必修5-第三章不等式知识点总结

不等式知识总结
一、不等式的主要性质：
（1）对称性:a b b a <⇔> (２)传递性:c a c b b a >⇒>>,
(3)加法法则:c b c a b a +>+⇒>; d b c a d c b a +>+⇒>>,
(4)乘法法则:bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,;bd ac d c b a >⇒>>>>0,0
(5)倒数法则：b a ab b a 110,<⇒>>; (6)乘方法则:)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且
二、一元二次不等式02>++c bx ax （0>a )和)0(02><++a c bx ax 及其解法
0>∆ 0=∆ 0<∆ 二次函数
c bx ax y ++=2 的图象
))((212x x x x a c bx ax y --=++= ))((212x x x x a c bx ax y --=++= c bx ax y ++=2
一元二次方程
02=++c bx ax
有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 02>++c bx ax
{}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 02<++c bx ax {}21x x x x << ∅
∅ 顺口溜：在二次项系数为正的前提下:大于取两边,小于取中间
三、均值不等式:若0a >,0b >,则2a b ab +≥,即
).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b a 1． 使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 2、常用的基本不等式:①()22
2,a b ab a b R +≥∈；②()22
,2a b ab a b R +≤∈； ③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()2
22,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭
;⑤)0(2>≥+ab b a a b ３、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数)，即
2
11
2
a b
a b
+
≥≥≥
+
(当a=b时取等)
４、极值定理:设x、y都为正数，则有⑴若x y s
+=（和为定值），则当x y
=时，积xy取得最大值
2
4
s
.
⑵若xy p
=(积为定值）,则当x y
=时,和x y
+取得最
小值
四、含有绝对值的不等式
1、绝对值的几何意义：||x是指数轴上点x到原点的距离；
12
||
x x
-是指数轴上
12
,x x两点间的距离
2、解含有绝对值不等式的主要方法:（１)解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价
转化为一元一次(二次）不等式（组）进行求解;（2）去掉绝对值的主要方法有：
①公式法:|| (0)
x a a a x a
<>⇔-<<,|| (0)
x a a x a
>>⇔>或x a
<-．
②定义法:零点分段法；③平方法:不等式两边都是非负时，两边同时平方.
五、分式不等式的解法:先移项通分标准化，则
()()0
()()
0()()0;0
()0
()()
f x
g x
f x f x
f x
g x
g x
g x g x
≥
⎧
>⇔>≥⇔⎨
≠
⎩
六、数轴穿根法:奇穿，偶不穿例题：不等式0
3
)4
)(
2
3
(2
2
≤
+
-
+
-
x
x
x
x
的解为
七、线性规划:
1、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法：
方法一:取特殊点检验；“直线定界、特殊点定域”
（1）在平面直角坐标系中作出直线Ax＋Ｂｙ+Ｃ=０;
（２）在直线的一侧任取一点P(x０，y0）,特别地,当C≠0时，常把原点作为此特殊点.
(3)若Ax0＋By0＋C>０,则包含此点P的半平面为不等式Ax+Ｂy＋Ｃ>０所表示的平面区域，
不包含此点P 的半平面为不等式Ax+Bｙ+C<0所表示的平面区域.
(4)同侧同号,异侧异号
方法二:“直线定界、左右定域”利用规律：ﻩ（由x的大小确定左右，由ｙ的大小确定上下）
1.Ax+Ｂy+Ｃ>０,当A>0时表示直线Ax＋Bｙ+C=0右方,当Ａ<0时表示直线Ax＋By+Ｃ＝0左方;
2.Ax+By＋C<０,当A>0时表示直线Ax+By＋Ｃ=０右方,当A<０时表示直线Ax+By+C=０左方。

注意:对应不等号画实线或虚线。

2.求线性目标函数（即截距型）最优解的一般步骤:
(1)设未知数; （２)确定目标函数； (3) 列出约束条件（将数据列表比较方便）；
（4)画线性约束条件所确定的平面区域，即可行域；(5）取目标函数ｚ=0,过原点作相应的直线；
(6)平移该直线，使之与可行域有交点，观察确定区域内最优解的位置；
（7)解有关方程组求出最优解，代入目标函数得最值.
3.课本习题中出现的都是“截距型”目标函数z ax by
=+(a b
，不同时为零），即线性目标函数,高考中除了出现“截距型”目标函数的情况外，还有非线性目标函数:
(1）“斜率型”目标函数
y b
z
x a
-
=
-
(a b
，为常数).最优解为点(a b
，）与可行域上的点的斜率的最值;
(2) “两点间距离型”目标函数2
2()()z x a y b =-+-(a b ，为常数）．
最优解为点（a b ，）与可行域上的点之间的距离的平方的最值;
(3) “点到直线距离型”目标函数z ax by c =++（a b c ，，为常数,且a b ，不同时为零). 最优解为可行域上的点到直线0ax by c ++=的距离的最值. 线性规划小测验
1、 不等式062<+-y x 表示的区域在直线260x y -+=的（ ).
Ａ．右上方 Ｂ．右下方 C ．左上方 D.左下方
2、已知点(3,1)--和(4,6)-在直线320x y a -++=的两侧,则a 的取值范围是 .
3、在如图所示的可行域内，目标函数z x ay =+取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是( ）. A. -3 B ．３ C. -1 Ｄ.１
4、若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩
，，，≥≥≤则23x y z +=的最小值是( )
A.0ﻩ B .１
ﻩD ．9 5、设实数x y ，满足20240230x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩
≤，≥，≤，，则y z x =的最大值是____＿____ ６、如果点P 在平面区域22020210x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩
≥≤≥上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为
7、已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩
≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于( ） Ａ.7 ﻩB ．5 ﻩＣ.4 D ．
８、若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪⎨⎪⎩
≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 ( )
A ．5a <ﻩ Ｂ．7a ≥
Ｃ.57a <≤ ﻩＤ．5a <或7a ≥
9.已知2040250x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--<⎩，求|24|z x y =+-的最大值为 。

10、某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。

已知一个单位的午餐含1２个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含８个单位的碳水化合物，６个单位的蛋白质和１0个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，4２个单位的蛋白质和５
4
1）
个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是２.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？。