动载荷

冲击前后能量守恒，且
Dd
1 2 mg D2 d m mg (h D d ) 2 2 D st
2 2 gh D d D st 1 1 g D st
冲击荷载下的强度计算:
kd 1 1
2 2 gh g D st
d Kd st
3
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重物Q自由落下冲击在AB梁的B点处，求B点的挠度。
解：
D st
Ql3 4Q l 3 3 E I E bh 3
已知:弹簧刚度系数为k,拉杆抗拉压刚度EA,重为P的重 物从h处自由落下.求:拉杆的冲击应力
Kd 1 1
D st
2h D st
Kd 1 1
d
强度条件: d v 2 g
v
g

从上式可以看出,环内应力仅与γ和v有关, 而与A无关.要保证圆环的强 度,应限制圆环的速度.增加截面面积 A,并不能改善圆环的强度。
2
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§12.4 杆件受冲击时的应力和变形
冲击时,冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的 变化,其加速度a很难测出,无法计算惯性力,故无法使用动 静法.在实用计算中,一般采用能量法。 在计算冲击问题时作如下假设: 1.冲击物视为刚体，不考虑其变形; 2.被冲击物的质量远小于冲击物的质量,可忽略不计; 3.冲击后冲击物与被冲击物附着在一起运动; 4.不考虑冲击时热能的损失，系统内能量是守恒的。只是 认为只有系统能量（动能、势能、变形能）的转化。
Dd
Dd
h0
kd 1 1
2 g D st
Kd
Dd D st
v2 gD st
自由落体垂直冲击时动荷系数中的Dst ： 是结构中受冲击点沿冲击方向在静荷载P 作用 下的所有静位移(垂直位移)。
水平冲击中的 Dst ： 是假设冲击物本身重量沿水平 方向作用时，在冲击点沿冲击方向产生的所有静位移 (水平位移)。
h A
l 2
Kd 1 1
2h D st
图示钢杆的下端有一固定圆盘 , 盘上放置弹簧 . 弹簧在 1kN的静载荷 作 用 下 缩 短 0 . 0 6 2 5 cm. 钢 杆 的 直 径 d=4cm,l=4m 许 用 应 力 [σ]=120Mpa,E=200GPa.若重为15kN的重物自由落下, 求其许可高度H. 又若没有弹簧,许可高度H将等于多大？
Kd 1 1 动荷系数： 2h D st
st
1
A C
2 Pl 9
M 2 Pl ( D ) st W 9W
D
2 l 9
B
( D ) d kd st
(1 1 243 EIh 2 Pl ) 2 Pl 3 9W
动应力强度条件： d kd st 120 10 6
动应力强度条件：
2h
一下端固定、长度为l 的铅直圆截面杆AB，在C点处被一物体 G沿水 平方向冲击（图a）。已知C点到杆下端的距离为a，物体G的重量为 F，物体G在与杆接触时的速度为v。试求杆在危险点的冲击应力。 1 Fv 2 U εd Fd Δd 杆内的应变能为: 解： T U 0 2 2g Fv 2 1 D d Fd Dd FΔd 由机械能守恒定律: F D st 2 g 2 D st

Dst
1 1 8389 h
B G C v l a B
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§12.1
动荷载
概 述
动载荷
主讲教师：邹翠荣
静荷载:作用于结构上的荷载是从零开始缓慢增加至最终 值,在加载过程中,杆件各点的加速度很小 ,可以不计. 动荷载:在载荷的作用下,构件内各质点具有不可忽视的加 速度. 在动荷载作用下， 如杆件的动应力不超过比例极限, 虎克定律仍然适用. 主要讨论: 1、动静法——加速度可以确定的，采用“动静法”求解。 (构 件作等加速度直线运动和匀速转动时的应力计算—惯 性力问题) *2、冲击：速度在极短暂的时间内有急剧改变，此时，加
重为G的球装在长l的转臂端部，以等角速度在光滑 水平面上绕O点旋转， 已知许用应力[] ，求转臂的 截面面积（不计转臂自重）。 解：①受力分析如图:
FNd
惯性力：
d max
N d max A

Nd
l1
a g
a g

O l
FNd man 2 Rm 2lG / g
②强度条件
A l1
FNd / A
A FNd
Ax
Ax
g
a
N


2Gl ( g )
二、等速转动时构件横截面的应力计算
已知:飞轮平均半径R,轮缘横截面面积为 A,每单位体积的重量,角速 度为. 2 向心加速度: an R
V A 2 R 离心惯性力的集度及方向: qd an g g
E b h4 2h 1 1 D st 2Ql3
P Pl k EA
2h P Pl ) k EA
wB D d K d D st Ebh 4 1 1 2 Ql 3 4Ql 3 Ebh3
l
Kd 1 1
h
st
(
P 2h d kd st 1 1 P Pl ( ) A k EA
kd 1 1
势能V1 mg h D d
2 2 gh g D st
Pd K d P
D d K d D st
d K d st
mg v h mg
Pd 在弹性范围内： P
Dd d D st st
用 st 和Dst 表示静应力和静变形
以上三式中的Dd 、 d 、Pd是被冲击构件达到最大变 形位置时的动变形、以及产生该最大动变形的动应力、 动荷载。 解决冲击问题,关键在于如何确定动荷系数Kd
称其为冲击动荷系数
轴向垂直冲击
kd 1 1
2 2 gh g D st
*水平冲击:
P
*重物从h高处自由落下：
mg h mg
1 P 2 1 D2d v P 2g 2 D st
v2 D st gD st
v0
2h Kd 1 1 D st
*冲击开始瞬间冲击物与被冲击物接触时的 速度为 v，则
§12.4 杆件受冲击时的应力和变形
冲击过程演示 冲击 变形最大位置 回弹 静平衡位置
横截面的应力 2 A d qd sin Rd

