数学物理方法总复习
数学物理方法复习要点13.6.19-24页PPT资料
利用递推公式
P lx P l' 1 x P l' 1 x
上式 u22Pl10Pl10Pl11Pl11
展成广义傅立叶级数。 7、熟练利用连带勒让德多项式给出拉普拉斯方程非轴对称
性定解问题的解。
第十一章 柱函数
1、熟悉三类贝塞尔方程和三类柱函数 2、掌握几类柱函数的自然边界条件 3、熟练掌握贝塞尔函数的递推公式 4、掌握贝塞尔函数的零点与模值 5、能将函数展成贝塞尔级数 6、能熟练解决柱坐标系下的边值问题（波动方程，输运方
第七章 数学物理方程定解问题 1、能导出弦的横振动方程、均匀杆的纵振动方程、扩散
方程、热传导方程、静电场方程 2、能正确写出波动方程、输运方程的初始条件 3、能正确写出数理方程方程的三类边界条件(注意符号的
正负) 固定端、自由端、弹性支撑、绝热、过截面有热量交换
衔接条件：振动问题，两种材料连接，位移连续、连接面上二力相等 静电场：电势相等，点位移矢量连续 4、能正确写出定解问题 5、掌握达朗贝尔公式，熟练运用达朗贝尔公式解无界和半 无界弦波动方程的定解问题 6、明确行波法中波动方程解的物理意义
解格林函数的边值问题。 5、掌握三维无界空间的基本解和二维无界空间极坐
标下的基本解。 6、熟练应用电像法求半空间、球形区域和圆域等的
格林函数 7、运用电像法给出半空间、球形区域和圆域等边值
问题的积分公式。
第十三章 积分变换法
1、掌握傅立叶变换的定义 2、掌握傅立叶变换的基本性质 3、掌握拉普拉斯变换的定义 4、掌握拉普拉斯变换的基本性质 5、熟练运用傅立叶变换法求解无限长杆热传导问
所以
ur,C 0l 1C lrllla l1a rl1P lcos
代入 第二个边界条件，有
数学物理方法复习
数学物理方法复习
数学物理方法是指在数学和物理学领域中常用的方法和技巧。
复习这些方法可以帮助我们更好地理解和应用数学和物理学的知识。
数学方法的复习包括但不限于以下内容：
1. 微积分：复习微分和积分的基本概念和性质，掌握常用的微积分技巧，如导数的计算、函数的积分等。
2. 线性代数：复习矩阵的运算和性质，如矩阵乘法、逆矩阵、特征值等；掌握线性方程组的解法，如高斯消元法、矩阵求逆法等。
3. 微分方程：复习一阶和二阶微分方程的基本概念和解法，如分离变量法、变换法、欧拉方程等。
4. 概率与统计：复习概率的基本概念和性质，如事件的概率、条件概率等；掌握常用的概率分布，如正态分布、泊松分布等。
5. 复变函数：复习复数的基本概念和运算，如复数的加减乘除、复函数的导数和积分等；掌握常用的复变函数，如指数函数、三角函数、对数函数等。
物理方法的复习包括但不限于以下内容：
1. 牛顿力学：复习牛顿的三大定律和它们的应用，如力的合成、力的分解、摩擦力等。
2. 电磁学：复习电荷、电场、电势等基本概念和性质，掌握库仑定律、电场强度和电势的计算方法。
3. 光学：复习光的折射、反射、干涉、衍射等基本原理和现象，掌握光的像的
成像公式和光的传播速度。
4. 热学：复习热力学和热传导的基本概念和定律，如热容、热力学第一定律、热传导方程等。
5. 量子力学：复习波粒二象性、不确定性原理等基本概念和性质，了解薛定谔方程和波函数的基本解法。
除了复习这些数学和物理方法外，还可以通过做习题、阅读教材、参加学习小组等方式来加深理解和应用。
数学物理方法总复习
第一章 复变函数复数的三种表示：代数表示，三角表示与指数表示几个初等函数的定义式：()1sin 2iz iz z e e i-=- ()1cos 2iz iz z e e -=+ ()12z z shz e e -=- ()12z z chz e e -=+ ln ln()ln iArg iArgz z z e z z ==+§1.3导数u v x y v u xy ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ Cauchy-Riemann 方程§1.4 解析函数1．定义若复变函数()f z 在点0z 及其邻域上处处可导，则称()f z 在0z 点解析。
注意：如果只在一点导数存在，而在其他点不存在，那么也不能说函数在该点解析。
例如：函数2)(z z f =在0=z 点是否可导？是否解析？ 解：222)(y x z z f +==，22y x u +=，0=v ，x x u 2=∂∂，y y u 2=∂∂，0=∂∂xv ，0=∂∂y v ， 由此可见，仅在0=z ，u 、v 可微且满足C-R 条件，即)(z f 仅于0=z 点可导，但在0=z 点不解析。
在其他点不可导，则它在0z =点及整个复平面上处处不解析。
某一点，函数解析⇒⇐可导某一区域B，函数解析⇔可导2．解析函数的性质（ⅰ）几何性质（ⅱ）调和性（ⅲ）共轭性例已知323u x xy=-求v看书上例题§2.1 复变函数的积分∴复变函数的路积分可以归结为两个实函数的线积分。
