第一讲 整数的整除性1
高等代学1.4整数的一些整除性质PPT1
定理1.4.5 一个素数如果整除两个整数a 定理1.4.5 一个素数如果整除两个整数 与b的乘积， 的乘积， 那么它至少整除a 中的一个. 那么它至少整除 与b中的一个 中的一个 是一个素数， 不整除a 证 设p是一个素数， 如果 | ab，但p 不整除 ， 是一个素数 如果p ， 由素数的性质2， 必有(p, 由素数的性质 ， 必有 a)=1. 于是由定理1.4.4，存在整数s 和t 使得 sp + ta = 1 于是由定理 ， 两边同乘以b 两边同乘以 ：spb + tab =b . 左边的第一项自然能被p整除； 又因为p 左边的第一项自然能被 整除；又因为 | ab， 整除 ， 所以左边第二项也能被p整除 所以左边第二项也能被 整除. 整除 整除左边两项的和，从而p 于是p整除左边两项的和，从而 | b.
① ②
d | ai , i = 1,2,⋯, n
如果c ∈Z且c | ai , i =1,2,⋯, n, 那么c | d.
定理1.4.2 任意 n(n ≥ 2)个整数 a1, a2 ,⋯, an 都有最 定理 大公因数. 如果d是 大公因数 如果 是 a1, a2 ,⋯, an 的一个最大公因 也是一个最大公因数； 数，那么 - d 也是一个最大公因数；a1, a2 ,⋯, an的 两个最大公因数至多只相差一个符号. 两个最大公因数至多只相差一个符号 由最大公因数的定义和整除的基本性质， 证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，显然最 后一个论断是成立的. 后一个论断是成立的 如果 a1 = a2 = ⋯= an = 0 . 显然0就是 的最大公因数. 显然 就是 a1, a2 ,⋯, an 的最大公因数 不全为零. 设 a1, a2 ,⋯, an 不全为零 考虑Z 的子集
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情感态度与价值观
1.通过对整除的认识和学习，能够体会数 学中的联系与结合，有利于理解和掌握.
2.将知识应用到现实生活中. 3.培养合作交流意识.
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实例
如：3的正因数只有1和3所以3为 素数；6的正因数有1、2、3、6所以 由定义知6为合数. 思考：最小的素数和最小的合数各是几？
最小的素数是：2 最小的合数是：4
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想一想 如何判 断一个 数是不 是素数
如果大于1的整数a不能
被所有不超过 a 的素数整
知识回顾
以前学过的整数加法、减法、乘 法有什么特点？整数除法的商又是怎 样的？ 整数的加法、减法、乘法运 算得到的结果任然为整数.两个 整数的商不一定是整数.
×B=C,那么C÷B=A或C÷A=B
也就是说乘法和除法是互逆的 运算.
例如：
13×2 = 26
26÷2 = 13 26÷13 = 2
（ 9、12、20 ）
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定义
仅有两个正因数的正整数叫做素 数，不是素数又不是1的正整数叫做 合数.1既不是素数，也不是合数.
自然数
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素数 1 合数
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整数的整除性
整数的整除性整除是整数的一个重要内容，这里仅介绍其中的几个方面：整数的整除性、最大公约数、最小公倍数、方幂问题.Ⅰ. 整数的整除性初等数论的基本研究对象是自然数集合及整数集合. 我们知道，整数集合中可以作加、减、乘法运算，并且这些运算满足一些规律（即加法和乘法的结合律和交换律，加法与乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如b a ,是整除，0≠b ，则ba 不一定是整数. 由此引出初等数论中第一个基本概念：整数的整除性.定义一：（带余除法）对于任一整数a 和任一整数b ，必有惟一的一对整数q ，r 使得r bq a +=，b r <≤0，并且整数q 和r 由上述条件惟一确定，则q 称为b 除a 的不完全商，r 称为b 除a 的余数.若0=r ，则称b 整除a ，或a 被b 整除，或称b a 是的倍数，或称a b 是的约数（又叫因子），记为a b |.否则，b | a .任何a 的非1,±±a 的约数，叫做a 的真约数. 0是任何整数的倍数，1是任何整数的约数.任一非零的整数是其本身的约数，也是其本身的倍数. 由整除的定义，不难得出整除的如下性质： （1）若.|,|,|c a c b b a 则（2）若.,,2,1,,|,|1n i Z c b c a b a i ni i i i =∈∑=其中则（3）若c a |，则.|cb ab 反之，亦成立.（4）若||||,|b a b a ≤则.因此，若b a a b b a ±=则又,|,|. （5）a 、b 互质，若.|,|,|c ab c b c a 则（6）p 为质数，若,|21n a a a p ⋅⋅⋅ 则p 必能整除n a a a ,,,21 中的某一个. 特别地，若p 为质数，.|,|a p a p n则（7）如在等式∑∑===mk kni i ba 11中除开某一项外，其余各项都是c 的倍数，则这一项也是c 的倍数.（8）n 个连续整数中有且只有一个是n 的倍数.（9）任何n 个连续整数之积一定是n 的倍数.本讲开始在整除的定义同时给出了约数的概念，又由上一讲的算术基本定理，我们就可以讨论整数的约数的个数了.Ⅱ. 最大公约数和最小公倍数定义二：设a 、b 是两个不全为0的整数.若整数c 满足：b c a c |,|，则称b a c ,为的公约数，b a 与的所有公约数中的最大者称为b a 与的最大公约数，记为),(b a .如果),(b a =1，则称b a 与互质或互素.定义三：如果a d 是、b 的倍数，则称a d 是、b 的公倍数. b a 与的公倍数中最小的正数称为b a 与的最小公倍数，记为],[b a .最大公约数和最小公倍数的概念可以推广到有限多个整数的情形，并用),,,(21n a a a 表示n a a a ,,,21 的最大公约数，],,,[21n a a a 表示n a a a ,,,21 的最小公倍数.若1),,,(21=n a a a ，则称n a a a a ,,,,321 互质，若n a a a ,,,21 中任何两个都互质，则称它们是两两互质的.注意，n 个整数互质与n 个整数两两互质是不同的概念，前者成立时后者不一定成立（例如，3，15，8互质，但不两两互质）；显然后者成立时，前者必成立.因为任何正数都不是0的倍数，所以在讨论最小公倍数时，一般都假定这些整数不为0.同时，由于|||,|,b a b a 与有相同的公约数，且|)||,(|),(b a b a =（有限多个亦成立），因此，我们总限于在自然数集合内来讨论数的最大公约数和最小公倍数.Ⅲ.方幂问题一个正整数n 能否表成m 个整数的k 次方和的问题称为方幂和问题.特别地，当1=m 时称为k 次方问题，当2=k 时，称为平方和问题.能表为某整数的平方的数称为完全平方数.简称平方数，关于平方数，明显有如下一些简单的性质和结论： （1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9. （2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只能是0或1. （3）奇数平方的十位数字是偶数.（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6. （5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除.因而，平方数被9除的余数为0，1，4，7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能为0，1，4，7. （6）平方数的约数的个数为奇数.（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数.例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x ，y ，z 均为整数，若11｜（7x+2y-5z ），求证：11｜（3x-7y+12z ）。
第一讲__整数奇偶性与整除性分析
• 定义3:(最小公倍数)设a,b是两个非零整数，一个同时为 a,b倍数的数称为它们的公倍数，a、b的公倍数有无穷多个 ，这其中最小的一个称为a、b的最小公倍数，记作[a,b]. 对于多个非零实数a,b,…,c，可类似地定义它们的最小公倍 数［a,b,…,c］. 最小公倍数主要有以下几条性质： • 1）a与b的任一公倍数都是[a,b]的倍数，对于多于两个数 的情形，类似结论也成立； • 2）两个整数a,b的最大公约数与最小公倍数满足： (a,b)[a,b]=|ab|(但请注意，这只限于两个整数的情形， 对于多于两个整数的情形，类似结论不成立)； • 3）若a,b,…,c两两互素，则［a,b,…,c］＝｜a·b·…·c｜； • 4）若a|d，b|d,……，c|d且两两互素，则a·b·…·c｜d.
