案：D
2．已知 0<x<3，则 2x(3－x)的最大值为
1．(苏教版必修第一册 P57·T8 改编)设 a＞0，则 9a＋1a的最小值为 A．4 B．5 C．6 D．7
()
解析：9a＋1a≥2 9a×1a＝6.当且仅当 9a＝1a，即 a＝13时等号成立．
答案：C
2．(人教 B 版必修第一册 P73·例 1 改编)若 x<0，则 x＋1x A．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y有最小值是 2 p .(简
记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 x＝y
p2 时，xy有最大值是 4 .(简
记：和定积最大)
(1)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
等号成立，A 选项正确；
对于 B 选项，由基本不等式可得a＋12b＋2a1＋b＝13(3a＋3b)a＋12b＋2a1＋b＝13[(a

天津市塘沽区紫云中学高三数学总复习 3.2导数的应用

(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．－173 B ．－103 C ．－4 D ．－6432．函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 C ．(0，＋∞) D ．(－∞，3)3．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( ) A ．f (－a 2)≤f (－1)B ．f (－a 2)<f (－1)C ．f (－a 2)≥f (－1)D ．f (－a 2)与f (－1)的大小关系不确定4．已知函数f (x ) (x ∈R)的图象上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)·(x －x 0)，那么函数f (x )的单调减区间是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1,2)D ．[2，＋∞) 5．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32二、填空题(每小题6分，共24分)6．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________． 7．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________. 8．已知函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m ＝________.9．已知某质点的运动方程为s (t )＝t 3＋bt 2＋ct ＋d ，如图所示是其运动轨迹的一部分，若t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4时，s (t )<3d 2成立，则d 的取值范围为__________．三、解答题(共41分)10．(13分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值．(1)讨论f (1)和f (－1)是函数f (x )的极大值还是极小值；(2)过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线，求此切线方程．11．(14分)若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．答案 1.A 2.B 3.A 4.C 5.A6. －377. 38. －29. d >43或d <－1 10．解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意， f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b －3＝03a －2b －3＝0，解得a ＝1，b ＝0. 所以f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1，x ＝1.若x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－1)上是增函数， f (x )在(1，＋∞)上是增函数．若x ∈(－1,1)，则f ′(x )<0，故f (x )在(－1,1)上是减函数．所以f (－1)＝2是极大值，f (1)＝－2是极小值．(2)曲线方程为y ＝x 3－3x ，点A (0,16)不在曲线上．设切点为M (x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 30－3x 0.因f ′(x 0)＝3(x 20－1)，故切线方程为y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)，注意到点A (0,16)在切线上，有16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)，化简得x 30＝－8，解得x 0＝－2.所以，切点为M (－2，－2)，切线方程为9x －y ＋16＝0.11. 解函数f (x )的导数f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1，或x ＝a －1.当a －1≤1即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，不合题意；当a －1>1即a >2时，函数f (x )在(－∞，1)上为增函数，在(1，a －1)上为减函数，在(a －1，＋∞)上为增函数．依题意应有当x ∈(1,4)时，f ′(x )<0；当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )>0.所以4≤a －1≤6，解得5≤a ≤7.所以a 的取值范围为[5,7]．12. 解 (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )．当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a a或x>a；由f′(x)<0，解得－a<x<a，∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，∴结合f(x)的单调性可知，m 的取值范围是(－3,1)．。

