7-5-1 组合的基本应用(一).教师版【小学奥数精品讲义】

1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；

2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；

3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；

4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．

一、组合问题知识要点

教学目标

7-5-1.组合的基本应用（一）

1

2

日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．

一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．

从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．

从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的

组合数．记作m

n C ．

一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数n

m P 可分成以下两步：

第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；

第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m

P 种排法． 根据乘法原理，得到m m m

n n m P C P =⋅．

因此，组合数12)112321

⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅m m

n n

m m P n n n n m C P m m m （）（（）

（）（）．

这个公式就是组合数公式．

二、组合数的重要性质

3

一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)

这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m

n C -表示从n 个

元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．

例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3

25

5C C =． 规定1n n C =，0

1n

C =．

模块一、组合之计算问题

【例 1】 计算：⑴ 26C ，46C ；⑵ 27C ，57C ．

【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答

【解析】 ⑴ 2266

22651521P C P ⨯==

=⨯，44

66446543154321

P C P ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯ ⑵ 22

77

22762121

P C P ⨯==

=⨯，55

7755765432154321P C P ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯ 例题精讲

旗开得胜

4

【小结】注意到上面的结果中，有2466C C =，25

77C C =．

【答案】⑴ 2615C =，4615C =

⑵ 2721C =，5

7

21C =

【例 2】 计算：⑴ 198200C ；⑵ 5556C ；⑶ 98100

1001002C C -．

【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答

【解析】 ⑴ 2198

2001982200200

200

200

222001991990021

P C

C

C

P -⨯=====⨯； ⑵ 155

56551

5656

56

56

11

56

561P C C

C P -=====；

⑶ 298

1002100

100

100

100

221009922122494821

P C

C

C

P ⨯-=-⨯=-=-=⨯．

【答案】⑴19900 ⑵56 ⑶ 4948．

【巩固】 计算：⑴ 312C ；⑵ 998

1000C ；⑶ 2288P C -．

【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答

【解析】 ⑴ 312121110

220321

C ⨯⨯=

=⨯⨯

⑵ 9982

100010001000999

49950021

C C ⨯==

=⨯

旗开得胜

5

⑶ 22

8887

8756282821

P C ⨯-=⨯-

=-=⨯． 【答案】⑴ 3

12

220C = ⑵ 998

1000

499500C = ⑶ 22

8828P C -=．

模块二、组合之体育比赛中的数学

【例 3】 某校举行排球单循环赛，有12个队参加．问：共需要进行多少场比赛？

【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答

【解析】 因为比赛是单循环制的，所以，12个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比赛的场次只与两个

队的选取有关而与两个队选出的顺序无关．所以，这是一个在12个队中取2个队的组合问题．

由组合数公式知，共需进行2121211

6621

C ⨯=

=⨯(场)比赛． 【答案】2

12

66C =

【巩固】 芳草地小学举行足球单循环赛，有24个队参加．问：共需要进行多少场比赛？

【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答