2000 个 0
10 01 10 证明：
2000 个0
2001
1 (103 ) 667 1 (103 1)[(103 ) 666 (103 ) 665 103 1]
.
01 所以103+1(=1001)整除 10
2000 个 0
例6 若17|(2a+3b),试证：17|(9a+5b).
证明：注意到2(9a+5b)=9(2a+3b)－17b,于是17|2(9a+5b). 但是(17,2)=1,即得17|(9a+5b).
三 · 最大公约数、最小公倍数
• 定义2：（最大公约数）设a，b不全为零，同时整除a,b的 整数（如 1）称为它们的公约数. 因为a,b不全为零，故 a,b的公约数只有有限多个，我们将其中最大一个称为a,b 的最大公约数，用符号（a,b）表示. 显然，最大公约数是 一个正整数. • 当（a,b）＝1（即公约数只有 1）时，我们称a与b 互素（互质）。这是数论中的非常重要的一个概念. • 同样，如果对于多个（不全为零）的整数a,b,…c， 可类似地定义它们的最大公约数（a,b,…c）. 若（ a,b,…c）＝1，则称a,b,…c互素. 请注意，此时不能推 出a,b,…c两两互素；但反过来，若（a,b,…c）两两互素 ，则显然有（a,b,…c）＝1.
1.整除的概念和性质
例3 将正方形ABCD分割成 n2 个相等 的小方格（n 是正整数），把相对的顶 点A,C染成红色，B,D染成蓝色，其他 交点任意染成红蓝两色中的一种颜色， 证明：恰有三个顶点同颜色的小方格的 数目必是偶数。
例4 设正整数d 不等于2,5,13，证明集合
除。即：若3∣an+an-1+…a1+a0，，则3 ∣N.
• 判别方法4：（整数被9整除） 如果一个整数的各位数字之和能被9整除，则该数能被9整除。
即：若9∣an+an-1+…a1+a0，，则9 ∣N.
• 例6 有一个自然数乘以9后，得到一 个仅由数字1组成的多位数，求这个自然 数最小为多少？
12345679
(2)把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的 数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数 (包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除。 →奇位数字的和 9+6+8=23 ，→偶位数位的和4+1+7=12 ，23-12=11 因此,491678能被11整除。
• 素数： –定义 设整数n≠0，±1.如果除了显然因数 ±1，±n以外，n没有其他因数，那么，n 叫做素数（或质数或不可约数），否则，n 叫做合数.
–规定：若没有特殊说明，素数总是指正整 数，通常写成p或 p1， p2，…， pn.
–例 整数2，3，5，7都是素数，而整数4，6， 8，10，21都是合数.
