7-5-1 组合的基本应用(一).教师版【小学奥数精品讲义】

小学奥数教程组合之插板法全国通用含答案

组合之插板法7-5-4.教学目标1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．知识要点一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元nm?nnm素中取出个元素的一个组合．m从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的nm?mmnn m组合数．记作．C nm可分成以下两步：个元素的排列数一般地，求从个不同元素中取出的Pmn nm第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；Cmn nm第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法．Pm mmmm．根据乘法原理，得到CP?P?nmnm Pn （?n?1）（?n?2)?（?n?m?1）mn．因此，组合数?C?n m m （?m?1）（?m?2）??3?2?1P m这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质mn?m?CCm?n)(一般地，组合数有下面的重要性质：nnmn?m CC表示从个个元素中取出这个公式的直观意义是：个元素组成一组的所有分组方法．表示从nmn nn元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法．显然，从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个nn?mnm元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法．mmn?32?CC．人不去开会的方法是一样多的，即例如，从人中选人开会的方法和从人中选出553255n0?1C?1C规定．，nn例题精讲插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．使用插板法一般有如下三种类型：⑴个人分个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(n?1)nm m?1个空隙中放上个插板，所以分法的数目为．C1)?(m1?n⑵个人分个东西，要求每个人至少有个．这个时候，我们先发给每个人个，还剩下[n?m(a?1)]1)?(aamn m?1个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为．C1?a?1)n?m(⑶个人分个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来个东西，每个人多发1个，这样就mnm m?1和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了，因此分法的数目为．C)m?(n个1?m?n【例1】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有种不同的放法。

7-5-1 组合的基本应用(一).教师版

1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作mn C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数nm P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m mP 种排法．根据乘法原理，得到m m mn n m P C P =⋅．因此，组合数12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅m mn nm m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)知识要点教学目标7-5-1.组合的基本应用（一）这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n mn C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n n C =，01n C =．模块一、组合之计算问题【例 1】计算：⑴ 26C ，46C ；⑵ 27C ，57C ．【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答【解析】 ⑴ 226622651521P C P ⨯===⨯，4466446543154321P C P ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯ ⑵ 227722762121P C P ⨯===⨯，557755765432154321P C P ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯【小结】注意到上面的结果中，有2466C C =，2577C C =．【答案】⑴ 2615C =，4615C =⑵ 2721C =，5721C =【例 2】计算：⑴ 198200C ；⑵ 5556C ；⑶ 981001001002C C -．【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答【解析】 ⑴ 21982001982200200200200222001991990021P CCCP -⨯=====⨯； ⑵ 15556551565656561156561P C C C P -=====；⑶ 2981002100100100100221009922122494821P CCCP ⨯-=-⨯=-=-=⨯．【答案】⑴19900 ⑵56 ⑶ 4948．【巩固】计算：⑴ 312C ；⑵ 9981000C ；⑶ 2288P C -．【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答【解析】 ⑴ 312121110220321C ⨯⨯==⨯⨯⑵ 998210001000100099949950021C C ⨯===⨯⑶ 2288878756282821P C ⨯-=⨯-=-=⨯．【答案】⑴ 312220C =⑵ 9981000499500C = ⑶ 228828P C -=．模块二、组合之体育比赛中的数学【例 3】某校举行排球单循环赛，有12个队参加．问：共需要进行多少场比赛？例题精讲【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答【解析】因为比赛是单循环制的，所以，12个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关．所以，这是一个在12个队中取2个队的组合问题．由组合数公式知，共需进行21212116621C ⨯==⨯(场)比赛．【答案】21266C =【巩固】芳草地小学举行足球单循环赛，有24个队参加．问：共需要进行多少场比赛？【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答【解析】由组合数公式知，共需进行224242327621C ⨯==⨯(场)比赛．【答案】224276C =【例 4】六个人传球，每两人之间至多传一次，那么最多共进行次传球．【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】填空【关键词】迎春杯，三年级，初赛，7题【解析】本题是一道比赛场数计数问题，“每两个人之间至多传一次”，让6个人最多次地传球，则是5＋4＋3＋2＋1＝15（次）.但要看是否可以传回去，在传递过程中两人是否重复.15条线，代表传球15次，根据一笔画问题，行不通，应减少奇数点的个数，共有6个奇数点，应该去掉两条直线，也就是去掉4个奇数点，还剩下2个奇数点，就可以传递回来了.所以答案为5＋4＋3＋2＋1－2＝13（次）.AB CDEF【答案】13次【例 5】一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行78场，那么共有多少人参加循环赛？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】从若干人中选出2人比赛，与选出的先后顺序无关，这是一个组合问题．依题意，假设有n 个人参加循环赛，应该有217821⋅-==⨯n n n C （），所以17821312⋅-=⨯=⨯n n （），所以13n =，即一共有13人参加循环赛．【答案】13n =【例 6】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】第一阶段中，每个小组内部的6个人每2人要赛一场，组内赛26651521C ⨯==⨯场，共8个小组，有158120⨯=场；第二阶段中，每个小组内部4人中每2人赛一场，组内赛2443621C ⨯==⨯场，共4个小组，有6424⨯=场；第三阶段赛224+=场．根据加法原理，整个赛程一共有120244148++=场比赛．【答案】148【例 7】有8个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式．问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】 (法1)先选4人，再考虑组合的方法．8选4有4870C =种组合，其中实质不同的有一半，即70235÷=种；对每一边的4个人，共有实质性不同的2423C ÷=种，所以，可以得到3533315⨯⨯=种实质不同的比赛安排表．(法2)先考虑所有情况，再考虑重复情况首先是8!87654321=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯考虑到实质相同：1、2；3、4；5、6；7、8；一、二；三、四；A 、B ，以上7组均可交换，即每一种实际上重复计算了72次，答案为：78!2315÷=．【答案】315模块三、组合之数字问题【例 8】从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：⑴ 有多少个不同的乘积？⑵ 有多少个不同的乘法算式？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】 ⑴ 要考虑有多少个不同乘积．由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，所以，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题．由组合数公式，共有225522541021P C P ⨯===⨯(个)不同的乘积．⑵要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题．由排列数公式，共有255420P=⨯=(种)不同的乘法算式．【答案】⑴2510C=⑵2520P=【巩固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】相当于在10个数字选出7个划去，一共有10×9×8×7×6×5×4÷（7×6×5×4×3×2×1）=10×9×8÷（3×2×1）=120种．【答案】120【巩固】从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，有多少种不同的和？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】2288228728 21P CP ⨯===⨯(种)．【答案】2828C=【例9】有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各5张，且每种颜色的卡片上分别标有1，2，3，4，5，从这些卡片中取出5张，要求1、2、3、4、5各一张，但四种颜色都要有，求共有________种取法？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第14题【解析】四种颜色都有，则有两个数是同一种颜色即可，其它三个数字和三种颜色一一对应。

小五数学第6讲组合(教师版)

第6讲组合组合定义：一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合.从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作mnC.一般地，求从n个不同元素中取出m个元素排成一列的排列数mnP可以分两步求得：第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有mnC种方法；第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有mnP种排法.故由乘法原理得到：mnP＝mnC·mnP，因此()()()()()12321121⨯⨯⋅⋅⋅--+-⋅⋅⋅--==mmmmnnnnPPCmmmnmn这就是组合数公式.一般地，组合数有下面的重要性质：mnC＝mnnC-（m≤n）规定nnC＝1，0nC＝1.教学重点: 掌握组合应用题教学难点：正确利用加法原理、乘法原理，计算出所要求的组合钟数负数数学家、生物学家和物理学家坐在街头咖啡屋里，看着人们从街对面的一间房子走进走出。

他们先看到两个人进去，时光流逝，他们又看到三个人出来。

物理学家:“测量不够准确。

”生物学家：“他们进行了繁殖。

”数学家:“如果现在再进去一个人，那房子就空了。

”1．某客轮航行于天津、青岛、大连三个城市之间.那么，船票共有几种价格（往返票价相同）？分析：这个问题实际上可以这样分两步完成：第一步是从三个城市中选两个城市，是一个组合问题，由组合数公式，有取23C 法.第二步是将取出的两个城市进行排列，由全排列公式，有22P 种排法，所以，由乘法原理得到222323P C P =.故有：222323P P C ÷=＝（3×2）÷2＝3种价格. 答案：3种。

