第四章 常概率分布
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第四章常用概率分布
为了便于读者理解统计分析的基本原理,正确掌握和应用以后各章所介绍的统计分析方法,本章在介绍概率论中最基本的两个概念——事件、概率的基础上,重点介绍生物科学研究中常用的几种随机变量的概率分布——正态分布、二项分布、波松分布以及样本平均数的抽样分布和t分布。
第一节事件与概率
一、事件
(一)必然现象与随机现象在自然界与生产实践和科学试验中,人们会观察到各种各样的现象,把它们归纳起来,大体上分为两大类:一类是可预言其结果的,即在保持条件不变的情况下,重复进行试验,其结果总是确定的,必然发生(或必然不发生)。例如,在标准大气压下,水加热到100℃必然沸腾;步行条件下必然不可能到达月球等。这类现象称为必然现象(inevitable phenomena)或确定性现象(definite phenomena)。另一类是事前不可预言其结果的,即在保持条件不变的情况下,重复进行试验,其结果未必相同。例如,掷一枚质地均匀对称的硬币,其结果可能是出现正面,也可能出现反面;孵化6枚种蛋,可能“孵化出0只雏”,也可能“孵化出1只雏”,…,也可能“孵化出6 只雏”,事前不可能断言其孵化结果。这类在个别试验中其结果呈现偶然性、不确定性现象,称为随机现象(random phenomena)或不确定性现象(indefinite phenomena)。
人们通过长期的观察和实践并深入研究之后,发现随机现象或不确定性现象,有如下特点:在一定的条件实现时,有多种可能的结果发生,事前人们不能预言将出现哪种结果;对一次或少数几次观察或试验而言,其结果呈现偶然性、不确定性;但在相同条件下进行大量重复试验时,其试验结果却呈现出某种固有的特定的规律性——频率的稳定性,通常称之为随机现象的统计规律性。例如,对于一头临产的妊娠母牛产公犊还是产母犊是事前不能确定的,但随着妊娠母牛头数的增加,其产公犊、母犊的比例逐渐接近1:1的性别比例规律。概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律的一门科学。
(二)随机试验与随机事件
1、随机试验通常我们把根据某一研究目的,在一定条件下对自然现象所进行的观察或试验统称为试验(trial)。而一个试验如果满足下述三个特性,则称其为一个随机试验(random trial),简称试验:
(1)试验可以在相同条件下多次重复进行;
(2)每次试验的可能结果不止一个,并且事先知道会有哪些可能的结果;
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。
如在一定孵化条件下,孵化6枚种蛋,观察其出雏情况;又如观察两头临产妊娠母牛所
产犊牛的性别情况,它们都具有随机试验的三个特征,因此都是随机试验。
2、随机事件随机试验的每一种可能结果,在一定条件下可能发生,也可能不发生,称为随机事件(random event),简称事件(event),通常用A、B、C等来表示。
(1)基本事件我们把不能再分的事件称为基本事件(elementary event),也称为样本点(sample point)。例如,在编号为1、2、3、…、10的十头猪中随机抽取1头,有10种不同的可能结果:“取得一个编号是1”、“取得一个编号是2”、…、“取得一个编号是10”,这10个事件都是不可能再分的事件,它们都是基本事件。由若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件(compound event)。如“取得一个编号是2的倍数”是一个复合事件,它由“取得一个编号是2”、“是4”、“是6、“是8”、“是10”5个基本事件组合而成。
(2)必然事件我们把在一定条件下必然会发生的事件称为必然事件(certain event),用Ω表示。例如,在严格按妊娠期母猪饲养管理的要求饲养的条件下,妊娠正常的母猪经114天左右产仔,就是一个必然事件。
(3)不可能事件我们把在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件(impossible event),用ф表示。例如,在满足一定孵化条件下,从石头孵化出雏鸡,就是一个不可能事件。