因此复变函数积分也具有实变函数积分的某些性质。
一般说来，积分值不仅依赖于起点、终点。
积分路线不同，其结果也不同.§2.2 柯西定理的应用§2.3 不定积分§2.4 柯西公式均属于考试内容！第三章幂级数展开,)()()(20201000Λ+-+-+=-∑∞=z z a z z a a z z a k k k （1）比值判别法（达朗贝尔判别法,D ’ Alember ）（3.2.3） （2）根值判别法（柯西判别法）（3.2.6） §3.3 泰勒级数的展开2. 其他展开法可用任何方法展开，只要0()kz z -项相同，那么展开结果一定相同（根据Taylor 展开的唯一性）如利用00111!k k k z k t t t z e z k ∞==∞=⎧=<⎪-⎪⎨⎪=<∞⎪⎩∑∑ ∞<+-=∑∞=+z k z z k k k ,)!12()1(sin 012;∞<-=∑∞=z k z z k k k ,)!2()1(cos 02 等等！例6 将211z -在00z =点邻域展开（1z <） 解：利用011k k t t ∞==-∑有：24222011(1)1k k k z z z z z z ∞==+++++=<-∑K K例7 11z -在02iz =点的邻域展开 解：01011111(1)()1222211212()1122()2(1)22(1)2kk kk k i i iiz z z iiz i ii z i i z i∞=∞+===⋅---------=---=-<--∑∑§3.5 洛朗（Laurent ）级数展开（1）展开中心z 0不一定是函数的奇点；3展开方法的唯一性间接展开方法：利用熟知公式的展开法 较常用 例 2 将函数21()(2)(3)f z z z =--在021z <-<内展开为Laurent 级数 解：因为021z <-<内展开，展开形式应为(2)nn n c z ∞=-∞-∑ 01113(2)11(2)(2)(21)nn z z z z z +∞===------=---<∑ 而20111(2)(3)312(2)(2)(21)n n n z z z z n z z ∞=-''⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦=+-++-+-<∑K K得到：22221111()(2)(3)(2)(3)123(2)(2)(2)(2)021n n n f z z z z z z n z z n z z -∞-===•----=++-++-+-=-<-<∑L L例3 函数1()(1)(2)f z z z =--在下列圆环域内都是处处解析的，将()f z 在这些区域内展开成Laurent级数 ①01z <<②12z <<③2z <<∞④011z <-< 解：①11111()211212f z zz z z =-=----- 由于1z <从而12z<，利用 21111n z z z z z =+++++<-K K 可得：22111(1)122222212n n z z z z z =+++++<-K K 22221()(1)(1)22221370248nn n z z z f z z z z z z z ∴=+++++-+++++=+++<K K K K K 结果中不含负幂次项，原因在于1()(1)(2)f z z z =--在1z <内解析的。
数学物理方法知识点总结数学物理方程知识点归纳
数学物理方法知识点总结数学物理方程知识点归纳一、力学1.物质的运动和静止是相对参照物而言的。
2.相对于参照物，物体的位置改变了，即物体运动了。
3.参照物的选取是任意的，被研究的物体不能选作参照物。
4.力的作用是相互的，施力物体同时也是受力物体。
5.力的作用效果有两个：使物体发生形变。
使物体的运动状态发生改变。
6.力的三要素：力的大小、方向、作用点。
7.重力的方向总是竖直向下的，浮力的方向总是竖直向上的。
8.重力是由于地球对物体的吸引而产生的。
9.一切物体所受重力的施力物体都是地球。
10.两个力的合力可能大于其中一个力，可能小于其中一个力，可能等于其中一个力。
11.二力平衡的条件(四个)：大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，作用在同一个物体上。
12.用力推车但没推动，是因为推力小于阻力(错，推力等于阻力)。
13.影响滑动摩擦力大小的两个因素：接触面间的压力大小。
接触面的粗糙程度。
14.惯性现象：(车突然启动人向后仰、跳远时助跑、运动员冲过终点不能立刻停下来)。
15.物体惯性的大小只由物体的质量决定(气体也有惯性)16.司机系安全带，是为了防止惯性(错，防止惯性带来的危害)。
17.判断物体运动状态是否改变的两种方法：速度的大小和方向其中一个改变，或都改变，运动状态改变。
如果物体不是处于静止或匀速直线运动状态，运动状态改变。