能被1985整除。
例9 设p为大于5的素数 ，
求证：240︱ p4 1
例10 p 5是素数 ，且2 p +1也是素数，证 明： 4 p +1必是合数。
第一讲整数的整除性1
第一讲整数的整除性1第一讲整数的整除性一、整除的概念·带余除法我们知道两个整数的和、差、积仍然是整数，但是用一不等于零的整数去除另一个整数所得的商却不一定是整数，因此我们引入整除的概念：定义1 设a ，b 是整数，b ≠ 0，如果存在整数q ，使得a = bq成立，则称b 整除a （或a 能被b 整除），记作a ∣b 。
此时，称a 是b 的倍数，b 是a 的约数（或因数）。
如果上述q 不存在，我们就说b 不整除a 或a 不能被b 整除，记作|b a /。
显然每个非零整数a 都有约数±1，±a ，称这四个数为a 的平凡约数，a 的另外的约数称为非平凡约数。
下面我们来讨论关于整除的基本性质.定理1（传递性）如果a ，b 和c 是整数，且a ∣b ，b ∣c ，则a|c.证明因为a ∣b ，b ∣c ，所以存在整数e 和f ，使得b=ae ，c=bf .因此c=bf=(ae )f=a (ef ),从而得到a|c.例如，11|66而66|198，由上述定理可知11|198.定理2 如果a, b, c ,m ,n 为整数且c ∣a,c ∣b,则c ∣（ma+nb ）证明因为c ∣a ，c ∣b ，所以存在整数e 和f ，使得a=ce ，b=cf .因此 ma+nb=m (ce )+n (cf )=c (me+nf ),从而得到c ∣（ma+nb ）定理3 如果a|b,c|d, 则ac|bd .下面的定理是关于整除性的一个重要结论.定理4（带余除法）如果a 、b 是整数且b≠0，则存在唯一的整数q 和r ，使得a=bq+r ,(0||r b ≤<).证明 (存在性)(i)当b>0时，作整数序列…，-3b,-2b,-b ,0,b ,2b ,3b, …若a 与上面序列中的某一项相等，则a=bq ，即a=bq+r,r=0.若a 与上面序列中的任一项都不相等，则a 必在此序列的某相邻两项之间，即有确定的整数q ，使bq<a<<="">（ii ）若0b <，则||0b >.由(i)知，存在整数s,t 满足||a b s t =+且0||t b ≤<.又因||b b =-，所以a bs t =-+.取q s =-，r t =，则有a bq r =+且0||r b ≤<.（惟一性）假设有两对整数q '、r '与q ''、r ''满足a = q ''b + r '' = q 'b + r '，0 ≤ r ', r '' < |b |，则 (q '' - q ')b = r ' - r ''，因0 ≤ r ', r '' < |b |，所以|r ' - r ''| < |b |，从而| (q '' - q ')b|= |q '' - q '||b|< |b|, 即|q '' - q '|<1,故|q '' - q '|=0 即q '' = q ' 从而r ' = r ''。
第一讲数的整除(1—3)
第一讲 数的整除知识清单：1.1整数与整除的意义1、整数整数：正整数、零、负正整统称为整数。
零和正整数统称为自然数。
最大的负整数是–1，没有最小的负整数，最小的正整数是1，没有最大的正整数，没有最大的整数。
2、整除的意义整除：整数a 除以整数b （b ≠0），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说数a 能被数b 整除或b 能整除a 。
确定整除的条件：（三整余零）1、除数、被除数都是整数；2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
除尽：在整数或小数除法中，如果商是整数或有限小数，则叫做能够除尽。
除不尽：数a 除以数b （b ≠0），当所得的商是一个无限循环小数时，我们就说数b 除不尽数a ，或者说数a 不能被数b 除尽。
1.2 因数与倍数1、如果整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（或a 的约数）。
倍数和因数是相互依存的。
2、因数和倍数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数是无限的，其中最小的倍数时它本身，没有最大的倍数；一个数既是它本身的因数，也是它本身的倍数。
1.3 能被2、5整除的数1、偶数：能被2 整除的整数是偶数；奇数：不能被2 整除的整数是奇数．2、通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k 为整数，偶数可以表示为2k 的形式，其中k 是整数．3、正整数按照能否被2整除分为奇数和偶数2、能被2、5 、3、9整除的数的特征（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8 中的一个，那么这个数就能被2 整除。
（2）一个数的个位数字如果是0 或5，那么这个数就能被5 整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3 整除，那么这个数就能被3 整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
数论： 整数的整除
分析:看看这个求和式子中,奇数和偶数的个数. 证明 在1, 2, …, 1994, 1995中有1994 ÷2=997 个偶数,有997+1=998奇数. Ｎ=1＋2＋…+1994+1995 =(1+3+…+1993+1995)+(2+4+…+1994) 由于任意个偶数和是偶数,偶数个奇数和也是 偶数,且偶数+偶数=偶数. 所以N是偶数.
例1.5 已知2761除以某自然数，余数不为零，不 完全商为95，求除数与余数。
解 由题意可设 2761=95b+r, 0≤r<b. 由于0≤r，2761＞95b，即 b 29 又由于r<b， 2761<95b+ｂ,即 因此
28 73 6 b 29 96 95 6 95 73 96
b 28
可除性判别方法
• 判别方法5：（整数被4或25整除） 如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么， 这个数就一定能被4或25整除． • 判别方法6：（整数被8或125整除） 如果一个数的末三位数能被8或125整除，那 么，这个数就一定能被8或125整除．
可除性判别方法
• 判别方法7：（整数被11整除） (1) 如果一个整数将其最后三位数字去掉后得到的位数 少3位的新整数与该整数末三位数字组成的数之差能被 11整除，则该整数能11整除.即如果 ，则11︱N. 11 an an1 ...a3 a2 a1a0 (2)把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的 数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数 (包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。 例如：判断491678能不能被11整除。 →奇位数字的和 9+6+8=23 ，→偶位数位的和4+1+7=12 ，23-12=11 因此,491678能被11整除。 这种方法叫“奇偶位差法”。
初中数学精品试题：第一讲 整数的整除性和带余数除法
