奥数 六年级 千份讲义 49 2第15讲 杂题 提高班

名校真题 测试卷15 （竞赛试题篇）

时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________

1. (2008年迎春杯试题)一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是 .

（36126或54189）

2. （07年西城实验培训班试题）今定义符号如下：()f x 中的x 是任意自然数，具有

)()()(f x y f x f y ×=+对任意自然数x ，y 都成立，且已知(8)3f =，则(32)f =________________.

3. （2007年北京101中学考题）正整数n 的各位数字之和记为S （n ），例如S （10）=1+0=1，S （123）=1+2+3=6,S （2）=2，若n+S （n ）=2006，则n= .

4. (2008年迎春杯试题)在右边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数tavs = .

5. （06年实验中学试题）一枚棋子放在七边形ABCDEFG（顶点按顺时针排列）的顶点A 处.将这枚棋子按顺时针方向移动10次，移动规则是：第k 次依次移动k 个顶点（如第1次移动一个顶点，停在B 处；第2次移两个顶点，停在D 处，…）.在10次移动过程中，所有没到过的顶点是____________.

【附答案】

1. 【解】因为2007是9的倍数，所以，这个五位数一定是9的倍数， 所以各位数字和一定是9的倍数.

所以，可以从9、18、27、36、45进行试值. 2007×9＝18063

要注意数字和为9,本例不成立; 类似地： 2007×18＝36126,成立 2007×27＝54189,成立 2007×36＝72252,不成立 2007×45＝90315,不成立 所以只有两解：

2007×18＝36126,成立 2007×27＝54189,成立

2. 【解】(8)3f =.

而(8)(42)(4)(2)f f f f =×=+(22)(2)(2)(2)(2)f f f f f =×+=++； 所以；

(2)1f =所以.

(32)(822)(8)(2)(2)3115f f f f f =××=++=++=

3. 【解】显然S （n ）和n 被9除所得的余数是相等的，而2006被9除所得的余数是8，所以n 被9

除所得的余数为4，所以n 可以是2002、1993、1984……，经过检验2002、1984符合条件.

4. 【解】a=0,(从个位考虑)，

t=1,(两个四位数的和不可能是首位超过1的5位数)；

所以百位加法没有进位，s+v=11,所以十位加法进了一位，v=t+t+1=3,所以s=11-3=8； 所以四位数tavs ＝1038.

5. 【解】累计每一次移动后总移动如下表，考虑被7除的余数： 移动次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 累计移动 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 被7除余数

1

3

6

3

1

1

3

6

注意到被7除的余数以7为周期，没有出现的余数是2、4、5，所以没有到过的顶点有C、E、F.

第十五讲 小升初专项训练 竞赛试题篇

一、小升初考试热点及命题方向

这一部分知识相当杂，牵涉到的东西非常多，在考试之中涉及到的虽然不会很多，但是偶尔会涉及到，因此我们必须要把这些知识学会，学懂.一般地会有一部分学校的升学考试会涉及到这些知识.但这部分知识也没有必要花太多的精力，只要把我们讲义上的东西搞清楚了就已经足够.

二、2007年考点预测

07年的这部分题型如果出现，考察最佳对策与统筹学题型的可能性更多些，请同学们重点掌握.

三、主要常用数学方法

1.最值问题

1) 最优原则，最不利原则:构造所有可能达成最值的条件.

2）逐步调整法，如果调整某项构造策略在任何情况下都能得到更理想的答案，那么题目所求最值一定符合该调整条件.

2.操作与最佳对策

1）找规律找递推关系.

2)逆向法：从结果根据已知条件逐步往前推，从而发现其中的数学规律，或操作步骤.

博弈问题中也可以用逆向法，逐步找出各个必胜状态.

3)不变量法：分析操作或博弈过程中的不发生改变的量.

3.统筹问题

1）代数表示法，将各个变量用代数式来表示，再分析该代数式在限定条件的最值，和取值条件

2）调整法，通过对部分条件的尝试和调整来构造最佳方法.

四、典型例题解析

1、最值问题

【例1】： 已知n个自然数之积是2007，这n个自然数之和也是2007，那么n的值最大是________.

【解】为了构造和与积都等于2007的一组自然数，首先把2007拆成若干个整数之积，然后把和不足的地方用1补足.

容易看出来，2007拆分成的整数越多，它们的和就越小，需要添加的1也就越多.

2007的质因数分解式是32×223，3+3+223=229，还需要补2007-229=1778个1.

所以共有1781个.

[前铺]把14分成几个自然数的和.再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大.问这个最大乘积是多少？

[思 路]：首先我们从较小的数考虑：2和3不用再分析了；4可以拆成两个2，乘积相等，也可以不拆，但不能拆成1和3；5可以拆成2和3，2×3=6〉5，所以拆5不如拆3+2；6可以拆成3和3，3×3=9，所以拆6不如拆3+3，这样大于5的数一定要拆，所以我们下这样的结论：

拆不固定数时，拆成2或3，而且2的个数少于3个．

【解】 14÷3=4…2，所以拆成4个3和2个2，乘积为3×3×3×3×2×2=324.

[总 结]：对于很多数学问题，我们不妨从简单的地方先考虑一下，再慢慢地引申到复杂的情况，以找到更好的办法

【例2】（★★★）有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块.那么这4袋糖块的总和最少有多少块？

【解】[思 路]：要使其中任意3袋的总和都超过60块，那么至少也是61，先在每袋中放20个糖块，但任意3袋中至少一个21，否则就无法超过60.

要使任意3袋中至少一个21，这4个袋子的糖块分别是20，20，21，21.和为20+20+21+21=82

2、操作与最佳对策：

【例3】：（★★★）两人轮流报数，但报出的数只能是1至8的自然数，同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到80，谁就获胜.问怎样才能确保获胜？

【解】这个问题可以倒着想，要想使总和达到80，应该最后给对方留下多少个数呢？由于每个人报的数最大是8，最小是1，因此对方最后一次报完数后，总和最大是79，最小是72，所以最后一次应该给对方留下9个数，也就是说要先达到80，就必须先达到71.如何抢到71这个数呢？采用同样的分析方法可知，应先达到62，依此类推，可以得到每次报数应占领的“制高点”是：80，71，62，53，44，35，26，17，8.因此获胜的策略是：

（1）先报8；

（2）每次对方报a（1≤a≤8），你就报9-a.这样，每次你都能占领一个“制高点”，以确保获胜.

当然，如果对方一定要先报数，那么你可以利用对方不懂得这个秘诀的条件，去占领下一个“制高点”，从而确保获胜.

【例4】：（★★★）对于任意一个自然数 n，当 n为奇数时，加上121；当n为偶数时，除以2.这算一次操作.现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？为什么？

【提示】同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到