18.物体不受力或受平衡力作用时可能静止也可能保持匀速直线运动。
二、热学1.实验室常用温度计是利用液体热胀冷缩的性质制成的2.人的正常体温约为36.5℃。
3.体温计使用前要下甩，读数时可以离开人体。
4.物质由分子组成，分子间有空隙，分子间存在相互作用的引力和斥力。
5.扩散现象说明分子在不停息的运动着;温度越高，分子运动越剧烈。
6.密度和比热容是物质本身的属性。
7.沿海地区早晚、四季温差较小是因为水的比热容大(暖气供水、发动机的冷却系统)。
8.物体温度升高内能一定增加(对)。
9.物体内能增加温度一定升高(错，冰变为水)。
数学物理方法试题汇总
12届真题1． 求下列各小题（2*5=10分）：（1）用几何图形表示0arg(1)4z π<-<； （2）给出序列(1/)sin 6n n z i n π=+的聚点； （3）在复数域中求解方程cos 4z =的解；（4）给出二阶偏微分方程的基本类型；（5）给出解析函数所满足的柯西-黎曼方程。
2．按给定路径计算下列积分（5*2=10分）：（1）320Re izdz +⎰，积分路径为线段[0,3]和[3,3+2i]组成的折线；（2）11,==⎰积分路径由z=1出发的。
3．利用留数定理计算下列积分（5*2=10分）：（1）241x dx x +∞-∞+⎰； （2）3||1zz e dz z =⎰。
4．求常微分方程20w z w ''-=在0z =邻域内的两个级数解（15分）。
5．求下列线性非奇次偏微分方程的通解：2222u u xy y x y∂∂-=-∂∂（15分）。
6．利用分离变量法求解：（20分）2222000(),|0, |0,0, 0.x x l t t u u x l x t x u u u u t ====⎧∂∂-=-⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==∂⎪⎩7．用拉普拉斯变换方法求解半无解问题（20分）220, 0,0,(0,)1, lim (,) 0, (,0)|0, 0.x u u x t t x u t u x t t u x x κ→∞⎧∂∂-=>>⎪∂∂⎪⎪=>⎨⎪=>⎪⎪⎩有界，2005级一、填空（请写在答题纸上，每题6分，共计48分）1. 三维泊松方程是______________________________2. 边界为Γ的区域Ω上函数u 的第二类边界条件为___________________。
3. 极坐标下的二维拉普拉斯方程为__________________________。
4. 定解问题2002||0tt xx t t t u u x u x u ===-∞<<+∞⎧⎪⎨==⎪⎩， ，的解__________________________。
数学物理方法复习题
第一部分:填空题1复变函数f(z) u(x,y) i v(x,y)在点z x i y可导的必要条件是____ 2 柯西黎曼方程在极坐标系中的表达式为_______ 3 复变函数f(z) zz在z ____处可导4复变函数f(z) xy i y在z ____处可导5 ln( 1) _____6 指数函数f(z) ez的周期为______ 21dz _____ 7 1z 2(z )2zezdz _____ 8 z 3z 3 19 dz _____ 2 z 4z 2 1cos zd z _________ 5(z 1)z 111 z10 11 在z0 1的邻域上将函数f(z) e展开成洛朗级数为__________12 将e1/z在z0 0的邻域上展开成洛朗级数为_____________1在z0 1的邻域上展开成洛朗级数为________________ z 1sinz14 z0 0为函数的________________ 2z115 z0 0为函数sin的________________ z13 将sin16 z0 1为函数e17 z0 0为函数11 z的____________________ cosz的______阶极点4zsinz18 z0 0为函数4的______阶极点z1 e2z19 函数f(z) 在z0 0的留数Resf(0) ________ z320 函数f(z) e11 z在z0 1的留数Resf(1) ________,在无限远点的留数Resf( ) ________21 函数f(z) e1/z2在z0 0的留数Resf(0) ________22 函数f(z) cosz在z0 0的留数Resf(0) ________ 3zsinz23 函数f(z) 3在z0 0的留数Resf(0) ________ z24 积分 f( ) (t0 )d ______ (t (a,b) )ab25 两端固定的弦在线密度为 f(x,t) (x)sin t的横向力作用下振动,泛定方程为_______________.26 两端固定的弦在点x0受变力 f(x,t) f0sin t的横向力的作用,其泛定方程为_________________.27 弦在阻尼介质中振动，单位长度的弦所受的阻力F R ut（R为阻力系数），弦在阻尼介质中的振动方程为_______________。