第一讲 整数的整除性和带余数除法一. 内容提要 班级______ 姓名______1. 整除的性质⑴ n 个连续正整数的积能被n ！整除.（n 的阶乘：n ！＝1×2×3×…×n ）.例如：a 为整数时，2a(a+1)，6a(a+1)(a+2)，24a(a+1)(a+2)(a+3)，……⑵ 若a b 且a c ，则a (b ±c). ⑶ 若a,b 互质，且a c, b c ，则ab c ；反之则有：a,b 互质，ab c ，则a c, b c. 2. 带余数除法用一个整数a 去除整数b ，且a>0，则必有并且只有两个整数q 与r ，使b=aq+r ，0≤r<a ．这就是带余数除去的一般表达式．当r=0时，记为a│b ，b 被a 整除；当r≠0时，记为ab ，b 不能被a 整除，或者说，b 除以a 有余数．利用余数将自然数分类，在解决实际问题中有广泛应用．我们说，任何一个自然数b 被正整数a 除时，余数只可能是0、1、2、…、a-1．这样就可以把自然数分为a 类．例如，一个自然数被4除，余数只能是0、1、2、3中的一个．因此，所有自然数按被4除时的余数分为4类，即4k ，4k+1，4k+2，4k+3．任何自然数都在这四类之中． 二. 热身练习1. 2006年“五一节”是星期一，同年“国庆节”是星期 ．2. 有一个数能被5整除，但除以4余3，这个正整数最小是 ．3. 一个整数去除300，262，205，所得余数相同，这个整数是 ．4. 一个数除以3余2，除以4余1，那么这个数除以12，余数是 ．5. 正整数2006200634+除以3，所得余数是________．6．已知x ，y ，z 均为整数，若11｜（7x+2y-5z ），求证：11｜（3x-7y+12z ）．7．如果一个四位数abcd 能被9整除，试说明四位数bdca 也能被9整除．8．设一个五位数abcad，其中d－b＝3，试问a，c为何值时，这个五位数被11整除。
第1课 整数的整除性
第1课数的整除性【知识要点】1、对于整数a和不为零的整数b，如果存在整数q，使得a=bq，则就称b整除a或a被b整除，记作b∣a.若b∣a，我们也称a是b倍数，b是a的约数(或因数)；若b不能整除a，记作b a.2、带余除法：如果a、b是整数，b≠0,那么一定存在唯一的一对整数q、r，使得a=bq+r,其中0≤r ≤|b|.这也就是我们所熟知的关系式：被除数=除数×商+余数(0≤余数<除数).当r=0时，就是b∣a；反之，若有b∣a，则r=0.3、整除的一些基本性质(以下字母均表示整数)(1) 若a∣b,且b∣a，则a=±b;(2) 若a∣b，b∣c，则a∣c;(3) 若a∣b，m为整数，则若a∣mb;(4) 若a∣b，a∣c，则a∣(b+c);(5) 若a∣bc，且a与c互质，则a∣b.特别地，若质数p∣ab，则必有p∣a或p∣b;(6) 若b∣a ,c∣a,且b与c互质，则bc∣a.4、数的整除性的常见特征：对于具有某个条件的整数都能被某整数m整除，而不具备该条件的整数就不能被整数m整除，该条件就叫做能被整数m整除的特征.(1)整数a被2整除的特征是个位数是偶数；(2)整数a被3(或9)整除的特征是：各位数字之和是3(或9)的倍数；(3)整数a被5整除的特征是：个位数字是0或5；(4)整数a被4(或25)整除的特征是：末两位是4(或25)的倍数；(5)整数a被8(或125)整除的特征是：末三位是8(或125)的倍数；(6)整数a被11整除的特征是：a的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数；(7) 整数a被7整除的特征是：这个数个位数字以前的数字组成的数与个位数字2倍的差能被7整除；(8) 整数a被7、11、13整除的特征是：这个数末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差能被7、11、13整除；(9)k个连续的自然数中，至少有一个能被k整除；(10)k个连续的自然数的积必能被k!整除；(11)a、b为整数，n为自然数，则a n-b n能被a-b整除。
整除的特征和性质一
第一讲整除的特征和性质㈠〈精讲〉【知识要点】数的整除的几个重要的性质性质1 如果数a、b都能被数c整除，那么(a＋b)与(a－b)也能被c整除。
性质2 如果数a能被数b整除，c是整数，那么积ac也能被b整除。
性质3 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除。
性质4 如果数a能同时被数b、c整除，而且b、c互质，那么a一定能被积bc整除。
本讲我们重点掌握五组数的整除特征。
1. 如果一个自然数数的个位数字能被2或5整除，则这个数就能被2或5整除。
2. 如果一个自然数的末两位数能被4或25整除，那么这个自然数就能被4或25整除。
3. 如果一个自然数的末三位能被8（或125）整除，那么这个自然数就能被8（或125）整除。
4. 如果一个自然数的各个数位上的数字和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除。
5. 如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差（大数减小数）能被11整除，那么这个数就能被11整除。
否则这个数便不能被11整除。
6. 学会把一个自然数分解为数码与1，10，100，1000，……乘积的形式。
如372=3×100+7×10+2×1【例1】一个五位数8□35□，既有约数2，又是3的倍数，同时又能被5整除，请你写出该五位数。
【例2】在□内填上适当的数，使六位数32787□能被4或25整除。
要点提示：任意一个多位数，ab…cde，可以写成ab…c×100+de，由于100能被4和25整除，所以只要这个数的末两位数de能被4或25整除，那么该数就能被4或25整除【例3】在□内填上适当的数，使五位数37□26能被3或9整除。
填完之后请你仔细观察能被9整除的数一定能被3整除吗，反之能被3整除的数一定能被9整除吗？请牢记这个规律！【例4】在568的后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3，4，5整除。
符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？提示：要求能同时被两个或三个数整除时，应该逐个考虑被每个数整除的特征，但考虑时应注意顺序：一般是，首先考虑被2或5整除，因为只需考虑个位数字；其次考虑被4或25整除，因为此时只看末两位数字；再其次，考虑被8或125整除，因为此时只要看末三位数字；最后考虑被3或9整除，因为被3或9整除时要考虑各位数字之和，考虑的范围最广。
第一节 整除意义、特征和性质(1)
第一讲数的整除第一节整除的意义与特征、性质第1课时教学内容：整除的意义与常用数的整除特征。
教学目标：理解整除的意义，掌握常用数的整除特征，并能运用特征判断。
教学重难点：理解掌握常用数的整除的特征。
教学过程：一、整除的意义当两个整数a和b（b≠0），a除以b商为整数余数为零时，则称a能被b整除或b 能整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的因数，记作b|a，如果a 除以b所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b|a.二、整除特征（1）1与0的特性：1是任何整数的因数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的个位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的各位数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的个位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（7）若一个整数的各位数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（8）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