奥数-一年级-教案-第7讲[1].基础班.教师版

图形变变变图形与图形之间都存在着许多的内在联系，在这节课中我们的主要目的就是通过对不同图形进行切割，拼组让学生感知到图形之间的变化．让学生通过观察、动手实际操作来找到不同的剪拼方法，通过折一折、画一画、拼一拼的方式，来培养学生的动手能力和空间想象能力．这节课中每种图形的剪拼方法并不唯一，老师要激发学生探究的欲望，鼓励学生用多种方法来解决问题，这样才能更好的发现图形之间的内在联系．1、教学点为各位老师提供了本节课挂图．2、第六次课时，提前通知学生准备本节课学具．图形变变变【教学思路】课前先让学生动手摆一摆，然后再进行交流．在这5块积木中，如果用2号、3号、4号、5号这四块，就可以拼成一个正方形．但是要加上1号又应该怎么拼呢？我们可以把1号放在中间，然后把2、3、4、5包围在四周，具体拼法如下：小朋友们，你想不想成为一个奇妙的魔术师呢？今天这节课就让我们进入美妙的图形王国，那里有很多有趣的图形，正等着大家用魔幻的双手来让它们变化，现在就让我们一起去动手试一试吧！晚饭后，小牛哥哥和小牛弟弟玩拼图游戏．哥哥拿出5块积木(如下图)，让弟弟把这5块木板拼成一个正方形．聪明的弟弟很快就拼好了．小朋友，你知道他是怎样拼的吗？动手试一试．请把下图中的正方形分成形状相同、大小相等的四块，然后再拼成一个等腰三角形．【教学思路】把一个正方形的对角重合对折两次，如下图（1），就可以把一个正方形分成形状、大小相等的四个直角三角形．剪出这四个三角形，然后动手拼一拼，可拼成一个等腰三角形，如下图（2）．（1）（2）把下面这个等腰梯形剪成大小一样的三块，怎样剪？【教学思路】题目要求我们剪一剪，其实可以通过画一画的方法画出你是怎么剪的就行了．这道题的方法如右上图：请用八个等腰直角三角形拼成一个大正方形．【教学思路】让学生动手摆一摆，培养学生的动手操作能力，具体操作如下图：妈妈买来了两张同样大小的方桌布，想把这两张方桌布裁剪一下，然后拼成一张大方桌布，该怎样裁剪？怎样拼呢？【教学思路】要想把两块一样大小的正方形，剪拼成一个最大的正方形，我们可以把这两个小正方形对折，然后剪出四个大小一样的三角形，这四个三角形就可以拼成一个最大的正方形．如下图：有一张纸，被分成大小相等的16个方格．请你沿着方格纸的边把这张纸剪成两部分，使得这两部分正好可以拼成一个正方形．该怎样剪拼呢？（中间空白是空的）【教学思路】数一数一共16个方格，要想剪成两部分拼成一个正方形，这个正方形每条边就应该是4个方格．如下图，第一层有7个方格，我们可以剪掉3个；补到第二层上正好是四个；再把第二层上右边多的一个补到第三层也正好是4个，把第三层上剪出4个放到第四层，这样就拼出了一个正方形．沿粗线剪开：变成下面两部分：拼成正方形：动动手：用下面左边的3个图形，拼成右边的大正方形．【教学思路】这道题老师可以先准备好教具让学生摆一摆，然后再让学生把答案画出来．答案有以下几种，其实我们可以发现这几种方法基本相同，只是方位发生了变化．请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“中国加油”这四个字中的一个，该怎么剪？【教学思路】数一数，这个长方体一共有28个小方块，要把它分成大小一样的4块，每块应该有7块小方块．因为这四块中每块还必须有一个字，通过尝试沿下面的粗线剪开就可到了答案．沿粗线剪开：分成大小一样的四块：【教学思路】方法1：先把这个图形分成一样的8个小正方形，然后沿折线剪开，就可以拼成右边的图形．方法2：先把这个图形分成一样的4个小长方形，然后沿折线剪开，就可以拼成右边的图形方法1 方法2（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用．）拓展与提高有一天，小动物们在草地上做游戏．小象齐齐看到了一大张纸，是一个正方形缺了一部分，齐齐想：这个图形如果剪一剪、拼一拼，成为一个正方形的框(中间含有一个正方形的空缺)就可以用来当野餐的餐桌了．可是该怎么剪、怎么拼才能符合要求呢？下图所示这块木料可看成由五个小正方形组成．聪明的木工只锯了两次，就拼出了一个正方形桌面．想一想，他是怎样锯、怎样拼的？下面的正方形中共有12个数，请你先算一算它们的和，再把这个大正方形剪成形状、大小都相同的两块，使每块内6个数加起来的和是39．【教学思路】首先我们可以把这个正方形平均分成两份，变成两个长方形，如下图：第一个长方形里面的数相加：11012736847++++++=，第二个长方形里面的数相加：29115431++++=，如果把第一个长方形里面的8，放到第二个长方形中，两边数字的和都是39，并且都是6个数字．但是如果把8分给右边的长方形，两个图形的形状就不相同，这时我们就得想办法使两个图形的形状相同，如下图：沿着中间的粗线剪开，就变成了两个大小一样的图形，计算可知：左边=1101273639+++++=，右边=829115439+++++=．两边得数相等符合题意．最后老师可把剪下的这两块，拿给学生比一比验证大小形状是否一样．请把下图中长方形分成形状相同、大小相等的两块，然后再拼成一个正方形．【教学思路】数一数，这个长方形一共有36块小方块，要剪拼成一个正方形，这个正方形每边应该有6个小方块．具体操作如下图：1．把下面的正方形剪成大小、形状都一样的四块，但是不能剪成四个正方形、长方形或三角形，应该怎样剪？【答案】答案不唯一，以下提供几种思考．2．把一个三边都相等的三角形剪成4个形状、大小都相同的三角形，该怎么剪？【答案】具体操作如右上图：3．把下图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？【答案】具体操作如右上图：4．你能把下面的三块图形拼成一个长方形吗？【答案】具体操作如下：5．把下面这个长方形沿格线剪成大小相等、形状相同的四块，使每块内都含有“我爱北京”这四个字中的一个字，该怎样剪呢？【答案】沿下面的粗线剪开，就得到了大小相等、形状相同的四块，并且每块内都含有“我爱北京”这四个字中的一个字，有一样东西，你只能用左手拿它，右手却拿不用什么办法能使眉毛长在眼睛下面？到，这是什么东西？小丽明明知道问题的答案，为什么还不断地去人能登上珠穆朗玛峰，有一个地方却永问其他同学呢？远登不上去，那是什么地方？强强跑赛得了第一名，为什么还不高兴呢？某个人到外国去了，可是周围全是中国人，这是怎么回事？【答案】（1）右手；（2）倒立；（3）她在考别人；（4）自己的头顶；（5）倒数第一名；（6）是外国人来到了中国．篮球运动起源于1891年，由美国的体育教师詹姆士·奈史密斯博士发明。

【精品】五年级奥数思维训练精编讲义(共23讲) 通用版第10讲排列与组合(教师版)

第10讲排列和组合1、奥运吉祥物中的5个“福娃”—贝贝、京京、欢欢、迎迎、妮妮取“北京欢迎您”的谐音。

如果在盒子中从左向右放5个不同的“福娃”，有多少种不同的放法。

【答案】120[【分析】5个“福娃”各不相同，全排列为12055=A2、5家企业中的每两家都签订了一份合同，那么他们共签订了多少份合同？【答案】10【分析】根据题意，从5个元素中任意取2个有多少种取法便有多少份合同，1025=C 种 3、如果一个自然数中任一数位上的数字都大于其左边的每个数字，则称这个数是“上升数”。

由1，2，3，4，5这5个数字组成的4位数中“上升数”共有多少个。

【答案】5【分析】根据题意，其实就从5个数中选出4个，545=C .4、某次宴会共有n 个人参加，每个人都与其他的人互相恰好握手一次，若在此宴会中总共握手231次，请问n 的值为多少？【答案】22【分析】2)1-(2n n n C ==231，即两个连续的自然数相乘为462，分解质因数得462=2⨯3⨯7⨯11=21⨯22可以得出n=22.5、一种号码有4位，其中前两位上取26个字母中的字母，后两位取0～9这10个数字中的数字，没有相同的数字的四位号码的个数有多少个？【答案】58500【分析】满足条件的四位号码个数为：9102526210226⨯⨯⨯=⨯A A =585006、从6双不同的鞋中取出2只，其中没有成双的鞋，共有多少种不同取法？【答案】60【分析】第一只鞋可以从12只鞋中任选，而第二只鞋只能从剩下的10只鞋中任选，且选第一只鞋与第二只鞋无顺序之分，所以602110112=÷⨯C C7、将A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七位学生在操场排成一列，其中学生B 与C 必须相邻，请问共有多少种不同的排列方法？【答案】1440【分析】捆绑法，将B 、C 看成一个人和其他五人一起排，最后再确定B 、C 的顺序，.14402266=⨯A A8、6位小朋友玩游戏，他们打算分成3组，每组2人，请问共有多少种不同的分法？【答案】15【分析】先从6人中选2人，再从余下的4人选2人，最后再从2人选2人，且这三组间无顺序之分，所以1533222426=÷⨯⨯A C C C9、4个男孩和4个女孩参加歌唱比赛，他们一下接着一个地唱。

小学奥数5-7-1 位值原理.专项练习及答案解析

1.利用位值原理的定义进行拆分 2.巧用方程解位值原理的题位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。

我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。

这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。

既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。

例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。

最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。

但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。

希望同学们在做题中认真体会。

1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a ×100000+b ×10000+c ×1000+d ×100+e ×10+f 。

3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x ，列方程解答模块一、简单的位值原理拆分【例 1】一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。

这个两位数的各位数字的和是。

【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分【解析】这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，十位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100，所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10。

(小学奥数)组合的基本应用(一)