数学物理方法(梁昆淼)总复习
i 1 li n
复通
l
公式 2 if ( )
l
f ( z) dz z
2 if ( )
l
n f ( z) f ( z) d d z k 1 lk z
求路径积分
第一类情形：沿非闭合曲线的积分
在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析 F ( z) 和 G( z) 的；当 z 在上半平面或实轴上 时， 一致地趋于零
0
1 F ( x) cos mxdx F ( x)e imx dx 2 imz
i{F ( z)e 在上半平面所有奇点留数之和}
0
1 G ( x)sin mxdx G ( x)eimx dx 2i imz {G( z)e 在上半平面所有奇点留数之和}
2
utt a uxx 0
2
(0 x , t 0)
半无界区间内的自由振动问题
u x 0 0
u t 0 ( x)
ut t 0 ( x)
奇延拓
一齐
( x)
( x)
u t 0 ( x)
x0
x0
( x)
ut t 0 ( x)
本性奇点 0 z z0 R内的洛朗级数含有无限个 z z0的负幂项
f ( z)
k k a ( z z ) k 0
z z0
lim f ( z )
不存在
如何判断极点的阶
z z0
lim[( z z0 ) f ( z )] 非零有限值
m
数学物理方法期末复习
数学物理方法期末复习数学物理方法是一门综合应用数学和物理知识的学科，主要涉及到数学工具和数学方法在物理学中的应用。
数学物理方法的核心内容包括数学分析、微分方程、线性代数、复变函数等。
这门课程对于物理学专业的学生来说非常重要，它为我们理解和解决物理问题提供了强有力的工具。
在数学物理方法的学习中，数学分析是一个非常重要的基础部分。
数学分析研究了函数的性质、极限、连续性、微分性和积分性等。
通过学习数学分析的原理和方法，我们可以更深入地理解和分析物理问题中的数学关系。
微分方程是数学物理方法中的另一个重要内容。
微分方程是描述物理系统动力学行为的数学模型。
通过对微分方程进行求解，可以得到物理系统的解析解或数值解，从而进一步研究和分析物理系统的运动和变化规律。
线性代数也是数学物理方法中的关键部分。
线性代数研究了向量空间、线性变换、矩阵以及它们的性质和运算。
在物理学中，线性代数被广泛应用于矩阵理论、量子力学、电磁学等领域。
例如，在量子力学中，波函数的表示和演化可以通过线性代数的方法进行描述和求解。
复变函数是研究复数域上的函数的一门学科，也是数学物理方法中的重要内容。
复变函数在物理学中的应用非常广泛，特别是在电磁学、流体力学和量子力学中。
通过复变函数的分析，我们可以更好地理解和求解这些物理问题。
总的来说，数学物理方法是物理学专业学生必须掌握的一门课程。
它不仅提供了解决物理问题所需的数学工具，而且培养了我们分析和解决问题的能力。
数学物理方法的学习不仅需要我们掌握数学知识，还需要我们运用数学方法进行物理问题的建模和求解。
通过不断练习和研究，我们可以逐渐掌握和运用这些数学物理方法来解决实际问题。
在数学物理方法的期末复习中，我们可以从以下几个方面进行复习和提高：首先，我们可以回顾和复习数学分析的基本概念和原理。
包括函数的性质、极限、连续性、微分性和积分性等。
通过做一些相关的数学分析题目，加深对这些概念和原理的理解和应用能力。
数学物理方法复习
( x ,Байду номын сангаас)
2 xdy c 2 yx c
Y (X,Y)
0
(X,0)
X
例三：已知解析函数f（Z）的虚部 v(x,y)= -x+ x y ,
2 2
求其实部及整个解析函数。
已知解析函数f（Z）的虚部
2 2
v(x,y)= -x+ x y , 求其实部及整个解析函数 解：在极坐标系下表示：v 2 cos( / 2) v 1 v sin( / 2), 2 根据C R条件，可得： u 1 u cos( / 2), sin( / 2) 2 2
ln 2 3 i( / 2 2k ) z i ( / 2 2k ) i ln 2 3
计算下列各式数值 (1)sin(a ib) (2)sin(ix) (3) ln(1)
(1) sin(a ib) e sin(a ib) 2i b b e (cos a i sin a ) e (cos a i sin a ) 2i b b b b e sin a e sin a i e cos a e cos a 2 b b b b e e sin a i e e cos a 2 e
i ( a ib ) i ( a ib )
(2) sin(ix) sin(ix) e