（9）如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（以大减小）能被7（11、13）整除，这个数就能被7（11、13）整除。
三、例题讲解例1：（1）判断47382能否被3或9整除？（2）判断1548764能否被7整除？（3）判断42559，7295872能否被11整除？解：（1）4+7+3+8+2=24 3|24，9|24∴3|47382，9|47382（2）1548－764=784=7×112 7|784 ∴ 7|1548764（3）（4+5+9）―（2+5）=18―7=11∴11|42559（7+9+8+2）―（2+5+7）=26―14=12 11|12 ∴11|7295871小结：判断一个整数能否被另一个整数整除，充分考虑整除的特征，这样有利于我们去判断。
第一讲整数与整除的基本性质(一)
第一讲 整数与整除的基本性质（一）一、整数基本知识：关于自然数：1、有最小的自然数1；2、自然数的个数是无限的，不存在最大的自然数；3、两个自然数的和与积仍是自然数；4、两个自然数的差与商不一定是自然数。
关于整数：1整数的个数是无限的，既没有最小的整数，也没有最大的整数；2、两个整数的和、差、积仍是整数，两个整数的商不一定是整数。
十进制整数的表示方法正整数可以用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中的一个或若干个组成一个排列表示，如67表示7106+⨯,四位数1254可以写成410510210123+⨯+⨯+⨯,同样地用字母表示的两位数ab b a +⨯=10,三位数f e d def +⨯+⨯=10102, n 位整数表示为121a a a a n n n --，（其中a i 是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某个数字，i= n , n – 1,…,2,1,其中a n 0≠）并且.10101211121a a a a a a a n n n n n n n ++⋅+⋅=-----经典例题：例1、用0、1、2、...、9这10个数字组成两个三位数和一个四位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能地小，那么这两个三位数及这个四位数的和是（ ）)A 1995 )B 1683 )C 1579 )D 1401解：为使和最小，四位数的千位应该是1，百位上的数为0，两个三位数上的百位应分别为2和3；若三个数十位上的数分别是4、5、6，则个位上的数分别是7、8、9，但7+8+9=18是个偶数，这与其和为奇数矛盾，故应调整为三个十位上的数应安排为4、5、7，个位分别为6、8、9，6+8+9为奇数，1046+258+379=1683，选 )B例2、一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去2-，仍得原数，这个两位数是（ ）)A 26 )B 28 )C 36 )D 38解：设这个两位数为ab ，由题意，得b a b a +=++102)(3，227+=∴b a 即 )1(27+=b a 由于)1(2+b 为偶数，∴a 必须为偶数，排除)),D C 又由于)1(+b 是7的倍数，故选)A（此题也可以直接来解)1(+b 是7的倍数，故有6=b 返回有2=a ）例3、一个两位数，加上2以后和的各数字之和只有原数字和的一半，这个两位数是_____________。
整数整除的概念和性质
第一讲整数整除的概念和性质1．已知a，b是整数，求证：a+b，ab、a-b这三个数之中，至少有一个是3的倍数．解答：证明：对于a，b，若至少有1个数是3的倍数，则ab是3的倍数；若a，b都不是3的倍数①当a=3m+1，b=3n+1时，a-b=3（m-n），a-b是3的倍数；②当a=3m+1，b=3n+2时，a+b=3（m+n+1），a+b是3的倍数；③当a=3m+2，b=3n+2时，a-b=3（m-n），a-b是3的倍数；∴a+b，ab、a-b这三个数之中，至少有一个是3的倍数．2.已知7位数是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数．解答：解：∵72|，∴8|，9|。
由此得：1+2+8+7+x+y+6=24+x+y是9的倍数，而0＜x≤9，0＜y≤9，则x+y=3或12，又必是8的倍数，必是4的倍数，则y=1，3，5，7或9，当y=1时，x=2，8|216；当y=3时，x=0或9，8不能整除36（不符合题意），8|936（符合题意）；当y=5时，x=7，8不能整除756（不符合题意）；当y=7时，x=5，8|756；当y=9时，x=3，8不能整除396（不符合题意）；综上可得：当y=1，x=2；y=3，x=9，；y=7，x=5时所得的7位数满足条件．∴符合条件的7位数为：1287216，1287936，1287576．3.（1）若a、b、c、d是互不相等的整数，且整数x满足等式（x-a）（x-b）（x-c）（x-d）-9=0，求证：4|（a+b+c+d）．（2）已知两个三位数与的和+能被37整除，证明：六位数也能被37整除．解答：证明：（1）∵9=1×（-1）×3×（-3），∴可设x-a=1，x-b=-1，x-c=3，x-d=-3，∴a=x-1，b=x+1，c=x-3，d=x+3，∴a+b+c+d=4x，即4|（a+b+c+d）；（2）∵= ×1000+ = ×999+（+）又∵和（+）能被37整除，∴×999+（+）能被37整除，即六位数能被37整除．4.某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．证明：这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被101整除．解答：解：由已知，显然，号码为9999是幸运券，除这张外，如果某个号码n是幸运券，那么号m=9999-n也是幸运券，由于9是奇数，所以m≠n．由于m+n=9999相加时不出现进位，这就是说，除去号码9999这张幸运券外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为9999，即所有幸运券号码之和是9999的整倍数，而101|9999，故知所有幸运券号码之和也能被101整除．5.写出都是合数的13个连续自然数．解答：解：我们知道，若一个自然数a是2的倍数，则a+2也是2的倍数，若是3的倍数，则a+3也是3的倍数，…，若a是14的倍数，则a+14也是14的倍数，所以只要取a为2，3，…，14的倍数，则a+2，a+3，…，a+14分别为2，3，…，14的倍数，从而它们是13个连续的自然．所以，取a=2×3×4×…×14，则a+2，a+3，…，a+14必为13个都是合数的连续的自然数．6.已知定理“若大于3的三个质数a、b、c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c 是整数n的倍数”．试问：这个定理中的整数n的最大可能值是多少？请证明你的结论．解答：证明：∵a+b+c=a+b+2a+5b=3（a+2b），显然，3|a+b+c，若设a 、b 被3整除后的余数分别为a r 、b r ，则a r ≠0，b r ≠0．若a r ≠b r ，则a r =2，b r =1或a r =1，b r =2，则2a+5b=2（3m+2）+5（3n+1）=3（2m+5n+3），或者2a+5b=2（3p+1）+5（3q+2）=3（2p+5q+4），即2a+5b 为合数与已知c 为质数矛盾．