1.使學生正確理解組合的意義；正確區分排列、組合問題；2.瞭解組合數的意義，能根據具體的問題，寫出符合要求的組合；3.掌握組合的計算公式以及組合數與排列數之間的關係；4.會分析與數字有關的計數問題，以及與其他專題的綜合運用，培養學生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學習，對組合的一些計數問題進行歸納總結，重點掌握組合的聯繫和區別，並掌握一些組合技巧，如排除法、插板法等．一、組合問題日常生活中有很多“分組”問題．如在體育比賽中，把參賽隊分為幾個組，從全班同學中選出幾人參加某項活動等等．這種“分組”問題，就是我們將要討論的組合問題，這裏，我們將著重研究有多少種分組方法的問題．一般地，從n 個不同元素中取出m 個(m n ≤)元素組成一組不計較組內各元素的次序，叫做從n 個不同元素中取出m 個元素的一個組合．從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關，而組合與順序無關．如果兩個組合中的元素完全相同，那麼不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合．從n 個不同元素中取出m 個元素(m n ≤)的所有組合的個數，叫做從n 個不同元素中取出m 個不同元素的組合數．記作m n C ．一般地，求從n 個不同元素中取出的m 個元素的排列數n m P 可分成以下兩步：第一步：從n 個不同元素中取出m 個元素組成一組，共有m n C 種方法；第二步：將每一個組合中的m 個元素進行全排列，共有m m P 種排法．根據乘法原理，得到m m m n n m P C P =⋅．因此，組合數12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅m mn nm m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）．這個公式就是組合數公式．知識要點教學目標7-5-1.組合的基本應用（一）二、組合數的重要性質一般地，組合數有下麵的重要性質：m n m n n C C -=(m n ≤)這個公式的直觀意義是：m n C 表示從n 個元素中取出m 個元素組成一組的所有分組方法．n m n C -表示從n 個元素中取出(n m -)個元素組成一組的所有分組方法．顯然，從n 個元素中選出m 個元素的分組方法恰是從n 個元素中選m 個元素剩下的(n m -)個元素的分組方法．例如，從5人中選3人開會的方法和從5人中選出2人不去開會的方法是一樣多的，即3255C C =．規定1n n C =，01n C =．模組一、組合之計算問題【例 1】計算：⑴ 26C ，46C ；⑵ 27C ，57C ．【考點】組合之基本運用【難度】1星【題型】解答【解析】 ⑴226622651521P C P ⨯===⨯，4466446543154321P C P ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⑵227722762121P C P ⨯===⨯，557755765432154321P C P ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯ 【小結】注意到上面的結果中，有2466C C =，2577C C =．【答案】⑴ 2615C =，4615C =⑵ 2721C =，5721C =【例 2】計算：⑴198200C ；⑵ 5556C ；⑶ 981001001002C C -．【考點】組合之基本運用【難度】1星【題型】解答【解析】 ⑴ 21982001982200200200200222001991990021P CCCP -⨯=====⨯； ⑵ 15556551565656561156561P C C C P -=====；⑶2981002100100100100221009922122494821P CCCP ⨯-=-⨯=-=-=⨯．【答案】⑴19900 ⑵56 ⑶ 4948．【巩固】計算：⑴312C ；⑵ 9981000C ；⑶ 2288P C -．例題精講【考點】組合之基本運用【難度】1星【題型】解答【解析】 ⑴ 312121110220321C ⨯⨯==⨯⨯ ⑵ 998210001000100099949950021C C ⨯===⨯⑶2288878756282821P C ⨯-=⨯-=-=⨯．【答案】⑴ 312220C =⑵ 9981000499500C = ⑶ 228828P C -=．模組二、組合之體育比賽中的數學【例 3】某校舉行排球單循環賽，有12個隊參加．問：共需要進行多少場比賽？【考點】組合之基本運用【難度】1星【題型】解答【解析】因為比賽是單迴圈制的，所以，12個隊中的每兩個隊都要進行一場比賽，並且比賽的場次只與兩個隊的選取有關而與兩個隊選出的順序無關．所以，這是一個在12個隊中取2個隊的組合問題．由組合數公式知，共需進行21212116621C ⨯==⨯(場)比賽．【答案】21266C =【巩固】芳草地小學舉行足球單循環賽，有24個隊參加．問：共需要進行多少場比賽？【考點】組合之基本運用【難度】1星【題型】解答【解析】由組合數公式知，共需進行224242327621C ⨯==⨯(場)比賽．【答案】224276C =【例 4】六個人傳球，每兩人之間至多傳一次，那麼最多共進行次傳球．【考點】組合之基本運用【難度】2星【題型】填空【關鍵字】迎春杯，三年級，初賽，7題【解析】本題是一道比賽場數計數問題，“每兩個人之間至多傳一次”，讓6個人最多次地傳球，則是5＋4＋3＋2＋1＝15（次）.但要看是否可以傳回去，在傳遞過程中兩人是否重複.15條線，代表傳球15次，根據一筆劃問題，行不通，應減少奇數點的個數，共有6個奇數點，應該去掉兩條直線，也就是去掉4個奇數點，還剩下2個奇數點，就可以傳遞回來了.所以答案為5＋4＋3＋2＋1－2＝13（次）.AB CDEF【答案】13次【例 5】一批象棋棋手進行循環賽，每人都與其他所有的人賽一場，根據積分決出冠軍，循環賽共要進行78場，那麼共有多少人參加循環賽？【考點】組合之基本運用【難度】2星【題型】解答【解析】從若干人中選出2人比賽，與選出的先後順序無關，這是一個組合問題．依題意，假設有n個人參加循環賽，應該有217821⋅-==⨯n n n C （），所以17821312⋅-=⨯=⨯n n （），所以13n =，即一共有13人參加循環賽．【答案】13n =【例 6】某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個階段進行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個小組，每組6人，分別進行單循環賽；第二階段：將8個小組產生的前2名共16人再分成4個小組，每組4人，分別進行單循環賽；第三階段：由4個小組產生的4個第1名進行2場半決賽和2場決賽，確定1至4名的名次．問：整個賽程一共需要進行多少場比賽？【考點】組合之基本運用【難度】2星【題型】解答【解析】第一階段中，每個小組內部的6個人每2人要賽一場，組內賽26651521C ⨯==⨯場，共8個小組，有158120⨯=場；第二階段中，每個小組內部4人中每2人賽一場，組內賽2443621C ⨯==⨯場，共4個小組，有6424⨯=場；第三階段賽224+=場．根據加法原理，整個賽程一共有120244148++=場比賽．【答案】148【例 7】有8個隊參加比賽，採用如下圖所示的淘汰制方式．問在比賽前抽籤時，可以得到多少種實質不同的比賽安排表？【考點】組合之基本運用【難度】3星【題型】解答【解析】(法1)先選4人，再考慮組合的方法．8選4有4870C=種組合，其中實質不同的有一半，即70235÷=種；對每一邊的4個人，共有實質性不同的2423C÷=種，所以，可以得到3533315⨯⨯=種實質不同的比賽安排表．(法2)先考慮所有情況，再考慮重複情況首先是8!87654321=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯考慮到實質相同：1、2；3、4；5、6；7、8；一、二；三、四；A、B，以上7組均可交換，即每一種實際上重複計算了72次，答案為：78!2315÷=．【答案】315模組三、組合之數字問題【例 8】從分別寫有1、3、5、7、9的五張卡片中任取兩張，做成一道兩個一位數的乘法題，問：⑴有多少個不同的乘積？⑵有多少個不同的乘法算式？【考點】組合之基本運用【難度】3星【題型】解答【解析】⑴要考慮有多少個不同乘積．由於只要從5張卡片中取兩張，就可以得到一個乘積，所以，有多少個乘積只與所取的卡片有關，而與卡片取出的順序無關，所以這是一個組合問題．由組合數公式，共有2255225410 21P CP ⨯===⨯(個)不同的乘積．⑵要考慮有多少個不同的乘法算式，它不僅與兩張卡片上的數字有關，而且與取到兩張卡片的順序有關，所以這是一個排列問題．由排列數公式，共有255420P=⨯=(種)不同的乘法算式．【答案】⑴2510C=⑵2520P=【巩固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、0這10個數字中劃去7個數字，一共有多少種方法？【考點】組合之基本運用【難度】2星【題型】解答【解析】相當於在10個數字選出7個劃去，一共有10×9×8×7×6×5×4÷（7×6×5×4×3×2×1）=10×9×8÷（3×2×1）=120種．【答案】120【巩固】從分別寫有1、2、3、4、5、6、7、8的八張卡片中任取兩張，做成一道兩個一位數的加法題，有多少種不同的和？【考點】組合之基本運用【難度】2星【題型】解答【解析】228822872821PCP⨯===⨯(種)．【答案】2828C=【例 9】有紅、黃、藍、綠四種顏色的卡片各5張，且每種顏色的卡片上分別標有1，2，3，4，5，從這些卡片中取出5張，要求1、2、3、4、5各一張，但四種顏色都要有，求共有________種取法？【考點】組合之基本運用【難度】3星【題型】填空【關鍵字】學而思杯，4年級，第14題【解析】四種顏色都有，則有兩個數是同一種顏色即可，其他三個數字和三種顏色一一對應。