i ( ix )
e 2i
i ( ix )
e e i 2
x
x
(3) ln(1) ln(1) ln 1 i 2k i 2k
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第一章 复述和复变函数 1.5连续若函数)(x f 在0z 的领域内（包括0z 本身）已经单值确定，并且)()(0lim 0zf z f z z =→，则称f(z)在0z 点连续。
1.6导数若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂在点不仅存在而且连续。
(ii)C-R 条件在该点成立。
C-R 条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂y y x u xy x v y y x v x y x u ),(),(),(),( 1.7解析若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。
解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂存在。
(ii)C-R 条件在该点成立。
解析的充分条件：函数f(z)=u+iv 在领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv∂∂不仅存在而且连续。
(ii)C-R 条件在该点成立。
1.8解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数：22x u ∂∂+22y u∂∂=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。
但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。
②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)?通过C —R 条件列微分方程 第二章 复变函数的积分 2.2解析函数的积分柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分⎰BAdz z f )(的值均相等。
柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。
⎰=Cdz z f 0)(二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D 解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。
理工类专业课复习资料-数学物理方法总结(改)
数学物理方法总结第一章 复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρϕϕ=+和i z e ϕρ=欧拉公式:{1sin ()21cos ()2iz iz iz izz e e iz e e --=-=+柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x yv v x y∂∂=∂∂∂∂=-∂∂ (其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C ==(12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即22220u vx y ∂∂+=∂∂ 例题: 已知某解析函数f(z)的实部22(,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数.解答: 由于22ux∂∂=2;22v y ∂∂=-2;则22220u v x y ∂∂+=∂∂曲线积分法u x ∂∂=2x;u y ∂∂=-2y.根据C-R 条件有:v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x.于是 22dv ydx xdy =+;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy Cxdy C xy C=++=++++=+=+⎰⎰⎰⎰凑全微分显式法由上式可知dv=2ydx+2xdy贝易得dv=d(2xy)则显然v=2xy+C不定积分法上面已有—=2y;丝=2xdx dy则第一式对y积分,x视为参数，有v=J2xy+(p(x)=2xy+(p(x)......................dv...上式对x求导有一=2y+^\x),而由C-R条件可知(p\x)=0,dx从而(p(x)=C.故v=2xy+C.f(z)=x2-y2+i(2x y+C)=z2+iC第二章复变函数的积分单连通区域柯西定理如果函数f(z)在闭单连通区域B上解析，则沿B上任意一分段光滑闭合闭合曲线1(也可以是B的边界)，有血/⑵也=0.复连通区域柯西定理如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数，则山任)也+£由/(z)也=0.式中1为区域外边界线，诸l为区域内边界线，积分均沿边界线的正方向进行.即血力＞)也=力血/(z)d z.柯西公式f(a)=t^-也""dz2m z-an次求导后的柯西公式f(〃)(z)=£山声舄化2mi中(。