天津市塘沽区紫云中学高三数学总复习 2.5 对数与对数

2.5 对数与对数函数(时间：45分钟满分：100分) 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．函数y ＝2－x lg x 的定义域是 ( ) A ．{x |0<x <2} B ．{x |0<x <1或1<x <2}C ．{x |0<x ≤2}D ．{x |0<x <1或1<x ≤2}2．已知0<log a 2<log b 2，则a 、b 的关系是 ( )A ．0<a a >1D ．a >b >13．(2010·天津)设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c4．(2010·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝||lg x ，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B.[)1，＋∞C ．(2，＋∞) D.[)2，＋∞5．设函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝g (x )，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝14，则a 等于 ( )A ．－2B ．－12 C.12 D ．2 二、填空题(每小题6分，共24分)6．已知23a ＝49 (a >0)，则32log a ＝________. 7．已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系是________．8．函数f (x )＝12log (x 2－2x －3)的单调递增区间是__________． 9．函数y ＝12log (x 2－6x ＋17)的值域是__________．三、解答题(共41分)10．(13分)计算下列各题：(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 22－lg 2＋1. 11.(14分)已知f (x )＝log a 1＋x 1－x(a >0，a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)求使f (x )>0的x 的取值范围．12．(14分)若函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x的值．答案1．D 2．D 3．D 4．C 5．C6．3 7．m >n 8．(－∞，－1) 9．(－∞，－3]10．解 (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋lg 22－2lg 2＋1 ＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1|＝lg 2·lg(2×5)＋1－lg 2＝1.11．解 (1)∵f (x )＝log a 1＋x 1－x ，需有1＋x1－x >0，即(1＋x )(1－x )>0，即(x ＋1)(x －1)<0，∴－1<x <1. ∴函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)f (x )为奇函数，证明如下：∵f (－x )＝log a 1－x1＋x ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－log a 1＋x1－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(3)log a 1＋x1－x >0 (a >0，a ≠1)，①当0<a <1时，可得0<1＋x1－x <1，解得－1<x <0.又－1<x <1，则当0<a <1时，f (x )>0的x 的取值范围为(－1,0)． ②当a >1时，可得1＋x1－x >1，解得0<x <1.即当a >1时，f (x )>0的x 的取值范围为(0,1)．综上，使f (x )>0的x 的取值范围是：a >1时，x ∈(0,1)；0<a <1时，x ∈(－1,0)．12．解 ∵y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2>0，解得x <1或x >3，∴M ＝{x |x <1，或x >3}，f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.令2x ＝t ，∵x <1或x >3，∴t >8或0<t <2.∴f (t )＝4t －3t 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43(t >8或0<t <2)．由二次函数性质可知：当0<t <2时，f (t )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－4，43，当t >8时，f (x )∈(－∞，－160)，当2x ＝t ＝23，即x ＝log 223时，f (x )max ＝43.2 3时，f(x)取到最大值为43，无最小值．综上可知：当x＝log2。

天津市塘沽区紫云中学高三数学总复习 3.4导数的综合应用

3.4导数的综合应用(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m的值为( )A ．16B ．12C ．32D ．62．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥43，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．对于R 上可导的任意函数f (x )，满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)<2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1)4．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间为( )A ．(－∞， 2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)5．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 二、填空题(每小题6分，共24分)6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是__________．7．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．8．设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是__________．9．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．三、解答题(共41分)10．(13分)设函数f (x )＝ax 3－3x 2 (a ∈R)，且x ＝2是y ＝f (x )的极值点．(1)求实数a 的值，并求函数的单调区间；(2)求函数g (x )＝e x ·f (x )的单调区间．11．(14分)已知实数a ≠0，函数f (x )＝ax (x －2)2 (x ∈R)有极大值32.(1)求实数a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．12．(14分)已知x ＝1是函数f (x )＝mx 3－3(m ＋1)x 2＋nx ＋1的一个极值点，其中m 、n ∈R ，m <0.(1)求m 与n 的关系表达式；(2)求f (x )的单调区间；(3)当x ∈[－1,1]时，函数y ＝f (x )的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围．答案 1.C 2.C 3.C 4.D 5.D6. a <－3或a >67. m <－128. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3 9. (－2,2) 10.解 (1)f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，因为x ＝2是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(2)＝0，即6(2a －2)＝0，因此a ＝1.经验证，当a ＝1时，x ＝2是函数y ＝f (x )的极值点．所以f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．所以y ＝f (x )的单调增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；单调减区间是(0,2)．(2)g (x )＝e x (x 3－3x 2)，g ′(x )＝e x (x 3－3x 2＋3x 2－6x )＝e x (x 3－6x )＝x (x ＋6)(x －6)e x ，因为e x >0，所以y ＝g (x )的单调增区间是(－6，0)，(6，＋∞)；单调减区间是(－∞，－6)，(0，6)．11. 解 (1)∵f (x )＝ax 3－4ax 2＋4ax ，∴f ′(x )＝3ax 2－8ax ＋4a ＝a (3x －2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝2. ∵f (x )＝ax (x －2)2 (x ∈R)有极大值32，∴当x ＝23时，f (x )取得极大值32，即23a ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－22＝32，∴a ＝27. (2)由(1)知，f (x )＝27x (x －2)2，∴f ′(x )＝27(3x －2)(x －2)．令f ′(x )>0，则x >2或x <23；令f ′(x )<0，则23<x <2. 所以函数f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23，(2，＋∞)；单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2. 12. 解 (1)f ′(x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋n .因为x ＝1是f (x )的一个极值点，所以f ′(1)＝0，即3m －6(m ＋1)＋n ＝0，所以n ＝3m ＋6.(2)由(1)知，f ′(x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋3m ＋6 ＝3m (x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m . 当m <0时，有1>1＋2m，当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化如下表：由上表知，当m <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1＋2m ，(1，＋∞)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m ，1上单调递增．(3)由已知，得f ′(x )>3m ，即mx 2－2(m ＋1)x ＋2>0.∵m <0，∴x 2－2m (m ＋1)x ＋2m<0，即x 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m x ＋2m<0，x ∈[－1,1]．① 设g (x )＝x 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m x ＋2m ，其函数图象开口向上．由题意①式恒成立．∴(1)0(1)0g g -<⎧⎨<⎩⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＋2m ＋2m <0，－1<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 4m<－3，－1<0⇒m >－43. 又m <0，∴－43<m <0. ∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，0.。