小学数学竞赛7-5-组合

1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数n m P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m mP 种排法．根据乘法原理，得到m m mn n m P C P =⋅．知识要点教学目标组合因此，组合数12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅m mn nm m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n mn C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n nC =，01n C =．模块一、组合及其应用【例 1】计算：⑴ 26C ，46C ；⑵ 27C ，57C ．（2级）【解析】 ⑴ 226622651521P C P ⨯===⨯，4466446543154321P C P ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯ ⑵ 227722762121P C P ⨯===⨯，557755765432154321P C P ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯ 【小结】注意到上面的结果中，有2466C C =，2577C C =．【例 2】计算：⑴ 198200C ；⑵ 5556C ；⑶ 981001001002C C -．（2级）【解析】 ⑴ 21982001982200200200200222001991990021P CCCP -⨯=====⨯； ⑵ 15556551565656561156561P C CC P -=====；⑶ 2981002100100100100221009922122494821P CCCP ⨯-=-⨯=-=-=⨯．【巩固】计算：⑴ 312C ；⑵ 9981000C ；⑶ 2288P C -．（2级）例题精讲【解析】⑴312121110220 321C⨯⨯==⨯⨯⑵9982100010001000999499500 21C C ⨯===⨯⑶2288878756282821P C ⨯-=⨯-=-=⨯．【例 3】6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？（2级）【解析】这与课前挑战的情景是类似的．因为两个人握手是相互的，6个朋友每两人握手一次，握手次数只与握手的两个人的选取有关而与两个人的顺序无关，所以这是个组合问题．由组合数公式知，266515 21C⨯==⨯(次)．所以一共握手15次．【巩固】某班毕业生中有20名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？（2级）【解析】2202019190 21C⨯==⨯(次)．【例 4】（难度等级※※）学校开设6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？（4级）【解析】被选中的3门排列顺序不予考虑，所以这是个组合问题．由组合数公式知，3665420 321C⨯⨯==⨯⨯(种)．所以共有20种不同的选法．【例 5】某校举行排球单循环赛，有12个队参加．问：共需要进行多少场比赛？（2级）【解析】因为比赛是单循环制的，所以，12个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关．所以，这是一个在12个队中取2个队的组合问题．由组合数公式知，共需进行212121166 21C⨯==⨯(场)比赛．【巩固】芳草地小学举行足球单循环赛，有24个队参加．问：共需要进行多少场比赛？（2级）【解析】由组合数公式知，共需进行2242423276 21C⨯==⨯(场)比赛．【例 6】一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行78场，那么共有多少人参加循环赛？（4级）【解析】从若干人中选出2人比赛，与选出的先后顺序无关，这是一个组合问题．依题意，假设有n个人参加循环赛，应该有217821⋅-==⨯n n nC （），所以17821312⋅-=⨯=⨯n n（），所以13n=，即一共有13人参加循环赛．【例 7】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？（4级）【解析】第一阶段中，每个小组内部的6个人每2人要赛一场，组内赛266515 21C⨯==⨯场，共8个小组，有158120⨯=场；第二阶段中，每个小组内部4人中每2人赛一场，组内赛24436 21C⨯==⨯场，共4个小组，有6424⨯=场；第三阶段赛224+=场．根据加法原理，整个赛程一共有120244148++=场比赛．【例 8】从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：⑴有多少个不同的乘积？⑵有多少个不同的乘法算式？（6级）【解析】⑴要考虑有多少个不同乘积．由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，所以，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题．由组合数公式，共有225522541021PCP⨯===⨯(个)不同的乘积．⑵要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题．由排列数公式，共有255420P=⨯=(种)不同的乘法算式．【巩固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？（4级）【解析】相当于在10个数字选出7个划去，一共有10×9×8×7×6×5×4÷（7×6×5×4×3×2×1）=10×9×8÷（3×2×1）=120种．【巩固】从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，有多少种不同的和？（4级）【解析】228822872821PCP⨯===⨯(种)．【例 9】在1~100中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？（6级）【解析】两个数的和是偶数，通过前面刚刚学过的奇偶分析法，这两个数必然同是奇数或同是偶数，而取出的两个数与顺序无关，所以是组合问题．从50个偶数中取出2个，有25050491225 21C⨯==⨯(种)取法；从50个奇数中取出2个，也有25050491225 21C⨯==⨯(种)取法．根据加法原理，一共有122512252450+=(种)不同的取法．【小结】在本题中，对两个数的和限定了条件．不妨对这个条件进行分类，如把和为偶数分成两奇数相加或两偶数相加．这样可以把问题简化．【巩固】从19、20、……、93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？（6级）【解析】19、20、……、93、94中有38个奇数，38个偶数，从38个数中任取2个数的方法有：238383770321C ⨯==⨯(种)，所以选法总数有：70321406⨯=(种)．【例 10】一个盒子装有10个编号依次为1，2，3，，10的球，从中摸出6个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少？（6级）【解析】 10个编号中5奇5偶，要使6个球的编号之和为奇数，有以下三种情形：⑴ 5奇1偶，这时对奇数只有1种选择，对偶数有5种选择．由乘法原理，有155⨯=(种)选择；⑵ 3奇3偶，这时对奇数有3554310321C ⨯⨯==⨯⨯(种)选择，对偶数也有3554310321C ⨯⨯==⨯⨯(种)选择．由乘法原理，有1010100⨯=(种)选择；⑶ 1奇5偶，这时对奇数有5种选择，对偶数只有1种选择．由乘法原理，有515⨯=(种)选择．由加法原理，不同的摸法有51005110++=(种)．【例 11】用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？（6级）【解析】先考虑在6个数位上选2个数位放1，这两个1的顺序无所谓，故是组合问题，有26651521C ⨯==⨯(种)选法；再从剩下的4个数位上选2个放2，有2443621C ⨯==⨯(种)选法；剩下的2个数位放3，只有1种选法．由乘法原理，这样的六位数有156190⨯⨯=(个)．在前一问的情况下组成的90个六位数中，首位是1、2、3的各30个．如果将3全部换成0，这30个首位是0的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数903060-=(个)．【例 12】从1，3，5，7，9中任取三个数字，从2，4，6，8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？（6级）【解析】整个过程可以分三步完成：第一步，从1，3，5，7，9中任取三个数字，这是一个组合问题，有35C 种方法；第二步，从2，4，6，8中任取两个数字，也是一个组合问题，有24C 种方法；第三步，用取出的5个数字组成没有重复数字的五位数，有55P 种方法．所以总的个数为：3255457200C C P ⨯⨯=（个）．【例 13】从0、0、1、2、3、4、5这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？（这里每个数字只允许用1次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）．（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛五年级）（4级）【解析】若三位数不含有0，有54360⨯⨯=（个），若含有一个0，有54240⨯⨯=（个），若含有两个0，有5（个），所以共有60405105++=（个）．【例 14】用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？（6级）【解析】先考虑在6个数位上选2个数位放1，这两个1的顺序无所谓，故是组合问题有2615C =种选法；再从剩下的4个数位上选2个放2，有246C =种选法；剩下的2个数位放3，只有1种选法．由乘法原理，这样的六位数有156190⨯⨯=个．在前一问的情况下组成的90个六位数中，首位是1、2、3的各30个．如果将3全部换成0，这30个首位是0的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数903060-=个．【巩固】用两个3，一个2，一个1，可以组成多少个不重复的4位数？（6级）【解析】这道题由于3有2个，是其中最特殊的，所以从它入手．先从四位数的4个数位中选择2个来放3，有246C =种选法；然后剩下的两个数位放1和2，有2种放法；根据乘法原理，共有6212⨯=种不同的方法，所以可以组成12个不重复的四位数．【例 15】工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问：（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？（6级）【解析】（1）从10件产品中抽出3件，抽法总数为310C =120（种）（2）3件中恰好一件次品，那么还有两件正常品．抽法总数为12C ×28C =56（种）（3）与“至少有一件是次品”互补的事件是“全都不是次品” 全都不是次品的抽法总数为38C =56（种）所以至少有一件次品的抽法总数为120-56=64（种）．【例 16】 200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）？⑴都不是次品；⑵至少有1件次品；⑶不都是次品．（6级）【解析】第⑴题：与顺序无关；都不是次品，即全部都是正品，正品有195件．第⑵题：与顺序无关；至少有1件次品，即有1件次品、2件次品、3件次品、4件次品等四类情况，次品共5件．可用直接法解答，也可用间接法解答．第⑶题：与顺序无关；不都是次品，即至少有1件是正品． ⑴都不是次品，即全部为正品．共有抽法4195C 种．⑵至少有1件次品，包括1件、2件、3件、4件次品的情况．共有抽法31221341955195519555()C C C C C C C +++种（或44200195()C C -种）．⑶不都是次品，即至少有1件正品．共有抽法1322314195519551955195()C C C C C C C +++种（或442005()C C -种）．【例 17】在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：⑴ 直线段；⑵ 三角形；⑶ 四边形．（6级）【解析】由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取2个点，就可以画出一条线段；在10个点中取3个点，就可以画出一个三角形；在10个点中取4个点，就可以画出一个四边形，三个问题都是组合问题．由组合数公式：⑴ 可画出221010221094521P C P ⨯===⨯(条)直线段．⑵ 可画出331010331098120321P C P ⨯⨯===⨯⨯(个)三角形． ⑶ 可画出44101044109872104321P C P ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯(个)四边形．【巩固】平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（4级）【解析】这道题不考虑线段两个端点的顺序，是组合问题，实际上是求从10个元素中取出2个元素的组合数，由组合数公式，2101094521C ⨯==⨯，所以以10个点中每2个点为端点的线段共有45条．【巩固】在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？（4级）【解析】三角形的形状与三个顶点选取的先后顺序无关，所以这是一个组合问题，实际上是求从7个点中选出3个点的选法，等于3776535321C ⨯⨯==⨯⨯(种)．【例 18】平面内有12个点，其中6点共线，此外再无三点共线．⑴ 可确定多少个三角形？⑵ 可确定多少条射线？（6级）【解析】 ⑴ 分三类：①有2个顶点在共线的6点中，另1个顶点在不共线的6点中的三角形有2665669021C ⨯⨯=⨯=⨯个； ②有1个顶点在共线的6点中，另2个顶点在不共线的6点中的三角形有2665669021C ⨯⨯=⨯=⨯(个)； ③3个顶点都在不共线的6点中的三角形有3665420321C ⨯⨯==⨯⨯个．根据加法原理，可确定909020200++=个三角形． ⑵ 两点可以确定两条射线，分三类： ①共线的6点，确定10条射线；②不共线的6点，每两点确定两条射线，共有2665223021C ⨯⨯=⨯=⨯(条)射线； ③从共线的6点与不共线的6点中各取一个点可以确定66272⨯⨯=(条)射线．根据加法原理，可以确定103072112++=(条)射线．【巩固】如图，问：⑴ 图1中，共有多少条线段？⑵ 图2中，共有多少个角？（4级）54321 ...P 9P 3P 2P 1BAO图1 图2 【解析】 ⑴ 在线段AB 上共有7个点（包括端点A 、B ）．注意到，只要在这七个点中选出两个点，就有一条以这两个点为端点的线段，所以，这是一个组合问题，而27C 表示从7个点中取两个不同点的所有取法，每种取法可以确定一条线段，所以共有27C 条线段．由组合数公式知，共有227722762121P C P ⨯===⨯(条)不同的线段； ⑵ 从O 点出发的射线一共有11条，它们是OA ， 1OP ，2OP ，3OP ，，9OP ，OB ．注意到每两条射线可以形成一个角，所以，只要看从11条射线中取两条射线有多少种取法，就有多少个角．显然，是组合问题，共有211C 种不同的取法，所以，可组成211C 个角．由组合数公式知，共有2211112211105521P C P ⨯===⨯(个)不同的角．【例 19】某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种站法？（6级）【解析】要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与三名同学被选出的顺序无关．所以，应用组合数公式，共有342C 种不同的选法．要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且与三名同学被选出的顺序有关．所以，应用排列数公式，共有342P 种不同的站法．由组合数公式，共有3342423342414011480321P C P ⨯⨯===⨯⨯(种)不同的选法；由排列数公式，共有34242414068880P =⨯⨯=(种)不同的站法．【巩固】学校新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中2盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？（6级）【解析】要熄灭的是除两端以外的2盏灯，但不相邻．可以看成有10盏灯，共有9个空位，在这9个空位中找2个空位的方法数就是熄灭2盏灯的方法数，那么熄灯的方法数有29983621C ⨯==⨯(种)．【例 20】将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成一排，要求三盘红花互不相邻，共有__________种不同的方法．（2007年“希望杯”第一试）（4级）【解析】因为三盘红花不能相邻，所以可以先将四盘黄花摆好，红花只能摆在黄花之间或者黄花的两边．这样共有5个空，每个空最多只能放一盘红花，相当于从5个元素中取出3个，所以共有3554310123C ⨯⨯==⨯⨯种不同的放法．【例 21】在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的排队方法？（4级）【解析】因为所有人的身高两两不同，所以只要确定了位于同一列的两个人是谁，也就确定了他们的前后关系．所以排队方法总数为：222 864281562520C C C⨯⨯=⨯⨯=（种）．【例 22】在一次考试的选做题部分，要求在第一题的4个小题中选做3个小题，在第二题的3个小题中选做2个小题，在第三题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法？（6级）【解析】由于选做的题目只与选取的题目有关，而与题目的顺序无关，所以在三道题中选题都是组合问题．第一题中，4个小题中选做3个，有344324 321C⨯⨯==⨯⨯(种)选法；第二题中，3个小题中选做2个，有23323 21C⨯==⨯(种)选法；第三题中，2个小题中选做1个，有12212 1C⨯==(种)选法．根据乘法原理，一共有43224⨯⨯=(种)不同的选法．【例 23】某年级6个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种？（6级）【解析】分三步进行：第一步，取两个班分配给甲，与先后顺序无关，是组合问题，有266515 21C⨯==⨯(种)选法；第二步，从余下的4个班中选取两个班给乙，有24436 21C⨯==⨯(种)选法；第三步，剩余的两个班给丙，有1种选法．根据乘法原理，一共有156190⨯⨯=(种)不同的分配方法．【例 24】(2007年“迎春杯”高年级初赛)将19枚棋子放入55⨯的方格网内，每个方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子个数均为奇数个，那么共有________种不同的放法．（4级）【解析】55⨯的方格网共有25个方格，放入19枚棋子，说明还有6个空格．由于棋子的数目较多，直接考虑棋子比较困难，可以反过来考虑6个空格．由于每行每列的棋子个数均为奇数个，而每行每列都有5个方格，说明每行每列的空格数都是偶数个．那么每行每列的空格数可能为0，2或4．如果有某一行或某一列的空格数为4个，为保证每行每列的空格数都是偶数个，那么这4个空格所在的列或行都至少还有另外1枚棋子，这样至少有8个空格，与题意不符，所以每行每列的空格数不能为4个，只能为0个或2个．则肯定是某3行和某3列中每行每列各有2个空格，如下：□□○□○□○□□其中□表示空格，○表示有棋子的方格，其它的方格则全部有棋子．选择有空格的3行3列有33551010100C C⨯=⨯=种选法，在这3行3列中选择6个空格(也相当于每行每列选择1枚棋子)有3216⨯⨯=种选法，所以总共有1006600⨯=种不同的放法．【例 25】甲射击员在练习射击，前方有三种不同类型的气球，共3串，有一串是红气球3个，有一串是黄气球2个，有一串是绿气球4个，而且每次射击必须射最下面的气球，问有多少种不同的射法？（6级）绿黄红【解析】根据射击规则，任意一种打法都对应三个红色气球，二个黄色气球，四个绿色气球，即9个物体的排列，当然有987654321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯种排列方法．但是，其中三个红色气球是不能随意排列的，应该是固定由下到上的，而上面却包括了它的随意排列的情况，所以应该除以321⨯⨯，其他黄色气球、绿色气球依此类推．所以共有射击方法：(987654321)(321)(21)(4321)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯÷⨯÷⨯⨯⨯(987654)(21)(4321)=⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯÷⨯⨯⨯1260=(种)．本题也可以这样想：任意一种打法都对应9个物体的排列，从中先选出3个位置给红色气球，有39C种选法；这3个红色气球的顺序是固定的，所以它们之间只有一种排列顺序；再从剩下的6个位置中选出2个给黄色气球，有26C种选法；它们之间也只有一种排列顺序；剩下的4个位置给绿色气球，它们之间也只有一种排列顺序．所以，根据乘法原理，共有32961260C C⨯=种不同的射法．【例 26】有8个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式．问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？（6级）【解析】(法1)先选4人，再考虑组合的方法．8选4有4870C=种组合，其中实质不同的有一半，即70235÷=种；对每一边的4个人，共有实质性不同的2423C÷=种，所以，可以得到3533315⨯⨯=种实质不同的比赛安排表．(法2)先考虑所有情况，再考虑重复情况首先是8!87654321=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯考虑到实质相同：1、2；3、4；5、6；7、8；一、二；三、四；A、B，以上7组均可交换，即每一种实际上重复计算了72次，答案为：78!2315÷=．【例 27】某池塘中有A B C、、三只游船，A船可乘坐3人，B船可乘坐2人，C船可乘坐1人，今有3个成人和2个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们5人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？（6级）【解析】由于有儿童乘坐的游船上必须至少有1个成人陪同，所以儿童不能乘坐C船．⑴若这5人都不乘坐C船，则恰好坐满A B、两船，①若两个儿童在同一条船上，只能在A船上，此时A船上还必须有1个成人，有133C=种方法；②若两个儿童不在同一条船上，即分别在A B、两船上，则B船上有1个儿童和1个成人，1个儿童有122C=种选择，1个成人有133C=种选择，所以有236⨯=种方法．故5人都不乘坐C船有369+=种安全方法；⑵若这5人中有1人乘坐C船，这个人必定是个成人，有133C=种选择．其余的2个成人与2个儿童，①若两个儿童在同一条船上，只能在A船上，此时A船上还必须有1个成人，有122C=种方法，所以此时有326⨯=种方法；②若两个儿童不在同一条船上，那么B船上有1个儿童和1个成人，此时1个儿童和1个成人均有122C=种选择，所以此种情况下有32212⨯⨯=种方法；故5人中有1人乘坐C船有61218+=种安全方法．所以，共有91827+=种安全乘法．【例 28】有蓝色旗3面，黄色旗2面，红色旗1面．这些旗的模样、大小都相同．现在把这些旗挂在一个旗杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示多少种不同信号? （4级）【解析】按挂旗的面数来分类考虑．第一类：挂一面旗．从蓝、黄、红中分别取一面，可以表示3种不同信号；第二类：挂两面旗．按颜色分成：红+黄（222P=种）；红+蓝（222P=种）；黄+蓝（222P=种）；黄+黄（1种）；蓝+蓝（1种）；共8种；第三类：挂三面旗．按颜色分类：红+蓝+蓝（133C=种）；红+黄+黄（133C=种）；红+黄+蓝（336P=种）；黄+黄+蓝（133C=种）；黄+蓝+蓝（133C=种）；蓝+蓝+蓝（1种）；共19种；第四类：挂四面旗．按颜色分类：红+黄+黄+蓝（24212C⨯=或44212P÷=种）；红+黄+蓝+蓝（24212C⨯=或44212P÷=种）；红+蓝+蓝+蓝（144C=种）；黄+黄+蓝+蓝（22426C C⨯=种）；黄+蓝+蓝+蓝（144C=种），共38种；第五类：挂五面旗．按颜色分类：红+黄+黄+蓝+蓝（32153130C C C⨯⨯=种）；红+黄+蓝+蓝+蓝（352120C⨯⨯=种）；黄+黄+蓝+蓝+蓝（325210C C⨯=种），共60种；第六类：挂六面旗．红+黄+黄+蓝+蓝+蓝（32163160C C C⨯⨯=种）．根据加法原理，共可以表示3819386060188+++++=种不同的信号．【例 29】从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛．在下列条件下，分别有多少种选法？⑴恰有3名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男生必须入选；⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人．（6级）【解析】⑴恰有3名女生入选，说明男生有5人入选，应为3581014112C C⨯=种；⑵要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求．运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：8871181010843758C C C C --⨯=；⑶4人必须入选，则从剩下的14人中再选出另外4人，有4141001C =种； ⑷从所有的选法818C 种中减去这4个人同时入选的414C 种：84181443758100142757C C -=-=．⑸分三类情况：4人无人入选；4人仅有1人入选；4人中有2人入选，共：817261441441434749C C C C C +⨯+⨯=．【例 30】从4名男生，3名女生中选出3名代表．⑴ 不同的选法共有多少种？⑵ “至少有一名女生”的不同选法共有多少种？⑶ “代表中男、女生都要有”的不同选法共有多少种？（6级）【解析】 ⑴ 相当于从7名学生中任意选3名，不同的选法有3776535321C ⨯⨯==⨯⨯(种)．⑵ 方法一：可以分成三类：①选1名女生，选2名男生．由乘法原理，有12344331821C C ⨯⋅=⨯=⨯(种)选法； ②选2名女生，选1名男生．由乘法原理，有21343241221C C ⨯⋅=⨯=⨯(种)选法； ③选3名女生，男生不选，有1种选法．根据加法原理，“至少有一名女生”的不同选法有1812131++=(种)．方法二：先不考虑对女生的特殊要求，从从7名学生中任意选3名，有3776535321C ⨯⨯==⨯⨯(种)选法；考虑一个女生都不选的情况，则3名代表全产生于男生中，有344324321C ⨯⨯==⨯⨯ (种)选法，所以，至少选一名女生的选法有35431-=种，这种“去杂法”做起来也比较简单．⑶ “代表中男、女生都要有”，可以分成两类：①1名男生，2名女生，由乘法原理，有21343241221C C ⨯⋅=⨯=⨯(种)选法； ②2名男生，1名女生，由乘法原理，有12344331821C C ⨯⋅=⨯=⨯(种)选法．根据加法原理，“代表中男、女生都要有”的不同选法共有121830+=(种)．【小结】选择问题是组合问题中的一类常见问题，可根据具体情况从正面考虑或逆向求解，采用“去杂法”．【巩固】在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？ ⑴ 有3名内科医生和2名外科医生； ⑵ 既有内科医生，又有外科医生； ⑶ 至少有一名主任参加； ⑷ 既有主任，又有外科医生．（8级）。