数学物理方法复习整理
数学物理方法复习整理数学物理方法是研究物理问题时所需要的数学方法和技巧的总和。
物理学是一门基础学科，数学是一门工具学科，物理学与数学密不可分。
掌握数学物理方法对于深入理解物理学的基本概念和问题的解决具有重要意义。
下面就数学物理方法进行一个复习整理。
1.微积分：微积分是数学物理方法的基础。
微积分包括微分学和积分学。
微分学研究函数的变化率和极限，积分学研究函数的定积分和不定积分。
在物理学中，微积分用于描述物理量的变化和求解物理问题的关键方程。
掌握微积分的基本理论和方法对于解决物理问题非常重要。
2.线性代数：线性代数是描述物理系统和问题的另一个重要数学工具。
线性代数研究矩阵、向量、线性方程组、线性变换等概念和性质。
在物理学中，线性代数用于描述物理量之间的线性关系和线性变换。
矩阵运算、特征值和特征向量、矩阵的对角化等概念和方法在物理学中有广泛应用。
3.调和分析：调和分析是一种研究周期现象的数学方法。
在物理学中，周期性现象非常常见，如波动、振动、周期运动等。
调和分析研究任意周期函数的频谱分解和重构，可以将周期函数表示为不同频率的正弦函数的叠加。
傅里叶级数和傅里叶变换是调和分析的基本工具，在物理学中有重要应用。
4.微分方程：微分方程是描述物理问题的主要数学工具之一、微分方程描述物理量随时间、空间或其他自变量的变化规律。
常见的微分方程包括常微分方程和偏微分方程。
在物理学中，微分方程用于描述自然界现象的规律和物理系统的运动方程。
解微分方程是解决物理问题的关键步骤。
5.变分法：变分法是一种求解极值问题的数学方法。
在物理学中，很多问题都可以转化为极值问题，如最速降线、最小作用量原理等。
变分法研究如何寻找函数使得泛函取极值。
在物理学中，变分法用于求解运动方程和确定物理量的极值，如量子力学的路径积分方法就是基于变分法的。
以上是数学物理方法的复习整理，主要包括微积分、线性代数、调和分析、微分方程和变分法等内容。
掌握这些基本数学方法对于深入理解物理学的理论和解决物理问题非常重要。
数学物理方法复习
x =0
x =0
=
F0 ⇒ ux YS
=
F0 YS
习题
P161 3.长为l的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为q0，写出这个热传导 问题的边界条件。
若杆的某端点x = a有热流q0沿该端点外法线方向流出： −kun −kun
x =a
= q0 = −q0 ⇒ ku x = q0
若杆的端点x = a有热流q0沿该端点外法线方向流入：
0
∂u ∂u = ∂n ∂x
l
q0 x
习题
3.长为l的均匀杆，两端受压从而长度缩为l (1 − 2ε )，放手后自由振动，求解 杆的这一振动。
解：首先应正确理解物理量u:表示杆上各点相对于平衡位置的纵向位移 由胡克定律：Y = F/S ∂u ⇒ F = YS = YSun ∂u / ∂n ∂n ∆u l (1 − 2ε ) − l − F0 = YS = YS ⇒ F0 = 2ε YS , ∆x l
F0 0
∂u ∂u = ∂n ∂x
l
F0 x
习题
4.长为l的均匀杆，一端固定，另一端受力F0后而伸长，求解杆在 放手后的振动。
解：杆因受力而伸长，显然杆上各点有初始位移。 F/S ∂u ⇒ F = YS ∂u / ∂x ∂x F F t = 0时刻，du = 0 dx, 积分得：( x, t ) t =0 = 0 x + C u YS YS F0 ∵ x = 0, u = 0 ⇒ C = 0 ∴ u ( x, t ) t =0 = x YS ∴ 定解问题为： 由胡克定律：Y =
∞
u ( x, t ) = ∑
习题
2.研究细杆导热问题，杆的初始温度是均匀的u0 ,保持杆的一端温度为 不变的u0，至于另一端则有强度为恒定的q0热流流入。