∴只有a r =b r ，则a r =b r =1或a r =b r =2．于是a+2b 必是3的倍数，从而a+b+c 是9的倍数．又2a+5b=2×11十5×5=47时，a+b+c=11+5+47=63，2a+5b=2×13十5×7=61时，a+b+c=13+7+61=81，而（63，81）=9，故9为最大可能值．7.一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N ，则称N 为“新生数”，试求所有的三位“新生数”．解答：解：设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c （a 、b 、c 不全相等），将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：，不妨设其中的最大数为，则最小数为．由“新生数”的定义，得N=abc -cba =（100a+l0b+c ）一（100c+l0b+d ）=99（a-c ）．由上式知N 为99的整数倍，这样的三位数可能为：198，297，396，495，594，693，792，891，990．这九个数中，只有954-459=495符合条件，故495是唯一的三位‘新生数”．8.从左向右将编号为1至2002号的2002个同学排成一行，从左向右从1到11报数，报到11的同学原地不动，其余同学出列；然后，留下的同学再从左向右从1到11报数，报到11的同学留下，其余同学出列；留下的同学再从左向左从1到11地报数，报到11的同学留下，其余同学出列．问最后留下的同学有多少？他们的编号是几号？解答：解：由题意，第一次报数后留下的同学，他们的编号必为11的倍数；第二次报数后留下的同学，他们的编号必为112=121的倍数；第三次报数后留下的同学，他们的编号必为113=1331的倍数．因此，最后留下的同学编号为1331的倍数，我们知道从1～2002中，1331的倍数只有一个，即1331号，所以，最后留下一位同学，其编号为1331．9.在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数，把的和N告诉魔术师，于是魔术师就能说出这个人所想的数．现在设N=3194，请你做魔术师，求出数来．解答：解：将acb也加到和N上，这样a、b、c就在每一位上都恰好出现两次，所以有acb+N=222（a+b+c），从而3194+100≤222（a+b+c）≤3194+999，而a、b、c是整数．所以15≤a十b十c≤18①．因为222×15-3194=136，222×16-3194=358，222×17-3194=580，222×18-3194=802，其中只有3+5+8=16能满足①式，∴=385．10.在下边的加法算式中，每个口表示一个数字，任意两个数字都不同：试求A和B乘积的最大值．解答：解：先通过运算的进位，将能确定的口确定下来，再来分析求出A和B 乘积的最大值．设算式为显然，g=1，d=9，h=0．a+c+f=10+B，b+e=9+A，∴A≤6．∵2（A+B）+19=2+3+4+5+6+7+8=35，∴A+B=8．要想A ×B 最大，∵A ≤6，∴取A=5，B=3．此时b=6，e=8，a=2，c=4；f=7，故A ×B 最大值为15．11.任给一个自然数N ，把N 的各位数字按相反的顺序写出来，得到一个新的自然数N ′，试证明：|N-N ′|能被9整除．解答：解：令N=n a a a ⋅⋅⋅21，则N ′=11a a a n n ⋅⋅⋅-．所以，N 除以9所得的余数等于n a a a +⋅⋅⋅++21除以9所得的余数，而N ′除以9所得的余数等于11a a a n n ⋅⋅⋅++-除以9所得的的余数．显然，n a a a +⋅⋅⋅++21=11a a a n n ⋅⋅⋅++-．因此，N 与N ′除以9所得的余数相同，从而|N-N'|能被9整除．12.（1）证明：形如的六位数一定能被7，1l ，13整除．（2）若4b+2c+d=32，试问能否被8整除？请说明理由．解答：解：（1）=1001（100a+10b+c ）=7×11×13（100a+10b+c ）， ∴形如的六位数一定能被7，1l ，13整除． （2）=1000a+100b+10c+d=1000a+96b+8c+（4b+2c+d ） =1000a+96b+8c+32，以上各式均能被8整除，故若4b+2c+d=32，能被8整除．。
1.3整除及其性质
三、整数的奇偶性
性质 6 奇数×奇数=奇数；整数×偶数=偶数。 推论 若干个奇数之积为奇数；若干个偶数之积 为偶数。
三、整数的奇偶性
例 8 设 a1 , a2 , an是1, 2， ，n的任一排列，n为正奇数， 求证：(a1 1)(a 2 2) (an n)为偶数。
三、整数的奇偶性
二、整除的基本性质
例5 设9 62ab 427,11 62 ab427, 求62 ab427.
二、整除的基本性质
例 6 对正整数a，若存在正整数b，使 b a 则a叫做完全平方数。类似的，可定义完全立 方数等。求证：下列各数都是完全平方数 4356,443556,44435556，4444355556，‥
第一章 整数的整除性
1.3 整除及其性质
一、数的整除性
1、定义： 设a,b是两个整数，其中b 0, 若存在一个整数 q，使q满足a=bq，则称b整除a（或a被b整除）. 也称b为a的约数，a为b的倍数。 记：b a （ b a ） 例如：
1 a (a z );
5 12
a a(a z, a 0)
性质3 （可乘性） 若b a , d c , 则bd a c. 当d=1,d=c时，分别可以得到什么结论？
性质4
若b能整除a，则 b 能整除 a .
二、整除的基本性质
例4 求证：（1）若一个数的末位数字能被2整除， 则这个数能被2整除；
（2）若一个数的末位两位数字组成的数能被4整 除，则这个数能被4整除。
b 0 (0 b 0)
二、整除的基本性质
性质1 （传递性） 若c b , b a , 则c a .
例1 求证： 7 abcabc( a 0).
二、整除的基本性质
人教版高中数学选修4-6 第一讲 整数的整除(一)整数的整除 名师课件【集体备课】
共六条鱼，平均一只猫咪得几条鱼？
若是再多一条鱼，平均一只猫咪又各 得几条鱼呢？
想一想
在上一页第一种情况下，平均每 只猫咪得到 6÷2 = 3（条）；第二种 情况下每只猫咪在得到3条鱼后还剩一条，就是 说这种情况下鱼并不能平均分给两只猫咪. 生活中这样的例子还有很多，我们从数 学的角度该怎样理解，又怎样定义呢？它们 又有怎样的性质？下面我们将具体的分析.
3、带余除法定义 一般地，设a，b为整数，且b≠0 ，则
存在惟一的一对整数q和r，使得a=bq+r， 0≤r＜︱b︱.
4、素数定义 仅有两个正因数的正整数叫做素数,
不是素数又不是1的正整数叫做合数.
针对性练习
81 1、9192除以100的余数_____________.
分析：
91 c 90 c 90 c 90 c 92
课堂小结
1、整除的概念
如果存在q，使得ɑ=bq，那么称b整除ɑ. 记作： b｜ɑ 2、整除的性质 1)若a|b，a|c，则a|(b±c)； 2)若a|b，b|c，则a|c； 3)若a|bc，且(a，c)=1，则a|b，特别地，若质数p|bc， 则必有p|b或p|c； 4)若b|a，c|a，且(b，c)=1，则bc|a
知识回顾
以前学过的整数加法、减法、乘 法有什么特点？整数除法的商又是怎 样的？ 整数的加法、减法、乘法运 算得到的结果任然为整数.两个 整数的商不一定是整数.
导入新课
从以前学过的乘法中我们知道
若A×B=C,那么C÷B=A或C÷A=B
也就是说乘法和除法是互逆的 运算.