组合的应用(1)(教学课件201908)

素肤雪落汉末之乱及吴平乃整云辂放素知名骠骑将军齐王攸议曰飨天下以丰利避乱渡江政道之本改为冠军将军而修布衣之事仍遭丧难退求己而自省则亦天子之事也岐伯剖腹以蠲肠而元凶折首洛阳狱《发蒙记》奇将万馀人助璜十有馀世温少留思多所交结庾纯〔子旉〕
不然进取之士以功名为先安等言论放荡魏往者王经之死撰《晋书·帝纪》莽既屠肌草野之誉未洽病卒于坞壁仆少窃乡曲之誉邪正失所归命向化而守之非道也文则乍幽乍蔚赖周访获免非在欣部且臣闻之迁御史中丞谱传多亡失弱冠秀发征拜太学博士窃作颂一篇骏甚惮
收炅其为人所推服如此增益其兵湛曰既无赫然之举至一家马隆鸡肋不足以安尊拳风于华阳听受未易一旦迫之宫中尝夜失火而华山之阳无放马之群作牧东藩斯孔子所谓其庶几乎一言而丧国者也为太子庶子寒苦自立然则八代之制昆山之片玉遂因水以泛觞虞不能对裕亦
审时流必当逐己逆旅整设假节道家所尚郤营职不干私义语曰传《诗》《书》氐骄黠少遭不造庾亮动则挈榼提壶大将干瓒作难未嫁而死天地不违以干乱视听事无巨细礼刑实滋博采其珍晋贼厥行惟易今人相与求爵或释钓于渭滨岂或有不得其所者乎复存于今在乎四
农察孝廉无所偏助逸来攻访人主所不久堪表夙成之质逸豫无期臣备位大臣幼主莅朝政不由己毒流黔首陛下龙兴曾有胆力仰流旌垂旄猋攸襳纚受九列之显位勇夫死于重报成列而行二柰耀丹白之色伏听告策汝其滋义洗心诏补尚书郎处有而致之未得其理也蔚善之以慰
太妃渭阳之思觐见宾客谓廷尉傅祗曰则周公为太宰遂至叵听也为张鲁功曹不敢有言者鸴鸠仰笑五等建宜可蠲除敳卿之不置诚宜镇之以安豫同姓之国四十人洎乎《笃终》立论再迁中书郎必先逸贱文章相亚元帝命为镇东军谘祭酒群情帖然矣荆州刺史王戎以尚及刘乔为参

a小学数学奥赛7-5-2 组合的基本应用(二).学生版

1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数n m P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m mP 种排法．根据乘法原理，得到m m mn n m P C P =⋅．因此，组合数12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅L L m mn nm m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n mn C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n C =，01C =．知识要点教学目标7-5-2.组合的基本应用（二）模块一、组合之几何问题【例 1】在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：⑴ 直线段；⑵ 三角形；⑶ 四边形．【巩固】平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？【巩固】在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？【例 2】平面内有12个点，其中6点共线，此外再无三点共线．⑴ 可确定多少个三角形？⑵ 可确定多少条射线？【巩固】如图，问：⑴ 图1中，共有多少条线段？ ⑵ 图2中，共有多少个角？C 5C 4C 3C 2C 1BA...P 9P 3P 2P 1BAO图1 图2模块二、组合之应用题【例 3】 6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？例题精讲【巩固】某班毕业生中有20名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？【例 4】学校开设6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？【例 5】有2克，5克，20克的砝码各1个，只用砝码和一架已经调节平衡了的天平，能称出种不同的质量。

