1.Riemann积分和Lebesgue积分性质的比较_林秋红

第30卷 第3期 湖北广播电视大学学报 V ol.30, No.3 2010年3月 Journal of HuBei TV University March. 2010, 159～160

Riemann 积分和Lebesgue 积分性质的比较

林秋红

（肇庆科技职业技术学院，广东 肇庆 526100）

[内容提要] 本文主要对Riemann 积分和Lebesgue 积分进行归纳总结，并着重比较了这两种积分性质上的异同，以及它们在极限、微分等方面的应用。

[关键词] Riemann 积分；Lebesgue 积分；可积函数

[中图分类号] O15 [文献标识码] A [文章编号] 1008-7427（2010）03-0159-02

Riemann 积分是通过特殊和式（即Riemann 和）取极限来实现，但是，由于Riemann 积分存在着很大的局限性，引进了Lebesgue 积分，

Lebesgue 积分是Riemann 积分的推广。本文归纳总结了这两种积分，并着重比较了这两种积分在性质上的异同，以及它们在极限、微分等方面的应用。

1．预备知识

定义1.1：（Riemann 积分概念）请读者参考文献[1]P202

。

定义1.2：（Lebesgue 积分概念）请读者参考文献[2]P108。

定义1.4[2][4]：设f (x )的定义域n R E ⊂可分为有限个互不相交的可测集12,,,,s E E E 1

s

i

i E E

==∪

，使在每个E i 上都等于某一常数C i ,则称f (x )为E 上的简单函数.特别地，当每个E i 是长方体时，称f (x )为E 上的阶梯函数。

定义1.5[2]：（下方图形）设f (x )是n R E ⊂上的非负函数，则R n +1

中的点集{(,)|,0()},x z x E z f x ∈≤<

称f (x )为在E 上的下方图形，记为G (E ,f )。 定义1.6[5]：（1）设X 为一非空集，F 为X 上的σ代数.称二元组合（X ,F ）为可测空间。

（2）设μ为可测空间（X ,F ）上的测度。称三元组合（,,X F μ）为测度空间

为了研究Riemann 积分的一些性质，我们给出了n 维Euclid 空间n R 中常义Riemann 积分的一种等价定义，它通过阶梯函数积分取极限来实现.具体说来，定义如下：

定义1.7[7]

：设P

n

R ⊂是任一闭长方体，,:p f p R ≠∅→是任

一函数,如果∀ε>0,ϕ∃、()K P ψ∈（()K P 表示P 上阶梯函数全体

的集合）,使得

∫<−∈∀≤≤P

dx x x P x x x f x εϕψψϕ))()((,),()()(

则称f 在P 上Riemann 可积. 2．两种积分的性质比较

Riemann 积分和Lebesgue 积分这两种积分除了线性关系、不等式性质外还有其他一些重要性质，下面由本人归纳并总结这两种积分在性质上的异同。

2.1 绝对可积性

性质2.1.1[1]：设f (x )在[a ,b ]上R 可积，则|f (x )|在[a ,b ]上也R 可积，且

()()()b b a

a

f x d x f x d x ≤

∫

∫

注意：这个性质的逆命题一般不成立。 例2.1.1： 1,()1x f x ⎧=⎨

−⎩是有理数，x是无理数

显然，f (x )在[0，1]上不是R 可积（类似于狄利克雷函数）；但()1f x ≡，

()f x 在[0，1]上R 可积。

性质2.1.2[3]

：设f (x )在可测集E 上可测，则f (x )在E 上L 可积()f x ⇔在E 上L 可积，且有

()()E

E

f x d x f x d x

≤

∫

∫

.

证明：()f x ∵在可测集E 上可测，则()f x 在E 上也可测, 又f (x )在E 上L 可积()E

f x dx +⇔

<+∞∫

且()E

f x dx −<+∞∫

()()E E

f x dx f x dx +−⇔+<+∞

∫∫

(()())()E

E

f x f x dx f x dx +−⇔−=<+∞∫∫

()f x ∴在E 上也L 可积. 此外,()()()()f x f x f x x E −≤≤∈,

dx x f dx x f dx x f dx x f E E E E ∫∫

∫∫≤≤−=−∴)()())(()( 上式即为dx x f dx x f E E ∫

∫≤)()( 2.2

区间可加性 2.2.1 区间的有限可加性

性质2.2.1.1[1]：设f (x )在[a ,b ]上R 可积,则对[,]c a b ∀∈，f (x )在[a ,c ]

与[c ,b ]上都R 可积，且 ()()()b

c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx =+∫

∫∫

性质2.2.1.2[2]：设f (x )在可测集E 上L 可积，则f (x )在E 上任一可测子集A 上也L 可积，如E A B =∪,A 与B 皆可测，且A B =∅∩，

则

()()()E

A

B

f x dx f x dx f x dx =+∫

∫∫.

注意：在性质2.2.1.1和性质2.2.1.2中只假定等式右边两个积分存在，就可以推出左边积分也存在。

2.2.2 区间的可列可加性

由性质2.2.1.1可知R 积分对区间有有限可加性,但不一定有可列可加性,即如果

1122[,],[,],,[,],n n a b a b a b ,是一列除端点外两两不相交的区间,且

1

[,][,]n

n

n a b a b ∞

==∪,由f (x )在1

1

[,],,[,],n

n

a b a b 上R 可积,不

一定推出f (x )在[a ,b ]上R 可积。

例2.2.2.1： 设2

1

,0()0,0

x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 显然f (x )在区间

111121123111[,],[,],[,],[,],,[,],[,],422384342212

n n n n n n ++++ 上皆R 可积，另外把点0和1看成特殊区间，f (x )在R 上亦可积，上述区间是一

列除端点外两两不相交的区间，且它们所成之并集为[0，

1]，但f (x )在[0，1]上显然不R 可积。

而在勒贝格意义下，有以下定理： 定理2.2.2.1[2]：（积分区间的可列可加性）设f (x )在可测集E 上L 可

积，且

1

i

i E E ∞

==∪，其中各E i 为互不相交的可测集，则1

()()i

E

E i f x dx f x dx

∞

==∑∫

∫。反过来，如果f (x )在每个可测集E i 上L 可积，

1

,

i i E E ∞

==∪那么是否可以得出f (x )在E 上L 可积。我们说上述结论是成立的。

定理2.2.2.2[9]：若f (x )在每个可测集E i 上L 可积，1

i

i E E ∞==∪，则f (x )

在E 上也是L 可积。

证明：设⎩⎨

⎧==其它

,0),()(21n n E E E x x f x f ∪ ∪∪

()f x ∵在每个可测集E i 上L 可积。

()n f x E L ∴在上可积，又()()n f x f x →∵),(E x n ∈∞→

()f x E L ∴在上也可积。 定理证毕。

[收稿日期]2009-12-20