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第一章 复变函数复数的三种表示：代数表示，三角表示与指数表示几个初等函数的定义式：()1sin 2iz iz z e e i-=- ()1cos 2iz iz z e e -=+ ()12z z shz e e -=- ()12z z chz e e -=+ ln ln()ln iArg iArgz z z e z z ==+§1.3导数u v x y v u xy ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ Cauchy-Riemann 方程§1.4 解析函数1．定义若复变函数()f z 在点0z 及其邻域上处处可导，则称()f z 在0z 点解析。
注意：如果只在一点导数存在，而在其他点不存在，那么也不能说函数在该点解析。
例如：函数2)(z z f =在0=z 点是否可导？是否解析？ 解：222)(y x z z f +==，22y x u +=，0=v ，x x u 2=∂∂，y y u 2=∂∂，0=∂∂xv ，0=∂∂y v ， 由此可见，仅在0=z ，u 、v 可微且满足C-R 条件，即)(z f 仅于0=z 点可导，但在0=z 点不解析。
在其他点不可导，则它在0z =点及整个复平面上处处不解析。
某一点，函数解析⇒⇐可导某一区域B，函数解析⇔可导2．解析函数的性质（ⅰ）几何性质（ⅱ）调和性（ⅲ）共轭性例已知323u x xy=-求v看书上例题§2.1 复变函数的积分∴复变函数的路积分可以归结为两个实函数的线积分。
因此复变函数积分也具有实变函数积分的某些性质。
一般说来，积分值不仅依赖于起点、终点。
积分路线不同，其结果也不同.§2.2 柯西定理的应用§2.3 不定积分§2.4 柯西公式均属于考试内容！第三章幂级数展开,)()()(20201000Λ+-+-+=-∑∞=z z a z z a a z z a k k k （1）比值判别法（达朗贝尔判别法,D ’ Alember ）（3.2.3） （2）根值判别法（柯西判别法）（3.2.6） §3.3 泰勒级数的展开2. 其他展开法可用任何方法展开，只要0()kz z -项相同，那么展开结果一定相同（根据Taylor 展开的唯一性）如利用00111!k k k z k t t t z e z k ∞==∞=⎧=<⎪-⎪⎨⎪=<∞⎪⎩∑∑ ∞<+-=∑∞=+z k z z k k k ,)!12()1(sin 012;∞<-=∑∞=z k z z k k k ,)!2()1(cos 02 等等！例6 将211z -在00z =点邻域展开（1z <） 解：利用011k k t t ∞==-∑有：24222011(1)1k k k z z z z z z ∞==+++++=<-∑K K例7 11z -在02iz =点的邻域展开 解：01011111(1)()1222211212()1122()2(1)22(1)2kk kk k i i iiz z z iiz i ii z i i z i∞=∞+===⋅---------=---=-<--∑∑§3.5 洛朗（Laurent ）级数展开（1）展开中心z 0不一定是函数的奇点；3展开方法的唯一性间接展开方法：利用熟知公式的展开法 较常用 例 2 将函数21()(2)(3)f z z z =--在021z <-<内展开为Laurent 级数 解：因为021z <-<内展开，展开形式应为(2)nn n c z ∞=-∞-∑ 01113(2)11(2)(2)(21)nn z z z z z +∞===------=---<∑ 而20111(2)(3)312(2)(2)(21)n n n z z z z n z z ∞=-''⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦=+-++-+-<∑K K得到：22221111()(2)(3)(2)(3)123(2)(2)(2)(2)021n n n f z z z z z z n z z n z z -∞-===•----=++-++-+-=-<-<∑L L例3 函数1()(1)(2)f z z z =--在下列圆环域内都是处处解析的，将()f z 在这些区域内展开成Laurent级数 ①01z <<②12z <<③2z <<∞④011z <-< 解：①11111()211212f z zz z z =-=----- 由于1z <从而12z<，利用 21111n z z z z z =+++++<-K K 可得：22111(1)122222212n n z z z z z =+++++<-K K 22221()(1)(1)22221370248nn n z z z f z z z z z z z ∴=+++++-+++++=+++<K K K K K 结果中不含负幂次项，原因在于1()(1)(2)f z z z =--在1z <内解析的。