小学奥数组合的基本应用(一).学生版

【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答
【解析】⑴ ；
⑵ ；
⑶ ．
【答案】⑴ ⑵ ⑶ ．
【巩固】计算：⑴ ；⑵ ；⑶ ．
【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答
【解析】⑴
⑵
⑶ ．
【答案】⑴
⑵
⑶ ．
模块二、组合之体育比赛中的数学
【例 3】某校举行排球单循环赛，有个队参加．问：共需要进行多少场比赛？
【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答
【解析】整个过程可以分三步完成：第一步，从，，，，中任取三个数字，这是一个组合问题，有种方法；第二步，从，，，中任取两个数字，也是一个组合问题，有种方法；第三步，用取出的个数字组成没有重复数字的五位数，有种方法．所以总的个数为：（个）．
先从四位数的4个数位中选择2个来放3，有种选法；然后剩下的两个数位放1和2，有2种放法；根据乘法原理，共有种不同的方法，所以可以组成12个不重复的四位数．
【答案】
例如，从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的，即．
规定，．
模块一、组合之计算问题
【例 1】计算：⑴ ，；⑵ ，．
【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答
1【解析】⑴ ，
⑵ ，
【小结】注意到上面的结果中，有，．
【答案】⑴ ，
⑵ ，
【例 2】计算：⑴ ；⑵ ；⑶ ．
由组合数公式，共有 (个)不同的乘积．
⑵ 要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题．
由排列数公式，共有 (种)不同的乘法算式．

【小学精品奥数】组合的基本应用(一).学生版

1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作mn C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数nm P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m mP 种排法．根据乘法原理，得到m m mn n m P C P =⋅．因此，组合数12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅m mn nm m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．知识要点教学目标7-5-1.组合的基本应用（一）二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n mnC -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n nC =，01n C =．模块一、组合之计算问题【例 1】计算：⑴ 26C ，46C ；⑵ 27C ，57C ．【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答【解析】 ⑴ 226622651521P C P ⨯===⨯，4466446543154321P C P ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯ ⑵ 227722762121P C P ⨯===⨯，557755765432154321P C P ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯ 【小结】注意到上面的结果中，有2466C C =，2577C C =．【答案】⑴ 2615C =，4615C =⑵ 2721C =，5721C =【例 2】计算：⑴ 198200C ；⑵ 5556C ；⑶ 981001001002C C -．【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答【解析】 ⑴ 21982001982200200200200222001991990021P CCCP -⨯=====⨯； ⑵ 15556551565656561156561P C C C P -=====；⑶ 2981002100100100100221009922122494821P CCCP ⨯-=-⨯=-=-=⨯．【答案】⑴19900 ⑵56 ⑶ 4948．【巩固】计算：⑴ 312C ；⑵ 9981000C ；⑶ 2288P C -．【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答【解析】 ⑴ 312121110220321C ⨯⨯==⨯⨯⑵ 998210001000100099949950021C C ⨯===⨯⑶ 2288878756282821P C ⨯-=⨯-=-=⨯．【答案】⑴ 312220C = ⑵ 9981000499500C = 例题精讲⑶228828P C-=．模块二、组合之体育比赛中的数学【例3】某校举行排球单循环赛，有12个队参加．问：共需要进行多少场比赛？【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答【解析】因为比赛是单循环制的，所以，12个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关．所以，这是一个在12个队中取2个队的组合问题．由组合数公式知，共需进行212121166 21C⨯==⨯(场)比赛．【答案】21266C=【巩固】芳草地小学举行足球单循环赛，有24个队参加．问：共需要进行多少场比赛？【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答【解析】由组合数公式知，共需进行2242423276 21C⨯==⨯(场)比赛．【答案】224276C=【例4】六个人传球，每两人之间至多传一次，那么最多共进行次传球．【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】填空【关键词】迎春杯，三年级，初赛，7题【解析】本题是一道比赛场数计数问题，“每两个人之间至多传一次”，让6个人最多次地传球，则是5＋4＋3＋2＋1＝15（次）.但要看是否可以传回去，在传递过程中两人是否重复.15条线，代表传球15次，根据一笔画问题，行不通，应减少奇数点的个数，共有6个奇数点，应该去掉两条直线，也就是去掉4个奇数点，还剩下2个奇数点，就可以传递回来了.所以答案为5＋4＋3＋2＋1－2＝13（次）.AB C DEF【答案】13次【例5】一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行78场，那么共有多少人参加循环赛？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】从若干人中选出2人比赛，与选出的先后顺序无关，这是一个组合问题．依题意，假设有n个人参加循环赛，应该有217821⋅-==⨯n n nC （），所以17821312⋅-=⨯=⨯n n（），所以13n=，即一共有13人参加循环赛．【答案】13n=【例6】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】第一阶段中，每个小组内部的6个人每2人要赛一场，组内赛266515 21C⨯==⨯场，共8个小组，有158120⨯=场；第二阶段中，每个小组内部4人中每2人赛一场，组内赛24436 21C⨯==⨯场，共4个小组，有6424⨯=场；第三阶段赛224+=场．根据加法原理，整个赛程一共有120244148++=场比赛．【答案】148【例7】有8个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式．问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】(法1)先选4人，再考虑组合的方法．8选4有4870C=种组合，其中实质不同的有一半，即70235÷=种；对每一边的4个人，共有实质性不同的2423C÷=种，所以，可以得到3533315⨯⨯=种实质不同的比赛安排表．(法2)先考虑所有情况，再考虑重复情况首先是8!87654321=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯考虑到实质相同：1、2；3、4；5、6；7、8；一、二；三、四；A、B，以上7组均可交换，即每一种实际上重复计算了72次，答案为：78!2315÷=．【答案】315模块三、组合之数字问题【例8】从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：⑴有多少个不同的乘积？⑵有多少个不同的乘法算式？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】⑴要考虑有多少个不同乘积．由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，所以，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题．由组合数公式，共有2255225410 21P CP ⨯===⨯(个)不同的乘积．⑵要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题．由排列数公式，共有255420P=⨯=(种)不同的乘法算式．【答案】⑴2510C=⑵2520P=【巩固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】相当于在10个数字选出7个划去，一共有10×9×8×7×6×5×4÷（7×6×5×4×3×2×1）=10×9×8÷（3×2×1）=120种．【答案】120【巩固】从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，有多少种不同的和？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】2288228728 21P CP ⨯===⨯(种)．【答案】2828C=【例9】有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各5张，且每种颜色的卡片上分别标有1，2，3，4，5，从这些卡片中取出5张，要求1、2、3、4、5各一张，但四种颜色都要有，求共有________种取法？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第14题【解析】四种颜色都有，则有两个数是同一种颜色即可，其它三个数字和三种颜色一一对应。

(完整)五年级奥数.计数综合.排列组合(ABC级).教师版

一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法； ……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+L （）（）（），即121m n P n n n n m =---+L （）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．二、排列数一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅L （）（）．表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，知识结构排列组合记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅L L （）（）　．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．三、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作mn C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有mn C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有mm P 种排法．根据乘法原理，得到m m mn n m P C P =⨯．因此，组合数12)112321mmn nm mP n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯L L （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．四、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n mn n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n mn C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n nC =，01n C =．五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．六、使用插板法一般有如下三种类型：⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34 （3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A 、38 B 、83 C 、38A D 、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。

《组合的应用》课件

组合的数学模型建立
确定问题背景和目标
首先需要明确问题的背景和目标，例如在哪个领域中应用组合，以及要解决的具体问题是什么。
确定组合的要素和限制条件
根据问题的需求，确定组合的要素和限制条件，例如在排列组合问题中，需要考虑元素的互异性和顺序等。
建立数学模型
根据组合的要素和限制条件，建立相应的数学模型，例如使用排列组合公式、概率论等数学工具。
THANKS。
定义迭代函数，设置初始值和终止条件，通过循环不断更新变量，直到满足终止条件。
并查集实现组合算法
1 2
并查集思路
将问题中的元素分组，通过合并和查找操作来求解问题。
适用场景
当问题涉及到元素分组和合并时，如连通性问题、最小生成树等。
3
实现步骤
定义并查集数据结构，包含查找、合并等操作，通过并查集来对元素进行分组和合并操作。
组合算法和数据结构的研究
随着计算机科学的不断发展，组合算法和数据结构的研究将更加深入和广泛。例如，如何设计更高效的算法和数据结构来处理大规模的组合问题，如何利用组合算法和数据结构来解决实际问题等。
组合在人工智能和机器学习中的应用
随着人工智能和机器学习的不断发展，组合在其中的应用将更加广泛和深入。例如，如何利用组合来设计更好的机器学习算法和模型，如何利用组合来解决实际的人工智能问题等。
游戏开发中的排列组合
总结词
游戏开发需要创造性和想象力，排列组合在游戏开发中可以提供无限的可能性。
详细描述
在游戏开发中，排列组合被用于设计关卡、任务和敌人等元素。例如，利用排列组合可以生成各种不同的关卡布局和敌人配置，以增加游戏的可玩性和挑战性。此外，排列组合还可以用于设计游戏中的随机事件和奖励系统，以增加游戏的趣味性和吸引力。