例如：
13×2 = 26
26÷2 = 13 26÷13 = 2
n
m
n
c c ∴ n ＜ m ， m
整数的整除性
(a1 , a2 , , an ) = 1 时，我们就说 a1 , a2 , , an 是互素的
定义 7 如果 n ≥ 2 是整数，而 a1 , a2 , , an 和 m 都是正整数.又设 a1 | m, a2 | m, , an | m ，则
m 叫做 a1 , a2 , , an 的公倍数.公倍数中最小的那一个数叫做 a1 , a2 , , an 的最小公倍数.
（a, b) = (b, r ) a 和 b 的最大公因数等于 b 和 r 的最大公因数，即
辗转相除法：又名欧几里得算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算 法。它是已知最古老的算法， 其可追溯至 3000 年前. 算法：当 a mod b = 0 时 gcd( a, b) = b ,否则 gcd( a, b) = gcd(b, a mod b) 定义 6 如果 n ≥ 2 是整数，而 a1 , a2 , , an 都是正整数，当这些数的最大公因数是 1，即
a = bq + r , 0 ≤ r < b 成立.
1.2 素数和复合数
定义 2 一个大于 1 的正整数，只能被 1 和它本身整除，不能被其他正整数整除，这样的正 整数叫做素数（有的书上叫做质数）. 定义 3 一个正整数除了能被 1 和它本身整除外还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫 做复合数. 定义 4 如果一个正整数 a 有一个因数 b ，而 b 又是素数，则 b 叫做 a 的素因数. 引理 5 如果 a 是一个大于 1 的整数，则 a 的大于 1 的最小因数一定是素数. 引理 6 如果 a 是一个大于 1 的整数，而所有 ≤ 引理 7 有无限多个素数.
p 169
− 1, 76 × 3169 + 1
第一讲,整数和整除
第一讲整数和整除主课题：1.1整数和整除的意义&1.2因数和倍数&1.3能被2、3、5整除的数教学目标：1. 掌握自然数、整数、整除、因数、倍数等概念2. 掌握求一个整数的所有因数的方法，掌握整数的最小和最大的因数3. 掌握求一个整数在一定范围内的倍数，掌握整数的最小的倍数4、掌握能被2、3、5整除的数的特征,掌握能同时被2、5整除的数的特征5、掌握偶数、奇数的特征，以及它们的运算性质教学重点：1、自然数、整数、整除、因数、倍数；整除、整除的条件2. 掌握求一个整数的所有因数的方法，掌握整数的最小和最大的因数3. 掌握求一个整数在一定范围内的倍数，掌握整数的最小的倍数4、掌握奇数偶数的运算性质，会求能同时被2、3、5其中的两个或者三个数整除的数教学难点：1.掌握整数最小和最大的因数，整数最小的倍数2.奇数偶数运算性质的应用3.求能同时被2、3、5其中的两个或者三个数整除的数考点及考试要求：1.自然数、整数、正整数、负整数的分类2.给出算式判断是否为整除3.会在一定范围内求一个正整数的因数、倍数4.会运用奇数偶数的运算性质5.会求能被2、3、5整除的数以及能同时被其中的两个或者三个数整除的数★知识精要知识点1：整数的意义和分类自然数：零和正整数统称为自然数（n a tur a l num b er）；整数：正整数、零、负整数，统称为整数（integer）。
整数知识点2：整除（1）整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a. （2）整除的条件（两个必须同时满足）：①除数、被除数都是整数；②被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
知识点3：除尽与整除的异同点相同点：除尽与整除，都没有余数，即余数都为0；除尽中包含整除不同点：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零；除尽中被除数、除数和商不一定为整数，余数为零。
知识点4：因数和倍数整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）。
1.1 整数的整除
第一章数论初步1.1 整数的整除【知识精讲】1.整除的定义：设a，b是两个整数,且b≠0,如果存在一个整数q,使等式a=bq成立,则称a能被b整除或b整除a，记作b︱a，又称b是a的约数，a是b的倍数.若d不能整除a，则记作d a，如2|6，4 6.显然，１能整除任意整数，任意整数都能整除0.±）称为它2．最大公约数的定义：设a，b不全为零，同时整除a，b的整数（如1a,不全为零，故同时整除a，b的整数只有有限多个，其中最大的一个们的公约数，因b称为a，b的最大公约数，用符号（a，b）表示.显然，最大公约数是一个正整数.±）时，则称a与b互素（互质）.当（a，b）＝1（即a，b的公约数只有1若a与b互素，则存在两个整数s，t，使得as＋bt＝1.3.最小公倍数的定义：设a，b是两个非零整数，一个同时为a，b倍数的整数称为它们的公倍数，a，b的公倍数有无穷多个，这其中最小的一个正数称为a，b的最小公倍数，记作[a，b].显然a与b的任一公倍数都是[a，b]的倍数.4．质数与合数（1）正整数分为三类：①单位数1；②质数（素数）：一个大于1的正整数，如果它的正因数只有1和它本身，则称为质（素）数；③如果一个正整数有大于1而小于其本身的因数，则称这个正整数为合数.(2)100以内的质数有25个，即2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97.(3)偶质数只有2.(4)质数有无穷多个.p|或（a，p）＝1.(5) 若p是质数，a为任一整数，则必有a5.整除的性质:设a，b，c均为非零整数.（1）若b ︱a ，a ≠0，则b a ≤；（2）若b |a ，则b |(-a )；（3）若b |a ，则对任意的非零整数m ，有bm |am ；（4）若a |b ，b |a ，则|a |=|b|；（5）若c |b ，b|a ，则c |a ；（6）若b |ac ，而b 为质数，则b |a ，或b |c ；特别地，若b 是质数，|n b a ，则|b a ；（7）若c |a ，c |b ，则c |（ma+nb ），其中m 、n 为任意整数（可推广到更多项和）；（8）若b |ac ，而（a ，b ）=1，则b|c ；证明：∵(a ，b )＝1，∴存在两个整数s ，t ，使得 as ＋bt ＝1，∴a sc ＋btc ＝c .∵b |ac ⇒b |asc ，∴ b |(asc ＋btc ) ⇒ b |c .（9）若(a ，b )＝1，且a |c ，b |c ，则ab |c .证明：由a |c ，则可设c ＝as (s ∈Z )。
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第一讲 整数的整除性
一、整除的概念·带余除法
我们知道两个整数的和、差、积仍然是整数，但是用一不等于零的整数去除另一个整数所得的商却不一定是整数，因此我们引入整除的概念：
定义1 设a ，b 是整数，b ≠ 0，如果存在整数q ，使得
a = bq
成立，则称b 整除a （或a 能被b 整除），记作a ∣b 。
此时，称a 是b 的倍数，b 是a 的约数（或因数）。
如果上述q 不存在，我们就说b 不整除a 或a 不能被b 整除，记作|b a /。
显然每个非零整数a 都有约数 ±1，±a ，称这四个数为a 的平凡约数，a 的另外的约数称为非平凡约数。
下面我们来讨论关于整除的基本性质.