②由于12z <<，从而11,12z z <<所以21111111()12121121111248n n f z z z z z z z z z z z -=-=-⋅-----=--------L L L （12z <<） ③2z <所以2121,1z z z<<< 于是234111111()212111137(2)f z z z z z z zz z z z=-=⋅-----=+++>K ④由于011z <-<可知展开的级数形式为(1)n n c z ∞-∞-∑所以 01111()211(1)11(1)(011)1n n f z z z z z z z z ∞==-=-------=---<-<-∑其他例子 见书第四章 留数定理（残数，Residue ）本章没重点，但是考点在这节！第五章 傅里叶变换§5.1 Fourier 级数（一）周期函数的Fourier 展开若函数f (x )以2l 为周期，即)()2(x f l x f =+，则可取三角函数族 ΛΛΛΛ,sin ,2sin ,sin ,cos ,2cos ,cos ,1lx k l x l x lx k l x l x ππππππ （5.1.2） （其中函数都以2l 为周期）作为基本函数族，将f (x )展开为傅里叶级数（二） 奇函数和偶函数的Fourier 展开§5.2 Fourier 积分与Fourier 变换记住基本的，最重要的公式，能理解即可！5.3 δ函数 (又叫狄拉克函数)δ函数的性质 （见书）第六章Laplace变换6.3Laplace变换的应用本章没重点，但是考点在这节！第七章数学物理定解问题（1）依据物理规律（同一类物理现象的共同规律），将具体的物理问题化为数学问题——数学物理方程，称此方程为泛定方程（共性，一般规律）。
（2）列出具体问题的初始条件（历史状态）和边界条件（所处环境）称为定解条件（个性）。
（3）泛定方程提供解决问题的依据，定解条件提出具体的物理问题，作为一个整体，叫做定解问题。
【——定解条件：边界条件与初始条件——物理规律用偏微分方程表达出来，叫做数学物理方程——泛定方程（不带定解条件的数学物理方程）——定解问题：在给定的定解条件下求解数学物理方程】§7.1数学物理方程的导出——本小结导出的偏微分方程主要分为三类 （ⅰ）以波动方程（1-6，14）为代表的双曲型方程；其中ρTa =2，就是振动在弦上传播的速度。
上式也称为弦不受外力的横振动方程（自由振动方程）比如弦在振动过程中还受到外加横向力),(t x F （与2T 同方向）的作用，引入力密度ρ/),(),(t x F t x f =（7）修改为),(2t x f u a u xx tt =- （8）（7）称为弦的自由振动方程，（8）称为弦的受迫振动方程。
再比如考虑重力，作用在此段上的重力为gdx ρ，则tt xx u dx Tu dx gdx ρρ=-，重力与1T 同向。
则有：2tt xx u a u g -=-。
（ⅱ）以输运方程（扩散，热传导，7，8）为代表的抛物型方程；)(2D a = （7.1.25）如果仅在x 方向有扩散，则一维扩散方程为)(2D a = （7.1.26）（iii ）稳定场问题（Poisson and Laplace equations ）（九）稳定的浓度分布 见P147-148浓度在空间的分布构成一个标量场，在一般情况下，浓度分布),,,(t z y x u 是时间的函数，遵从扩散方程),,,(2t z y x F u a u t =∆-，)(2D a =如果扩散源强度),,(z y x F 不随时间变化，扩散运动将持续进行下去，最终将达到稳定状态。
空间中各点的浓度不再随时间变化，即0=t u ，则上式变为泊松方程为泊松（Poisson ）方程如果源与汇不存在，则得到Laplace 方程：0=∆u 。
（7.1.40）为Laplace 方程。
§7.2 定解条件泛定方程表达同一类现象的共同规律。
从物理的角度看，仅有方程还不足以确定物体的运动，因为物体的运动还与起始状态以及通过边界所受到的外界作用有关。
另外，从数学的角度看，一个微分方程的通解中往往含有若干个任意常数或任意函数，这就使得其解不能唯一确定，为了得到唯一确定的合理解，我们必须根据不同的实际问题加上相应的条件——定．解条件．．．来确定这些任意常数的数值和任意函数的形式。
定解条件即是初始条件和边界条件的统称，求解一个数理方程且满足一定定解条件的解的问题称为“定解问题”。
（一） 初始条件某时刻，通常取t=0时，作为初始条件。
1. 波动方程的初始条件 初始条件表示如下：0(,,,)|(,,)t u x y z t x y z ϕ== t=0时刻系统中各点“位移”0(,,,)|(,,)t t u x y z t x y z ψ== t=0时刻各点的“速度”2. 输运方程的初始条件（如浓度温度等）0(,,,)|,,t u x y z t x y z ϕ==()——没有初始条件的问题 见P154-155——稳定场方程 无需提初始条件（二） 边界条件 第一类边界条件1. 第二类边界条件即u 在边界外法线方向上方向导数值. n v表示外法线方向的单位矢量。
un∂∂在一维问题中常以u x ∂∂代替。