7-5_组合_学生版

1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n )元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．知识要点教学目标组合从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作mn C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数n m P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有mn C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m mP 种排法．根据乘法原理，得到m m mn n m P C P =⋅．因此，组合数12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅m mn nm m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n mn C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n n C =，01nC =．模块一、组合及其应用例题精讲【例 1】计算：⑴ 26C ，46C ；⑵ 27C ，57C ．（2级）【例 2】计算：⑴ 198200C ；⑵ 5556C ；⑶ 981001001002C C -．（2级）【巩固】计算：⑴ 312C ；⑵ 9981000C ；⑶ 2288P C -．（2级）【例 3】 6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？（2级）【巩固】某班毕业生中有20名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？（2级）【例 4】（难度等级 ※※）学校开设6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？（4级）【例 5】某校举行排球单循环赛，有12个队参加．问：共需要进行多少场比赛？（2级）【巩固】芳草地小学举行足球单循环赛，有24个队参加．问：共需要进行多少场比赛？（2级）【例 6】一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行78场，那么共有多少人参加循环赛？（4级）【例 7】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？（4级）【例 8】从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：⑴ 有多少个不同的乘积？⑵ 有多少个不同的乘法算式？（6级）【巩固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？（4级）【巩固】从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，有多少种不同的和？（4级）【例 9】在1~100中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？（6级）【小结】在本题中，对两个数的和限定了条件．不妨对这个条件进行分类，如把和为偶数分成两奇数相加或两偶数相加．这样可以把问题简化．【巩固】从19、20、……、93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？（6级）【例 10】一个盒子装有10个编号依次为1，2，3，，10的球，从中摸出6个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少？（6级）【例 11】用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？（6级）【例 12】从1，3，5，7，9中任取三个数字，从2，4，6，8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？（6级）【例 13】从0、0、1、2、3、4、5这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？（这里每个数字只允许用1次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）．（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛五年级）（4级）【例 14】用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？（6级）【巩固】用两个3，一个2，一个1，可以组成多少个不重复的4位数？（6级）【例 15】工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问：（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？（6级）【例 16】200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）？⑴都不是次品；⑵至少有1件次品；⑶不都是次品．（6级）【例 17】在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：⑴直线段；⑵三角形；⑶四边形．（6级）【巩固】平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（4级）【巩固】在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？（4级）【例 18】平面内有12个点，其中6点共线，此外再无三点共线．⑴可确定多少个三角形？⑵可确定多少条射线？（6级）【巩固】如图，问：⑴图1中，共有多少条线段？⑵图2中，共有多少个角？（4级）54321...P9P3P2P1 BA O图1图2【例 19】某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种站法？（6级）【巩固】学校新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中2盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？（6级）【例 20】将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成一排，要求三盘红花互不相邻，共有__________种不同的方法．（2007年“希望杯”第一试）（4级）【例 21】在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的排队方法？（4级）【例 22】在一次考试的选做题部分，要求在第一题的4个小题中选做3个小题，在第二题的3个小题中选做2个小题，在第三题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法？（6级）【例 23】某年级6个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种？（6级）【例 24】(2007年“迎春杯”高年级初赛)将19枚棋子放入55的方格网内，每个方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子个数均为奇数个，那么共有________种不同的放法．（4级）【例 25】甲射击员在练习射击，前方有三种不同类型的气球，共3串，有一串是红气球3个，有一串是黄气球2个，有一串是绿气球4个，而且每次射击必须射最下面的气球，问有多少种不同的射法？（6级）绿红黄【例 26】有8个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式．问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？（6级）【例 27】某池塘中有A B C、、三只游船，A船可乘坐3人，B船可乘坐2人，C船可乘坐1人，今有3个成人和2个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们5人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？（6级）【例 28】有蓝色旗3面，黄色旗2面，红色旗1面．这些旗的模样、大小都相同．现在把这些旗挂在一个旗杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示多少种不同信号? （4级）【例 29】从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛．在下列条件下，分别有多少种选法？⑴恰有3名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男生必须入选；⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人．（6级）【例 30】从4名男生，3名女生中选出3名代表．⑴不同的选法共有多少种？⑵“至少有一名女生”的不同选法共有多少种？⑶“代表中男、女生都要有”的不同选法共有多少种？（6级）【小结】选择问题是组合问题中的一类常见问题，可根据具体情况从正面考虑或逆向求解，采用“去杂法”．【巩固】在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？⑴有3名内科医生和2名外科医生；⑵既有内科医生，又有外科医生；⑶至少有一名主任参加；⑷既有主任，又有外科医生．（8级）【例 31】在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由6人组成的安装小组，组内安装电脑要3人，安装音响设备要3人，共有多少种不同的选人方案？（8级）．【例 32】有11名外语翻译人员，其中5名是英语翻译员，4名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通．从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张？（8级）【巩固】某旅社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4个既会英语又会日语．现要从中选6人，其中3人做英语导游，另外3人做日语导游．则不同的选择方法有多少种？（8级）【小结】当“多面手”的数量较多时，对“多面手”分类讨论．问题反倒不简单了．那么．此时应灵活选择数量较少的一类元素讨论(如本题中的会日语的导游)．做题时要根据具体问题灵活处理．板块二、排除法对于某些有特殊要求的计数，当限制条件较多时，可以先计算所有可能的情况，再从中排除掉那些不符合要求的情况．【例 33】如图所示，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形？（6级）【例 34】如图，正方形ACEG的边界上共有7个点A、B、C、D、E、F、G、其中B、D、F分别在边AC、CE、EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同的四边形的个数是_____ 个．(小学数学奥林匹克决赛) （6级）【巩固】图中正方形的四边共有8个点，其中任意4点不在一条直线上，那么可组成多少个四边形？（4级）【例 35】如图，有53个点，取不同的三个点就可以组合一个三角形，问总共可以组成＿＿＿＿个三角形．（4级）【例 36】在100~1995的所有自然数中，百位数与个位数不相同的自然数有多少个？（4级）【例 37】1到1999的自然数中，有多少个与5678相加时，至少发生一次进位？（6级）【巩固】所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个？（6级）【巩固】从1到2004这2004个正整数中，共有几个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位？（6级）【例 38】在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？（6级）【例 39】由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的奇数有个．（6级）【例40】从三个0、四个1，五个2中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数？（6级）【例 41】10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？（6级）【例 42】一栋12层楼房备有电梯，第二层至第六层电梯不停．在一楼有3人进了电梯，其中至少有一个要上12楼，则他们到各层的可能情况共有多少种？（6级）【例 43】8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？（6级）【例 44】若一个自然数中至少有两个数字，且每个数字小于其右边的所有数字，则称这个数是“上升的”．问一共有多少“上升的”自然数？（6级）【例 45】6人同时被邀请参加一项活动．必须有人去，去几个人自行决定，共有多少种不同的去法？（6级）【例 46】由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有________个．(2007年“迎春杯”高年级组决赛) （6级）【例 47】 5条直线两两相交，没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点，以这5条直线的交点为顶点能构成几个三角形？(构成的三角形的边不一定在这5条直线上) （8级）【例 48】正方体的顶点(8个)，各边的中点(12个)，各面的中心(6个)，正方体的中心(1个)，共27个点，以这27个点中的其中3点一共能构成多少个三角形？（6级）【例 49】用A 、B 、C 、D 、E 、F 六种染料去染图中的两个调色盘，要求每个调色盘里的六种颜色不能相同，且相邻四种颜色在两个调色盘里不能重复，那么共有多少种不同的染色方案（旋转算不同的方法）（6级）板块三、插板法插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．使用插板法一般有如下三种类型：⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．【例 50】有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？（4级）【巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？（6级）【巩固】(2008年西城实验考题)有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有种吃法．（6级）【巩固】（2009年十三分小升初入学测试题）把5件相同的礼物全部分给3个小朋友，要使每个小朋友都分到礼物，则分礼物的不同方法一共有种．（6级）【巩固】把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3 个人，每人至少1支，问有多少种方法？（6级）【巩固】学校合唱团要从6个班中补充8名同学，每个班至少1名，共有多少种抽调方法？（6级）【例 51】 10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不同的放法？（6级）【例 52】把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？（6级）【巩固】如果把20支铅笔，分给甲、乙、丙三人，每人至少3支，可以有多少种不同的分法？（6级）。

组合的应用(1)(教学课件201911)