必然事件与不可能事件实际上是确定性现象,即它们不是随机事件,但是为了方便起见,我们把它们看作为两个特殊的随机事件。
二、概率
(一)概率的统计定义研究随机试验,仅知道可能发生哪些随机事件是不够的,还需了解各种随机事件发生的可能性大小,以揭示这些事件的内在的统计规律性,从而指导实践。这就要求有一个能够刻划事件发生可能性大小的数量指标,这指标应该是事件本身所固有的,且不随人的主观意志而改变,人们称之为概率(probability)。事件A的概率记为P(A)。下面我们先介绍概率的统计定义。
在相同条件下进行n次重复试验,如果随机事件A发生的次数为m,那么m/n称为随机事件A的频率(frequency);当试验重复数n逐渐增大时,随机事件A的频率越来越稳定地接近某一数值p,那么就把p称为随机事件A的概率。这样定义的概率称为统计概率(statistics probability),或者称后验概率(posterior probability)。
例如为了确定抛掷一枚硬币发生正面朝上这个事件的概率,历史上有人作过成千上万次抛掷硬币的试验。在表4—1中列出了他们的试验记录。
表4—1 抛掷一枚硬币发生正面朝上的试验记录
实验者投掷次数发生正面朝上的次数频率(m/n)
蒲丰4040 2048 0.5069
k.皮尔逊12000 6019 0.5016
k.皮尔逊24000 12012 0.5005
从表4-1可看出,随着实验次数的增多,正面朝上这个事件发生的频率越来越稳定地接近0.5,我们就把0.5作为这个事件的概率。
在一般情况下,随机事件的概率p是不可能准确得到的。通常以试验次数n充分大时随机事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。
即 P (A )=p ≈m/n (n 充分大) (4-1)
(二)概率的古典定义 上面介绍了概率的统计定义。但对于某些随机事件,用不着进行多次重复试验来确定其概率,而是根据随机事件本身的特性直接计算其概率。
有很多随机试验具有以下特征:
1、试验的所有可能结果只有有限个,即样本空间中的基本事件只有有限个;
2、各个试验的可能结果出现的可能性相等,即所有基本事件的发生是等可能的;
3、试验的所有可能结果两两互不相容。
具有上述特征的随机试验,称为古典概型(classical model )。对于古典概型,概率的定义如下:
设样本空间由n 个等可能的基本事件所构成,其中事件A 包含有m 个基本事件,则事件A 的概率为m/n ,即
P (A )=m/n (4-2)
这样定义的概率称为古典概率(classical probability )或先验概率(prior probability )。
【例4.1】在编号为1、2、3、…、10的十头猪中随机抽取1头,求下列随机事件的概率。
(1)A =“抽得一个编号≤4”;
(2)B =“抽得一个编号是2的倍数”。
因为该试验样本空间由10个等可能的基本事件构成,即n =10,而事件A 所包含的基本事件有4个,既抽得编号为1,2,3,4中的任何一个,事件A 便发生,即m A =4,所以
P(A)=m A /n =4/10=0.4
同理,事件B 所包含的基本事件数m B =5,即抽得编号为2,4,6,8,10中的任何一个,事件B 便发生,故P(B)=m B /n =5/10=0.5。
【例4.2】 在N 头奶牛中,有M 头曾有流产史,从这群奶牛中任意抽出n 头奶牛,试求:
(1)其中恰有m 头有流产史奶牛的概率是多少?
(2)若N =30,M =8,n =10,m =2,其概率是多少?
我们把从有M 头奶牛曾有流产史的N 头奶牛中任意抽出n 头奶牛,其中恰有m 头有
流产史这一事件记为A ,因为从N 头奶牛中任意抽出n 头奶牛的基本事件总数为n N C ,事件
A 所包含的基本事件数为m n M N m M C C --⋅ ,因此所求事件A 的概率为
)(A P =n N m n M
N m M C C C --.
将N =30,M =8,n =10,m =2代入上式,得
)(A P =10302108
3028.C C C --= 0.0695
即在30头奶牛中有8头曾有流产史,从这群奶牛随机抽出10头奶牛其中有2头曾有流产史的概率为6.95%。
(三)概率的性质 根据概率的定义,概率有如下基本性质:
1、对于任何事件A ,有0≤P (A )≤1;
2、必然事件的概率为1,即P (Ω)=1;