必修5-第三章不等式知识点总结

不等式知识总结

一、不等式的主要性质：

（1）对称性:a b b a <⇔> (２)传递性:c a c b b a >⇒>>,

(3)加法法则:c b c a b a +>+⇒>; d b c a d c b a +>+⇒>>,

(4)乘法法则:bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,;bd ac d c b a >⇒>>>>0,0

(5)倒数法则：b a ab b a 110,<⇒>>; (6)乘方法则:)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且

二、一元二次不等式02>++c bx ax （0>a )和)0(02><++a c bx ax 及其解法

0>∆ 0=∆ 0<∆ 二次函数

c bx ax y ++=2 的图象

))((212x x x x a c bx ax y --=++= ))((212x x x x a c bx ax y --=++= c bx ax y ++=2

一元二次方程

02=++c bx ax

有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 02>++c bx ax

{}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 02<++c bx ax {}21x x x x << ∅

∅ 顺口溜：在二次项系数为正的前提下:大于取两边,小于取中间

三、均值不等式:若0a >,0b >,则2a b ab +≥,即

).""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b a 1． 使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 2、常用的基本不等式:①()22

2,a b ab a b R +≥∈；②()22

,2a b ab a b R +≤∈； ③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()2

22,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭

;⑤)0(2>≥+ab b a a b ３、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数)，即

2

11

2

a b

a b

+

≥≥≥

+

(当a=b时取等)

４、极值定理:设x、y都为正数，则有⑴若x y s

+=（和为定值），则当x y

=时，积xy取得最大值

2

4

s

.

⑵若xy p

=(积为定值）,则当x y

=时,和x y

+取得最

小值

四、含有绝对值的不等式

1、绝对值的几何意义：||x是指数轴上点x到原点的距离；

12

||

x x

-是指数轴上

12

,x x两点间的距离

2、解含有绝对值不等式的主要方法:（１)解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价

转化为一元一次(二次）不等式（组）进行求解;（2）去掉绝对值的主要方法有：

①公式法:|| (0)

x a a a x a

<>⇔-<<,|| (0)

x a a x a

>>⇔>或x a

<-．

②定义法:零点分段法；③平方法:不等式两边都是非负时，两边同时平方.

五、分式不等式的解法:先移项通分标准化，则

()()0

()()

0()()0;0

()0

()()

f x

g x

f x f x

f x

g x

g x

g x g x

≥

⎧

>⇔>≥⇔⎨

≠

⎩

六、数轴穿根法:奇穿，偶不穿例题：不等式0

3

)4

)(

2

3

(2

2

≤

+

-

+

-

x

x

x

x

的解为

七、线性规划:

1、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法：

方法一:取特殊点检验；“直线定界、特殊点定域”

（1）在平面直角坐标系中作出直线Ax＋Ｂｙ+Ｃ=０;

（２）在直线的一侧任取一点P(x０，y0）,特别地,当C≠0时，常把原点作为此特殊点.

(3)若Ax0＋By0＋C>０,则包含此点P的半平面为不等式Ax+Ｂy＋Ｃ>０所表示的平面区域，

不包含此点P 的半平面为不等式Ax+Bｙ+C<0所表示的平面区域.

(4)同侧同号,异侧异号

方法二:“直线定界、左右定域”利用规律：ﻩ（由x的大小确定左右，由ｙ的大小确定上下）

1.Ax+Ｂy+Ｃ>０,当A>0时表示直线Ax＋Bｙ+C=0右方,当Ａ<0时表示直线Ax＋By+Ｃ＝0左方;

2.Ax+By＋C<０,当A>0时表示直线Ax+By＋Ｃ=０右方,当A<０时表示直线Ax+By+C=０左方。

注意:对应不等号画实线或虚线。

2.求线性目标函数（即截距型）最优解的一般步骤:

(1)设未知数; （２)确定目标函数； (3) 列出约束条件（将数据列表比较方便）；

（4)画线性约束条件所确定的平面区域，即可行域；(5）取目标函数ｚ=0,过原点作相应的直线；

(6)平移该直线，使之与可行域有交点，观察确定区域内最优解的位置；

（7)解有关方程组求出最优解，代入目标函数得最值.

3.课本习题中出现的都是“截距型”目标函数z ax by

=+(a b

，不同时为零），即线性目标函数,高考中除了出现“截距型”目标函数的情况外，还有非线性目标函数:

(1）“斜率型”目标函数

y b

z

x a

-

=

-

(a b

，为常数).最优解为点(a b

，）与可行域上的点的斜率的最值;