天津市塘沽区紫云中学高三数学总复习 13.4 直接证明与间接证明

13.4 直接证明与间接证明(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分) 1．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x(x <0)，则a 与b 大小关系为( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ≤b2已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|3．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m ，1)．给出以下三个结论： (1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26.其中正确结论的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．04．设x 、y 、z >0，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a 、b 、c 三数( ) A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于25．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：(ⅰ)1*1=1，（ii ）(n+1)*1=n*1+1则n*1等于 ( )A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．n 2二、填空题(每小题6分，共24分)6．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是_______________________________．7．设x ，y ，z 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x ⊥z ，且y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的是________．(填写所有正确条件的代号) ①x 为直线，y ，z 为平面；②x ，y ，z 为平面；③x ，y 为直线，z 为平面；④x ，y 为平面，z 为直线；⑤x ，y ，z 为直线．8．下面有4个命题：①当x >0时，2x ＋12x 的最小值为2； ②若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，且其一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则双曲线的离心率为2；③将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，可以得到函数y ＝s in ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象； ④在Rt△ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝a ，BC ＝b ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22；类比到空间，若三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为a 、b 、c ，则三棱锥S —ABC 的外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22.其中错误．．命题的序号为________(把你认为错误命题的序号都填上)． 9．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)三、解答题(共41分)10．(13分)设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，求证：a >0且-20，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2. 12．(14分)已知a ，b ，c 是互不相等的实数．求证：由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．答案 1.A 2.C 3.A 4.C 5.A6. a ≥0，b ≥0且a ≠b7. ①③④8. ①③9. ③10. 证明 f (0)>0，∴c >0，又∵f (1)>0，即3a ＋2b ＋c >0.①而a ＋b ＋c ＝0即b ＝－a －c 代入①式，∴3a －2a －2c ＋c >0，即a －c >0，∴a >c .∴a >c >0.又∵a ＋b ＝－c <0，∴a ＋b <0. ∴1＋b a <0，∴b a <－1.又c ＝－a －b ，代入①式得，3a ＋2b －a －b >0，∴2a ＋b >0，∴2＋b a >0，∴b a >－2.故－20，故只要证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只要证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只要证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．12. 证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x 轴没有两个不同的交点)，由y ＝ax 2＋2bx ＋c ， y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b ，得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0，Δ2＝(2c )2－4ab ≤0，Δ3＝(2a )2－4bc ≤0.上述三个同向不等式相加得，4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0，∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ca ≤0，∴(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0，∴a＝b＝c，这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．。

