高等数学的线与面积分

其中
是沿 C 的微线元。如果 Fˆ 表示力矢量，则这个线积分就是力推动物体沿路径做的功。
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问题 2：（答案写在后面的答题页上！）
我们来计算
沿右图所示的闭合三角形路径的线积分。
还是将路径分为三段 C1 , C2 和 C3 ，分别计算其贡献。
作为示范，我们先来进行沿
由 dsr = dxˆi ，我们有
C1
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物理系
解题 1：线积分和面积分
A. 线积分 标量函数 f (x, y, z) 沿路径 C 的线积分定义为
这里C被细分成N段，每一段长度 ∆si。为了计算这个线积分，我们可以用弧长参数s来刻画C。借助
于 x = x(s) ， y = y(s) 和 z = z(s) ，上述线积分可改写为普通定积分： 例 1：
这里σ 是电荷密度。 问题 3：（答案写在后面的答题页上！）
(a) 计算长为 a（x 方向从 x = 0 到 x = a）宽为 b（y 方向从 y = 0 到 y = b）的矩形面积上的总电荷，
假定面电荷密度为σ (x, y) = kxy ，其中 k 是常数。
(b) 计算半径为 R 的球面上的总电荷，假定电荷分布为σ (r,θ ) = kr(1 − sinθ ) ，其中 k 是常数。
∫∫ r
(b) 试求 y > 0 的柱侧面上的电通量 E ⋅ nˆ d A S
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的积分。y
值沿
C1
不变，为
y
=
0。
因Fr (此0,y沿)⋅Cd1rs的=积? 分为零。现在你来估算沿 C3 的积分。x 值沿 C3 不变，为 x = 0。 dsr = dyˆj ，
∫ (a) 计算
r F
⋅
d sr
C3
最后，我们来计算沿 C2 的线积分。要计算这个积分，我们还是用弧长 s 作为 x 和 y 的参数，s 在这 里是 C2 上一点到(1, 0)的距离。由右图可见，
r
∫∫ 面上的电通量 E ⋅ nˆ d A 。这里曲面法线由柱内指向外。 S
提示：如果θ 是 xy 平面内以 x 轴为基准向正 y 轴方向 转动所测得的角，则如何用 R, dz 和 dθ 来表示的柱侧面
的微分面元？
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如何用θ ,
ˆi
和
ˆj
来表示
y
>
0
的柱侧面的法向
nˆ
？
r E
⋅
nˆ
的意义是什么？
r
∫ (a)
计算 I1 =
(x + y)ds
C1
∫ (b)
计算 I2 =
(x + y)ds
C2
(c) 现在将 I1 和 I2 加起来得到 I ′ 。 I ′ 的值会等于例 1 中的 I = 2 吗？你从这个线积分能得出什么
结论？也就是说，线积分是否与起点和终点间所取的路径无关？
B. 矢量函数的线积分
对矢量函数 沿路径 C 的线积分定义为
(a)
考虑均匀电场
r E
=
aˆi + bˆj ，它穿过一个面积为 A 的曲面。计算下述情形中穿过 A 的电通量：(i)
曲面处于正 y 法向的 xz 平面；(ii) 曲面处于正 z 法向的 xy 平面。
(b)
半径为
R
高为
h
的圆柱体的轴沿正
z
方向。均匀电场
r E
=
E0ˆj 穿过该圆柱体。试求 y > 0 的柱侧
∫∫SE ⋅ nˆd A = ?
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问题 1：
∫ (a)
I1 =
(x + y)ds =
C1
∫ (b)
I2 =
(x + y)ds =
C2
(c) I ′ = I1 + I2 =
I ′ 的值等于例 1 中的 I = 2 吗？你从这个线积分能得出什么结论？也就是说，线积分是否与起点
和终点间所取的路来自百度文库无关？
问题 2：
∫ (a) 计算
r F
⋅
d sr
例如，长为 a 宽为 b 的矩形面积（见图）即为
现在假定 F (x, y) = σ (x, y) ，这里σ 是电荷密度(库伦/m2)。这样，二重积分就表示曲面上的总电荷：
另一方面，如果曲面是圆，这时用极坐标很方便。
其中微分面元已给出（见上图）： 对 r 和θ 积分，半径为 R 的圆的面积为
与我们预期的一样。如果σ (r,θ ) 是圆平面上的电荷分布，则该平面上的总电荷为
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D. 矢量函数的面积分
对于适量函数 Fr (x, y, z) ，它在曲面 S 上的积分为
r
r
r
这里 dA = dAnˆ ， nˆ 是指向曲面法线r方向的单位矢量。点积 Fn = F ⋅ nˆ 是 F 在 nˆ 方向上的分量。上
面这个积分称为“通量”。对于电场 E ，穿过曲面的电通量为
问题 4：（答案写在后面的答题页上！）
作为例子，我们来考虑如下二维积分： 这里 C 是从原点到(1, 1)的直线，如右图所示。 令 s 是从原点测得的弧长。我们有
端点(1, 1)对应于 s = 2 。因此，线积分变成
1
问题 1：（答案写在后面的答题页上！）
本题中我们打算对例 1 中的同一被积函数 x + y 进行积分，只
是取不同的路径 C′ = C1 + C2 ，如右图。积分可分成两部分：
=
C3
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∫ (b)
r F
⋅
d sr
=
C2
问题 3：
(a) 总电荷 Q =
(b) 总电荷 Q =
问题 4：
(a)
考虑均匀电场
r E
=
aˆi + bˆj ，它穿过一个面积为 A 的曲面。计算下述情形中穿过 A 的电通量：
(i) 曲面处于正 y 法向的 xz 平面
(ii) 曲面处于正 z 法向的 xy 平面
以及 dx = − ds 和 dy = ds ，
2
2
∫ (b) 用上述信息计算
r F
⋅
dsr
。
C2
Fxdx + Fydy = ?
∫ ∫ r F
⋅
dsr
=
C
C2 Fxdx + Fydy = ?
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C. 面积分
二重积分
二变量函数 F (x, y) 可在曲面 S 上进行积分，其结果是二重积分： 这里 dA = dxdy 是 S 上的（笛卡尔）微分面元。特别是，当 F (x, y) = 1时，我们得到曲面面积 S：
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闭曲面 我们到目前为止讨论的曲面（矩形和圆）都是开曲面。闭曲面是这样一种曲面：它完全包围一
定的体积。闭曲面的一个例子是球面。要计算半径为 R 的球面面积，我们可以方便地选择球面坐标 系。球面的曲面微元为
对极角 (0 ≤ θ ≤ π ) 和方位角 (0 ≤ φ ≤ 2π ) 积分，得
假定电荷均匀分布在半径为 R 的球面上，则球面上 的总电荷为