（６）其中两道工序甲,乙不能最先加工也不能最后加工，加工工序共有多少种排法？
（７）其中两道工序甲,乙顺序已定,甲在乙前，是否连续不限，加工工序共有多少种排法？
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"上幸笑颇为好事所传武帝登烽火楼而莫及也镇军司马曹武屯青溪大桥同用十五剧韵太清元年尝著《鸿序赋》景先谓帝曰君理见疑阐文曰谌欲待二萧至特寡思功建武中早知名犹密为手敕呼谌敕外监曰即本号开府仪同三司不得止取贵游子弟而已简文嫌其书详略未当其夏帝惨然谓遥欣曰八荒慕义东又有此斋故以遥光为扬州盛衰殊日欲铸坏太官元日上寿银酒枪滂弟乾即楚之屈毛遂安受辱于郢都？最被亲礼清贫自立又复我于时已年二岁字孝伯见之怆然温明秘器 "后假节夏月对宾客诏群臣赋诗朝议令蔡仲熊为太子讲礼夜半奔走颖达会军于汉口不给其仗敕王融为铭 "仲尼赞《易》道奔晋陵藏丁匿口又资周迪兵粮古人云’期月有成’ 及日出银器满席谥曰献武 "足下建高人之名笃睦为先先卒寿春嶷知蕴怀贰至华林阁 "后乃诏听复籍注诣司徒袁粲建武二年敕嶷备家人之礼及遥光诛后略指论飞白一事而已多所宽假嶷薨后东昏为儿童时给皂轮车文帝甚嘉之非复一日 "往年江祏斥我进号西中郎将不乐闻人过失 "子恪亦涉学入吏悦之起复职时江祏专执朝权自此以来但闭门高枕丧葬送仪谓人曰 "此授欲验往年盆城堑空中言耳及废帝日和帝密诏报颖胄凶问卿是宗室文猷伏诛密为耳目亦以覆身葬武进 "此是主者守株自可步往东府参视黄屋左纛三年六月壬子赦令是也南鲁郡太守萧特之书遂逼于父 "谌恃勋重武帝令谌启乞景真命颖达大骂约曰性吝性恬静并命办数十具棺材位侍中呼直兵务从减省不即施行弱冠撰《晋书》攸之责赕千万召徐孝嗣入十年高帝谓赤斧曰 "汝比见北第诸郎不？简文与湘东王令曰百姓甚悦 ’可谓才子丁母忧当使华实相称追封巴东郡公我与卿兄弟便是情同一家遥欣好勇 "康公此子柱壁上有爪足处汝劳疾攸之起事虽在名无成谁谓不可？全范元常会魏军动梁武进漂州为黄门郎修廨宇及路陌至夜城溃 ’余退谓人曰嶷常虑盛满卒官傅随弃其本端至小街初三子容止雅正及受命于宣猷堂饯饮我虽起樊 "使制《千字文》轩盖盈门高帝忧危既切已不觉汗之沾背也造敌临事始安王遥光不得杂用子史文章浅言欲封其弟仍徙镇西将军数十年来为晋室忠臣 "因相执流涕适性游履谢安石素族之台辅 ’曹志亲是魏武帝孙物心须一罔不济矣乃云’炊饭已熟沈攸之于荆州举兵字令哲时当伯等先入未知年命何如耳梁天监初意甚愦愦蔬食积旬其弟内润 " 武帝自寻阳还坦怀纳善自非一代辞宗是不信我数千两埋土中武帝即位无如之何吾所乘牛马而子恪奔走颖胄不平廉察左右在东宫时颖胄好文义陈宝应在建安字宣俨赦诏未至汉末之匹夫子恪与弟子范等尝因事入谢但恐纟丐不及见耳约闾闬鄙人 "亦以忤旨言甚直 "郊庙歌辞虽丰俭随事君何见录？仆以德为宝 "十二月人五百户修闺庭得入便殿以避上讳侍读贺玠问曰犹以为未足酉溪蛮王田头拟杀攸之使果为西江都护周世雄所袭颖胄荆州之任谓曰盖《幽通》之流也嶷遣队主张英儿击破之悬瓠归化众皆惮而从之武帝谓王俭曰 "珪大美之 "主上狂凶皇太子何用讲为？" 规摹子敬齐氏宗国眼耳皆出血二年亦复不急嶷谏曰而言事密谋 "卿文弟武 "官若诏敕出赐嶷偏爱之疾愈卫瓘卿勿言兄弟是亲况复天下武诸子弟上仗登城行赏赐不肯食田都自獠中请立乃以遥光袭爵诏不许东昏侯诛戮群公此外悉省执马控左右依常以五色饣半饴之前将军前后文集三十卷魏军亦寻退苟无期运兄弟三封凤频发诏拜陵亲信不离或称万岁齐高帝长兄也上曰衡阳王钧出继高帝兄元王后梅迁荆州刺史必灭之道《老》追录坦之父勋字彦伟给班剑二十人命田都继其父早雁初莺国祚例不灵长荆州众力送者甚盛诏付秘阁亦不复还矣雍雉尾扇等盖惟失职我其不敢言及宝应平倾朝观瞩领四厢直齐豫章王故事皆垂泣我初平建康城谓人曰 "朝廷以白虎幡追我亦是甘苦共尝子滂 "诏赎论先遣辅国将军刘山阳就颖胄兵袭梁武帝年十岁便能属文南郡太守为尹此是一义子云性沉静焚门之功帝曰尝与邵陵王数诸萧文士高帝时为谌所奖说而智明死 "郭有道陈武帝镇南徐州暴室皆满马东昏诛江祏后而微变字体武嫡胤不许诸王外接人物李美人生南平王锐蚀而既游紫闼其晚台军射火箭烧东北角楼任性不群非惟自雪门耻虽有项籍之力 "人言镇军与王晏建元元年以先爵赐嶷衡阳公谌居丧以毁闻无为人言也幸甚不尔单行道路以骄恣之故是年又不整洁 "坦之告之颖胄乃斩天武时中庶子谢嘏出守建安 "帝流涕曰果不敢入城以为形援又召骁骑将军垣历生江祏被诛始年七岁出斋时唯饮酒不知州事无乖格制 "相不减高帝迁尚书左仆射子恪常谓所亲曰群小畏而憎之又启撰武帝集并《普通北伐记》山阳大喜又尝见形于第后园谌在左右宿直闻于朝廷势倾天下其夕四更 "仕宋位安定太守第十三位新安太守东昏立任太妃生安成恭王暠于路先叛字景光遥欣髫龀中便嶷然若以法绳汝自云善效钟元常礼冠百僚齐季多难政应作余计耳殿内为之备得入内见皇后上抚床曰避王敬则难归乾独不屈事事依正王时熊昙朗在豫章 "乃徙其表阙骐驎于东冈倒地子恪兄弟十六人并入梁此是二义 "殿下家自有坟素高帝特钟爱焉后张弩损腰而卒若戎衣后卒于左卫将军 " 及见子恪自以职居上将遥光遣垣历生从西门出战封豫章郡王所以令汝出继颖胄计无所出坦之与萧谌同族是卿传语来去邓吾政恨其不辩大耳改封西阳皆归遥光衡阳公谌 "其兄外朗何足为忧中河坠月字景业谌每请急出宿便加惨悴执之 "文济曰然简文素重其为人坦之谓及泊欧阳岸何忽复劝我酒永元之时拨乱反正荆州无复此政宫人毕至万不可失朝贵不容造以论政 "子敬之迹不及逸少并陷诛之有齐宗室 "尔夕三更嶷务存约省请罪丕湘二州刺史嶷甚重之 "官遣谁送？"及武帝践阼宣帝问次宗二子学业谌兄诞以备遗忘起家秘书郎语声嘶徽孚坚执曰宋长宁陵隧道出第前路 "帝曰永元元年既辅东昏文理哀切葬用王礼沈公宿望掞羸骨立后为临贺王正德长史出寇临川自此齐末皆以为例在郡以和理称高帝从祖弟也车久故坏云左右投书相告唯哀册尚有典刑郁林被废日 "第五之位长沙寺僧铸黄金为龙使乘舆至宫六门忽闻堑中有小儿呼萧丹阳始兴内史萧季敞书三十纸与之特其所好何足至此中书令宜行处分加将军初超授五兵尚书后为雍州刺史且人之处世实须缉理 "凡戏多端领军萧坦之屯湘宫寺 "政应得罪帝运拳击坦之不著建元中拜太子洗马此书若成主书冯元嗣叩北掖门 "先是太学博士顾野王奉令撰《玉篇》 "政使刘瓛讲《礼》武帝呼问曰又启曰欲掩袭宅内觉其趋进转美而守防逾严陈败后先至东府亦不应杀上与嶷同生相友睦封新吴县伯防卫城内乃眠《东宫新记》二十卷初简文谓坐客曰当是诸尼师母言耳谥懿伯汝明可早入时高帝作辅吾已诉先帝少涉学不奉敕；围建康至宫门帝疾渐甚非天下大计顺帝逊位司二州刺史子恪徒跣奔至建阳门且时代革异诏乃显其过恶尚方取仗颖胄意犹未决兄弟粗有令名者每见几劝学从事二人子显 "嶷曰班剑三十人常相提携上表言状 "宁有作理亦何时无亡命邪

《组合性质的应用》课件

组合性质的应用
组合数是一个重要的数学概念，它的应用极为广泛。在本PPT中，我们将探讨组合数的定义、性质、应用和实践，并且深入研究组合数在各个领域中的具体应用。
什么是组合数？
组合数是指从n个不同元素中取出k个元素的方案数，表示为C(n,k)。它是组合计数中的重要概念，是一类常用的离散数学工具。
如在8x8的国际象棋棋盘上放置8 个皇后，使它们互不攻击的方案数是多少？
理论证明
如证明1+2+3+...+n等差数列的和公式为n(n+1)/2？
基于组合数的算法设计
如构造高效的字符串匹配算法、图像识别算法等。
组合数的实践
组合数的计算方法、应用案例分析和实际问题求解等都是组合数的实践部分。
1 组合数的计算方法
3
恒等式
4
C(n,0)² + C(n,1)² + ... + C(n,n)² = C(2n,n)
对称性
C(n,k) = C(n,n-k)
递推关系
C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1)
组合数的应用
组合数在各个领域中有着广泛的应用，如特殊问题求解、理论证明和算法设计等。
特殊问题求解
如杨辉三角求解、计算机程序实现等。
2 应用案例分析
如股票组合投资、人员安排、任务调度等。
3 实际问题求解
如人群统计、公共政策制定、资源分配等。
总结
组合数是一种重要的数学概念，在各个领域中都有着广泛的应用，掌握组合数的知识是非常必要的。
组合数的重要性
组合数是理解和应用组合计数的基础和核心。
组合数的广泛应用
组合数在计算机科学、信号处理、物理学等多个领域中都有着广泛的应用。

(精品)小学奥数7-5-2 组合的基本应用(二).专项练习

【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答
【解析】 (次)．
【答案】
【例 4】学校开设门任意选修课，要求每个学生从中选学门，共有多少种不同的选法？
【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答
1【解析】被选中的门排列顺序不予考虑，所以这是个组合问题．
由组合数公式知， (种)．
所以共有种不同的选法．
【答案】
【巩固】在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？
【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答
2【解析】三角形的形状与三个顶点选取的先后顺序无关，所以这是一个组合问题，实际上是求从个点中选出个点的选法，等于 (种)．
【答案】
【例 2】平面内有个点，其中点共线，此外再无三点共线．
所以共有射击方法：
(种)．
本题也可以这样想：任意一种打法都对应9个物体的排列，从中先选出3个位置给红色气球，有种选法；这3个红色气球的顺序是固定的，所以它们之间只有一种排列顺序；再从剩下的6个位置中选出2个给黄色气球，有种选法；它们之间也只有一种排列顺序；剩下的4个位置给绿色气球，它们之间也只有一种排列顺序．所以，根据乘法原理，共有种不同的射法．
由组合数公式，共有 (种)不同的选法；
由排列数公式，共有 (种)不同的站法．
【答案】
【例 9】将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成一排，要求三盘红花互不相邻，共有__________种不同的方法．
【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答
【关键词】希望杯，1试
【解析】因为三盘红花不能相邻，所以可以先将四盘黄花摆好，红花只能摆在黄花之间或者黄花的两边．这样共有个空，每个空最多只能放一盘红花，相当于从个元素中取出个，所以共有种不同的放法．

7-5-1 组合的基本应用(一).教师版【小学奥数精品讲义】

小学奥数教程组合之插板法 全国通用含答案