天津市塘沽区紫云中学高三数学总复习 12.3几何概型

12.3几何概型(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( ) A.14 B.13 C.427 D.415 2．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则sin πx 4的值介于－12与22之间的概率为( ) A.14 B.13 C.23 D.563．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23D ．无法计算 4．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( )A.12B.23C.34D.145．已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC < 12V S —ABC 的概率是( ) A.78 B.34 C.12 D.14二、填空题(每小题6分，共24分) 6．设p 在[0,5]上随机地取值，则方程x 2＋px ＋p 4＋12＝0有实根的概率为________． 7．已知平面区域U ＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域U 内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________．8．在区间[0,10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0,10]内的概率是________．9．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S 4的概率是________．三、解答题(共41分)10．(13分)如图所示，在单位圆O 的某一直径上随机的取一点Q ，求过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．11．(14分)已知函数f (x )＝ax 2－2bx ＋a (a ，b ∈R )．(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，求方程f (x )＝0恰有两个不相等实根的概率；(2)若b 从区间[0,2]中任取一个数，a 从区间[0,3]中任取一个数，求方程f (x )＝0没有实根的概率．12．(14分)已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率； (2)实数m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n －1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过一、二、三象限的概率．答案1.A2.D3.B4.C5.A6.357.298.π409.3410. 解弦长不超过1，即|OQ |≥32，而Q 点在直径AB 上是随机的，事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P (A )＝32×22＝32. ∴弦长不超过1的概率为1－P (A )＝1－32. 答所求弦长不超过1的概率为1－32. 11. 解 (1)∵a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，∴a ，b 取值的情况是：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(0,3)，(1,3)，(2,3)，(3,3)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，即基本事件总数为16.设“方程f (x )＝0恰有两个不相等的实根”为事件A ，当a >0，b ≥0时，方程f (x )＝0恰有两个不相等实根的充要条件为b >a 且a ≠0，当b >a 且a ≠0时，a ，b 取值的情况有(1,2)，(1,3)，(2,3)，即事件A 包含的基本事件数为3，∴方程f (x )＝0恰有两个不相等实根的概率P (A )＝316. (2)∵b 从区间[0,2]中任取一个数，a 从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，这是一个矩形区域，其面积S Ω＝2×3＝6，设“方程f (x )＝0没有实根”为事件B ，则事件B 所构成的区域为M ＝{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a >b }，其面积S M ＝6－12×2×2＝4，由几何概型的概率计算公式可得：方程f (x )＝0没有实根的概率P (B )＝S M S Ω＝46＝23. 12. 解 (1)抽取的全部结果的基本事件有：(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)， (3，－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P (A )＝610＝35.(2)m 、n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n－1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1的区域如图所示：要使函数的图象过一、二、三象限，则m >0，n >0，故使函数图象过一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P ＝1272＝17.。

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(时间：45分钟满分：100分)
一、选择题(每小题7分，共35分)
1.下列结论中不正确的是 ( )
A.a >0时，a ＋1a ≥2
B.b a ＋a b ≥2
C.a 2＋b 2≥2ab
D.a 2＋b 2≥(a ＋b )2
2 2.已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为 ( )
A.13
B.12
C.34
D.23
3.要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最
大的一个矩形的面积为 ( )
A.50
B.25 3
C.50 3
D.100
4.已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值等于
( )
A.1
B.2
C.2 2
D.2 3
5.已知x >0，y >0，且2x ＋1y
＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( ) A.m ≥4或m ≤－2 B.m ≥2或m ≤－4
C.－2<m <4
D.－4<m <2
二、填空题(每小题6分，共24分)
6.(2010·山东)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4
＝1，则xy 的最大值为 . 7.若x >1，则x ＋
4x －1的最小值为 . 8.已知圆C ：x 2＋y 2＋bx ＋ay －3＝0 (a ，b 为正实数)上任意一点关于直线l ：x ＋y ＋2＝0
的对称点都在圆C 上，则1a ＋3b
的最小值为 .
9.(2010·安徽)若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是
(写出所有正确命题的编号).
①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b
≥2. 三、解答题(共41分)
10.(13分)求y ＝3＋x ＋x 21＋x
(x >0)的最小值. 11.(14分)已知a ，b >0，求证：a
b 2＋b a 2≥4a ＋b
. 12.(14分)(2009·湖北)围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙
(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).
(1)将y 表示为x 的函数；
(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
答案
1.B
2.B
3.A
4.B
5.D
6.3
7.5
8.1＋32
9.①③⑤ 10. 解 y ＝3＋x ＋x 21＋x ＝(x ＋1)2－2x －1＋x ＋3
1＋x
＝x ＋1＋－x ＋2
1＋x ＝x ＋1－x ＋1－3
1＋x
＝x ＋1＋3
x ＋1－1≥23－1.
(当且仅当x ＋1＝3
x ＋1，即x ＝3－1时取等号)
11. 证明 ∵a b 2＋b a 2≥2a b 2·b a 2＝21
ab >0，
a ＋
b ≥2ab >0，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋b a 2(a ＋b )≥21
ab ·2ab ＝4.
∴a b 2＋b a 2≥4
a ＋
b .
当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
a b 2＝b a 2，a ＝b 取等号.
即a ＝b 时，不等式等号成立.
12. 解 (1)如图，设矩形的另一边长为a m ，
则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝ 225x ＋360a －
360.
由已知xa ＝360，得a ＝360
x ，
所以y ＝225x ＋360
2
x －360(x >2).
(2)∵x >0，∴225x ＋3602
x ≥2225×3602
＝10 800.
∴y ＝225x ＋3602
x －360≥10 440.
当且仅当225x ＝360
2
x 时，等号成立.
即当x ＝24 m ，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元.。