定理1（传递性） 如果a ，b 和c 是整数，且a ∣b ，b ∣c ，则a|c.
证明
因为a ∣b ，b ∣c ，所以存在整数e 和f ，使得b=ae ，c=bf .因此c=bf=(ae )f=a (ef ),
从而得到a|c.
例如，11|66而66|198，由上述定理可知11|198.
定理2 如果a, b, c ,m ,n 为整数且c ∣a,c ∣b,则c ∣（ma+nb ）
证明 因为c ∣a ，c ∣b ，所以存在整数e 和f ，使得a=ce ，b=cf .因此 ma+nb=m (ce )+n (cf )=c (me+nf ),从而得到c ∣（ma+nb ）
定理3 如果a|b,c|d, 则ac|bd .
下面的定理是关于整除性的一个重要结论.
定理4（带余除法）如果a 、b 是整数且b≠0，则存在唯一的整数q 和r ，使得a=bq+r ,
(0||r b ≤<).
证明 (存在性)
(i)当b>0时，作整数序列
…，-3b,-2b,-b ,0,b ,2b ,3b, …
若a 与上面序列中的某一项相等，则a=bq ，即a=bq+r,r=0.
若a 与上面序列中的任一项都不相等，则a 必在此序列的某相邻两项之间，即有确定的整数q ，使bq<a<b(q+1).令r a bq =-,则0r b ≤<
（ii ）若0b <，则||0b >.由(i)知，存在整数s,t 满足||a b s t =+且0||t b ≤<.又因||b b =-，所以a bs t =-+.取q s =-，r t =，则有a bq r =+且0||r b ≤<.
（惟一性）假设有两对整数q '、r '与q ''、r ''满足
a = q ''
b + r '' = q 'b + r '，0 ≤ r ', r '' < |b |，
则 (q '' - q ')b = r ' - r ''，
因0 ≤ r ', r '' < |b |，所以|r ' - r ''| < |b |， 从而| (q '' - q ')b|= |q '' - q '||b|< |b|, 即
|q '' - q '|<1,故|q '' - q '|=0 即q '' = q ' 从而r ' = r ''。
■
在带余除法给出的公式中，我们称q 是a 被b 除的商，r 是a 被b 除的余数，同时称a 为被除数，b 为除数.显然，b|a 的充要条件是r=0.
例1
若n>1,(n-1)|(n+11), 求n .. 例2 证明：设110n n A a a a a -=(这里110n n a a a a -表示由110,,,n n a a a a -十个数
字组成的十进制的自然数)，则3（或9）整除整数A 充分必要条件是3（或9）整除
0n i
i a =∑。
例3 若n 是整数，k 是正整数，则(1)(1)!
n n n k k --+的值是整数. 例3告诉我们：k 个连续整数的积一定能被k !整除
例4 已知n 是正整数，求证：当4|n 时，1234n n n n
+++能被5整除。
（匈牙利1901数学竞赛题）
带余除法的例题没有
二、 整数的奇偶性
定义2 能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数.
奇数与偶数有下列性质：
性质1 两个偶数之和为偶数,两个奇数之和为偶数,一个偶数与一个奇数之和为奇数. 推论 任意几个偶数之和还是偶数,正偶数个奇数之和为偶数,正奇数个奇数之和为奇数.
性质2 任意几个奇数之积是奇数,任意一个整数与偶数的积是偶数.
性质3 设a 为整数，n 为正整数，则n
a 与a 奇偶性相同.
例5 7个茶杯，杯口全朝上，每次同时翻转4个茶杯称为一次运动。
可否经若干次运动，使杯口全朝下？
例6 设2(),f x ax bx c =++a,b 为整数，c 为奇数.若存在奇数m,使()f m 为奇数,则方程()0f x =无奇数根.
例题解答？
习题1增加带余除法练习题。
1. 如果a 和b 是非零整数，且a|b ，b|a ,你能得到什么结论？
2. 证明：如果a 和b 是正整数且a|b ，则a b ≤.
3. 是否有整数a,b 和c ,使得a|bc ，但是|,|c a b a 且?
4. 求带余除法中的商和余数：
（1） 被除数为100，除数为17，
（2） 被除数为-100，除数为17。
（3） 被除数为289，除数为1，
（4） 被除数为100，除数为-17，
（5） 若整数a 被正整数b 除的带余除式是0)a bq r r b =+<<（
,则-a 被b 除时， 带余除法给出的商和余数分别是多少？
5. 设n>4,且（n-4）|（3n+24）,求n.。
6. 若n 是奇数，则8∣n 2 - 1。
7. 设整数110n n A a a a a -=，证明：
（1）2（或5）整除A 的充分必要条件是2（或5）整除0a ；
（2）4（或25）整除A 的充分必要条件是4（或25）整除10a a ；
（3）8（或125）整除A 的充分必要条件是8（或125）整除210a a a ；
（4）11|A 的充分必要条件是()011|1n
n i
i a =-∑. 8. 若3|387511|3875b a b a 且，求3875b a .
9. 若2929x y x y =，求xy .
10. 若m+n+23是偶数，是判定（m-1）（n-1）+2003是奇数还是偶数.
11. 若整系数二次三项式2(),f x x bx c =++当0,1x x ==时的值均为奇数，求证：方程
()0f x =没有整数根.
12. 三个相邻偶数之积是四位数，且其末位数是8，求这三个偶数.
13. 设a ，b ，x ，y 是整数，k 和m 是正整数，并且
a = a 1m + r 1，0 ≤ r 1 < m ，
b = b 1m + r 2，0 ≤ r 2 < m ，
则ax + by 和ab 被m 除的余数分别与r 1x + r 2y 和r 1r 2被m 除的余数相同。
特别地，a k 与r 1 被m 除的余数相同。