第一讲 整数的整除性1
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第一讲 整数的整除性
一、整除的概念·带余除法
我们知道两个整数的和、差、积仍然是整数,但是用一不等于零的整数去除另一个整数所得的商却不一定是整数,因此我们引入整除的概念:
定义1 设a ,b 是整数,b ≠ 0,如果存在整数q ,使得
a = bq
成立,则称b 整除a (或a 能被b 整除),记作a ∣b 。此时,称a 是b 的倍数,b 是a 的约数(或因数)。如果上述q 不存在,我们就说b 不整除a 或a 不能被b 整除,记作|b a /。 显然每个非零整数a 都有约数 ±1,±a ,称这四个数为a 的平凡约数,a 的另外的约数称为非平凡约数。
下面我们来讨论关于整除的基本性质.
定理1(传递性) 如果a ,b 和c 是整数,且a ∣b ,b ∣c ,则a|c.
证明
因为a ∣b ,b ∣c ,所以存在整数e 和f ,使得b=ae ,c=bf .因此c=bf=(ae )f=a (ef ),
从而得到a|c.
例如,11|66而66|198,由上述定理可知11|198.
定理2 如果a, b, c ,m ,n 为整数且c ∣a,c ∣b,则c ∣(ma+nb )
证明 因为c ∣a ,c ∣b ,所以存在整数e 和f ,使得a=ce ,b=cf .因此 ma+nb=m (ce )+n (cf )=c (me+nf ),从而得到c ∣(ma+nb )
定理3 如果a|b,c|d, 则ac|bd .
下面的定理是关于整除性的一个重要结论.
定理4(带余除法)如果a 、b 是整数且b≠0,则存在唯一的整数q 和r ,使得a=bq+r ,
(0||r b ≤<).
证明 (存在性)
(i)当b>0时,作整数序列
…,-3b,-2b,-b ,0,b ,2b ,3b, …
若a 与上面序列中的某一项相等,则a=bq ,即a=bq+r,r=0.