d

d
d

qd
g
2 R2

0
g
v2
v R
冲击末－变形最大位置
静平衡位置
v：飞轮在半径R处的切向速度
被冲击物内点的位移-时间曲线
P A
已知：d1=0.3m, l=6m, P=5kN, E1=10Gpa, 求两种情况的动应力. (1)H=1m自由下落;(2)H=1m, 圆橡皮垫d2=0.15m, h=20mm,E2=8Mpa
等截面刚架的抗弯刚度为 EI，抗弯截面系数为 W，重物 Q自由下落时，求刚架内的最大正应力（不计轴力）。
FNd
Q
a (1 )W g
静载下的许用应力
容重为γ，杆长为l，横截面面积为Ａ的等直杆，以匀加 速度ａ上升，作杆的轴力图，并求杆内最大动应力。 a a Ax N d max A l 1 N d ( x) Ax a Ax 1 g g g
解：在15kN作用下，弹簧和杆的静位移
D1st 0.0625 15 0.9375cm D2 st
Nl 15 10 3 4 4 0.02387 cm EA 200 10 9 4 210 4
Q 15 10 3 12 MPa A d2 4
C
2 l 3
d max Kd st max 1 1 2 Q a 3 W Q

(2)
D st Pl Ph =0.75mm, E1 A1 E2 A2
Kd=52.3
d K d st 3.7MPa
重为P的重物从h处自由落下,冲击梁上的D点.梁的EI及 WZ均为已知.求:梁内max
P k dW
P k dW l 4
2. 物体匀速地向上提升 • 与第一个问题等价
• 梁的应力为
d
Md WZ
Md
1
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4. 物体匀速向上提升中改为以加速度a匀减速
FNd
W FNd a W 0 g
a
引入记号 K d 1
a g
a ) g
动荷系数
a FNd (1 )W g
P W
( P W )l M 4
FN
FNd W
动应力
W a0 g
W
F W 绳子： st N A A
a FNd W (1 ) k dW g a k d (1 ) g
a
W
梁： st
M WZ
• 绳子动载应力(动载荷下应力)为：
F W d Nd kd kd st A A
1
1 200.52h 12 106 120 106

h 0.385m
4
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若没有弹簧，则只有杆的静位移
D2 st
Nl 15 103 4 4 0.02387 cm EA 200 109 4210 4
动荷系数：
Kd 1 1
Kd 1 1 2h 3EIh 1 1 D st 2 Qa3
解：（1 ）
P H d1 d1 P d2 h l
D st
Pl =0.0425 mm E1 A1
2H 218 D st
D st
3E I h Q a
4Q a 3 3E I
Kd 1 1
d K d st 15.42MPa
a k d (1 ) g
动应力: d st (1
W
5. 物体以匀速向下中改为以加速度a匀减速
FNd
d Kd st
-----动应力等于静应力乘以动荷系数 强度条件:
FNd (
a
W a W ) 0 g
a k d (1 ) g
d Kd st
F ma
利用达朗伯原理:
方向与a 的方向相反.
假想地在每个质点上加上惯性力 则质点系上的原力系与惯性力系组成平衡力系.
动力学问题在形式上作为静力学问题来处理的方法
求这5种情况下的绳索与梁应力?
1. 物体离开地面，静止地由绳索吊挂
P
FN
3. 物体以加速度a向上提升
达郎伯原理（动静法）：
FNd
（1）轴向垂直冲击
重物Q以初始速度v从高为 h处自由落下，冲击到 被冲击物体顶面上，然后随其一起向下运动。当重物Q 的速度逐渐降低到零时（冲击过程结束），被冲击物的 变形达到最大值Δd，与之相应的冲击载荷即为Pd。
mg v h mg Dd 冲击前、后，能量守恒：
(冲击前 ) T1 V1 U1 T2 V2 U 2 (冲击后)
动能 T ，势能 V ，变形能 U， 冲击后的动能为零，T2=0 冲击力在变形体内产生的变形能为
U=(1/2)PdΔd
轴向垂直冲击
动能T1 mv 2 / 2 冲击前： 变形能U1 0
动能T2 0 冲击后： 势能V2 0 变形能U 2 1 Pd D d 2
轴向垂直冲击
1 D2 d P 2 D st
D
1 l 3
B
D st
1 1 2 2 2 2 ( l Pl l EI 2 3 9 3 9 1 1 2 2 2 4 Pl 3 l Pl l ) 2 3 9 3 9 243 EI
P A
C
D
B
Kd 1 1
243 EIh 2 Pl 3
D总 D1st D 2 st ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0.962cm
速度不能确定，要采用“能量法”求之；
§12.2 动静法的应用 动静法:
对加速度为a 的质点,其惯性力为
动静法的应用
一、构件做等加速直线运动 图示梁上有一个静止吊车，现在问5个问题 1. 物体离开地面，静止地由绳索吊挂 2. 物体匀速地向上提升 3. 物体以加速度a向上提升 4. 物体匀速地向上提升中改为以加速度a匀减速 5. 物体匀速向下中改为以加速度a匀减速