理论力学习题解答第八章

8－1. 图示系统由匀质圆盘与匀质细杆铰接而成。已知：圆盘半径为 r 、质量为M ，杆长为L 、质量为 m 。在图示位置杆的角速度为ω、角加速度为ε，圆盘的角速度、角加速度均为零，试求系统惯性力系向定轴O 简化的主矢与主矩。

解：∵圆盘作平动，相当一质点作用在A 点。

ετ

τ⋅+==∑)2/(ML mL a m F Ci i gR 2)2/(ω⋅+==∑ML mL a m F n Ci i n

gR εε⋅+==)3

1

(2200ML mL J M g

8－2. 图示系统位于铅直面内，由鼓轮C 与重物A 组成。已知鼓轮质量为m ，小半径为r ，大半径R = 2r ，对过C 且垂直于鼓轮平面的轴的回转半径ρ = ，重物A 质量为2m 。试求（1）鼓轮中心C 的加速度；（2）AB 段绳与DE 段绳的张力。 解：设鼓轮的角加速度为?，

在系统上加惯性力如图（a ）所示， 则其惯性力分别为： αmr F C =I ；αr m F A ⋅=2I ααρα222I 5.1mr m J M C C === ∑=0)(F D M ；

0)2(I I I =+-++C A C M r mg F F mg

g g r a C 21

4

5.132

=+=

=α

?

a

A

B

2

F

F F

（

∑=0y F ；02I I =--+-mg mg F F F A C DE ；mg mr mg F DE 21

593=

-=α 取重物A 为研究对象，受力如图（b ）所示，

∑=0y F ；02I =-+mg F F A AB ；mg mg mr mg F AB 21

34)2141(222=-

=-=α

8－3. 11－15重力的大小为100N 的平板置于水平面上，其间的摩擦因数f = ，板上有一重力的大小为300N ，半径为20cm 的均质圆柱。圆柱与板之间无相对滑动，滚动摩阻可略去不计。若平板上作用一水平力 F = 200N ，如图所示。求平板的加速度以及圆柱相对于平板滚动的角加速度。

解：设平板的重力P 1 = 100 N ，加速度为a ；圆柱的重力P 2 = 300

N ，角加速度为?，质心的加速度a O = a – ?r ，受力如图（a ）。

a g P F 1

1I =

；)(222I αr a g P a g P F O -==；αα22I 21r g

P J M O O ⋅== ∑=0)(F A

M ；0I 2I =-O M r F ；αα22221)(r g P r r a g P ⋅=-；αr a 23

= ∑=0x

F

；0f 2I 1I =---F F F F ；其中：N 80)(21N f =+=⋅=P P f F f F

080)(20021=----αr a g P a g P ；0)3(12021=+-a g P

g P ；

2m/s 88.5200120==g a ；2rad/s 6.1932==a r

α

F

8－4. 12、图示匀质定滑轮装在铅直的无重悬臂梁上，用绳与滑块相接。已知：轮半径r =1m, 重Q =20kN ，滑块重P =10kN ，梁长为2r ，斜面的倾角4/3tg =θ, 动摩擦系数1.0'=f 。若在轮O 上作用一常力偶矩m kN 10⋅=M 。试用动静法求：（1）滑块B 上升的加速度；（2）支座A 处的反力。

解：（1）取滑块B 为研究对象，设其质量为m 1，加速度为a B ，则其惯性力为：B a m F 1I =，受力如图（a ）所示。

∑=0t F ；0sin 1T I =+-+θg m F F F ；kN 8.0cos 1.01N ==⋅=θg m F f F

B B a m a m F 11T 8.68.06+=++=

取定滑轮O 为研究对象，设其质量为m 2，半径为r ，则其惯性力矩为：r

a r m M B

O 2

2I 2

1=，受力如图（b ）所示。 ∑=0)(F O M ；0T I ='--r F M M O ；010

8.61010=---

B B a g

a g ；2m /s 57.1=B a

kN 4.86.18.68.61T =+=+=B a m F

∑=0x F ；0cos T =-'Ox F F θ；kN 72.68.04.8=⨯=Ox F

∑=0y

F ；0sin 2T =-'-g m F F Oy θ；kN 04.25206.04.8=+⨯=Oy F

（2）取梁AO 为研究对象，设梁长为l ，受力如图（c ）所示，

∑=0)(F A M ；0='-l F M Ox

A ；m kN 44.13227.6⋅=⨯=A M ∑=0x F ；0=-'Ax Ox

F F ；kN 72.6=Ax F ∑=0y

F

；0='-Oy

Ay F F ；kN 04.25=Ay F

解：对轮与滑块：

由∑=0)(i O M F 0 sin =⋅'--⋅⋅--r F r F r P M M g g θ

得:2(m /s 57.116.0])2/[(2)cos sin Pr (≈=+⋅'--=g r P Q g r P f M a θθ)

∑=0i X ， 0cos ) sin (0='+++θθF F P X g

得:θθθcos ) cos /sin (0⋅⋅'++⋅-=P f g Pa P X

∑=0i Y ， 0sin ) sin (0=-⋅'++⋅-Q F F P Y g θθ

得:θθθsin ) cos /sin (0⋅⋅'++⋅+=P f g Pa P Q Y 对悬臂梁AO :

∑=0A M ， 02 0=⋅+r X M A

得:m kN 44.132 0⋅=⋅-=r X M A 由∑=0i X ， 0 0=-X X A 得: kN 72.6 0-==X X A 由∑=0i Y ， 0 =-o A Y Y 得:kN 04.25 0==Y Y A

8－5. 图示均质杆AB 长为l ，质量为m ，以等角速度ω绕铅直z 轴转动。求杆与铅直线的交角β及铰链A 的反力。

422

224712)23arccos(ω

ωωβl g ml F l g A +==，

解：1、分布惯性力如图（a ），惯性力合力位于D 点。